Совершенствование методики преподавания темы "Арифметическая и геометрическая прогрессии" с позиции активизации познавательной деятельности учащихся

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

СЛАВЯНСКИЙ-НА-КУБАНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

факультет математики и информатики

специальность: 032100 - математика; 030100 - информатика

кафедра математики и МПМ

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

Совершенствование методики преподавания темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» с позиции активизации познавательной деятельности учащихся

Выполнила

студентка 5 курса, гр. 2000-М

факультета математики и информатики

Тихая Наталья Анатольевна

Проверила

старший преподаватель

кафедры математики и МПМ

Генералова Татьяна Валентиновна

Славянск-на-Кубани

2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

урок математика прогрессия познавательная

Введение

Глава 1. Теоретические основы изучения темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» в курсе математики средней общеобразовательной школы

§1. Арифметическая прогрессия

§2. Геометрическая прогрессия

Глава 2. Методические рекомендации к изучению темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» в курсе математики средней общеобразовательной школы

§1. Психолого-педагогические основы активизации познавательной деятельности учащихся при изучении прогрессий

§2. Примерное тематическое планирование темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

§3. Методические рекомендации к изучению теоретического материала темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

§4. Методические рекомендации к урокам решения задач по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

§5. Методические рекомендации к урокам повторения, обобщения и систематизации знаний по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

§6. Методические рекомендации к урокам проверки знаний, умений и навыков учащихся по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

§7. Внеклассная работа по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Заключение

Литература

ВВЕДЕНИЕ

Активизация познавательной деятельности учащихся была и остается одной из вечных проблем педагогики. Еще К.Д. Ушинский в своих трудах подчеркивал, что «не с курьезами и диковинками науки должно в школе занимать дитя, а, напротив - приучить его находить занимательное в том, что его беспрестанно и повсюду окружает». И в настоящее время этот вопрос остается актуальным для всех поколений педагогов и учащихся.

Что же представляет собой познавательная активность?

А.К. Маркова под проявлением познавательной активности понимает «Все виды активного отношения к учению как познанию: наличие смысла, значимости для ребенка учения как познания, все виды познавательных мотивов…» Признавая за учащимися активное начало в познавательном процессе, она утверждает, что на основе этого школьник формируется как субъект учебной деятельности [21].

П.М. Лебедев указывает, что «познавательная активность - это инициативное отношение учащихся к усвоению знаний, а также проявления интереса, самостоятельности и волевых усилий в обучении» [15].

Т.И. Шамова высказала следующее: «Активность в учении… не просто деятельностное состояние школьника, а … качество этой деятельности, в которой проявляется личность ученика с его отношением к содержанию, характеру деятельности и стремлением мобилизовать свои нравственно-волевые усилия на достижение учебно-познавательной цели» [21].

Обращает на себя внимание направленность перечисленных выше определений: они все характеризуют позицию учащегося, поскольку речь идет о его познавательной активности. Между тем активизация познавательной деятельности - это двусторонний процесс. Условия, активизирующие процесс познания, создает прежде всего учитель, а демонстрирует результат этих условий - собственно познавательную активность - ученик.

Сам процесс познания обычно представляют как последовательную цепь: восприятие запоминание сохранение воспроизведение интерпретация полученных знаний. Очевидно, что активизация познания может осуществляться на всех последовательных этапах. Но состояние активности как ответной реакции ученика на условия, созданные педагогом, может проявиться и на каком-либо одном из этапов [21].

Итак, познавательную активность можно определить как личностное свойство, которое приобретается, закрепляется и развивается в особым образом организованном процессе познания с учетом индивидуальных и возрастных особенностей учащихся.

Показателями познавательной активности можно назвать стабильность, прилежание, осознанность учения, творческие проявления, поведение в нестандартных учебных ситуациях, самостоятельность при решении учебных задач и т.д.

Степень включенности в учебный процесс и проявления активности учащегося - это динамический, изменяющийся показатель. В силах учителя помочь учащемуся перейти с нулевого уровня на ситуативно активный, а с него на активно исполнительский. И во многом именно от педагога зависит, дойдет ли воспитанник до творческого уровня или предпочтет отсидеться на «камчатке».

Тема «Арифметическая и геометрическая прогрессии» в курсе алгебры средней школы изучается обособленно, лишь в девятом классе, мало перекликаясь с другими разделами школьной программы. Но несмотря на это задачи, для решения которых необходимо знать не только формулы п-го члена и суммы первых п членов, но и свойства арифметической и геометрической прогрессий, предлагаются на ЕГЭ и на вступительных экзаменах в вузы. А для того, чтобы знания ученика были на достаточно высоком уровне, необходимо активизировать его познавательную деятельность при изучении прогрессий. Поэтому теоретические и практические исследования по данной теме представляются актуальными в настоящее время и обусловлены насущными потребностями средних школ различного уровня: как общеобразовательных, так и с математическим уклоном.

В выпускной квалификационной работе объектом исследования является процесс обучения алгебре в средней школе.

Предметом исследования выступает методика изучения прогрессий и ее применение в средней общеобразовательной школе.

Цель данной работы состоит в совершенствовании методики преподавания темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» с позиции активизации познавательной деятельности учащихся.

Реализация поставленной цели потребовала решения ряда конкретных задач.

1. Совершенствовать методику изучения прогрессий на основе активизации познавательной деятельности учеников.

2. Изучить существующие в настоящее время определения, формулы и свойства арифметической и геометрической прогрессий.

3. Создать целостную теоретическую базу по изучению темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

4. Провести практическую проверку с целью установления эффективности предложенной методики.

Для того чтобы решить поставленные задачи, использовались следующие методы.

1. Анализ научной и методической литературы, а также учебных пособий.

2. Тщательное изучение и проработка подобранного теоретического и практического материала.

3. Решение задач по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

4. Изучение и обобщение имеющегося опыта преподавания темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

Практическая значимость выпускной квалификационной работы определяется тем, что она может быть использована в качестве научно-методического пособия, которое поможет в преподавании темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» в курсе алгебры средней общеобразовательной школы, а также в подготовке учащихся к сдаче ЕГЭ и вступительных экзаменов в вузы.

ГЛАВА 1. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ

§1. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

Будем выписывать в порядке возрастания положительные четные числа. Первое такое число равно 2, второе 4, третье 6 и т.д. Получим последовательность 2, 4, 6, … .

Очевидно, что на четвертом месте этой последовательности будет число 8, на десятом - число 20 и т.д. Вообще для любого номера n можно указать соответствующее ему положительное четное число, оно равно 2n.

Рассмотрим еще одну последовательность. Будем выписывать в порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1:

.

Для любого номера n мы можем узнать соответствующую ему дробь; она равна .

Числа, образующие последовательность, называют соответственно первым, вторым и т.д. членами последовательности. Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена. Например, и т.д. (читают: “ первое, второе, третье ” и т.д.). Вообще член последовательности с номером n, или, как говорят, n-й член последовательности, обозначают . Саму последовательность будем обозначать так: ().

Заметим, что последовательность может содержать конечное число членов. В таком случае её называют конечной. Примером конечной последовательности служит последовательность двухзначных чисел: 10; 11; 12; 13; ...; 98; 99.

Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Часто последовательность задают с помощью формулы, выражающей её n-й член как функцию номера n. Такую формулу называют формулой n-го члена последовательности. Например, последовательность положительных четных чисел можно задать формулой , а последовательность правильных дробей с числителем, равным 1, - формулой .

Пример 1. Пусть последовательность задана формулой . Вычислим первые пять её членов.

Подставляя вместо n натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, получаем: ,

Пример 2. Пусть первый член последовательности () равен 3, а каждый следующий член равен квадрату предыдущего, т.е.

С помощью формулы можно по известному первому члену последовательности вычислить второй, затем по известному второму найти третий и т.д. Получим последовательность 3, 9, 81, 6561, … .

Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько), называют рекуррентной (от латинского слова recurro - возвращаться) [25].

Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 1: 1; 5; 9; 13; 17; 21; … . Каждый её член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену числа 4. Эта последовательность является примером арифметической прогрессии.

Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Иначе говоря, последовательность () - арифметическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие:

, (1)

где d - некоторое число.

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым её членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна d, т.е. при любом натуральном n верно равенство: .

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать первый её член и разность.

Приведем примеры.

Пример 1. Если и d = 1, то получим арифметическую прогрессию: 1; 2; 3; 4; 5; … , члены которой - последовательные натуральные числа.

Пример 2. Если и d = 2, то получим арифметическую прогрессию: 1; 3; 5; 7; 9; … , которая является последовательностью положительных нечетных чисел.

Пример 3. Если и , то заданная арифметическая прогрессия: - 2; - 4; 0; 8; 10; … является последовательностью отрицательных четных чисел.

Пример 4. Если и , то имеем арифметическую прогрессию: 7; 7; 7; … , все члены которой равны между собой.

Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член, вычисляя последовательно второй, третий, четвертый и т. д. члены. Но для нахождения члена прогрессии с больший номером такой способ неудобен. Постараемся отыскать способ, требующий меньшей вычислительной работы.

По определению арифметической прогрессии

Точно так же находим, что , и вообще, чтобы найти нужно к прибавить (n - 1)d, т. е.

(2)

Мы получили формулу n-го члена арифметической прогрессии. Докажем ее методом математической индукции.

1. При эта формула верна: .

2. Предположим, что формула (2) верна при , , т.е.

3. По определению арифметической прогрессии . Подставляя сюда выражение для k-го члена, получим , а это есть формула (2) при .

Из принципа математической индукции следует, что формула (2) верна для любого натурального п.

Что и требовалось доказать.

Приведем примеры решения задач с использованием этой формулы.

Пример 1. Последовательность - арифметическая прогрессия, в которой и . Найдем десятый и сотый член этой прогрессии.

Имеем:

Пример 2. Выясним, является ли число 71 членом арифметической прогрессии : - 10; - 5,5; - 1; 3,5; ... .

В данной арифметической прогрессии и , . Запишем формулу n-го члена прогрессии:

, т.е. .

Число 71 является членом арифметической прогрессии , если существует такое натуральное числи n, при котором значение выражения (4,5n - 14,5) равно 71. Решим уравнение 4,5n - 14,5 = 71.

Получим: 4,5n = 85,5, п=19.

Значит, число 71 является членом данной арифметической прогрессии.

Формулу n-го члена арифметической прогрессии можно записать иначе:

Отсюда ясно, что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида , где k и b - некоторые числа.

Верно и обратное: последовательностъ , заданная формулой вида , где k и b - некоторые числа, является арифметической прогрессией.

Действительно, найдем разность (n+1)-го и n-го членов последовательности :

Значит, при любом n справедливо равенство , и по определению последовательность является арифметической прогрессией. Заметим, что разность этой прогрессии равна k.

Свойства арифметической прогрессии.

1. Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому его соседних членов, т.е. при верной является формула

(3)

Действительно, при имеем и . Складывая почленно эти равенства, получим , откуда следует (3).

2. У конечной арифметической прогрессии сумма членов, равноотстоящих от ее концов, равна сумме крайних членов, т.е. для верной является формула

(4)

Действительно, в конечной арифметической прогрессии члены и равноотстоят от концов. По формуле (2) и Сумма этих членов равна и равна сумме крайних членов .

Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных чисел. Покажем, как можно решить, эту задачу, не выполняя непосредственного сложения чисел.

Обозначим искомую сумму через S и запишем ее дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания, а во втором - в порядке убывания: S = 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100,

S = 100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1.

Каждая пара чисел, расположенных друг под другом, в сумме дает 101. Число таких пар равно 100. Поэтому, сложив равенства почленно, получим:

Итак, 1+ 2 + 3 + …+ 99 + 100 = 5050.

С помощью аналогичных рассуждений можно найти сумму первых членов любой арифметической прогрессии.

Сумма членов конечной арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних членов на число членов, т.е. если , то

(5)

Действительно, если , то

.

Складывая почленно эти равенства и используя свойство 2, получаем , откуда следует формула (5) [25].

Приведем примеры.

Пример 1. Найдем сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии 1; 3,5; ... .

В данной арифметической прогрессии . По формуле n-го члена найдем двадцатый член прогрессии:

Теперь вычислим сумму первых двадцати членов:

.

Заметим, что если заданы первый член и разность арифметической прогрессии, то удобно пользоваться формулой суммы, представленной в другом виде. Подставим в формулу (5) вместо выражение получим: т.е.

(6)

Если для решения рассмотренной задачи воспользоваться формулой (6), то вычисления будут выглядеть так:

.

Пример 2. Найдем сумму первых тридцати членов последовательности , заданной формулой .

Последовательность является арифметической прогрессией, так как она задана формулой вида , где k = 5 и .

Найдем первый и тридцатый члены этой арифметической прогрессии:

Теперь по формуле (5) вычислим :

Пример 3. Найдем сумму 1 + 2 + 3 + … + п, слагаемыми в которой являются все натуральные числа от 1 до п .

Применив формулу (5) к арифметической прогрессии 1; 2; 3; ..., получим, что

Пример 4. Найдем сумму всех натуральных чисел, кратных шести и не превосходящих 250.

Натуральные числа, кратные шести, образуют арифметическую прогрессию, которую можно задать формулой . Чтобы выяснить, сколько членов этой прогрессии не превосходит 250, решим неравенство . Получим .

Значит, число членов прогрессии, сумму которых надо найти, равно 41.

Имеем: ,

§2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

Рассмотрим последовательность, членами которой являются степени числа 2 с натуральными показателями: 2; ; ; ; … .

Каждый член этой последовательности, начиная со второго, получается умножением предыдущего члена на 2. Эта последовательность является примером геометрической прогрессии.

Определение. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

Иначе говоря, последовательность - геометрическая прогрессия, если для любого натурального n выполняются условия:

и , (1)

где q - некоторое число. Обозначим, например, через последовaтeльность натуральных степеней числа 2. В этом случае для любого натурального n верно равенство ; здесь .

Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно q, т.е. при любой натуральном n верно равенство:

Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. Очевидно, что знаменатель геометрической прогрессии отличен от нуля.

Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и знаменатель.

Приведем примеры.

Пример 1. Если и q= 0,1, то получим геометрическую прогрессию: 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; ....

Пример 2. Условиями и q = 3 задается геометрическая прогрессия - 2; - 6; ; - 54; - 162; ... .

Пример 3. Если и , то имеем прогрессию: 4; - 12; 36; - 103; 324; … .

Пример 4. Если и q = 1, то получим геометрическую прогрессию 8; 8; 8; … .

Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии, можно найти последовательно второй, третий, а также любой её член:

Точно так же находим, что и т. д. Вообще, чтобы найти , мы должны b1 умножить на , т. е.

 (2)

Мы получили формулу n-го члена геометрической прогрессии. Докажем ее методом математической индукции.

1. Формула (2), очевидно, верна при .

2. Предположим, что она верна и при , т.е.

3. Из (1) следует , то есть формула (2) верна и при .

Из принципа математической индукции следует, что формула (2) справедлива для любого натурального п.

Что и требовалось доказать.

Приведем примеры решения задач с использованием этой формулы.

Пример 1. В геометрической прогрессии и . Найдем .

По формуле n -го члена геометрической прогрессии

Пример 2. Найдем восьмой член геометрической прогрессии ,

если и .

Зная первый и третий члены геометрической прогрессии, можно найти ее знаменатель. Так как ,то

Решив уравнение найдем, что или .

Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи.

Если , то

Если , то

Задача имеет два решения: или .

Пример 3. После каждого, движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нем воздуха. Определим давление воздуха внутри сосуда после шести движений поршня, если первоначальное давление было 750 мм рт. ст.

Так как после каждого движения поршня из сосуда удаляется 20% имевшегося воздуха, то остается 80% воздуха. Чтобы узнать давление воздуха в сосуде после очередного движения поршня, нужно давление после предыдущего движения поршня умножить на 0,8.

Мы имеем геометрическую прогрессию, первый член которой равен 760, а знаменатель равен 0,8. Число, выражающее давление воздуха в сосуде ( в мм рт. ст.) после шести движений поршня, является седьмым членом этой прогрессии. Оно равно .

Произведя вычисления, получим: (мм рт. ст.).

Свойства геометрической прогрессии.

1. Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению соседних членов, то есть при верной является формула

. (3)

Если все члены геометрической прогрессии положительны, то это свойство формулируется так: каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому его соседних членов, т.е. .

Действительно, при имеем и . Перемножая почленно эти равенства, получим . А это и есть равенство (3).

2. У конечной геометрической прогрессии произведение членов, равноотстоящих от ее концов, равно произведению крайних членов, т.е.

(4)

Действительно, в конечной геометрической прогрессии члены и равноотстоят от концов. По формуле (2) и . Произведение этих членов и равно произведению крайних членов . Значит, . А это и есть равенство (4).

Древняя индийская легенда рассказывает, что изобретатель шахмат попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую - в два раза больше, т. е. 2 зерна, на третью - еще в два раза больше, т. е. 4 зерна, и т. д. до 64-й клетки. Сколько зерен должен был получить изобретатель шахмат?

Число зерен, о которых идет речь, является суммой шестидесяти четырех членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель равен 2. Обозначим эту сумму через S:

.

Умножим обе части записанного равенства на знаменатель прогрессии, получим: .

Вычтем из второго равенства первое и проведем упрощения:

, .

Масса такого числа пшеничных зерен больше триллиона тонн. Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.

Выведем теперь формулу суммы n первых членов произвольной геометрической прогрессии. Воспользуемся тем же приемом, с помощью которого была вычислена сумма S.

Пусть дана геометрическая прогрессия . Обозначим сумму n первых ее членов через :

(5)

Умножим обе части этого равенства на q:

Учитывая, что получим:

(6)

Вычтем почленно из равенства (6) равенство (5) и приведем подобные члены:

Пусть , тогда (7)

Мы получили формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии, в которой . Если , то все члены прогрессии равны первому члену и [25].

Заметим, что при решении многих задач удобно пользоваться формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии, записанной в другом виде. Подставим в формулу (7) вместо bn выражение . Получим:

если . (8)

Пример 1. Найдем сумму первых десяти членов геометрической прогрессии , в которой и .

Так как известны первый член и знаменатель прогрессии, то для решения задачи удобно воспользоваться формулой (8). Получим:

Пример 2. Найдем сумму , слагаемые которой являются последовательными членами геометрической прогрессии 1; x; ; … .

Первый член прогрессии равен 1, а знаменатель ранен х. Так как является членом этой прогрессии с номером n, то задача состоит в нахождении суммы n первых её членов. Воспользуемся формулой (7):

Таким oбразом,

Умножим левую и правую части последнего равенства на . Получим тождество

В частности, при и приходим к известным формулам:

Пример 3. Найдем сумму шести первым членов геометрической прогрессии , если известно, что и .

Зная и , можно найти знаменатель прогрессии q.

Так как то

Значит, или

Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи.

Если , то и

Если , то и

Мы знаем, что число обращается в бесконечную десятичную периодическую дробь 0,3333... .

Если по аналогии с конечной десятичной дробью разложить бесконечную десятичную дробь 0,3333… по разрядам, то получим сумму с бесконечным числом слагаемых: 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ... .

Слагаемые в этой сумме являются членами геометрической прогрессии 0,3; 0,03; 0,003; 0,0003; ..., у которой .

По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии имеем:

При неограниченном увеличении числа слагаемых n выражение становится сколь угодно близким к нулю, а значит, и вся дробь неограниченно приближается к нулю.

Действительно, если n = 2, то если n = 3, то если n = 4, то если n = 5, то и т.д.

Поэтому при неограниченном увеличении n разность становится сколь угодно близкой к числу или, как говорят, стремится к числу .

Таким образом, сумма n первых членов геометрической прогрессии 0,3; 0,03; 0,003; 0,0003; ... при неограниченном увеличении п стремится к числу . Это утверждение записывают в виде равенства

.

Число называют суммой бесконечной геометрической прогрессии 0,3; 0,03; 0,003; 0,0003; ... .

Рассмотрим теперь произвольную геометрическую прогрессию у которой

Запишем формулу суммы п первых членов прогрессии:

Преобразуем выражение в правой части равенства:

Значит,

Можно доказать, что если , то при неограниченном увеличении п множитель стремится к нулю, а значит, стремится к нулю и произведение . Поэтому при неограниченном увеличении п сумма S, стремится к числу .

Число называют суммой бесконечной геометрической прогрессии , у которой .

Это записывают так:

Обозначив сумму прогрессии буквой S, получим формулу

(9)

Заметим, что если то сумма п первых членов геометрической прогрессии Sn при неограниченной увеличении п не стремится ни к какому числу. Бесконечная геометрическая прогрессия имеет сумму только при .

Пример 1. Найдем сумму бесконечной геометрической прогрессии 12; - 4; ; ….

У этой прогрессии . Значит, условие выполняется. По формуле (9) получим:

Пример 2. Дан квадрат, сторона которого равна 4 см. Середины его сторон являются вершинами второго квадрата, середины сторон второго квадрата являются вершинами третьего квадрата и т. д. Найдем сумму площадей всех квадратов.

Из геометрических соображений ясно, что площадь каждого следующего квадрата равна половине площади предыдущего. Таким образом, последовательность площадей квадратов является геометрической прогрессией, первый член которой равен 16, а знаменатель равен . Найдем сумму этой геометрической прогрессии:

Значит, сумма площадей всех квадратов равна 32 см2.

Пример 3. Представим бесконечную десятичную периодическую дробь 0,(18) в виде обыкновенной дроби.

Запишем число 0,(18) в виде суммы: .

Слагаемые в правой части равенства - члены геометрической прогрессии, у которой первый член равен 0,18, а знаменатель равен 0,01, т.е. . Найдем сумму этой прогрессии:

Значит,

Заметим, что аналогичным образом можно представить в виде обыкновенной дроби любую бесконечную десятичную периодическую дробь [25].

ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ИЗУЧЕНИЮ ТЕМЫ «АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ» В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ

§1. ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АКТИВИЗАЦИИ ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ПРОГРЕССИЙ

Изучение прогрессий в средней общеобразовательной школе происходит в 9 классе. В соответствии с возрастной периодизацией - это дети подросткового и раннего юношеского возраста. В 9 классе средней общеобразовательной школы развитие познавательных процессов детей достигает такого уровня, что они оказываются практически готовыми к выполнению всех видов умственной работы взрослого человека, включая самые сложные. Познавательные процессы школьников приобретают такие качества, которые делают их совершенными и гибкими, причем развитие средств познания несколько опережает собственно личностное развитие детей [27].

В подростковом и юношеском возрасте активно идет процесс познавательного развития. В это время оно происходит в основном в формах, мало заметных как для самого ребенка, так и для внешнего наблюдателя.

Подростки и юноши уже могут мыслить логически, заниматься теоретическими рассуждениями и самоанализом. У девятиклассников уже отмечается способность делать общие выводы на основе частных посылок и, напротив, переходить к частным умозаключениям на базе общих посылок, т.е. способность к индукции и дедукции. Именно поэтому при изучении формул общего члена арифметической и геометрической прогрессий, а также формул суммы п первых членов прогрессий, для их доказательства нужно использовать метод математической индукции.

К этому возрасту дети усваивают многие научные понятия, обучаются пользоваться ими в процессе решения различных задач. Это означает сформированность у них теоретического или словесно-логического познавательных процессов. Поэтому изложение темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» преподается на достаточно высоком уровне абстракции.

Особенно заметным в эти годы становится рост сознания и самосознания детей, представляющий собой существенное расширение сферы осознаваемого и углубление знаний о себе, о людях, об окружающем мире. Развитие самосознания ребенка находит свое выражение в изменении мотивации основных видов деятельности: учения, общения и труда. Прежние «детские» мотивы, характерные для младшего школьного возраста, теряют свою побудительную силу. На месте их возникают и закрепляются новые, «взрослые» мотивы, приводящие к переосмыслению содержания, целей и задач деятельности. Хотя игра и является «детским» мотивом, но при изучении прогрессий она способствует активизации познавательной деятельности учащихся, способствует увеличению заинтересованности учеников в результатах своей деятельности по усвоению материала.

В подростковом возрасте активно совершенствуется самоконтроль деятельности, являясь вначале контролем по результату или заданному образцу, а затем - процессуальным контролем, т.е. способностью выбирать и избирательно контролировать любой момент или шаг в деятельности, что можно использовать при организации проверки знаний учащихся по вопросам прогрессий. Вплоть до юношеского возраста у многих детей еще отсутствует способность к предварительному планированию деятельности, но вместе с тем налицо стремление к саморегуляции. Оно, в частности, проявляется в том, что на интересной, интеллектуально захватывающей деятельности или на такой работе, которая мотивирована соображениями престижности, подростки могут длительное время удерживать внимание, быть в состоянии переключать или распределять его между несколькими действиями и поддерживать довольно высокий темп работы. Именно поэтому при изучении темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» в девятом классе необходимо использовать методы активизации познавательной деятельности учащихся, рекомендовать творческие задания, подготовку рефератов, докладов, проведение исследовательской работы по данной теме. Например, на уроках решения задач на прогрессии можно использовать нестандартные задачи (практического, экономического или исторического характера, а также в виде кросснамберов).

В подростковом возрасте происходят важные процессы, связанные с перестройкой памяти. Активно начинает развиваться логическая память, и скоро она достигает такого уровня, что ребенок переходит к преимущественному использованию этого вида памяти, а также произвольной и опосредствованной памяти. Как реакция на более частое практическое употребление в жизни логической памяти замедляется развитие механической памяти. У подростков возникают проблемы с запоминанием, и жалобы на плохую память намного чаще, чем у младших школьников. Наряду с этим появляется интерес подростков к способам улучшения запоминания. Поэтому при рассмотрении теоретического материала по прогрессиям необходимо использовать схемы, позволяющие облегчить процесс запоминания теоретических аспектов изучения темы.

А.Н.Леонтьев исследовал, как идет развитие двух основных видов памяти - непосредственной и опосредственной - в течение детства и установил особенности их преобразования в старшем школьном возрасте. Он показал, что с увеличением возраста идет постепенное улучшение непосредственного запоминания, причем быстрее, чем опосредствованного. Одновременно с этим от дошкольного к младшему школьному возрасту увеличивается разрыв, существующий между продуктивностью непосредственного и опосредствованного запоминания. Затем - уже в подростковом и юношеском возрасте - прирост продуктивности непосредственного запоминания замедляется, и одновременно с этим увеличивается продуктивность опосредствованного запоминания [28].

С возрастом меняются и отношения между памятью и мышлением. В раннем детском возрасте память является одной из основных психических функций, и в зависимости от нее строятся все остальные психические процессы. Мышление ребенка в этом возраста во многом определяется его памятью: мыслить - значит вспоминать. В младшем школьном возрасте мышление обнаруживает высокую корреляцию с памятью и развивается в непосредственной зависимости от нее. Решающий сдвиг в отношениях между памятью и другими психическими функциями происходит в подростковом возрасте. Исследования памяти детей данного возраста показали, что для подростка вспоминать - значить мыслить. Его процесс запоминания сводится к мышлению, к установлению логических отношений внутри запоминаемого материала, а припоминание заключается в восстановлении материала по этим отношениям, поэтому при изучении формул, свойств важно, чтобы ученики понимали идею, смысл, логику их получения.

Характерной особенностью подросткового возраста является готовность и способность ко многим различным видам обучения, причем как в практическом плане (трудовые умения и навыки), так и в теоретическом (умение мыслить, рассуждать, пользоваться понятиями). Еще одной чертой, которая впервые полностью раскрывается именно в подростковом возрасте, является склонность к экспериментированию, проявляющаяся, в частности, в нежелании все принимать на веру. Подростки обнаруживают широкие познавательные интересы, связанные со стремлением все самостоятельно перепроверить, лично удостовериться в истинности. К началу юношеского возраста такое желание несколько уменьшается, и вместо него появляется больше доверия к чужому опыту, основанного на разумном отношении к его источнику. Следовательно, при изучении прогрессий с сильными учениками полезна исследовательская работа, успешно рассматривается поиск применения прогрессий к решению текстовых задач практического характера.

Подростковый возраст отличается повышенной интеллектуальной активностью, которая стимулируется не только естественной возрастной любознательностью подростков, но и желанием развить, продемонстрировать окружающим свои способности, получить высокую оценку с их стороны. В этой связи подростки на людях стремятся брать на себя наиболее сложные и престижные задачи, нередко проявляют не только высокоразвитый интеллект, но и незаурядные способности. Для них характерна эмоционально-отрицательная аффективная реакция на слишком простые задачи. Такие задачи их не привлекают, и они отказываются их выполнять из-за соображений престижности. Именно поэтому на уроках, посвященных решению задач по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии», необходимо использовать нестандартные задачи: исторического и практического характера, повышенной трудности, из сборников по подготовке к ЕГЭ.

В основе повышенной интеллектуальной и трудовой активности подростков лежат не только указанные выше мотивы. За всем этим можно усмотреть и естественный интерес, повышенную любознательность детей данного возраста. Вопросы, которые задает подросток взрослым детям, учителям и родителям, нередко достаточно глубоки и касаются самой сути вещей [28].

Подростки могут формулировать гипотезы, рассуждать предположительно, исследовать и сравнивать между собой различные альтернативы при решении одних и тех же задач, поэтому при изучении прогрессий целесообразно применение методов проблемного обучения (эвристический, исследовательский, проблемного изложения). Сфера познавательных, в том числе учебных, интересов подростков выходит за пределы школы и приобретает форму познавательной самодеятельности - стремления к поиску и приобретению знаний, к формированию полезных умений и навыков. Подростки находят занятия и книги, соответствующие их интересам, способные дать интеллектуальное удовлетворение. Стремление к самообразованию - характерная особенность и подросткового, и раннего юношеского возраста.

Самостоятельность мышления проявляется в независимости выбора способа поведения. Подростки и особенно юноши принимают лишь то, что лично им кажется разумным, целесообразным и полезным. Именно поэтому можно давать учащимся задания, углубляющие и расширяющие тему с использованием современных средств обучения таких, например, Internet.

В подростковом и раннем юношеском возрасте завершается формирование мышления. В эти годы мысль окончательно соединяется со словом, в результате чего образуется внутренняя речь как основное средство организации мышления и регуляции других познавательных процессов. Интеллект, в своих высших проявлениях, становится речевым, а речь - интеллектуализированной. Возникает полноценное теоретическое мышление. Наряду с этим идет активный процесс формирования научных понятий, содержащих в себе основы научного мировоззрения человека в рамках тех наук, которые изучаются в школе. Приобретают окончательные формы умственные действия и операции с понятиями, опирающиеся на логику рассуждений и отличающие словесно-логическое, абстрактное мышление от наглядно-действенного и наглядно-образного [28].

Ускоренного формирования понятий по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» можно добиться на уроках алгебры, где соответствующие понятия вводятся и изучаются. При представлении учащемуся любого из этих понятий важно обратить внимание на следующие моменты:

а) почти каждое понятие имеет несколько значений;

б) обычные слова из повседневно используемого языка, который употребляется и для определения научных понятий, многозначны и недостаточно точны для того, чтобы определить объем и содержание научного понятия. Поэтому любые определения понятий через слова обыденного языка могут быть только приблизительными;

в) отмеченные свойства допускают как вполне нормальное явление существование различных определений одних и тех же понятий, не полностью совпадающих друг с другом;

г) для одного и того же человека по мере его развития, а также для науки и представляющих ее ученых по мере их проникновения в суть изучаемых явлений объем и содержание понятий, естественно, меняются. Произнося одни и те же слова через значительный период времени, мы обычно вкладываем в них несколько различный, со временем меняющийся смысл.

Из этого следует, что учащиеся не должны механически учить и повторять застывшие определения научных понятий. Необходимо добиваться того, чтобы сами учащиеся находили и давали определения этих понятий. Это, несомненно, ускорит процесс развития понятийной структуры мышления у девятиклассников, что мы наблюдаем в процессе изучения прогрессий.

Становлению внутреннего плана действий могут помочь специальные упражнения, направленные на то, чтобы одни и те же действия как можно чаще совершались не с реальными, а с воображаемыми предметами, т.е. в уме. Например, при решении задач по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» следует побуждать учащихся к тому, чтобы они больше считали не на бумаге или с помощью калькулятора, а про себя, находили и четко формулировали принцип и последовательные шаги в решении задачи прежде, чем практически приступят к реализации найденного решения. Надо придерживаться правила: до тех, пор, пока решение до конца не продумано в уме, пока не составлен план включенных в него действий и пока он не выверен на логичность, к практическому осуществлению решения не следует приступать. Этими принципами и правилами необходимо пользоваться на уроках математики, тогда и внутренний план действий будет формироваться у учащихся быстрее.

Три представленных основных направления ускоренного развития теоретического интеллекта, конечно, не существуют независимо друг от друга, и формировать каждое из них в отдельности вне связи с остальными нельзя. Развитие речевого мышления так или иначе сказывается на развитии понятий и внутреннего плана действий. Изменения, происходящие во внутреннем плане действий, связаны с развитием внутренней речи, положительно влияют на речевое мышление и на формирование понятий. И так далее. Поэтому всю работу по интеллектуальному развитию подростков и юношей необходимо вести комплексно, подбирая упражнения и рассчитывая предлагаемые задания таким образом, чтобы они развивали интеллект по всем его важнейшим направлениям.

У практического интеллекта, кроме связанной с этим названием способности решать практические задачи, есть и другие атрибуты: здравый смысл, смекалка, «золотые руки», интуиция. Долгое время развитием этих сторон интеллекта ребенка школа относительно пренебрегала или сводила их главным образом к приобретению учащимися элементарных трудовых умений и навыков, относящихся к малоквалифицированной работе. В условиях перехода к рыночным отношениям и самостоятельной экономической деятельности людей значение практического интеллекта особенно возрастает, так как каждому человеку теперь необходимо вести расчетливый и продуманный образ жизни [28].

В структуру практического интеллекта входят следующие качества ума: предприимчивость, экономность, расчетливость, умение быстро и оперативно решать возникающие задачи. Предприимчивость на уроках математики проявляется в том, что при решении сложной, нестандартной задачи ученик способен находить несколько ее решений, а главное - в том, что какая бы задача перед ним ни возникла, он всегда способен отыскать ее оптимальное решение [7].

Экономность как качество практического ума состоит в том, что обладающий этим качеством человек в состоянии найти такой способ действия, который в сложившейся ситуации с наименьшими затратами и издержками приведет к нужному результату.

Расчетливость проявляется в умении заглядывать далеко вперед, предвидя последствия тех или иных решений и действий, точно определять их результат и оценивать, чего он может стоить.

Наконец, умение оперативно решать поставленные задачи - это динамическая характеристика практического интеллекта, проявляющаяся в количестве времени, которое проходит с момента возникновения задачи до ее практического решения.

Развитым можно считать такое практическое мышление, которое обладает всеми указанными свойствами. Насколько развит этот вид мышления можно проверить во время нестандартных уроков, проводимых, например, в виде дидактической игры «Восхождение на пик Знаний», описанной далее в §5.

Подростковый и ранний юношеский возраст характеризуется продолжающимся развитием общих и специальных способностей детей на базе основных ведущих видов деятельности: учения, общения и труда. В учении формируются общие интеллектуальные способности, особенно понятийное теоретическое мышление. Это происходит за счет усвоения понятий, совершенствования умения пользоваться ими, рассуждать логически и абстрактно. Значительный прирост предметных знаний создает хорошую базу для последующего развития умений и навыков в тех видах деятельности, где эти знания практически необходимы. Таким образом, учителю при изучении прогрессий нужно четко знать указанные ориентиры и использовать упомянутые возможности при обучении школьников [28].

В труде подростков идет активный процесс становления тех практических умений и навыков, которые в будущем могут понадобиться для совершенствования профессиональных способностей [20].

Подростковый и ранний юношеский возраст является достаточно сензитивным для развития всего комплекса разнообразных способностей, и степень практического использования имеющихся здесь возможностей влияет на индивидуальные различия, которые к концу этого возраста, как правило, увеличиваются.

Подростковый и ранний юношеский возраст - это время профессионального самоопределения. Очень важно именно в эти годы окончательно выявить и по мере возможностей развить те способности, на основе которых юноше можно было бы разумно и правильно осуществить выбор профессии. Общие положения, лежащие в основе развития способностей в эти годы, следующие.

1. За предшествующие годы жизни организм ребенка физически окреп и созрел. Из этого с учетом длительного опыта обучения и участия ребенка в различных видах деятельности следует, что имеющиеся у него задатки так или иначе уже могли проявиться, и вся дальнейшая его судьба в основном будет зависеть от их эффективного использования.

Осознание имеющихся задатков и способностей предполагает их специальное исследование. Такое обследование должен пройти каждый ребенок не позже шестого-седьмого класса школы.

Использование имеющихся задатков и уже проявивших себя способностей означает необходимость их развития в процессе специальным образом организованного обучения. Начиная со средних классов школы наряду с общеобразовательным должно быть организовано и специальное обучение детей, профессионально ориентирующее их в соответствии с имеющимися задатками и способностями на выбор вида и рода занятий, причем на добровольной основе.

Это не означает, что необходимо уменьшать или сокращать количество часов, отводимых на изучение общеобразовательных предметов. Без них не будут должным образом развиваться общие интеллектуальные способности как одна из основ будущей любой профессиональной работы. Это означает лишь то, что профессионализация обучения с одновременной его дифференциацией по способностям должна вводиться параллельно и в дополнение к общеобразовательной программе.

§2. ПРИМЕРНОЕ ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ТЕМЫ «АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТИРЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ»

Тематическое планирование, предлагаемое в основной части работы, составлено по учебнику Макарычева Ю.Н. и др. «Алгебра» для 9 класса общеобразовательных учреждений под редакцией Теляковского С.А. Уроки алгебры в 9 классе проводятся 3 часа в неделю. Всего на тему «Арифметическая и геометрическая прогрессии» отводится 14 часов из 30 часов в третьей четверти [33].

№ урока	Тема и содержание урока
1	Последовательности: введение понятия, члены и способы задания рассматриваются на конкретных примерах
2	Урок-лекция «Сравнение арифметической и геометрической прогрессий» (определение, формула п-го члена с выводом, характеристическое свойство)
3	Формула суммы п первых членов арифметической прогрессии (два варианта формулы). Вычисление конечных сумм
4	Решение задач с использованием формул арифметической прогрессии (с использованием работы в парах переменного состава)
5	Урок-игра «Арифметическая прогрессия» (применение знаний и умений, повторение и обобщение)
6	Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии. Вычисление конечных сумм
7	Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии при
8	Решение задач с использованием формул геометрической прогрессии
9	Урок-улей «Геометрическая прогрессия» (применение знаний и умений, повторение и обобщение)
10	Решение задач с практическим содержанием на прогрессии
11	Решение нестандартных задач на прогрессии
12, 13	Арифметическая и геометрическая прогрессии (обобщение и систематизация)
14	Контрольная работа по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Данное примерное тематическое планирование предлагается для думающего, интересующегося математикой класса. Его главным отличием от общепринятого является то, что изучение арифметической и геометрической прогрессий предлагается параллельно, а это, учитывая возрастные особенности учащихся, способствует активизации их познавательной деятельности.

§3. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ИЗУЧЕНИЮ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА ТЕМЫ «АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ»

Учение о прогрессиях является существенной, хотя и несколько изолированной от остальных разделов, частью курса алгебры.

Знакомство учащихся с прогрессиями происходит в курсе алгебры девятого класса в теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии». На эту тему по программе общеобразовательных классов отводится 14 часов. Для изучения арифметической прогрессии отводится 6 часов, геометрической - 7 часов, но соотношение часов может варьироваться по усмотрению учителя [33].

Основная цель этой темы - дать понятие об арифметической и геометрической прогрессиях как числовых последовательностях особого вида.

Для сильного, думающего, увлеченного математикой класса, обучающегося в обычной школе, можно провести изучение арифметической

и геометрической прогрессий параллельно, основываясь на примерном тематическом планировании, предложенном в §2.

На первом уроке темы необходимо разъяснить смысл понятий последовательность, п-й член последовательности, выработать умение использовать индексные обозначения.

Для более сильных учащихся можно ввести строгое определение последовательности как функции натурального аргумента, понятие области определения и области значений такой функции, графическое изображение последовательности. На этом же уроке уместно показать различные способы задания последовательности, используя задания типа №329,334,336,337 учебника «Алгебра, 9» Макарычева Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др. под редакцией Теляковского С.А. [25].

№329. Выпишите несколько первых членов последовательности натуральных чисел, кратных 3. Укажите ее первый, пятый, десятый, сотый и п-й члены.