2)Сформулируйте определение предела функции в точке по Коши.

(Ответ: Число называется пределом функции в точке , если

или

.

3)Сформулируйте теорему об эквивалентности двух определений предела функции в точке.

(Ответ: Первое и второе определения предела функции в данной точке эквивалентны).

Решение первого и второго примера преподаватель показывает на доске с подробными комментариями и замечаниями.

№7.(№205 из [10]). Доказать, что функция имеет в каждой точке предел, равный , т.е. .

Доказательство

Доказательство проведем на основании определения предела функции в точке по Гейне. Выберем произвольную точку числовой прямой. Составим последовательность значений аргумента , сходящуюся к . Соответствующая последовательность значений функции будет иметь вид: . Так как задана функция , то соответствующая последовательность значений функции примет вид . Очевидно, что последовательность значения функции будет сходиться к при ,т.е. . На основании определения предела функции в точке по Гейне, следует, что и сама функция будет сходиться к при , , т.е. . Так как точка выбиралась произвольно , то функция будет иметь в каждой точке предел равный .

№8.( 207 из[10]) I. Показать, что в точке функция имеет предел А=1. II. Каково должно быть , если равно , , ?

Доказательство

I. Доказательство проведем на основании определения предела функции в точке по Коши.

1. Область определения функции - вся числовая прямая, т.е. .

2. Выберем .

3. Задача заключается в том, чтобы по этому найти такое , при котором вслед за неравенством следовало бы неравенство .

4. Рассмотрим неравенство , преобразуем его: .

5. Сравним два неравенства: и . Так как левые части неравенств равны, то будут равны и правые, т.е. .

6. Если взять , то из неравенства следует неравенство .

7. Значит, функция имеет предел А=1 при . Ч.т.д.

II.

1. Проведем численный расчет.

а) Если , то .

б) Если , то .

в) Если , то .

После решения двух примеров, преподаватель записывает на доске номера задач: №№ 9,10(№№206, 208 из[10]). Вызывает для решения примеров студентов.

У доски (в зависимости от ее размеров) работают от 2 до 4 студентов под руководством преподавателя и активной помощи аудитории. Студенты фиксируют ход решения в тетради.

№9(№206 из[10]). Пользуясь определением предела функции в точке доказать, что функция имеет в точке x=2 предел, равный -3.

Доказательство

Доказательство проведем на основании определения предела функции в точке по Гейне. Выберем на числовой прямой произвольную точку 2. Составим последовательность значений аргумента, сходящуюся к . Соответствующая последовательность значений функции будет иметь вид: . Так как задана функция , то соответствующая последовательность значений функции примет вид ; ;;…;,…Тогда предел последовательности значений функции на основании теорем о пределах алгебраической суммы, произведения сходящихся последовательностей будет иметь вид: , т.е. при . На основании определения предела функции в точке по Гейне, следует, что и сама функция будет сходиться к -3 при , , т.е. . Ч.т.д.

№10 (№208 из[10]) . Пользуясь определением предела функции в точке доказать, что в точке x=2 функция имеет предел, равный 10. Каково должно быть , чтобы из неравенства следовало бы неравенство ?

Доказательство

1способ

1.Доказательство проведем на основании определения предела функции в точке по Коши. Задача заключается в том, чтобы по данному найти такое , при котором вслед за неравенством следовало бы неравенство .

2.Выберем . Надо найти такое , чтобы из следовало бы неравенство .

3.Рассмотрим последнее неравенство . Так как , то получим неравенство: . По свойству модуля произведения двух действительных чисел получаем, что .

4.-неизвестно, но нам известно, что , тогда по свойству модуля суммы двух действительных чисел получаем . Таким образом, получаем, что .

5. Перемножим почленно два неравенства одинакового смысла и .

6.Тогда получим, что . Сравним два неравенства:

и . Так как левые части последних неравенств равны, то равны и правые части. Значит, получаем, что .

7. Так как , то выбираем . Тогда за выполнением неравенства следует неравенство =10. Ч.т.д.

8. , если , то ,

9. Таким образом, для того, чтобы выполнялось неравенство , необходимо и достаточно, чтобы было равно 0,001, т.е. . Ч.т.д.

2 способ

Докажем теперь, что в точке x=2 функция имеет предел, равный 10 на основании определения №1 предела функции в точке. Выберем на числовой прямой произвольную точку 2. Составим последовательность значений аргумента , сходящуюся к . Соответствующая последовательность значений функции будет иметь вид: Так как задана функция , то соответствующая последовательность значений функции примет вид ; ; ;…;, … Тогда предел последовательности значений функции на основании теорем о пределе алгебраической суммы, произведения сходящихся последовательностей будет иметь вид: ,

т.е. при . На основании определения предела функции в точке по Гейне, следует, что и сама функция будет сходиться к 10 при , , т.е. . Ч.т.д.

Итак, мы убедились, что определения предела функции в точке по Гейне и Коши эквивалентны.

После решения каждого примера преподаватель обращает внимание на трудности, которые могут возникнуть у студента при решении примеров.

В конце практического занятия преподаватель подводит итоги: «Итак, сегодня на практическом занятии мы познакомились с пределом функции в точке по Гейне и по Коши, эквивалентностью двух определений».

Домашнее задание: Практическое занятие № 9 из методических указаний [17].

Домашняя работа к практическому занятию № 9

№ 11(№211 из[10]). Доказать, что .

Доказательство

Доказательство проведем на основании определения предела функции в точке по Гейне. Выберем на числовой прямой произвольную точку 1. Составим последовательность значений аргумента, сходящуюся к . Соответствующая последовательность значений функции будет иметь вид: Так как задана функция , то соответствующая последовательность значений функции примет вид , , ,...,, … Тогда предел последовательности значений функции на основании теорем о пределе алгебраической суммы, произведения сходящихся последовательностей будет иметь вид: +, т.е.

при . На основании определения предела функции в точке по Гейне, следует, что и сама функция будет сходиться к 3 при , , т.е. . Ч.т.д.

№12(№215из[10]). Доказать, что .

Доказательство

Доказательство проведем на основании определения предела функции в точке по Гейне. Выберем на числовой прямой произвольную точку 3. Составим последовательность значений аргумента, сходящуюся к . Соответствующая последовательность значений функции будет иметь вид: Так как задана функция , то соответствующая последовательность значений функции примет вид , , ,...,,…. Тогда предел последовательности значений функции на основании теоремы о пределе произведения сходящейся последовательности будет иметь вид: .

На основании определения предела функции в точке по Гейне, следует, что и сама функция будет сходиться к 9 при , , т.е. . Ч.т.д.

№13(№203 из [10]).Доказать, что . Из какой наибольшей -окрестности числа -1 нужно взять значение х, чтобы значение функции отличалось от ее предела меньше чем на .

Доказательство

Доказательство проведем на основании определения предела функции в точке по Коши.

1.Выберем . Надо найти такое , чтобы из неравенства следовало бы неравенство .

2.Рассмотрим последнее неравенство . Так как , то получаем неравенство:

, тогда .

3.- неизвестно, но нам известно, что . Тогда по свойству модуля суммы двух действительных чисел , значит, и . Так как левые части последних неравенств равны, то равны и правые, т.е. или

4.Если взять , то за выполнением неравенства следует выполнение .

5. Значит, . Ч.т.д.

6. Если , то =-1,99. Значит, значение х нужно взять из интервала чтобы значение функции отличалось от ее предела меньше чем на .

№14(№204 из [10]). Доказать, что . По данному числу , найти наибольшее число такое, чтобы при любом x из - окрестности числа 3 значение функции оказалась в - окрестности числа 5. Пояснить графически.

Доказательство

Доказательство проведем на основании определения предела функции в точке по Коши.

1.Выберем . Надо найти такое , чтобы из следовало бы неравенство .

Решение

2.Рассмотрим последнее неравенство . Так как , то получим следующее неравенство: .

3.Итак, мы получили, что и . Так как левые части последних неравенств равны, то равны и правые, т.е. .

4. Если взять , то за выполнением неравенства последует выполнение неравенства , значит .

5.В частности, если , то ,если , то , если , то , если , то . На рис.13. представлен случай, когда 1, 0,5, 3, 5.

Рис.13.

Практическое занятие №10

Тема: Односторонние пределы функции в точке, предел функции на бесконечности, бесконечный предел функции. Вертикальные и горизонтальные асимптоты

Вид занятия: знакомство с новым материалом.

Форма проведения: фронтальная.

Методы обучения: наглядный, словесный, практический.

Средства обучения: конспект лекций, доска, методические указания, задачник, графопроектор.

Цель занятия: научить студентов находить односторонние пределы функций, предел функции на бесконечности, бесконечные пределы функций, вертикальные и горизонтальные асимптоты.

Ход занятия

1. Организационный момент

- преподаватель здоровается и отмечает отсутствующих студентов;

- преподаватель знакомит студентов с темой и целями занятия.

2. Основная часть.

Преподаватель проводит самостоятельную работу по домашнему заданию предыдущего практического занятия на 15 минут по 2 вариантам. В каждом варианте по 2 задания из домашней работы (наиболее легкие примеры). Например, вариант №1: №№203,215; вариант №2:№№205,211. Во время проведения самостоятельной работы у доски работают студенты, которым предлагается наиболее сложные на взгляд преподавателя примеры. Например, №204,215. По завершению самостоятельной работы эти примеры проверяются аудиторией.

После проведения самостоятельной работы и проверки домашнего задания идет опрос теоретического материала (по одному вопросу на студента). К доске вызывается сначала 4 студента, а затем еще 2, которые воспроизводят все необходимые записи и пояснения, отвечают по мере подготовки.

Вопросы:

1. Сформулируйте определение левого и правого пределов функции в точке « на языке последовательности».

2.Дайте определение левого и правого пределов функции в точке «на языке ».

3.Какие пределы функции называются односторонними и двусторонними?

4.Сформулируйте определение предела функции на бесконечности.

5.Дайте определение бесконечного предела функции.

6.Сформулируйте теорему о связи односторонних пределов функции в точке и пределов функции в точке.

(Ответы: 1. Число называется левым пределом (пределом слева) функции в точке , если для любой, сходящейся к , последовательности значений аргумента , все элементы которой меньше , соответствующая последовательность значений функции сходится к . В этом случае пишут .

Число называется правым пределом (пределом справа) функции в точке , если для любой, сходящейся к последовательности значений аргумента , все элементы которой больше , соответствующая последовательность значений функции сходится к . В этом случае пишут .

2. Число называется левым пределом (или пределом слева) функции в точке , если.

Число называется правым пределом (пределом справа) функции в точке , если ( .

3. Левые и правые пределы функции в точке называются односторонними пределами функции в точке, в отличие от предела функции в точке, который называется двусторонним.

4. Число называется пределом функции на бесконечности, т.е. при , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции сходится к числу . В этом случае пишут .

5. Функция имеет в точке бесконечный предел, если для любой последовательности значений функции сходящейся к , предел соответствующей последовательности значений функции равен . Символически это обозначается так: при.

6. Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существует как правый, так и левый пределы функции и они равны между собой.)

Устный опрос может иметь различные формы проведения от выборочного до фронтального.

Решение первого и второго примера преподаватель показывает на доске с подробными комментариями и замечаниями.

№15(№199 из [10]). Прибавляя к 3(или вычитая из 3) сначала 1, затем 0,1и т.д., записать «десятичными» последовательностями приближения переменной к пределу: .

Решение

Прибавляя к 3 (или вычитая из 3) сначала 1, затем 0,1 и т.д., запишем «десятичными» последовательностями приближения переменной к пределу: .

1) 4; 3,1;3,01; 3,001…;

2) 2; 2,9; 2,99; 2,999….

№16(216 из [10]). Найти левый и правый пределы функции

при .

Решение

Пусть 0, тогда , поэтому . Значит, , .

Следовательно, .

3.Пусть 0. Значит, 0+, тогда , поэтому . Итак, . Следовательно, .

После решения двух примеров, преподаватель записывает на доске номера задач: №№17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27 (№№200, 201, 218, 223, 235, 259, 241, 242, 264, 263, 267[10]). Вызывает для решения примеров студентов. У доски (в зависимости от ее размеров) работают от 2 до 4 студентов под руководством преподавателя и активной помощи аудитории. Студенты фиксируют ход решения в тетради.

№17(№200 из [10]). Записать «десятичными» последовательностями приближения переменных к пределам: 1) ; 2), ; 3) ; 4) .

Решение

1) x=2,2; 1,3; 1,201; 1,2001;… ;

x=0,2; 1,1; 1,19; 1,199; 1,1999;… ;

2)x=6; 5,1; 5,01; 5,001; 5,0001…;

x=4; 4,9; 4,99; 4,999; 4,9999…;

3) x=2; 1,1; 1,01; 1,001;… ;

x=0; 0,9; 0,99; 0,999;… ;

4) x=-1; -1,9; -1,99; -1,999;… ;

x=-3; -2,1; -2,01; -2,001;… .

№18(№218 из [10]). Найти левый и правый пределы функций и в точке x=0.

Решение

1. Преобразуем функцию . Значит, и . Итак, левый и правый пределы данной функции в точке х=0 равны 1.

2. Преобразуем функцию . При х>0 функция имеет вид: . Тогда . Значит, правый предел данной функции в точке х=0 равен 1. При х<0 функция имеет вид: . Тогда. Значит, левый предел данной функции в точке х=0 равен -1. Итак, левый и правый пределы данной функции в точке х=0 не равны, значит функция в точке x=0 предела не имеет.

№19(№223 из [10]). Найти в точке x=3 левый и правый пределы

функции:

Решение

1.При имеем , поэтому .

2.При 0 имеем , поэтому .

3. Так как левый и правый пределы функции в точке х=3 не равны, то предел функции в точке х=3 не существует.

№20(№235из [10]). Найти предел функции при

Решение

При , тогда . Значит, , а Следовательно, .

№21(№259 из [10]). Используя определение предела функции на бесконечности, доказать, что .

Доказательство

1.На основании определения предела функции на бесконечности можно записать, что .

2. Пусть . Найдем ,такое что , удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

3.Рассмотрим неравенство , получаем что .

4. Из условия известно, что , значит, х<0 , тогда получаем, что

-x> или . Если за М взять число , то для любого при всех x< выполняется неравенство, т.е. .Ч.т.д.

№22(№241 из [10]). Найдите односторонние пределы функции

в точке .

Решение

а) При , тогда . Значит, .

Поэтому предел функции будет таким: .

б) При , тогда . Значит, .

Поэтому предел функции будет таким:. Так как левый и правый пределы функции в точке х=1 не равны, то предел функции в точке х=1 не существует.

№23(№263из[10]). Используя определение предела функции на бесконечности, доказать, что .

Доказательство

1.На основании определения предела функции на бесконечности можно записать, что .

2.Выберем . Найдем , такое что удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

3.Рассмотрим следующее неравенство и найдем такое ,

.Поскольку = и = =, то получаем или . Если , то тем более . Осталось только решить неравенство . Решая, его получаем, что . Значит, если принять , то при получим . А это значит, что -. Ч.т.д.

№24(№264 из [10]). Используя определение предела функции на бесконечности, доказать, что

Решение

1. На основании определения предела функции на бесконечности можно записать, что .

2. Выберем . Найдем , такое что удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

3.Рассмотрим неравенство , так как , то . Поэтому по определению модуля получаем, что .

Значит, . Известно, что tg(arctg x)=x, поэтому найдем от обеих частей последнего неравенства, с учетом того, что функция является возрастающей, т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Знак неравенства не изменится, Т.е. . Так как ctg, то .

4.Значит, M=-ctg, тогда , удовлетворяющих неравенству будет выполняться неравенство .Ч.т.д.

№25(№258 из [10]). Используя, определение предела функции на бесконечности доказать, что

Доказательство

1. На основании определения предела функции на бесконечности можно записать, что .

2. Выберем . Найдем , такое чтобы , удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

3.Рассмотрим неравенство: . Так как , при х>0, то по определению модуля или . Прологарифмируем обе части последнего неравенства по основанию е. Знак неравенства не изменится, так как . Получаем , так как .

4.Следовательно, в качестве М можно взять .Тогда для всех будет выполняться неравенство .Ч.т.д

№26(№267 из [10]). Используя, определение предела функции на бесконечности доказать, что .

Доказательство

1. На основании определения предела функции на бесконечности можно записать, что .

2. Выберем . Найдем , такое чтобы , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

3.Рассмотрим неравенство:. Так как , то по определению модуля получаем, что . Прологарифмируем обе части последнего неравенства по основанию е. Знак неравенства не изменится, так как , получаем . Разделим обе части неравенства на получим, что , Знак неравенства не изменится, так как .

4.Итак, . Причем, М<0, так как , . Тогда при . Ч.т.д.

После решения каждого примера преподаватель обращает внимание на трудности, которые могут возникнуть у студента при решении примеров.

В конце практического занятия преподаватель подводит итоги: «Итак, сегодня на практическом занятии мы познакомились с односторонними пределами функции в точке, бесконечным пределом функции».

Домашнее задание: Практическое занятие № 10 из методических указаний [17].

Домашняя работа к практике №10

№27(№201из[10]).Записать «десятичными» последовательностями приближения переменных к пределам: 1) 2) .

Решение

1) x=5; 4,1; 4,01; 4,001; 4,0001…;

x=3; 3,9; 3,99;3,999; 3,9999…;

2)x=-0,5; -1,4; -1,49; -1,499; -1,4999…;

x=-2,5;-1,51; -1,501; -1,5001; -1,50001….

№28(№217 из [10]). Найти левый и правый пределы функции при .

Решение

1. Пусть , тогда , а . Значит, .

Следовательно, .

2. Пусть , значит . Значит, . Следовательно, .

№29(№232 из [10]). Найти а)и б)

Решение

а) при , тогда . Следовательно, =.

б) при , тогда . Следовательно, =.

№30(№234 из [10]). Найти .

Решение

Пусть 0, значит, 10+, тогда ,.

Следовательно, .

№31(№228 из [10]). Найти и .

Решение

1. Пусть, то , так как .Тогда .Следовательно, .

2. Пусть , так как , то . Тогда . Следовательно, .

№32(№229 из [10]). Найти и

Решение

1. Пусть , то , Тогда . Следовательно, =.

2. Пусть , то , Тогда . Следовательно, =.

№33(№240 из[10]). Найти .

Решение

1. Так как , то . Значит, при .

2.Следовательно, .

№34(№226 из [10]). Найти односторонние пределы функции

в точке x=1.

Решение

1.При имеем , поэтому = .

2. При имеем , поэтому = .

3. Итак, левый предел функции равен 4 и правый предел равен 4.

4. Значит, функция в точке x=1 имеет предел, равный 4.

№35(№237 из [10]). Найти

Решение

1. При , получаем . Тогда , а значит, .

2. Следовательно, .

Практическое занятие№11

Тема: Бесконечный предел функции. Вертикальные и горизонтальные асимптоты

Вид занятия: знакомство с новым материалом.

Форма проведения: фронтальная.

Методы обучения: наглядный, словесный, практический.

Средства обучения: конспект лекций, доска, методические указания, задачник, графопроектор.

Цель занятия: научить студентов находить бесконечный предел функции, вертикальные и горизонтальные асимптоты функции.

Ход занятия

1. Организационный момент

- преподаватель здоровается и отмечает отсутствующих студентов;

- преподаватель знакомит студентов с темой и целями занятия.

2. Основная часть.

Преподаватель проводит самостоятельную работу по домашнему заданию предыдущего практического занятия на 20 минут по 3 вариантам. В каждом варианте по 3 задания из домашней работ(наиболее легкие примеры). Например, вариант №1: №№201,259,232[17]; вариант №2: №№217,229,267[17]; вариант № 3: №№ 228,241,263[17]. Во время проведения самостоятельной работы у доски работают студенты, которым предлагается наиболее сложные на взгляд преподавателя примеры. Например, №226,№235. По завершению самостоятельной работы эти примеры проверяются аудиторией.

После проведения самостоятельной работы и проверки домашнего задания идет опрос теоретического материала (по одному вопросу на студента). К доске вызывается 4 студента, которые воспроизводят все необходимые записи и пояснения, отвечают по мере подготовки.

Вопросы:

1. Дайте определение вертикальных асимптот и постройте эскиз графика функции.

( Ответ: График функции будет иметь вертикальную асимптоту при , если существует предел функции равный при т.е. или . Тогда уравнение вертикальной асимптоты будет иметь вид: . Функция имеет вертикальную асимптоту . На рис.14. представлен эскиз графика функции .

Рис.14

2. Дайте определение горизонтальных асимптот и построить эскиз графика функции.

3. При каких условиях график функции имеет горизонтальные асимптоты.

(Ответ: 2) График функции имеет горизонтальную асимптоту при (), если существует конечный предел (). В этом случае уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид: . На рис.15. представлен эскиз графика функции . уравнение горизонтальной асимптоты графика функции.

3) Функция имеет горизонтальную асимптоту, если аргумент одновременно стремится к или к ).

4. Дайте определение бесконечного предела функции.

(Ответ: 4) Функция имеет в точке бесконечный предел, если для любой последовательности значений функции , сходящейся к предел соответствующей последовательности значений функции равен . Символически это обозначается так: .

Определение (на языке «»). Функция имеет в точке бесконечный предел, если

Решение первого и второго примера преподаватель показывает на доске с подробными комментариями и замечаниями.

№36(№2980 из [10])

Доказать, что .

Доказательство

1.На основании определения бесконечного предела функции можно записать: .

2.Пусть . Найдем такое, что , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

3.Преобразуем неравенство . Используя формулы приведения, получим . Значит, . По свойству модуля произведения двух действительных чисел получаем, что . Найдем от обеих частей последнего неравенства с учетом того, что функция убывающая: большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Значит, знак неравенства изменится, т.е. получаем .

4.Следовательно, в качестве можно взять . Тогда при = выполняются неравенства и , т.е. . Ч.т.д.

№37(№308 из [10]). Найти асимптоты и построить график функции по точкам ., если .

Решение

1.Исследуем функцию в точке , так как функция в этой точке неопределенна.

2.Если , то . Найдем теперь предел функции при . .

3.Значит, уравнение вертикальной асимптоты графика функции .

4.Найдем предел функции при . .

5.Значит, уравнение горизонтальной асимптоты графика функции .

6. Построим график функции по точкам .

Эскиз графика представлен на рис.16.

Рис.16.

После решения первого и второго примера, преподаватель записывает на доске номера задач: №№38, 39, 40(№№309, 310, 324 из [10]). Вызывает для решения примеров студентов. У доски (в зависимости от ее размеров) работают от 2 до 4 студентов под руководством преподавателя и активной помощи аудитории. Студенты фиксируют ход решения в тетради.

№38 (№309 из [10]). Найти асимптоты и построить график функции по точкам , если.

Решение

1.Найдем предел функции при . .

2. Значит, функция горизонтальных асимптот не имеет.

3.Область определения функции вся числовая прямая, значит, функция вертикальных асимптот не имеет.

4. Построим график функции по точкам .

Эскиз графика представлен на рис.17.

№39(№310 из [10]). Найти асимптоты и построить график функции по точкам , если .

Решение

1.Исследуем функцию в точках ,так как функция в этих точках неопределенна.

2. Если , то . Следовательно, .

3. - уравнение вертикальной асимптоты графика функции.

4. Если , то . Следовательно, .

5.Значит, уравнение вертикальной асимптоты графика функции .

6.Найдем предел функции при : .

7.Значит, уравнение горизонтальной асимптоты графика функции .

8.Построим график функции по точкам .

Эскиз графика представлен на рис.18.

№40(№293 из [10]). Доказать, что .

Доказательство

1.На основании определения бесконечного предела функции можно записать: .

2.Пусть . Найдем такое, что , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

3.Преобразуем неравенство .

4.Следовательно, в качестве можно взять . Тогда при = выполняются неравенства и , т.е. . Ч.т.д.

№41(№324 из [10]). Найти асимптоты и построить график функции

Решение

1.Исследуем функцию в точку , так как функция в этой точке неопределенна.

2.Если , то , тогда .

3. Если , то , тогда .

4.Значит, функция вертикальных асимптот не имеет.

5.Найдем предел функции, при .

.

6.Найдем предел функции при . .

7.Следовательно, - уравнение горизонтальной асимптоты графика функции .

8. Построим схематически график функции .

Эскиз графика представлен на рис.19.

После решения каждого примера преподаватель обращает внимание на трудности, которые могут возникнуть у студента при решении примеров.

В конце практического занятия преподаватель подводит итоги: «Итак, сегодня на практическом занятии мы познакомились с вертикальными и горизонтальными асимптотами функции».

Домашнее задание: Практическое занятие № 11 из методических указаний [17].

Домашняя работа к практике №11

№42(№282 из [10]). Доказать, что .

Доказательство

1.На основании определения бесконечного предела функции можно записать: .

2.Пусть . Найдем такое, что , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

3.Преобразуем неравенство . Используя формулы приведения, получим . Значит, . Найдем от обеих частей последнего неравенства с учетом того, что функция убывающая: большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Значит, знак неравенства изменится, т.е. получаем .

4.Следовательно, в качестве можно взять . Тогда при = выполняются неравенства и , т.е. . Ч.т.д.

№43(№288 из [10]). Доказать, что .

Доказательство

1.На основании определения бесконечного предела функции можно записать: .

2.Пусть . Найдем такое, что , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

3.Преобразуем неравенство .

4.Следовательно, в качестве можно взять . Тогда при = выполняются неравенства и , т.е. . Ч.т.д.

№44(№307 из [10]) . Найти асимптоты и построить график функции по точкам , если

Решение

1.Исследуем функцию в точках , так как функция в этих точках неопределенна.

2. Если , то . Следовательно, .

3.значит, уравнение вертикальной асимптоты графика функции .

4. Если , то . Значит, .

5.Следовательно, - уравнение вертикальной асимптоты графика функции .

6.Найдем предел функции при : .

7.Следовательно,- уравнение горизонтальной асимптоты графика функции .

8.Построим график функции по точкам .

Эскиз графика представлен на рис.20.

№45(№312 из [10])

Найти асимптоты и построить график функции по точкам , если.

Решение

1. Найдем предел функции при : .

2.Значит, уравнение горизонтальной асимптоты графика функции .

3.Область определения функции - вся числовая прямая, значит, функция вертикальных асимптот не имеет.

4. Построим график функции по точкам .

Эскиз графика представлен на рис.21.

№46(№316 из [10]). Найти асимптоты и построить график функции по точкам , если .

Решение

1.Исследуем функцию в точках , так как функция в этих точках неопределенна.

2.Если , то . Найдем предел функции при : .

3.Значит, - уравнение вертикальной асимптоты графика функции .

4.Если , то . Найдем предел функции при : .

5.Значит, уравнение вертикальной асимптоты графика функции .

6.Найдем предел функции при . .

7.Значит, уравнение горизонтальной асимптоты графика функции .

8. Построим график функции по точкам .

Эскиз графика представлен на рис.22.

№47(№319 из [10]). Найти асимптоты и построить график функции по точкам , если.

Решение

1.Найдем предел функции при : .

2. Значит, функция горизонтальных асимптот не имеет.

3.Исследуем функцию в точке , так как функция в этой точке неопределенна.

4.Если , то . Найдем предел функции, при . .

5.Значит, уравнение вертикальной асимптоты графика функции .

6. Построим график функции по точкам .

Эскиз графика представлен на рис.23.

№48(№320 из[10]). Найти асимптоты и построить график функции по точкам , если.

Решение

1.Найдем предел функции при . .

2.Функция - горизонтальных асимптот не имеет.

3. Исследуем функцию в точке , так как функция в этой точке неопределенна.

4.Если , то . Найдем теперь предел функции при . .

5.Значит, уравнение вертикальной асимптоты графика функции .

6.Построим график функции по точкам . Эскиз графика представлен на рис.24.

№49(№304 из[10]). Найти такое , что при выполнялось бы неравенство .

Решение

1.Пусть , но тогда по определению модуля получаем, что .

2.Значит, , а .

3. Вместо подставим сначала 10, потом 18. Тогда, если , то выполняется тем более.

4.Следовательно, достаточно решить неравенство . Решая его, получим или . А .

5.Тогда . При выполняются неравенства и , т.е. (согласно определения бесконечного предела функции).

Практическое занятие №12

Тема: Свойства функции, имеющей предел в точке. Свойства предела функции. Переход к пределу в неравенствах. Предел сжатой переменной. Предел суммы, произведения и частного двух функций, имеющих конечный предел в точке.

Вид занятия: знакомство с новым материалом.

Форма проведения: фронтальная.

Методы обучения: наглядный, словесный, практический.

Средства обучения: конспект лекций, доска, методические указания, задачник, графопроектор.

Цель занятия: изучить свойства функции, имеющей предел в точке, свойства предела функции, переход к пределу в неравенствах, предел сжатой переменной, предел суммы, произведения и частного двух функций, имеющих конечный предел в точке.

Ход занятия

1. Организационный момент

- преподаватель здоровается и отмечает отсутствующих студентов

- преподаватель знакомит студентов с темой и целями занятия.

2. Основная часть.

Преподаватель проводит самостоятельную работу по домашнему заданию предыдущего практического занятия на 15 минут по 3 вариантам (наиболее легкие примеры). В каждом варианте по 1 заданию из домашней работы. Например, вариант №1: №№316 вариант 2: №№319 вариант № 3: №№ 320. Преподаватель самостоятельно определяет, какие задания и в какой последовательности будут содержать каждый из вариантов. Во время проведения самостоятельной работы у доски работают студент, которому предлагается наиболее сложные на взгляд преподавателя примеры. Например, № 312. По завершению самостоятельной работы этот пример проверяются аудиторией.

После проведения самостоятельной работы идет опрос теоретического материала (по одному вопросу на студента). К доске вызывается сначала 4 студента, а затем еще 2, которые воспроизводят все необходимые записи и пояснения и отвечают по мере подготовки.

Вопросы:

1. Сформулируйте теоремы, которые определяют свойства функции, имеющей предел в точке.

(Ответ: Теорема. Если у функции в заданной точке существует конечный предел, то в некоторой проколотой - окрестности этой точки данная функция будет ограничена.

Теорема. Если у функции существует конечный предел не равный нулю, то в некоторой проколотой - окрестности функция имеет тот же знак, что и предел функции, данная теорема будет верна только при .).

2. Сформулируйте теоремы, которые определяют свойства предела функции.

(Ответ: Лемма. Если и , то одновременно выполняются неравенства: и .

Теорема. Функция не может иметь более одного предела. Если , , то ).

3. Сформулируйте теоремы, которые определяют переход к пределу в неравенствах.

(Ответ: Теорема. Если и , то :.

Теорема. Если и:, тогда).

4. Сформулируйте теорему о пределе сжатой переменной

(Ответ: Теорема. Если и : , тогда ).

5.Сформулируйте теорему о пределе суммы, произведения и частного двух функций, имеющих конечный предел в точке.

(Ответ: Теорема. Если существует конечные пределы функций точке , то существуют конечные пределы у таких функций в точке :

а);

б) ;

в), причем они соответственно равны:

а)=;

б) =;

в)).

Преподаватель объясняет новый материал. Студенты фиксируют ход решения в тетради.

I. Вычисление предела функции непосредственной подстановкой предельного значения аргумента в выражение функции.

Если к данной функции, предел которой находится при стремлении аргумента к некоторому предельному значению, применимы теоремы о пределах суммы, произведения и частного функций, имеющих предел в точке, то вычисление предела сводится к подстановке этого предельного значения в функцию.

№50(№340 из[23]) . Найти предел .

Решение

Используем теорему о пределе суммы, произведения и частного функций, имеющих предел в точке.

Так как , то числитель дроби стремится к числу 4+2=22, а знаменатель стремится к числу 4+3=11. Следовательно, .

II. При отыскании предела отношения двух целых многочленов относительно переменной х при оба члена отношения полезно предварительно разделить на , где n-наивысшая степень этих многочленов.

№51(№13 стр.133[7]). Найти предел .

Решение

Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при . В таком случае говорят, что имеет место неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень х, т.е. на х, используя теорему о пределе суммы, произведения и частного функций, имеющих предел в точке получим, .

III. Вычисление предела функции, когда предел делителя и делимого равен нулю. Неопределенность вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность при , заданную отношением двух многочленов, надо и в числителе, и в знаменателе выделить критический множитель и сократить дробь на него.

Замечание: а) разложить числитель и знаменатель на множители по «догадке»;

б) либо, если такое разложение окажется затруднительным, то надо разделить числитель и знаменатель на по обычным правилам алгебры. Обеспечена выполнимость деления без остатка.

№52(№1 стр.97[7]). Найти предел .

Решение

Числитель и знаменатель дроби при стремятся к нулю (неопределенность вида ). И в числителе, и в знаменателе выделим критический множитель и сократим дробь на него.

, если , то . Но при дробь стремится к числу . Итак, .

IV. Неопределенность вида , где числитель и знаменатель заданы иррациональными выражениями.

Чтобы раскрыть неопределенность вида , где числитель и знаменатель заданы иррациональными выражениями, следует надлежащим образом избавиться от иррациональности.

№53(№334 из [10]). Найти предел .

Решение

1.Имеем неопределенность вида:.

2.Умножим числитель и знаменатель на сумму (), чтобы избавиться от иррациональности в числителе, используем формулу разности квадратов двух выражений:

непосредственная подстановка дает, что =.

V. Неопределенность вида , где задана разность двух иррациональных выражений.

Чтобы раскрыть неопределенность вида , следует надлежащим образом избавиться от иррациональности.

№54(№367 из [10]). Найти предел .

Решение

Здесь имеет место неопределенность вида . Умножим и разделим данное выражение на (), чтобы избавиться от иррациональности, используем формулу разности квадратов двух выражений:

.

Непосредственной подстановкой получаем, что =0.

После объяснения нового материала (для закрепления), преподаватель выписывает на доске номера задач: №№52,53(№№380, 393). Вызывает для решения примеров студентов. У доски (в зависимости от ее размеров) работают от 2 до 4 студентов под руководством преподавателя и активной помощи аудитории. Студенты фиксируют ход решения в тетради.

№55(№380 из[10]). Найти предел .

Решение

Имеем неопределенность вида: .Умножим числитель и знаменатель дроби на неполный квадрат суммы двух выражений , чтобы избавится от иррациональности в знаменателе, используем формулу разности кубов двух выражений:

. Непосредственная подстановка дает, что =3.

№56(№393 из[10]) . Найти предел .

Решение

При непосредственной подстановке вместо аргумента 0, имеем не определенность вида . Выделим критический множитель. Вынесем за скобки множитель х в числители и знаменателе. Сократим на х, так как х = .

Непосредственная подстановка дает, что =.

№57(№389 из [10]). Найти предел .

Решение

Используем теорему о пределе суммы, произведения и частного функций, имеющих конечный предел в точке.

Так как , то числитель дроби стремится к числу 3+2=5, а знаменатель стремится к числу 3+3=15. Следовательно, .

№58(№347 из [10]).Найти предел .

Решение

Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при . В таком случае говорят, что имеет место неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень х, т.е. на и воспользуемся теоремой о пределе суммы, произведения и частного функций, имеющих конечный предел в точке, получим, что

=

.

№59(№357 из [10]). Найти предел .

Решение

Здесь имеет место неопределенность вида . Умножим и разделим данное выражение на (), чтобы избавиться от иррациональности, используем формулу разности квадратов двух выражений:

.

Непосредственная подстановка дает, что =0.

После решения каждого примера преподаватель обращает внимание на трудности, которые могут возникнуть у студента при решении примеров.

В конце практического занятия преподаватель подводит итоги: «Итак, сегодня на практическом занятии мы познакомились со свойствами функции, имеющей предел в точке, свойствами предела функции, с переходом к пределу в неравенствах, пределом сжатой переменной, пределом суммы, произведения и частного двух функций, имеющих конечный предел в точке».

Домашнее задание: Практическое занятие № 12 из методических указаний [17].

Домашняя работа к практике №12

№60(№353 из [10]). Найти предел .

Решение

Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при . В таком случае говорят, что имеет место неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель данной дроби на старшую степень х, т.е. на и воспользуемся теоремой о пределе суммы, произведения и частного функций, имеющих предел в точке, получим, что

.

№61(№372 из [10]). Найти предел .

Решение

Числитель и знаменатель дроби при стремятся к нулю. Имеем неопределенность вида . И в числителе, и в знаменателе выделим критический множитель и сократим дробь на него.

, если то . Но при дробь стремится к числу . Итак, .

№62(№367 из [10]).Найти предел .

Решение

Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при . В таком случае говорят, что имеет место неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень х, т.е. на и воспользуемся теоремой о пределе суммы, произведения и частного функций, имеющих конечный предел в точке, получим, что

.

№63(№385 из [10]). Найти предел .

Решение

Числитель и знаменатель дроби при стремятся к нулю (неопределенность вида ). И в числителе, и в знаменателе выделим критический множитель и сократим дробь на него.

, если , то . Но при дробь стремится к числу . Итак, .

№64(№388 из [10]). Найти предел .

Решение

Числитель и знаменатель дроби при стремятся к нулю (неопределенность вида ). Умножим и разделим данное выражение на (), чтобы избавиться от иррациональности в числителе, используем формулу разности квадратов двух выражений.

=.

Непосредственная подстановка дает, что =.

№65(№397 из [10])

Найти предел .

Решение

Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при . В таком случае говорят, что имеет место неопределенность вида .

Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень х, т.е. на , воспользуемся теоремой о пределе суммы, произведения и частного функций, имеющих конечный предел в точке, получим, что

= .

№66(№403 из [10])

Найти предел .

Решение

Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают, при . В таком случае говорят, что имеет место неопределенность вида . Разделим числитель, и знаменатель данной дроби на старшую степень х, т.е. на и воспользуемся теоремой о пределе суммы, произведения и частного функций, имеющих конечный предел в точке, получим, что

.

№67(№406 из [10]). Найти предел .

Решение

В данном случае имеем неопределенность вида . И в числителе, и в знаменателе выделим критический множитель и сократим дробь на него.

. Числитель дроби стремится к 300, а знаменатель стремится к нулю, т.е. является бесконечно малой величиной, следовательно, рассматриваемая дробь - бесконечно большая величина и .

№67(№414 из [10]). Найти предел .

Решение

Числитель и знаменатель дроби при стремятся к нулю (неопределенность вида ). И в числителе, и в знаменателе выделим критический множитель и сократим дробь на него.