Главная База знаний "Allbest" Педагогика Формирование познавательной потребности у учащихся средствами информационных технологий

Формирование познавательной потребности у учащихся средствами информационных технологий

Понятие и уровни познавательной потребности учащихся и использование на уроках информационных технологий. Особенности изучения темы "Интеграл" в школьном курсе математики и экспериментальная работа по формированию познавательной потребности у детей.

Рубрика Педагогика
Вид дипломная работа
Язык русский
Дата добавления 10.08.2010
Размер файла 2,4 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Страница:

Современный этап применения компьютерной технологии обучения в учебном процессе заключается в использовании компьютера как средства обучения не эпизодически, а систематически с первого до последнего занятия при любом виде обучения. Основная проблема при этом заключается в методике компьютеризации курса, который предстоит освоить обучаемому. Возможна либо полная перестройка и ориентация на создание новых компьютеризованных курсов, либо реализация методики с частичной компьютерной поддержкой курса. Другими словами речь идет о форме компьютерной поддержки процесса обучения. В настоящее время практика использования компьютерных технологий в образовании обнаруживает две тенденции:

- применение промышленных универсальных компьютерных программ, предназначенных для решения широкого круга практических и научных задач из различных предметных областей, и адаптированных к учебным дисциплинам;

- применение обучающих программ, специально разработанных для целей обучения и реализующих соответствующие методики, заложенные в них разработчиками. На сегодняшний день существует широкий спектр программ от простейших, контролирующих до сложных мультимедийных продуктов.

2. Опытно-экспериментальная работа по формированию познавательной потребности у учащихся средствами информационных технологий

2.1 Особенности изучения темы "Интеграл" в школьном курсе математики

Выбор темы "Интеграл" неслучаен. Тема "Интеграл" изучается в рамках программы 11 класса общеобразовательной школы.

Существует большое количество программ по математике, каждая из которых имеет свои особенности в изложении того или иного вопроса. В связи с этим каждая школа работает по определенной программе, в соответствии с которой разрабатывается учебный комплект, в который входят учебные пособия, книга для учителя и дидактические материалы.

В таблице 3 представлены программы по изложению темы "Интеграл" основных авторов, по которым ведется обучение математике сегодня в школах: Ш.А.Алимова, А.Н.Колмогорова, А.Г.Мордкович, С.М.Никольского.

Таблица 3 Тематическое планирование темы "Интеграл" по программам разных авторов

Автор программ

Изложение темы

Кол-во часов

А.Н.Колмогоров

11 класс

Площадь криволинейной трапеции

Формула Ньютона-Лейбница

Применение интеграла

Контрольная работа

Зачет

2

4

2

1

2

Ш.А.Алимов

11 класс

Первообразная. Правила нахождения

Формула Ньютона-Лейбница Площадь криволинейной трапеции и интеграл

Вычисление интеграла.

Применение интеграла к решению практических задач

Урок обобщения и систематизации знаний

Контрольная работа

2

2

1

1

1

1

А.Г.Мордкович

11 класс

Первообразная и неопределенный интеграл

Определенный интеграл

Зачет

Контрольная работа

Учебно-тренировочные занятия по теме "Первообразная и интеграл" к ЕГЭ

3

3

2

1

5

С.М.Никольский

11 класс

Площадь криволинейной трапеции

Определенный интеграл.

Формула Ньютона-Лейбница

Применение определенных интегралов в геометрических и физических задачах

Контрольная работа

1

1

2

1

1

На основе этих программ этими авторами написаны действующие учебники. В учебниках, традиционно применяемых в школьном обучении, как правило, используются следующие подходы к введению понятия определенного интеграла.

1. Интеграл как предел интегральных сумм.

Этот подход предполагает введение операции интегрирования как независимой операции; при этом интеграл определяется как предел последовательности, составленной из интегральных сумм. Начинается изучение в этом случае с рассмотрения конкретных задач, например, задачи о площади под кривой; задачи о работе силы и др. Затем, обобщив полученные результаты, переходят к определению интеграла как предела интегральных сумм.

Хотя данное определение громоздко, но идея метода наглядна (геометрическая интерпретация - площадь криволинейной трапеции). Вместе с определением интеграла получают и способ его вычисления. Но на практике для вычисления интеграла используют формулу Ньютона - Лейбница, которую при данном подходе необходимо доказать.

2. Интеграл как приращение первообразной.

Этот подход предполагает введение операции интегрирования как операции, обратной дифференцированию. При этом формула Ньютона - Лейбница практически служит определением интеграла.

При этом подходе не требуется специально выводить формулу Ньютона - Лейбница, с помощью которой доказываются многие свойства интеграла. Однако в этом случае идея метода суммирования отходит на второй план. Недостаток этого подхода состоит в том, что появляются затруднения при изучении приложений интеграла. В итоге все - таки приходится рассматривать интеграл как предел интегральных сумм, чтобы получить единый, достаточно общий метод решения задач геометрии, механики, электродинамики и других разделов физики. Это рассмотрение можно провести либо сразу после введения понятия интеграла, объяснив учащимся, что не всегда возможно найти первообразную данной функции, либо непосредственно при изучении приложений интеграла, рассмотрев этот метод на одной из задач.

М. И. Башмаков дает следующее определение интеграла: "Пусть дана положительная функция f, определенная на конечном отрезке [a; b] [7]. Интегралом от функции f на отрезке [a; b] называется площадь её подграфика".

В учебнике Мордковича А. Г. "Алгебра и начала анализа" при введении понятия "Определенный интеграл" рассматриваются задачи, приводящие к данному понятию, а именно задача о вычислении площади криволинейной трапеции, задача о вычислении массы стержня и задача о перемещении точки [45]. Все три задачи при их решении приводятся к одной и той же математической модели. При чем говорится о том, что многие задачи из различных областей науки и техники приводят в процессе решения к такой же модели. Далее дается математическое описание этой модели, которая была построена в трех рассмотренных задачах для непрерывной на отрезке [a; b] функции y=f(x):

1) разбивают отрезок [a; b] на n равных частей;

2) составляют сумму

Sn=f(x0)Дx0+f(x1) Дx1+…+f(xk) Дxk+…+f(xn-1) Дxn-1;

3) вычисляют .

Автор учебника поясняет, что в курсе математического анализа доказано, что этот предел существует. Его называют определенным интегралом от функции y=f(x) по отрезку [a; b].

В учебнике А. Н. Колмогорова "Алгебра и начала анализа" при введении интеграла рассматривается задача о вычислении площади криволинейной трапеции [33]. Автор приводит в учебнике два способа вычисления площади криволинейной трапеции: с помощью теоремы о площади криволинейной трапеции и с помощью интегральных сумм. Второй способ сводится к определению интеграла. С помощью интегральных сумм выводятся также формулы для вычисления объемов тел, работы переменной силы, а также нахождения массы стержня и центра масс.

Среди применений интеграла в данном учебнике выводится формула для нахождения работы переменной силы, формула вычисления массы стержня и центра масс. Все формулы выводятся одним способом: с помощью интегральных сумм. Для самостоятельного решения учащимся предлагается задача о нахождении кинетической энергии стержня и несколько задач на уже рассмотренные формулы. Причем задачи делятся на несколько уровней сложности, в том числе задачи повышенной трудности.

Проведём анализ некоторых школьных учебников алгебры и начал анализа. Как мы видим из таблицы, не у всех анализируемых авторов программы совпадают. Например, в учебнике А.Н.Колмогорова "Алгебра и начала анализа" при введении интеграла рассматривается задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Автор приводит в учебнике два способа вычисления площади криволинейной трапеции: с помощью теоремы о площади криволинейной трапеции и с помощью интегральных сумм. Второй способ сводится к определению интеграла. С помощью интегральных сумм выводятся также формулы для вычисления объемов тел, работы переменной силы, а также нахождения массы стержня и центра масс.

Среди применений интеграла в данном учебнике выводится формула для нахождения работы переменной силы, формула вычисления массы стержня и центра масс. Все формулы выводятся одним способом: с помощью интегральных сумм. Для самостоятельного решения учащимся предлагается задача о нахождении кинетической энергии стержня и несколько задач на уже рассмотренные формулы. Причем задачи делятся на несколько уровней сложности, в том числе задачи повышенной трудности.

Наиболее углублено тема "Интеграл" рассмотрена в учебнике А.Г.Мордковича [45]. В учебнике А.Г.Мордковича "Алгебра и начала анализа" при введении понятия "Определенный интеграл" рассматриваются задачи, приводящие к данному понятию, а именно задача о вычислении площади криволинейной трапеции, задача о вычислении массы стержня и задача о перемещении точки. Все три задачи при их решении приводятся к одной и той же математической модели. Причем говорится о том, что многие задачи из различных областей науки и техники приводят в процессе решения к такой же модели. Далее дается математическое описание этой модели, которая была построена в трех рассмотренных задачах для непрерывной на отрезке [a; b] функции y=f(x):

3) разбивают отрезок [a; b] на n равных частей;

4) составляют сумму

Sn=f(x0)Дx0+f(x1) Дx1+…+f(xk) Дxk+…+f(xn-1) Дxn-1;

3) вычисляют .

Автор учебника поясняет, что в курсе математического анализа доказано, что этот предел существует. Его называют определенным интегралом от функции y=f(x) по отрезку [a; b].

После чего автор учебника возвращается к трем рассмотренным ранее задачам и результат, полученный при их решении, переписывает следующим образом:

· ,

где S - площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x);

· ,

где m - масса неоднородного стержня с плотностью p(х);

· ,

где s - перемещение точки, движущейся по прямой со скоростью v=v(t).

В учебнике в физических приложениях интеграла приводятся те же задачи, что и при введении понятия интеграла, а именно задачи о массе стержня и перемещении точки. Этим автор учебника и ограничивает изучение приложений интеграла в физике.

В учебнике С.М.Никольского "Алгебра и начала анализа" рассмотрение задачи о вычислении площади криволинейной трапеции приводит к понятию интегральных сумм и пределу от них, после чего вводится определение определенного интеграла [47]. Теоретическое обоснование применения определенного интеграла рассматривается в таких физических задачах, как задачи на работу силы, работу электрического заряда, на вычисление массы стержня переменной плотности, давления жидкости на стенку и центра тяжести. Среди приложений интеграла в физике рассматриваются следующие задачи (вместе с теоретическим их обоснованием): задачи о работе силы, работе электрического заряда, задача о массе стержня переменной плотности, задача о давлении жидкости на стенку, задача о нахождении центра тяжести системы материальных точек. Однако, автор учебника приводит очень скупую систему упражнений, при чем не использует в практических задачах и половины тех формул, которые были ранее выведены.

В учебнике Ш.А.Алимова "Алгебра и начала анализа" перед введением понятия интеграла рассматривается задача о нахождении площади криволинейной трапеции, где вычисление площади сводится к отысканию первообразной F(х) функции f(x) [2]. Разность F(b)- F(a) называют интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b]. Далее автор рассматривает вычисление площади криволинейной трапеции с помощью интегральных сумм, говорит о том, что такой способ приближенного вычисления интеграла требует громоздких вычислений и им пользуются в тех случаях, когда не удается найти первообразную функции. В качестве примеров применения интеграла приведены задачи о вытекании воды из бака и нахождении работы силы. Задачи для самостоятельного решения однотипны и их очень мало.

К учебнику А.Н.Колмогорова предполагается дидактический материал, авторами которого являются Б.М.Ивлев, С.М.Саакян, С.М.Шварцбурд [17,33]. В данном пособии содержатся самостоятельные и контрольные работы, проверочные работы, материал для итогового повторения и программированного контроля и карточки-задания для зачетов. Все они даны в соответствии с действующим учебником "Алгебра и начала анализа" под редакцией А.Н. Колмогорова.

2.2 Экспериментальная работа по формированию познавательной потребности учащихся средствами информационных технологий на примере изучения темы "Интегралы"

Экспериментальная работа проводилась в 11 "Б" классе МОУ СОШ №3 г. Абдулино Оренбургской области совместно с учителем по математике высшей категории Н.В. Николаевой. Выборку составили 20 учеников.

Для проверки выдвинутой нами гипотезы мы продумали и организовали педагогический эксперимент, который осуществлялся в три этапа: констатирующий, формирующий, контрольный. На констатирующем этапе нами была подобрана система методик, и по ним было проведено исследование по выявлению степени сформированности познавательной потребности у школьников. На основе анализа результатов констатирующего среза были выделены группы учащихся по уровню сформированности познавательной потребности, которые мы учитывали при организации уроков с использованием информационных технологий.

В школе, где я проходила практику, ведется преподавание по программе А.Н. Колмогорова. Исследуемая тема отражена в третьей главе учебника А.Н.Колмогорова и состоит из двух параграфов (§7 "Первообразная" и §8 "Интеграл"), что составляет 11 уроков.

При изучении темы "Интеграл" в 11 классе использовались следующие информационные технологии: интерактивная доска, мультимедийная презентация, проектор (таблица 4).

Таблица 4

№

Название темы урока

Количество часов

Применяемые ИТ

1

Интеграл. Площадь криволинейной трапеции. Вводный урок

2

Мультимедийный проектор (Power Point)

2

Формула Ньютона-Лейбница

4

Мультимедийный проектор (Power Point)

3

Вычисление интегралов и площадей криволинейных трапеций с помощью интегралов. Вычисление определенного интеграла с помощью программ MS Excel.

1

Мультимедийный проектор (Power Point), Интерактивная доска

5

Применение интегралов к решению физических задач.

1

Мультимедийный проектор (Power Point)

6

Обобщающий урок

1

Интерактивная доска, Мультимедийный проектор (Power Point)

7

Контрольная работа. Зачет

2

На уроках использовались различные формы учебной работы: фронтальная, дифференцированно-групповая, индивидуальная и индивидуализированная (самостоятельная работа, домашние задания, тесты, зачеты). Чаще всего в своей работе я проводила комбинированные уроки, которые строятся на совокупности логических не обусловленных звеньев процесса обучения. Использование познавательной потребности способствует повышению успеваемости (в особенности за счет уменьшения неудовлетворительных оценок и увеличения количества хороших оценок). Сильным ученикам особенно нравятся задания, которые требуют большего напряжения и дают дополнительную информацию, слабые же получают удовлетворение от успеха, поскольку им приходится работать со значительно более доступным материалом, чем прежде. Повышается интерес к предмету.

Рассмотрим несколько уроков.

Для начала нами был проведен вводный урок с применением электронной презентации, в котором были даны основные понятия темы (см. приложение 1). Приведем фрагмент урока по теме 1.

Урок 1.

Тема: Интеграл. Площадь криволинейной трапеции. Вводный урок

Цель: сформировать представления о криволинейной трапеции и интеграле, сформировать умения самостоятельно в комплексе применять знания, умения и навыки, осуществлять их перенос в новые условия.

Задачи:

Обучающая: создать условия для формирования представления о площади криволинейной трапеции и интеграле.

Развивающая: развивать познавательную потребность учащихся.

Воспитательная: воспитывать умение организовать свою деятельность, формирование ценностной ориентации, мировоззрения.

Оборудование: компьютер, мультимедиа проектор, экран.

Содержание урока: данный урок носит ознакомительный характер, ученики знакомятся с понятиями "площадь криволинейной трапеции", "первообразная", "интеграл", получают понятие об интеграле как площади криволинейной трапеции. Тема рассчитана на 2 часа.

План урока:

1. Организация начала урока.

2. Постановка проблемы урока.

3. Актуализация ЗУН, необходимых для творческого применения знаний.

4. Формирование новых понятий и способов действий

5. Обобщение и систематизация знаний и способов деятельности

6. Усвоение образца комплексного применения ЗУН

7. Применение знаний умений и навыков в новых условиях

8. Подведение итогов урока

Ход урока:

1. Организация начала урока. Проверка присутствующих,

2. Постановка проблемы урока. Постановка целей и задач урока.

3. Актуализация ЗУН, необходимых для творческого применения знаний.

Проиллюстрируем фрагмент урока. Чтобы заитересовать учащихся даются исторические сведения об интеграле (Слайд 2).

Формирование новых понятий и способов действий.

Определение криволинейной трапеции. Площадь криволинейной трапеции. Если на [а;b] ([а;b] ?Ох) функция у=f(х) - непрерывная, не меняет знак (график не пересекает ось абсцисс), тогда фигура, ограниченная графиком функции f, отрезком [а;b] и прямыми х = а, х = b, называется криволинейной трапецией (слайд 8).

Если f - непрерывная и неотрицательная на отрезке [а;b] функция, а F - её первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [а;b], т.е.

Введение понятия "интеграл".

Рассмотрим другой подход к задаче вычисления площади криволинейной трапеции. Для простоты будем считать функцию f неотрицательной и непрерывной на отрезке [а; b] тогда площадь S соответствующей криволинейной трапеции можно приближенно подсчитать следующим образом.

Разобьем отрезок [а; b] на n отрезков одинаковой длины точками x0 = а<x1 < x2 < … <xn-1 < xn = b и пусть

,

где k = 1, 2, ..., n -- 1, n. На каждом из отрезков [xk-1; xk] как на основании построим прямоугольник высотой F(xk-1). Площадь этого прямоугольника равна:

а сумма площадей всех таких прямоугольников равна:

В силу непрерывности функции f объединение построенных прямоугольников при большом n, т. е. при малом Дx, "почти совпадает" с интересующей нас криволинейной трапецией. Поэтому возникает предположение, что Sn?S при больших n. (Коротко говорят: "Sn стремится к S при n, стремящемся к бесконечности"-- и пишут: Sn>S при n>?.) Предположение это правильно. Более того, для любой непрерывной на отрезке [а; b] функции а (не обязательно неотрицательной) Sn при n>? стремится к некоторому числу. Это число называют (по определению) интегралом функции f от а до b и обозначают , т. е.

при n>?

(читается: "Интеграл от а до b эф от икс дэ икс"). Числа а и b называются пределами интегрирования: а -- нижним пределом, b -- верхним. Знак называют знаком интеграла. Функция f называется подынтегральной функцией, а переменная х -- переменной интегрирования. Итак, если f(х)?0 на отрезке [а; b] то площадь S соответствующей криволинейной трапеции выражается формулой

Полный конспект урока см. приложение 1.

В теме "Применение интегралов" мы изучили площадей криволинейных трапеций с помощью интегралов. В процессе проведения опытно-экспериментальной работы нами был разработан план урока для 11 класса на тему: "Вычисление интегралов и площадей криволинейных трапеций с помощью интегралов. Вычисление определенного интеграла с помощью MS Excel" с применением интерактивных досок и информационных технологий (урок 7). Приведем фрагмент урока по теме 7 (см. приложение 1).

Тема урока: Вычисление интегралов и площадей криволинейных трапеций с помощью интегралов. Вычисление определенного интеграла с помощью программ MS Excel.

Цель: Обеспечить закрепление понятия интеграл, способы его вычисления, применение интеграла для вычисления площадей.

Задачи:

Обучающая: сформировать навыки планирования ответа, умение считать и писать в быстром темпе, навыки самоконтроля

Развивающая: развивать познавательную потребность учащихся.

Воспитательная: воспитывать умение организовать свою деятельность, формирование ценностной ориентации, мировоззрения.

Содержание урока: Данная тема рассчитана на два часа и состоит из двух частей: часть 1 - "Вычисление интегралов и площадей криволинейных трапеций с помощью интегралов. В процессе изучения данной темы учащиеся узнают о физическом приложении интеграла.

План урока:

1. Организация начала урока.

2. Постановка проблемы урока.

3. Актуализация ЗУН, необходимых для творческого применения знаний

4. Контроль и самоконтроль знаний, умений и навыков по теме интеграл

5. Формирование новых понятий и способов действий

6. Обобщение и систематизация знаний и способов деятельности

7. Усвоение образца комплексного применения ЗУН

8. Применение знаний умений и навыков в новых условиях

9. Подведение итогов урока

Задание 2. Вычисление определенного интеграла с помощью таблицы Excel.

Для численного вычисления определенного интеграла методом трапеций используется формула:

Методику вычисления определенного интеграла в Excel с использованием приведенной формулы рассмотрим на примере.

Пусть требуется вычислить определенный интеграл

Величина интеграла, вычисленная аналитически равна 9. Для численного вычисления величины интеграла с использованием приведенной формулы выполните следующие действия:

табулируйте подинтегральную функцию в диапазоне изменения значений аргумента 0 - 3 (см. рис.).

в ячейку С3 введите формулу =(A3-A2)*B2+(A3-A2)*(B3-B2)/2+C2, которая реализует подинтегральную функцию.

Скопируйте буксировкой формулу, записанную в ячейке С3 до значения аргумента х = 3. Вычисленное значение в ячейке С17 и будет величиной заданного интеграла - 9.

Вычислите интегралы, работая парами.

Это можно проиллюстрировать использованием компьютера при изучении темы "Применение определенного интеграла к вычислению площадей" на уроках математики. Подходящим программным средством в качестве компьютерной поддержки темы может использоваться электронные таблицы EXCEL. Разработка в ней задачи интегрирования позволяет, во-первых, освоить многие операции, изучаемые в программном средстве по предмету информационных технологий, и, во-вторых, закрепить материал по интегрированию в приложении к вычислению площадей. Тем самым значительно сокращаются затраты учебного времени по общим предметам. Программная разработка в EXCEL состоит из набора изучаемых функций; степенных, показательных, тригонометрических, для которых предлагается ввести соответствующие числовые коэффициенты и пределы интегрирования. В соседний столбец для каждой функции выведены формулы для вычисления первообразных с указанными коэффициентами и пределами интегрирования. После выбора функций значения интегралов и соответствующих им площадей рассматриваются автоматически. На графики выводятся подынтегральная функция и первообразная. Таким образом, имеется возможность графически и численно проанализировать характер функций и влияние на значение площади, то есть выполнить компьютерное моделирование. Поскольку первообразные находятся учащимися "ручным" способом и в электронную таблицу вводятся предварительно выведенные формулы, то работа с компьютером не сводится к механическим операциям и предполагает углубленное знакомство со свойствами функций и приобретения навыков их интегрирования. При этом представляется возможным дифференцировать темпы работы, обеспечить ее вариативность.

Так, например, нами применялись устные коллективные разминки, занимающие не более 5 минут, развивающие быстроту реакции, внимательность, умение четко и конкретно мыслить. В такие разминки следует включать вопросы, требующие однозначного, быстрого хорового ответа и направленные на актуализацию опорных знаний, и на проверку домашнего задания, и на отработку каких либо математических понятий и определений.

Для этого нами был проведен интегрированный урок.

Мотивируя применение интегрированных уроков необходимо отметить, что разнообразие занимательных форм (игры-путешествия, состязания, конкурсы, шарады, загадки) на уроках создаёт положительный эмоциональный фон деятельности, располагает к выполнению тех заданий, которые учащиеся считают трудными и непреодолимыми.

Творческие задания представляют собой один из путей, с помощью которого происходит у детей формирование познавательного интереса.

Познавательная деятельность учащихся в обучении, какой бы характер она не носила, какой бы активной она ни была, всегда должна направляться и организовываться учителем.

Тема: "Применение интеграла при решении физических задач" (см. приложение 1)

Цель: продолжить формирование умений самостоятельно в комплексе применять знания, умения и навыки, осуществлять их перенос в новые условия.

Задачи урока:

Обучающие: способствовать формированию знаний, умений по данной теме;

Развивающие: умственная деятельность (выполнять операции анализа, синтеза, делать выводы, выделять существенные признаки объектов);

Воспитательные: воспитывать умение организовать свою деятельность, формирование ценностной ориентации, мировоззрения.

Оборудование: компьютер, мультимедиа проектор, экран.

Содержание урока: данного урока нет в тематическом планировании, но нами предлагается использовать данную разработку изучении темы 7. Учащиеся знакомятся с примерами применения интеграла в физике и геометрии.

План урока:

1. Организация начала урока.

2. Постановка проблемы урока.

3. Актуализация ЗУН, необходимых для творческого применения знаний

4. Формирование новых понятий и способов действий

5. Обобщение и систематизация знаний и способов деятельности

6. Усвоение образца комплексного применения ЗУН

7. Применение знаний умений и навыков в новых условиях

8. Подведение итогов урока

Ход урока:

1. Организация начала урока.

2. Постановка проблемы урока. На прошлом уроке мы ознакомились с геометрическими задачами, которые решаются при помощи интеграла. Но интеграл применим не только в математике, другие области науки также используют его и сегодня мы с вами проверим это на примере такой науки как физика.

3. Актуализация ЗУН, необходимых для творческого применения знаний

Физические величины, вычисляемые с помощью интеграла, можно разделить на два типа, в зависимости от того, как они естественно определяются. К первому типу относятся "первичные" величины (длина пути, масса, количество электричества, количество теплоты и т. п.), т. е. такие величины, для которых другие, связанные с ними ("вторичные") величины (соответственно скорость, линейная плотность, величина тока, удельная теплоемкость и т. п.) определяются как производные этих величин. Ко второму типу относятся такие, которые определяются естественным образом как интегралы от "первичных" по отношению к ним величин (например, площадь, работа). Для первого типа величин интегральная формула для их вычисления может и должна быть доказана, опираясь на известное из предыдущего материала определение "вторичной" величины как производной от данной "первичной". Для второго типа интегральная формула появляется по определению.

4. Формирование новых понятий и способов действий

При введении понятия интеграла как предела интегральных сумм довольно наглядным и понятным для учащихся является пример задачи о давлении жидкости на стенку.

Задача. Бассейн высоты H наполнен водой. Вычислить давление воды на прямоугольную стенку бассейна с основанием прямоугольника, равным а.

Разделим высоту Н на n равных частей (Дh). Стенка разделится на "элементы". Так как кубометр воды весит тонну, то давление столба жидкости высоты hi м, имеющего сечение 1 м2, равно hi тоннам.

Давление же воды на элемент, находящийся на глубине hi, равно произведению hi на площадь элемента: hia Дh. Обозначим произведение hia через F(hi). Тогда величина давления на всю стенку приближенно равна

Pn? F1(h1)Дh1+…+Fn(hn) Дhn.

Данную сумму называют интегральной суммой функции F(h) на отрезке [0; H]. При этом предполагается, что функция F(h) непрерывна на отрезке [0; H] и может принимать любые значения. Если и высоты "элементов" стремятся к нулю, то точное выражение суммы равно . Его называют определенным интегралом от функции F(h) на отрезке [0; H] и обозначают .

Далее понятие определенного интеграла обобщается на произвольную непрерывную функцию F(x) и произвольный отрезок [a; b].

Рассмотрим несколько задач с физическими моделями, где интеграл определяется как приращение первообразной.

1. Задача о перемещении точки.

Пусть v=v(t) скорость прямолинейного движения точки, заданная на некотором промежутке времени [t1; t2]. При этом пусть v(t)>0. Как выразится длина пути, пройденного точкой за данный промежуток времени?[5]

Обозначим координату движущейся точки в момент t через S(t). Тогда, так как движение при v>0 происходит только в положительном направлении (или иначе, т. к. S(t) - функция возрастающая, ввиду того, что ), то искомое расстояние будет выражаться числом S(t2)-S(t1). С другой стороны S(t) есть первообразная функции v(t) (). Таким образом вычисление длины пути, пройденного точкой за данный промежуток времени, сводится к отысканию первообразной S(t) функции v(t), т. е. к интегрированию функции v(t).

Разность S(t2)-S(t1) называют интегралом от функции v(t) на отрезке [t1; t2] и обозначают так:

.

2. Импульс силы.

Пусть на тело массой m в течение времени t действует какая-то сила F(t). Найти количество движения тела при заданной зависимости силы от времени за промежуток времени [t1; t2].

Как известно из физики второй закон Ньютона в импульсном представлении выражает уравнение

ДР=FДt.

Произведение P=mv(t) массы на скорость называется "количеством движения". Так как скорость тела зависит от времени, то за промежуток времени [t1; t2] искомое количество движения может быть найдено так: Р(t2)-Р(t1). С другой стороны Р(t) есть первообразная функции F(t). Таким образом вычисление количества движения тела за данный промежуток времени, сводится к отысканию первообразной Р(t) функции F(t).

Разность P(t2)-P(t1) называют интегралом от функции F(t) на отрезке [t1; t2] и обозначают так:

.

Величина называется также "импульсом силы" за время [t1; t2]. Словесная формулировка результата: изменение количества движения равно импульсу силы.

3. Количество электричества.

Представим себе переменный ток, текущий по проводнику. Вычислим количество электричества, протекающего за интервал времени [a; b] через сечение проводника. Если бы сила не менялась со временем, то изменение количества электричества q равнялось бы произведению I(b-a). Пусть задан закон изменения I=I(t) в зависимости от времени. Тогда количество электричества, протекающего за интервал времени [a; b], равно q(b)-q(a). С другой стороны на малом промежутке времени можно считать силу тока постоянной и равной I(t), а dq=I(t)dt, следовательно, вычисление количества электричества за данный промежуток времени, сводится к отысканию первообразной функции I(t).

Разность q(b)-q(a) называют интегралом от функции I(t) на отрезке [a; b] и обозначают так:

.

Вытекание воды из сосуда

Данная задача проста и наглядна в своей постановке для учащихся.

Представим себе сосуд, из которого вытекает вода. В момент времени t поток воды вычисляется по формуле q=q(t). Найдем объем воды, вытекающей из сосуда за промежуток времени [t1; t2]. Объем воды, находящейся в сосуде, обозначим через V. Этот объем со временем меняется, т. е. V есть функция времени t.

Рассмотрим промежуток времени [t1; t2]. Очевидно, что за это время из сосуда вытечет V(t2)-V(t1) воды. С другой стороны, поток воды - это величина, характеризующая скорость изменения количества воды в сосуде, т.е. dV=q(t)dt. Следовательно, вычисление объема воды, вытекающей из сосуда за промежуток времени [t1; t2], сводится к отысканию первообразной функции q(t).

Разность V(t2)-V(t1) называют интегралом от функции q(t) на отрезке [t1; t2] и обозначают так:

.

Все вышерассмотренные модели - это наиболее часто встречающиеся в школьном курсе физики законы и формулы, поэтому они не требуют от учащихся дополнительных знаний по физике, а, следовательно, удовлетворяют как принципу научности, так и принципу доступности материала.

Зачетное занятие было проведено нами в форме обобщающего урока по теме "Первообразная. Интеграл", проведенный с помощью мультимедийной презентации.

Обобщающий урок по теме "Первообразная. Интеграл".

Цель: обобщить и систематизировать знания по теме "Первообразная. Интеграл"

Задачи:

Обучающие: обобщение и систематизация знаний учащихся, закрепление основных понятий базового уровня.

Развивающие: развитие познавательных потребностей учащихся, логического мышления и внимания, формирование потребности в приобретении знаний.

Воспитательные: воспитание сознательной дисциплины и норм поведения, воспитание ответственности, умения принимать самостоятельные решения.

Оборудование: мультимедийный проектор, презентации.

План урока

1. Организация начала урока.

2. Обобщение и систематизация знаний и способов деятельности

3. Подведение итогов урока

Ход урока

1. Организация начала урока.

Проверка домашнего задания с места (фронтально).

Сегодня на уроке мы должны обобщить все знания и умения по теме "Первообразная и интеграл" с целью подготовки к контрольной работе. Начнём повторение мы с устной работы, затем проведём групповую работу, которая откроет нам некоторые исторические факты. Вспомним вычисление площадей фигур, а также повторим, где используют интеграл в физике. В заключении урока проведём самостоятельную работу по перфокартам.

Устная работа (фронтально).

1)На экране спроецирована таблица для устного счёта. Для функций, указанных в таблице, составить хотя бы одну первообразную. (Таблица в презентации).

2) Устное повторение теоретического материала (фронтально):

- Дайте определение первообразной.

- Как читается основное свойство первообразной?

- Какие правила нахождения первообразной существуют?

- Что называется неопределённым интегралом?

- Что называется криволинейной трапецией?

- Как выглядит формула Ньютона - Лейбница?

- В чём состоит геометрический смысл определенного интеграла?

- В чём состоит физический смысл определенного интеграла?

3)Верно ли? На слайде для каждой функции f(x) записана первообразная F(x), но в записи первообразной есть ошибка. Найдите ошибку и прокомментируйте.

f(x)=(8x-5)2, F(x)=(8x-5)3/3+C

Ответ: не хватает перед первообразной множителя 1/8так, как функция f(x) сложная.

f(x)=sin(5+4x), F(x)= -1/5cos(5+4x)+C

Ответ: перед первообразной должен быть множитель1/4, а не 1/5так, как коэффициент к=4.

Ответ: не хватает перед первообразной множителя 2.

2. Обобщение и систематизация знаний и способов деятельности

1а) Групповая работа над темой. На экране через проектор с компьютера проецируются портреты математиков: 1 - Лейбница, 2 - И. Бернулли, 3 - Ферма, 4 - Я. Бернулли, 5 - Ньютона. Класс делится на пять групп. Каждая группа получает карточку со своим заданием: найти значение постоянной С. На этой же карточке дана историческая справка о вкладе конкретного учёного в развитие теории интегрального исчисления. Вычислив значение С, каждая группа связывает это число с номером портрета математика. Представитель от группы зачитывает историческую справку для других. (Портреты в презентации, задания для групп в приложениях 1 и 2).

1б) Продолжим групповую работу. Установить соответствие.

На экране три функции f,g,h и три графика первообразных для данных функций. Для каждой функции записать первообразную и найти график этой первообразной. Решают все на месте в тетрадях также группами, затем озвучивают результаты.

1. f(x)=sinx, 2. g(x)=cosx, 3. h(x)=cos2x

Решение:

F(x)= -cosx+C, G(x)=sinx+C, H(x)=0,5 sin2x+C

2) Устно. Первообразная тесно связана с интегралом. Мы с вами вспоминали формулу Ньютона - Лейбница. Вы знаете, что определённый интеграл используют для вычисления площадей плоских фигур, и в первую очередь для вычисления площади криволинейной трапеции.

Посмотрим на экран и выясним являются ли фигуры криволинейными трапециями.

Физкультминутка

3) Работа у доски. Три ученика выходят к доске и получают карточки с заданием вычислить площадь фигуры. Остальные учащиеся на местах решают две задачи на нахождение площади фигур, затем правильность решения проверяется с помощью проектора.

Задание классу.

Учебник №360(г), №364(г).

Задание 1 ученику - №365(в),

Задание 2 ученику - №365(г),

Задание 3 ученику - №361(б).

4) Работа у доски.

Определённый интеграл используют и в других дисциплинах. Например, на уроках физики с помощью определённого интеграла можно вычислить работу переменной силы, массу, центр масс, электрический заряд, перемещение и количество теплоты.

Задача 1.Сила упругости пружины, растянутой на 6 см, равна 4,2 Н. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на 6см?

Решение:F=kx;

4,2=k*0,06;

k=420:6;

k=70, F=70x

5) Контролирующая самостоятельная работа по перфокартам.

В каждом варианте 6 заданий. К каждому заданию 4 варианта ответов, только один из них правильный. У каждого ученика на парте лежит контрольный талон. Решив задание в тетради, уч - ся выбирает номер верного ответа и зачёркивает его в контрольном талоне. После выполнения всех 6 заданий в каждом контрольном талоне будет зачёркнуто 6 чисел. Ученики сдают талоны учителю, который при помощи шаблона с прорезями быстро проверяет работы, накладывая шаблон на талон.

Контрольный талон

Фамилия, имя

Класс

вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

Шаблон для проверки

1 вариант

Х

Х

X

Х

X

X

2 вариант

X

Х

X

X

X

X

Знак "Х" означает места прорезей в шаблоне.

Оценка результатов:

6 крестиков верных - "5";

5 крестиков верных - "4";

4 крестика верных - "3";

3 и меньше - "2".

6) Индивидуальное проблемное задание для тех, кто быстро справился с самостоятельной раньше других:

При каком положительном значении параметра а площадь фигуры, ограниченной линиями y= 1/x2, y=0, x=1, x=a равна 7/8?

3. Подведение итогов урока

Подводится итог урока. Цель нашего урока была обобщить знания по теме "Первообразная. Интеграл." Давайте посмотрим как мы работали. На экран с помощью проектора выводится таблица. Поднимите руку, если вы

- знаете таблицу первообразных;

- умеете пользоваться таблицей для нахождения первообразной сложной функции;

- легко находите площадь криволинейной трапеции;

- умеете применять интеграл для решения физических задач.

Те, кто поднял руку на все вопросы, готовы к выполнению контрольной работы. Остальным надо подготовиться лучше. Выставляются оценки за работу на уроке. Задаётся домашнее задание.

Для развития познавательной потребности нами предлагается во внеклассной форме работы использование различных видов уроков для развития познавательной потребности учащихся. Мы, например, использовали урок-КВН (см. приложение 1).

Урок КВН по теме "Интеграл"

Цель: обобщение изученного материала по теме, формирование умений применять математические задания к решению практических задач.

Задачи:

Развивающие: развитие познавательной потребности, творческих способностей.

Воспитательные: воспитание интереса к предмету, воспитание чувства коллективизма и взаимовыручки.

КВН проводится интерактивно с помощью сайта школы.

На экране ЭВМ написано:

I команда

II команда

(Ниже ведётся запись полученных очков).

Правила игры.

Класс разбивается на две команды.

Выбираются капитаны команд.

Капитаны назначают консультантов.

Для участия во всех видах работы ученики вызываются к доске капитанами команд.

Ход урока.

1 этап. Разминка - ведется на бумажном носителе.

На экране ЭВМ написаны задания.

II этап. Блиц - турнир - проводится с помощью ЭВМ (желательно применение проектора).

III этап. Домашнее задание.

К доске приглашаются по 1 ученику от каждой команды.

1. С помощью интеграла вывести формулу объёма конуса.

2. С помощью интеграла вывести формулу объёма шара.

IV этап. Конкурс капитанов.

V этап. Конкурс болельщиков - задания проектируются на доску с помощью проектора, а также дублируются на сайте школы.

VI этап. Конкурс эрудитов - задания проектируются на доску с помощью проектора, а также дублируются на сайте школы

1. Вычислите:

2. Вычислите:

Решение 1.

Пусть

Решение 2.

Пусть

VII этап. Конкурс консультантов. (дополнительный) - проводится при помощи Mathcad.

VIII этап. Подведение итогов.

Выигравшая команда объявляется победительницей, а многие учащиеся получают оценки.

Итак, применение информационных технологий в преподавании темы "Интегралы":

1. Содействует воспитанию аккуратности, организованности, дисциплины;

2. Формирует умения работать коллективно, в группе, паре, самостоятельно;

3. Прививает интерес к предмету посредством применения современных информационных технологий;

4. Способствует развитию интеллектуальных качеств личности школьника: самостоятельность, гибкость, способности видеть проблему, обобщать, переключаться с одного вида работы на другой;

5. Развивает эмоции учащихся, создавая эмоциональные ситуации удивления, сопереживания;

6. Развивает познавательный интерес, создавая игровые ситуации.

2.3 Результаты экспериментальной работы

Для исследования сформированности познавательной потребности школьников нами был подобран комплекс методов: "Познавательный интерес", "Познавательная потребность", "Мое учение".

Для выявления познавательного интереса была применена методика "Познавательного интереса", целью которой является установление характера и силы познавательного интереса (см. приложение 2). Анализ результатов данной методики приведены в таблице 5.

Таблица 5 Анализ результатов констатирующего и контрольного срезов изучения уровня познавательного интереса

Из таблицы 4 видно, что произошла динамика в характере и силе познавательного интереса у учащихся к учебе. У учеников увеличился интерес к учебе, приблизительно 1,25 раз. Наиболее наглядно, полученные данные можно увидеть на диаграмме 1.

Диаграмма 1 Уровень познавательного интереса

Для изучения познавательной потребности была применена методика "Познавательная потребность", целью которой является установление интенсивности познавательной потребности у учащихся (см.приложение 2, анкета 2). Анализ полученных данных помещен в таблицу 6.

Таблица 6 Анализ результаты изучения познавательной потребности школьников

Как мы видим, из таблицы 6, произошла динамика роста познавательной потребности:

1. Увеличилась умственная работа школьников, при задании на сообразительность учащиеся предпочитают самостоятельный поиск ответа (+6%), стали больше читать дополнительной литературы (+10);

2. На 16% увеличилось эмоциональное отношение учащихся к интересным занятиям, связанным с умственной работой.

3. Учащиеся стали чаще задавать вопросы, что свидетельствует о возросшем интересе к учебному материалу.

Этот факт наглядно демонстрируют диаграммы 2-3.

Диаграмма 2 Частота умственной работы

Диаграмма 3 Отношение школьника к вопросу на сообразительность

Для выявления отношения школьников к учению, предметную направленность их познавательных интересов, изучить некоторые особенности процесса самостоятельной деятельности учащихся мы воспользовались методикой "Мое учение" (см. приложение 2, анкета 3). Результаты этого исследования представлены в таблице 7.

Таблица 7 Сравнительный анализ результатов методики "Мое учение" (в %)

Этап

I

III

IV

V

1

2

3

1

2

3

Констатирующий

92

0

8

20

68

12

76

24

Контрольный

96

0

4

12

80

8

64

36

Этап

VI

VII

1

2

3

1

2

3

4

5

6

Констатирующий

60

4

12

0

24

60

28

12

68

Контрольный

24

76

0

8

0

20

56

24

24

Из таблицы 7 видно, что на 4 % увеличилось число учащихся, которым интересно учиться в школе; на 12 % возросло число учеников, чувствующих себя всегда спокойно при выполнении самостоятельных работ и 44 % учеников научились правильно распределять время при выполнении самостоятельных работ.

В процессе опытно-экспериментальной работы выявлены два наиболее значимых направления использования информационных технологий в образовании: как средства обучения и как инструментов познания. Первый подход таит в себе ряд проблем, связанных с усвоением уже готовой информации, при котором отсутствует творческая компонента усвоения. Другой подход - использование компьютерных средств как инструментов познания является наиболее продуктивным подходом к обучению, Инструментами познания являются различные компьютерные средства, предназначенные для организации и облегчения процесса познания. Именно с таким подходом связывается дальнейшее развитие использования информационных технологий в обучении. В этом случае учащийся под управлением преподавателя проходит путь познания самостоятельно, а не является потребителем уже готовых знаний, что способствует более глубокому и осознанному усвоению материала, развитию умений разрабатывать учебные компьютерные программы.

Экспериментальная проверка показала, что разработанная методика обучения учащихся 10-11 классов способствует повышению у учащихся уровня знаний в области интегрального исчисления; уровня познавательной потребности; готовности к использованию информационных технологий в будущем.

Использование компьютера в качестве средства обучения путем применения прикладных программ в качестве формализмов представления знаний способствует более быстрому и более полному усвоению материала, чем при использовании всех имеющихся в настоящее время обучающих компьютерных программ.

Сравнительный анализ контрольного констатирующего среза показали, что произошла динамика роста, хоть и не значительная. Таким образом, наша гипотеза подтвердилась.

Заключение

Итак, познавательная потребность - это, прежде всего потребность в новой информации, однако сама новая информация может выступать в самых различных формах: в новом стимуле (новый цвет предмета, неожиданный звук, необычная форма), в новом знании о предмете (его назначение, устройство и т.д.), и наконец, в новой системе представлений о мире (научные знания, наука в целом). И самые элементарные и самые сложные способы удовлетворения познавательной потребности в целом характеризуют одну и ту же познавательную потребность, однако в зависимости от этих способов различаются уровни развития познавательной потребности.

В классных коллективах, где познавательная потребность достигает такого уровня развития, встречаются отдельные учащиеся, у которых она перерастает в страсть, в жажду раздумий над предметом. Это обычно учащиеся с выдающимися способностями.

Современный этап применения информационной технологии обучения в учебном процессе заключается в использовании компьютера как средства обучения не эпизодически, а систематически с первого до последнего занятия при любом виде обучения. Основная проблема при этом заключается в методике компьютеризации курса, который предстоит освоить обучаемому. Возможна либо полная перестройка и ориентация на создание новых компьютеризованных курсов, либо реализация методики с частичной компьютерной поддержкой курса. Другими словами речь идет о форме компьютерной поддержки процесса обучения. В настоящее время практика использования информационных технологий в образовании обнаруживает две тенденции:

- применение промышленных универсальных информационных программ, предназначенных для решения широкого круга практических и научных задач из различных предметных областей, и адаптированных к учебным дисциплинам;

- применение обучающих программ, специально разработанных для целей обучения и реализующих соответствующие методики, заложенные в них разработчиками. На сегодняшний день существует широкий спектр программ от простейших, контролирующих до сложных мультимедийных продуктов.

Использование информационных технологий в обучении позволяет у большинства детей со склонностями к техническим наукам развить устойчивый интерес к данным предметам. При этом решается ещё одна задача образовательного процесса - его гуманизация. Каждый ребенок находит себе задание по своим силам, уровню подготовки и интереса.

Для исследования познавательной потребности нами была подобрана система методов. Данное исследование проводилось в три этапа: констатирующий формирующий и контрольный.

По результатам проведенных методик мы увидели, что произошла динамика роста познавательной потребности: приблизительно на 4,5% увеличилась умственная работа школьников, при задании на сообразительность, учащиеся предпочитают самостоятельный поиск ответа, стали больше читать дополнительной литературы, так же приблизительно на 4,5% увеличилось эмоциональное отношение к интересным занятиям, связанным с умственной работой. Учащиеся стали чаще задавать вопросы, что свидетельствует о возросшем интересе к учебному материалу, таким образом, наша гипотеза подтвердилась.

Список литературы

1. Азевич А.И. Несколько компьютерных программ. //Математика в школе. - 2002. - №10. - С.41-43.

2. Алимов Ш. А. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк./ Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. - М.: Просвещение, 1993. - 254 c.

3. Анастази А. Психологическое тестирование. Кн. 2: Пер. с англ./Под ред. Туревича К.М., Лубовского В.И. - М.: Педагогика, 1982. - 365 с.

4. Аут К.Х., Виленкин Н.Я. О роли основных принципов дидактики в преподавании школьного курса математики. //Математика в школе. - 1987. - №1. - С.41-47.

5. Ахметгалив А. Мотивация деятельности на уроках математики. //Математика в школе. - 1996. - №2. - С.57-62.

6. Барчунова Ф. Развитие познавательного интереса к геометрии учащихся VI-VII классов. //Математика в школе. - 1974. - №6. - С.21-28.

7. Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1992. - 351 с.

8. Белова О.Е. Об использовании компьютерных технологий в процессе изучения темы "Определенный интеграл и его приложения" //Математическая и методическая подготовка студентов педвузов и университетов в условиях модернизации системы образования: Материалы XXII Всероссийского семинара преподавателей математики педвузов и университетов - Тверь: Изд-во ТГУ, 2003.

9. Белова О.Е. Особенности методической системы обучения интегральному исчислению студентов педвузов на основе использования информационных технологий //Вестник КрасГУ (Гуманитарные науки). - Красноярск: ИЦ КрасГУ, 2006. - Вып.3. - С.81-84.

Страница:


Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

© 2000 — 2023, ООО «Олбест» Все права защищены