Совершенствование методики преподавания темы "Арифметическая и геометрическая прогрессии" с позиции активизации познавательной деятельности учащихся

На самом уроке учитель делает необходимые разъяснения классу по содержанию предстоящей работы и ее оформлению, вручает каждому ученику текст задания. Не переписывая условий задач, учащиеся самостоятельно выполняют задание в специальных тетрадях для контрольных работ. В это время учитель наблюдает за работой класса, отвечает на возникающие вопросы. В конце урока, независимо от исхода работы, все учащиеся сдают тетради учителю на проверку. Имеет смысл вменить в обязанность ученика выполнить свой вариант дома к следующему уроку, разобраться в допущенных ошибках.

Часть следующего урока посвящается анализу контрольной работы. Учитель сообщает и комментирует общие итоги, отмечает наиболее распространенные ошибки и недочеты, их причины, высказывает рекомендации учащимся на дальнейшую деятельность. Некоторые из ошибок анализируются у доски. Учащимся, не справившимся с заданием, назначается время для повторного выполнения по запасному варианту.

Проверка и контроль деятельности учеников и процесса обучения производится по следующим уровням.

1 уровень (низкий) - воспроизведение знаний учеником осуществляется с подсказкой учителя; он осознал, запомнил и воспроизвел материал; возможна совместная деятельность учителя и ученика.

2 уровень - воспроизведение знаний учеником производится по образцу в знакомой ситуации самостоятельно; знания соответствуют ОРО по данной теме; умеет решать несложные задачи без ошибок. Знания ученика оцениваются на «3».

3 уровень - ученик способен применять знания в незнакомой ситуации без предъявления алгоритма, выполнять упражнения из основного задачного материала, рассматривающиеся на уроках, но не являющиеся настолько простыми и важными, чтобы их мог решать каждый ученик. Выполнение этой части работы обеспечивает ученику получение оценки «4».

4 уровень (продвинутый, повышенный) - ученик выполняет действия, для которых характерна творческая деятельность, рождение новой объективной информации, например, учащийся решает дополнительные задачи (повышенной трудности, прикладного характера) по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Для решения таких задач требуется применять знания в новой обстановке, при непривычном сочетании данных, они не рассматриваются на уроках, а только лишь на внеклассных занятиях. При достижении этого уровня знания ученика можно оценить на «5» [18].

Важно заметить, что итоги проверки знаний, умений и навыков следует рассматривать не только как результат деятельности учащихся. Не в меньшей мере они характеризуют и деятельность самого учителя. Необходимо поэтому каждый раз делать выводы и в свой адрес.

Урок проверки знаний, умений и навыков учащихся по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» можно провести не только в форме контрольной работы или устного опроса, являющимися привычными для учащихся средних общеобразовательных школ, но и в виде релейного зачета с тестовыми заданиями, который, несомненно, привлечет учащихся и разнообразит процесс обучения.

Слово «реле» происходит от французского relais -- сменить, заменить. Так называются зачеты, на которых учащимся предлагаются не все задания сразу, а постепенно. Закончив одно задание, ученик переключается на другое, но переключение это идет в строгой последовательности, т.е. нельзя получить, например, третье задание, не выполнив первое и второе. Релейный зачет позволяет учащимся самим избрать уровень сложности заданий, перейти от простого уровня к сложному или, наоборот, от сложного к простому.

Подготовка к зачету начинается за две недели: учитель вывешивает в классе плакат с вопросами, списки задач, подобранных по уровням сложности, сообщает учащимся нормы оценок и образцы решения задач. При необходимости проводит консультации.

Материал, проверяемый на зачете, разбивается на пять параграфов.

§1. Определение арифметической профессии. Формула п-го члена.

§2. Формула суммы п первых членов арифметической прогрессии.

§3. Определение геометрической прогрессии. Формула п-го члена.

§4. Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при .

§5. Задачи повышенной трудности.

Учащиеся должны выполнить хотя бы по одному заданию из каждого параграфа. А на карточках учитель помещает по два задания, чтобы иметь больше возможностей верно оценить ответ учащегося.

Количество карточек по §§1-4 должно быть больше, чем учащихся в классе, а по §5 - больше, чем хорошистов и отличников, т.е. тех, которые наверняка преодолеют трудности заданий первых четырех групп и доберутся до пятой группы. Этим гарантируется строгая индивидуальность заданий и возможность заменить одну карточку другой, если первая будет случайно испорчена.

Обычно составляются карточки четырех групп. Они получают условные обозначения А, Б, В и ЗПТ (задачи повышенной трудности).

Группа А

Содержание карточек группы А определяется стандартом математического образования. Ниже приведены примеры таких карточек. На них, как и на всех следующих, задания напечатаны жирным шрифтом и помечены буквами а) и б). Наборы ответов даны обычным шрифтом. Приняты сокращения: а.п. - арифметическая прогрессия, г.п. - геометрическая прогрессия, б.г.п. - бесконечная геометрическая прогрессия, у которой знаменатель по модулю меньше 1.

Вообще для всех карточек характерна лаконичность записи. Иначе учитель просто не успел бы подготовить их в нужном количестве.

Группа Б

Карточки группы Б содержат задания хотя и более высокого уровня, но все еще только репродуктивного, т.е. предъявляются только такие вопросы, ответы на которые учащимся подробно разъяснялись. В билетах группы А были сходные вопросы, но только по одному на задание. Например, требовалось найти только a1 или только d и т.д. В билетах группы Б встречаются или два вопроса (найти а1 и d), или вопрос один, но требующий уже не одного уравнения, как ранее, а системы двух уравнений.

Группа В

Карточки группы В содержат задачи повышенного уровня.

Задачи повышенной трудности не делятся по уровням. Учитель просто подбирает систему задач по теме зачета и записывает их по одной на карточке. Приведем три примера.

№1. В арифметической прогрессии , , …, , …, , … сумма т членов равна , а сумма п членов - , причем . Чему равно ?

№2. Найдите сумму первых членов арифметической прогрессии, если сумма ее первых членов равна , а сумма первых ее членов равна .

№3. Сумма членов геометрической прогрессии, у которой первый член равен 1, а знаменатель положителен, равна , а сумма тех же членов с чередующимися знаками (первый - со знаком «плюс», а второй - со знаком «минус» и т.д.) равна . Найдите .

В качестве задач повышенной трудности можно использовать нестандартные задачи, приведенные в §4 и §7 данной работы.

В начале зачета часть карточек учитель вручает учащимся (каждому по одной), а остальные раскладывает на своем столе тыльной стороной вверх. На тыльной стороне записан номер карточки, номер параграфа и шифр уровня, причем для наглядности шифры выделены цветом: уровень А - зеленым, Б - синим, В - красным.



На столе учителя лежит заранее составленная таблица ответов, фрагмент которой приведен в таблице 6.1. По этой таблице учащиеся, выполнившие задание, проверяют свои ответы. На обратной стороне использованной карточки учащиеся записывают свою фамилию и свой результат: + (найдены ответы на оба вопроса), - (ни один ответ не найден), или ± (на первый или на второй вопрос не получен верный ответ).

Затем учащийся берет со стола учителя новую карточку того уровня сложности, который ему кажется предпочтительным. Ученик обязан следить за тем, чтобы за время зачета ответить хотя бы по одному вопросу из каждого параграфа, т.е. он должен поработать по крайней мере с четырьмя карточками.

В ходе зачета учитель постепенно заполняет так называемую накопительную ведомость. В ней помечается и уровень вопроса, на который ответил учащийся, и тот параграф, по которому дан ответ. Накопительная ведомость учителя может быть вывешена в классе еще до зачета. Примерный вид ведомости показан в таблице 6.2.

Таблица 6.1

Номера ответов
	§ а) б)	1 а) б)	2 а) б)	3 а) б)	4 а) б)	…
А	1 2 3 4	-12 301	2700 199,5	-32; - 3 и 3		…
Б	9 10 11 12	-100;6,2 -1;2	55 610	или15625 или		…
В	13 14 15 16		-666 69или 87	12 или 4; 12; 36; 108	7	…

Таблица 6.2

Фамилия учащегося

Параграфы

1

2

3

4

5

Итоговая оценка

А

Б

В

А

Б

В

А

Б

В

А

Б

В

М

+

+

+

+

3

Н

+

+

+

+

+

+

+

+

4

П

+

+

+

+

+

+

+

5

Ребятам интересно самим ее заполнять с разрешения учителя и под его контролем. По ходу дела они следят, у кого появляется больше плюсов, и это придает зачету состязательный элемент. По такой ведомости в конце зачета интересно обсудить с учащимися нормы оценок. Когда ребята видят, что получил «пятерку» только тот, кто действительно больше сделал, или тот, кто выбирал задания посложнее и справлялся с ними, у них не бывает возражений по поводу оценок [13].

§7. ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ»

Требования, предъявляемые программой по математике школьными учебниками и сложившейся методикой обучения, рассчитаны на так называемого «среднего» ученика. Однако уже с начальных классов начинается резкое расслоение коллектива учащихся: на тех, кто легко и с интересом усваивает программный материал по математике, на тех, кто добивается при изучении математики лишь удовлетворительных результатов, и тех, кому успешное изучение математики дается с большим трудом.

Все это приводит к необходимости индивидуализации обучения математике, одной из форм которой является внеклассная работа.

Под внеклассной работой по математике понимаются необязательные систематические занятия учащихся с преподавателем во внеурочное время.

Следует различать два вида внеклассной работы по математике.

1. Работа с учащимися, отстающими от других в изучении программного материала (дополнительные внеклассные занятия).

2. Работа с учащимися, проявляющими к изучению математики повышенный, по сравнению с другими, интерес и способности (собственно внеклассная работа в традиционном понимании смысла этого термина).

Говоря о первом направлении внеклассной работы, отметим следующее.

Этот вид внеклассной работы с учащимися по математике в настоящее время имеет место в каждой школе. Вместе с тем повышение эффективности обучения математике без сомнения должно привести к снижению значения дополнительной учебной работы с отстающими. В идеальном случае первый вид внеклассной работы должен иметь ярко выраженный индивидуальный характер и проявляться лишь в исключительных случаях (например, в случае продолжительной болезни учащегося, перехода из школы другого типа и т. п.). Однако в настоящее время эта работа требует еще значительного внимания со стороны учителя математики.

Основной целью ее является своевременная ликвидация и предупреждение имеющихся у учащихся пробелов в знаниях и умениях по курсу математики [18].

Передовой опыт работы учителей математики свидетельствует об эффективности следующих положений, связанных с организацией и проведением внеклассной работы с отстающими.

1. Дополнительные (внеклассные) занятия по математике целесообразно проводить с небольшими группами отстающих (по 3-4 человека в каждой); эти группы учащихся должны быть достаточно однородны, как с точки зрения имеющихся у школьников пробелов в знаниях, так и с точки зрения способностей к учению.

2. Следует максимально индивидуализировать эти занятия (например, предлагая каждому из таких учащихся заранее подготовленное индивидуальное задание по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» и оказывая в процессе его выполнения конкретную помощь каждому).

3. Занятия с отстающими в школе целесообразно проводить не чаще одного раза в неделю, сочетая эту форму занятий с домашней работой учащихся по индивидуальному плану.

4. После повторного изучения того или иного раздела математики на дополнительных занятиях необходимо провести итоговый контроль с выставлением оценки по теме.

5. Дополнительные занятия по математике, как правило, должны иметь обучающий характер; при проведении занятий полезно использовать соответствующие варианты самостоятельных или контрольных работ из «Дидактических материалов по алгебре для 9 класса», а также учебные пособия и задания программированного типа.

6. Учителю математики необходимо постоянно анализировать причины отставания отдельных учащихся при изучении ими математики, изучать типичные ошибки, допускаемые учащимися при изучении данной темы. Это делает дополнительные занятия по математике более эффективными.

Второе из указанных выше направлений внеклассной работы по математике - занятия с учащимися, проявляющими к ее изучению повышенный интерес, отвечает следующим основным целям:

1. Пробуждение и развитие устойчивого интереса учащихся к математике и ее приложениям.

2. Расширение и углубление знаний учащихся по программному материалу.

3. Оптимальное развитие математических способностей у учащихся и привитие учащимся определенных навыков научно-исследовательского характера.

4. Воспитание высокой культуры математического мышления.

5. Развитие у учащихся умения самостоятельно и творчески работать с учебной и научно-популярной литературой.

6. Расширение и углубление представлений учащихся о практическом значении математических знаний о прогрессиях.

7. Расширение и углубление представлений учащихся о культурно-исторической ценности математики.

8. Воспитание у учащихся чувства коллективизма и умения сочетать индивидуальную работу с коллективной.

9. Установление более тесных деловых контактов между учителем математики и учащимися и на этой основе более глубокое изучение познавательных интересов и запросов школьников.

10. Создание актива, способного оказать учителю математики помощь в организации эффективного обучения математике всего коллектива данного класса (помощь в изготовлении наглядных пособий, занятиях с отстающими, в пропаганде математических знаний среди других учащихся).

Предполагается, что реализация этих целей частично осуществляется на уроках. Однако в процессе классных занятий, ограниченных рамками учебного времени и программы, это не удается сделать с достаточной полнотой. Поэтому окончательная и полная реализация этих целей переносится на внеклассные занятия этого вида.

Вместе с тем между учебно-воспитательной работой, проводимой на уроках, и внеклассной работой существует тесная взаимосвязь: учебные занятия, развивая у учащихся интерес к знаниям, содействуют развертыванию внеклассной работы, и, наоборот, внеклассные занятия, позволяющие учащимся применить знания на практике, расширить и углубить их, повышают успеваемость учащихся и их интерес к учению. Однако внеклассная работа не должна дублировать учебную работу, иначе она превратится в обычные дополнительные занятия.

Что же касается содержания внеклассной работы с учащимися, интересующимися математикой, то на таких внеклассных занятиях по алгебре по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» можно рассмотреть историю возникновения прогрессий и пополнения знаний о них, нестандартные задачи: повышенной трудности, с практическим применением, старинные, в форме кросснамберов и т. д. (подборки таких задач представлены в приложении 4 и далее в §7). На таких занятиях, учитывая актуальные для нашего времени требования, также необходимо вести подготовку к ЕГЭ.

Одним из видов внеклассной работы по математике являются факультативные занятия. Главной целью факультативных занятий по математике является углубление и расширение знаний, в частности, по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии», развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей, привитие ученикам интереса и вкуса к самостоятельным занятиям математикой, воспитание и развитие их инициативы и творчества.

Программа основного курса алгебры вместе с программой факультативных занятий по алгебре для средней общеобразовательной школы составляет программу повышенного уровня по алгебре для 9 класса.

Программа факультативных занятий по математике составлена так, что прогрессии изучаются синхронно с изучением основного курса алгебры в средней общеобразовательной школе. В тех случаях, когда в данном классе основной курс алгебры ведет один учитель, а факультативный - другой, изучение прогрессий может проводиться независимо от основного курса программы, в этом случае их изучение можно проводить с некоторым запозданием по отношению к основному курсу программы.

Для того чтобы факультативные занятия по математике были эффективными, необходимо их организовать там, где есть:

1) высококвалифицированные учителя или другие специалисты, способные вести занятия на высоком научно-методическом уровне;

2) не менее 15 учащихся, желающих изучать данный факультативный курс.

Если школа имеет классы с небольшой наполняемостью (что особенно характерно для некоторых сельских школ), то группы учащихся для факультативных занятий можно комплектовать по параллелям или из учащихся смежных классов (9-10 классы, 10-11 классы и т. п.).

Запись учащихся на факультативные занятия производится на добровольных началах в соответствии с их интересами. Не следует принуждать школьников обязательно изучать факультативные предметы. Особенно внимательно следует относиться к тем учащимся, которые встречают трудности в изучении математики или совмещают обучение в школе с другими видами занятий (спорт, музыка и т. д.).

По окончании факультативного курса учащиеся сдают зачет (с оценкой), о чем делается отметка в аттестате.

Учитель математики несет полную ответственность за качество факультативных занятий; факультативные занятия вносятся в расписание и оплачиваются учителю.

Проведение факультативных занятий по математике не означает отказа от других форм внеклассной работы (математические кружки, вечера, олимпиады и т. д.). Они должны дополнять эти формы работы с учащимися, которые интересуются математикой.

Возможность дополнительно работать со школьниками, проявляющими повышенные интерес и способности к математике, представляет собой одно из проявлений такой формы обучения математике как дифференцированное обучение.

По существу факультативные занятия являются наиболее динамичной разновидностью дифференциации обучения.

В какой бы форме и какими бы методами не проводились факультативные занятия по алгебре по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии», они должны строиться так, чтобы быть для учащихся интересными, увлекательными, а подчас и занимательными. Необходимо использовать естественную любознательность школьника для формирования устойчивого интереса к своему предмету. Известный французский физик Луи де Бройль писал, что современная наука - «дочь удивления и любопытства, которые всегда являются ее скрытыми движущими силами, обеспечивающими ее непрерывное развитие».

Основными формами проведения факультативных занятий по математике являются в настоящее время изложение узловых вопросов данного факультативного курса учителем (лекционным методом), семинары, собеседования (дискуссии), решение задач, рефераты учащихся (как по теоретическим вопросам, так и по решению цикла задач), математические сочинения, доклады учащихся и т. д.

Однако учителю не следует отдавать предпочтение какой-либо одной форме или методу изложения. Помня о том, что на факультативных занятиях по математике самостоятельная работа учащихся должна занять ведущее положение, следует все же чаще применять решение нестандартных задач (повышенной трудности, исторических, с практическим применением, занимательных), рефераты, доклады, семинары-дискуссии, чтение учебной и научно-популярной литературы и т. п. по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

Одной из возможных форм ведения факультативных занятий по математике является разделение каждого занятия на две части. Первая часть посвящается изучению нового материала и самостоятельной работе учащихся заданиями теоретического и практического характера. По окончании этой части занятия учащимся предлагается домашнее задание по изучению теории и ее приложений. Вторая часть каждого занятия посвящена решению нестандартных задач (повышенной трудности, исторических, с практическим применением, занимательных, которые представлены в приложении 4 и далее в параграфе) и обсуждению решений особенно трудных или интересных задач. Эта форма проведения факультативных занятий может способствовать успешному переходу от форм и методов обучения в школе к формам и методам обучения в высших учебных заведениях.

Полезно также широко использовать задачи проблемного характера.

Так как в 9 классе на факультативные занятия по математике отводится 2 часа в неделю, что составляет 68 часов или 34 занятия в учебном году [33], и изучается, кроме прогрессий, еще пять основных линий, то целесообразно посвятить теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» 4 занятия, из которых 3 занятия - решению нестандартных задач, связанных с практическим и экономическим применением теоретического материала по прогрессиям, а также занимательных задач, и 1 занятие - проверочной работе, которая может быть проведена в форме математической электровикторины, принципы организации которой указаны в §3, отличие состоит лишь в том, что теоретические вопросы заменяются задачами. Эта работа позволяет в интересной для учеников форме определить уровень знаний учащихся, а также эффективность труда учителя, его методов обучения учащихся.

Далее изложен материал, предлагаемый для рассмотрения на факультативных занятиях, и методические рекомендации к нему.

Факультативное занятие №1. Нестандартные задания по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Учащиеся испытывают затруднения при решении нестандартных задач по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Но именно такие задачи часто предлагаются на вступительных экзаменах в вузы и на ЕГЭ. Поэтому школьников следует учить решению таких задач на факультативных занятиях. Осуществить такое обучение легче всего с помощью целой подборки заданий. Далее предлагается такая подборка.

Задача 1. Члены последовательностей определяются формулами:

1) ;4) ;

2) ;5) ;

3) ;6) .

Имеется ли среди этих членов каждой из последовательностей наибольший член? Наименьший член?

Решение.

1)Наименьший член - третий. Он равен 0.

2)Наименьшие члены имеют нечетные номера, они равны -1. Наибольшие члены имеют четные номера, каждый из них равен 1.

3)Наименьшего члена нет. Наибольшие члены - четвертый и шестой, каждый из них равен 0.

4)Наименьший член - второй. Наибольших членов нет.

5)Последовательность не имеет ни наибольшего, ни наименьшего члена.

6)Наименьшие члены второй и четвертый, равные 0 [4].

Задача 2. Доказать, что если положительные числа a, b, c - соответственно m-й, n-й и p-й члены как арифметической, так и геометрической прогрессии, то .

Решение. Если ввести и - соответственно первые члены арифметической прогрессии с разностью и геометрической прогрессии со знаменателем , то a, b и c придется выразить через , , и .

При составлении разностей , и удобнее пользоваться представлением чисел a, b и c с помощью арифметической прогрессии.

По условию , ,

.

Составим разности: , , .

Подставим в левую часть равенства, которое нужно доказать:

.

После несложных преобразований получим в обоих показателях нули, что и доказывает исходное равенство [4].

Задача 3. Доказать, что если a, b, c образуют геометрическую прогрессию, то , где , a, b, c - различные положительные числа, отличные от 1.

Решение. В левой части удобно перейти к общему основанию .

Воспользуемся тем, что .

Перейдем в левой части равенства к общему основанию и сделаем некоторые упрощения:

.

В последнем равенстве мы воспользуемся тем, что - знаменатель прогрессии [26].

Задача 4. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма всех членов вдвое больше суммы первых п членов. Найти произведение первых п членов, если первый член равен .

Решение. Если приравнять выражения для удвоенной суммы п членов прогрессии и суммы всех ее членов, то получим уравнение относительно .

Необходимо записать произведение п первых членов и воспользоваться тем, что .

Из условия следует, что , откуда . Произведение п первых членов прогрессии равно:

.

Ответ: [39].

Задача 5. Три брата, возраст которых образует геометрическую прогрессию, делят между собой некую сумму денег пропорционально своему возрасту. Если бы они это проделали через три года, когда самый младший окажется вдвое моложе самого старшего, то младший получил бы на 105, а средний на 15 рублей больше, чем сейчас. Сколько лет каждому из братьев?

Решение. Пусть братьям , и лет. Если младший получает х рублей, то остальные два получат и рублей. Условия задачи позволяют составить три уравнения.

При решении уравнений нужно иметь в виду, что нас интересуют только и .

Через три года братьям будет , и лет, причем старшему окажется вдвое больше лет, чем младшему:

. (1)

При дележе через три года младший брат получит , средний . Чтобы узнать, сколько получит старший брат, вычтем эти деньги из всей суммы: .

Так как братья делят деньги пропорционально их возрасту, то получим еще два уравнения: , . (2)

Уравнение (1) позволяет записать второе из уравнений (2) так:

, т.е. . (3)

Если в (1) раскрыть скобки, а затем вынести за скобки а, то

(1')

Сравним с уравнением (3): .

Первое из уравнений (2) можно переписать так:

.

Раскроем скобки и решим систему, состоящую из уравнения, полученного в результате, и из уравнения (1'):

Из первого уравнения получаем . Подставим во второе. После преобразований получим квадратное уравнение , откуда . Второй корень посторонний, так как тогда всем братьям одинаковое количество лет и никто из них не может через три года стать вдвое старше другого.

Итак, первому брату 12 лет, второму - 18 лет, а третьему - 27 лет.

Ответ: 12, 18, 27 лет [4].

Задача 6. Докажите, что если положительные числа образуют арифметическую прогрессию, то числа

также образуют арифметическую прогрессию.

Решение. По условию , отсюда . Рассмотрим разности:

.

Отсюда следует, что разность между вторым и первым членами данной последовательности равна разности между ее третьим и вторым членом, а это и значит, что числа образуют арифметическую прогрессию.

Что и требовалось доказать [26].

В качестве заданий для индивидуальной работы можно предложить учащимся следующие задачи.

1. При каких значениях x и y последовательность , , , где , , , является одновременно арифметической и геометрической прогрессией? Отв. [4].

2. Найти трехзначное число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию и которое делится на 45. Отв. 135; 630; 765 [39].

3. Три отличных от нуля действительных числа образуют арифметическую прогрессию, а квадраты этих чисел, взятые в том же порядке, образуют геометрическую прогрессию. Найти всевозможные знаменатели этой геометрической прогрессии. Отв. 1; ; [4].

Факультативное занятие №2. Старинные задачи по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Старинные задачи способствуют развитию интереса учащихся к прогрессиям, а также позволяют разнообразить перечень задач, предлагаемых для решения школьникам, в итоге активизировав их познавательную деятельность.

Задача 1. Древнейшая задача на прогрессии - не вопрос о вознаграждении изобретателя шахмат, насчитывающий за собой двухтысячелетнюю давность, а гораздо более старая задача о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ринда. Папирус этот, разысканный Риндом в конце 19 века, составлен около 2000 лет до нашей эры и является списком с другого, еще более древнего математического сочинения, относящегося, возможно, к третьему тысячелетию до нашей эры. В числе арифметических, алгебраических и геометрических задач этого документа имеется такая:

Сто мер хлеба необходимо разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

Решение. Очевидно, количества хлеба, полученные участниками раздела, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый ее член х, разность у. Тогда доля первого - х, второго - (х+у), третьего - (х+2у), четвертого - (х+3у), пятого - (х+4у).

На основании условий задачи составляем следующие два уравнения:

После упрощений первое уравнение получает вид х+2у=20, а второе: 11х=2у. Решив эту систему, получаем: , .

Значит, хлеб должен быть разделен на следующие части: , ,

Ответ: [29].

Задача 2. В огороде 30 грядок, каждая длиной 16 м и шириной 2,5 м. Поливая грядки, огородник приносит ведра с водой из колодца, расположенного в 14 м от края огорода, и обходит грядки по меже, причем воды, приносимой за один раз, достаточно для поливки только одной грядки. Какой длины путь должен пройти огородник, поливая весь огород? Путь начинается и кончается у колодца.

Решение. Для поливки первой грядки огородник должен пройти путь 14+16+2,5+16+2,5+14=65(м.). При поливке второй он проходит 14+2,5+16+2,5+16+2,5+2,5+14=65+5=70(м.).

Каждая следующая грядка требует пути на 5 м длиннее предыдущей. Имеем прогрессию: 65; 70; 75; …; 65+529.

Сумма её членов равна (м.).

Огородник при поливке всего огорода проходит путь в 4,125 км.

Ответ: 4,125 км [29].

Задача 3. Садовник продал первому покупателю половину всех своих яблок и еще пол-яблока, второму покупателю - половину оставшихся и еще пол-яблока, третьему - половину оставшихся и еще пол-яблока и т. д. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблок и еще пол-яблока; после этого яблок у него не осталось.

Сколько яблок было у садовника?

Решение. Если первоначальное число яблок х, то первый покупатель получил , второй - , третий - , …, седьмой покупатель - .

Имеем уравнение или

.

Вычисляя стоящую в скобках сумму членов геометрической прогрессии, найдем: и .

Всего яблок было 127.

Ответ: 127 яблок [32].

Задача 4. В старинной арифметике Магницкого находим следующую забавную задачу, которая приводится здесь, без сохранения языка подлинника.

Некто продал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:

- Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.

Тогда продавец предложил другие условия:

- Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай всего коп., за второй - коп., за третий - 1коп. и т. д.

Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей.

На сколько покупатель проторговался?

Решение. За 24 подковных гвоздя пришлось уплатить

копеек. Сумма эта равна

(коп.), т. е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.

Ответ: около 42 тысяч рублей [3].

Задача 5. Из другого старинного русского учебника математики, носящего пространное заглавие: «Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Штык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в Математике» (1795), заимствована следующая задача.

Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т. д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб. 35 коп. Сколько ран получил воин?

Решение. Составляем уравнение или и х=16 - результат, который легко находим путем испытаний.

При столь великодушной системе вознаграждения воин должен получить 16 ран и остаться при этом в живых, чтобы удостоиться награды в 655 руб. 35 коп.

Ответ: 16 ран [29].

В качестве заданий для индивидуальной работы можно предложить учащимся следующие задачи.

1. Задача из папируса Ахмеса. Раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между количеством хлеба у каждого человека и ему предшествующего составляет меры. Указание: найти члены арифметической прогрессии с разностью и [3].

2. Задача Пьера Ферма. Показать, что если есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии , то [3].

3. Задача Исаака Ньютона. Даны три последовательных члена геометрической прогрессии. Их сумма равна 19, а сумма их квадратов 133. Определить эти члены. Отв. 9, 6, 4 и 4, 6, 9 [3].

Факультативное занятие №3. Геометрическая прогрессия и ее приложение в экономике

В начале занятия учитель говорит примерно следующее: «Геометрическая прогрессия имеет очень широкие приложения в экономике. С ее помощью банк производит расчеты с вкладчиком, решает, стоит ли вкладывать деньги в крупные проекты, доход от которых будет получен через несколько лет и т.д. На занятии мы рассмотрим только один вопрос: как банки дают кредиты различным фирмам и как система банков может значительно увеличить возможности кредитования фирм?»

Коллектив разбивается на пять групп, каждая из которых представляет один из банков: «Алмаз», «Берилл», «Изумруд», «Сапфир» и «Сердолик».

Представители первых четырех банков напоминают основные определения (табл. 7.1).

Таблица 7.1

Определение геометрической прогрессии	Формула общего члена геометрической прогрессии:	Сумма первых п членов геометрической прогрессии:	Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Смысл ее суммы:

Представитель пятого банка демонстрирует схему - структуру банковской системы России (рис. 7.1) и рассказывает об обязательных и свободных резервах коммерческих банков.

Дело в том, что Центральный банк России (ЦБ) руководит работой всех коммерческих банков, которые принимают деньги у населения, фирм, объединений и т.д., а также выдают кредиты. По закону о банках каждый коммерческий банк обязан часть поступающих к нему денег хранить в ЦБ, который ими распоряжается. Это так называемые обязательные резервы банка. Они устанавливаются как определенный процент от суммы вклада, поступающего в банк. Остальными деньгами - свободными резервами - банк распоряжается самостоятельно: может дать их в кредит, может купить на них ценные бумаги и т.д.

Рис. 7.1

Пример 1. Пусть некоторый вкладчик внес в коммерческий банк сумму, равную 500000 руб., а процентная ставка обязательных резервов установлена на уровне . Найдем обязательные и свободные резервы от этой суммы.

Решение. Обязательные резервы от этой суммы составляют 15%, поэтому они равны 500000 • 0,15 =75000 (руб.). Свободные резервы составляют 85%, т.е. 500000 • 0,85 = 425000 =500000 - 75000 (руб.).

Пяти группам - представителям банков - предлагается найти обязательные и свободные резервы своих банков с учетом условий:

1) в банк «Алмаз» поступило руб., ;

2) в банк «Берилл» поступило руб., ;

3) в банк «Изумруд» поступило руб., ;

4) в банк «Сапфир» поступило руб., ;

5) в банк «Сердолик» поступило руб., .

Результаты вычислений заносим в таблицу 7.2.

Таблица 7.2

№	Банк	Обязательные резервы	Свободные резервы
1	«Алмаз»	20 000 • 0,2 = 4000	20 000 • 0,8 = 16 000
2	«Берилл»	45 000 • 0,15 = 6750	45 000 • 0,85 = 38 250
3	«Изумруд»	90 000 • 0,12 = 10 800	90 000 • 0,88 = 79 200
4	«Сапфир»	10 000 • 0,22 = 2200	10 000 • 0,78 = 7800
5	«Сердолик»	12 000 • 0,18 = 2160	12 000 • 0,82 = 9840

В коллективе обсуждается вопрос: «От чего и как зависят величины свободных и обязательных резервов, и может ли ЦБ влиять на размер кредитов, предоставляемых банками?». Учитель подводит итог дискуссии: существует прямая зависимость величины свободных резервов от суммы вклада в банк, а каждый банк может выдать кредитов на сумму, не превышающую величины его свободных резервов. ЦБ может активно влиять на величину кредитов, предоставляемых коммерческими банками: увеличивая долю обязательных резервов, он уменьшает величину кредитов, предоставляемых каждым банком и наоборот. В заключение учащимся предлагается записать величины обязательных и свободных резервов в общем виде.

Пусть сумма вклада - руб., процентная ставка обязательных резервов - %. Тогда величина обязательных резервов равна , а свободных резервов - .

Теперь рассмотрим систему, состоящую из перечисленных выше банков. Пусть процентная ставка обязательных резервов равна 20%, и в первый банк «Алмаз» внесен вклад, равный 400000 руб. Сделаем упрощающее предположение: каждый банк все свои свободные резервы целиком выдает в кредит только одному заемщику.

К доске выходит представитель банка «Алмаз» и производит расчеты: 20% от суммы, полученной банком, составляют обязательные резервы 400000 • 0,2 =80000 (руб.), которые перечисляются в ЦБ. Свои свободные резервы в размере 400000 - 80000 = 320000 (руб.) банк выдает клиенту Х. На эти деньги клиент Х приобретает у некоторой фирмы необходимые ему товары. Полученные 320000 руб. фирма переводит в обслуживающий ее банк «Берилл». Изобразим схематически описанную ситуацию (рис. 7.2).

В результате проделанных операций банк «Берилл» получил вклад в размере 320000 руб. и с полученными деньгами он производит те же операции, что и банк «Алмаз».

Рис. 7.2

Ученик - представитель банка «Берилл» - делает необходимые расчеты: 20% от полученной суммы составляют обязательные резервы 320000 • 0,2 = =64000 (руб.) и перечисляются в ЦБ, а оставшиеся 320000 - 64000 = 256000 (руб.) составляют свободные резервы банка, которые он выдает в качестве кредита клиенту У. После торговых сделок клиента эта сумма вкладывается в банк «Изумруд». По такой же схеме свободные резервы банка «Изумруд» уходят в банк «Сапфир», а его - в банк «Сердолик».

Представители банков по очереди производят расчеты своих финансовых операций и в итоге составляют сводную таблицу 7.3.

Таблица 7.3

№	Банк	Сумма вклада	Обязательные резервы	Свободные резервы - кредиты (руб.)
1	«Алмаз»	400 000	80 000	320 000
2	«Берилл»	320 000	64 000	256 000
3	«Изумруд»	256 000	51 200	204 800
4	«Сапфир»	204 800	40 960	163 840
5	«Сердолик»	163 840	32 768	131 072

Вычислим суммарный объем кредитов, выданных рассматриваемой системой банков. Для этого достаточно сложить числа, стоящие в правом столбце таблицы 7.3. Полученная сумма равна 1075712 руб. Учитель ставит задачу: как можно упростить и тем самым ускорить операцию подсчета суммы выданных кредитов. Ученики должны из анализа расчетов финансовых операций каждого банка сделать вывод, что свободные резервы системы банков образуют последовательность 320000; 320000•0,8; 320000•(0,8)2; 320000•(0,8)3; 320000•(0,8)4, т.е. первые пять членов геометрической прогрессии с первым членом 320000 и знаменателем 0,8. Пользуясь формулой суммы конечного числа первых членов геометрической прогрессии, получаем: (руб.).

Полученная сумма кредитов оказалась в ? 3,36 раза больше той суммы, которую мог предоставить один банк «Алмаз»!

У учащихся, естественно, возникает следующий вопрос: «Мы рассмотрели систему, состоящую из пяти банков, а что будет, если число банков станет увеличиваться, и свободные резервы банка «Сердолик» попадут в банк «Лазурит», свободные резервы банка «Лазурит» - в банк «Малахит» и т.д.?» Ясно, что суммарная величина кредитов будет при этом возрастать. Выясним характер этого возрастания. Если система будет содержать п банков, то .

Из этого представления следует, что с увеличением п величина , возрастая, будет оставаться меньше числа 1600000 и по мере увеличения п будет к нему приближаться, никогда не достигая значения 1600000.

Пример 2. Три ученика у доски с помощью калькулятора вычисляют при и .

(руб.);

(руб.);

(руб.).

Анализируя результаты решения, ученики еще раз убеждаются в том, что, чем больше число п, тем меньше величина отличается от постоянного числа 1600000 руб.

Перед учащимися ставится следующая задача: обобщить полученный результат на случай произвольных значений а и . Вызванный к доске ученик записывает общую формулу

Следующие две задачи иллюстрируют ее применение.

Задача 1. Система состоит из трех банков А1, А2 и А3. В первый банк А1 внесен вклад 200000 руб. Процентная ставка обязательных резервов составляет 15%. Какова максимальная сумма кредитов, которую может выдать эта система?

Решение. В этом случае руб., . Обязательные резервы банка А1 составляют 15%, т.е. 200000 • 0,15 = 30000 (руб.). Величина свободных резервов банка составляет 200000 - 30000 = 170000 (руб.). Найдем

(руб.).

Ответ: 43735 руб.

Задача 2. Система состоит из шести банков В1, В2, В3, В4, В5 и В6. В банк В1 внесен вклад 300000 руб., процентная ставка обязательных резервов составляет 10%. На какую максимальную сумму может выдать кредиты эта система банков?

Решение. Пусть руб., . Обязательные резервы банка В1 равны 300000 • 0,1 = 30000 (руб.) и поэтому его свободные резервы составляют 300000 - 30000 = 2700000 (руб.).

Тогда (руб.).

Ответ: 1265109,3 руб.

Далее рассмотрим случай, когда количество банков в системе будет увеличиваться неограниченно. Конечно в конкретной банковской системе так не бывает, но математические методы как раз и сильны тем, что с их помощью можно рассматривать предельные возможности, которые не реализуются ни при каком значении п, т.е. можно заглянуть туда, где бессилен любой опыт. Из формулы при следует, что при больших значениях п величина мала, и ею можно пренебречь. Тогда мы получаем формулу .

Это знакомая ученикам формула для нахождения суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Ее экономический смысл состоит в том, что при фиксированных значениях и она указывает границу, предельные возможности системы. Сколько банков мы бы не включали в нее, выдать кредитов на сумму, равную или большую числа невозможно. Множитель экономисты называют мультипликатором (от английского слова multiply - умножать). В нашем случае мультипликатор показывает, во сколько раз увеличивается величина начального кредита при рассмотрении бесконечной системы банков. Так, при и имеем и - этот результат мы уже получили выше.

Если на занятии осталось время, то можно рассмотреть решение некоторых обратных задач. При его отсутствии такие задачи можно задать на дом.

Задача 3. В первый банк некоторой системы банков внесен вклад размером С руб. Процентная ставка обязательных резервов составляет %. Сколько банков должно быть в системе, чтобы их суммарная возможность кредитования была не менее заданной величины ? Решите задачу при следующих данных:

1) руб., руб.;

2) руб., руб.;

3) руб., руб.;

4) руб., руб.

Решение. 1) Искомое число п находим из условия , где

Решаем неравенство Отсюда получаем

Подбором находим, что , т.е. система должна содержать не менее четырех банков.

2) Число п должно удовлетворять неравенству Отсюда получаем

Подбором находим, что , т.е. система должна содержать не менее пяти банков.

3) Число п находим из условия Отсюда получаем . Подбором находим, что , т.е. система должна содержать не менее семи банков.

4) Попытка действовать по шаблону к решению не приводит. Неравенство сводится к неравенству которое противоречиво. Это означает, что ни при каком значении п исходное неравенство не справедливо - выдать кредитов на сумму 13000 руб. рассматриваемая система банков не в состоянии. Вычислим ее предельные возможности. В нашем случае (руб.), и величина

Ответ: не менее 4; 5; 7; такой системы не существует.

В заключение учитель вместе с учениками подводит итог. Он говорит, что на этом занятии они увидели, каким образом приобретенные знания по математике могут быть сразу использованы для решения очень важных задач современной экономики. Оказывается, что такие, на первый взгляд, бесполезные вопросы, как сумма членов геометрической прогрессии, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма, имеют глубокий экономический смысл. Более того, решая задачу о нахождении суммы п членов геометрической прогрессии, фактически нашли возможности суммарного кредитования, предоставляемых системой, состоящей из п банков.

В качестве индивидуального задания на дом каждому ученику предлагается:

1) сочинить систему, состоящую из шести банков;

2) назначить сумму, поступившую в первый банк системы;

3) назначить процентную ставку обязательных резервов;

4) составить таблицу, аналогичную таблице 3;

5) вычислить - суммарную величину кредитов, которые может предложить Ваша система банков;

6) определить предельные возможности кредитования для построенной Вами системы банков.

Мы предполагали, что вклады производятся в различные банки. Это вовсе необязательно: все вклады могли поступать в один банк, но тогда нужно было бы следить за количеством этих вкладов, что не всегда удобно с методической точки зрения.

Также это наглядно показывает ученику необходимость функционирования сложной системы коммерческих банков. Ведь только с ее помощью некоторая сумма денег может «вырасти» в несколько раз, участвуя во многих сделках. А чем больше кредитов будут выдавать банки, тем больше различных проектов будет осуществлено, тем, в конечном итоге, богаче будет наша страна [12].

Факультативное занятие №4. Математическая электровикторина по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

В ходе этой игры учащиеся делятся на несколько групп. Каждой из этих групп предлагается решить одну или несколько задач (в зависимости от количества групп). Затем, выполнив задание, предложенное учителем, учащиеся подходят к учителю и с помощью математической электровикторины проверяют правильность выполненного задания. Ниже предлагается десять задач с решениями, которые могут быть использованы при проведении занятия. Если оказалось, что задание выполнено учащимися ошибочно, то им можно предложить уже прорешанные задачи, оформленные на отдельных листах, составляющие их задание.

Задача 1. Найти трехзначное число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию и которое делится на 45.

Решение. Так как число делится на 45, то оно может оканчиваться либо нулем, либо 5. Рассмотрим эти 2 случая.

Если цифру сотен обозначить через а, а разность прогрессии через , то число делится на 5, когда либо , либо . Оно же делится на 9, если делится на 9. Остается воспользоваться тем, что , и - цифры.

Пусть - цифра сотен, - разность прогрессии. Но поскольку сумма трех цифр может изменяться от 0 до 27, то имеется три возможности:

.

Последнюю возможность отбрасываем, так как число 999 не делится на 5.

Пусть . Если , то , . Получим число 630. Если , то , , что невозможно.

Пусть теперь . Если , то , . Получим число135. Если , то , , что приводит к числу 765.

Так как все возможности исчерпаны, задача решена.

Ответ: 630, 135, 765 [4].

Задача 2. Для 31 курицы запасено некоторое количество корма из расчета по декалитру в неделю на каждую курицу. При этом предполагалось, что численность кур меняться не будет. Но так как в действительности число кур убывало на 1, то заготовленного корма хватило на двойной срок. Как велик был запас корма и на сколько времени был он первоначально рассчитан?

Решение. Пусть запасено было х декалитров корма на у недель. Так как корм рассчитан на 31 курицу по 1 декалитру на курицу в неделю, то .

В первую неделю израсходовано было 31 дл, во вторую 30, в третью 29 и т. д. до последней недели всего удвоенного срока, когда израсходовано было: (31-2у+1) дл.

Весь запас составлял, следовательно, х=31у=31+30+29+…+(31-2у+1).

Сумма 2у членов прогрессии, первый член которой 31, а последний 31-2у+1, равна .

Так как у не может быть равен нулю, то мы вправе обе части равенства сократить на этот множитель. Получаем: 31=63-2у и у=16, откуда х=31у=496.

Запасено было 496 декалитров корма на 16 недель.

Ответ: 496 декалитров; на 16 недель [29].

Задача 3. Группе землекопов необходимо вырыть канаву. Если бы группа работала в полном составе, канава была бы вырыта в 24 часа. Но в действительности к работе приступил сначала только один землекоп. Спустя некоторое время присоединился второй; ещё через столько же времени - третий, за ним через такой же промежуток четвертый и так до последнего. При расчете оказалось, что первый работал в 11 раз дольше последнего. Сколько времени работал последний?

Решение. Пусть последний землекоп работал х часов, тогда первый работал 11х часов. Далее, если число рывших канаву было у, то общее число часов работы определится как сумма у членов убывающей прогрессии, первый член которой 11х, а последний х, т. е. .

С другой стороны, известно, что группа из у человек, работая в полном составе, выкопала бы канаву в 24 часа, т. е. что для выполнения работы необходимо 24у рабочих часов.

Следовательно, 6ху=24у.

Число у не может равняться нулю; на этот множитель можно поэтому уравнение сократить, после чего получаем: и .

Итак, землекоп, приступивший к работе последним, работал 4 часа.

Мы ответили на вопрос задачи; но если бы мы полюбопытствовали узнать, сколько рабочих входило в группу, то не могли бы этого определить, несмотря на то, что в уравнении число это фигурировало (под буквой у). Для решения этого вопроса в задаче не приведено достаточных данных.

Ответ: 4 часа [2].

Задача 4. Два тела, находясь на расстоянии 158 м друг от друга, начали двигаться одновременно навстречу друг другу. Первое тело движется со скоростью 10 м/с, а второе - в первую секунду прошло 3 м, а в каждую последующую - на 5 м больше, чем в предыдущую. Через сколько секунд тела встретятся?

Решение. Пусть тела встретятся через t секунд. Первое тело движется равномерно, и поэтому путь, пройденный этим телом, вычисляется по формуле . Движение второго совершается по закону арифметической прогрессии, первый член которой равен 3 м, а разность - 5 м. Поэтому из условия задачи получим уравнение (t - натуральное число), решив которое, получим . Второй корень не удовлетворяет условию задачи, так как время не может быть меньше нуля.

Ответ: 6 секунд [22].

Задача 5. Числа образуют арифметическую прогрессию с разностью, отличной от нуля. Известно, что являются последовательными членами геометрической прогрессии. Найдите k.

Решение. По условию - последовательные члены геометрической прогрессии, т.е. имеют место равенства

.(1)

Воспользуемся теперь тем, что и являются соответственно вторым, четвертым и k-м членами арифметической прогрессии. Значит,