Использование компьютерных технологий в изучении наглядной геометрии

Планирование изучения материала:

Номер пункта.	Содержание материала.	Количество часов.
8 класс. § 9. Движение.	12 ч.
82, 83 84, 85 86 87, 88 89, 90	Преобразование фигур. Свойства движения. Симметрия относительно точки. Симметрия относительно прямой. Контрольная работа. Поворот. Параллельный перенос и его свойства. Существование и единственность параллельного переноса. Сонаправленность полупрямых. Равенство фигур.	2 ч. 3 ч. 1 ч. 1 ч. 3 ч. 2 ч.

В §9 понятие «преобразование» вводится на наглядно-интуитивном уровне: «Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной». Соответственно, движение понимается как преобразование одной фигуры в другую, если оно сохраняет расстояние между точками. Важно подчеркнуть, что в учебнике А.В. Погорелова рассматриваются преобразования не всей плоскости, а только фигур. В этом случае неизвестно что происходит с остальными точками плоскости, в отличие от преобразования плоскости, где для каждой точки плоскости можно указать ее образ и прообраз. Возможно, рассмотрение преобразований фигур, а не плоскости связано с толкованием понятия движения с механической точки зрения.

Еще одна особенность учебника А.В. Погорелова состоит в том, что определение преобразований и способ построения фигур при преобразованиях как бы слиты воедино. Определения обладают высокой степенью наглядности, чем позволяют воображению легко конструировать необходимые образы.

Далее рассматриваются теоретические основы свойств движений, симметрии относительно точки и прямой. Все вводимые понятия и доказательства теорем достаточно полно проиллюстрированы, но не приводится разбор конкретных задач, чего нельзя сказать о рассмотрении вопроса о повороте плоскости около данной точки. После рассмотрения теоретических сведений представлена решенная задача на построение точки (фигуры), в которую переходит точка (отрезок) при повороте около точки О на угол 60° по часовой стрелке. Некоторое внимание уделено вопросу использования метода координат в изучении свойств преобразований, например параллельного переноса.

Заметим также, что при изучении движений такое важное понятие, как композиция движений, в учебнике А.В. Погорелова специально не определяется.

В дидактических материалах В.А. Гусева и А.И. Медяника к учебнику А.В. Погорелова «Геометрия, 7-9» представлены четыре самостоятельные работы, контрольная работа в нескольких вариантах разного уровня сложности и дифференцированные задания как продолжение и развитие самостоятельных работ, где более четко учтены индивидуальные особенности учащихся. В то же время эти задания предполагают более высокий уровень развития учащихся, так как направлены на развитие у них логического мышления. В вариантах самостоятельных и контрольной работ основной акцент делают на такие обязательные результаты обучения школьников, как:

а) представления о движении и о связи его с понятием равенства фигур;

б) построение фигур, симметричных данным, при осевой и центральной симметриях.

В.Н. Литвиненко и А.Э. Попович разработали рабочую тетрадь для 8 класса к учебнику А.В. Погорелова «Геометрия 7-11», которая является методическим пособием для занятий классов общеобразовательной школы. Она предназначена помочь организовать работу учащихся в классе и дома. К каждому из пунктов «§9. Движение» учебника приведены задачи с готовыми чертежами, которые нужно дополнить построениями и записать полученный ответ или произведенные действия. И если в дидактических материалах, рассмотренных выше, авторами представлены задачи, направленные на расширение задачного материала учебника, то рабочая тетрадь содержит задачи на закрепление базовых понятий темы.

Учебник Л.С. Атанасяна и др. «Геометрия 7-9» выгодно отличается от других. Преимущество состоит в том, что учащиеся по данному учебнику самостоятельно могут освоить понятие движения и его видов.

Планирование изучения материала:

Номер параграфа.	Содержание материала.	Количество часов.
8 класс. Глава V. Четырехугольники.	3 ч.
3	Прямоугольник, ромб, квадрат. [Осевая и центральная симметрии.] Контрольная работа.	3 ч. 1 ч.
9 класс. Глава XIII. Движения.	8 ч.
1 2	Понятие движения. Параллельный перенос и поворот. Решение задач. Контрольная работа.	3 ч. 3 ч. 1 ч. 1 ч.

Знакомство с осевой и центральной симметрией начинается в 8 классе. Эти преобразования рассматриваются не как преобразования плоскости, а как свойства геометрических фигур, в частности четырехугольников. Рассмотрение этих понятий как движений плоскости происходит в 9 классе в главе «Движения», где движение плоскости вводится как отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояние между точками. Здесь же рассматриваются основные виды движений: осевая и центральная симметрии, параллельный перенос и поворот. На примерах показывается применение движений при решении геометрических задач разной степени сложности. Кроме того, исследуется важный вопрос о связи понятий наложения и движения. Понятие наложения, на основе которого определялось равенство фигур, относится в данном курсе геометрии к числу основных понятий. Доказывается, что понятия наложения и движения являются эквивалентными: любое наложение является движением плоскости и обратно. Этот пункт «Наложения и движения» обозначен звездочкой, что говорит о необязательности его изучения. Задачный материал темы нацелен на выработку навыков построения образов точек, отрезков, треугольников при симметриях, параллельном переносе и повороте.

1. Даны две прямые a и b. Постройте прямую, на которую отображается прямая b при осевой симметрии с осью a.

2. Даны прямая a и четырехугольник ABCD. Постройте фигуру F, на которую отображается данный четырехугольник при осевой симметрии с осью a. Что представляет собой фигура F?

3. Даны точка O и прямая b. Постройте прямую, на которую отображается прямая b при центральной симметрии с центром O.

4. Даны точка O и треугольник ABC. Постройте фигуру F, на которую отображается треугольник ABC при центральной симметрии с центром O. Что представляет собой фигура F?

5. Даны треугольник, трапеция и окружность. Постройте фигуры, которые получаются из этих фигур параллельным переносом на данный вектор .

6. Посторойте отрезок A1B1, который получается из данного отрезка AB поворотом вокруг данного центра О: а) на 120° по часовой стрелке; б) на 75° против часовой стрелки; в) на 180°.

Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики «Геометрия, дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса» Л.С. Атанасяна и др. является дополнением к основному учебнику «Геометрия, 7-9». Геометрическим преобразованиям посвящена одна из глав данного пособия, в которой движение дополняется и другими преобразованиями: центральным подобием, инверсией. Решается ряд интересных задач. Этот материал может заинтересовать учащихся в предпрофильной подготовке. Он расширяет их представления о движениях и подобиях, демонстрирует возможность применения метода геометрических преобразований при доказательстве теорем и решении задач.

Б.Г. Зив разработал дидактические материалы, содержащие самостоятельные и контрольные работы, математические диктанты и проверочные работы, рекомендованные преимущественно к учебнику Л.С. Атанасяна, Б.Ф. Бутузова и др. «Геометрия, 7-9», но могут быть использованы по утверждению автора и при работе по другим учебникам. В первом и втором вариантах самостоятельных работ предлагаются задачи, для успешного решения которых учащиеся должны применить знания на уровне минимальных программных требований. Третий и четвертый варианты состоят из задач среднего уровня сложности. Решение этих задач предусматривает умение распознавать понятия в стандартных ситуациях, применять знания в стандартных условиях или при небольших отклонениях от них. Задачи третьего и четвертого вариантов по сложности примерно соответствуют большинству основных задач учебника. Пятый и шестой варианты предназначены для наиболее подготовленных учащихся. При решении задач этих вариантов требуется уметь применять знания в усложненных ситуациях. По сложности эти задачи примерно соответствуют наиболее трудным из основных и дополнительных задач учебника.

Седьмой и восьмой варианты состоят из задач, при решении которых требуется творческое применение знаний. Здесь приходится анализировать сложные геометрические ситуации, самостоятельно открывать новые факты, устанавливать отношения между ними. Задачи из седьмого и восьмого вариантов рекомендовано давать учащимся после выполнения ими основной работы наравне со всеми учащимися класса в оставшееся время или использованы в качестве необязательного задания для домашней работы, а также на факультативных занятиях или занятиях математического кружка.

Математические диктанты предназначаются для систематизации теоретических знаний учащихся и могут предшествовать контрольной работе. Диктант представляет собой набор из 10 небольших задач по прямому применению полученных знаний о движениях из учебника.

В учебнике А.Д. Александрова и др. «Геометрия, 9» с углубленным изучением математики преобразования фигур рассматриваются в главе «Преобразования».

Планирование изучения материала:

Номер параграфа.	Содержание материала.	Количество часов.
9 класс. Глава 2. Преобразования.	18 ч.
6 7 8	Движения. Симметрия фигур. Подобие. Контрольная работа.	7 ч. 3 ч. 7 ч. 1 ч.

Основной целью изучения данной главы является проникновение учащихся в сферу идей современной математики, в немалой степени являющейся математикой преобразований или же математикой, изучающей аксиоматически построенные теории. Материал, предложенный в учебнике, может быть освоен на уровне применения введенных понятий и теорем только в подготовленном классе.

Глава «Преобразования» изучается в 9 классе и завершает собой изучение планиметрии. При решении задач, предложенных авторами, наряду с материалом главы используются также практически все методы, теоремы и факты, которые были изучены ранее, для осуществления итогового повторения.

Определяются движения, заданные на всей плоскости и доказываются их свойства. На основе движений определяется равенство фигур. Изучаются виды движений: параллельный перенос, осевая симметрия, поворот и центральная симметрия. Проводится классификация движений, рассматривается композиция движений. Изложены теоремы о задании движений, замечание о распространении движения, теорема Шаля, неподвижные точки движений, два рода движений, ориентация. Большое внимание уделяется симметриям фигур. Учебник содержит различные задачи на геометрические преобразования, которые автор делит на разделы: разбираемся в решении (приведены решенные задачи), дополняем теорию, рисуем, планируем, находим величину, выводим уравнение, доказываем, исследуем, строим, применяем геометрию, занимательная геометрия, участвуем в олимпиаде. Например,

1. а) Докажите, что в результате переноса прямая переходит в прямую, ей параллельную, или в себя;

б) Даны две параллельные прямые. Каким переносом одна из них может быть получена другой?

в) Даны два равных и параллельных отрезка. каким переносом один из них может быть получен из другого?

г) Докажите, что в результате переноса вектор переходит в равный вектор.

2. Нарисуйте образ куба ABCDA1B1C1D1 в результате переноса на вектор

а) ; б) ; в)

3. а) В системе координат даны две точки A(2;1) и B(3;3). Как найти точку К на оси x, такую, что ломаная AKB кратчайшая? Как вычислить координаты точки К и длину этой ломаной?

б) Решите задачу «а» для точки L на оси y.

Учебник И.Ф. Шарыгина «Геометрия, 7-9» реализует авторскую концепцию построения школьного курса геометрии. Глава «Преобразования плоскости» изучается в 9 классе и завершает теоретическую часть курса планиметрии.

Планирование изучения материала:

Номер параграфа.	Содержание материала.	Количество часов.
9 класс. 12. Преобразования плоскости.	8 ч.
12.1 12.2 12.3	Движение плоскости. Виды движений плоскости. Гомотетия. Систематизация и обобщение знаний. Контрольная работа. Резерв.	1 ч. 2 ч. 1 ч. 2 ч. 1 ч. 1 ч.

В отличие от геометрических курсов, в которых понятие движения положено в их основу, в данном учебнике такие виды движения, как симметрия относительно точки и относительно прямой, служат для доказательства теорем, а такие виды движения, как поворот и параллельный перенос являются объектом изучения.

В первом пункте вводится понятие движения: движением называется такое преобразование плоскости, которое не меняет расстояние между парами точек, т.е. если точки А и В в результате движения переходят в точки А' и В', то АВ = А'В'. Далее теорема 12.1. (основное свойство движений): результатом двух последовательных движений плоскости является движение плоскости - приводится доказательство теоремы, а затем рассматривают две основные теоремы о движении плоскости также с доказательствами. Теорема 12.2 (основной способ задания движения): любое движение плоскости полностью задается движением трех точек плоскости, не лежащих на одной прямой. И теорема 12.3 (о возможности представления любого движения через осевые симметрии): любое движение плоскости может быть получено с помощью не более чем трех осевых симметрий.

В следующем пункте рассматривают виды движений плоскости. Теорема 12.4. (о представлении параллельного переноса в виде двух симметрии): в результате двух последовательных осевых симметрии с параллельными осями любая точка А плоскости переходит в такую точку А', что вектор АА' постоянен для всех точек плоскости.

Такое преобразование называется параллельным переносом. Сам вектор АА' называется вектором параллельного переноса.

И затем теорема 12.5 (о представлении поворота в виде двух симметрий): пусть две прямые и на плоскости пересекаются в точке О и образуют между собой угол б (б ? 90). В результате двух последовательных симметрии относительно прямых и мы получим поворот на угол 2б вокруг точки О. При этом направление поворота то же, что и у поворота на угол б, переводящего прямую в прямую с доказательством.

Здесь же рассматриваются такие темы как «Три осевые симметрии» и «Скользящая симметрия», отмеченные звездочкой, т.е. предназначены для углубленной подготовки. Задачный материал дифференцирован по уровню сложности.

К учебнику прилагается рабочая тетрадь В.Б. Алексеева, В.Я. Галкина и др., в которую включена тема «Преобразования плоскости». В тетради разобраны многие задачи, имеющиеся в учебнике, а также представлены другие задачи. Работа с тетрадью рекомендована строго после изучения материалов учебника. Задачи, содержащиеся в тетради, предполагают разную степень участия ученика в процессе решения. Решения некоторых задач приведены полностью, их надо внимательно прочитать и осознать, для того, чтобы следующие задачи решить по аналогии или с использованием похожих соображений. В решении большинства задач имеются пропуски, которые нужно заполнить: привести ссылку на формулы или теоремы, несложные вычисления. При этом оставленные отдельно слова и фразы помогут понять логику решения. Задания по теме «Преобразования плоскости» выделены в два занятия. В каждом занятии представлены задачи от простых, закрепляющих основные геометрические понятия и факты, до достаточно сложных, что помогает организовать работу учеников, как по базовой программе, так и по программе углубленного изучения движений.

Изучение геометрических преобразований в учебнике В.Г. Болтянского, Г.Д. Глейзера «Геометрия 7-9» начинается с центральной симметрии. Параграф 10 «Равенство фигур» имеет принципиальное значение для всего последующего курса. Здесь учащиеся впервые приобщаются к методу геометрических преобразований. Сравнение геометрических преобразований с функциями способствует как более легкому усвоению самого понятия геометрического преобразования, так и представлению о единообразии математики, о единстве алгебры и геометрии.

Заметим, что понятие функции, преобразования, или, как ещё говорят, отображения одного множества в другое, играет важнейшую роль не только в алгебре и геометрии, но и во всей современной математике, а также её приложениях.

Преобразования, при которых сохраняются расстояния, называются в геометрии движениями из общих свойств движений в этом параграфе рассматривается лишь предложение о том, что при движении пересечение фигур переходит в пересечение их образов (и то же для объединения). Это предложение представляет собой теорему, т. е. оно может быть доказано. Доказательство носит теоретико-множественный характер, незнакомый мышлению учащихся, и потому это доказательство не приводится. Смысл этого предложения будет ясен учащимся из рассмотрения рисунка в учебном пособии.

Далее вводится определение: две фигуры называются равными, если существует движение, отображающее одну из них на другую. Затем пишется: так как при движении длины сохраняются, то равные отрезки имеют равную длину. Справедливо и обратное утверждение: если два отрезка имеют равную длину, то они равны, т. е. существует движение, отображающее один из них на другой.

В параграфе 11 «Поворот и центральная симметрия» вводится один из видов движений - поворот. Приводятся рисунки для наглядного представления о повороте. Затем рассматриваются задачи (с решением). После решения первой задачи упоминаются «характерные точки» фигуры. В случае отрезка такими характерными точками являются его концы. Для ломанной (или многоугольника) характерными точками являются вершины. А чтобы найти образ окружности, надо построить образ её центра и провести окружность того же радиуса. Полуплоскость можно задать тремя точками: надо задать граничную прямую в этой полуплоскости (для этого нужно указать две точки) и задать ещё одну точку этой полуплоскости (не лежащую на прямой).

В следующей главе рассказывают об осевой симметрии. При изложении материала о движениях, определение движения даётся лишь описательное, и доказательство того, что рассматриваемое преобразование является движением, то есть сохраняет расстояния, не приводится. О параллельном переносе такого сказать нельзя: если при параллельном переносе на вектор имеем , то - параллелограмм, и поэтому = АВ. Иначе говоря, параллельный перенос сохраняет расстояния, то есть является движением. Что же касается поворота и осевой симметрии, то они вводятся лишь описательно. В частности, поворот может быть определён как такое движение плоскости, при котором только одна точка остаётся неподвижной, то есть переходит в себя. Приводится наглядная модель поворота, которая заменяет учащимся доказательство существования такого движения.

То же относится и к осевой симметрии. Она может быть определена как такое движение плоскости, при котором все точки некоторой прямой L остаются неподвижными, а любая точка A не принадлежащая L переходит в точку , лежащую по другую сторону прямой L. Также приводится наглядная модель осевой симметрии, а вопрос о существовании подобного движения не рассматривается. Упрощённую модель можно получить перегибанием чертежа по прямой L (в этом случае рассматривается симметрия не всей плоскости, а полуплоскости).

Как и при рассмотрении движений в предыдущих параграфах, проводится идея о том, что для построения образа фигуры надо выделить в ней характерные точки и построить их образы.

Материал следующего параграфа «Ось симметрии двух точек» традиционный. Материал о четырёхугольниках специального вида (прямоугольник, ромб, квадрат), традиционно выделяемый в отдельный параграф, здесь рассредоточен по разным параграфам учебного пособия. В частности, в этом параграфе рассматривается ромб. Вводится теорема: пусть L - ось симметрии точек А и В. Тогда: если точка М принадлежит прямой L, то AM = ВМ; если точка М не принадлежит прямой L, то AM не равно ВМ. Эту теорему можно формулировать и другими способами:

а) точка М, в том и только в том, случаи принадлежит оси симметрии точек А и В, если AM = ВМ;

б) ось симметрии точек А и В есть множество всех точек, равноудалённых от А и В.

Из рассмотренного решения первой задачи становится понятным, почему ось симметрии двух точек А и В часто называют средним перпендикуляром отрезка АВ.

§18. Свойства равнобедренного треугольника. Новым является в этом параграфе то, что акцент сделан на симметричность равнобедренного треугольника. Это систематизирует факты и упрощает доказательства. В этой главе есть ещё параграф 19. Расстояние от точки до прямой.

Содержание параграфа 36* «Композиция геометрических преобразований» нетрадиционно: прежде этот материал в школе не рассматривался. Операция композиции движений в каком-то смысле аналогична «умножению» движений (иногда вместо термина композиция преобразований говорят об их «произведении»). Однако неожиданным для учащихся является то, что композиция движений является, вообще говоря, некоммутативной операцией. Это поясняется примером. В некоторых случаях композиция движений обладает свойством коммутативности.

Далее в параграфе рассматривается три задачи. Они дают образцы нахождения композиции различных движений: в 1-й и во 2-й задачах рассматриваются два возможных случая нахождения композиции осевых симметрии, а в задаче 3 речь идет о композиции поворота и параллельного переноса. В рассмотренных задачах композиция симметрии, поворотов и переносов снова была движением одного из этих видов. Однако так будет не всегда: композиция P*S, где S - симметрия относительно прямой n, а Р - параллельный перенос на вектор =0, параллельной этой прямой, не является ни поворотом, ни параллельным переносом, ни осевой симметрией. Эта композиция P*S называется скользящей симметрией и является движением, меняющим ориентацию.

Далее вводится теорема: всякое сохраняющее ориентацию движение плоскости представляет собой либо поворот (в частности, центральную симметрию), либо параллельный перенос. Всякое меняющее ориентацию движение плоскости является осевой или скользящей симметрией.

В этом параграфе рассматривается лишь случай композиции движений. Можно также рассматривать композиции и других геометрических преобразований. В следующем параграфе рассматривается композиция гомотетии и движения.

И еще хотелось бы рассказать об учебнике Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина «Математика 6». В нем существенно пересмотрено изучение геометрии. Геометрический материал в этом курсе охарактеризован как наглядно-деятельностная геометрия. Обучение организуется как процесс, направленный на развитие пространственных представлений, расширение геометрического кругозора.

Введению центральных понятий курса предшествует этап практической деятельности по средствам рабочей тетради, в ходе которого знания формируются на наглядно-интуитивном уровне. Симметрия изучается в середине года после изучения темы прямые и окружности. В главе рассматриваются осевая, центральная и зеркальная симметрии. В отдельный пункт выделен вопрос о применении симметрии к решению некоторых геометрических задач, где рассматривается традиционная для занимательной математики задача о пауке и мухе. Этот пункт советуют рассматривать только с сильными учащимися.

Изучение осевой и центральной симметрии строится по одной и той же схеме: в ходе физического действия вводится понятие точек, симметричных относительно прямой (центра); анализируются особенности их расположения относительно оси (центра) симметрии и на основе этого формулируется способ построения симметричных точек; рассматриваются фигуры, симметричные относительно прямой (точки), и фиксируется факт их равенства, вводится понятие оси (центра) симметрии фигуры; устанавливается наличие у известных фигур осей (центра) симметрии.

Изучение видов симметрий и ее свойств опирается на фактические действия и физический эксперимент. Для осевой симметрии - это перегибание по оси симметрии, для центральной - поворот на 180є, для зеркальной - опыт с зеркалом.

Таким образом, в учебных и методических пособиях по геометрии изложение отдельных видов геометрических преобразований занимает значительное место, но при этом:

- изложение теории не всегда раскрывает сущность геометрических преобразований;

- метод геометрических преобразований не рассматривается как один из наиболее эффективных методов решения задач;

- недостаточно освещены вопросы прикладной направленности геометрических преобразований;

- не устанавливаются межпредметные связи геометрии с другими дисциплинами курса посредством геометрических преобразований.

Как показывает анализ учебников и учебных пособий по проблеме изучения геометрических преобразований в средней школе, эти знания и умения представлены не как система, а как ряд частных явлений и их изучение растянуто на несколько лет. При этом каждое преобразование дается обособленно, вне связи с другими, несмотря на то, что эта связь существует. Свойства, которыми обладают преобразования, рассматриваются отдельно для каждого конкретного вида, в то же время многие свойства, например, преобразований группы движений, аналогичны.

Для каждого преобразования дается частный прием его совершения. Причем главным в действиях учащихся является исполнительная часть: ученики механически производят построения, не имея полной ориентировочной основы.

Нерациональный способ изложения теории геометрических преобразований приводит к трудностям, с которыми сталкиваются учителя при преподавании, а ученики - при усвоении этого раздела курса. По нашему мнению, при изучении геометрических преобразований следует стремиться к тому, чтобы учащиеся с самого начала усвоили те общие элементы, те основные единицы, которые характерны для всех изучаемых в школьном курсе геометрических преобразований, а затем - метод работы с этими единицами, позволяющий получать все виды данных преобразований. Таким образом, учащиеся должны усвоить обобщенное умение по выполнению данных преобразований.

Элементарные геометрические преобразования играют ведущую роль в обучении решению задач на построение. Трудно переоценить роль задач на построение в формировании математического мышления школьников.

С древних времен геометрические построения способствовали развитию не только самой геометрии, но и других разделов математики. Задачи на построение циркулем и линейкой и сегодня считаются математически весьма интересными, и вот уже более 100 лет это традиционный материал школьного курса геометрии.

Они по своей постановке и методам решения объективно призваны развивать способность отчетливо представлять себе ту или иную геометрическую фигуру и, более того, уметь мысленно оперировать элементами этой фигуры. Задачи на построение могут способствовать пониманию учащимися происхождения различных геометрических фигур, возможности их преобразования с помощью элементарных геометрических преобразований. Все это является важной предпосылкой становления пространственного мышления школьников, исследовательских и творческих умений, геометрической интуиции.

Таким образом, геометрические преобразования представляют одну из содержательных линий школьного курса геометрии. Их изучение позволяет наиболее полно раскрыть практическую значимость, показать область применения геометрических знаний. В то же время изучение геометрических преобразований обеспечивает развитие пространственного, логического, абстрактного мышления, математической интуиции учащихся именно в том возрасте, когда они имеют наиболее ярко выраженные способности к восприятию пространственных форм окружающего мира.

Перемены в жизни общества трансформируют взгляды на роль и место изучения геометрических преобразований в условиях дифференцированного обучения, на содержание программ и систему работы с учащимися профильных классов и классов, непосредственно предшествующих профильным, то есть предпрофильным.

При рассмотрении целей обучения теме «Геометрические преобразования» в 8-9 классах необходимо учитывать общие цели обучения математике, цели обучения геометрии, запросы общества, личностные потребности и возможности учащихся.

Цели обучения математике на современном уровне ее развития определены в работе Г.И. Саранцева:

1. Образовательные цели: овладение системой математических знаний, умений, навыков, дающих представление о предмете математики, ее языке, символике, методе познания, математическом моделировании, алгоритме, периодах развития математики, специальных математических приемах.

2. Воспитательные цели: формирование мировоззрения учащихся, логической и эвристической составляющих мышления, воспитание нравственности, культуры общения, самостоятельности, активности, эстетического воспитания школьников.

3. Практические цели: формирование умений строить математические модели простейших реальных явлений, исследовать явления по заданным моделям, конструировать приложение моделей; приобщение к опыту творческой деятельности и формирование умений применять его, ознакомление с ролью математики в научно-техническом прогрессе, современной науке и производстве.

Геометрические преобразования могут эффективно «работать» на достижение указанных целей.

По мнению В.А. Гусева, при обучении математике необходимо учитывать: 1) выполнение требования получения всеми учащимися основ математических знаний, умений, навыков, которые являются базовой составляющей развивающейся личности каждого школьника; 2) формирование основных стержневых качеств личности, в формировании которых обучение математике играет существенную роль (умственное воспитание, составляющие творческого потенциала, мировоззрение, нравственное и трудовое воспитание); 3) специальные задачи, характерные только для математического образования (устная и письменная математическая речь, использование математических приборов, построение моделей реальных ситуаций, развитие пространственного мышления, математической интуиции и воображения). Геометрические преобразования естественным образом вписываются в достижение этих целей.

Курс геометрии, по мнению Г.Д. Глейзера, должен быть сконструирован таким образом, чтобы он развивал у учащихся следующие качества интеллекта: геометрическую интуицию, пространственное и логическое мышление, способность к конструктивно-геометрической деятельности и владение символическим языком (хотя бы в минимальном объеме). Цели обучения геометрии автор представляет в виде синтеза прикладных, научных (собственно геометрических) и общекультурных целей.

Кроме общих целей обучения математике в программах есть уточнение, которое предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к выбранному предмету, выявление и развитие их способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с выбранной деятельностью, подготовку к обучению в вузе.

Специфика процесса обучения геометрии должна состоять в ориентации учащихся на правильный выбор направления обучения в старших классах и способности (готовности) к обучению в классе определенного профиля.

Геометрические преобразования, таким образом, обладая мощным потенциалом обучения, развития и воспитания учащихся, очень слабо его реализуют на современном этапе.

§5. Основные затруднения учащихся по освоению материала по теме «Движение» и их причины, связанные с особенностями когнитивных процессов подростков

Геометрия является одной из самых сложных учебных дисциплин и вызывает у школьников определенные трудности. Ориентация на личность ученика требует, чтобы дифференциация обучения математике, в частности геометрии, учитывала потребности всех школьников - не только сильных, но и тех, кому этот предмет дается с трудом или чьи интересы лежат в других областях. Прерогатива и особенность математики - развитие абстрактного и логического мышления, т.е. качеств личности, необходимых для освоения новых областей знаний, облегчения адаптации к постоянно меняющимся условиям жизни.

Для практической реализации идеи дифференциации в обучении геометрии требуется перестройка всей методической системы. Необходимо создать разноуровневые и профильные программы и учебники, разнообразное научно-методическое обеспечение, направленное на организацию дифференциации обучения на уроках.

Основной отличительной чертой учебного процесса в 8-9 классах является то, что именно в этот период происходит подготовка учащихся к выбору профиля обучения в старших классах. Учитывая то, что в данных классах обучение происходит в рамках уровневой дифференциации, то добавление к имеющейся дифференциации элементов профилирования позволит сориентировать учащихся на выбор профиля обучения в старших классах в соответствии с возможностями и способностями школьников. Необходимо отметить, что часть учащихся заканчивает свое образование курсом основной школы и, следовательно, выделенный нами вид дифференциации поможет им при выборе дальнейшего направления обучения или профессиональной деятельности. При такой дифференциации обучения учитываются индивидуальные различия учащихся. Отнесение ученика к группе определенного уровня при обучении в 8-9 классе основывается на его общем интересе к предмету математики, учитывающем приоритетные склонности личности.

Основываясь на выделенных общих целях обучения геометрии, уточним цели обучения геометрическим преобразованиям для учащихся 8-9 классов. Наше уточнение, в первую очередь, обосновывается познавательными интересами учащихся.

При уровневой дифференциации обучения учитываются индивидуальные различия учащихся в обученности и общих умственных способностях. При разделении на группы учащихся 8-9 классов целесообразно использовать предметные познавательные интересы и специальные способности. Школьников, входящих в одну группу, могут объединять общие интересы к некоторой предметной области. Целесообразно выделять то количество групп учащихся в классе, чтобы по своему качеству они соответствовали профилям обучения в данной школе. Например, математическое направление, гуманитарное и естественнонаучное направления.

Для того чтобы разработать эффективную методику изучения геометрических преобразований, необходимо учитывать особенности развития учащихся в этом возрасте.

От 13 до 16 лет - подростковый возраст. Это период между детством и зрелостью. У подростка стремительно меняется физиология, проявляются неловкость в движениях, эмоциональная неуравновешенность, повышенная рефлексия.

В подростковом возрасте, подчеркивал Л.С. Выгодский [7], имеет место период разрушения и отмирания старых интересов, и период созревания новой биологической основы, на которой впоследствии развиваются новые интересы. Как правило, подростки не удовлетворены собой, семьей, собственной внешностью. Они недовольны школой, учебниками, учителями, оценками, взрослыми, так как «они нас не понимают», не доверяют родителям, не признают их мнения. Даже в тех семьях, где ребенок принимает мнение родителей, для него это период внутренних переживаний. Подросток открывает себя, познает себя в общении с окружающим.

В этот период открытий наступают и разочарования. Подросток старается доказать окружающим, что он личность и, что он или она достойны быть в коллективе; у ребят существуют определенные особенности в общении, сокращается круг вопросов к учителю и родителям - большинство ребят ориентированы на общение на улице.

Обратим внимание на развитие мышления в подростковом возрасте. Главное в развитии мышления - овладение подростком процессом образованием понятий, которые ведет к высшей форме интеллектуальной деятельности, новым способам поведения.

Существенные изменения происходят в этом возрасте и в развитии воображения. Под влиянием абстрактного мышления воображение «уходит в сферу фантазии». Говоря о фантазии подростка, отметим, что «она обращается у него в интимную сферу, которая скрывается обычно от людей, которая становится исключительно субъективной формой мышления, мышления исключительно для себя»[23].

Учителю очень важно в этот момент «не потерять» ученика-подростка, для этого необходимо применять разные формы и методы обучения, интересные ученику.

Индивидуальные различия отмечаются и в уровнях развития пространственного мышления.

В психологической литературе накоплен большой материал, свидетельствующий о стойких индивидуальных различиях в пространственном мышлении. Некоторые авторы полагают, что пространственное мышление формируется в процессе обучения и под влиянием его специальной организации индивидуальные различия нивелируются. Другие исследователи отстаивают ту точку зрения, что, хотя в процессе обучения и удается развивать пространственное мышление, пути его развития очень разные, а индивидуальные трудности в формировании пространственных образов и оперировании ими сохраняются у школьников.

Особенно ярко индивидуальные различия проявляются при создании пространственных образов на геометрической основе и оперировании ими. Это сказывается главным образом в умении изменять произвольно системы отсчета, в овладении способами мысленного преобразования наглядного геометрического материала, своеобразными способами его понятийной обработки, в избирательной направленности на оперирование отдельными элементами в структуре пространственного образа (его формой, величиной), пространственными отношениями, в легкости оперирования образами разной степени наглядности и т. п.

Все это свидетельствует о том, что пространственное мышление - это сложная динамическая система, обеспечивающая слаженной работой функциональных и операциональных механизмов, в основе которых лежат не только социальные, но и биологические (анатомо-физиологические) факторы.

Необходимость ориентации на индивидуальное своеобразие ученика при обучении начала осознаваться довольно давно. Признание за ребенком «права быть самим собой» - стало величайшим завоеванием современной педагогики. Один из вопросов индивидуализации: какие качества учащихся нужно учитывать в первую очередь?

Главное качество, которое выделяется практически всеми исследователями - уровень умственного развития учащегося. Это сложное понятие объединяет, по крайней мере, два: «обучаемость» - в качестве предпосылки к учению, «обученность» - в виде приобретенных знаний. К примеру, близко понятие «общих умственных способностей».

В действительности, данная характеристика, обуславливающая во многом результат учения, имеет большой размах индивидуальных различий у школьников одного и того же возраста.

Развивающее обучение должно быть приспособлено к уровню развития каждого школьника. Из этого вытекает два вывода: о настоятельной необходимости индивидуального подхода при обучении и экспериментального измерения описанных качеств.

Таким образом, конкретная реализация индивидуального подхода в обучении со всей остротой ставит проблемы научной диагностики индивидуальных различий учеников.

Как же более рационально использовать индивидуальные возможности памяти для полноценного усвоения школьных знаний?

Опираясь на сильные стороны учеников - стараясь развить в первую очередь то, что уже заложено в человеке, а также, исправляя, более эффективно и научно обоснованно осуществлять сам индивидуальный подход при их обучении.

При длительном наблюдении за школьниками, психологом И.С. Якиманской были выделены устойчивые группы по отношению к их склонности к различным предметам. Дети условно названы: «геометрами», «физиками», «географами», «алгебраистами», «литераторами» и «языковедами». Для школьников, относящихся к разным группам, существуют оптимальные пути формирования понятий и представлений при изучении предметов.

Современное массовое обучение не только мало учитывает особенности когнитивных процессов этих учащихся, связанные с непосредственным эмоциональном отношением к материалу. Но еще в меньшей мере реализуется своеобразие их мотивационной сферы и характера. И это не только не способствует развитию их ярко выраженной природной любознательности в зрелые познавательные потребности, но и приводит к их угасанию.

В этой связи разработка принципов выявления индивидуальных различий может помочь учителю разобраться в природе индивидуальности школьников, понять, какие условия необходимы для формирования именно тех видов способностей, к которым ребенок имеет природные склонности, раскрыть возможности для целенаправленного педагогического воздействия при определении наиболее оптимального для каждого ученика пути усвоения знаний.

Анализ основных учебников, учебных пособий, программ по данной проблеме показывает, что при традиционном подходе сначала вводятся конкретные геометрические преобразования как поточечные отображения. На заключительной стадии в ознакомительном порядке рассматриваются некоторые практические приложения и наглядные иллюстрации изученного материала, в частности (если речь идет о теме «Движения плоскости»), симметрии фигур.

При таком подходе геометрические преобразования вводятся и воспринимаются как абстрактный математический аппарат. Однако особенности данного учебного материала позволяют рассматривать геометрические преобразования не только в качестве формального теоретического аппарата, но и в качестве отражения явлений, наблюдаемых в окружающем мире. Тема «Геометрические преобразования» (в частности, «Движения плоскости») предоставляет богатый материал для использования ресурсов не только логического, но и образного мышления учащихся.

Проанализируем проявление особенностей образного мышления учащихся в процессе изучения геометрических преобразований.

К началу изучения геометрических отображений в школе учащиеся уже имеют стихийно складывающийся опыт преобразования реальных объектов. В своей игровой, конструктивно-технической, художественно-графической деятельности они задолго до систематического обучения геометрии симметрично отражают, параллельно переносят, поворачивают, строят проекции и т.д. Однако изучение геометрических преобразований в систематическом курсе геометрии во многом противоречит уже сложившемуся опыту учащихся. Например, в работе И.С. Якиманской по этому поводу сказано следующее: "Анализ особенностей усвоения геометрии показывает, что содержание основных геометрических преобразований, заданных геометрией как учебной дисциплиной, нередко не совпадает с содержанием тех мыслительных операций, которые выполняются школьниками на основе этого материала. … Неучет этого приводит к тому, что понятия о геометрических преобразованиях, способы их осуществления формируются у школьников с трудом. Ученики заучивают правила выполнения этих преобразований, но не могут ими самостоятельно пользоваться в условиях, не заданных обучением».

Выделим некоторые причины затруднений, возникающих при изучении темы "Геометрические преобразования плоскости" без учета особенностей образного мышления учащихся:

1) Последовательность изложения материала не соответствует этапам функционирования образного мышления.

Обучение традиционно строится с опорой в основном на третий этап образного мышления (этап оперирования образами), тогда как первым двум (созданию первичных и вторичных обобщенных образов) внимание не уделяется.

Иными словами, сразу после введения новых понятий традиционно начинается работа по формированию навыков осуществления конкретных преобразований фигур. В результате ресурсы образного мышления учащихся оказываются незадействованными, так как у них не формируются действенные образы, соответствующие изученным понятиям. Точнее, под влиянием слов учителя, используемых чертежей в сознании многих учащихся стихийно создаются некоторые образы, однако, так как этот процесс не управляется преподавателем, сформировавшиеся образы могут оказаться неадекватными соответствующим понятиям.

Также в методике изучения геометрических преобразований в основной школе в недостаточной степени представлены задания, требующие работы на четвертом этапе образного мышления (творческого создания новых образов).

2) Изучение начинается с наиболее сложного материала с точки зрения его абстрактности.

В большинстве учебников и учебных пособий изложение темы «Движение» начинается с введения формального определения конкретного преобразования или даже общих понятий отображения плоскости на себя и движения. Эти понятия имеют достаточно высокую степень абстрактности. По этой причине их усвоение вызывает определенные трудности у учащихся (учитель также может испытывать затруднения, создавая учебную ситуацию, мотивирующую необходимость изучения нового материала).

Симметрии фигур изучаются в последнюю очередь (причем чаще всего в ознакомительном плане), несмотря на то, что это наиболее наглядный, образный материал, позволяющий подключить практический опыт учащихся, сделать усваиваемые понятия личностно значимыми для них, создать мотивацию изучения данной темы, сформировать представление о геометрических преобразованиях не только как о формальном аппарате, но и как о способе отражения явлений реальной действительности.

3) У учащихся закрепляется наименее оптимальный способ оперирования геометрическими образами.

В работе И.Я. Каплуновича выделяется четыре способа оперирования пространственными образами: отображение фигуры по отдельным элементам; отображение одного элемента, а затем последовательное достраивание фигуры; отображение одного элемента, а затем мгновенное получение отображения всей фигуры; оперирование сразу всем образом фигуры. При этом отмечается, что первый способ оперирования является нерациональным.

Однако все определения конкретных преобразований вводятся на основе отображения отдельных точек. Это означает, что логика изложения данного материала закрепляет у учащихся именно «поэлементный», «поточечный» способ оперирования образами -- наименее эффективный. По мнению И.Я. Каплуновича, «такой подход вполне оправдан с математической точки зрения, но абсолютно не эффективен для формирования пространственного мышления. Он затрудняет осуществление пространственных преобразований».

4) Не формируются навыки мысленного выполнения преобразований фигур.

При изучении темы «Геометрические преобразования» подавляющее большинство традиционно используемых заданий предполагает непосредственное выполнение некоторых построений в последовательности, строго заданной условиями задачи. «Решение геометрических задач методом «в воображении», то есть без графических опор в школе почти не используется: параллельный перенос осуществляется линейкой на листе бумаги, осевая симметрия - ... при помощи угольника и линейки и т.п. На начальных этапах изучения геометрических преобразований такие приемы работы учащихся, безусловно, необходимы и эффективны, т.к. способствуют правильному адекватному усвоению материала. Однако ограничивать учеников на протяжении изучения всего курса планиметрии только эффективными построениями нельзя». [12]

Действительно, динамичность формируемых у учащихся геометрических представлений - одно из важных условий успешности процесса обучения. В свою очередь, динамичность этих представлений в большой степени определяется умением мысленно оперировать образами. Однако вышесказанное позволяет сделать вывод, что при традиционной методике изучения геометрических преобразований в основной школе формированию этого умения не уделяется специальное внимание.

5) Не формируется система мыслительных операций над геометрическими образами.

Каждое геометрическое преобразование обычно вводится обособленно, связи между ними не устанавливаются, не указываются возможности их взаимопорождения (исключение составляет учебник И.Ф. Шарыгина).

В результате у учащихся не создаются представления о системе геометрических преобразований плоскости. Тогда как известно, что полноценное усвоение понятий невозможно без включения их в разнообразные связи друг с другом. По мнению Л.С. Выготского, «... самая природа каждого отдельного понятия предполагает уже наличие определенной системы понятий, вне которой оно не может существовать».

6) Не уделяется специального внимания формированию функционального геометрического мышления учащихся.

По мнению Я.М. Жовнира, «...одна из отличительных черт современной геометрии от древнегреческой - та, что в ней все фигуры считаются неизменными и «твердыми», тогда как в новой - подвижными, до некоторой степени изменяющимися (находящимися в состоянии постоянного перехода из одной формы в другую). Наша задача -- ввести учащихся в современную науку, для этого они должны быть вовремя приучены к тому, чтобы понимать фигуры в постоянном изменении, при этом все время наблюдая взаимозависимость их частей (формировать функциональное мышление в геометрии)».

Между тем, внимание учащихся при выполнении отображений фигур сконцентрировано не на процессе преобразования, а только на его окончательном результате. Например, отображая фигуру с помощью осевой симметрии, они не представляют себе преобразования всей плоскости: не выполняют мысленно «перегибания» чертежа или поворота на 180° вокруг оси симметрии. По данным И.С. Якиманской, «...если надо было построить фигуру, симметричную данной, то, даже перегибая лист, испытуемые совершенно не интересовались самим процессом осуществления поворота. Все их внимание было направлено на установление «следа» исходной фигуры в новой части плоскости, на взаимное расположение исходной и полученной фигур».

В результате геометрические представления учащихся остаются статичными, их затрудняет мысленное выполнение непрерывных преобразований фигур (а такое умение часто оказывается полезным на этапе поиска решения различных геометрических задач).

7) Система заданий в теме «Геометрические преобразования» зачастую не соответствует принципу последовательного усложнения типа оперирования образами.

Обычно система заданий упорядочивается с точки зрения только содержательной трудности входящих в нее задач, которая определяется набором используемых при их решении математических понятий и фактов. Однако нередко бывает, что задача, объективно не очень сложная, требует в процессе своего решения оперирования образами на уровне третьего типа (длительное и неоднократное изменение пространственного положения и структуры образа). Иными словами, «образная сложность» такой задачи оказывается значительно выше, чем математическая.

Исследователи приводят данные, свидетельствующие о том, что последовательное нарастание «образной сложности» предлагаемых учащимся задач - один из факторов» подразумевается тип оперирования образами, который осуществляется при решении данной задачи (I тип - изменение пространственного положения, II тип - изменение структуры, III тип - длительное и неоднократное выполнение преобразований первых двух типов).

Иными словами, построение системы используемых заданий требует специального анализа последовательности их предъявления не только в контексте их математического содержания, но и с точки зрения некоторых характеристик образного мышления учащихся.

8) Доля образного материала, предлагаемого учащимся в процессе изучения темы «Геометрические преобразования», крайне мала.

Как уже отмечалось ранее, привлечение образов в процессе формирования понятий - одно из важных условий преодоления формализма в обучении: образы являются средством «наполнения получаемых знаний содержанием», «в образе происходит тот необходимый «сплав интеллекта и аффекта» (Выготский Л.С.), вне которого знания не могут стать личностно значимыми, то есть субъектно присвоенными».