Розвиток умінь розв’язувати задач на пропорційне ділення у початковій школі

У початкових класах задачі на пропорційне ділення розв'язують лише способом знаходження сталої величини.

У процесі ознайомлення з задачами на пропорційне ділення краще пропонувати їх не в готовому вигляді, а скласти разом з дітьми із задач на знаходження четвертого пропорційного. Це допоможе дітям побачити зв'язки між задачами цих видів, що швидше приведе учнів до узагальнення способу їх розв'язування.

Учням пропонують скласти задачу за її коротким записом:

Розв'язавши задачу, складену за даною умовою, вчитель записує замість знака запитання число, знайдене у відповіді ( 8 грн.). Потім він пропонує знайти суму чисел, які показують вартість зошитів (20 грн.), і скласти задачу за новою умовою:

Діти складають задачі на пропорційне ділення, ставлячи два запитання:

Скільки заплатив перший покупець?

Скільки заплатив другий покупець?

Учитель пояснює, що ці два запитання можна замінити одним:

Скільки грошей заплатив кожний покупець?

В остаточному вигляді задачу формулюють так: “Два хлопчики купили зошити по однаковій ціні. Перший купив 6 зошитів, а другий 4. Усього вони заплатили 20 грн. скільки грошей заплатив кожний хлопчик?”

Про що треба дізнатися в задачі?

Що означає “кожний”?

Чи можна відразу дізнатися, скільки заплатив перший хлопчик?

Чому не можна?

Чи можна відразу визначити ціну зошита?

Чому не можна?

Чи можна відразу дізнатися, скільки купили зошитів на 20 грн.?

Чому можна?

Що визначимо в першій дії; другій; третій; четвертій?

Розв'язання задачі записують у формі окремих дій з поясненнями. Потім розв'язують готові задачі. У цьому разі треба спочатку розчленити запитання задачі на два запитання, потім з'ясувати, яке з шуканих чисел має бути більше і чому; далі слід перейти до складання плану розв'язування, провадячи міркування від запитання до числових даних. Розв'язання перевіряють, встановлюючи відповідність між числами, знайденими у відповіді, і отримати число, задане в задачі [41, 132].

Можливі й інші підходи до введення задач на пропорційне ділення. Можна, наприклад, почати з розв'язування готових задач, а пізніше виконати роботу щодо перетворення задачі на знаходження четвертого пропорційного в задачу на пропорційне ділення, порівнявши як самі задачі, так і їх розв'язання.

Для узагальнення способу розв'язування розглядають задачі на пропорційне ділення I виду з іншими групами величин, після чого вводять задачі II виду, а трохи пізніше - III і IV видів. При цьому поряд із розв'язуванням готових задач слід включати вправи творчого характеру на складання і перетворення задач [43, 213].

М.В. Богданович [7] пропонує ознайомлювати дітей із задачами на пропорційне ділення у 4 класі. Спочатку учні виконують підготовчі завдання. Підготовка учнів до ознайомлення із задачами на пропорційне ділення складається з таких етапів:

1. Розв'язування задач на дві дії, першою з яких с задача на знаходження суми двох доданків, а друга -- на ділення на рівні частини.

Задача. Магазин продав до обіду чотири ящики помідорів, а після обіду -- З таких самих ящики. Всього продали 70 кг помідорів. Скільки кілограмів помідорів було в одному ящику?

До обіду Після обіду

70 кг

Рис. 1

-- Розглянемо умову задачі. (Учень читає.)

Прочитайте запитання задачі. (Учень читає.)

Що сказано про масу помідорів в ящику, проданих до обіду і після обіду? (Маса помідорів в ящику однакова.)

Що треба знати, щоб дізнатися, скільки кілограмів помідорів в одному ящику? (Щоб дізнатися, скільки кілограмів помідорів в одному ящику, треба знати, скільки всього ящиків з помідорами продали і скільки всього кілограмів помідорів продали.)

Чи відомо, скільки всього кілограмів помідорів продали? (Відомо.)

Чи відомо, скільки всього ящиків помідорів продали? (Невідомо.)

Що треба знати, щоб дізнатися, скільки всього ящиків помідорів продали? (Треба знати, скільки ящиків помідорів продали до обіду і скільки після обіду.)

Чи відомо, скільки ящиків помідорів продали до обіду і після обіду окремо? (Відомо.)

Про що дізнаємося спочатку? (Скільки всього ящиків помідорів продали.)

Яку дію треба виконати? (Дію додавання.) Чому треба виконати дію додавання? (Число всіх ящиків помідорів дорівнює сумі чисел 4 і 3.)

Скільки буде? (7.)

Що означає число 7? (7 ящиків з помідорами продали за день.)

Про що дізнаємося тепер? (Скільки кілограмів помідорів в одному ящику.)

Якою дією про це дізнаємось? (Дією ділення.)

Чому треба виконати дію ділення? (У семи ящиках 70 кг помідорів, а в одному ящику -- в 7 разів менше.)

Скільки буде? (10.)

Що означає число 10? (В одному ящику 10 кг помідорів.)

2. Розв'язування задач на три дії, першою з яких є задача на знаходження суми двох доданків, друга -- на ділення на рівні частини, а третя -- на знаходження добутку як суми однакових доданків.

Задача. Магазин продав до обіду 4 ящики помідорів, а після обіду -- З таких самих ящики. Всього продали 70 кг помідорів. Скільки кілограмів помідорів продали до обіду (або скільки кілограмів помідорів продали після обіду)?

До обіду -- ? кг Після обіду

Мал. 2.

-- Розглянемо умову задачі.

Ми дізналися, що в одному ящику 10 кг помідорів. Яку дію треба виконати, щоб дізнатися, скільки кілограмів помідорів продали до обіду? (Треба виконати дію множення.)

Чому? (В одному ящику 10 кг помідорів, а в чотирьох ящиках буде 4 рази по 10 кг. Треба 10 помножити на 4, буде 40.)

Що означає число 40? (До обіду продали 40 кг помідорів.)

До обіду Після обіду -- ? кг

Мал. 3

-- Скільки кілограмів помідорів продали після обіду? (30 кг)

Як дізналися? (10 помножили на 3, буде 30.)

Чому виконували дію множення? (В одному ящику 10 кг помідорів, а в трьох ящиках -- у 3 рази більше.)

Поступово задачі на пропорційне ділення ускладнюються. Розглянемо пару аналогічних задач. Учні, розв'язавши першу задачу колективно, наступну задачу розв'язують за аналогією.

Задача 1. Для обклеювання однієї кімнати купили 5 рулонів шпалер, а для другої -- 3 таких самих рулони. Всього купили 80 м шпалер. Скільки метрів шпалер купили для першої кімнати?

Задача 2. Для обклеювання однієї кімнати купили 5 рулонів шпалер, а для другої--3 таких самих рулони. Всього купили 80 м шпалер. Скільки метрів шпалер купили для другої кімнати?

Для 1-ої кімнати -- ? м Для 2-ої кімнати

Мал. 4.

На дошці записано план розв'язання першої задачі.

Скільки всього рулонів шпалер купили?

Скільки метрів шпалер в одному рулоні?

Скільки метрів шпалер купили для першої кімнати?

--До кожного запитання плану виберіть дію і поясніть, чому таку дію вибрали.

На дошці записано розв'язання другої задачі.

1) 5+3=8;

2)80:8-10;

3)10*3 = 30.

-- Поясніть розв'язання другої задачі.

Також учням можна запропонувати таке завдання:

Розглянути малюнок, виконати необхідні обчислення і сказати, скільки олівців в одній коробці (рис. 5).

У процесі аналізу завдання вчитель ставить такі запитання:

Скільки коробок зліва? Справа?

Скільки всього коробок?

Як дізнатися, скільки олівців в одній коробці?

48 олівців

Мал. 5.

Далі учні вчаться розв'язувати задачі на пропорційне ділення самостійно. Розглянемо таку задачу.

Задача. Дівчинка купила 3 зошити для себе і 2 зошити для однокласниці. За всі зошити вона заплатила 1 грн. Скільки грошей має віддати дівчинці однокласниця за зошити?

Задачу пропонують розв'язати самостійно, але перед цим слід з'ясувати, як знайти ціну одного зошита, що треба знати, щоб обчислити вартість покупки.

Розв'язування підготовчих задач активізує діяльність учнів при опрацюванні задач нового типу.

Розглянемо фрагмент уроку на тему "Ознайомлення із задачею на пропорційний поділ", де описана методика опрацювання таких задач.

Учням пропонують розв'язати задачу: "Купили 3 зошити в лінійку і 2 зошити в клітинку за тією самою ціною. За зошити в лінійку заплатили 54 коп. Скільки грошей заплатили за зошити в клітинку?" (за таблицею).

Діти розв'язують задачу окремими діями з поясненням у запитальній формі. У заздалегідь заготовлену таблицю на дошці вчитель записує суму вартостей всіх зошитів, знайдену учнями, і знаки запитання. Учні складають задачу на пропорційний поділ з двома запитаннями:

Скільки грошей заплатили за зошити в лінійку?

Скільки грошей заплатили за зошити в клітинку?".

Вчитель повідомляє, що ці два запитання можна замінити одним.

Чи можна одразу дізнатися, скільки грошей заплатили за зошитив лінійку? (Ні).

Що треба знати, щоб дізнатися, скільки грошей заплатили за зошити в лінійку? (Ціну зошита і кількість куплених зошитів у лінійку).

Чи відома кількість зошитів у лінійку? (Відома).

Чи відома ціна зошита в лінійку? (Невідома).

Що сказано про ціну зошита в задачі? (Ціна зошита в лінійку і клітинку однакова).

Чи можна дізнатися, скільки зошитів купили на 90 коп.? (Можна).Складіть план розв'язування задачі.

Далі учням пропонують розв'язати задачу на пропорційний поділ самостійно.

1. За 4 м шовку заплатили 80 грн. Яка ціна 1 м шовку?

80 : 4 = 20 (грн.)

2. У 6 банках 12 л вишневого соку. Скільки літрів соку в 1 банці?

12 ? 6 = ? (л).

В одному сувої 12 м сукна, а в другому - 8 м. Скільки метрів сукна у двох сувоях разом? (+).

В одному бідоні 10 л молока. Скільки літрів молока у 3 таких бідонах? (*).

Поступово вводяться задачі на пропорційне ділення з іншими трійками величин.

Задача. Двоє мулярів мурували будинок, одержуючи за робочий день однакову плату. Перший муляр працював 2 дні, а другий 3 дні. Скільки грошей одержав кожен муляр, якщо разом вони одержали 500 грн?

Після ознайомлення з умовою вчитель звертає увагу учнів на характер запитання:

-- Про що треба дізнатися в задачі? (Скільки грошей одержав кожен муляр).

Що означає вираз «кожен муляр»? (Це означає, скільки грошей одержав перший муляр і скільки другий).

Отже треба знайти відповідь на два окремих запитання:

1) Скільки грошей одержав перший муляр?

2) Скільки грошей одержав другий муляр?

Далі учні розв'язують задачу самостійно, користуючись коротким записом умови.

Задачу учні розв'язують окремими діями. Підсумовуючи роботу, вчитель повторює весь хід міркування, властивий задачам на пропорційне ділення. Для узагальнення способу розв'язування задач на пропорційне ділення корисно практикувати вправи на перетворення задач. Наприклад, можна за задачею на знаходження четвертого пропорційного скласти задачу на пропорційне ділення. Такі вправи допоможуть дітям побачити схоже в способах розв'язування.

2.2 Формування умінь розв'язувати задачі на пропорційне ділення

У початкових класах учні розв'язують задачі майже на кожному уроці математики, міра навантаження при цьому різна. Для ознайомлення з новими видами задач здебільшого відводяться окремі уроки. Певна частина таких уроків планується також для розвитку вмінь учнів розв'язувати задачі. На уроках, присвячених вивченню нового арифметичного матеріалу чи застосуванню нових знань для розв'язання задач, відводиться в середньому 15-20 хвилин.

При розв'язуванні задачі нового виду учень повинен сприйняти її в цілому, застосувати певні знання чи прийоми обчислень в нових умовах, а також усвідомити нові функції об'єкта. Отже, розв'язування задач -- це творчий процес. Враховуючи вимоги, які ставляться щодо проблемного навчання, вчитель має спрямовувати учнів на самостійне розв'язування задач за допомогою відповідних підготовчих вправ чи засобів унаочнення, своєчасно виявляти помилкові міркування в процесі розв'язування і подавати їм допомогу (але не послаблювати вольових зусиль), підтримувати емоційний тонус і впевненість у тому, що кожен з них спроможний самостійно розв'язати задачу.

У підвищенні активності учнів під час розв'язування задач важлива роль відводиться засобам контролю і самоконтролю. Під час ознайомлення та розбору задачі контрольними запитаннями можуть бути такі:

Що відомо в задачі? Що невідомо?

Що означає число, про яке йдеться в задачі?

Чому не можна розв'язати задачу однією дією? Скільки дій треба виконати, щоб розв'язати задачу?

Якого даного не вистачає щоб знайти відповідь на запитання задачі?

У процесі самостійної роботи (після розбору задачі або одразу після ознайомлення з нею) особливе значення має безпосереднє спостереження вчителя за роботою учнів, за їх записами в зошиті. Час, протягом якого учні записують розв'язання, треба повністю відводити для контролю і подання індивідуальної допомоги.

1. Розглянь малюнок і розв'язання задачі.

21 кг

Скільки банок на верхній поличці? (3).

Скільки банок на нижній поличці? (4).

Скільки всього банок? (7).

Яка маса варення в усіх банках? (21 кг).

Як дізнатися, яка маса варення в одній банці? (Всю масу поділити на кількість банок з варенням).

Розв'язання.

1) 3+4 = 7 (б.) - всього банок з варенням;

2) 21 : 7 = 3 (кг) - маса варення в одній банці.

Відповідь: маса варення в 1 банці 3 кг.

2. Розглянь малюнки, склади задачі і запиши розв'язання.

1. Скільки важить одна упаковка з печивом?

35 кг

2. Скільки олівців в одній коробці?

42 олівці

3. Яка ціна 1 метра тканини?

57 грн.

4. Яка ціна одного м'яча?

35 грн.

5. Купили два відрізи однакової тканини. У першому відрізі було 4м, а в другому - 5 м. За обидва відрізи заплатили 72 грн. Скільки грошей заплатили за кожний відріз?

І - 4 м - ? 72 грн

ІІ - 5 м - ?

Про що запитується в задачі? (Скільки грошей заплатили за кожний відріз).

Що означає вираз «кожний відріз»? (Це означає, що треба дізнатися, скільки грошей заплатили за перший відріз і скільки за другий).

Отже, треба знайти відповіді на два окремих запитання:

Скільки грошей заплатили за перший відріз?

Скільки грошей заплатили за другий відріз?

Що треба знати, щоб відповісти на ці запитання? (Треба знати ціну одного метра тканини).

Як дізнатися про ціну 1 метра тканини? (Треба вартість усієї тканини поділити на кількість метрів у двох відрізах).

Розглянь розв'язання.

1) Скільки метрів тканини у двох відрізах?

5 + 4 = 9 (м)

2) Яка ціна одного метра тканини?

72 : 9 = 8 (грн.)

3) Скільки грошей заплатили за перший відріз?

8 . 4 - 32 (грн.)

4) Скільки грошей заплатили за другий відріз?

8 - 5 = 40 (грн.)

Відповідь: 32 гривні і 40 гривень.

Перевірка: 32 + 40 = 72 (грн.).

Складаємо вирази: 72 : (5 + 4) * 4 = 32.

72 : (5 + 4) * 5 - 40.

6. Два однакові автомобілі перевезли 119 т вантажу. Перший автомобіль зробив 9 рейсів, а другий - 8. Скільки тонн вантажу перевіз кожний автомобіль?

І - 9 р. - ? 119 т

ІІ - 8 р. - ?

Користуючись зразком, дай відповіді на запитання:

ѕ Про що запитується в задачі?

ѕ Що означає вираз «кожний автомобіль»?

ѕ Отже, на які два окремих запитання треба дати відповіді?

Що треба знати, щоб відповісти на запитання задачі?

ѕ Як дізнатися, скільки тонн вантажу перевозить автомобіль за один рейс?

ѕ Склади план і запиши розв'язання задачі.

ѕ 9 + ? = ? (р.) - усього рейсів;

ѕ 119 : ? = ? (т) - перевозить 1 автомобіль за 1 рейс;

ѕ ? * ? = ? (т) - перевіз перший автомобіль;

ѕ ? * ? = ? (т) - перевіз другий автомобіль.

Відповідь: 63 т вантажу, 56 т вантажу.

Склади вирази: 119 : (9 + ?) * ? = ?;

119: (9 + ?)*? = ?.

7. З першої ділянки накопали 7 мішків картоплі, а з другої - 8 таких самих мішків картоплі. Всього накопали 750 кг картоплі. Скільки кілограмів картоплі накопали з кожної ділянки?

Про що йдеться в задачі? (Про картоплю, яку накопали з двох ділянок).

Скільки мішків картоплі накопали з першої ділянки? (7).

Скільки мішків картоплі накопали з другої ділянки? (8).

Скільки кілограмів картоплі накопали з двох ділянок? (750 кг).

Про що запитується в задачі? (Скільки кілограмів картоплі накопали з кожної ділянки).

Міркуй далі сам.

Запиши розв'язання задачі і поясни, про що дізналися у кожній дії.

1)? + ? = ? (м.);

? : ? = ? (кг);

? * ? = ? (кг);

? * ? = П (кг).

Відповідь: 350 кг картоплі, 400 кг картоплі.

Склади вирази: 750 : (? + ?)-? = 350;

750 :(? + ?)*? = 400.

8. Пасажирський літак за 2 рейси пролетів 3360 км. Перший рейс він пролетів за 4 год, а другий - за 3 год. Яка довжина кожного рейсу, якщо літак увесь час летів з однаковою швидкістю?

І - 4 год - ? 3360 км

ІІ - 3 год - ?

Розв'яжи задачу за даним планом.

Скільки часу літак був у польоті?

Яка швидкість літака?

Яку відстань пролетів літак за 4 год?

Яку відстань пролетів літак за 3 год?

Відповідь: 1920 км, 1440 км.

Склади вирази: ? : (? + ?)- 4 = 1920;

(? + ?). 4 = 1440.

9. Першого разу на склад завезли 2 вагони бурого вугілля, а другого - 4 таких самих вагони. Всього завезли 96 т. Скільки тонн вугілля завезли кожного разу?

Вказівка. Це задача на три дії.

У першій дії дізнайся, скільки всього було вагонів з вугіллям.

У другій дії дізнайся про масу вугілля в одному вагоні.

Відповідь: 32 т вугілля, 64 т вугілля.

10. На одну підводу поклали 4 мішки жита, а на другу - 3 таких мішки. У мішках було 420 кг жита. Скільки кілограмів жита поклали на кожну підводу? Відповідь: 240 кг жита, 180 кг жита.

11. Петрик купив 2 альбоми, а Івасик - 3 таких альбоми. За всі альбоми вони заплатили 10 грн. Скільки грошей заплатив за альбоми Петрик, а скільки - Івасик?

Відповідь: 4 гривні, 6 гривень.

12. Добери числові дані і розв'яжи задачу.

В одній пачці було ? зошитів, а в другій - ?. За всі зошити заплатили ? грн. Скільки окремо грошей заплатили за кожну пачку зошитів?

13. Господиня купила 3 кг яблук для себе і 2 кг для сусідки. За всі яблука господиня заплатила 10 грн. Скільки грошей має віддати сусідка господині?

Відповідь: 4 гривні.

14. Постав запитання і розв'яжи задачу.

Дві групи дітей збирали жолуді. Перша група зібрала 3 мішки жолудів, а друга - 4 таких мішки. Всього діти зібрали 280 кг жолудів. Скільки... ?

Відповідь: 120 кг жолудів, 160 кг жолудів.

15. Відшукай зайві дані і розв'яжи задачу.

За перший день швачка пошила 3 однакових плаття, а за другий день - 2 таких плаття. На всю роботу вона витратила 15 м тканини. На третій день закупили ще 20 м тканини. Скільки метрів тканини витрачала швачка кожного дня?

Відповідь: 9м тканини, 6 м тканини.

Перевірка: ? + ? = ?.

16. Склади задачу про однакові ящики з помідорами за коротким записом.

І - 4 ящ. - ? 105 кг

ІІ - 3 ящ. - ?

Відповідь: 60 кг помідорів, 45 кг помідорів.

17. Склади подібну задачу про дві машини з мішками пшениці.

18. Запиши розв'язання задачі.

Дві бригади зібрали 5 корзин моркви. Перша бригада зібрала 36 кг, а друга - 24 кг. Скільки корзин моркви зібрала кожна бригада?

І - 36 кг - ? 5 корзин

ІІ - 24 кг - ?

1 (+); 2 (:); 3 (:); 4 (:).

Відповідь: 3 корзини моркви, 2 корзини моркви. Перевірка: 3 + 2 = 5.

19. З двох ділянок зібрали 15 мішків картоплі. З першої зібрали 350 кг картоплі, а з другої - 400 кг. Скільки мішків картоплі зібрали з кожної ділянки?

І - 350 кг - ? 15 мішків

ІІ - 400 кг - ?

Відповідь: 7 мішків картоплі, 8 мішків картоплі.

20. Два однакові автомобілі зробили 17 рейсів. Перший автомобіль перевіз 63 т вантажу, а другий - 56 т. Скільки рейсів зробив кожний автомобіль?

Відповідь: 9 рейсів, 8 рейсів.

21. 20 л молока розлили у 4 каструлі і 6 банок. Місткість каструлі і банки однакова. Скільки літрів молока було в банках?

Зміни запитання задачі так, щоб задача розв'язувалася на 4 дії.

Відповідь зміненої задачі: 8 л молока і 12 л молока.

22. Добери умову подібної задачі до запитання:

Скільки літрів бензину заправили в кожний автомобіль?

23. Знайди помилку у розв'язанні задачі і розв'яжи правильно.

Бензин був у 3 каністрах. У перший автомобіль заправили 40 л бензину, а в другий - 20 л. Скільки каністр бензину було заправлено в кожний автомобіль?

Розв'язання.

40 + 20 = 60 (л) - всього бензину;

60 : 3 = 20 (л) - в одній каністрі;

20 : 20 = 1 (к.) - в перший автомобіль;

3 + 1 = 4 (к.) - в другий автомобіль.

Відповідь: ? к. і ? к.

24. Склади задачу за коротким записом і розв'яжи її.

Відповідь: 9 вагонів і 7 вагонів.

Розглянемо задачі на пропорційне ділення з трійкою величин «швидкість», «час», «відстань».

Задача. Автотуристи першого дня проїхали 360 км, другого -- 240 км. На весь шлях затратили 10 год. Скільки годин були в дорозі туристи щодня, якщо вони їхали з однаковою швидкістю?

На дошці подано план розв'язання задачі.

Скільки кілометрів проїхали автотуристи за 10 год?

Скільки кілометрів за годину проїжджали автотуристи?

Скільки годин були в дорозі туристи першого дня?

Скільки годин були в дорозі туристи другого дня?

-- До кожного запитання плану розв'язання задачі виберіть дію.

Розв'яжіть задачу окремими діями без письмового пояснення і запишіть скорочену відповідь. Поясніть розв'язання задачі.

--До першого запитання задачі виберемо дію додавання. Якщо першого дня автотуристи проїхали 360 км, а другого--240 км, то за 10 год вони проїхали число кілометрів, що дорівнює сумі чисел 360 і 240. Буде 600. За 10 год автотуристи проїхали 600 км. Щоб дати відповідь на друге запитання, треба виконати дію ділення. Щоб знайти швидкість, треба відстань поділити на час. 600 поділити на 10, буде 60. Автотуристи проїжджали 60 км/год.

До третього запитання плану задачі треба вибрати дію ділення. Щоб знайти час руху автотуристі в першого дня, треба відстань поділити на швидкість. Першого дня вони проїхали 360 км зі швидкістю 60 км/год. 360 поділити на 60, буде 6. Першого дня автотуристи були в дорозі 6 год. Щоб дати відповідь на четверте запитання задачі, треба виконати дію ділення. Щоб знайти час, треба відстань поділити на швидкість. Другого дня туристи проїхали 240 км зі швидкістю 60 км/год. 240 поділити на 60, бу- де 4. Другого дня автотуристи були в дорозі 4 год.

Розглянемо задачі на пропорційне ділення з іншою трійкою величин.

Задача. Два робітники працювали однакову кількість днів і відремонтували 80 двигунів. Один робітник ремонтував за день 6 двигунів, а другий -- 4. Скільки двигунів відремонтував кожен робітник?

На дошці записано розв'язання задачі.

1) 6+4=10;

2) 80:10 = 8;

3) 6*8=48;

4) 4*8 = 32.

Відповідь

-- Про що дізнавалися кожною дією?

--У першій дії дізналися про число двигунів, які відремонтували обидва робітники за день. їх число дорівнює сумі чисел 6 і 4. Буде 10.10 двигунів відремонтували обидва робітники за день. У другій дії дізналися про кількість днів, протягом яких ремонтували робітники 80 двигунів. За один день робітники ремонтували 10 двигунів і відремонтували 80 двигунів. Треба дізнатися, скільки разів число 10 вміщується в числі 80. 80 поділити на 10, буде 8.8 днів ремонтували робітники двигуни. Якщо перший робітник за день ремонтував 6 двигунів, то за 8 днів він відремонтував у 8 разів більше. Треба 6 помножити на 8, буде 48. Перший робітник відремонтував 48 двигунів. Якщо другий робітник за годину ремонтував 4 двигуни, то за 8 днів він відремонтує у 8 разів більше. Треба 4 помножити на 8, буде 32. Другий робітник відремонтував 32 двигуни.

Розглянемо задачі на пропорційне ділення з іншою трійкою величин.

Задача 1. Кондитерська фабрика випекла за перший день 640 кг печива, а за другий -- 960 кг такого самого печива. Готове печиво розклали в 200 однакових ящиків. Скільки ящиків печива випекла фабрика першого і другого дня окремо?

У комплексній змінній таблиці подано скорочений запис розв'язання задачі.

Складіть план розв'язання задачі.

Скільки кілограмів печива випекла фабрика за 2 дні? Скільки кілограмів печива в одному ящику? Скільки ящиків печива випекла фабрика першого дня? Скільки ящиків печива випекла фабрика другого дня?

Розв'яжіть задачу, записавши окремі дії. Запишіть скорочену відповідь задачі.

--Прочитайте відповідь задачі.

Задача 2. Потяг везе 1000 т вантажу. В ньому однакова кількість сорокатонних і шістдесятитонних вагонів. Скільки сорокатонних і шістдесятитонних вагонів окремо було в потязі?

У комплексній змінній таблиці подано скорочений запис задачі, на дошці записано початок її розв'язання.

Запис на дошці

1)40 + 60=100; 2)1000:100 = ...;

3)……………….. ;

4)………………… .

Відповідь.

-- Запишіть розв'язання задачі. Поясніть її розв'язання.

Задача 3. З однієї грядки зібрали 16 однакових мішків картоплі, а з другої--4 таких мішки. Маса всієї зібраної картоплі 650 кг. Скільки кілограмів картоплі зібрали з кожної грядки окремо?

У комплексній змінній таблиці подано скорочений запис задачі.

На дошці записано вирази: 650: (6 + 4) * 6; 650: (6 + 4) * 4.

-- Поясніть, чому ці вирази є розв'язком задачі.

--Якщо з однієї грядки зібрали 6 мішків картоплі, з другої -- 4 таких мішків, то число всіх мішків картоплі дорівнює сумі чисел 6 і 4.3 умови задачі відомо, що всього зібрали 650 кг.

Якщо 650 поділити на число всіх мішків картоплі, то знайдемо масу картоплі в одному мішку. Частка від ділення числа 650 на суму чисел 6 і 4 -- це маса картоплі в одному мішку.

Помноживши частку числа 650 на суму чисел 6 і 4 на число мішків зібраних з першої грядки, знайдемо масу картоплі, зібраної з першої грядки. Якщо помножити вираз 650 : (6 + 4) на 4, то знайдемо, скільки кілограмів картоплі зібрали з другої грядки.

Задача 4. За перший день у магазин завезли 540 м тканини, а за другий -- 460 м такої тканини. Всього в магазин завезли 50 сувоїв тканини.

Скільки сувоїв тканини завезли кожного дня в магазин?

У комплексній змінній таблиці подано скорочений запис задачі.

-- Користуючись схемою, поясніть, як знайти, скільки сувоїв тканини завезли в перший магазин (в другий магазин).

Значна увага звертається на розв'язування учнями задач на пропорційне ділення ІІІ виду.

Задача. Костюм для дорослого коштує 220 грн., а для дитини -- 80 грн. Магазин продав однакову кількість костюмів для дорослих і дітей на суму 2 400 грн. Скільки гривень коштували костюми для дорослих і дітей окремо?

У комплексній змінній таблиці подано скорочений запис задачі.

-- Користуючись схемою, розв'яжіть задачу окремим діями без письмового пояснення. Запишіть скорочену відповідь. Прочитайте розв'язання.

Також значна увага звертається на самостійне розв'язування задач учнями.

-- Складіть і розв'яжіть задачу за скороченим записом.

Також доцільно при розв'язуванні задач на пропорційне ділення використовувати прийом диференційованого підходу -- урізноманітнення вимог до розв'язання задачі на пропорційне ділення, тобто скласти вирази, які будуть розв'язком задачі.

У початкових класах рівень уміння учнів розв'язувати задачі є визначальним для характеристики стану засвоєння математики в цілому. Основні методи перевірки -- це усне опитування і письмові роботи учнів. Опитування, в свою чергу, включає: усне розв'язування простих і складених задач, розв'язування задач із записами на дошці чи на окремих аркушах, пояснення розв'язань задач, різні види творчої роботи над задачею (порівняння, складання задач тощо).

2.3 Результати експериментального дослідження

Наше дипломне дослідження особливостей методики навчання молодших школярів розв'язуванню задач на пропорційне ділення мало теоретико-експериментальний характер. У 2007-2008 навчальному році на основі напрацьованої теоретичної інформації реалізувалися основні положення удосконаленої методики розв'язування задач на пропорційне ділення.

Експериментальне дослідження проводилося у Ренівській ЗОШ І-ІІІ ступенів Зборівського району Тернопільської області. Ним було охоплено 40 учнів третіх класів (19 учнів експериментального і 21 учень контрольного).

У процесі розв'язування задач на пропорційне ділення ми використовували такі способи допомоги учням:

1) спрощення одного з варіантів самостійної роботи;

2) індивідуалізація вимог до загального завдання;

3) індивідуальна допомога;

4) додаткові завдання до основного виду роботи.

Спрощення одного з варіантів самостійної роботи полягає у тому, що завдання для самостійної роботи готують у двох однакових за навчальною метою варіантах. Проте в одному варіанті дається легше задача. Це може бути задача, яку вже розв'язували в класі, або аналогічна, де замінено числові значення. При цьому числові дані добираються так, щоб прийоми виконання дій над ними були вже добре засвоєні, оскільки учні повинні зосереджувати увагу не на обчисленні, а на зв'язках між величинами.

Індивідуалізація вимог до загального завдання визначається тим, що для всіх учнів на дошці записується одне завдання, а диференціація здійснюється в процесі інструктажу:

а) до умови задачі ставлять два-три питання. Кожен учень знаходить відповіді на стільки запитань, на скільки зможе. Зрозуміло, що бажано відповісти на всі запитання.

б) урізноманітнення вимоги до розв'язання задачі полягає в тому, що всім учням пропонується одна і та сама задача, причому одразу дається й додаткове завдання до неї. Такими додатковими завданнями можуть бути: розв'язати задачу іншим способом (складанням виразу чи рівняння), скласти і розв'язати обернену задачу, записати план розв'язання, змінити запитання задачі і знайти на нього відповідь.

Індивідуальна допомога передбачає подачу завдань у двох варіантах. В одному з них міститься додаткова інформація, розрахована на допомогу в розв'язанні задачі. Диференціація при цьому реалізується найчастіше через індивідуальні картки:

а) конкретизація задачі - учитель дає учневі вказівку щодо дій, які треба виконати в процесі розв'язування задачі, або дає на картці рисунок до умови задачі чи короткий її запис;

б) початок розв'язування задачі - вчитель дає вказівки щодо початку розв'язування, причому їх слід поєднувати з аналізом задачі і закінчувати виділенням числових даних і запитанням для першої дії;

в) зразок розв'язання - вчитель подає на картці дві задачі одного виду, з яких одну вже розв'язано, і каже: “Прочитай першу задачу. Розглянь її розв'язання. Подумай, що визначили за допомогою першої та другої дій. Прочитай другу задачу і порівняй її з першою. Розв'яжи другу задачу”;

г) подання схеми або плану розв'язання задачі - схему розв'язання задачі здебільшого супроводжують коментуванням кожної дії чи виразу загалом;

д) додаткові пояснення до розв'язання задач - правила, тлумачення деяких залежностей тощо. Наприклад: щоб знайти невідоме зменшуване, треба до різниці додати від'ємник; щоб скласти обернену задачу, треба одне з даних (яке саме?) вважати невідомим.

На етапі закріплення вміння розв'язувати задачі на пропорційне ділення самостійну роботу учнів початкових класів ми організовували так, як показано на схемі.

Схема

Під час колективного аналізу задачі (І етап) усно складався план її розв'язання. Учні коротко записували розв'язок задачі і показували учителю. Хто правильно зробив записи, виконував завдання І варіанту, хто помилився - працював з учителем над завданнями ІІ варіанту.

Для другого етапу ми підбирали задачі для поступового переходу до самостійного їх розв'язання. На наступних етапах (ІІ-ІV) роботу ми організовували у такий спосіб.

ІІ етап

І варіант. Самостійно запиши в зошит розв'язання задачі за допомогою дій з поясненням.

ІІ варіант. Фронтальна робота. Аналіз подібної задачі (змінено тільки числові дані, щоб полегшити сприймання сюжету задачі). Запис розв'язку з коментуванням.

ІІІ етап

І варіант. Самостійно розв'яжи задачу (змінено сюжет і числові дані).

ІІ варіант. Фронтальна робота. Аналіз подібної задачі (змінено сюжет попередньої задачі) і самостійний запис розв'язування.

ІV етап

І варіант. Склади задачу за схемою і запитанням.

ІІ варіант. Самостійно розв'яжи подібну задачу (змінено сюжет і числові дані).

Відповідно до проаналізованих етапів ми використовували чотири види робіт різного рівня складності:

1) запис розв'язання задачі;

2) аналіз і розв'язання задачі;

3) порівняння задач і їх розв'язання;

4) складання задач за схемою (таблицею) та їх розв'язання.

Наведемо приклади даних завдань.

І. - Запиши розв'язання задачі.

ІІ. - Проаналізуй задачу і розв'яжи її.

ІІІ. - Порівняй задачі і розв'яжи їх.

Також практикувалося розв'язування задач на пропорційне ділення під час усних обчислень. Наведемо приклади таких завдань.

-- Постав запитання до таких задач.

1. На одній машині 40 мішків картоплі, а на другій - 20. Скільки... ? (+).

Маса одного мішка з цукром 50 кг. Яка маса... ? (*)

Три олівці коштують 90 к. Яка... ? (:).

ІІ. Правильно добери дію

В одній каністрі 15 л бензину, а в другій - 20 л. Скільки літрів бензину у двох каністрах?

У 4 банках 12 кг варення. Яка маса варення в одній банці?

В одній банці 4 кг варення. Скільки кілограмів варення в 3 таких банках?

Ціна одного олівця 10 к. Яка вартість 6 таких олівців?

В одному мішку 20 кг картоплі, а в другому - на 30 кг більше. Яка маса другого мішка з картоплею?

Ці та багато інших різноманітних задач можна використовувати для усного розв'язання у 4-му класі, для підготовчої роботи, щоб діти краще опанували розв'язання складених задач. Адже для формування вміння розв'язувати задачі на пропорційне ділення важливий кожен етап роботи.

Головне ж методичне правило -- не поспішати переходити до нового завдання, поки не вичерпані всі або майже всі дидактичні можливості, закладені в попередньому. Про це вчителю слід пам'ятати протягом усього початкового курсу математики, і заохочувати прагнення дитини до занять, прагнути, щоб вона відчула позитивні емоції від результатів своєї праці.

Ми враховували, що розв'язування задач на пропорційне ділення неможливе без чіткого вміння розв'язувати задачі способом зведення до одиниці. Тобто для того, щоб відповісти на запитання задачі, треба знати величину однієї одиниці (наприклад, ціну, масу одного ящика, продуктивність праці тощо), яка є сталою величиною. Отже, під час розв'язування підготовчих задач у дітей формувалися вміння знаходити однакову величину -- величину однієї одиниці за загальними значеннями двох інших величин, що є частиною вміння розв'язувати задачі на пропорційне ділення.

Експеримент проводився у 4-му класі. Тому відповідно до програми даного класу ми розробили систему завдань. Робота, яка проводилася нами в експериментальному класі, позитивно вплинула на підвищення якості знань й умінь молодших школярів. Так, учні експериментального класу значно краще виконали запропоновані завдання, ніж учні контрольного.

Для учнів експериментального і контрольного класів ми пропонували два комплексних варіанти завдань, побудованих відповідно до розробленої нами добірки задач на пропорційне ділення.

Метою розробленої добірки вправ було формування таких умінь:

виділення задач на пропорційне ділення серед інших задач;

всебічний аналіз задачі;

пояснення трійки величин та їх взаємовідношення;

пояснення вибору дії;

самостійний запис розв'язання задачі даного виду в зошит;

розв'язування задач на пропорційне ділення за поданою схемою чи планом розв'язання;

порівняння пар задач на пропорційне ділення;

складання задач даного виду за таблицею, схемою, малюнком;

самостійне розв'язання подібної задачі.

Розроблена нами методика складання диференційованих завдань ґрунтувалася на рівні засвоєння знань. Було виділено три рівні:

1. Репродуктивний рівень - уміння відтворювати ознаки понять, законів, репродукування відомих способів дій дає змогу розв'язувати завдання за взірцем, що не сприяє формуванню достатньо узагальнених і міцних зв'язків.

2. Конструктивний рівень - міцно засвоєні алгоритми виконання завдань дають змогу використовувати одержані раніше знання у змінених ситуаціях, що сприяє встановленню одиничних зв'язків між поняттями, поняттям і законом і т. ін. Це, однак, не дає змоги робити глибокі узагальнення, застосовувати знання в нових ситуаціях.

3. Творчий рівень - міцно засвоєні основні положення дають можливість забезпечити високий рівень узагальнення знань, встановити міжпредметні зв'язки, що, в свою чергую сприяло творчому використанню одержаних знань в нових ситуаціях і дало змогу виявити нові причинно-наслідкові зв'язки, зробити узагальнення і висновки.

Результати формуючого експерименту свідчать, що використання удосконаленої методики позитивно вплинуло на розвиток умінь і навичок учнів експериментального класу розв'язувати задачі на пропорційне ділення. Таким чином, ми отримали результати, що підтвердили наше припущення: уміння і навички учнів експериментального класу розв'язувати задачі на пропорційне ділення краще сформовані в учнів експериментального класу, ніж контрольного (див. діаграму).

Діаграма. Сформованість умінь розв'язувати задачі на знаходження четвертого пропорційного в експериментальному та контрольному класах (на початку та у кінці експерименту)

Таким чином, експериментальне дослідження показало, що удосконалена методика є ефективною для розвитку умінь і навичок розв'язувати арифметичні задачі на пропорційне ділення.

ВИСНОВКИ

Отже, задачі становлять специфічний розділ програми, матеріали якого учні мають засвоїти, і виступають як дидактичний засіб навчання, виховання і розвитку школярів. Проте в учнів середніх класів виникають чималі труднощі під час розв'язування задач на пропорційне ділення, однією з причин чого є недостатня сформованість у початкових класах понять про трійки величин та їх співвідношення.

Термін «задача» у початковому курсі математики вживається в різних значеннях. У найширшому плані задача передбачає необхідність свідомого пошуку відповідних засобів для досягнення мети, яку добре видно, але яка безпосередньо недосяжна. У психологічному аспекті задача - це свідома мета, що існує в певних умовах, а дії -- процеси або акти, спрямовані на її досягнення. Під математичною задачею розуміють будь-яку вимогу обчислити, побудувати, довести що-небудь, що стосується кількісних відношень і просторових форм, створених людським розумом на основі знань про навколишній світ. Арифметичною задачею називають «вимогу знайти числове значення деякої величини, якщо дано числові значення інших величин і існує залежність, яка пов'язує ці величини як між собою, так і з шуканою.

У системі навчання математики учнів початкових класів переважають арифметичні задачі. Робота над цими задачами дає можливість реалізувати ряд функцій у вивченні математики: виховну, розвивальну, дидактичну і контролюючу. Оптимізація навчальних, виховних і розвивальних функцій задач можлива за умови, що учні вже мають певні уявлення про структуру задачі, володіють умінням розв'язувати задачі, які можна використовувати як дидактичний засіб. Задачі складаються на основі матеріалів спостережень за явищами природи, практичної діяльності людей, математичних закономірностей, інколи за казковими, фантастичними сюжетами. Під час складання задачі умова не повинна містити неправильні твердження, числові дані мають бути правдоподібними, реальними, умова і запитання мають бути пов'язані між собою.

Важливим елементом задачі, що дає змогу досягти мети, є розв'язування, тобто процес перетворення її умови, який здійснюється на основі знань з тієї галузі, до якої належить задача, певних логічних правил виводу і особливих правил евристичного характеру. Цей процес складається з таких етапів: аналіз задачі, пошук плану розв'язування; здійснення знайденого плану розв'язування (розв'язання); з'ясування, що здобутий результат задовольняє вимогу задачі (перевірка розв'язання); аналіз розв'язування (з'ясування прийомів розв'язування, розгляд інших способів розв'язування). При цьому виділяють здебільшого такі чотири етапи: ознайомлення із змістом задачі; аналіз задачі і відшукання плану розв'язування; розв'язання задачі; перевірка розв'язування задачі.

У початкових класах розв'язують типові задачі. До типових належать задачі на знаходження четвертого пропорційного (на спосіб прямого і оберненого зведення до одиниці та спосіб відношень), на пропорційне ділення, на знаходження числа за двома різницями, на знаходження середнього арифметичного. Методика розв'язування типових задач принципово не відрізняється від розгляду будь-яких інших задач нового виду, тобто включає підготовку, ознайомлення і розвиток умінь. Проте деякі особливості роботи над типовими задачами необхідно враховувати, оскільки типові задачі пов'язані з пропорційними величинами. Розв'язування їх ґрунтується на знанні відповідних зв'язків між величинами. Ознайомлення з величинами провадиться одночасно з розкриттям зв'язків між ними. Зв'язки формулюються у вигляді висновків.

Задачі на пропорційне ділення вводять у 4 класі. Ці задачі включають дві змінні величини, пов'язані з пропорційною залежністю, і одну сталу, причому дано два або більше значень однієї змінної і суму відповідних значень другої змінної: доданки цієї суми шукані. Відповідно до кожної групи величин, пов'язаних пропорційною залежністю, можна виділити 6 видів задач на пропорційне ділення, чотири з яких - з прямою пропорційною залежністю величин, а дві - з оберненою. У початкових класах розв'язують задачі на пропорційне ділення лише з прямою пропорційною залежністю величин і лише способом знаходження сталої величини.

У процесі ознайомлення з задачами на пропорційне ділення краще пропонувати їх не в готовому вигляді, а скласти разом з дітьми із задач на знаходження четвертого пропорційного. Це допоможе дітям побачити зв'язки між задачами цих видів, що швидше приведе учнів до узагальнення способу їх розв'язування. Для узагальнення способу розв'язування розглядають задачі на пропорційне ділення I виду з іншими групами величин, після чого вводять задачі II виду, а трохи пізніше - III і IV видів. При цьому поряд із розв'язуванням готових задач слід включати вправи творчого характеру на складання і перетворення задач.

Наше дипломне дослідження особливостей методики навчання молодших школярів розв'язуванню задач на пропорційне ділення мало теоретико-експериментальний характер. У процесі розв'язування задач на пропорційне ділення ми використовували удосконалену методику розв'язування таких задач. Для учнів експериментального і контрольного класів ми пропонували два комплексних варіанти завдань, побудованих відповідно до розробленої нами добірки задач на пропорційне ділення. Метою розробленої добірки задач формування таких умінь: виділення задач на пропорційне ділення серед інших задач; всебічний аналіз задачі; пояснення змісту трійок величин; пояснення вибору дії; самостійний запис розв'язання задачі даного виду в зошит; розв'язування задач на пропорційне ділення за поданою схемою чи планом розв'язання; порівняння пар задач на пропорційне ділення; складання задач даного виду за таблицею, схемою; самостійне розв'язання подібної задачі.

Робота, яка проводилася нами в експериментальному класі, позитивно вплинула на підвищення якості математичних знань й умінь молодших школярів, тобто учні експериментального класу значно краще виконали запропоновані завдання, ніж учні контрольного. Результати формуючого експерименту свідчать, що використання запропонованої системи задач позитивно вплинуло на розвиток умінь і навичок учнів експериментального класу розв'язувати задачі на пропорційне ділення. Отримані результати констатуючого експерименту підтвердили гіпотезу, що використання удосконаленої методики розв'язування задач на основі врахування потенційних можливостей досвіду молодших школярів позитивно вплинули на формування умінь учнів експериментального класу розв'язувати задачі даного виду.

Таким чином, використання удосконаленої методики розв'язування задач на пропорційне ділення є ефективним засобом формування умінь і навичок розв'язувати задачі загалом. При цьому підвищується продуктивність уроку, його організація сприяє створенню найкращих умов для активізації навчально-пізнавальної діяльності школярів, поглиблює знання з математики і сприяє розвитку пізнавальних інтересів молодших школярів.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах / Под ред. М. Моро, А. Пышкало. - М.: Просвещение, 1977. - 342 с.

2. Бабанский Ю.К. Оптимизация процесса обучения: Общедидактический аспект. - М.: Педагогика, 1977. - 314 с.

3. Бантова М.О. Методика викладання математики в початкових класах. - К.: Вища школа, 1982. - 288 с.

4. Басангова Р.Е. Стимулювання пізнавальної діяльності учнів в ході розв'язування задач // Поч. школа. - 1989. - №1. - С. 40-44.

5. Белова Е.С. Развитие диалога в процессе решения школьниками мыслительных задач // Вопр. психологии. - 1991. - №2. - С. 148-153.

6. Богданович М.Б. Дидактичний матеріал з математики для 3-го класу. - К.: Рад. школа, 1977. - 34 с.

7. Богданович М.Б. Методика розв'язування задач у початковій школі. - К.: Вища школа, 1990. - 183 с.

8. Богданович М.Б., Козак М.В., Король Я.А. Методика викладання математики в початкових класах: Навч. пос. - Тернопіль: Навч. книга - Богдан, 2001. - 368 с.

9. Богданович М.В. Математика: Підручник для 3 кл. чотириріч. поч. шк. - К.: Освіта, 1994. - 224 с.

10. Богданович М.В. Математика: Підручник для 4 кл. чотириріч. поч. шк. - К.: Освіта, 1994. - 226 с.

11. Богданович М.В. Урок математики в початковій школі: Пос. для вчителя. - К.: Рад. школа, 1990. - 192 с.

12. Василенко І.З. Методика викладання математики в початкових класах. - К.: Просвіта, 1971. - 376 с.

13. Возрастные возможности усвоения знаний / Под. ред. Д.Б. Эльконина, В.В. Давыдова. - М.: Педагогика, 1966. - 232 с.

14. Вопросы дидактики и психологии начального обучения / Под. ред. Б.Г. Ананьева. - Л.: Лен. НИИ пед. АПН РСФСР, 1959. - 98 с.

15. Газдун М.І. Як учити молодших школярів розв'язувати задачі // Поч. школа. - 1988. - №11. - С. 70-72.

16. Глушков И.К. Дифференцированная работа над задачами // Нач. школа. - 1985. - №2. - С. 34-35.

17. Гнеденко Б.В. Развитие мышления и речи при изучении математики // Матем. в школе. - 1991. - 31. - С. 3-9.

18. Гора Т., Логачевська С. Диференційований підхід до розв'язування текстових задач // Поч. школа. - 2002. - №1. - С. 17-22.

19. Друзь Б.Г. Творчі вправи з математики для початкових класів. - К.: Рад. школа, 1988. - 144 с.

20. Заїка А., Богданович М. Учням про задачу і процес її розв'язування // Початкова школа. - 2000. - № 11. - С. 28-29.

21. Занков Л.В. Беседы с учителем: Вопросы обучения в начальных классах. - М.: Педагогика, 1970. - 142 с.

22. Захарова А.М. Розвивальне навчання математики в початковій школі // Психол. і педагогіка. - 2000. - №1. - С. 21-27.

23. Истомина Н.Б., Шикова В.Н. Формирование умений решать задачи различными способами // Нач. школа. - 1985. - №9. - С. 50-54.

24. Король Я.А. Математика в початкових класах: Культура усного і писемного мовлення. - Тернопіль: Навч. книга - Богдан, 2000. - 160 с.

25. Король Я.А. Піднесення культури математичної мови // Поч. школа. - 1995. - №1. - С. 11-12.

26. Король Я.А. Практикум з методики викладання математики в початкових класах. - Тернопіль: Мандрівець, 1998. - 136 с.

27. Король Я.А. Розв'язування текстових задач різними способами // Актуальні проблеми розбудови національної освіти. Ч. ІІІ. - К.-Херсон, 1997. - С. 76-78.

28. Король Я.А. Формування практичних умінь і навичок на уроках математики. - Тернопіль: Навч. книга - Богдан, 2000. - 136 с.

29. Король Я.А., Чайка Н.М. Вдосконалення методики роботи над задачами геометричного змісту // Поч. школа. - 1995. - №10-11. - С. 19-22.

30. Корчевська О.П., Козак М.В. Робота над математичними задачами в 4 класі. Поурочні розробки. - Тернопіль: Астон, 2002. - 204 с.

31. Кочина Л., Листопад Н. Математика: навчальні програми для чотирирічної початкової школи // Поч. школа. - 2001. - №7. - С. 17-20.