Совершенствование методики преподавания темы "Арифметическая и геометрическая прогрессии" с позиции активизации познавательной деятельности учащихся

Решение. Формула общего члена данной последовательности имеет вид: , где п - натуральные числа. Значит, , , , а п-й член указан ранее.

Ответ: 3, 15, 30, .

№334 (а). Найдите первые шесть членов последовательности, заданной формулой п-го члена: .

Решение. Согласно заданной формуле получаем: , , , , , .

Ответ: 1, 3, 5, 7, 9, 11.

№336 (а). Вычислите второй, третий, четвертый и пятый члены последовательности , если известно, что первый член равен 10, а каждый следующий на 3 больше предыдущего, т.е. и .

Решение. Учитывая данные условия, получаем: , , , .

Ответ: 13, 16, 19, 22.

№337 (а). Выпишите первые пять членов последовательности , если , .

Решение. Используя заданные условия, получаем: , , , . Значит, первые пять членов заданной последовательности имеют вид: 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5.

Сведения, полученные учащимися на первом уроке темы, используются при введении понятия арифметическая и геометрическая прогрессия, выводе формул п-го члена и суммы п членов для каждой из прогрессий.

Прогрессии (арифметическая и геометрическая) являются простейшими примерами последовательностей, заданных рекуррентным способом. На это обстоятельство сразу следует обратить внимание учащихся и использовать его, формулируя определение прогрессий.

Так, арифметическая прогрессия задается рекуррентным соотношением .

Если последовательность вводится рекуррентным способом, то, как известно, для полного ее задания нужно указать начальные члены; в частности, для арифметической прогрессии нужно задать первый ее член. Итак, арифметическая прогрессия будет определена полностью, если заданы ее первый член и разность. Арифметическая прогрессия с первым членом и разностью d определяется индуктивно условиями: и .

Полезно обратить внимание учащихся на то, что натуральные числа образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной 1 и : 1, 2, 3, 4 ... .

Геометрическая прогрессия по определению также представляет собой последовательность, задаваемую следующим рекуррентным соотношением: , т.е. задается условиями: и .

Первое знакомство учащихся с прогрессиями (как арифметической, так и геометрической) можно начать с конкретных примеров нескольких последовательностей, среди которых имеются, например, арифметические прогрессии. Рассматривая эти примеры, учащиеся могут выявить характеристические свойства последовательностей некоторого вида, которые учитель затем называет арифметическими прогрессиями и предлагает учащимся самостоятельно сформулировать определение такой прогрессии.

Следует указать учащимся, что любую постоянную последовательность, каждый член которой принимает значение, равное числу с, можно рассматривать и как арифметическую прогрессию с разностью , и как геометрическую прогрессию со знаменателем q = 1.

В зависимости от значения разности прогрессии d (или знаменателя прогрессии q) характер поведения членов прогрессии различен. Так, арифметическая прогрессия будет возрастающей, если , и будет убывающей, если d < 0.

Несколько сложнее обстоит дело с геометрической прогрессией. Поэтому характер поведения геометрической прогрессии в зависимости от значений q следует разобрать с учащимися более детально, например, по такому плану:

1) Пусть q > 1, тогда члены геометрической прогрессии таковы, что их значения имеют один и тот же знак и возрастают по модулю.

Пример 1. 1, 3, 9, 27, 81, ... (т. е. , q = 3), или - 2, - 8, - 32, ... (т. е. ).

2) Если , то члены геометрической прогрессии таковы, что их значения имеют один и тот же знак и убывают по модулю.

Пример 2. , или .

3) Пусть , тогда члены геометрической прогрессии принимают знакочередующиеся значения, возрастающие по модулю,

Пример 3. - 3, 6, - 12, 24, ... .

4) Если , то члены геометрической прогрессии принимают знакочередующиеся значения, убывающие по модулю.

Пример 4. - 8, 1, .

5) При q = 1 все члены геометрической прогрессии одинаковы, т. е. , а при все члены геометрической прогрессии отличаются друг от друга лишь знаками, т.е. [17].

Остановимся теперь на выводе формулы общего члена прогрессии. Опыт работы преподавателей показывает, что вывод формул общего члена арифметической и геометрической прогрессий не вызывает затруднений у учащихся, поэтому в классе работу по выводу формул общего члена арифметической и геометрической прогрессий можно провести на уроке-лекции по введению и самостоятельному приобретению новых знаний «Сравнение арифметической и геометрической прогрессий» самостоятельно по вариантам, а затем сделать вывод и записать формулы и . На этом же уроке учитель подводит учащихся к характеристическим свойствам прогрессий с помощью трех заданий, предлагаемых ученикам последовательно.

1) Найти среднее арифметическое (геометрическое) чисел 2 и 8. Записать найденное число с данными в порядке возрастания. Образуют ли эти числа арифметическую (геометрическую) прогрессию?

2) Справедлива ли эта зависимость для трех последовательных членов рассматриваемых последовательностей?

а) (для арифметической прогрессии);

б) (для геометрической прогрессии).

3) Доказать, что для членов прогрессий справедлива закономерность:

а) (для арифметической прогрессии);

б) , (для геометрической прогрессии).

Вывод суммы первых n членов арифметической или геометрической прогрессий способом, предложенным в учебном пособии Макарычева, не вызывает у учащихся затруднений, но чтобы эта работа заинтересовала учащихся, им можно рассказать предание о маленьком Карле Гауссе, будущем немецком короле математики, решившим в десятилетнем возрасте очень быстро задачу о нахождении суммы первых ста натуральных чисел, а затем поставить перед учениками проблему: «Как смог найти сумму ста натуральных чисел десятилетний мальчик?». Далее необходимо отметить, что с помощью рассуждений, аналогичных проведенным при решении выше указанной проблемы, можно найти сумму первых членов любой арифметической прогрессии. После этого следует приступить к выводу формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии. Для хорошо успевающего по математике класса эту работу можно дать в форме задачи, а затем обсудить полученные результаты в виде двух вариантов формулы и сделать вывод. При изучении формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии сначала можно рассказать древнюю индийскую легенду об изобретателе шахмат Сете, затем рекомендуется поставить проблему перед учащимися следующего содержания: «Сколько зерен должен был получить Сета за свое изобретение?» Дальнейшая работа по выводу формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии проводится аналогично работе с формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии.

Необходимым условием приобретения умений решать задачи и примеры с прогрессиями является знание всех формул из этой темы и наличие навыков их преобразования. Поэтому на практике необходимо уделять особое внимание приемам, позволяющим повышать эффективность усвоения учащимися формул и выражать из них неизвестные величины.

Рассмотрим некоторые формы отработки знаний формул темы «Прогрессии», позволяющие активизировать познавательную деятельность учащихся.

1. Дидактическая карточка «Эстафета формул»

При изучении нескольких формул темы «Прогрессии» целесообразно применение дидактических карточек «Эстафета формул». На листе бумаги в столбик записаны формулы, в которых вместо какой-либо величины вырезан круг. Карточку удобно оформлять в виде перфокарты со сменной бумажной полоской-подложкой. Заполняется карточка так: вписывая в первую формулу недостающую величину, её же записывают во вторую формулу, туда, куда показывает стрелка. Процедура продолжается, пока не будут заполнены все пропуски. Так, например, на рис. 3.1 представлена карточка «Эстафета формул», применяемая при изучении арифметической прогрессии.

Правильность заполнения карточки проверяется с помощью заготовленной подложки-ключа. Для описанной карточки подложка-ключ представлена на рис. 3.2.

Рис. 3.1 Рис. 3.2

Достоинств у дидактических карточек «Эстафеты формул» несколько. Во-первых, это нетрадиционный способ работы с формулами, что, несомненно, привлекает внимание учащихся. Во-вторых, формы работы с карточками «Эстафета формул» могут быть разнообразны. Возможно заполнение карточки одним учеником, при этом проверяется знание им формул данной темы. Приемлема организация групповой работы, когда учащиеся поочередно записывают пропущенные величины в формулы, связанные в общую цепочку. В этом случае у учащихся возникает чувство ответственности перед товарищами за выполнение своего задания, потому что от правильности записи одной формулы зависит верность заполнения дальнейших пропусков. В-третьих, проверка выполнения заданий очень проста и оперативна, поэтому она может быть осуществлена даже учащимися.

В приложении 1 приводятся примеры еще трех карточек этого вида.

2. «Математическая электровикторина»

Отработка знания формул и умения работать с ними может быть осуществлена с помощью математической электровикторины.

Электровикторина представляет собой коробку, внутри которой собрана электрическая схема (рис. 3.3). Передняя панель (рис. 3.4) имеет ряды гнезд, съёмные карточки с формулами, изучаемыми в теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»; справа расположена лампочка, соединённая внутри коробки с гальваническим элементом. От этой цепи лампочка- гальванический элемент отходят длинные мягкие провода, оканчивающиеся металлическими контактами. Слева на карточках расположены вопросы, справа в беспорядке, но в соответствии со схемой, - ответы на них.

Работа с математической электровикториной обычно организуется в парах. При этом учащиеся выполняют задания и контролируют правильность выполнения. Правила следующие: учащийся вставляет один штырь в левое гнездо, читает вопрос, ищет справа ответ и вставляет в его гнездо второй штырь от провода. Если ответ выбран правильно, то лампочка загорится. Другой ученик по количеству верных ответов выставляет оценку отвечающему. Затем ребята меняются ролями.

В таблице 3.1 приводится содержание карточки «Математическая электровикторина» по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии», которая может быть использована на уроках после изучения всего теоретического материала темы.

Рис. 3.3 Рис. 3.4

Таблица 3.1

п-й член арифметической прогрессии
разность арифметической прогрессии
сумма первых п членов арифметической прогрессии
сумма бесконечной геометрической прогрессии , при
характеристическое свойство арифметической прогрессии
характеристическое свойство геометрической прогрессии
(п-1)-й член геометрической прогрессии
п-й член геометрической прогрессии
знаменатель геометрической прогрессии
сумма первых п членов геометрической прогрессии

Данные формы отработки знания формул и умения работать с ними могут быть использованы также при изучении других тем школьного курса математики.

§4. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К УРОКАМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ»

Не будет большим преувеличением утверждение о том, что жизненная деятельность человека и всего общества состоит из каждодневного решения различных задач во всем многообразии их содержания, роли и применяемых методов решения. Большинство из этих поставленных задач решается человеком и всем обществом в процессе целенаправленной деятельности. Некоторые из этих задач возникают случайно и требуют от человека принятия решения в незапланированном порядке, вне зависимости от готовности и умения отдельного индивидуума решать их направленно. Решение многих задач требует от человека хорошо развитой способности к творческой деятельности или, по крайней мере, способности и умения отыскать в данных условиях более или менее оптимальное решение. Поэтому неудивительно то, что большое значение, которое современная наука придает изучению процесса человеческой деятельности как в сфере производства, так и в обучении.

Если понятие математической задачи трактуется достаточно широко, то решение задач является единственной возможностью для математической деятельности учащихся. Умение решать математические задачи является наиболее яркой характеристикой состояния математического мышления учащихся, уровня их математического образования.

Если сравнивать обучение решению математических задач в школе с обучением какому-либо мастерству, то можно легко обнаружить, что в период обучения профессиональному мастерству работа учащегося носит явно учебный характер: ученик учится обращению с инструментом при изготовлении учебных деталей. Каждая изготовленная им деталь подвергается критическому осмотру мастера, который указывает на допущенные дефекты иобъясняет, как следует обращаться с инструментом, чтобы не допускать их в дальнейшем. Самое главное заключается в том, что ученик полностью сознает учебный характер своей деятельности, старается усвоить именно те приемы работы и овладеть лучше именно тем инструментом, которые ему будут особенно необходимы в самостоятельной деятельности.

Но при обучении учащихся математической деятельности почти все учащиеся средней общеобразовательной школы считают, что если предложенная им математическая задача решена верно, если полученный ответ совпадает с ответом, данным в учебнике, или одобрен учителем, то работа их окончена, о решенной задаче можно и нужно забыть.

Таким образом, учащиеся забывают об обучающем характере каждой задачи, решаемой в процессе обучения, о том, что всякая задача должна учить их умению ориентироваться в различных проблемных ситуациях, обогащать их знания и опыт, учить их математической деятельности.

Естественно, что в процессе решения задач учащиеся накапливают определенные сведения, относящиеся к конкретным проблемным ситуациям или приемам решения. Однако для эффективной работы над решением новой задачи, в новых условиях необходимо, чтобы полученный ими ранее опыт был должным образом упорядочен. Необходимо, чтобы информация различного рода, получаемая учащимися в процессе решения задачи, критически ими оценивалась, чтобы подводился своеобразный итог после каждой решенной задачи.

Важно отметить, что такого рода деятельность выступает как одна из характеристик полноценного мышления. Так, известный психолог С.Л.Рубинштейн считал, что мышление - это актуализация и применение знаний, которые являются единым процессом актуализации. Под процессом актуализации понимается выбор из прошлого опыта нужных сведений и методов и использование их в новых условиях.

Итак, проявляя в традиционной методике обучения решению задач значительную заботу о применении математических знаний при решении задач и не обращая внимания на процесс актуализации этих знаний, учителя нарушают единство процесса математического мышления и поэтому не могут обеспечить его должного развития у учащихся.

Подавляющее большинство задач традиционного школьного курса математики были шаблонными упражнениями тренировочного характера, которые по существу не имеют право на название «задача».

Д.Пойа справедливо писал: «Есть задачи и задачи, и всевозможные различия между ними. Но наиболее важное для учителя отличие - это различие между шаблонными и нешаблонными задачами».

Выделяя два основных типа шаблонных задач - «задачи по одному правилу под носом» и «словарные задачи», Д.Пойа говорил: «Шаблонные задачи, даже двух только что описанных типов, могут быть полезными и даже необходимыми, если они даны в правильное время и в правильной дозе…»

К числу недостатков в постановке задач, характерных для традиционного обучения математике, можно отнести, например, следующие:

1) излишняя стандартизация содержания и методов решения задач в традиционном обучении;

2) увеличение числа решаемых школьниками стандартных задач в ущерб их обучающему качеству;

3) излишне узкое понимание роли и целевого назначения математической задачи в процессе обучения;

4) несовершенство методики обучения через задачи;

5) несоответствие постановки задач и их решений в школе закономерностям развивающего мышления;

6) увеличение обучением решению таких задач или таких упражнений, которые в дальнейшем практически не находят приложений ни в процессе изучения основ наук, ни в практике;

7) обучение школьников через задачи таким умениям и навыкам, которые в современной практической деятельности почти не применяются;

8) отсутствие в школьном курсе математики задач, решение которых могло бы подготовить школьника к деятельности, характерной для современного производства;

9) отсутствие четких критериев учебной значимости каждой задачи, поставленной в процессе обучения, критерия, способного установить необходимое число задач какого-либо типа для достижения реализуемой через них цели обучения, и т.д. [18].

Таким образом, явно видны методический и психологический аспекты проблемы постановки задач в процессе обучения математике.

Как правило, традиционные школьные математические задачи таковы, что требуют для своего решения определенных знаний, умений или навыков по узкому вопросу программного материала. Поэтому роль и значение их исчерпывается в течение того непродолжительного времени, которое отводится на изучение этого вопроса программы. При этом вспомогательная роль таких задач в процессе обучения не является секретом ни для учащихся, ни для учителя: проиллюстрировать изучаемый теоретический вопрос, разъяснить его смысл, помочь усвоить изучаемый факт через простейшие упражнения, выполняемые по образцу, продиктованному теорией, и только.

Память учащихся, как и память любого другого человека, обладает спонтанной избирательностью, и потому то, что было явно второстепенно, забывается в первую очередь.

Итак, несмотря на значительные затраты учебного труда и времени на решение таких задач в школе, не достигаются ожидаемые результаты у значительного числа выпускников средней общеобразовательной школы.

Если провести весьма несложные вычисления, то нетрудно убедиться в том, что за время обучения в школе учащийся решает около 15 000 задач и упражнений. И, несмотря на это, при поступлении в любой институт около половины выпускников не справляются с решением экзаменационных задач, являющихся почти точной копией тех, которые они решали во время обучения в школе [18].

Нередко бывает и так, что тот математический факт, который обслуживается данным циклом задач и упражнений, теряется среди обилия искусственно придуманных задач. Больше того, иногда тот или иной цикл задач вырождался в некоторую самостоятельную учебную единицу и даже вытеснял из программы те или иные теоретические вопросы немалой познавательной ценности. Простейшим примером тому являлись до недавнего времени типовые арифметические задачи.

Отрицательная обучающая роль многих типовых арифметических задач признана сейчас всеми, кто занимается обучением математике. Как ни странно, но именно нестандартные (весьма трудные для решения в школе) задачи, которые теперь почти исключены из практики обучения, имеют все же практический смысл [5].

Не вдаваясь здесь в детализацию целей обучения решению задач и обучения через задачи в школьном курсе математики, укажем лишь на два связанных с ними аспекта.

Прежде всего, совершенно ясно, что в школьном обучении должны быть представлены (они и представлены) в достаточном числе такие задачи и упражнения, решения которых способствуют глубокому пониманию и прочному усвоению школьниками той системы математических знаний и умений, которые предусмотрены программой. Понятно, что в школьном курсе математики должны быть в достаточном объеме представлены и упражнения, направленные на формирование тех или иных математических навыков.

Однако место, которое эти задачи и упражнения должны занимать в обучении математике, должно быть соразмерно с желаемым результатом обучения и его значимостью во всей системе школьного математического образования.

То учебное время и та «учебная энергия» школьников, которые высвободятся в результате построения системы-минимума традиционных задач и упражнений, могут быть использованы с большой пользой на другие цели; в частности, на воспитание у учащихся устойчивого интереса к изучению математики, творческого отношения к учебной деятельности математического характера, на возбуждение и развитие у школьников интереса к такого рода деятельности, на формирование у школьников в процессе этой деятельности способностей к самостоятельному изучению математики, способностей к самообучению.

При реализации этой цели содержание задачи или ее соответствие определенному разделу теории отступает как бы на второй план. Основным становится формирование у школьника умения ориентироваться в новых задачных ситуациях, накапливать информацию, полезную для решения других задач или изучения новых разделов математики, обучение учащихся разнообразным математическим методам познания реальной действительности и т. д.

Именно этот аспект обучения математике отражен в следующем кратком перечне целей обучения через задачи:

1) заинтересовать или мотивировать;

2) приводить к открытию процессов или пониманию соотношений;

3) развивать и практиковать «технику решения задач»;

4) формировать понятие математической модели.

Говоря о роли математических задач в развитии у школьников способностей к самостоятельной познавательной деятельности творческого характера, т.е. в активизации познавательной деятельности учащихся при изучении прогрессий в средней общеобразовательной школе, отметим полезность постановки в школьном обучении математических нестандартных задач, т. е. исторических задач, задач проблемного характера или с практическим применением.

Понятие прогрессии следует закрепить, решая задачи различных видов.

1. Используя формулы общих членов прогрессий и суммы первых членов прогрессий, а также суммы бесконечной убывающей по модулю геометрической прогрессии, находят один из компонентов этих формул, если остальные известны.

Рассмотрим несколько примеров решения таких задач.

Задача 1. Дано: . Найти .

Решение. .

Ответ: [25].

Задача 2. Дано: , . Найти .

Решение. ; ;

.

Ответ: 205,9 [25].

Упражнений такого вида достаточно в учебных пособиях для девятого класса. Они являются самыми простыми и рассматриваются на первых уроках решения задач на прогрессии.

2. Задачи, в которых по заданной зависимости между членами арифметической и геометрической прогрессий (или одной из них), требуется найти сами прогрессии.

Рассмотрим несколько примеров решения таких задач.

Задача 1. В арифметической прогрессии выполняется , . Найдите и .

Решение:

Ответ: , [1].

Задача 2. Дано: - арифметическая прогрессия, Найдите и d.

Решение.

Ответ: , [25].

При решении задач этого вида полезно разнообразить содержание, рассмотрев, например, случай, когда разность (знаменатель) прогрессии есть иррациональные числа. Часто очень помогает решению задач использование характеристических свойств прогрессий, доказательство которых само по себе составляет прекрасную задачу.

3. Задачи с практическим и экономическим содержанием на прогрессии.

Рассмотрим несколько примеров решения таких задач.

Задача 1. В сберегательный банк внесли вклад в 10000 руб. с доходом 2% годовых. Какую сумму выплатит сберегательный банк вкладчику через 4 года?

Решение. Сбербанк за один год выплатит , где - вклад, q - процентная ставка. За 2 года , но , следовательно, .

Легко убедиться, что за 3 года , …, за n лет .

По этой формуле определим сумму, которую сбербанк выплатит вкладчику по истечении четырех лет:

.

Ответ: [36].

Задача 2. Бегун за первую минуту бега пробежал 400 м, а в каждую следующую минуту пробежал на 5 м меньше, чем в предыдущую. Какой путь пробежал он за 1 ч?

Решение. За первую минуту бегун пробежал 400 м, за вторую - 395 м, за третью - 390 м и т. д. Числа 400, 395, 390, … образуют арифметическую прогрессию, у которой , . Путь за 1 ч, т. е. за 60 мин, равен сумме первых шестидесяти членов прогрессии. Увидев формулу , получим: .

Итак, за 1 ч бегун пробежал 15 км 150 м.

Ответ: 15 км 150 м [2].

Другие примеры задач этого типа предложены в §7 приложении 4.

4.Нестандартные задачи на прогрессии.

Учащиеся затрудняются в решении задач на прогрессии с буквенными данными. Но эти задачи часто встречаются на вступительных экзаменах в вузы. Поэтому школьников следует учить решению таких задач не только на внеклассных занятиях, но и на уроках, что, естественно, способствует активизации деятельности учащихся на уроках-практикумах. Осуществить такое обучение легче всего с помощью целой подборки заданий. Далее предлагается такая подборка.

Задача 1. Найдите сумму членов арифметической прогрессии, если сумма первых членов этой прогрессии равна .

Решение. Преобразуем искомую сумму:

По условию , отсюда .

Ранее мы доказали, что .

Из последних двух равенств следует: .

Ответ: [26].

Задача 2. В арифметической прогрессии . Найдите отношение к .

Решение. По условию .

Из последнего равенства получаем:

, так как .

Дальнейшие преобразования приводят к уравнению

, или .

Если , то и .

Пусть , тогда , причем из условия ясно, что . Найдем требуемое отношение: .

Ответ: [26].

Другие примеры нестандартных задач предложены в §7.

На уроках решения задач по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» полезно рассмотреть старинные задачи, которые также способствуют активизации познавательной деятельности учащихся и являются бесспорным украшением этих уроков. Примеры таких задач предложены в §7.

§5. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К УРОКАМ ПОВТОРЕНИЯ, ОБОБЩЕНИЯ И СИСТЕМАТИЗАЦИИ ЗНАНИЙ ПО ТЕМЕ «АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ»

Массовый многолетний психолого-педагогический эксперимент В.В.Давыдова, Л.В.Занкова и других психологов убедительно доказывают, что даже младшие школьники в состоянии усваивать - причем в обобщенной форме - гораздо более сложный материал, чем это представлялось ранее. Мышление школьников, несомненно, имеет еще очень большие и недостаточно используемые резервы и возможности, которые необходимо до конца вскрыть и на их основе сделать обучение более эффективным и творческим [10].

Поэтому очень важно правильно найти способы и приемы отбора, организации, ограничения, упрощения или усложнения научного содержания урока, то есть расчленения учебного материала на составные элементы, в своей совокупности образующие нечто целое, легко поддающееся усвоению.

Исследованием проблемы обобщений давно занимаются философия, педагогика, психология, уделяя ей большое значение. Так исследователи, работающие в области психологии усвоения математических знаний, Н.А.Менчинская, В.В.Давыдов, М.Д.Брейтерман и другие подчеркивают важную роль обобщений в развитии математического мышления, но проблема реализации этих обобщений на уроках повторения, обобщения и систематизации знаний по конкретной теме, методика проведения и структура этих уроков является актуальной и требует больших исследований.

Проведение уроков повторения, обобщения и систематизации знаний по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» является целесообразным, так как они помогают учащимся углубить изучаемые понятия, связи между ними и раскрыть какие-то новые стороны этих связей и, таким образом, привести все полученные школьниками знания в систему, а также разобраться во взаимосвязи этих знаний, почувствовать необходимость их изучения. При подготовке таких уроков нужен творческий подход к выбору логических путей (индукции, дедукции или их сочетания) и методических приемов обобщений (использование наглядности, применение эвристической беседы, логических схем и т.д.).

Процессы активной познавательной деятельности зависят и от того, какими методами осуществляется весь процесс учения. Учитывая цели обобщающих уроков по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии», в процессе учения необходим исследовательский подход, поисковая и творческая деятельность учащихся, ведь тогда создаются предпосылки для успешных уроков повторения, обобщения и систематизации.

Рассматривая структуру уроков повторения, обобщения и систематизации знаний, по методике необходимо сказать, что здесь очень важно учитывать сочетание методов, которые применяются на этих уроках: применение беседы с использованием различных средств наглядности; приемы проблемного обучения (создать проблемную ситуацию и направить проблемное мышление учащихся). Относительно содержания, обобщение опирается на повторение, но не в той последовательности, как рассматривался материал при изучении темы, а происходит некоторое изменение порядка в целях обобщения и более глубокого понимания связей. Что касается активности учащихся, такие уроки требуют активной самостоятельной мыслительной работы, поэтому вызывают большой интерес у учащихся [19].

Уроки повторения, обобщения и систематизации знаний по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» требуют четкого логического мышления, строятся на более высоком его уровне. Оно сложнее и труднее для учеников, но полезнее для их развития. Такие уроки доставляют интеллектуальное удовлетворение учащимся, так как они проверяют здесь свои способности; чувствуют, что уроки повторения, обобщения и систематизации знаний развивают их ум.

Поэтому принцип активизации познавательной деятельности учащихся с наибольшей глубиной выражается на уроках повторения, обобщения и систематизации знаний. Конечно, не все учащиеся бывают удовлетворены этими уроками, так как не все оказываются на том уровне развития, который требует этот урок. Поэтому подготовка урока должна строиться с учетом индивидуальных способностей учащихся и уровня развития их логического мышления.

Такие уроки повышают интерес к прогрессиям и к тому значению, какое они имеет в практической жизни. Их ценность и в воспитательном плане больше, чем у обычных уроков. Обобщения знаний позволяют выделить ведущие мировоззренческие идеи урока. Через обобщения идейный, философский смысл знаний выступает более отчетливо.

Таким образом, повторение пройденного должно проходить на каждом уроке. Задача повторения заключается не только в закреплении знаний и умений, но и в пополнении, углублении и систематизации их.

Целью уроков повторения, обобщения и систематизации знаний по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» является восстановление, закрепление и систематизация накопленных учениками знаний.

Примерная структура стандартных таких уроков имеет следующий вид.

1. Проверка домашнего задания.

2. Ознакомление учеников с планом повторения, записанным на доске.

3. Повторение по намеченному плану.

4. Постановка домашнего задания.

5. В конце урока, после просмотра всех вычислений, выполненных на уроке, повторяются определения, формулы и свойства, изученные в теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

Итак, уроки повторения, обобщения и систематизации знаний призваны подготовить учащихся к контрольной работе по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии». В этом заключается их значимость в процессе обучения.

Рассмотрим один из таких уроков, который проводится с использованием дидактической игры «Восхождение на пик Знаний».

Особенностью игры является её многоцелевой характер, поскольку в ней реализуется комплекс дидактических задач, и постоянно присутствует дух соревнования - ведь никому не хочется в глазах одноклассников оказаться несостоятельным и показать им своё незнание или неумение. Организуя подобные уроки, учителю необходимо стремиться полнее учитывать возрастные особенности школьников и, в частности, удовлетворять их естественную тягу к играм и разнообразить виды учебной деятельности, так как известно, что подростки любят играть и занимаются этим с большим желанием и удовольствием. Игра - это вид деятельности, которому можно придать обучающий, развивающий и воспитывающий характер.

При проведении подобного урока ставятся следующие задачи:

- повторить учебный материал темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии»;

- отработать умения решать задачи по данной теме и показать практическую значимость приобретённых умений;

- прививать учащимся интерес к решению задач, используя при этом нестандартные формы и методы;

- воспитывать у школьников чувства коллективизма, личной ответственности перед товарищами по команде и перед общим делом;

- способствовать формированию эстетических вкусов школьников, развивать их творческую деятельность.

Для организации работы необходимо обеспечить следующее оборудование:

- планшет с изображением горного пейзажа и нанесенными на него маршрутом восхождения и пронумерованными десятью привалами, по сторонам которого размещено десять пронумерованных карманов для заданий к привалам (рис. 5.5);

- два съёмных флажка: жёлтый и синий;

- игровой кубик, на шести гранях которого расположено шесть заданий, получающиеся ответы к ним представляют собой ряд чисел от 1 до 6 .

Ребят необходимо заранее разделить на две команды, примерно равные по силам, стараясь полнее учесть пожелания учеников. Каждая команда выбирает себе название и капитана. Кроме того, вместе с ребятами учитель выбирает жюри из двух человек. На их плечи возлагается подготовительная работа и непосредственное участие и контроль за правильностью выполнения учебных заданий в ходе урока.

В начале урока ребятам необходимо сообщить правила игры и то, что во время игры будет учитываться активность каждого участника и всей команды в целом.



Рис. 5.5

Капитан команды, которому по жребию выпало начинать игру, бросает игровой кубик (далее капитаны бросают кубик по очереди). Команда выполняет задание, оказавшееся на верхней грани кубика, и получает число, указывающее номер привала, на который может перейти команда в случае правильного выполнения задания. Задание команда берет из соответствующего кармана (например, на привале 3 - из кармана 3). Дождавшись вновь своей очереди, команда имеет право на следующий бросок кубика.

Выигрывает та команда, которая раньше другой достигает пика Знаний и устанавливает на нём свой флажок (цветные флажки в ходе игры отмечают продвижение команды по маршруту).

Привалы могут быть организованы следующим образом.

Привал №1 - «Математические определения»

Здесь проверяют знание формулировок темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» и умение красиво их произносить.

Привал №2 - «Составь формулу»

Команде вручают пакет, в котором на плотных листах написаны обозначения математических величин из данной темы и арифметические знаки. Используя этот набор, ребята должны составить формулы.

Привал №3 - «Кроссворд»

Команде выдают лист с сеткой кроссворда и вопросами, в которых зашифрованы понятия темы и имена людей, связанных с историей развития прогрессий.

Привал №4 - «Третий лишний»

Здесь проверяются умения учащихся составлять аналогии, выделять признаки, по которым можно судить о принадлежности данного числа к тому или иному ряду чисел, образующему арифметическую или геометрическую прогрессию.

Привал №5 - «История прогрессий»

На этом привале у команды отдых, умственная разрядка, снятие усталости. В тоже время ребята могут проявить свои творческие способности для интересного представления истории развития темы.

Привал №6 - «Капитаны, вперёд!»

На этом привале капитанам команд предоставляется возможность подтвердить своё высокое звание. Для этого им предлагается решить задачу достаточно высокого уровня по теме.

Привал №7 - «Математическая эстафета»

Эстафета посвящена основным формулам темы (пример такой эстафеты и методика работы с ней описаны в §3), но здесь учащиеся поочерёдно записывают пропущенные величины в формулы, связанные в общую цепочку.

Привал №8 - «Ромашка»

Здесь ученикам предлагается решить несколько задач по теме, записанных на обратной стороне лепестков ромашки. Каждый член команды отрывает лепесток и решает задачу.

Привал № 9 - «Математическая электровикторина»

Электровикторина посвящена основным формулам темы (пример такой электровикторины и методика работы с ней описаны в §3), но здесь учащиеся поочерёдно читают вопросы и отвечают на них.

Привал №10 - «Составьте прогрессию»

На данном привале проверяются умения учащихся самостоятельно составлять арифметическую и геометрическую прогрессии.

После того как выявился победитель игры, ребята отдыхают. В это время учитель может предложить учащимся отгадать несколько ребусов, в которых зашифрованы математические понятия.

В конце урока учитель должен отметить особо активных учащихся, оценить их старания, выставляя отметки в классный журнал и дневники.

Другая форма проведения урока обобщения и систематизации знаний представлена в приложении 2 в виде урока «Совет мудрецов».

§6. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К УРОКАМ ПРОВЕРКИ ЗНАНИЙ, УМЕНИЙ И НАВЫКОВ УЧАЩИХСЯ ПО ТЕМЕ «АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ»

Проверка знаний, умений и навыков учащихся является важным процессом, определяющим результативность и эффективность обучения. Она имеет не только обучающее, но и воспитательное значение. В процессе проверки перед учителем открываются возможности для совершенствования процесса обучения, потому что она - действенное средство борьбы за прочные знания учащихся, позволяющее лучше изучить индивидуальные способности учеников, выявить уровень успеваемости, степень усвоения (полноту, глубину) учебного материала, плотность знаний на разных этапах обучения, провести диагностику и коррекцию знаний, а также получить нужную информацию для того, чтобы убрать пробелы в них. Проверка знаний, умений и навыков учащихся способствует активизации их интереса к учению. Это сложный методический процесс. Для школьников она является источником глубоких переживаний: он либо ощущает удовлетворение, гордость за себя и свои возможности, либо теряет в себе уверенность, интерес к учению. Проверка знаний, умений и навыков учащихся повышает дисциплинированность, побуждает к активизации умственной деятельности по усвоению материала, способствует выработке сознательного отношения к регулярному труду [18].

Целями проверки являются диагностика и коррекция знаний; учет результативности отдельного этапа процесса обучения; определение итоговых результатов обучения.

Обратимся к вопросу об активизации познавательной деятельности учащихся при выполнении самостоятельных работ по математике. Эффективность процесса обучения математике определяется многими факторами. Важную роль при этом играет активная позиция каждого из учащихся. Практика показала, что опытные учителя уделяют первостепенное внимание воспитанию такой позиции.

Одним из признаков активности школьников является их положительное отношение, их интерес к предмету, к изучаемому материалу, к содержанию заданий, к способам выполнения.

Учитывая особенности стимуляции познавательных интересов учащихся при помощи содержания учебного материала по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» к индивидуальным самостоятельным работам, способствующим формированию познавательного интереса к этому материалу, можно отнести следующие задания:

1. Задания, содержание которых показывает роль прогрессий, их свойств в практической, технической, экономической деятельности людей.

2. Задания, которые показывают связь математики с другими учебными предметами.

3. Задания на обновление усвоенных ранее знаний.

4. Задания, содержащие элементы занимательности.

5. Задания, содержащие исторический материал.

Такие задания можно использовать в качестве индивидуальных самостоятельных работ для учащихся с целью привлечь их к занятиям математикой и, в частности, к изучению прогрессий.

В каждом классе есть ученики, которые испытывают симпатию к какому-либо учебному предмету. В этом случае учитель может использовать имеющиеся интересы ребят к определенным предметам для того, чтобы активизировать их деятельность на уроках математики. С этой целью могут быть применены задания, содержание которых отражает связи математики с другими учебными предметами.

Применяя в процессе обучения самостоятельные работы, содержание которых показывает связь математики с другими учебными предметами, учитель в процессе обучения создает условия для стимулирования познавательной деятельности на уроках математики отдельных учащихся. Интерес ученика и является основой для подбора содержания индивидуальной работы с целью активизации его самостоятельной деятельности на уроках математики.

Так, при изучении прогрессий могут быть применены задания, которые по своему содержанию связаны практически с любой областью знаний, например, с физикой. Одной из задач, связывающих арифметическую прогрессию и равноускоренное прямолинейное движение, является следующая: «Поезд, отходя от станции, равномерно увеличивает скорость так, что тринадцатую минуту движения идет со средней скоростью 30 км/ч. Какое расстояние проходит поезд за первые 13 минут движения?».

Знакомясь с содержанием задачи, ученик углубляет свои знания в той области знаний, которая используется в данном задании. Таким образом, связи между предметами здесь идут целенаправленно от биологии, химии, физики, астрономии и др. к математике. Но эти связи не являются односторонними. Решение таких задач на уроках математики усиливает интерес ученика к другим предметам, на связь с которыми указывает содержание решаемых задач.

Таким образом, самостоятельные работы, содержание которых отражает межпредметные связи, делают изучаемый материал более доступным, так как позволяют более полно использовать учебный опыт ученика и способствуют систематизации и углублению знаний.

Самостоятельные работы данного вида представляют интерес для учащихся еще и потому, что в своем содержании они имеют сведения, которые дополняют, обновляют их знания, усвоенные ранее. Обновление ранее усвоенных знаний учащихся, стимулирует познавательный интерес к предмету.

«Чтобы возбудить интерес, - писал К.Д.Ушинский, - предмет должен быть лишь отчасти нов, а отчасти знаком ученикам» [8].

Формированию положительного отношения к изучению математики, развитию познавательного интереса способствуют индивидуальные самостоятельные работы, содержащие элементы занимательности.

Занимательность понимают как такую особенность содержания самостоятельной работы, которая возбуждает познавательный интерес ученика к выполнению задания, к изучению математики.

В качестве самостоятельных работ, содержащих элементы занимательности, можно использовать старинные задачи, а также задачи и примеры из учебников.

Вызывают интерес и такие задания, в которых от учащихся требуется найти ошибки, допущенные в предлагаемых определениях, свойствах, условиях задачи, примере и т.д. Так, при изучении прогрессий можно предложить задачу: «В чем ошибка определения? «Геометрической прогрессией называется последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом».

Самостоятельные работы, содержащие элементы занимательности, историзма, показывающие значение изучаемого материала в науке, практике являются механизмом воздействия в процессе обучения на чувства школьника. При решении математической задачи некоторые ее данные, имеющие второстепенное значение по сравнению с математической ее структурой, интересуют учащихся. Компоненты, вводимые в содержание самостоятельных работ (занимательность, историзм и др.), способствуют созданию условий для развития познавательных интересов учащихся в процессе обучения математике.

Именно в подростковом возрасте благодаря немалому жизненному и учебному опыту познавательный интерес принимает все более устойчивый характер, а умственные способности в той или иной деятельности проявляются более ярко.

Рассмотренные выше виды самостоятельных работ могут быть применены на любом этапе урока, как при подготовке учащихся к усвоению нового материала, так и при закреплении и повторении изучаемого ранее с целью наиболее успешного усвоения учащимися знаний.

Одним из видов самостоятельных работ, позволяющих активизировать деятельность учащихся по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии», являются управляемые самостоятельные работы.

В процессе обучения всегда присутствуют два вида связи: прямая - от учителя к ученику и обратная - от ученика к учителю. Обратная связь способствует выявлению степени и характера усвоения школьниками учебного материала, что обеспечивается контролем за ходом, а также результатами учебной деятельности. Особенно важно иметь систематическую информацию о степени усвоения изучаемого материала при обучении математике.

В поиске перехода к более высоким ступеням обучения использование обратной связи усложняется, поэтому ряд ученых и передовых учителей ведут поиски средств, методов, приемов, которые смогут облегчить осуществление обратной связи в процессе обучения школьников. При этом рассматривается не только внешняя обратная связь, когда учитель получает сведения о ходе и результатах работы школьников, но и внутренняя обратная связь, дающая возможность ученику в процессе индивидуальной работы (без обращения к учителю) получить информацию о своей деятельности. Примерами тому являются создание программированных учебников и пособий, использование различных средств и приемов контроля за усвоением учащимися учебного материала.

Большое значение в практике обучения математике играют так называемые управляемые самостоятельные работы, позволяющие ученикам осуществлять самоконтроль в процессе их выполнения, а значит, активизировать мыслительную деятельность учащихся. В таких работах задания составляются так, чтобы ответ предыдущего задания включался в следующее за ним. К таким заданиям предлагается список ответов для самоконтроля. Для того, чтобы учитель мог быстро проконтролировать выполнение заданий учениками, рядом с ответом дается его код.

Рассмотрим пример управляемых самостоятельных работ по теме «Арифметическая прогрессия».

Задача 1. Известно, что пятый член арифметической прогрессии равен 7, а шестой член равен 16. Найти разность этой прогрессии .

Задача 2. Зная, что и разность равна - 2, найти второй член прогрессии .

Задача 3. Найти третий член прогрессии, если первый равен , а второй член равен 8,5 .

Задача 4. Найти член прогрессии под номером , если дана следующая прогрессия: 56, 51, 46, … .

Задача 5. Известно, что . Найти первый член прогрессии .

Задача 6. Известны и . Найти первый член .

Задача 7. Найти , если пятый член равен , а сороковой равен 117 .

Задача 8. Не находя первого члена прогрессии и ее разности, вычислить , если .

Задача 9. Зная, что пятый член равен 12, третий член равен , найти кратчайшим путем .

Задача 10. Зная, что , найти .

Задача 11. Первый член прогрессии равен 3, ее разность равна . Найти сумму сорока членов этой прогрессии .

Задача 12. Найти первый член прогрессии, если , сумма сорока первых членов равна .

Задача 13. Определить число членов прогрессии 3, 5, 7, …, если известно, что их сумма равна .

В заданиях члены арифметической прогрессии обозначены , где п - порядковый номер члена; ответы задач - буквой , где п - порядковый номер задачи.

Для самоконтроля учащимся даются ответы к задачам. Ответы кодируются:

Ответы для самоконтроля	-23	-5	4	7	9	10	11	18	20	41	360	3240
Код ответа	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13

Эти задания можно разделить на три самостоятельные работы:

1) Задачи 1-7. Тема: «Формула п-го члена арифметической прогрессии».

2) Задачи 8-10. Тема: «Свойства членов арифметической прогрессии».

3) Задачи 11-13. Тема: «Сумма п первых членов арифметической прогрессии».

Для темы «Геометрическая прогрессия» задания составляются аналогично рассмотренным выше.

Рассмотрим уроки проверки знаний, умений и навыков учащихся.

Наряду с проверкой знаний, умений и навыков на каждом уроке по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» (на каждом этапе урока) имеется необходимость в специальных уроках, посвященных этой цели. В самом названии урока этого вида содержится прямое указание на его основную дидактическую цель. Однако задачу такого урока не следует ограничивать только осуществлением функций контроля, урок должен и обучать учащихся - совершенствовать их знания, умения и навыки, развивать технику приемов умственной деятельности, логического мышления, познавательный интерес к материалу.

Проверке подвергается основное из пройденного по части темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии», а также по учебной теме в целом. При этом контроль не должен быть односторонним - проверять следует не только сами знания, но и умения их применять. Лучших результатов достигают те учителя, которые ориентируются в первую очередь на проверку уровня развития учащихся, а не а проверку их памяти.

Существует две разновидности уроков проверки знаний, умений и навыков учащихся: урок устного опроса и урок - контрольная работа, но можно также проводить уроки, сочетающие в себе и устный опрос, и письменную работу контролирующего характера. О времени проведения таких уроков и о содержании проверяемого учебного материала учащиеся обычно извещаются заранее [18].

В случае устного опроса важно, чтобы все учащиеся класса были заняты полезной работой. Если беседа с учеником у доски не представляет особого интереса для других учащихся, то на это время классу предлагается самостоятельная работа. В противном случае внимание всех учеников привлекается к ответу ученика у доски. В обеих ситуациях опрос отдельных учащихся не должен быть продолжительным. Учитель заранее продумывает, кого спрашивать на уроке и что именно спрашивать.

Более распространенной при обучении математике является проверка знаний учащихся в форме письменных контрольных работ. Они могут быть рассчитаны на часть урока, на целый урок или на два урока в зависимости от объема проверяемого материала.

Для обеспечения самостоятельности выполнения работы учащимися учитель предлагает классу два или четыре варианта заданий, одинаковых по уровню сложности. Каждый из них состоит из обязательной части и дополнительной - для наиболее успевающих учеников. Варианты работы заимствуются из пособий типа «Дидактические материалы по алгебре для 9 класса» или разрабатываются по образцам, публикуемым в журнале «Математика в школе». Во всех случаях варианты заранее до урока решаются и анализируются учителем. Тексты заданий выписываются на карточки и размножаются по числу учащихся класса.