Примером одной из первых задач с параметром является знаменитая задача Дидоны. В IX в. до н.э. финикийская царевна Дидона, спасаясь от преследований своего брата, отправилась на запад вдоль берегов Средиземного моря искать себе прибежище, ей приглянулось одно место на побережье Тунисского залива. Дидона повела переговоры с местным предводителем Ярбом о продаже земли. Запросила она участок совсем небольшой -- "столько, сколько можно окружить бычьей шкурой". Дидоне удалось уговорить Ярба, и сделка состоялась. Тогда Дидона изрезала шкуру быка на мелкие тесемки, связала их воедино и окружила большую территорию, на которой основала крепость и город Карфаген. Эта легенда содержится в поэме "Энеида" римского поэта Публия Вергилия Марона, а также в трактате "Об изопериметрических фигурах" древнегреческого ученого Зенодора, жившего между III в. до н.э. и началом н.э.

Задачу по отысканию среди всех замкнутых кривых с данным периметром той, которая охватывает максимальную площадь, называют задачей Дидоны.

Что же в этой задаче является параметром? Сформулируем задачу Дидоны в таком виде: "у какой фигуры Р, при заданном периметре, площадь будет наибольшей?". В данном случае параметром выступают не числовые данные, а фигура; при различных значениях этого параметра, то есть при различных фигурах задача будет иметь различные решения.

Математика оперирует строго определенными понятиями, а в окружающем нас мире на каждом шагу встречаются сплошные неопределенности, условности. "Если будет дождь, то праздник "День знаний" проходит по программе А, а если дождя не будет, то -- по программе Б". Можно ли рассматривать условие "будет - не будет идти дождь" как параметр? Или математике нужны только числовые параметры? Для алгебры -- это естественно. Но геометрия включает в себя не только числовые соотношения между фигурами или элементами фигуры, но и геометрические. Следовательно, для геометрии параметрами могут быть и классические "алгебраические" параметры, и сугубо специфические "геометрические" параметры.

В нашем курсе мы будем рассматривать задачи с геометрическими параметрами, а с некоторыми из них вы уже встречались в прошлом году:

1. Точки А, В и С лежат на одной прямой. Известно что АВ = 12см ВС = 13.5см. Какой может быть длина отрезка АС?

Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими. Поскольку речь идет о трех точках, то каждая из них может лежать между двумя другими, и потому мы имеем три различных случая.



Отрицательное число не является решением, так как длина- положительное число.Ответ: 22,5см или 1,5см.

2. Известно, что АОВ = 35^о, ВОС = 50^о. Найдите угол АОС. Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж с помощью линейки и транспортира.

Отрицательное число не является решением, так как градусная мера угла - положительное число. Ответ: 15^o или 85^o.

Домашнее задание

1) Точки А, В и С лежат на одной прямой. Известно что АВ = 10см ВС = 25см. Какой может быть длина отрезка АС? (ответ: 35см или 15см).

2)Известно, что АОВ = 45^о, ВОС = 25^о. Найдите угол АОС. Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж с помощью линейки и транспортира. (Ответ 70⁰ или 20^о).

3) На прямой расположены точки A,B,C и D. Найдите длину отрезка с концами в серединах AB и CD, если AC = 5, BD = 7.



2 занятие.(задачи в теме треугольники)

(обобщение задач домашнего задания)

1. На прямой, содержащей отрезок АВ, взята точка С так, что АС=с, АВ=а. Найдите длину отрезка ВС.

Решение.

1) Пусть точка А лежит между точками С и В. Тогда по аксиоме измерения отрезков ВС = АВ + АС, откуда ВС = а + с.

2) Пусть точка В лежит между точками А и С. Тогда АС = АВ + ВС и ВС = с - а.

3) Если же точка С лежит между точками А и В, то АВ = АС + ВС и ВС= а - с.

Очевидно, что случаи 2) и 3) несовместимы, поскольку значения длины отрезка ВС будут противоположны, а длина отрезка - число положительное. Таким образом, один из этих случаев не дает ответа.

Ответ: ВС = а + с или ВС = \а - с\.

2. Луч с выходит из вершины (аЬ). Найти (ас), если (аb) = а, (Ьс) = .

Решение:



Основная часть

1. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен 80^о.

решение:

1) пусть В=80⁰, тогда С=80⁰,

так как треугольник АВС - равнобедренный.

Так как сумма углов треугольника 180⁰, то

А+В+С=180⁰

А+160⁰=180⁰

А=20⁰

2) пусть А=80⁰, тогда

А+В+С=180⁰

В+С=100⁰

так как В=С, поскольку АВС - равнобедренный, то В=С=50⁰

ответ: 20⁰ , 80⁰, и 80⁰ или 50⁰, 50⁰, и 80⁰.

3. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если одна из его сторон равна 10, а периметр 26.

1) пусть АВ=10, тогда АС=10, так как треугольник АВС - равнобедренный.

Тогда

АВ+АС+ВС=26

ВС=26-10-10=6.

2)пусть ВС=10,

Тогда

АВ+АС+ВС=26

АВ+АС=16

так как АВ=АС, поскольку АВС - равнобедренный, то АВ=АС=8.

Ответ: 10, 10 и 6 или 8, 8, и 10.

3.Через вершины А и С треугольника АВС проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла АВС, пересекающие прямые СВ и ВА в точках К и М. Найдите АВ, если ВМ = 8, КС = 1.



Дано:

АВС, ABL=LBC,AKBL,CMBL,BM=8,KC=1.

Найти АВ.

Решение:

Рассмотрим треугольник АВК:

Равнобедренный, так как ВО - высота

И биссектриса одновременно, следовательно, АВ=ВК.

Рассмотрим треугольник ВМС:

Равнобедренный, так как ВQ - высота И биссектриса одновременно, следовательно, ВМ=ВС.

1) допустим, что АВ<BC, тогда

BK=BC=KC=8-1=7

AB=BK=7

2) допустим, что АВ>BC, тогда

BK=BC=KC=8+1=9

AB=BK=9

Ответ: 7 или 9.

4. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника пересекает боковую сторону под острым углом а. Найдите углы треугольника. При каких значениях параметра а задача имеет два решения?

Решение. Обозначим угол ВАС через 2х.

В зависимости от того, который из углов - ВЕС или АЕС - принять равным а, получатся различные решения.

1) Если АЕС = а, то х + 2х + а = 180°, откуда х=60°- и В= 120°-- . Но поскольку В<90°, то а>45°. При этом С=-60°.

2) Если АЕС = а, то этот угол как внешний для треугольника АЕС равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. То есть а = Зх, а х = . Тогда В= , С=180°- . Но поскольку В< 90°, то а < 135°, что уже оговорено в условии задачи (угол а - острый).

Ответ: при а > 45° задача имеет два решения:

А=В=120°- , С=-60°,

или А=В=, С=180°-.

Домашняя работа:

1. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его внешних углов равен 100^о.

Решение:

пусть внешний угол при вершине А=100⁰, тогда С+В=100⁰, по теореме о внешнем угле треугольника. так как треугольник АВС - равнобедренный, то В=С=50⁰ В=180⁰-100⁰=80⁰

2) пусть внешний угол при вершине В=100⁰, тогда В=80⁰, следовательно, С=80⁰, так как треугольник АВС - равнобедренный.

Так как сумма углов треугольника 180⁰, то

А+В+С=180⁰

А+160⁰=180⁰

А=20⁰

ответ: 20⁰ , 80⁰, и 80⁰ или 50⁰, 50⁰, и 80⁰.

2. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них равен а.

Если угол В равен а, то А=С=, Если же А=С=а, то В=180⁰-2а. ответ: ,и а или 180⁰-2а, 180⁰-2а и а.

3. Периметр равнобедренного треугольника равен Р, одна из его сторон равна а. Найдите вторую сторону треугольника.

Решение:

1) пусть АВ=а, тогда АС=а, так как треугольник АВС - равнобедренный. Тогда АВ+АС+ВС=р, ВС=р-а-а=р-2а. 2)пусть ВС=а, тогда АВ+АС+ВС=р, АВ+АС=р-а так как АВ=АС, поскольку АВС - равнобедренный, то АВ-АС=.

Ответ: р-2а, р-2а и а или , , и а.

3 занятие. (задачи в теме окружность)

1. Даны две окружности с общим центром и радиусами 3 и 7. Найдите радиус окружности, касающейся каждой из этих окружностей.

2. На плоскости имеются две окружности. Чему равен радиус окружности, касающейся данных окружностей и имеющей центр на прямой, проходящей через их центры, если радиусы данных окружностей и расстояния между их центрами соответственно равны: а) 1,3,5; б) 5,2,1; в) 3,4,5? Сколько решений имеет задача?



Решение:

В каждом пункте может быть 4 возможных расположения третьей окружности относительно двух данных, так как центры данных окружностей не совпадают.

Пусть В-центр окружности с радиусом 1, N-центр окружности с радиусом 3, Е-радиус искомой окружности. Тогда

AB=BC=1,ND=MN=3,BN=5.

1) BN=BC+CN,

CN=5-1=4,

CM=CN+NM=4+3=7

EM=CM=3,5.

2) BN=BC+CD+DN,

CD=BN-BC-DN=5-1-3=1,

AD=AC+CD=2+1=3,

ED=AD=1,5.

3) BM=BC+CD+DN,

CD=BM-BC-DN=5-1-3=1

ED=CD=0,5

4) AM=AB+BN+NM=1+5+3=9

EM=AM=4,5.

Пусть A-центр окружности с радиусом 2, B-центр окружности с радиусом 5, C-искомой окружности.

Тогда AN=AM=2,BD=BK=5,AB=1.

1) CK=?

DN=DB-BA-AN=5-1-2=2,

KM=KD-DN-NM=10-2-4=4,

CK=KM=2.

2) CD=?

DN=DB-BA-AN=5-1-2=2,

CD=DN=1.

3) CK=?

DN=DB-BA-AN=5-1-2=2,

KN=DK-DN=10-2=8,

CK=KN=4.

4) CM=?

DM=DN+NM=2+4=6,

CM=DM=3.

Пусть A-центр окружности с радиусом 3, B-центр окружности с радиусом 4, C-искомой окружности. Тогда

AD=AM=3,BN=BK=4,AB=5.

1) CN=?

BM=AB-AM=5-3=2,

AN=AB-BN=5-4=1,

MN=AB-BM-AN=5-2-1=2,

CN=MN=1.

2) CK=?

KM=KN-NM=8-2=6,

CK=KM=3.

3) CD=?

CD=DM-NM=6-2=4, CD=DM=2.

4) CK=?

DK=DM+NK-NM=6+8-2=12

CD=DK=6.

Ответ: а) 3,5 или 0,5 или 1,5 или 4,5;

Б) 1 или 2 или 3 или 4;

В) 1 или 2 или 3 или 6.

3. В вершинах треугольника расположены центры трёх попарно касающихся окружностей. Найдите радиусы этих окружностей, если стороны треугольника равны 5,6,7. Сколько решений имеет задача?

РЕШЕНИЕ:

Точки касания располагаются на прямых, соединяющих центры, то есть на АВ, ВС и АС.

1) пусть АС=5, ВС=6, АВ=7, АО=х, тогда ОС=СР=5-х, ВМ=РВ=7-х, но СР+РВ=6, 5-х+7-х=6; АО=х=3,СР=5-х=2,РВ=7-х=4.

2) пусть АС=5, ВС=7, АВ=6, ВМ=х, тогда АМ=АО=х-6, СО=СР=х-7, но СО+АО=5, х-7+х-6=5

ВМ=х=9,АО=х-6=3,РВ=Х-7=2.

3) пусть АС=7, ВС=6, АВ=5

ВМ=х, тогда

АМ=АО=х-5, СО=СР=х-6, но

СО+АО=7,х-7+х-6=7

ВМ=х=9,АО=х-5=4, РВ=Х-6=3.

4) пусть АС=6, ВС=5, АВ=7

ВМ=х, тогда

АМ=АО=х-7, СО=СР=х-5, но

СО+АО=6,х-7+х-5=6

ВМ=х=9,АО=х-7=2, РВ=Х-5=4.

ОТВЕТ: 2,3,4 или 2,3,9 или 3,4,9 или 2,4,9.

Домашнее задание.

1. Даны две окружности с общим центром и радиусами к и К. (к). Найдите радиус окружности, касающейся каждой из этих окружностей. (Решение аналогично решению задачи в классе.)

Ответ: или .

2 . На прямой расположены точки А,В,С и D, при чём АВ = 2,

CD = 3. Отрезки АС и BD являются диаметрами двух окружностей. Найдите расстояние между центрами этих окружностей

Решение:

Ответ: 2,5 или .

4 занятие(четырехугольники)

1. Даны три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. Построить точку М такую, чтобы точки А, В, С, М были вершинами параллелограмма.

параметром в данной задаче является неопределенность, какой из трех отрезков: АВ, АС или ВС принять за диагональ параллелограмма.

Построение:

3) АС

4) О -середина АС

5) ВО

6) М: МВО, ВО=ВМ

7) АВ, АМ, ВС, СМ.

Четырехугольник АВСМ параллелограмм по определению. Построение в двух других случаях аналогично первому.

2. Биссектриса угла А параллелограмма АВСD пересекает сторону BC в точке К. Найдите периметр этого параллелограмма, если ВК = 15см КС = 9см.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение:

Треугольник АВК равнобедренный из равенства углов при основании. Следовательно, АВ=ВК=15см.

1) пусть точка К находится между точками В и С, тогда

ВС=ВК+КС=15+9=24(см)

Р=2(АВ+ВС)=2(15+24)=78(см)

2) пусть точка К находится вне отрезка ВС, тогда

ВС=ВК-КС=15-9=6(см)

Р=2(АВ+ВС)=2(15+6)=42(см)

Ответ: 78см или 42см.

3. О параллелограмме ABCD известно что угол ABD равен 40^о и что центры окружностей, описанных около треугольников ABC и CDA, лежат на диагонали BD. Найдите угол DBC.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение:

Так как центры окружностей, описанных около треугольников ABC и CDA, лежат на диагонали BD, то точки пересечения серединных перпендикуляров лежат на BD, получаем, что BDАС, следовательно, ABCD - ромб или центры окружностей лежат в точке пересечения диагоналей, и тогда ABCD - прямоугольник.

Если ромб, то угол DBC=40⁰, так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Если прямоугольник, то угол DBC=50⁰, так как угол АВС=90⁰.

Ответ: 40⁰ или 50⁰.

Домашняя работа.

1. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7см и 14см.

(ответ: 70см или 42см).

2. От параллелограмма с помощью прямой, пересекающей две его противоположные стороны, отрезали ромб. От оставшегося параллелограмма таким же образом вновь отрезали ромб. И от вновь оставшегося параллелограмма опять отрезали ромб. В результате остался параллелограмм со сторонами 1 и 2. Найдите стороны исходного параллелограмма.



Размещено на http://www.allbest.ru/

пусть AO=1, AM=2.

MF=MN=DN=DP=AO=1

AD=AM+MN+DN=2+1+1=4=OP=OB

AB=AO+OB=1+4=5

2) пусть AO=2, AM=1.

MF=MN=DN=DP=AO=2

AD=AM+MN+DN=1+2+2=5=OP=OB

AB=AO+OB=2+5=7

3) пусть AN=2, AD=1.

MN=MK=KB=CB=AD=1

AB=AN+MN+MK+KB=2+1+1+1=5

4) пусть AN=1, AD=2.

MN=MK=KB=CB=AD=2

AB=AN+MN+MK+KB=1+2+2+2=7

5) пусть AN=1, AM=2.

MF=MD=DS=AN=1

AD=AM+MD=2+1=3=NS=NK=KB

AB=AN+NK+KB=1+3+3=7

6) пусть AN=2, AM=1.

MF=MD=DS=AN=2

AD=AM+MD=1+2=3=NS=NK=KB

AB=AN+NK+KB=2+3+3=8

Ответ: 4 и 5, или 5 и 7, или 1 и 5, или 2 и 7, или 3 и 7, или3 и 8.

5 занятие(четырехугольники)

1. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие - на катетах. Чему равны стороны прямоугольника, если известно, что они относятся как 5:2, а гипотенуза треугольника равна 45 см.?

Решение:

Треугольники АКМ и РОВ- равнобедренные, из равенства углов при основании.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Следовательно АК=КМ и ОР=ОВ.

1) пусть , тогда МК=5х, а КО=2х.

АВ=АК+КО+ОВ=МК+КО+ОВ=5х+2х+5х

45=12х

х=3,75

МК=5х=18,75 а КО=2х=7.5

2) пусть , тогда

МК=2х, а КО=5х.

АВ=АК+КО+ОВ=МК+КО+ОВ=2х+5х+2х

45=9х

х=5

МК=5х=25 а КО=2х=10

Ответ: 18,75 и 7.5, или 25 и 10.

2. Диагональ трапеции делит её на два равнобедренных треугольника. Угол при основании одного из этих треугольников равен 40^о. найти углы трапеции.

Решение:

Очевидно, что в треугольнике ВСК ВК-основание, Так как угол С-тупой, в треугольнике АВК все углы острые, следовательно можно рассмотреть 3 случая:



Размещено на http://www.allbest.ru/

АВ=ВК

тогда КВС=СКВ=40^о, С=100⁰,

ВКА=КВС как внутренние накрест лежащие,

ВКА=ВАК=40⁰, АВК=100⁰.

А=40⁰, В=140⁰, С=100⁰, К=80⁰.

2) ВК=АК, тогда КВС=СКВ=40^о, С=100⁰,

ВКА=КВС как внутренние накрест лежащие,

АВК=ВАК=70⁰.

А=70⁰, В=110⁰, С=100⁰, К=80⁰.

3. АВ=АК, КВС=СКВ=40^о, С=100⁰,

ВКА=КВС как внутренние накрест лежащие,

тогда АВК=ВКА=40⁰, ВАК=100⁰.

А=100⁰, В=80⁰, С=100⁰, К=80⁰.

Получился параллелограмм, а по условию дана трапеция, значит такого случая быть не может.

Ещё одно решение получается, если рассмотреть трапецию, у которой при большем основании один угол острый, а другой - тупой.



Размещено на http://www.allbest.ru/

ВС=ВК, АВ=ВК. А=40⁰, тогда ВКА=40⁰

ВКА=КВС как внутренние накрест лежащие, ВКС=С=70⁰.

А=40⁰, В=140⁰, С=70⁰, К=110⁰.

Ответ: 40⁰, 140⁰, 100⁰, 80⁰ или 70⁰, 110⁰, 100⁰, 80⁰ или 40⁰, 140⁰, 70⁰, 110⁰.

3. Биссектрисы углов А и D параллелограмма АВСD пересекают прямую ВС в точках Е и F соответственно. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен p и известно, что .

Решение: 1.рассмотрим сначала случай, когда точка пересечения биссектрис лежит внутри параллелограмма.

AB=BE=CF=CD, так как треугольники ABE и FDC равнобедренные, AD=CD как стороны параллелограмма, BAD=BEA Как внутренние Накрест лежащие при BC||AB и AC биссектриса.

Пусть EF=х

=AB+BE+FC-EF

=3BE-x=

Отсюда x=*^.

AB=BE=

BC=BE+CF-x=.

2. теперь рассмотрим случай, когда точка пересечения биссектрис лежит вне параллелограмма.

Здесь решение аналогично предыдущему: AB=BE=CF=CD аналогично.

Пусть

EF=x

=AB+BE+FC+EF

=3BE+x=

Отсюда х=

AB=BE=

BC=BE+CF+x=.

Ответ: если точка пересечения биссектрис лежит вне параллелограмма, то

AB= , BC=;

если точка пересечения биссектрис - внутри параллелограмма, то

AB=_, BC=

Домашняя работа:

1. отношение углов А и В, прилежащих к боковой стороне трапеции АВСК, равно 2:3. диагональ АС делит трапецию на два равнобедренных треугольника. Найти углы трапеции.

Размещено на http://www.allbest.ru/

РЕШЕНИЕ:

, тогда А=2х, В=3х.

так как сумма внутренних односторонних углов равна 180⁰, то 2х+3х=180⁰, х=36⁰, тогда А=72⁰, а В=108⁰.

ВАС=ВСА=36⁰, и САК=36⁰.

1) АС=СК СКА=САК=36⁰, АСК=108⁰

А=72⁰, В=108⁰, С=144⁰, К=36⁰.

2) АС=АК АСК=АКС=72⁰,

А=72⁰, В=108⁰, С=108⁰, К=72⁰.

3) в случае, когда СК=АК получается параллелограмм.

Ответ: 72⁰, 108⁰, 144⁰, 36⁰ или 72⁰, 108⁰, 108⁰, 72⁰.

2. Боковые стороны трапеции равны 17см и 10см, найти основания трапеции, если известно, что её высота равна 8см, а средняя линия 30см.

Решение:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рассмотрим АВЕ иСРН.

Прямоугольные. По теореме Пифагора в АВЕ:

АЕ²=100-64=36,

АЕ=6.

По теореме Пифагора в СРН:

РН²=289-64=225,

АЕ=15.

ВС=ЕН, так как ВСНЕ- параллелограмм (противолежащие стороны параллельны).

1) МК=(ВС+АР)=

(ВС+АЕ+ЕН+НР)=(ВС+АЕ+ВС+НР)=(2ВС+6+15)=30

ВС=19,5СМ

АР=40,5СМ

2) МК=(ВС+АР)= (ВС+ЕН+НР-АЕ)=(ВС+ВС+НР-АЕ)=(2ВС-6+15)=30

ВС=25,5СМ

АР=34,5СМ

Ответ: 25,5СМ и 34,5СМ или 19,5СМ и 40,5СМ.

6 занятие( окружность и т Пифагора)

1. Две стороны прямоугольного треугольника равны 3м. и 4м. Найти третью сторону.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1) пусть АС=4м, ВС=3м. по теореме Пифагора в треугольнике АВС:

АВ²=16+9=25

АВ=5

2) пусть АВ=4м, ВС=3м.

по теореме Пифагора в треугольнике АВС:

АС²=16-9=7

АС=

Ответ:5 или

2. Расстояние между центрами двух окружностей равно 10к. Одна из окружностей имеет радиус 5к, вторая -- 6к. Прямая пересекает меньшую окружность в точках А и В и касается большей в точке С. Найдите длину хорды АВ, если известно, что АВ = 2 * ВС.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение:

О₁О=10к,О₁М=5к, О₂С=6к

Следовательно, СМ=1к, а О₁С=4к по теореме Пифагора в треугольнике О₁АС: АС²=25к-16к=9к, АС=3к,АВ=6к.

2. Пусть АВ=2х по теореме Пифагора в треугольнике О₂ЕВ

О₂Е²=25к²-х²

О₂Е=

по теореме Пифагора в треугольнике О₁МО₂

О₁М²=100к²-4х²

О₁М=2

О₁М=2О₂Е

СО₁=6к=СМ+МО₁=ЕО₂+МО₁

6к= ЕО₂+МО₁=3О₂Е

О₂Е=2к

х=к

АВ=2к.

Ответ: 2к или 6к.

3. Периметр трапеции равен 112. Точка касания вписанной в трапецию окружности делит одну из боковых сторон на отрезки длины 8 и 18. Найдите основания трапеции.



Решение: NC=CE=8, из равенства по гипотенузе и катету треугольников NOC и EOC. ED=MD=18, из равенства по гипотенузе и катету треугольников DOE и DOM. KD=MD-МК=18-8=10,

По теореме Пифагора для треугольника СКD:

СК= r=12

AB=BN+AМ (также как СD=NC+MD)

BN+AМ+AB=60(так как 112-8-8-18-18=60),

Тогда AB=30.

По теореме Пифагора для треугольника АВL:

AL=

1.P=AB+BN+NC+CD+DM+ML+AL=

=30+BN+8+26+18+ML+18=112

ML=BN=6, BC=8+6=14, AD=18+6+18=42.

2 P=AB+BN+NC+CD+DM+ML-AL=30+BN+8+26+18+ML-18=112

ML=BN=24, BC=24+8=32, AD=24-18+18=24.

Ответ: 14 и 42 или 24 и 32.

Домашняя работа:

1. Две стороны треугольника равны 25см и 30см. Найти третью сторону, если высота, проведённая к ней равна 24см.

РЕШЕНИЕ:

АВ=30см, ВС=25см, ВН=24см.

Треугольники АВН и ВСН - прямоугольные.

По теореме Пифагора в АВН:

АН²=900-576=324

АН=18(см)

По теореме Пифагора в ВСН:

СН²=625-576=49

СН=7(см).

Поскольку не сказано, остроугольный или тупоугольный треугольник, то можно рассмотреть 2 случая:

1) остроугольный:

АС=АН+СН=18+7=25(см).

2) тупоугольный:

АС=АН-СН=18-7=11(см).

Ответ: 25см или 11см.

7 занятие( окружность и т Пифагора)

1. Длины соседних сторон вписанного в окружность четырехугольника отличаются на 1. Длина наименьшей из них так же равна I. Найдите радиус окружности.

решение:

1) ВС=1, тогда АВ=ВС=2, АD=1

АС=

ОС=

2) ВС=1, тогда АВ=ВС=2, АD=3, к-радиус

ВТ=, пусть ОМ=а

По теореме Пифагора из тр-ка АОМ

К=

Из тр-ка ОРС:

К=

2.25=0.25+3-2а

а=, к=

ответ:

2. Дан отрезок длины 20. Три окружности с радиусами 4 имеют центры в концах отрезка или в его середине. Найдите радиус четвертой окружности, касающейся трех данных.

1. Решение: к-искомый радиус.

ОО₁О₂-равнобедренный, с боковыми сторонами, равными (к-4), тогда высота ОА является также и медианой.

По теореме Пифагора:

Из АОО₂

ОА²=(К-4)²-25

Из АОО₃

ОА²=(К+4)²-225

-8К-25=8К-225, 16К=200, К=12.5

2. пусть к- искомый радиус, ОО₂=а, тогда к=4+а, по теореме Пифагора для треугольника ОО₂О₃

а²=((а+4)+4)²-100

16а=36,

а=2.25,

к=6.25.

Ответ: 6,25 или 12,5.

Домашняя работа:

1. Найти высоту равнобедренного треугольника с основанием а и радиусом описанной окружности R.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение.

Поскольку вершина, противолежащая основанию, может лежать на одной из двух дуг описанной окружности (т.е. в разных полуплоскостях относительно прямой, содержащей основание треугольника), то задача будет иметь два различных решения:

1) Если угол, противолежащий основанию, острый (В), то расстояние от центра окружности до основания ОМ=Н--R, где Н -- высота ВМ, проведенная к основанию. Тогда по теореме Пифагора для треугольника АОМ: АО²=R²=()²+(H-R)², откуда получаем квадратное уравнение относительно H: H²-2HR+=0. Корни этого уравнения числа

Н_1,2=R±.

Если же угол, противолежащий основанию, тупой(Р), то расстояние от центра окружности до основания равно ОМ=R-Н, а следовательно, R² = ()²+(R-H)² что приведет к тому же самому квадратному уравнению. Таким образом, квадратное уравнение само предусмотрело два различных решения этой задачи.

Ответ: R±.

8.1 Задача Дидоны.(на примере прямоугольников). (для учащихся по учебнику Погорелова А.В.)

На последнем занятии посмотрим, какой все-таки участок приобрела Дидона. Легенда состояла в следующем:

В IX в. до н.э. финикийская царевна Дидона, спасаясь от преследований своего брата, отправилась на запад вдоль берегов Средиземного моря искать себе прибежище, ей приглянулось одно место на побережье Тунисского залива. Дидона повела переговоры с местным предводителем Ярбом о продаже земли. Запросила она участок совсем небольшой -- "столько, сколько можно окружить бычьей шкурой". Дидоне удалось уговорить Ярба, и сделка состоялась. Тогда Дидона изрезала шкуру быка на мелкие тесемки, связала их воедино и окружила большую территорию, на которой основала крепость и город Карфаген.

Задачу по отысканию среди всех замкнутых кривых с данным периметром той, которая охватывает максимальную площадь, называют задачей Дидоны.

Задача Дидоны формулируется в таком виде: "у какой фигуры Р, при заданном периметре, площадь будет наибольшей?"

Допустим, что Дидона получила веревку, длиной р м.

Ей предложили на выбор несколько участков земли прямоугольной формы.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Это все участки прямоугольной формы с периметром р. Какой из них будет иметь наибольшую площадь?

Для начала, допустим, что верёвка получилась длиной 100м, тогда

Если одна из сторон - х, То другая- 50-х.

Подсчитав площадь, получим:

Х(50-х) = 50х-х2 = 625-(х2-50х+625) = 625-(25-х)2

Разность будет наибольшей, если (25-х)2=0, т.е х=25, т.е если четырехугольник- квадрат.

Теперь рассмотрим общий случай, когда периметр р.

Если одна из сторон - х, То другая- -х.

Подсчитав площадь, получим:

Х(-х) = х-х2 = ()²-(х²-х+()²) = ()²-(-х)2

Разность будет наибольшей, если (-х)²=0, т.е х=, т.е если четырехугольник - квадрат.

Таким образом получается, что из всех прямоугольников с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат.

8.2 Задача Дидоны.(на примере параллелограммов). (для учащихся по учебнику Атанасяна Л.С. и др.)

На последнем занятии посмотрим, какой все-таки участок приобрела Дидона. Легенда состояла в следующем:

В IX в. до н.э. финикийская царевна Дидона, спасаясь от преследований своего брата, отправилась на запад вдоль берегов Средиземного моря искать себе прибежище, ей приглянулось одно место на побережье Тунисского залива. Дидона повела переговоры с местным предводителем Ярбом о продаже земли. Запросила она участок совсем небольшой -- "столько, сколько можно окружить бычьей шкурой". Дидоне удалось уговорить Ярба, и сделка состоялась. Тогда Дидона изрезала шкуру быка на мелкие тесемки, связала их воедино и окружила большую территорию, на которой основала крепость и город Карфаген.

Задачу по отысканию среди всех замкнутых кривых с данным периметром той, которая охватывает максимальную площадь, называют задачей Дидоны.

Задача Дидоны формулируется в таком виде: "у какой фигуры Р, при заданном периметре, площадь будет наибольшей?"

Рассмотрим данную задачу на примере параллелограммов.

Рассмотрим различные виды параллелограммов с равными длинами сторон.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Поскольку площадь параллелограмма равна а*b*sin a^b, то наибольшая площадь получается, если sin a^b=0, то есть угол прямой. То есть наибольшую площадь имеет прямоугольник.

Рассмотрим различные виды прямоугольников:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Это все участки прямоугольной формы с периметром р. Какой из них будет иметь наибольшую площадь?

Для начала, допустим, что верёвка получилась длиной 100м, тогда

Если одна из сторон - х, То другая- 50-х.

Подсчитав площадь, получим:

Х(50-х) = 50х-х2 = 625-(х2-50х+625) = 625-(25-х)2

Разность будет наибольшей, если (25-х)2=0, т.е х=25, т.е если четырехугольник- квадрат.

Теперь рассмотрим общий случай, когда периметр р.

Если одна из сторон - х, То другая- -х.

Подсчитав площадь, получим:

Х(-х) = х-х2 = ()²-(х²-х+()²) = ()²-(-х)2

Разность будет наибольшей, если (-х)²=0, т.е х=, т.е если четырехугольник - квадрат.

Таким образом получается, что из всех параллелограммов с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат.

Заключение

* Начинать применять задачи с геометрическими параметрами можно уже с самого раннего периода изучения геометрии.

* Применение подобных задач не позволяет ученикам "закостенеть" в своих умениях и навыках применения геометрических знаний.

* Задачи с геометрическими параметрами носят творческий характер и не могут быть включены в обязательный минимум; их необходимо отнести к задачам "продвинутого" уровня.

Чаще всего ученику по-настоящему подумать на уроке просто некогда. Уроки идут по схеме: "разогрев" учащихся, проверка домашнего задания, повторение пройденного на прошлых уроках, объяснение нового материала, первичное закрепление, применение полученных знаний при решении задач с привлечением ранее изученного материала. Ограниченность учителя временными рамками урока (нужно успеть сделать всё запланированное) и временем изучения темы (нужно помнить, что опоздание на этом уроке повлечет дальнейшее отставание), нацеленность учителя и ученика на достижение ближайших целей (успешно написать самостоятельную или контрольную работу, сдать зачет) -- всё это никак не способствует появлению на уроке задач творческого или трудного в техническом плане характера. Тем не менее, именно такие задачи дают возможность ученику глубже понять изучаемый материал, увидеть "изюминку" в решении геометрических задач.

На факультативных занятиях учитель имеет возможность не придерживаться тематики предусмотренных разделов и проявить творчество, составив свою программу проведения факультативных занятий.

Поэтому на сегодняшний день исследования, связанные с разработкой содержания и методикой проведения факультативов, являются актуальными.

Представленная дипломная работа предоставляет практический курс по решению задач с геометрическими параметрами. Данный факультатив рассчитан на учащихся общеобразовательных школ, в которых геометрия преподаётся по учебникам Погорелова А. В. и Атанасяна Л. С.

Во второй части дипломной работы содержатся весь необходимый теоретический материал, план факультатива "параметры в геометрии" и конспекты конкретных занятий. Факультатив рассчитан на восемь занятий по 2 часа. Задачи подобраны по темам (знакомство с параметрами в геометрии, решение простейших задач; решение задач на построение в теме треугольники; решение задач на тему окружность; решение задач в теме четырёхугольники (2 занятия); решение задач в теме окружности и т Пифагора (2 занятия); решение задачи Дидоны), и соотносятся с обязательным курсом геометрии восьмого класса, то есть учителю не придется заранее рассказывать учащимся факультатива сведения из геометрии восьмого класса. Задачи в каждой теме располагаются от простого к сложному. На завершающем занятии курса решается задача Дидоны, которая упоминалась на первом уроке.

Изучение факультативного курса "параметры в геометрии" способствует развитию пространственного, логического и творческого мышления и математических способностей.

Данный курс также рассчитан на воспитание устойчивого интереса к геометрии, так как решаемые в нем задачи отличаются от задач, решаемых в ходе изучения геометрии по учебникам Погорелова А. В. и Атанасяна Л. С.

В ходе решения таких задач больше необходимости не только проявлять специфические знания по геометрии, но и умение строить правильные чертежи, видеть, как по-разному могут располагаться фигуры друг относительно друга, и не останавливаться на одном варианте, так как могут быть и другие.

Таким образом, решение задач с геометрическими параметрами ставит перед учениками проблему рассмотрения различных последствий при рассмотрении разных вариантов, что является актуальной проблемой и в нашей повседневной жизни.

Библиография

1. Феоктистов И.Е. "Задачи с параметрами в геометрии" "Математика в школе" 2002. №5 -с 63-67.

2. Ястребинецкий К.А. "Задачи с параметрами"

3. Горнштейн, Полонский "Задачи с параметрами"

4. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7-9. : учебник для общеобразовательных учебных заведений - 6-е издание. Москва. Издательство "Дрофа" 2002г.

5. Атанасян Л.С. и др. Геометрия: учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. 9-е издание. Москва "Просвещение", 1999г.

6. Погорелов А.В. Геометрия: учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений. 5-е издание. Москва "Просвещение", 1995г.

7. Балк М.Б. Балк Г.Д. "Математический факультатив - вчера, сегодня, завтра" "Математика в школе" 1987. №5 - с 14-17.

8. Кашин М.П. Эпштейн Д.А. "Развитие и роль факультативов в ср. школе" (В сборнике Факультативные занятия в ср. школе под ред. Кашина М.П. Эпштейна Д.А.) Педагогика 1976

9. программа ср. общеобразовательной школы: Факультативные курсы сборник 3 часть 1: математика, биология, химия. Москва просвещение 1990

10. Роль и место математики в формировании базовой культуры личности школьника. Наука и школа. 2000 №6 с. 8-11.

11. Рязановский А.Р., Фролова О.В. Геометрия. 7-9 кл.: Дидактические материалы. - Москва, изд. Дрофа, 1999.

12. Шарыгин И.Ф., Гордин Р.К. Сборник задач по геометрии. 5000 задач с ответами.-Москва, ООО "Издательство Астрель": ООО "издательство АСТ", 2001.

13. Жохов В.И., Карташева Г.Д., Крайнева Л.Б., Саакян С.М. Примерное планирование учебного материала и контрольные работы по математике, 5-11 классы. - Москва: Вербум-М, 2003. 8 класс, геометрия с.104-124.

14. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и её преподавание. Москва: Наука 1985.

15. Кордемский Б.А. Увлечь школьников математикой. Москва: Просвещение, 1981.

Размещено на Allbest.ru