Совершенствование методики преподавания темы "Арифметическая и геометрическая прогрессии" с позиции активизации познавательной деятельности учащихся

.

Подставим полученные выражения в равенства (1):

.

Из условия получаем . (2)

Из равенства имеем , или

. Поскольку , то . Из уравнения (2) получаем , т.е. .

Поскольку , заключаем: .

Ответ: 8 [4].

Задача 6. Поезд, отходя от станции, равномерно увеличивает скорость так, что тринадцатую минуту движения идет со средней скоростью 30 км/ч. Какое расстояние проходит поезд за первые 13 минут движения?

Решение. Расстояния (в км), которые поезд проходит при равноускоренном движении за каждую из первых 13 минут, составляют арифметическую прогрессию , , , , …, , причем , так как 30км/ч=0,5км/мин.

По формуле общего члена арифметической прогрессии получим уравнение . Так как начальная скорость поезда равна нулю, то численно значение расстояния, пройденного поездом за первую минуту, согласно равенствам и , равно половине ускорения, т.е. половине разности прогрессии. Получаем второе уравнение: .

Решив систему уравнений: получим и . Тогда , т.е. за первые 13 мин поезд прошел 3,38 км.

Ответ: 3,38 км [22].

Задача 7. Пусть и - корни уравнения , а и - корни уравнения . Известно, что последовательность , , , является возрастающей геометрической прогрессией. Найти и .

Решение. Удобно ввести в рассмотрение знаменатель прогрессии и с его помощью записать теорему Виета для обоих уравнений. Это позволит определить и .

Пусть - знаменатель прогрессии. Тогда по теореме Виета получаем следующее: , , , .

Из первых двух уравнений (подстановкой первого во второе) находим, что .

Так как последовательность по условию является возрастающей, то , откуда , что не противоречит тому, что прогрессия возрастающая.

Из двух вторых уравнений определяем, что и .

Ответ: , [4].

Задача 8. Найти трехзначное число по следующим условиям: его цифры образуют геометрическую прогрессию; если из него вычесть 594, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке; если цифры искомого числа увеличить соответственно на 1, на 2 и на 1, то получится арифметическая прогрессия.

Решение. Если обозначить через цифру единиц, а через - знаменатель прогрессии, то легко составить два уравнения, отражающих условия задачи:

, .

Первое уравнение можно переписать в виде , а второе - в виде , т.е. . Делением первого уравнения на второе получим , .

Следовательно, . Значит, данное число равно 842.

Однако можно пойти по другому пути: так как цифры числа образуют геометрическую прогрессию, само число больше 594, то в нашем распоряжении только три возможности: 931, 842 и 964. Второе и третье из этих чисел нужно отбросить, т.к. и . Остается убедиться, что для числа 842 все условия задачи выполнены.

Требование, чтобы числа , , образовали арифметическую прогрессию, при таком решении оказывается лишним.

Ответ: 842 [4].

Задача 9. Имеющиеся в совхозе комбайны, работая вместе, могут убрать урожай за одни сутки. Однако по плану комбайны возвращались с других полей и вступали в работу последовательно: в первый час работал лишь один комбайн, во второй - 2, в третий - 3 и т.д. до тех пор, пока не начали работать все комбайны, после чего в течение нескольких часов перед завершением уборки урожая действовали все комбайны. Время работы по плану можно было сократить на 6 ч, если бы с самого начала уборки постоянно работали все комбайны, за исключением пяти. Сколько было комбайнов в совхозе?

Решение. Всю работу следует принять за 1. Чтобы использовать условия задачи, нужно знать производительность одного комбайна. Однако нам не известно, сколько часов перед завершением работы по плану все комбайны работали вместе. Поскольку удобнее вводить одноименные неизвестные, то эту величину обозначим через , а через обозначим количество часов, необходимых одному комбайну, чтобы убрать весь урожай. Тогда производительность комбайна будет равна .

В задаче спрашивается, сколько комбайнов было в совхозе. Эту величину обозначим через . Условия задачи позволяют составить три уравнения. При этом левая часть уравнения, соответствующего работе по плану, представляет собой сумму членов арифметической прогрессии. При решении системы уравнений нужно исключить и .

Итак, пусть в совхозе было комбайнов, один смог бы убрать весь урожай за ч. непрерывной работы, и при работе по плану все комбайны одновременно находились в поле ч. Так как все комбайны могли справиться с уборкой за 24 ч., а производительность одного комбайна , то , т.е. .

Если комбайны работают по плану, то, работая вместе, они сделали часть всей работы. Кроме этого, первый комбайн работал ч., второй , а -й работал 1 ч. Учитывая все это, получим уравнение: или .

Так как , то из этого уравнения можно выразить через : .

Последнее условие задачи можно записать в виде уравнения . Подставляя вместо и их выражения через , придем к квадратному уравнению , т.е. .

Решая это уравнение, найдем, что , . Второй корень не является решением, так как меньше нуля.

Ответ: 25 комбайнов [31].

Задача 10. Найти знаменатель геометрической прогрессии, в которой каждый член, начиная со второго, равен сумме рядом стоящих членов, разделенной на 6.

Решение. Пусть есть искомая прогрессия, тогда для нахождения знаменателя этой прогрессии, используя условие задачи, составим уравнение .

Исключив тривиальные случаи и , получим: , откуда .

Таким образом, решением данной задачи является геометрическая прогрессия, знаменатель которой выражается иррациональным числом.

Ответ: [26].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной выпускной квалификационной работе рассмотрена тема «Активизация познавательной деятельности учащихся при изучении прогрессий в средней общеобразовательной школе».

В результате проведения работы были решены все поставленные задачи, и, тем самым, достигнута основная цель.

В ходе практической проверки эффективности предложенной методики было проведено 14 уроков, на последнем из которых учащиеся выполнили контрольную работу по четырем вариантам, что способствовало объективному оцениванию результатов методики. После проведенной работы можно сделать вывод о том, что уроки, проводимые в нестандартной форме, использующие различные методы научного познания и игровые формы работы, способствовали активизации познавательной деятельности учащихся во время изучения темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии». При знакомстве с прогрессиями у некоторых учеников выявились трудности вычислительного характера, например, при нахождении членов или суммы геометрической прогрессии, когда необходимо было перевести десятичную дробь в обыкновенную, также сложности возникали вначале при решении прикладных задач. Посредством проведенной контрольной работы были получены результаты, представленные в таблицах 1 и 2, причем в первой представлены оценочные результаты проведенной контрольной работы № 4 по сравнению с предыдущей контрольной работой № 3.

Таблица 1

Таблица 2

Результаты проведенной контрольной работы выше, чем предыдущей. Основные затруднения вызвали три последние задачи. В четвертой задаче пять учеников не смогли правильно выполнить расчеты, хотя знают все необходимые формулы. В пятой задаче шесть учеников не смогли правильно применить известные им формулы, а четыре ученика не довели до конца вычисления. В шестой задаче семь из девяти учеников не смогли правильно использовать все ограничения, заданные в условии, а оставшиеся - допустили ошибки в вычислениях.

Можно сделать вывод, что предложенная в выпускной квалификационной работе методика изучения прогрессий является успешной и действительно способствует активизации познавательной деятельности учащихся при работе с изучаемым материалом.

Выпускная квалификационная работа предназначена для начинающих учителей средних школ, желающих более детально познакомиться с методикой преподавания темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии», а также для студентов физико-математических факультетов педагогических вузов, которым предстоит педагогическая практика.

Вниманию читателей в работе предлагаются:

- примерное тематическое планирование темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии»;

- теоретическая часть, подкрепленная примерами с подробным решением;

- методические рекомендации к изучению теоретического материала, урокам решения задач, а также к урокам повторения, обобщения, систематизации и проверке знаний по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии», позволяющие активизировать познавательную деятельность учеников;

- методические рекомендации к факультативным занятиям по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

Данная выпускная квалификационная работа направлена на совершенствование учебного процесса, на применение на практике новых технологий обучения, основанных на принципах гуманизма, индивидуализации и дифференциации обучения и ориентированных на свободное развитие личности школьника.

Таким образом, познакомившись с выпускной квалификационной работой, начинающий учитель или студент в полной мере почерпнет из нее все необходимые сведения для активизации познавательной деятельности учащихся при изучении прогрессий в средней общеобразовательной школе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Азиев Н. Тема «Арифметическая и геометрическая прогрессии», 9 кл. // Математика. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете Первое сентября. 2004. № 23. - С. 14-17.

2. Апанасов П.Т., Апанасов Н.П. Сборник математических задач с практическим содержанием. Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1987. -110 с.

3. Баврин И.И., Фрибус Е.А. Старинные задачи. Кн. для учащихся. - М.: Просвещение, 1994. - 296 с.

4. Бартенев Ф.А. Нестандартные задачи по алгебре. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1976. - 95 с.

5. Белотченко Е. Методические советы из опыта преподавания // Математика. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете Первое сентября. 2001. № 5. - С. 6, 7.

6. Борчугова З.Г., Батий Ю.Ю. Организация контроля знаний учащихся в обучении математике. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1980. - 96 с.

7. Буренок И.И., Тубаева Л.И., Цедринский А.Д. Психолого-педагогические аспекты урока математики: учебно-методическое пособие // Под общей ред. проф. С. Г. Манвелова. Армавирский государственный педагогический институт, СФ АГПИ. - Славянск-на-Кубани, 2000. - 72 с.

8. Буряк В.К. Самостоятельные работы учащихся. Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1984. - 64 с.

9. Гиршович В.С. Виды самостоятельных работ // Математика в школе: научно-теоретический и методический журнал. 1998. № 3. - М.: ООО Школьная пресса. - С. 37-40.

10. Груднев Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики. Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1990. - 224 с.

11. Жохов В.И., Крайнева Л.Б. Уроки алгебры в 9 кл. Пособие для учителей к учебнику «Алгебра, 9» Макарычева Ю.Н. и др. под ред. Теляковского С.А. 2001. - М.: Вербум - М. - 160 с.

12. Инютина Е.В., Симонов А.С. Геометрическая прогрессия в экономике // Математика в школе: научно-теоретический и методический журнал. 2001. № 5. - М.: ООО Школьная пресса. - С. 18-21.

13. Казнев И. Релейный зачет с тестовыми заданиями по теме «Прогрессии» // Математика в школе: научно-теоретический и методический журнал. 2001. № 3. - М.: ООО Школьная пресса. - С. 39-42.

14. Калашникова Л. Урок «Совет мудрецов» по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» // Математика. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете Первое сентября. 2001. № 5. - С. 30-32.

15. Касьяненко М.Д. Активизация познавательной деятельности учащхся при изучении математики // Из опыта преподавания математики в сред. шк. Пособие для учителей. Сост. Соколова А.В., Пикан В.В., Оганесян В.А. - М.: Просвещение, 1979. - 192 с.

16. Клетнюк С.В. Нестандартные формы закрепления знаний // Математика в школе: научно-теоретический и методический журнал. 1993. № 4. - М.: ООО Школьная пресса.- С. 28 - 29.

17. Колягин Ю.М., Луканкин Г.А. и др. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов. - М.: Просвещение, 1977. - 480 с.

18. Колягин Ю.М., Оганесян В.А. и др. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов. - М.: Просвещение, 1975. - 462 с.

19. Колягин Ю.М, Сидоров Ю.В. и др. Изучение алгебры в 7 - 9 кл. Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 2002. - 287 с.

20. Кон И. С. Психология ранней юности. Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1989. - 255 с.

21. Коротаева Е.В. Обучающие технологии в познавательной деятельности школьников // Библиотека журнала Директор школы. - М.: Сентябрь. 2003. № 2. - С. 114-153.

22. Кудрявцев С.В. Арифметическая прогрессия и равноускоренное прямолинейное движение // Математика в школе: научно-теоретический и методический журнал. 1976. № 1. - М.: ООО Школьная пресса. - С. 46-48.

23. Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С., Чехлов В.И., Яковлева Т.Х., Пособие по математике для поступающих в вузы. - 3-е изд., перераб. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 720 с.

24. Лоповок Л.М. Тысяча проблемных задач по математике. Кн. для учащихся. - М.: Просвещение, 1995. - 239 с.

25. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Короткова Л.М. Дидактические материалы по алгебре для 9 кл. - 7-е изд. - М.: Просвещение, 2002. - 160 с.

26. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Суворова С.Б. Алгебра - 9. Учебник для 9 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 2002. - 347 с.

27. Мещеряков Г.П. Нестандартные задачи на прогрессии // Математика в школе: научно-теоретический и методический журнал. 1998. № 6.- М.: ООО Школьная пресса. - С. 47-49.

28. Мухина В.С. Возрастная психология: феноменология развития, детство, отрочество. Учебник для студентов вузов. - 4-е изд., стереотип. - М.: Издательский центр Академия, 1999. - 456 с.

29. Немов Р.С. Психология. Учебник для студентов высших педагогических учебных заведений: в 3 кн. - 3-е изд. - М.: Гуманитарный издательский центр ВЛАДОС, 2000. - Кн. 2: Психология образования. - 608 с.

30. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. - М.: Наука, 1976. - 200 с.

31. Перельман Я.И. Живая математика. Математические рассказы и головоломки. - М.: Издательство Русанова, 1994. - 208 с.

32. Петров В.А. Математические задачи из сельскохозяйственной практики. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1980. - 64 с.

33. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Кн. для учащихся 7-9 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1990. - 224 с.

34. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика 5 - 11 классы // Сост. Кузнецова Г.М., Миндюк Н.Г. - 3-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2002. - 320 с.

35. Реализация идей развивающего обучения Л. В. Занкова в основной школе (5 - 9 классы): сборник материалов. / Сост. В. С. Першович, Г. А. Грачева; под общей ред. В. Г. Гиршович. - М.: Новая школа, 1996. - 176 с.

36. Рекомендуемое тематическое планирование // Математика. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете Первое сентября. 2002. № 4. - С. 30, 31.

37. Симонов А.С. Некоторые применения геометрической прогрессии в экономике // Математика в школе: научно-теоретический и методический журнал. 1998. № 3. - М.: ООО Школьная пресса. - С. 27-37.

38. Смирнова Л. Дидактические игры как средство активизации учебного процесса // Математика. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете Первое сентября. 2004. № 8. - С. 3-5, 8.

39. Шапиро И.М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики. Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1990. - 96 с.

40. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 10 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1989. - 352 с.

41. Эрдниев П.М. Преподавание математики в школе. - М.: Просвещение, 1988. - 304 с.

Размещено на Allbest.ru