Исторический материал, как одно из средств развития познавательной активности младших школьников на уроке математике

Оглавление

Введение

Глава 1. Теоретические аспекты использования исторического материала при обучении решению задач

1.1 Сущность общей методики работы над задачами

1.1.1 Арифметическая задача, виды арифметических задач

1.1.2 Общая методика работы над задачами

1.2 Специфика исторического материала

1.2.1 «Волк, коза и капуста» спустя 1200 лет

1.2.2 Из истории задач с одинаковыми цифрами

1.2.3 Из истории головоломок с неповторяющимися цифрами

1.2.4 Из истории задач о переливании жидкостей

1.3 Анализ методической литературы

Заключение

Литература

Приложение

Введение

Народная мудрость гласит, что, не зная прошлого, невозможно понять подлинный смысл настоящего и цель будущего. Это, конечно, относится и к математике.

В русской математической литературе, в учебниках всегда уделялось большое внимание занимательным старинным задачам различных народов и эпох, так как считалось, что элемент занимательности облегчает обучение, развивает познавательную активность. К занимательным задачам мы относим задачи с интересным содержанием или интересными способами решения, математические игры, задачи, касающиеся интересных свойств чисел и геометрических тел.

В современной педагогической деятельности происходит полемика о том, как учить детей решать задачи, как заинтересовать их в столь сложном процессе.

Некоторые педагоги выделяют использование исторического материала с одной стороны, как способ развития познавательной активности школьников, но с другой стороны вопросу использования исторического материала в школе уделяется недостаточное внимание.

Данное противоречие формирует проблему необходимости использования исторического материала при развитии познавательной активности школьников. Если проблему не решать, то у ребёнка развивается пассивное отношение к решению задач, что в итоге может привести к возникновению следующих трудностей: неумение анализировать задачи, потеря интереса к решению задач.

Проблему развития познавательной активности школьников можно решать различными способами, методами, приёмами, технологиями. В нашем исследовании мы не будем затрагивать огромный пласт технологий развития познавательной активности, а остановимся на одном способе и на одном возрастном периоде.

Исходя из выше изложенного тема нашего исследования следующая: «Исторический материал, как одно из средств развития познавательной активности младших школьников на уроке математике».

Цель нашей работы: провести теоретическое исследование в области развития познавательной активности младших школьников на уроке математике через использование исторического материала.

Объектом исследования является процесс развития познавательной активности младших школьников, а предметом - использование исторического материала на уроках математике.

Для того чтобы добиться цели исследования, мы ставим перед собой следующие задачи:

Изучить методы формирования познавательной активности школьников.

Выявить особенности исторического материала, изучаемого на уроке математике в начальной школе.

Разработать рекомендации для учителя в его работе с заданиями историко-математического характера.

Разработать фрагмент урока математики с использованием исторического материала.

Таким образом, эффективность развития познавательной активности младших школьников на уроке математики будет выше, если использование исторических задач.

Глава 1. Теоретические аспекты развития познавательной активности младших школьников на уроке математике через использование исторического материала

1.1 Понятие познавательной активности учащихся

1.1.1 Движущие силы учения

Мотивация (от лат. «двигать» ) - общее название для процессов, методов, средств побуждения ученика к активной познавательной деятельности. Управляют мотивами совместно учителя и ученики. Имея в виду первых, говорим о мотивации обучения, а с позиций ученика следует вести речь о мотивации учения. Мотивация как процесс изменения состояний и отношений личности основывается на мотивах, под которыми понимаются конкретные побуждения, причины, заставляющие ученика учиться, действовать, совершать поступки. В роли мотивов выступают во взаимосвязи потребности и интересы, стремления и эмоции, установки и идеалы. Поэтому мотивы - очень сложные образования. Мотивы, а их много, всегда взаимосвязаны, и в педагогическом процессе мы имеем дело не с одним действующим мотивом, а со многими.

Классифицировать мотивы, действующие в системе обучения, можно по различным критериям. К видам мотивов можно отнести познавательные и социальные мотивы. Если у школьника в ходе учения преобладает направленность на содержание учебного предмета, то можно говорить о наличии познавательных мотивов.

Познавательные мотивы могут иметь разные уровни. Так, познавательные мотивы имеют уровни: широкие познавательные мотивы (ориентация на овладение новыми знаниями - фактами, явлениями, закономерностями), учебно-познавательные мотивы (ориентация на усвоение способов добывания знаний, приёмов самостоятельного приобретения знаний), мотивы самообразования (ориентация на приобретение дополнительных знаний и затем на построение специальной программы самосовершенствования).

Мотивы названных видов и уровней могут проходить в своём становлении следующие этапы: актуализация привычных мотивов, постановка на основе этих мотивов новых целей, положительное подкрепление мотива при реализации этих целей, появление на этой основе новых мотивов, соподчинение разных мотивов и построение их иерархии, появление у ряда мотивов новых качеств (самостоятельности, устойчивости и др.) .

Качества мотивов могут быть содержательными, связанными с характером учебной деятельности (осознанность, самостоятельность, обобщенность, действенность, доминирование в общей структуре мотивации, степень распространения на несколько учебных предметов и др.), и динамическими, связанными с психофизиологическими особенностями ребёнка (устойчивость мотива, его сила и выраженность, переключаемость с одного мотива на другой, эмоциональная окраска мотивов) и т. д.

Мотивы делятся на внешние и внутренние. Первые исходят от педагогов, родителей, класса, общества в целом и приобретают форму подсказок, намёков, требований, указаний, понуканий или даже принуждений. Они, как правило, действуют, но их действие нередко встречает внутренние сопротивление личности, а поэтому не может быть названо гуманным. Необходимо, чтобы сам ученик захотел что-то сделать и сделал это. Истинный источник мотивации человека находится в нём самом, но его нужно активизировать.

Составить первичное представление о преобладании и действии тех или иных мотивов учения можно, наблюдая отношение школьника к учению. Исследования позволяют выделить несколько ступеней включенности ребёнка в процесс учения: отрицательное, безразличное и положительное.

В каждом классе постепенно выделяются конкретные типы отношения детей к учению, на которые прежде всего следует ориентироваться учителю. Наиболее распространён первый тип - хорошие исполнители ( «слушалки и отвечалки» ). Они старательны, но безынициативны. Ведущий мотив их деятельности - опосредованный интерес: обрадовать родителей, завоевать авторитет в классе, заслужить похвалу учителя. Второй тип - дети с интеллектуальной инициативой: они имеют собственное мнение, избегают подсказок, стараются работать самостоятельно, любят сложные задания. Третий тип - дети, у которых проявляется особое отношение к напряженной учебной деятельности. Они активны, хорошо соображают, но думают медленно, а потому пребывают всё время в напряжении. Требуют индивидуального подхода. Четвёртый тип - дети с заниженными интеллектуальными способностями. Они не могут самостоятельно выполнять учебные задания, находятся в подавленном состоянии или, наоборот, демонстрируют бесшабашность. Главное для них, чтобы учитель их не заметил. Причины здесь разные: незрелость ребёнка, слабая дошкольная подготовка. Наконец, в каждом классе есть небольшая группа детей, которых объединяет отрицательное отношение к учению. Дети не могут освоить школьную программу по причине интеллектуальной отсталости, глубокой запущенности.

Из этого следует, что, работая с различными группами детей, нужно ставить разные цели. Наиболее значимой для эффективной учебной деятельности является мотивация, обусловленная интеллектуальной инициативой и познавательными интересами.

Отношение школьников к учению учителя обычно характеризуется активностью. Активность определяет степень (интенсивность, прочность) «соприкосновения» ученика с предметом его деятельности.

В структуре активности выделяют следующие компоненты:

- готовность выполнять учебные задания;

- стремление к самостоятельной деятельности;

- сознательность выполнения заданий;

- систематичность обучения;

- стремление повысить свой личный уровень и др.

С активностью непосредственно сопрягается ещё одна важная сторона мотивации учения школьников - самостоятельность, связанная с определением объекта, средств деятельности, ее осуществление самим учеником без помощи взрослых и учителей. Познавательная активность и самостоятельность школьников взаимосвязаны: более активные школьники, как правило, более самостоятельны.

Управление активностью школьников традиционно называют активизацией. Ее можно определить как постоянно текущий процесс побуждения к энергичному, целенаправленному учению, преодолевание пассивной и стереотипной деятельности, спада и застоя в умственной работе. Главная цель активизации - формирование активности учеников, повышение качества учебно-воспитательного процесса. Педагогическая практика использует различные пути активизации, основной среди них - разнообразие форм, методов, средств обучения, выбор таких их сочетаний, которые в возникших ситуациях стимулируют активность и самостоятельность школьников.

Наибольший активизирующий эффект на уроках дают ситуации, в которых ученики должны:

- отстаивать свое мнение;

- принимать участие в дискуссиях и обсуждениях;

- задавать вопросы своим товарищам и учителям;

- рецензировать ответы товарищей;

- оценивать ответы и письменные работы товарищей;

- помогать отстающим;

- объяснять более слабым ученикам непонятные места;

- самостоятельно выбирать посильные задания;

- находить несколько вариантов возможного решения познавательной задачи (проблемы);

- создавать ситуации самопроверки, анализа личных познавательных и практических действий;

- решать познавательные задачи путем комплексного применения известных им способов решения.

Итак, установлено, что мотивы - это побуждение, причины, заставляющие ученика учиться, действовать, совершать поступки. В обучении одновременно действует множество мотивов. Представление о преобладании и действии тех или иных мотивов учитель получает, наблюдая отношение школьников к учению. Знание законов мотивации - ключ к решению большинства школьных проблем.

задача математика арифметическая исторический

1.1.2 Познавательный интерес младших школьников

Одним из постоянных сильнодействующих мотивов учения является интерес. Интерес (от лат. «имеет значение, важно») - реальная причина действий, ощущаемая учеником как особо важная. Интерес можно определить как форму проявления познавательных потребностей, что выражается в стремлении к познанию объекта или явления, овладении определенным видом деятельности. Познавательный интерес выражается в эмоциональном отношении школьника к предмету изучения. Л.С.Выготский пишет: «Интерес - как бы естественный двигатель детского поведения, он является верным выражением инстинктивного стремления, указанием на то, что деятельность ребенка совпадает с его органическими потребностями. Вот почему основное правило требует построения всей воспитательной системы на точно учтенных детских интересах. …Педагогический закон гласит: прежде чем ты хочешь призвать ребенка к какой-либо деятельности, заинтересуй его ею, позаботься о том, чтобы обнаружить, что он готов к этой деятельности, что у него напряжены все силы, необходимые для нее, и что ребенок будет действовать сам, преподавателю же остается только руководить и направлять его деятельность».№

В обучении действует множество интересов. «Весь вопрос в том, - продолжает Л. С. Выготский, - насколько интерес направлен по линии самого изучаемого предмета, а не связан с посторонним для него влиянием наград, наказаний, страха, желания угодить и т. п. Таким образом, правило заключается в том, чтобы не только вызвать интерес, но чтобы интерес был как должно направлен. Наконец, третий, и последний, вывод использования интереса предписывает построить всю школьную систему в непосредственной близости к жизни, учить детей тому, что их интересует, начинать с того, что им знакомо и естественно возбуждает их интерес».№

Установлены общие закономерности действия интереса в обучении. Первая - зависимость интересов учеников от уровня и качества их знаний, сформированности способов умственной деятельности. Понимать её следует так, что чем больше знаний у ученика имеется по определенному предмету, тем выше его интерес к этому предмету. И наоборот. Вторая - зависимость интересов школьников от их отношения к учителям. С интересом учатся у тех педагогов, которых любят и уважают. Сперва педагог, а потом его наука - зависимость, которая проявляется постоянно.

Проблема интереса не новая в педагогике. Над его сущностью размышляли ученые разных эпох. Так Л. А. Коменский говорил, что школа должна быть школой радости, и один из путей создания такой школы - интерес. Физик Паскаль утверждал: «Ученик не сосуд, который нужно наполнить, а факел, который надо зажечь». К. Д. Ушинский видел в интересе основной внутренний механизм успешного обучения.

Для формирования устойчивых познавательных интересов учитель должен ставить перед собой следующие задачи:

1. Выявить наличие интересов с помощью:

- наблюдения;

- контакта с психологом;

- тестов, анкет;

- свободного выбора деятельности;

- бесед с ребёнком, с родителями.

2. Определить уровень развития интереса.

- Первый уровень - непосредственный интерес к новым фактам, явлениям, занимательным вещам; интерес ситуативный, неустойчивый.

- Второй уровень - стремление к познанию существенных свойств предмета и явлений; интерес относительно устойчивый.

- Третий уровень - стремление к установлению причинно-следственных связей, использование элементов исследовательской деятельности; интерес устойчивый.

3. Закрепить, скорректировать, сформировать познавательный интерес.

Среди разнообразия путей и средств, выработанных практикой для формирования устойчивых познавательных интересов, выделим:

- увлеченное преподавание;

- новизну учебного материала;

- историзм;

- связь знаний с судьбами людей, их открывшими;

- показ практического применения знаний в связи с жизненными планами и ориентациями школьников;

- использование новых и нестандартных форм обучения;

- чередование форм и методов обучения;

- проблемное обучение;

- эвристическое обучение;

- обучение с компьютерной поддержкой;

- применение мультимедиа-систем;

- использование интерактивных компьютерных средств;

- взаимообучение (в парах, в микрогруппах);

- тестирование знаний, умений;

- показ достижений обучаемых;

- создание ситуаций успеха;

- соревнование (с товарищами по классу, с самим собой);

- создание положительного микроклимата в классе;

- доверие к ученику;

- педагогический такт и мастерство педагога;

- отношение педагога к своему предмету и ученикам;

- гуманизация школьных отношений и т. д.

Даже неопытный учитель легко заметит изменение интереса школьника. Профессор А. К. Дусавицкий составил типичные «портреты» заинтересованного и незаинтересованного учеников.

«…Посмотрите, как работает ребёнок, когда ему интересно. Удовольствие буквально написано на его лице. Светятся глаза, движения легкие, свободные, быстрые. Да и как может быть иначе - ведь сейчас он раскован, раскрепощен в своих желаниях. Он делает своё дело, интересное и важное ему самому. Делает успешно! Положительная эмоция как тень сопровождает интерес, она - точный сигнал о том, что деятельность нам приятна, доставляет наслаждение.

…Мысль работает ясно, четко, откуда-то приходят решения, которые иначе как красивыми не назовёшь, настолько точно они отвечают характеру задачи. Она поглощает его целиком, всю его личность, отключает от остального мира: ко всему остальному он в данный момент глух и слеп. И потому так трудно бывает отвлечь ребёнка от выполнения других, может быть, не менее интересных и важных дел.

…Но вот ребёнок, которому неинтересно. Как он томится над книгой, которую надо прочесть, или заданием, которое нужно обязательно выполнить. Его тело напряжено, он то ерзает, то беспокойно оглядывается по сторонам, как бы ищет откуда-то спасения от немилой духовной или иной пищи. Или застывает, погруженный в себя, как в сон, из которого его может вывести только резкий окрик или замечание».№

Итак, самым важным, самым престижным мотивом учения является познавательный интерес. Это реальная причина действий, ощущаемая учеником. Интересы возникают под влиянием потребностей и существуют в неразрывной связи с ними. Интерес зависит от: 1) уровня и качества приобретенных знаний, умений, сформированности способов умственной деятельности; 2) отношения школьника к учителю.

1.2 Особенности исторического материала, изучаемого на уроках математики в начальной школе

1.2.1 «Волк, коза и капуста» спустя 1200 лет

В современной школе остро стоит вопрос о присутствии старинных занимательных задач в учебниках по математике. В различных математических монографиях есть страницы, посвященные истории возникновения знаменитых задач, доступных учащимся старших классов¹. Однако практически нет работ, из которых учитель начальной школы мог бы получить исчерпывающую информацию о не менее известных старинных головоломках, представляющих интерес для учеников 1--4 классов.

Во многих учебниках они практически отсутствуют. Но в учебниках по математике под редакцией Л. Г. Петерсона можно встретить довольно большое количество старинных занимательных задач, изучаемых в разных классах, практически по всем темам. Проследим поразительную судьбу некоторых из таких задач. В частности в учебнике по математике 1-го класса (III часть) под редакцией Л. Г. Петерсона в уроке №27, в задании 10 встречается задача «Волк, коза и капуста», которой более 1200 лет. Здесь она звучит следующим образом: «Некий человек должен был перевезти в лодке через реку волка, козу и капусту. В лодке может поместиться один человек, а с ним или волк, или коза, или капуста. Но если оставить волка с козой без человека, то волк съест козу. Если оставить козу с капустой, то коза съест капусту. А в присутствии человека «никто никого не ел». Человек всё-таки перевёз свой груз через реку. Как он это сделал?».

В «Книге 1» труда Е. И. Игнатьева «В царстве смекалки, или Арифметика для всех: Опыт математической хрестоматии: Книга для семьи и школы» приведена одна из самых замечательных логических задач в истории человечества: «Задача 52-я. Волк, коза и капуста».

Даже если приводимая задача вам знакома, не спешите читать решение, попробуйте, словно впервые, поискать оптимальный маршрут и только затем ознакомьтесь с ходом решения, предлагаемым Е. И. Игнатьевым.

Данный ход решения можно применять в начальной школе с использованием иллюстративного материала, что с большей степенью повысит эффективность развития познавательной активности младших школьников.

«Решение: Ясно, что приходится начать с козы. Крестьянин, перевезши козу, возвращается и берет волка, которого перевозит на другой берег, где его и оставляет, но зато берет и везет обратно на первый берег козу. Здесь он оставляет ее и перевозит к волку капусту. Вслед затем, возвратившись, он перевозит козу, и переправа оканчивается благополучно».

Данная задача бессчетное число раз публиковалась в самых различных отечественных газетах, журналах и сборниках. При этом почти во всех работах упоминается только одно решение. А ведь есть и альтернативный путь! И возможно дети начнут именно с него, глядя на иллюстрации.

Вначале крестьянин опять-таки перевозит козу. Но вторым он не обязательно должен забирать волка! Можно взять капусту, отвезти ее на другой берег, оставить там и вернуть на первый берег козу. Затем перевезти на другой берег волка, вернуться за козой и снова отвести ее на другой берег. В этом случае количество рейсов (7) точно такое же, как и в опубликованном выше варианте.

Существование двух решений не отмечено ни в многократных переизданиях книги Е. И. Игнатьева, ни в других самых авторитетных источниках. В их числе: Э. Люкас «Математические развлечения: Приложение арифметики, геометрии и алгебры к различного рода запутанным вопросам, забавам и играм», Н. Н. Аменицкий, И. П. Сахаров «Забавная арифметика: Хрестоматия для развития сообразительности и самодеятельности детей в семье и в школе», В. Арене «Математические игры и развлечения», Б. А. Кордемский «Математическая смекалка» и многочисленные сборники последних лет.

Это тем более удивительно, что наличие двух решений было указано, к примеру, еще в начале 20-х годов XX века в книге В. Литцмана «Веселое и занимательное в фигурах и числах: Математические развлечения», причем довольно подробное. Видимо, многие издатели сочли необязательным приводить оба варианта, ведь они схожи, и являются по сути «зеркальными». Но в книге для детей, особенно младшего возраста, это необходимо, иначе существенно снижается педагогическая ценность задачи!

Любопытно, что Б. А. Кордемский в решении отмечает только второй вариант и по какой-то причине не упоминает первый. Загадка? Загадка.

Очень интересен вопрос о времени возникновения данной головоломки и ее первоисточнике. Б. А. Кордемский в книге «Математическая смекалка» говорит вскользь: «Это... старинная задача; встречается в сочинениях VIII века».

Вначале может показаться, что мы имеем дело с опечаткой, ведь первая или одна из первых отечественных публикаций задачи «Волк, коза и капуста» датирована концом XVIII века. В фондах Российской Исторической библиотеки сохранилась книга «Гадательная арифметика для забавы и удовольствия». На титульном листе значится: «На ижд. изд. И. Краен ополье кого», что означает «на иждивении издателя И. Краснопольского». В раритете на 62 страницах сорок одна занимательная задача. На с. 42 - 43 находится наша задача.

Далее приводится один вариант решения (первый).

Интересно, что в пособии болгарских авторов «Математический фольклор» задача о волке, козе и капусте помещена в раздел «Из математического фольклора других стран» с пометкой в скобках «Россия».

Вернемся к истории задачи и вопросу: прав ли Б. А. Кордемский, датировав задачу восьмым веком.

По мнению ряда историков, задача имеет западные корни. В. Арене указывает, что авторство хрестоматийной задачи приписывается Алкуину.

В. Литцман, предлагая читателям познакомиться с задачей о переправе в книге «Веселое и занимательное о числах и фигурах», вскользь пишет: «У Алкуина мы находим следующий рассказ».

Что же в наши дни известно об этой незаурядной личности? Алкуин (735-804) был ученым монахом и математиком из Ирландии, автором ряда учебников по математике. Король Карл Великий благоволил к ученым и всячески поощрял развитие наук. За королевским круглым столом нередко проводились состязания в решении хитроумных головоломок, в которых Алкуин имел возможность проявить свои незаурядные способности.

Алкуин основал Палатинскую школу в Туре (созданную для детей Карла V), принимал участие в основании университета в Париже. Добавим, что Алкуин был другом и учителем Карла Великого, его ученым советником.

Из других головоломок Алкуина наибольшую известность получили задачи

о гончей и зайце,

о покупке свиней,

о трех наследниках и 21 бочке,

о ста мерах пшеницы,

о быке.

Но только головоломка о волке, козе и капусте до сих пор поражает воображение и детей, и взрослых. Эту и некоторые другие задачи Алкуин поместил в свой трактат «Задачи для оттачивания ума юношей», написанный, как было принято в то время, латиницей.

В копии латинского манускрипта под МХУШ легендарная задача. Сразу бросается в глаза, что решение одно - то самое, которое приводится в большинстве пособий. Но сама головоломка имеет иное название: «Задача о человеке, козе и волке»!

Вот уже в нескольких изданиях при объяснении решения данной головоломки авторы делают одну и ту же забавную ошибку. Раскроем на с. 244 пособие Е. А. Латия «365 развивающих игр и затей для маленьких детей», где предлагаемое решение столь фантастично, что его следует воспроизвести дословно: «Разгадка: сперва везут волка и капусту, оставляют капусту на противоположном берегу; везут волка обратно и оставляют на берегу; забирают козу, переправляют на другой берег; там забирают капусту, везут обратно к волку и уже вместе их окончательно перевозят на другой берег».

Если бы волка и капусту можно было везти в лодке одновременно, то переправа завершилась бы гораздо быстрее, чем указано Е. А. Латием (но по условию задачи их нельзя переправлять вместе!) В вышедшей ранее раскраске «Угадай-ка: Выпуск 4» (М: Крона, 1996) волка заменили крокодилом, козу - на пирата Крюка, а капусту - на Питера Пэна, но решение аналогично предыдущему: «Сначала надо перевезти Питера и крокодила...» и т.д. Очевидно, что первоисточник ошибки один и тот же.

Да, еще не все тайны замечательной задачи разгаданы, и не исключено, что лукавая улыбка Алкуина будет преследовать не одно поколение авторов, составителей и читателей.

1.2.2 Из истории задач с одинаковыми цифрами

Первое упоминание о подобных задачах можно найти в отечественной книге «Занимательные и увеселительные задачи, изданные Иваном Буттером». Символично, что общее количество заданий сборника представляет собой число, состоящее из одинаковых цифр: 111.

В 1844 году книга И. Буттера, включающая те же 111 забавных головоломок, была переиздана. В пособиях XIX века, написанных другими отечественными авторами, аналогичных задач нам пока найти не удалось.

Из зарубежных авторов глубоко исследовал задания с одинаковыми Цифрами Г. Э. Дьюдени. В книге «520 головоломок» он отмечает:

«Меня постоянно спрашивают о старой головоломке «Четыре четвёрки». Я опубликовал её в 1899 г.Формулируется головоломка так:

«Найти все возможные числа, которые можно получить из четырёх четвёрок (не больше и не меньше) с помощью различных арифметических знаков».

Например, число 17 можно представить в виде

4-4 + 4:4

и т. д. Аналогичным образом можно записать все числа до 112 включительно, используя лишь знаки сложения, вычитания, умножения, деления.

В задаче «Двадцать четыре» Г. Э. Дьюдени указывает: «В одной книге было написано:

«Запишите число 24 с помощью трёх одинаковых цифр, отличных от 8.»

Там же приводился ответ:

22 + 2 = 24.

Теперь рассмотрим наиболее интересные задачи с одинаковыми цифрами, опубликованные в отечественных изданиях XX столетия. Самым примечательным трудом начала прошлого века стал трёхтомник Е. И. Игнатьева «В царстве смекалки, или Арифметика для всех: Опыт математической хрестоматии: Книга для семьи и школы».

В «Книге 2» заданиям с одинаковым цифрами отведён целый раздел, названный «Новый род задач». В ней приведено пять головоломок, которые с той поры кочуют из сборника в сборник. Снова цитируем Е. И. Игнатьева:

«Задача 47-я. Написать 2 тремя пятёрками». Один из двух ответов: (5+5): 5.

«Задача 48-я. Написать 5 тремя пятёрками».

Из десяти ответов два отвечают рассматриваемой тематике:

5+ 5-5 и 5*(5: 5).

К ответам Е. И. Игнатьева можно добавить также такие решения:

5:(5:5)и5-(5-5).

«Задача 49-я. Написать 31 пятью тройками. Решение,

Эта задача гораздо сложнее предыдущих. Она не нова, и обыкновенно считают, что она имеет всего три решения». В ряду предложенных ответов:

33-3 + 3 :ЗиЗЗ-(3 + 3):3.

Хотя Е. И. Игнатьев и озаглавил раздел «Новый род задач», он признал, что «Задача 49» была известна ранее. Интересно, отечественных или зарубежных предшественников имел в виду автор? Во многих других работах отечественных математиков конца XIX - начала XX веков задачи с одинаковыми цифрами не упоминаются. Например, в книгах С. А. Рачинского «1001 задача для умственного счета: Пособие для учителей сельских школ», Д. Н. Горячева, А. М. Воронца «Задачи, вопросы и софизмы для любителей математики».

Вскоре после выхода в свет книг Е. И. Игнатьева головоломки с цифрами стали популярны в России и появились на страницах пособий многих авторов и составителей. В их числе Н. Н. Аменицкий и И.П. Сахаров, написавшие книгу «Забавная арифметика: Хрестоматия для развития сообразительности и самодеятельности детей в семье и в школе». Если в первом издании хрестоматии задачи с одинаковыми цифрами отсутствовали, то уже в следующем - расширенном, вышедшем в трёх выпусках, и всех последующих они появились. Приведём цифровые головоломки по третьему изданию, не отличающемуся от второго:

10. а) Постарайтесь изобразить число 31 при помощи шести (или пяти) троек.

б) Изобразите число 100 при помощи четырёх одинаковых цифр» Вот какие ответы даны в этой книге: 10. а) 3 * 3 * 3 + 3 + 3 : 3; 33 - 3 + 3 : 3 и 33 - (3 + 3): 3.

6) 99 + 9 : 9.

Обратите внимание на то, что в задаче 10.а), в отличие от книги Е. И. Игнатьева, требуется изобразить число 31 не только пятью, но и шестью тройками, а в ответе на головоломку 10.6), в отличие от книги И. Буттера, после числа 99 стоит знак «плюс».

Задания из трёхтомника Е. И. Игнатьева использовал и А. В. Сатаров в четырёх брошюрах, вышедших под общим названием «Живая арифметика в часы досуга: Пособие семье и школе для развития смекалки в детях». В «Книге второй» автор поместил три задачи с одинаковыми цифрами: «14. Напишите 2 тремя пятёрками.

Напишите 5 тремя пятёрками;

Как изобразить 31 пятью тройками?»

А в «Книге третьей» А. В.Сатаров привёл ещё одно задание:

«Напишите число 100 четырьмя одинаковыми цифрами».

При этом, как А. В. Сатаров, так и Н. Н. Аменицкий с И. П. Сахаровым

в ответах использовали только действия сложения, вычитания, умножения и

деления.

1.2.3 Из истории головоломок с неповторяющимися цифрами

Задачи с неповторяющимися цифрами встречаем в замечательном отечественном трёхтомнике Е. И. Игнатьева «В царстве смекалки, или Арифметика для всех: Опыт математической хрестоматии: Книга для семьи и школы». В «Книге 1» приведена:

«Задача 32-я: Написать число 100 посредством девяти различных значащих цифр».

56 + 8 + 4 + 3 = 71+29=100».

Здесь Е. И. Игнатьев разъясняет: «Как видим, в предпоследнем решении допущен некоторый «фокус». Сначала из шести разных цифр составлено три числа, дающих в сумме 98 - число, опять-таки составленное из двух новых цифр, и к нему прибавляется число, изображённое недостающей цифрой 2. В сумме получается требуемое число 100. Подобно же составлено и последнее решение».

Интересно, что почти такую же задачу приводит И. Я. Герд в «Сборнике игр и полезных занятий для детей всех возрастов с предисловием для родителей и воспитателей», раздел «Задачи»:

«17. Составьте из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 такие числа, чтобы через сложение получить ровно 100».

При этом в ответе приводится только одно решение, немного отличающееся от указанных Е. И. Игнатьевым:

15 + 36 + 47-98 + 2=100.

Нетрудно найти и другие решения с «фокусом» помимо тех, которые присутствуют в пособиях Е. И. Игнатьева и И.Я. Герда:

73 + 10 + 6 + 5 + 4 = 98 + 2= 100;

70 + 16 + 3 + 4 + 5 = 98 + 2= 100;

53 + 8 + 4 + 6 = 71+29=100;

45 + 37+ 16 = 98 + 2= 100;

58 + 3 + 4 + 6 = 71+ 29=100;

47 + 36+15=98 + 2= 100 и т. п.

Еще раньше головоломку о числе 100 привёл классик занимательной математики американец С. Лойд, в его книге «Математическая мозаика».

Как видно, ответы на заинтересовавшие головоломки из книг Е. И. Игнатьева и С. Лойда либо очень сложны, либо не вполне корректны.

Целям книги И.Г. Сухина «Занимательные материалы» больше соответствует задание, которое привёл А. В. Сатаров в четырёхтомнике «Живая арифметика в часы досуга: Пособие семье и школе для развития смекалки в детях». В «Книге второй» он опубликовал следующую задачу: «11. Составьте из первых семи цифр: 1,2, 3,4,5,6,7 такие четыре числа, чтобы при сложении их получить ровно 100; при этом брать какую-либо цифру два или три раза нельзя. Ответ: Числа, удовлетворяющие условиям задачи, таковы: 2, 15, 36, 47. Действительно: 2 + 15 + 36 + 47 = 100. Возможны и другие решения, например: 2+ 17 + 35 + 46=100». В данной задаче очень много решений. Вот ещё некоторые из них:

5 + 12 + 37 + 46; 6+ 15 + 32 + 47; 7+ 16 + 35+42.

Очевидно, что иные решения легко получить перестановкой цифр в слагаемых (т. е. вместо 35 + 42 можно написать 32 + 45 и т. д.).

1.2.4 Из истории задач о переливании жидкостей

Практически ни один классический сборник, связанный с играми и развлечениями, не обходится без раздела «Дележи», причём заметное место в нём занимают задачи о переливании жидкостей из сосуда в сосуд.

К сожалению, большинство подобных старинных головоломок сложны, и поэтому не подходят для начальной школы. Как это ни удивительно, но в отечественных учебных пособиях сравнительно простых заданий данного класса практически нет. А ведь не подлежит сомнению, что они помогут детям в занимательной форме быстрее освоить действия сложения, вычитания и попрактиковаться в комбинаторике.

Лишь одну доступную детям младшего школьного возраста задачу находим в пособии для учителей М. Б. Балка «Организация и содержание внеклассных занятий по математике»:

«Имея 2 бидона на 4 и 5л, можно ли налить из водопроводного крана в ведро 3 л. воды? (Ёмкость ведра не меньше 3 л.) Ответ: можно».

Быстрейшим путём задача решается так: Заполняется водой четырёхлитровый бидон, затем вода переливается в пятилитровый, снова вода доверху наливается в меньшую ёмкость, и из меньшей 1 л отливается в большую. В результате в четырёхлитровом бидоне будет 3 литра воды.

Ещё две «водяные» головоломки приводятся в разделе «Задачи-смекалки» пособия для учителей 1-11 классов А. А. Свечникова и П. И. Сорокина «Числа, фигуры, задачи во внеклассной работе»:

«111. Как набрать из водопровода 6л воды, пользуясь двухлитровой банкой и чайником, в который входит 5л?

Решение: Напиваем в банку 2 раза по 2 л и переливаем в чайник, затем ещё раз напиваем в банку 2 л.

136. Как имея банку вместимостью 4 л и бидон -9 л, набрать из реки точно 7 л воды?»

Оптимальное решение второй задачи в пособии не даётся. Вот оно: Два раза заполняем банку водой и переливаем по 4 л воды из банки в бидон, снова наполняем банку и добавляем 1 л из неё в бидон, после этого все 9 л воды из чайника выливаем в раковину, и в бидон переливаем оставшиеся в банке 3 л, снова заполняем четырёхлитровую банку водой из реки и получаем требуемые (суммарные)

7л = Зл + 4л.

Непросто определить, в каком старинном трактате впервые появились задачи на переливание жидкостей, которые можно использовать при изучении темы «Величины» в начальной школе. Пожалуй, самая известная из них опубликована более семи веков назад. Познакомимся с ней:

«В одном средневековом сочинении восходящим к середине 13-го столетия, предлагается такого рода задача: Господин послал своего слугу в ближайший город купить 8 мер вина. Когда слуга, выполнив поручение, собирался домой, ему повстречался другой слуга, которого господин тоже посла! за вином. «Сколько у тебя вина?» -- спрашивает второй слуга. «8 мер», -- отвечает тот. «Мне тоже нужно купить вина». «Ты уже ничего не получишь, так как в городе больше вина нет», -- заявляет первый. Тогда второй слуга просит его поделиться с ним вином и показывает ему имеющиеся при нём два сосуда, один в 5, другой в 3 меры. Как произвести делёж: при помощи этих трёх сосудов?».

Приведём ход кратчайшего решения, включающего 7 операций переливания, обозначив «трёхмерный» сосуд, как первый, «пятимерный» назовём вторым, а «восьмимерный» -- третьим.

Итак: 1. Из третьего во второй отливаем 5 мер.

Из второго в первый --- 3 меры.

Из первого в третий переливаем 3 миры.

4. Из второго в первый -- 2 меры.

5. Из третьего во второй -- 5 мер.

6. Из второго в первый -- 1 меру.

7. Из первого в третий -- 3 меры.

В результате во втором и третьем сосудах получается по 4 меры вина. Широкую известность эта задача получила после публикации двумя изданиями сочинения К. Баше «Игры и задачи, основанные на математике». На русском языке книга К.Баше была издана лишь в 19-м веке, да и то в сокращенном виде.

Безусловно, и до 1877 года задача о сосудах встречалась на страницах отечественных книг. Указанную головоломку встречаем в сочинении «Гадательная арифметика для забавы и удовольствия». Задача №24 имеет следующий вид:

«Сосуд, наполненный восьмью кружками вина, разлить без меры на две равные части по сосудам, из коих в один входит 5 кружек вина, а в другой 3».

Эту задачу можно включать при введении понятия «меры».

Немного позднее задачу привели в книге «Библиотека учёная, экономическая, нравоучительная, историческая и увеселительная в пользу и удовольствие всякого звания читателей: Часть I». В разделе «Математические и физические увеселения на стр. 261 читаем:

«Некто, имея бутыль, наполненную 8 галенками хорошего вина...» и т.д.

Данная задача есть и в книге И. Буттера «Занимательные и увеселительные задачи, изданные Иваном Буттером». Усложнённые варианты головоломки находим в задачах №№ 18-22.

Публиковались ли в старину более простые задачи данной тематики? Ответ на этот вопрос проливают следующие строки из работы У. Болла и Г. Коксетера «Математические эссе и развлечения»:

«...Упомянем ещё несколько задач, которые веками входили в почти каждое собрание математических развлечений... Первый пример даёт хорошее представление о целом классе подобных задач. Некто отправился к источнику за водой с двумя кувшинами ёмкостью в 3 и 5 пинт. Как сможет он принести домой ровно 4 пинты воды? Решение здесь не составляет никакого труда».

Решение задачи в книге не приводится. С помощью наименьшего количества переливаний цели можно добиться следующим образом: Заполняется водой из источника больший кувшин, Зл из него переливаются в меньший и выливаются. 2л воды, оставшиеся в пятилитровом сосуде, перемещаются в трёхлитровый. Больший кувшин вновь наполняется водой из источника, 1л из него отливается в меньший кувшин. Теперь в пятилитровом сосуде находится ровно 4л воды.

Отметим, что именно с решением одной из сложных задач о переливаниях, связывают раскрытие математических способностей выдающегося французского математика С. Д. Пуассона. В задаче, предложенной юному Пуассону, ёмкость сосудов в отличие от хрестоматийной задачи составляла не 3, 5, 8 (мер), а 5, 8. 12 (пинт; пинта -- мера жидкости):

«Некто имеет двенадцать пинт вина и хочет подарить из него половину, но у него нет сосуда в шесть пинт. У него два сосуда, один в 8, другой в 5 пинт; спрашивается: каким образом налить шесть пинт в сосуд в восемь пинт».

Быть может в школе учится будущий выдающийся математик и предложит свое решение.

Таким образом, видно насколько долог и тернист был путь многих задач прежде, чем они дошли до наших дней. И насколько кропотлив и трудоемок был труд тех людей, тех ученых, которые искали новые более рациональные решения этим задачам, которые несомненно активизируют деятельность детей в процессе решения задач.

Из выше приведенных примеров задач историко-математического характера можно сделать вывод, что исторические задачи сейчас используются как логические задачи. В свою же очередь задачи с историческим содержанием делятся на типовые стандартные и нестандартные, которые можно применять на уроках при изучении различных тем, касающихся величин, математических понятий и способов арифметических действий.

Глава 2. Методические аспекты использования исторического материала на уроках математики в начальной школе

2.1 Подготовка учителя к использованию познавательных заданий историко-математического характера

2.1.1 Значение познавательных заданий историко- математического характера

Одна из возможностей формирования творческого мышления учащихся - развитие их познавательных способностей. Существенным педагогическим средством, направленным на развитие внутренней потребности интеллектуального роста, является использование познавательных заданий. Задача учителя состоит в том, чтобы при помощи познавательных заданий предусмотреть ход мыслительной деятельности учащихся, который привел бы их к самостоятельным выводам, обобщениям и открытиям. Большую роль в развитии школьников играет познавательные задания исторического характера. Задания данного вида имеют определенные методологические и педагогические цели: установление диалектической взаимосвязи между историей страны и края, раскрытие причинно-следственных связей, закономерностей исторического процесса, углубление, расширение, конкретизация, повторение и закрепление заданий по предмету. Кроме того эти задания являются средством активизации познавательной деятельности, способствуют установлению связей между учебной и внеучебной работой и приобщению учащихся к самостоятельному творческому труду. Знакомство с историей науки существенно влияет на более глубокое усвоение основных научных понятий и дает возможность правильно формулировать представления о диалектике процесса познания, закономерности развития математической науки и эмоционально настраивать учащихся на положительное восприятие культурного наследия.

2.1.2 Формы организации занятий с использованием исторического материала

Чтобы учитель научился использовать в своей работе задания историко-математического характера, ему необходимо владеть научными знаниями исторического материала и умениями включать исторический материал в тему урока.

Знание прошлого науки позволяют в концентрированном виде получать представление о формировании научных понятий, возникновении научных идей, создании методов исследования. О значении истории науки говорил еще Г.Лейбниц: « Весьма полезно знать истинное происхождение замечательных открытий, особенно таких, которые сделаны не случайно, а силою мысли. Это приносит пользу не только тем, что история воздает каждому свое и побудит других добиваться таких же похвал, сколько тем, что познание метода на выдающихся примерах ведут к развитию искусства открытия». Б.Гнеденко, развивая эту мысль отмечал, что история науки - это тот факел, который освещает новым поколениям путь дальнейшего развития и передает им священный огонь Птолемея, толкающий их на новые открытия, на вечный поиск, к познанию окружающего мира, включая их самих.

История науки в школе нужна для реализации важнейших целей обучения: формирования диалектико-материалистического мировоззрения, научного и теоретического мышления, эмоционально-мотивационной сферы и системы ценностей учащихся. Формирование указанных свойств личности служит одновременно и средством глубокого усвоения науки, развития и воспитания школьников. История науки в единстве с материалом и логикой предмета показывает науку как деятельность на макро- и микроуровне: исторический процесс развития науки и процесс отдельного открытия. История математики представляет собой часть общей истории развития человеческой культуры. История математики как одна из математических дисциплин включает в себя:

- факты, накопленные в ходе ее развития;

- гипотезы, т.е. основанные на фактах научные предположения, подвергающиеся в дальнейшем проверке опытом;

- методология, т.е. общетеоретические истолкования математических знаков и теорий, характеризующие общий подход к изучению предмета «Математика».

Предметом изучения является выяснение того, как происходит развитие элементов математики в изучаемый исторический период и куда оно ведет. В соответствии с этим на историю математики возлагается решение большого круга задач.

Чтобы подготовить учителей к использованию познавательных заданий историко-математического характера, необходима организация специальных занятий. Они призваны помочь учителю углубить знания по истории математики и научить его работать с историческим материалом в начальной школе. Для этого используются занятия, цель которых:

- изучить математическую культуру и ее развитие у различных народов и наций, уделив особое внимание России;

- раскрыть основные закономерности развития математики;

- познакомить с жизнеописанием и научной деятельностью ученых-математиков;

- определить содержание, объем исторических сведений, используемых в школьном курсе математике;

- обучить студентов основным принципам отбора материала из истории математики, который можно использовать в школе на уроках и во внеклассной работе;

- сформировать технологию использования элементов истории математики в процессе обучения.

Для примера покажем общий план подготовки к урокам, на которых есть возможность использовать исторический материал для активации познавательной деятельности школьников:

- определить место исторического материала при изучении темы;

- установить, с какими элементами данной темы или группы тем допустимо связать использование исторического материала;

- определить место исторического материала в уроке, возможность использования его на протяжении всего урока или фрагментарно;

- отобрать из известных средств реализации те, которые могут быть использованы наиболее результативно на данном уроке;

- наметить внеклассные занятия, на которых могут быть более полно обсуждены данные вопросы.

Представим также формы включения историко-математического материала. К ним относятся:

На уроках:

- исторические отступления на уроке (беседа 2-10 минут);

- сообщение исторических сведений, органически связанных с программным материалом;

- специальные уроки по истории математике.

На внеурочных занятиях:

- математические кружки;

- историко-математические вечера;

- стенная газета;

- внеклассное чтение;

- домашнее сочинение;

- составление альбомов и альманахов;

- работа по сбору «народной математике»;

- сообщение учителя или учащихся на классном собрании;

- беседы, лекции, доклады учителя или приглашенных научных работников;

- просмотр специальных научно-исторических кинофильмов и диапозитивов.

Выделим основные принципы, на которых строятся познавательные задания историко-математического характера. Ими являются:

- охват основных тем школьного курса математики;

- актуальность темы для истории края страны;

- раскрытие общих закономерностей в историческом развитии науки, особенностей в развитии отечественной математики;

- разнообразие познавательных заданий по форме и содержанию, по степени трудности их выполнения;

- учет интересов учащихся.

Использование познавательных заданий приводит к положительным результатам тогда, когда имеет место:

- систематическая постановка заданий;

- постепенное и последовательное их положение;

- осознание учащимися роли и значения заданий для развития их познавательных способностей;

- максимальное приближение заданий к потребностям и основным тенденциям интеллектуального развития учащихся.

Рассмотрим требования к разработке системы познавательных заданий исторического характера. К ним относятся:

- глубокая научность материала заданий;

- органическая связь с программой по математике;

- направленность заданий на приобретение новых знаний, на повторение и закрепление их, на развитие умений и навыков, на использование различных источников и методов исследования;

- задания по возможности должны носить проблемный характер, ориентировать на самостоятельный поиск, исследование и вызывать повышенный интерес.

И вообще этап знакомства учеников со старинными задачами следует начинать со сведений о жизни и деятельности русского математика и педагога Леонтия Филипповича Магницкого. Сообщение биографических данных об этом самородке - математике служит средством пробуждения интереса учащихся к математике.

Вот некоторые факты его биографии.

Родился Л.Ф. Магницкий 9 июня 1669 года в Осташковской слободе Тверской губернии в семье крестьянина. Один из священников того времени писал, что мальчик с малых лет прославился в своей слободе тем, что сам научился писать и читать, «разбирать мудреное и трудное». Настойчивым и упорным трудом он приобрел глубокие познания в точных науках.

Знатные богомольцы перевезли мальчика в Москву.

В знак глубокого уважения к математическому таланту царь Петр Й предложил изменить Фамилию мальчика Телятин на Магницкого, объясняя свое решение тем, что «как магнит привлекает к себе железо, так и он своими природными и самообразованными способностями обратил внимание на себя». Возможно поэтому именно ему было предложено написать учебник по изучению математики для школы навигации, которая была открыта впервые в Москве в 1701 году по указу Петра Й.

Л.Ф. Магницкий успешно справился с предложением Петра Й, и в 1703 году в Москве была издана книга «Арифметика, сиречь наука числительная» на славянском языке. Эта книга названа еще энциклопедией математических знаний того времени.

Кроме основ арифметики, учебник содержал элементы алгебры, геометрии, тригонометрии, астрономии и навигации, которые нужны были для учащихся школы навигации. Учебник насыщен задачами и примерами, большинство из которых увлекательны по содержанию. Книга была в употреблении почти до середины ЧVЙЙЙ века, являясь, по словам М. Ломоносова, «вратами своей учености».

Л.Ф. Магницкий работал не только преподавателем в навигационной школе, но в разное время исполнял и другие правительственные поручения. Скончался Л.Ф. Магницкий 19 октября 1739 года.

2.1.3 Анализ методической литературы

В папирусах Древнего Египта содержится большое число задач. В папирусе Райнда имеется задача на арифметическую прогрессию. «Тебе сказано: раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между

каждым человеком и следующим за ним составит 1/8 меры».

В клинописных текстах встречаются первые задачи на проценты. В Древнем Вавилоне, стоявшие на перепутье торговых караванов, рано появились денежные знаки и кредит. Начисляли обычно 12 на 60, т.е. пятую часть, или, говоря современным языком 20%.

Слово «проценты» появилось в Европе, когда итальянские ростовщики, использующие десятичную систему счисления, стали начислять рост долга на сто единиц кредита. Скажем, начисляли 20 на 100, т. е. 20%.

Большое число арифметических задач содержит «Книга абака» итальянского ученого Леонардо Пизанского. Его задачи вплоть до наших дней переходят из одного учебника в другой.

Леонардо, известный также под именем Фибоначчи был первым ученым Западной Европы, освоившим все достижения математиков стран ислама и продвинувшимся дальше них. Он родился в Пизе, крупном торговом городе Италии того времени. Путешествуя по Египту, Сирии, Индии, Сицилии, везде знакомился с правилами счета.