Применение занимательного задачного материала для активизации познавательной деятельности учащихся при обучении решению текстовых задач

Раскроем основные диагностические признаки и проявления интереса к учебной деятельности у учащихся на каждом уровне.

1.Любопытство. Эпизодический интерес к внешней стороне задач и занимательному материалу. Интересующий предмет непостоянен. Проявляется у учащихся в виде наблюдения различного рода мероприятий, возможно кратковременное участие в них, если они чем-либо вызывают положительные эмоции. Вне яркого, занимательного материала интерес отсутствует. Низкий познавательный интерес к уроку математики.

2.Любознательность. Положительная реакция на содержательную сторону задачи и занимательного материала вообще. Диапазон интересов сужается. Интерес концентрирован на одном объекте. Обучаемые стремятся к познанию содержательной стороны объекта: интересуются условиями, содержанием предмета. Однако интерес к математике ситуативен. Учащиеся оживляются, задают вопросы, включаются в деятельность, но интерес не устойчив, быстро угасает. Средний познавательный интерес к уроку математики.

3.Склонность к математическим дисциплинам. Стремление к открытию, новые пути реализации полученных решений. Проявляется у обучаемых в активном стремлении участвовать в различных видах деятельности: выполнять долговременные поручения и дополнительные задания, посещать факультативы и клубы. Высокий познавательный интерес.

4.Устойчивый интерес к математике. Потребность в апробировании теоретических знаний на основе имеющейся базы. Интерес к математике имеет профессиональную направленность. Учащиеся положительно оценивают собственные способности, стремятся совершенствовать собственные умения и навыки. Высший познавательный интерес к урокам математики.

Поэтому, можно сделать вывод, о том, что формирование положительных мотивов учения в качестве одной из самых главных в обучении математике, т.к. высокий уровень мотивации учебной деятельности на уроке и интереса к учебному предмету - это первый фактор, указывающий на эффективность современного урока.

В моей работе был рассмотрен один из факторов побуждения учащихся к активизации познавательной деятельности - занимательность учебного материала. Занимательные текстовые старинные задачи интересны не только формулировкой, но и методами решения, некоторые решения очень необычны, такие как решение с конца или метод ложных положений. Проанализировав учебную литературу, мы пришли к выводу, что можно дополнить представленный задачный материал старинными занимательными задачами. Эти задачи были отнесены к определенным разделам изучения. Они могут использоваться как при изучении нового материала, так и при закреплении. На уроке, где закрепляется и повторяется материал, ученики как правило, теряют интерес и внимание, ведь нового они ничего не узнают. Поэтому в учебный материал таких уроков можно и нужно включать старинные занимательные текстовые задачи, которые представлены в следующей главе.

§4. Анализ учебно-методической литературы

С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин (5, 6, 7, 8 кл.)

В данных учебниках используются специальные символы для обозначения типа задания. Излагаемый материал учебника представлен в виде тем, все из которых начинаются с определения, введения какого-то понятия, изложения правила, каких-либо свойств, просто объяснительного текста по новой теме. В учебнике имеется достаточное число сложных задач. Для каждого нового действия, приема решения задач в учебнике имеется достаточное число упражнений, которые не перебиваются упражнениями на другие темы. А упражнения для повторения ранее пройденного материала помещены в конце учебника отдельным пунктом.

В учебниках имеется множество нестандартных развивающих старинных задач, которые находятся в основном в разделах «Дополнительные задачи», либо «Занимательные задачи», и при введении и нового материала не используются; также имеются исторические справки, такие как: обозначение дробей и записи чисел, вавилонский способ записи дробей без знаменателей, исторические сведения о выдающихся математиках разных веков, использование комплексных чисел, решения квадратных уравнений в древние времена и т.д.

Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С.Чесноков, С.И. Шварбурд (5, 6, 8 класс) Знакомство с новым материалом в учебнике разбито на части, после каждой из которых учащимся предлагается решить несколько заданий на новую тему. После изложения нового материала учащимся предлагается ответить на ряд вопросов, проверить, как они поняли и усвоили материал параграфа.

Практическая часть учебника представлена различными типами заданий, отмеченных каждый своим специальным символом. Задания располагаются по возрастанию от легких к сложным.

Излагаемый материал учебника представлен в виде тем, которые начинаются с ввода каких-то понятий, определений и правил. Зачастую введение нового материала начинается с постановки проблемной ситуации - учащимся предлагаются задания, в процессе выполнения которых они самостоятельно или с помощью учителя приходят к новым определениям, правилам или новым свойствам.

Исторических задач в учебнике нет, но в каждом встречаются после определенных параграфов рассказы об истории возникновения и развития математики. Например, говорится о достоинствах монет, о появлении дробей, о записи десятичных дробей в XV веке, что такое фигурные числа и т.д.

И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович (5, 6 классы)

В данных учебниках к подаче нового материала предпринят подход, называемый методом целесообразных задач, суть которого состоит в том, что учащимся предлагается система заданий, в процессе выполнения которых они получают возможность самостоятельно или с помощью учителя познакомиться с новым свойством, сформулировать правило, «придумать» новый термин и, даже порой, найти путь доказательства некоторого утверждения.

Кроме самой структуры ознакомления с новым материалом несомненным преимуществом этого учебника является наличие заданий на проверку истинности высказываний.

Практическая часть учебника представлена различными типами заданий, отмеченными каждый своим специальным символом. Задания на повторение ранее пройденного материала, которые позволяют проверить усвоение учениками минимума по соответствующей теме, содержатся в конце параграфа.

Учебники содержат множество увлекательных текстовых задач, задач современного характера (упоминается мотоцикл «Харлей Дэвидсон» и т.п.), также есть задачи с участием сказочных персонажей (Вини-Пух, Карлсон, кот Матроскин и т.п.)

А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская (7, 8 классы)

Комплект состоит из двух частей - учебника и задачника. В данных учебниках используются специальные символы для обозначения типа задания. Излагаемый материал учебника представлен в виде тем, все из которых начинаются с определения, введения какого-то понятия, изложения каких-либо свойств, алгоритма решения, замечания, после чего всегда приводятся примеры помогающие лучшему пониманию новой темы. Стиль изложения учебников легкий, доступный; в то же время изложение характеризуется четкостью, алгоритмичностью. Решение практически всех текстовых задач оформлено в виде трех этапов:

Первый этап. Составление математической модели.

Второй этап. Работа с математической моделью.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

А также рассматриваются виды математических моделей: словесная, алгебраическая, графическая и геометрическая модели.

Задачники полностью соответствуют структуре изложенных тем в учебнике.

Г.В. Дорофеев. С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др. (5, 6, 7, 8)

Введение нового материала начинается с примеров, которые дают четкое и наглядное представление будущего определения или понятия, подлежащего изучению. После каждого параграфа дается достаточное количество примеров на изученную тему. Также имеются пункты - проверь себя, для тех, кому интересно, вопросы для повторения и задания для самопроверки. В учебниках имеется небольшое количество старинных задач, которые находятся в разделах для тех, кому интересно, дополнительные задачи, также имеется сведения из истории математики.

Все представленные выше комплекты в большей или меньшей мере содержат материал, способствующий развитию познавательного интереса учащихся. Во второй главе нами будут предложены текстовые занимательные старинные задачи, дополняющие задачный материал действующих учебников по некоторым темам.

Глава 2. Применение занимательного задачного материала на уроках математики

Во второй главе представлены текстовые старинные занимательные задачи - это задачи с интересным содержанием или интересными способами решения. Элемент занимательности облегчит обучение. 

Данные задачи разделены по следующим разделам:

1) задачи, которые решаются с помощью различных действий с обыкновенными и десятичными дробями;

2) задачи, решение которых может быть осуществлено с конца;

3) задачи, решаемые с помощью составления линейных уравнений;

4) задачи, решаемые с помощью составления систем линейных уравнений;

5) задачи, решаемые с помощью составления квадратных уравнений;

6) задачи по теме «Алгебраические дроби» (8класс).

Ко всем задачам приведены решения, причем многие из этих решений относятся к старинным методам и, как правило, не представлены в современных учебных пособиях. Однако, на наш взгляд, как было сказано в первой главе, демонстрация учащимся таких методов способствует развитию интереса к математике, даже тех учеников, которые увлечены гуманитарными науками, так как приводиться краткая историческая справка к той или иной задаче.

1. Задачи, которые решаются с помощью различных действий с обыкновенными и десятичными дробями

В этом разделе подобраны задачи, которые решаются с помощью различных действий с обыкновенными и десятичными дробями. Для решения учащиеся предварительно должны уметь:

· выполнять арифметические действия с натуральными числами, обыкновенными и десятичными дробями;

· решать текстовые задачи арифметическим способом; составлять графические и аналитические модели реальных ситуаций;

· составлять алгебраические модели реальных ситуаций и выполнять простейшие преобразования буквенных выражений;

· переходить от одной формы записи чисел к другой; представлять десятичную дробь в виде обыкновенной и в простейших случаях обыкновенную в виде десятичной;

· решать текстовые задачи, включая задачи, связанные с отношением величин и дробями;

· решать уравнения методом отыскания неизвестного компонента действия.

В этом разделе представлены исторические задачи, которые мы рекомендуем для закрепления нового материала. Первую задачу лучше дать после изучения темы «умножение и деление смешанных дробей», вторую задачу после темы «нахождение дроби от числа», третью - «задачи на совместную работу», четвертую после изучении главы «обыкновенные и десятичные дроби», пятую после изучения темы «отношения и пропорции».

1. Лев съел овцу одним часом, а волк съел овцу в два часа, а пес съел овцу в три часа. Ино хочешь ведати, сколько бы они все три - лев и волк и пес - овцу съели вместе вдруг и сколько бы они скоро ту овцу съели сами, сочти ми?

Решение: За один час лев, волк и пес вместе съели бы овцы. Действительно, (овцы)

Тогда одна овца ими вместе будет съедена за часа.

Задача взята из математической рукописи XVII в.

Сам составитель решал эту задачу так: за 12 часов лев съедает 12 овец, волк - 6, а пес - 4. Всего же они съедят за 12 часов 22 овцы. Следовательно, в час они съедят овцы, а одну овцу все вместе - в часа.

2. Некто пришел в ряд, купил игрушек для малых ребят: за первую игрушку заплатил часть всех своих денег, за другую остатка от первой покупки, за третью игрушку заплатил остатка от второй покупки, а по приезде в дом нашел остальных в кошельке денег 1 руб. 92 коп. Спрашивается, сколько денег в кошельке было и сколько за вторую игрушку денег заплачено?

Решение:

- остаток;

(денег) - за первую игрушку;

- остаток от второй игрушки;

(денег) - стоит вторая игрушка;

(денег) - осталось в кошельке;

(руб.) было в кошельке;

(руб.) - стоила 1 игрушка;

(руб.) стоила 2 игрушка;

(руб.) стоила 3 игрушка.

3. Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а с женою ту же кадь в 10 дней. И ведательно есть, в колико дней жена его особенно выпьет ту же кадь?

Решение: Решение этой задачи очень простое. Человек выпивает в день кади, а вместе с женой - кади. Следовательно, жена выпивает в день кади. Таким образом, всю кадь жена выпьет за 35 дней.

4. Некий человек нанял работника на год, обещав ему дать 12 рублей и кафтан. Но тот по случаю, поработав 7 месяцев, восхотел уйти и попросил достойную плату с кафтаном. Ему дали по достоинству 5 рублей и кафтан. Какой цены был оный кафтан?

Решение: За год работник должен был получить 12 рублей и кафтан, то есть за каждый проработанный месяц ему должны начислять 1 рубль и стоимости кафтана. За проработанные 7 месяцев работник должен был получить 7 рублей и стоимости кафтана, а получил 5 рублей и кафтан. Следовательно, стоимости кафтана соответствуют 2 рублям. Таким образом, цена кафтана была (рубля).

5. Древнеримская задача (II в.)

Некто, умирая, завещал: «Если у моей жены родится сын, то пусть ему будет дано имения, а жене - остальная часть. Если же родиться дочь, то ей , а жене ». Родилась двойня - сын и дочь. Как же разделить имение?

Решение: Имение нужно разделить между сыном, женой и дочерью пропорционально числам 4:2:1 (1 - так как дочери достанется в 2 раза меньше чем матери, 2 - так как матери достанется в 2 раза меньше чем сыну, а сыну - следовательно 4, так как у сына по условию в два раза больше чем матери). Меньше всего дочке (1 доля), потом маме (2 доли), а потом сыну (4 доли), значит всего долей 7, получается так: , , .

2. Задачи, решение которых может быть осуществлено с конца

Учащиеся должны уметь:

· те же пункты что и в первом разделе;

· приводить дроби к общему знаменателю;

· находить дробь от числа и число по его дроби.

Эти задачи могут применяться на уроках итогового повторения в 6 -8 классах. Задачи такого характера заставляют учащихся искать нестандартные пути решения, развивают мышление и интерес к предмету.

1. Назови мне число, которое, умноженное на три, сложенное с произведения, разделенное на 7, уменьшенное на частного, уменьшенного на само себя, уменьшенное на 54, после извлечения квадратного корня, прибавления 8 и деления на 10 будет равняться 2.

Решение: Индийские математики пользовались арифметическим приемом, который они широко применяли. Это - «правило обращения», или «правило инверсии». Суть его заключается в следующем: если нужно найти число, которое после ряда операций приводит к некоторому известному числу, то для этого необходимо над этим последним числом произвести в обратном порядке все обратные операции.

Решение данной задачи заключается в том, что, начиная с числа 2, производят обратные действия в обратном порядке:

Число 28 и есть искомое.

2. Найти число, которое, будучи умножено на 3, а затем разделено на 5, увеличено на 6, после чего из него извлечен корень квадратный, отнята единица и результат возведен в квадрат, дает 4.

Решение:

Следуя «правилу обращения», получим:

; 2+1=3; 32=9; 9-6=3; ;

Число 5 и будет искомым. «Правило обращения», которым пользовались индийские ученые, стало широко известно и за пределами Индии. Позднее им стали пользоваться сначала в странах Арабского халифата, а потом и в Европе.

3. Французская задача XVII в.

Трое имеют по некоторой сумме денег каждый. Первый дает из своих денег двум другим столько, сколько есть у каждого. После него второй дает двум другим столько, сколько каждый из них имеет. Наконец, и третий дает двум другим столько, сколько есть у каждого. После этого у всех троих, оказывается, по 8 экю Экю (фр. Ecu) -- французские золотые и серебряные монеты Средних веков.. Спрашивается, сколько денег было у каждого вначале.

Рассуждения удобно начать с конца и решение представить в виде следующей таблицы:

I	8
II	8
III	8

4. Одна женщина отправилась в сад собрать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нужно было пройти 4 двери, у каждой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину собранных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Так же она поступила и с третьим стражником; а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у нее осталось лишь 10 яблок. Сколько яблок она собрала в саду?

Решение:

Стандартное решение.

Ответ: 160 яблок, женщина собрала в саду.

Решение с конца.

1) 10 яблок - это половина того, что осталось перед 4-ой дверью, , значит, 20 яблок осталось перед четвертыми дверями.

2) 20 яблок - это половина того что осталось перед 3-ей дверью, , значит, 40 яблок осталось перед третьими дверями. 

3) 40 яблок - это половина того что осталось перед 2-ой дверью, , значит, 80 яблок осталось перед второй дверью.

4) 80 яблок - это половина того что осталось перед 1-ой дверью, , значит, 160 яблок было перед первой дверью.

5. Чешская задача

По преданию, основательница чешского государства принцесса Либуша обещала отдать свою руку тому, кто сумеет решить задачу: «Если бы я дала первому жениху половину слив из этой корзины и еще одну сливу, второму жениху половину оставшихся слив и еще одну сливу, а оставшиеся сливы поделила пополам и половину их и еще три сливы дала бы третьему жениху, то корзина опустела бы». Сколько слив в корзине?

Решение:

Стандартное решение.

Пусть первоначально в корзине было x слив. Первый жених получил бы слив

Второй

Третий

Так как

То

,

Ответ: у принцессы Либуши первоначально было 30 слив.

Решение с конца:

1) После того как принцесса Либуша отдала третьему жениху половину слив и еще 3, у нее ничего не осталось, следовательно 3 сливы и были половиной того что осталось перед встречей с третьим женихом.

3+3=6 слив, было перед третьим женихом.

2) Так как перед встречей со вторым женихом осталось 6 слив и еще одна, что являлось половиной того что было перед встречей со вторым женихом, то

слив, осталось перед вторым женихом.

3) Перед встречей с первым женихом осталось 14 слив и еще одна, что являлось половиной того что было у принцессы первоначально, т.е.

слив, первоначально.

3. Задачи, решаемые с помощью составления линейных уравнений

Задачи, представленные в данном разделе имеют довольно сложную формулировку и поэтому они могут быть использованы скорее на уроках обобщения, закрепления и в качестве индивидуальных домашних заданий, нежели на уроках введения нового материала.

Учащиеся должны уметь:

· использовать символический язык алгебры, выполнять тождественные преобразования простейших буквенных выражений, применять приобретенные навыки в ходе решения задач;

· решать линейные уравнения, применять данные умения для решения задач.

1. Задача из арифметики Л.Ф. Магницкого Русский математик и педагог Леонтий Филиппович Магницкий (1669 - 1739) в 1703 г. Опубликовал В Москве свою знаменитую книгу «Арифметика, сиреч наука числительная». Эта книга была до середины XVIII в. основным учебником по математике в России. «Арифметика» Магницкого поистине была энциклопедией математических знаний и сыграла большую роль в распространении математических знаний в России. [2;49]

У некоторого человека были для продажи вина двух сортов. Первое ценою 10 гривен Гривна - С середины XI в. в Киевской Руси в качестве основной денежной единицы ходят гривни - серебряные слитки, а также их рубленные части - рубли. [38] ведро, второе же - по 6 гривен. Захотелось ему сделать из тех двух вин, взяв по части, третье вино, чтобы ему цена была по 7 гривен. Какие части надлежит из тех двух вин взять к наполнению ведра третьего вина ценою 7 гривен?

Решение:

Стандартное решение.

Пусть для составления одного ведра требуемой смеси нужно взять ведер первого сорта и ведер второго сорта. Первая часть вина стоит 10x гривен, а вторая гривен.

Составим уравнение:

,

откуда

x=, .

Итак, нужно взять ведра вина по 10 гривен и ведра вина по 6 гривен за ведро.

Старинный способ решения:

Запишем цены вин каждого сорта и цену смеси так:

Вычислить прибыль 7-6=1 и убыток 10-7=3 на каждом ведре и запишем результат по линиям:



Таким образом, 3 части из четырех приходиться на более дешевое вино и 1 часть - на более дорогое.

2. Найти число, если известно, что от прибавления к нему его и вычитания от полученной суммы ее трети получается число 10.

Решение задачи сводиться к решению уравнения:

Ответ: число 9

3. Задача из Акмимского папируса (VI в.)

Некто взял из сокровищницы . Из того, что осталось, другой взял , оставил же он в сокровищнице 150. Сколько было в сокровищнице первоначально?

Решение:

4. Требуется число 100 разделить два раза так, чтобы большая его часть от первого деления была вдвое более меньшей части от второго деления и чтобы большая часть от второго деления была втрое более меньшей части от первого деления.

Решение: Обозначим меньшую часть от второго деления через x, тогда большая часть от первого деления будет 2x. Найдем теперь меньшую часть от первого деления. Она будет равна (100- 2x). Следовательно, большая часть второго деления равняется (300-6x). Ясно, что обе части от второго деления должны составить 100, то есть:

,

откуда x=40

Следовательно, результат первого деления: меньшая часть равна 20, большая часть - 80.

Результат второго деления: меньшая часть равна 40, большая часть - 60.

5. Задача из «Греческой Антологии» «Греческая антология» - сборник задач, составленных в стихотворной форме, главным образом гекзаметром, которым, как известно, написаны знаменитые поэмы Гомера «Илиада» и «Одиссея». Особенно в большом ходу эти задачи были в X - XIV вв.[35;114]

- Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?

- Вот сколько, - ответил философ, - половина изучает математику, четверть - музыку, седьмая часть пребывает в молчании и, кроме того, есть еще три женщины.

Решение:

Задача сводится к уравнению:

Следовательно, школу Пифагора посещают 28 человек, что и нужно было найти.

6. Задача из «Греческой Антологии»

Здесь погребен Диофант. И камень могильный

При счете искусном расскажет нам,

Сколь долог был его век.

Велением бога он мальчиком был шестую часть своей жизни;

В двенадцатой части затем, прошла его светлая юность.

Седьмую часть жизни прибавим - перед нами очаг Гименея.

Пять лет протекли, и прислал Гименей ему сына.

Но горе ребенку! Едва половину он прожил

Тех лет, что отец, как скончался несчастный.

Четыре года страдал Диофант от утраты такой тяжелой

И умер, прожив для науки. Скажи мне,

Скольких лет достигнув, смерть воспринял Диофант?

Решение: Условие задачи приводит к уравнению



Следовательно, Диофант умер в 84 года.

7. Задача из трактата «Начала искусств вычисления» Трактат «Начала искусства вычисления» опубликован в 1593 г. В нем важнейшие правила, вероятно, для лучшего запоминания даются в стихотворной форме. По-видимому, это сочинение в свое время было принято как учебное руководство в школах по элементарной математике. Содержание книги дает хорошую картину состояния китайской математики вплоть до конца XVI в. [35;118]

Пятая часть пчелиного роя сидит на цветке кадамба, одна треть на цветках силиндхата. Утроенная разность двух последних чисел направилась к цветкам кутая. И осталась еще одна пчелка, летающая взад и вперед, привлеченная ароматом жасмина и пандануса. Спрашивается, сколько всего пчел?

Решение: Задача сводиться к уравнению

Следовательно, всего было 15 пчел.

8. Некто сказал своему другу: «Дай мне сто рупий, и я буду вдвое богаче тебя», на что последний ответил: «Если ты мне дашь только 10 рупий, я стану вшестеро богаче тебя». Спрашивается, сколько было у каждого?

Решение: Пусть у первого было рупий, а у второго рупий. Ясно, что первое условие будет выполнено. Имея в виду второе условие, находим

Следовательно, у первого было 140-100=40 рупий, у второго 70+100=170 рупий.

9. Купец, будучи должен 753 руб., попросил у того же заимодавца еще 303 руб. Последний согласился удовлетворить его просьбу на условии, чтобы весь долг был уплачен в течении 8 месяцев и притом так, чтобы должник, внеся к концу первого месяца некоторую сумму на покрытие части долга, ежемесячно увеличивал свой взнос на половину, т.е. уплатил бы во второй месяц полторы таких суммы, в третий месяц две таких же суммы, в четвертый две с половиной и т.д. Обсудив эти условия, купец согласился на них. Спрашивается, какую сумму должен он внести в первый месяц и сколько в каждый из следующих месяцев?

Решение:

Пусть к концу первого месяца купец должен внести x руб., тогда

(рублей)

2-ой месяц 48+24=72

3-ий месяц 48+48=96

4-ый месяц 48+48+24=120

5-ый месяц 48+48+48=144

6-ой месяц 48+48+48+24=168

7-ой месяц 48+48+48+48=192

8-ой месяц 48+48+48+48+24=216

10. Задача из «Курса алгебры» А.Н. Страннолюбского.

Два работника прожили у хозяина равное время; один из них получал по 15, а другой по 10 рублей в неделю. При окончательном расчете оказалось, что первый работник должен получить более второго именно на ту сумму, которую он забрал в течение работы, а забрал он сперва 4 руб., потом 3 руб., и наконец 7 рублей. Сколько продолжалась работа?

Решение:

Пусть x - число недель, в течении которых продолжалась работа, (15-10) разница в полученных деньгах, тогда:

(недели)

11. Отец завещал своего имения сыну и дочери; из оставшегося затем капитала 2500 руб. должны были пойти на уплату долга, а 3000 руб. в пользу вдовы. Как велик был оставленный отцом капитал и по скольку должны получить сын и дочь?

Решение: Обозначим оставленный отцом капитал через x, тогда

(руб.)

Сыну завещал

Дочери завещал

12. Некто на вопрос о возрасте двух его сыновей отвечал: «Первый мой сын втрое старше второго, а обоим им вместе столько лет, сколько было бы мне 29 лет тому назад; мне теперь 45 лет». Найти лета обоих сыновей.

Решение: Обозначим лета второго сына через x, тогда

4 года второму сыну

А первому (лет)

13. Задача Магницкого

Спросил некто учителя: «Скажи, сколько у тебя в классе учеников, так хочу отдать тебе в учение своего сына». Учитель ответил: «Если придет еще учеников столько же, сколько имею, и пол столько, и четвертая часть, и твой сын, тогда у меня учеников 100». Спрашивается, сколько было у учителя учеников?

Решение:

I способ (стандартное решение)

Пусть было x учеников. Составим уравнение

; (учеников)

II способ

Эту задачу Магницкий решает «фальшивым правилом» (или методом «двух ложных положений»), которому в своей «Арифметике» отводит особое место.

Далее по формуле

Искомое число учеников:

Ответ: 36 учеников.

Метод «двух ложных положений» Сущность этого метода покажем на примере решения уравнения:

(1)

Для решения этого уравнения предположим, что искомое . Подставив x1 в уравнение (1), получим:

(2)

где n1 - первая ошибка правой части уравнения (1). Теперь предположим, что x=x2, тогда, подставив x2 в уравнение (1), получим:

(3)

Вычтем почленно из уравнения (2) уравнение (3) и получим:

(4)

Теперь обе части уравнения (2) умножим на x2 , а обе части уравнения (3) на x1 и затем почленно вычтем полученные уравнения:

(5)

Из уравнения (4) найдём a, а из уравнения (5) найдём b. Так как из исходного уравнения (1) , то получим:

Получили следующее правило, которое арабский автор сформулировал следующим образом:

«Возьми для неизвестного число, которое ты хочешь, назови его первое положение и поступай согласно условию задачи. Если оно подходит к условию, то это и есть неизвестное. Но если оно отклоняется в ту или иную сторону, назови разницу первым отклонением. Затем возьми другое число и назови вторым положением; если оно не удовлетворяет условию, то оно даёт второе отклонение. После этого умножай первое положение на второе отклонение и назови первым результатом; потом второе положение умножай на первое отклонение, это есть второй результат. Если оба отклонения в одно и то же время больше или оба меньше, дели разность двух результатов на разность двух отклонений; если дело обстоит иначе, дели сумму двух результатов на сумму отклонений, частное и есть искомое число».

14. Задача Этьенна Безу Французский математик Этьенн Безу (1730 - 1783) занимался исследованием свойств систем алгебраических уравнений высших степеней и установил теорему о делении многочлена на линейный двучлен (теорема Безу) [2;44]

По контракту работникам причитается по 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с них взыскивается по 12 франков. Через 30 дней выяснилось, что работникам ничего не причитается. Сколько дней они отработали в течение этих 30 дней?

Решение: если x - число дней, отработанных работниками, то

Ответ: 6 дней отработали работники в течение 30 дней.

15. Каков возраст братьев?

Средний из трех братьев старше младшего на два года, а возраст старшего брата превышает сумму лет двух остальных братьев четырьмя годами. Найти возраст каждого брата, если вместе им 96 лет.

Решение: Первому брату x - лет, второму 2+x, а третьему x+2+x+4

Получим

Первому 22 года, второму 22+2=24 года.

Третьему 22+24+4=50 лет.

4. Задачи, решаемые с помощью составления систем линейных уравнений

В данном разделе представлены задачи, решение которых осуществляется с помощью составления систем уравнений. Для решения таких задач учащиеся должны уметь:

· составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач;

· осуществлять в выражениях и формулах числовые подстановки и выполнять соответствующие вычисления, осуществлять подстановку одного выражения в другое;

· выражать из формул одну переменную через остальные;

· выполнять основные действия со степенями с целыми показателями, с многочленами и с алгебраическими дробями;

· выполнять тождественные преобразования рациональных выражений;

· решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух линейных уравнений и несложные нелинейные системы.

Данные задачи подходят для изучения параграфа «Системы линейных уравнений». 1 и 2 задачи подходят для проверки полученных знаний учащимся при изучении данной темы. Первую задачу можно давать для проверки как домашнее задание, и на следующем уроке со всем классом разобрать эту задачу, причем это будет делать не учитель, а ученик у доски. Задача под номером два может пойти как самостоятельная работа (проверка знаний, умений, навыков по пройденной теме), она систематизирует и обобщает весь пройденный материал по данной теме. Задачи под номерами 3, 4, 7 могут быть использованы при введении нового материала, в частности задача № 3 позволяет сразу активизировать познавательную деятельность учащихся из-за нестандартного изложения, но, в то же время, она проста для понимания и интересна ученикам. Задачи под номерами 5, 6 лучше использовать при закреплении изученного материала.

1. Задача Евклида Евклид древнегреческий математик 300 г. до н.э, написавшего 13 книг, объединенных общим названием «Начала». [2;14]

Мул и осёл под вьюком, по дороге с мешками шагали. Жалобно охал осел, непосильною ношей придавлен. Это подметивший мул обратился к сопутчику с речью: «Что ж, старина, ты заныл и рыдаешь, будто девчонка? Нес бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне меру, если ж бы ты у меня лишь одну взял, то мы бы сравнялись». Сколько нес каждый из них, о геометр, поведай нам это.

Решение: I способ

Если x - груз мула, то (x-1) груз осла, увеличенный на 1, а следовательно, первоначальный груз осла был (x-2). С другой стороны, в два раза больше, чем груз осла, уменьшенный на 1, т.е. . Т.о.,

.

Отсюда, груз мула и груз осла 7-2=5.

II способ (через систему линейных уравнений)

Обозначив через x поклажу осла, а через y - поклажу мула, сводим задачу к системе уравнений с двумя неизвестными



Или

Груз мула y=7, груз осла x=5.

2. Задача Диофанта Диофант Александрийский (II - III вв. н.э.) был последним великим математиком античности. До нас дошли два его сочинения - «Арифметика» и «О многоугольных числах». Творчество Диофанта оказало большое влияние на развитие алгебры, математического анализа и теории чисел. [2;19] (из трактата «Арифметика»)

Найти три числа так, чтобы наибольшее превышало среднее на данную часть наименьшего, чтобы среднее превышало меньшее на данную часть наибольшего и чтобы наименьшее превышало число 10 на данную часть среднего числа.

Решение: Исходя из условий задачи, составим систему

подставим 3-е уравнение в 1-е, получим

в первое уравнение вместо y подставим (3z-30), и рассмотрим только первое уравнение

Подставим z в 3 уравнение и найдем y

И найдем x из второго уравнения

Ответ: , ,

3. Задача Китая, из трактата «Девять отделов искусства счета»

5 волов и 2 барана стоят 11 таэлей Таэль - денежно весовая единица Восточной Азии, применяющаяся с древних времен Китая; ныне вышла из употребления, а 2 вола и 8 баранов стоят 8 таэлей. Сколько стоят отдельно вол и баран?

Решение: пусть x цена вола, а y - цена барана

Решение задачи сводиться к рассмотрению следующей системы уравнений

Следовательно, один вол стоит 2 таэля, а один баран таэля.

4. Задача из рассказа А.П. Чехова «Репетитор»

Купец купил 138 аршин Аршин - старорусская единица измерения длины, 0,7112 метра черного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин он купил того и другого, если синее сукно стоило 5 рублей за аршин, а черное - 3 рубля?

Решение: I способ условие задачи сводится к системе



63 - аршин синего сукна, 75 аршин черного сукна.

II способ Пусть синего сукна было x аршин, тогда черного аршин.

X=63 (аршина) - синего

138-63=75 (аршин) - черного.

Ответ: синего 63 аршина, черного 75 аршин.

5. Задача Леонардо Пизанского Леонардо Пизанский (1180 - 1240)имел прозвище Фибоначчи, т.е. «сын Боначчо» (Боначчо - добродушный). Основные достижения Леонардо Пизанского изложены в его сочинениях «Книга абака» и «Практика геометрии». [2;35]

Один говорит другому: «Дай мне 7 динариев Динар - единица валюты различных стран, большинство из которых арабоговорящие или бывшие частью Османской империи, и я буду в 5 раз богаче тебя». А другой говорит: «Дай мне 5 динариев, и я буду в 7 раз богаче тебя». Сколько у каждого?

Решение: условие задачи сводиться к системе

Следовательно, первый имел динария, а второй - динария.

6. Задача из сказки «1001 ночь» (ночь 458)

Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветвях, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветвях голуби говорят расположившимся внизу: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один ин нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну». Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?

Решение: если x и y - число голубей на дереве и под деревом, то по условию имеем

Ответ: 5 голубей на дереве и 3 голубя под деревом.

7. Задача Адама Ризе Адам Ризе. В XVI в. немецкие алгебраисты назывались коссистами, так как алгебру они именовали coss - от итальянского слова cosa - вещь (неизвестная). Одним из знаменитых коссистов был Адам Ризе (1489 - 1559). В 1524 г. он написал учебник по алгебре. Ризе свел 90 правил для решения квадратных уравнений с одним неизвестным к 24. [2;36]

Трое торгуют Торгуют - т.е. покупают лошадь за 12 флоринов Флорин - золотая монета, которую впервые начали чеканить во Флоренции в 1252 году, отсюда и название монеты., но никто в отдельности не располагает такой суммой. Первый говорит двум другим: «Дайте мне каждый по половине своих денег, и я куплю лошадь». Второй говорит первому и третьему: «Дайте мне по одной трети ваших денег, и я приобрету лошадь». Наконец, третий говорит первым двум: «Дайте мне только по четвертой ваших денег, и лошадь будет моя». Теперь спрашивается, сколько денег было у каждого?

Решение: Пусть x, y, z - количество флоринов соответственно у первого, второго и третьего покупателей. Составим систему

Выразим в первом уравнении и подставим во второе уравнение

Теперь поставим x в первое уравнение, получим

Подставим x и z в третье уравнение и найдем y

Зная y, найдем x и z.

Ответ: , , - количество флоринов соответственно у первого, второго и третьего покупателей.

5. Задачи, решаемые с помощью составления квадратных уравнений

Для решения представленных здесь задач учащиеся должны предварительно уметь:

· решать неполные квадратные уравнения;

· решать полные квадратные уравнения;

· решать приведенные квадратные уравнения;

· находить ошибки в решенных уравнениях и исправлять их;

· делать проверку.

1. Задача Бхаскары Бхаскара (Бхасхара Ачарья) (1114 -- ум. позднее 1178), индийский математик и астроном. Труд «Венец учения» («Сиддханта-широмани», 4 книги, в т. ч. «Лилавати» и «Биджаганита»), содержащий методы решения ряда алгебраических и теоретико-числовых задач, астрономические сведения. [2]:

На две партии разбившись,

Забавлялись обезьяны.

Часть восьмая их в квадрате

В роще весело резвилась.

Криком радостным двенадцать

Воздух свежий оглашали.

Вместе сколько, ты скажешь,

Обезьян там было в роще?

Решение: если обозначим число всех обезьян через x, то задача сводится к решению квадратного уравнения

Прибавляя к обеим частям квадрат 32, будем иметь

После извлечения квадратного корня найдем

В данном случае, говорит Бхаскара, отрицательные единицы первой части таковы, что единицы второй части меньше их, а потому последнее можно считать и положительными и отрицательными, и получаем двойное значение неизвестного: 48 и 16.

Стандартное решение квадратного уравнения:

2. Задача Бхаскары

Сколько обезьян в стае, если квадрат пятой части, уменьшенной тремя, спрятался в пещере, и только одна осталась на виду, взобравшись на дерево?

Решение: задача сводиться к решению квадратного уравнения

и

В заключении Бхаскара делает такое замечание: «Так как есть число отрицательное, то годится только первое решение».

Но комментатор Бхаскары Кришна Бхатта говорил, что если бы по условию вопроса было сказано: одна пятая часть стаи вычитается из трех, то второе решение, а не первое удовлетворяло бы условию.

3. Задача Магавиры В IX в. в Индии жил математик и астроном Магавира. В своем «Кратком курсе математики» он установил двузначность квадратного корня, ставил вопрос об извлечении корня из отрицательного числа, решал задачи, приводящие к системам линейных уравнений с несколькими неизвестными. [2;27]:

Найти число павлинов в стае, которой, умноженная на себя, сидит на мандариновом дереве, а квадрат остатка вместе с 14 другими павлинами - на дереве тамала.

Решение: задача сводиться к решению квадратного уравнения

, где x - число павлинов в стае.

Отсюда , а не подходит по смыслу задачи.

6. Задачи по теме «Алгебраические дроби» (8 класс)

1. Один путник идет от града в дом, а ходу его будет 17 дней, а другой путешественник от дому во град тот же путь творяше, может пройти в 20 дней, оба же сии человека пойдоша во един и тот же час от мест своих, и ведательно есть, в колико дней сойдуться? (Магницкий)

Решение: Пусть x - км весь путь, тогда км/дн - скорость первого, км/дн - скорость второго

км/дн - скорость сближения

дн

Ответ: встретятся через дней.

2. Задача Ньютона

Некий торговец каждый год увеличивает на одну треть свое состояние, уменьшенное на 100 фунтов, которые ежегодно затрачивает на свою семью. Через три года обнаруживает, что его состояние удвоилось. Спрашивается, сколько у него было денег вначале?

Решение Ньютона. «Чтобы решить вопрос, заметьте, что в нем содержатся в скрытом виде некоторые предложения, которые все должны быть выявлены и выражены».

Словесно	Алгебраически
У торговца имеется состояние, из которого он в первый год затрачивает 100 фунтов	или
Остаток он увеличивает на одну треть	или или
В третий год он опять тратит 100 фунтов и остаток также увеличивает на одну треть, причем оказывается вдвое богаче, чем был в начале	или =2х

Таким образом, вопрос выражается уравнением

приведя которое, мы найдем x

Умножьте уравнение на 27, и вы получите 64х-14800=54х,

Вычтите из обеих сторон 54х, и останется 10х-14800=0 или 10х=14800; разделив на 10, вы найдете, что х=14800. Т.о., состояние торговца вначале, а также его последующая прибыль, или доход, были равны 14800 фунтов.

3. Обмен зайцев на кур.

Крестьянин менял зайцев на кур: брал за всяких двух зайцев по три курицы. Каждая курица снесла яйца - третью часть от числа всех куриц. Крестьянин, продавая яйца, брал за каждые 9 яиц по столько копеек, сколько каждая курица снесла яиц, и выручил 72 копейки. Сколько было кур и сколько зайцев?

Решение: обозначим за x количество кур, которое выменял крестьянин.

Каждая курица снесла, как сказано в условии, яиц и общее число яиц у крестьянина составляет штук.

Каждые 9 яиц крестьянин продал по копейки, то есть одно яйцо за и выручил поэтому копеек, что по условию равно 72 копейки. Из равенства

Находим

Итак, крестьянин выменял 18 кур, а зайцев было у него штук.

Заключение

Практическая ценность обучения школьников решению текстовых задач разнообразными методами в современных условиях заключается совсем не в том, что это обучение раз и навсегда вооружит их примерами решения различных задач, возникающих на практике и в дальнейшем обучении, а в том, что оно обогатит их опыт мыслительной деятельности. Отдельный метод решения задач может быть забыт учащимися. Но развивающиеся в процессе обучения продуктивное мышление и речь, сообразительность и память помогут им не только восстанавливать утраченное, если потребуется, но и находить решения новых встающих перед ними задач.

Таким образом, в современных условиях цели обучения школьников решению текстовых задач должны включать обогащение опыта мыслительной деятельности школьников различными методами рассуждений, воспитание у них умения ориентироваться в различных по своей природе взаимоотношениях величин.

Целью данной дипломной работы было рассмотрение возможности применения занимательного задачного материала для активизации познавательной деятельности учащихся при обучении решению текстовых задач.

Для достижения этой цели была изучена психолого-педагогическая литература по проблеме развития познавательного интереса подросткового возраста. Одним из способов развития познавательного интереса традиционным является использование старинных занимательных задач на уроках математики. Также были выявлены психологические особенности школьников, которые необходимо знать и учитывать учителю при работе с учениками 5 - 8 классов.

Проанализировав содержание учебников по математике для 5 - 8 класса, мы пришли к выводу о возможности дополнения и разнообразия предлагаемого там задачного материала старинными занимательными задачами. Подобные задания способствуют активизации познавательной деятельности учащихся, а также развивают интерес к математике не только детей, увлеченных этим предметом, но и детей, ориентированных на гуманитарные науки, за счет ярко выраженных здесь межпредметных связей (ко многим задачам приводятся исторические справки, есть задачи в стихах и т. п.). Последнее обстоятельство способствует также и расширению мировоззрения учащихся.

Во второй главе диплома приведены старинные текстовые задачи к некоторым разделам программы 5-8 классов, а также методические рекомендации по их использованию. Ко всем задачам приведены решения.

Таким образом, цель дипломной работы, на наш взгляд, достигнута, задачи, поставленные в начале работы, выполнены.

Библиография

1) Алгебра: учеб. для учащихся 8 кл. с углубл. изучением математики [Текст] / [Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, Г.С. Сурвилл и др.]; под ред. Н.Я. Виленкина.- 7-е изд., дораб.- М.: Просвещение, 2005.- 303с.: ил.

2) Баврин, И.И. Старинные задачи [Текст] : Кн. для учащихся. / И.И. Баврин, Е.А. Фрибус.- М.: Просвещение, 1994.- 128 с.: ил.

3) Глейзер, Г.И. История математики в школе [Текст] / . М.: Просвещение, 1964. 376 с. ил.

4) Демидова, Т.Е. Теория и практика решения текстовых задач [Текст] : Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / Т.Е. Демидова, А.П. Тонких.- М.: Академия, 2002.- 288с.

5) Зимняя, И.А. Педагогическая психология [Текст] : Учебник для вузов. / И.А. Зимняя.- 2-е изд., доп., испр. и преобр. М.: Логос, 1999.- 384 с.

6) Зубарева, И.И. Математика. 5 кл. [Текст] : Учеб. для общеобразоват. учреждений / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.- 6-е изд., стер.- М.: Мнемозина, 2007.- 270с.: ил.

7) Зубарева, И.И. Математика. 6 кл. [Текст] : Учеб. для общеобразоват. учреждений / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.- 7-е изд., испр.- М.: Мнемозина, 2008.- 264с.: ил.

8) Математика [Текст] : Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина.- М.: Просвещение, 1994.- 272 с.: ил.

9) Математика. 6 класс [Текст] : Учеб. для общеобразоват. учреждений: В 2 ч. Ч. 1 / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, И.Ф. Шарыгин и др.; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина.- 6-е изд.- М.: Дрофа, 2002.- 208 с.: ил.

10) Математика. 6 класс [Текст] : Учеб. для общеобразоват. учреждений: В 2 ч. Ч. 1 / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, И.Ф. Шарыгин и др.; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина.- 6-е изд., перераб.- М.: Дрофа, 2002.- 224 с.: ил.

11) Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных. 7 класс [Текст] : Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.; под ред. Г.В. Дорофеева.- 2-е изд.- М.: Дрофа, 1998.- 288 с.: ил.

12) Математика [Текст] : Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С.Чесноков и др.- 5-е изд.- М.: Мнемозина, 1997.- 384с.: ил.

13) Математика [Текст] : Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С.Чесноков и др.- 11-е изд., стереотип.- М.: Мнемозина, 2003.- 304с.: ил.

14) Методика и технология обучения математике. Курс лекций [Текст] : пособие для вузов / под ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой.- М.: Дрофа, 2005.- 406 с.: ил.

15) Мордкович, А.Г. Алгебра. 7 кл. [Текст] : Учеб. для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович.- 3-е изд., доработ.- М.: Мнемозина, 2000.- 160 с.: ил.

16) Мордкович, А.Г. Алгебра. 7 кл. [Текст] : Задачник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович.- 3-е изд., доработ.- М.: Мнемозина, 2000.- 160 с.: ил.

17) Мордкович, А.Г. Алгебра. 8 кл. [Текст] : Учеб. для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович.- 3-е изд., доработ.- М.: Мнемозина, 2001.- 233 с.: ил.

18) Мордкович, А.Г. Алгебра. 8 кл. [Текст] : Задачник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская.- 3-е изд., доработ.- М.: Мнемозина, 2001.- 239 с.: ил.

19) Муравин, К.С. Алгебра. 8 кл. [Текст] : Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В. Дорофеев.- 3-е изд., стереотип.- М.: Дрофа, 2000.- 208 с.: ил.

20) Нагибин, Ф.Ф. Математическая шкатулка [Текст] / Ф.Ф. Нагибин.- Ярославль: Просвещение, 1964.- 168 с.

21) Немов, Р.С. Психология [Текст] : В 3 кн.: Учеб. для студ. высш. пед. учеб. заведений / Р.С. Немов.- 4-е изд. М.: Владос, 2003.- Кн. 2: Психология образования.- 608 с.

22) Никольский, С.М. Арифметика [Текст] : Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин.- 2-е изд.- М.: Просвещение, 2000.- 255с.: ил.

23) Никольский, С.М. Арифметика [Текст] : Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин.- 2-е изд.- М.: Просвещение: Моск. учебники, 2001.- 270 с.: ил.

24) Никольский, С.М. Алгебра [Текст] : Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин.- 2-е изд.- М.: Просвещение, 2000.- 285с.: ил.

25) Никольский, С.М. Алгебра [Текст] : Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин.- М.: Просвещение, 2000.- 287с.: ил.

26) Олехник, С.Н. Старинные занимательные задачи [Текст] / Ю.В. Нестеренко, М.К. Потапов.- 2-е изд., испр.- М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1988.- 160 с.

27) Планея: Психологический словарь, [Электронный документ] (http://www.pbi.ru/dic/v/v_39.htm). 19.10.09

28) Психологический словарь, [Электронный документ] (http://psi.webzone.ru/st/081500.htm). 17.09.09

29) Рубинштейн, С.Л. Основы общей психологии [Текст] / С.Л. Рубинштейн.- СПб.: Питер, 2000.- 712 с.: ил.

30) Столяренко, Л.Д. Педагогическая психология [Текст].- 2-е изд., перераб., и доп.- Ростов н/Д.: Феникс, 2003.- 544с.- (Учебники и учебные пособия)

31) Талызина, Н.Ф. Педагогическая психология [Текст] : Учеб. для студ. сред. пед. учеб. заведений / .- 3-е изд., стереотип.- М.: Академия, 1999.- 288 с.

32) Тихомиров, О.К. Психология мышления [Текст] / О.К. Тихомиров.- М.: Академия, 2005.- 288 с.

33) Фридман, Л.М. Психология детей и подростков [Текст] / Л.М. Фридман.- М.: Просвещение, 2003.

34) Фридман, Л.М. Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика [Текст] : Учеб. пос. для учителей и студентов педвузов и колледжей / Л.М. Фридман.- М.: Шк. пресса, 2002.- 208 с.- (Б-ка журн. «Математика в шк.». Вып. 15)

35) Чистяков, В.Д. Старинные задачи по элементарной математике [Текст] / В.Д. Чистяков. 3-е изд., испр.- Минск.: Вышейш. шк., 1978.- 272 с. ил.

36) Шамова, Т.И. Активизация учения школьников [Текст] / Т.И. Шамова.- М.: Педагогика, 1982.- 208 с.: ил.

37) Щукина, Г.И. Проблема познавательного интереса в педагогике [Текст] / Г.И. Щукина.- М.: Педагогика, 1971.- 352 с.

38) http://www.ukraina.com/index2.php?option=com_content&task=view&id= 43&pop=1&page=0&Itemid=32. 07.11.2009

Размещено на Allbest.ru