В математике существует множество различных действий сложения и вычитания для любого возраста. Они разнообразные и интересные, сложные и не очень. И каждый человек должен решать их самостоятельно, к каждому действию должен уметь находить индивидуальный подход.

Среди этих действий, решение которых, как считают методисты и учителя, способствуют умственному развитию младших школьников, значительное место занимают действия сложения и вычитания. Эти действия хорошо развивают мышление детей.

Мышление - есть опосредованное, обобщенное отражение действительности человеком в ее существенных связях и отношениях. На чувственной ступени познания внешние воздействия непосредственно, прямо приводят к возникновению соответствующих образов в нашем сознании. Отражение объективной действительности на логической ступени познания значительно сложнее. Оно носит не непосредственный, а опосредствованный характер, то есть совершается с помощью целой системы средств, которые обычно отсутствуют на чувственной ступени познания или, точнее говоря, представлены как проявления мышления на чувственной ступени познания. Если предложить ученикам представить себе, как выглядят жилища различных народов, то, вероятно, перед мысленным взором одних предстанут современные здания из стекла и бетона, другие увидят чум, покрытый шкурами животных, третьи представят себе причудливой формы погоду, четвертые - избу, до самой крыши занесенную снегом, и т.д. Возникшие в этом случае представления есть результат чувственного отражения действительности. Такие представления являются непосредственным воспроизведением тех реальных предметов или изображений, которые имелись в прошлом опыте человека.

Если изменить задание и предложить ученикам ответить на вопрос: "Что такое жилище человека?", то для этого обязательно нужно представить себе, как выглядят различные жилища, но этого не достаточно. Необходимо сравнить между собой различные виды жилищ, а для того чтобы сравнить их, нужно выделить признаки, присущие тем или иным из них. При этом, очевидно, окажется, что одни признаки будут общими, другие - резко различными. Для того чтобы сказать, что такое жилище вообще, нужно будет отвлечься от особых признаков и объединить то общее, что присуще каждому из видов жилищ. Только совершив подобные мыслительные операции, окажется возможным дать общее определение тому, что такое жилище человека. Создание такого определения является уже не чувственной, а логической ступени познания, является результатом мышления человека. Решение поставленной задачи оказалось возможным только с помощью определенной системы мыслительных операций.

Осуществлением мышления посредствам мыслительных операций характеризует мышление как опосредствованное отражение действительности.

Кроме того, мышление всегда и обязательно строится на основе чувственного отражения мира, то есть образы чувственного познания являются материалом, с помощью которого только и может осуществиться отражение на уровне мышления.

Отражение действительности на уровне мышления опосредствованно также и словом. Вернемся к примеру. Представления конкретных жилищ возникают в сознании человека в виде соответствующих образов. Общее же определение жилища может быть дано только посредством слова.

Мышление является опосредствованным отражением действительности и потому, что оно всегда протекает с опорой на имеющиеся у человека знания.

Отражение действительности на уровне мышления носит обобщенный характер. Такое обобщение является результатом анализа и сравнения отдельных объектов, выделения и абстрагирования того, что в них является общим. Выделяя общее, мы обычно опираемся не только на те объекты, которые воспринимаем в данный момент, но используем и те представления, которые имеются в нашем прошлом опыте. Чем шире, богаче прошлый опыт, тем более широким и глубоким оказывается и обобщение человека.

Действительно, чтобы найти общее у разных предметов, должны быть совершены анализ и сравнение этих объектов, должно совершиться отвлечение и абстрагирование общего. Кроме того, отразить общее невозможно в виде конкретных образов. Это может быть выполнено только в словесной форме. Все это дает право говорить, что обобщенное отражение действительности теснейшим образом взаимосвязано с опосредствованным характером отражения действительности.

Опосредствованный и обобщенный характер мышления обеспечивает познание человеком, как явлений, так и их сущности. Благодаря мышлению, человек отражает не только то, что может быть непосредственно воспринято органов чувств, но и то, что скрыто от восприятия и может быть познано лишь в результате анализа, сравнения, обобщения. Мышление позволяет устанавливать различные связи и отношения. Особенно большое отношение имеет установление причинно - следственных связей, раскрытие которых, с одной стороны, позволяет понять, как и почему возникают те или иные явления, а с другой - создает возможность прогнозировать будущее.

Выявление существенных признаков оказывается возможным далеко не при любом сравнении и анализе того или иного объекта. Если равнение будет идти только на основе чувственно воспринимаемых признаков, сущность раскрыта не будет. Для ее раскрытия необходимо включить отражаемый объект в различные системы связей и отношений. Так, в нашем примере для раскрытия сущности того, что такое жилище человека, необходимо рассмотреть конкретные виды жилищ в связи с определенными географическими, климатическими, социально - экономическими условиями их создания, соотнести конкретно - историческими потребностями людей и т.д. Только в процессе установления всего многообразия подобных связей оказывается возможным раскрыть сущность явления. Именно раскрытие сущности явления путем включения его в различные системы связей и отношений есть третья отличительная особенность мышления.

Мышление, как продукт общественно - исторического развития носит общественно - исторический характер.

Общественно - историческая обусловленность мышления определяется тем, что в каждом акте познания действительности человек опирается на опыт, накопленный предшествующими поколениями (а опыт является одним из средств отражения действительности на уровне мышления), оперирует тем словарным запасом языка, который создан предшествующими поколениями как средство выражения, обобщения и сохранения результатов познавательной деятельности людей.

Широта обобщения и глубина раскрытия сущности явлений также обусловлены не только индивидуальными возможностями человека, но и всегда являются и результатом познания действительности, достигнутого на данном уровне исторического развития человеческого общества.

Таким образом, хотя мышление каждого человека формируется и развивается в процессе его собственной активной познавательной деятельности, содержание и характер мышления человека обусловлены общим уровнем познания, существующим на данном этапе общественного развития. Это положение, прежде всего, и дает право говорить, что мышление есть продукт общественно - исторического развития.

Об общественно - историческом характере мышления можно говорить и потому, что процесс познания на логической ступени обусловлен потребностями общества, то есть мысли человека направляются на решение тех задач, которые являются наиболее актуальными на существующем историческом этапе. Как много усилий направленно в настоящее время на поиск тех путей, которые обеспечат сохранение природной среды, позволят найти новые энергетические ресурсы, обеспечат сохранение здоровья людей и т.д.

Специально стоит подчеркнуть, что общественно - исторический характер мышления человека становиться все боле ярко выраженным.

Постоянное развитие общественно - исторического характера мышления обусловлено тем, что познавательная деятельность людей все в большей мере становится коллективной. В настоящее время решение проблем, стоящих перед людьми в одной какой - то области, оказывается невозможным без привлечения данных, полученных в других областях знаний. Необходимость использовать опыт, накопленный в различных сферах человеческой деятельности, заставляет привлекать к решению каждой конкретной проблемы различных специалистов. Это и обуславливает расширение, коллективного характера познавательной деятельности людей, а, следовательно, усиливает общественно - историческую сущность мышления человека. [10]

Впоследствии этого можно сказать, что мышление человека развивается, его интеллектуальные способности совершенствуются. К этому выводу уже давно пришли психологи. Один из наиболее известных психологов современности, швейцарский ученый Ж. Пиаже предложил теорию развития интеллекта в детстве, которое оказало большое влияние на современное понимание его развития. В теоретическом плане он придерживался мысли о практическом, деятельностном происхождении основных интеллектуальных операций.

Теория развития мышления ребенка, предложенная Ж. Пиаже, получила название "операциональной" (от слова "операция"). Операция, по Пиаже, представляет собой "внутренние действия, продукт преобразования ("интериоризации") внешнего, предметного действия, скоординированного с другими действиями в единую систему, основным свойством которой является обратимость (для каждой операции существует симметричная и противоположная операция)".

В нашей стране наиболее широкое практическое применение в обучении мыслительным действиям получила теория формирования и развития интеллектуальных операций, разработанная П.Я. Гальпериным. В основу данной теории было положено представление о генетической зависимости между внутренними интеллектуальными операциями и внешними практическими действиями. Он внес в соответствующую область исследований новые идеи. Им была разработана теория формирования мышления, получившая название концепции планомерного формирования умственных действий. Гальперин выделил этапы интериоризации внешних действий, определил условия, обеспечивающие их наиболее полной и эффективной перевод во внутренние действия с заранее заданными свойствами.

Особое место в исследованиях, посвященных развитию мышления, принадлежит изучению процесса формирования понятий. Он представляет собой высший уровень сформированности речевого мышления, а также и высший уровень функционирования, как речи, так и мышления, если их рассматривать в отдельности.

С рождения ребенку даны понятия, и этот факт в современной психологии считается общепризнанным. Как же формируются и развиваются понятия?

Данный процесс представляет собой усвоение человеком того содержания, которое заложено в понятии. Развитие понятия состоит в изменении его объема и содержания, в расширении и углублении сферы применения данного понятия.

Образование понятий - результат длительной, сложной и активной умственной, коммуникативной и практической деятельности людей, процесса их мышления. Образование понятий у индивида своими корнями уходит в глубокое детство. Л.С. Выготский и Л.С. Сахаров были одними из первых ученых - психологов в нашей стране, кто детально исследовал этот процесс. Они установили ряд стадий, через которые проходит образование понятий у детей.

Сущность методики, которую применили Л.С. Выготский и Л.С. Сахаров, сводится к следующему. Испытуемому предлагается два ряда стимулов, которые выполняют различную роль по отношению к поведению: один - функцию объема, на который направленно поведение, а другой - роль знака, с помощью которого поведение организуется.

Например, имеется 20 объемных геометрических фигур, различных по цвету, форме, высоте и размеру. На нижнем плоском основании каждой фигуры, скрытом от взора испытуемого, написаны незнакомые слова, обозначающие усваиваемое понятие. Данное понятие включает в себя одновременно несколько из указанных выше признаков, например, размер, цвет и форму.

Экспериментатор на глазах у ребенка переворачивает одну из фигур и дает ему возможность прочесть написанное на ней слово. Затем он просит

испытуемого найти все остальные фигуры с тем же самым словом, не переворачивая их и пользуясь только признаками, замеченными на первой показанной экспериментатором фигуре. Решая эту задачу, ребенок вслух должен объяснить, на какие признаки он ориентируется, подбирая к первой фигуре вторую, третью и т.д.

Если на каком-то шаге испытуемым допущена ошибка, то экспериментатор сам открывает следующую фигуру с нужным названием, но такую, на которой есть признак, не учтенный еще ребенком.

Описанный эксперимент продолжается до тех пор, пока испытуемый не научится безошибочно находить фигуры с одинаковыми названиями и определять признаки, входящие в соответствующее понятие.

С помощью этой методики было установлено, что формирование понятий у детей проходит через три основные ступени:

логическое мышление сложение вычитание

1. Образование неоформленного, неупорядоченного множества отдельных предметов, их синкретического сцепления обозначаемого одним словом.

2. Образование понятий-комплексов на основе некоторых объективных признаков.

3. Образование настоящих понятий. Здесь предполагаются умения ребенка выделить, абстрагировать элементы и затем интегрировать их в целостное понятие вне зависимости от предметов, которым они принадлежат.

Синкретическое мышление и мышление в понятиях-комплексах характерны для детей раннего, дошкольного и младшего возраста. К мышлению в настоящих понятиях ребенок приходит только в подростковом возрасте под влиянием обучения теоретическим основам разных наук. Факты, полученные Л.С. Выготским и Л.С. Сахаровым, в этом плане вполне согласуются с теми данными, которые в своих работах по развитию детского интеллекта приводит Ж. Пиаже. С подростковым возрастом у него связан переход детей к стадии формальных операций, которая, предполагает умение оперировать настоящими понятиями.

Мышление в отличие от других процессов совершается в соответствии с определенной логикой. Соответственно, в структуре мышления можно выделить следующие логические операции: сравнение, анализ, синтез, абстракция и обобщение.

Сравнение скрывает тождество и различие вещей. Результатом сравнения, кроме того, может стать классификация. Не редко она выступает как первичная форма теоретического и практического познания.

Более глубокое проникновение суть вещей требуют раскрытия их внутренних связей, закономерностей и существенных свойств. Оно выполняется при помощи анализа и синтеза. Анализ - это расчленение предмета, мысленное или практическое, на составляющие его элементы с последующим их сравнением. Синтез есть построение целого из аналитически заданных частей. Анализ и синтез обычно осуществляется вместе, способствуют более глубокому познанию действительности.

Абстракция - это выделение, какой - либо стороны или аспекта явления, которые в действительности как самостоятельные не существуют. Абстрагирование выполняется для более тщательного их изучения и, как правило, на основе предварительно произведенного анализа и синтеза. Результатом всех этих операций нередко выступает формирование понятий.

Абстрагированными могут стать не только свойства, но и действия, в частности способы решения задач. Их использование и перенос в другие условия возможны лишь тогда, когда выделенный способ решения осознан и осмыслен безотносительно к конкретной задаче.

Обобщение выступает как соединение существенного (абстрагирование) и связывание его с классом предметов и явлений. Понятие становится одной из форм мысленного обобщения.

Конкретизация выступает как операция, обратная обобщению. Она проявляется, например, в том, что из общего определения - понятия - выводится суждение о принадлежности единичных вещей и явлений определенному классу.

Кроме рассмотренных операций, имеется еще и процессы мышления. К ним относятся: суждение, умозаключение, определение понятий.

Суждение - это высказывание, содержащее определенную мысль.

Умозаключение представляет собой серию логически связанных высказываний, из которых выводятся новые знания.

Определение понятий рассматривается как система суждений о некотором классе предметов (явлений), выделяющая наиболее общие их признаки. [8]

Кроме рассмотренных операций и процессов мышления существуют основные виды мышления:

Процесс мышления и речи составляет сложные единства. Мышление не "связано" с языком, но выражено в языке это было с предельной четкостью высказано К. Марксом, который говорил о том, что язык есть непосредственная действительность мысли.

Несмотря на то, что в онтогенезе отношения мышления и речи своеобразны и изменчивы, невозможно изучать процесс мышления у младших школьников вне анализа развития его речи. [7]

Младший школьник - это начало общественного бытия человека как субъекта деятельности, в данном случае учебной. В этом качестве младший школьник характеризуется прежде всего готовностью к ней. Она определяется уровнем физиологического и психического, прежде всего интеллектуального развития, обеспечивающего возможность учиться. В исследованиях Л.И. Божович, Д.Б. Эльконина, Н.Г. Салминой, Н.И. Гудкиной описаны основные показатели готовности ребенка к школе: сформированность его внутренней позиции, семиотической функции, произвольности, умение ориентироваться на систему правил и др. Готовность к школьному обучению означает сформированность отношения к школе, учению, познанию как к радости открытия, вхождения в новый мир, мир взрослых. Это готовность к новым обязанностям, ответственности перед школой, учителем, классом. Ожидание нового интерес к нему лежит в основе учебной мотивации младшего школьника. Именно на интересе как эмоциональном переживании познавательной потребности базируется внутренняя мотивация учебной деятельности, тогда познавательная потребность младшего школьника "встречается" с отвечающим этой потребности содержанием обучения.

Готовность ребенка к школе определяется удовлетворением целого ряда требований. К ним относятся:; общее физическое развитие ребенка, владением достаточным объемом знаний, владение "бытовыми" навыками самообслуживания, культуры поведения, общения, элементарного труда; владение речью; предпосылки овладения письмом (развитие мелкой мускулатурой кисти руки); умение сотрудничества, желание учиться. Необходимые для школьника как субъекта учебной деятельности интеллектуальные, личностные, деятельностные качества формируются буквально с момента рождения. От уровня их сформированности в значительной мере зависит вхождение ребенка в школьную жизнь, его отношение к школе и успешность обучения, включаемость в учебную деятельность.

Учебная деятельность, включающая овладение новыми знаниями, умениями решать разнообразные задачи, радость учебного сотрудничества, принятие авторитета учителя, является ведущей в этот период развития человека, находящегося в образовательной системе.

В учебной деятельности младшего школьника формируются такие частные виды деятельности, как письмо, чтение, работа на компьютере, изобразительная деятельность, начало конструкторско-композиционной деятельности.

Также в начальной школе у младшего школьника формируются основные элементы ведущей в этот период учебной деятельности, необходимые учебные навыки и умения. В этот период развиваются формы мышления, обеспечивающие в дальнейшем усвоение системы научных знаний, развитие научного, теоретического мышления, обеспечивающие в дальнейшем усвоение системы научных знаний, развитие научного, теоретического и логического мышления. [3]

Логическое мышление дошкольника в любой форме отличается некоторыми общими характерными чертами. Например, сравнивая две фигурки слонов, разных по цвету, величине, фактуре и позе, дети (2 г. - 2 г.5 мес.) говорят: "Этот большой слон, а этот сидит" или: "Этот хобот к верху держит, он весь красный, а этот маленький, беленький…"; "Елка не похожа на березу, - говорит девочка (4 г.5 мес.). - Елка вся зеленая, а березки ствол белый с черточками, и листики на ней".

Такое не последовательное использование сравнения говорит о том, что ребенок еще не владеет этой умственной операцией, хотя пытается сопоставлять в чем - то сходные предметы. Он правильно выделяет в каждом из них отдельные познавательные, отличительные признаки (цвет, позу), но в четырехлетнем возрасте еще не знает, что надо в каждом сравниваемом предмете выделять однородные признаки и сопоставлять их попарно: цвет с цветом, позу с позой, величину с величиной. Такой операции ребенка надо обучать, это и делает воспитатель в дидактических играх, на занятиях в быту.

Неправильно и утверждение В. Штерна, что ребенку - дошкольнику недоступны причинно-следственные связи в предметах и явлениях, недоступны и высшие формы логического мышления, в частности умозаключения. Приводя отдельные примеры детских умозаключений, В. Штерн приходит к выводу о том, что ребенок действует путем трансдукции, то есть делает вывод, идя от одного частного случая (факта) к другому, тоже единичному случаю, минуя общее.

Однако факты убедительно показывают, что ребенок 3-5 лет может делать совершенно правильные выводы путем индуктивных умозаключений. Это показали в своем исследовании А.В. Запорожец и У.В. Ульенкова. Авторы давали возможность этим 3-6 лет приобрести некоторый опыт. В таз с водой опускались последовательно различные предметы: спичка, гвоздик, английская булавка, пробка, маленькая дощечка и др. Но прежде чем опустить предмет в воду, экспериментатор спрашивал ребенка, поплывет этот предмет или утонет. Естественно, дети сначала лишь гадали, и их предположения часто оказывались неправильными. Но постепенно дети начинали выделять те признаки, которые, по их мнению, были либо существенны для плавучести предмета, либо вели к тому, что предмет тонул. Многие дети сначала выделяли величину предмета как существенный признак. Но проверка на практике показывала, что гвоздик, хоть и маленький, все равно тонет, а большой спичечный коробок легко держится на воде. Постепенно дети пришли к правильному выводу: все деревянное плавает, а железное (металлическое) тонет.

Таким образом, можно сказать, что дети дошкольного возраста могут высказывать правильные логические суждения и делать относительно верные выводы.

Особенности логического мышления младших школьников отчетливо выступают в любых выполняемых ими мыслительных операций. Сравнение является основой всякой последующей группировки, классификации и систематизации предметов и явлений. Используя сравнение, человек узнает особенности каждого нового предмета или групп. В процессе обучения младших школьников сравнение играет важнейшую роль.

В процессе обучения все мыслительные операции, в том числе и операция сравнения. Учащиеся 1-3 классов уже могут успешно сравнивать предметы по представлению, а затем и абстрактные понятия.

Отчетливо выявляются особенности развития логического мышления при изучении его различных форм и процессов: умозаключений, классификации, причинно-следственных связей, понятий. Одной из этих особенностей является сохранение метода "короткого замыкания", характерного для дошкольников.

У младших школьников сохраняется в известной мере стиль мышления старших дошкольников. В поставленной задаче ребенок выхватывает какой-то один признак, условие, сторону и сразу переходит к выводу. По существу, полученный ответ не является синтезом, поскольку он не подготовлен соответствующим анализом. Происходит расслоение аналитико-синтетической мыслительной деятельности - нарушается целостность мыслительного процесса. [7]

Младшие школьники при условии понятий часто смешивают в процессе обобщения признаки существенные и несущественные. Это приводит к ошибкам: или к неоправданному сужению объема понятий, или к неоправданному расширению их объема. Примерами сужений объема понятия являются факты, когда младшие школьники, не относя к растениям грибы потому что, " у них нет листьев", насекомых - к животным потому, что " они маленькие". Примеры расширения объема понятия - такие обобщения школьников, когда они к одной группе относят насекомых и птиц потому, что " они летают", кита и дельфина - к рыбам потому, что " живут в морях и плавают" и т.п.

Умение рассуждать, обосновывать и доказывать то или иное положение более или менее уверенно и правильно тоже приходит постепенно и в результате специальной организации учебной деятельности, когда учитель ставит учащихся в такие условия, когда они должны самостоятельно сделать те или иные выводы и заключения. [6]

Опираясь на эти способности можно развивать логическое мышление младших школьников на уроках математики при изучении конкретного смысла действий сложения и вычитания.

1.3 Математический смысл действий сложения и вычитания

Сложение

В течение всех четырех лет начального обучения ведется работа по формированию у детей понятий о натуральном числе и арифметических действиях. С самого начала это делается в неразрывной связи с рассмотрением различных случаев практического применения этих понятий, с работой, направленной на усвоение детьми некоторых свойств чисел, десятичной системы счисления, арифметических действий и основанных на них приемов вычислений. Результатом этой работы должно стать усвоение детьми как включенных в программу вопросов теоретического характера, так и сознательное и прочное овладение навыками применения изученных вопросов теории к решению разнообразных практических и учебных задач и выполнению устных и письменных вычислений. Теория и практика должны при этом в ходе всей работы над арифметической частью программы выступать в их единстве и взаимосвязи. Как показывают наблюдения за опытом реализации программы в практике массовой школы, именно это важнейшее требование программы довольно часто нарушается.

Проявляется это в том, что, отрабатывая, скажем, навыки устных вычислений, учителя нередко забывают при этом о необходимости довести до сознания детей теоретическую основу выполняемых операций, не приучают к тому, чтобы в случае появления ошибок в ходе вычислений учащиеся возвращались к рассмотрению тех вопросов теории, которые могут помочь им осознать причину допущенной ошибки и самостоятельно исправить ее. Между тем именно сознательность усвоения - основа, на которой могут быть сформированы действительно прочные навыки уверенных, правильных и быстрых вычислений.

Нарушение требования рассмотрения теории и практики в их единстве проявляется также в том, что на уроках математики нередко перед детьми ставятся в отвлеченной форме вопросы теоретического характера, разучиваются соответствующие определения, "правила" и т.п. в отрыве от их практического применения. При этом приходится сталкиваться и с такими случаями, когда от учащихся требуется знание формулировок, которые либо вовсе не предусмотрены программой, либо должны быть усвоены детьми значительно позднее. Так обстоит дело, например, когда учитель в I классе требует полного ответа на вопрос: "Как называются числа при сложении?" В такой форме знания математической терминологии вообще не следует требовать. (Важно лишь, чтобы дети понимали смысл соответствующих слов, когда их использует учитель, и постепенно включали бы эти термины и в свою речь) Так обстоит дело и тогда, когда учитель уже в I классе требует от учащихся объяснения того, как может быть проверено вычитание с помощью сложения.