Разработка элективного курса по теме: "Кривые второго порядка" для учащихся старшей школы

r₁= а+, r₂= а - (1.6)

т. е. r₁+r₂=2a, и поэтому точка М располагается на эллипсе. Уравнение (1.4) называется каноническим уравнением эллипса. Величины а и Ь называются соответственно большой и малой полуосями эллипса (наименование «большая» и «малая» объясняется тем, что а>b). Если полуоси эллипса а и b равны, то эллипс представляет собой окружность, радиус которой равен R=a=b, а центр совпадает с началом координат.

4. Свойства эллипса

1°. Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Действительно, в уравнении (1.4) величины х и у фигурируют в четных степенях. Следовательно, если координаты х и у точки М удовлетворяют уравнению (1.4) (т.е. точка М располагается на эллипсе), то этому уравнению удовлетворяют координаты (-х, у) и (х, -у) симметричных ей точек относительно осей координат и координаты (-х, -у) точки, симметричной М относительно начала координат (рис. 7).

Таким образом, если эллипс задан своим каноническим уравнением (1.4), то главными осями этого эллипса являются оси координат, а центром эллипса - начало координат. Точки пересечения эллипса с главными осями называются вершинами эллипса. Точки А, В, С, D на рис. 7 - вершины эллипса. Очевидно, эти вершины имеют соответственно координаты

(-а,0), (0,b), (а,0), (0,-b).

Если эллипс представляет собой окружность, то любая прямая, проходящая через центр окружности, является осью симметрии. Отметим, что центром эллипса является точка пересечения главных осей

Рис. 7

Длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2а и 2b. Так как 2a > 2b, то главная ось, образующая в пересечении с эллипсом отрезок 2а, называется большой осью эллипса. Другая главная ось называется малой осью эллипса.

Если эллипс задан уравнением (1.4), то при а>b большой осью будет ось Ох, а малой - ось Оу. При b>а большой осью будет ось Оу, а малой - Ох.

Фокусы эллипса располагаются на его большой оси.

2°. Эллипс содержится внутри прямоугольника |x|a,

|у|b (на рис. 6.4 этот прямоугольник не заштрихован). В самом деле, из канонического уравнения (1.4) вытекает, что и , Эти неравенства очевидно, эквивалентны неравенствам |x|a и |y|b.

3°. Эллипс может быть получен посредством равномерного сжатия окружности. Рассмотрим окружность (рис. 6.5), заданную уравнением

(1.16)

Произведем теперь равномерное сжатие плоскости к оси Ох, т.е. такое преобразование, при котором точка с координатами (х, у) перейдет в точку с координатами (), причем х=, а =. Очевидно, при этом преобразовании окружность (1.16) перейдет в кривую, определяемую уравнением

т. е. в эллипс.

5. Гипербола.

Рис. 8

Гипербола

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек F_t и F₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Для вывода канонического уравнения гиперболы выберем начало координат в середине отрезка F₁F₂, а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 6.2. Пусть длина отрезка F₁F₂ равна 2с. Тогда в выбранной системе координат точки F₁ и F₂ соответственно имеют координаты (-с, 0) и (с, 0) Обозначим через 2а постоянную, о которой говорится в определении гиперболы. Очевидно, 2a<2с, т. е. а<.с.

Пусть М-точка плоскости с координатами (х, у) (рис. 6,2). Обозначим через r₁ и r₂ расстояния MF₁ и MF₂. Согласно определению гиперболы равенство

|r₁ - r₂| = 2a (1.7)

является необходимым и достаточным условием расположения точки М на данной гиперболе.

Используя выражения (1.2) для r₁ и r₂ и соотношение (1.7), получим следующее необходимое и достаточное условие расположения точки М с координатами х и у на данной гиперболе:

|(1.8)

Используя стандартный прием «уничтожения радикалов», приведем уравнение (6.8) к виду

(1.9)

где b²=a²-c² (1.10)

Мы должны убедиться в том, что уравнение (1.9), полученное путем алгебраических преобразований уравнения (1.8), не приобрело новых корней. Для этого достаточно доказать, что для каждой точки М, координаты х и у которой удовлетворяют уравнению (1.9), величины r₁ и r₂ удовлетворяют соотношению (1.7). Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые были сделаны при выводе формул (1.6), найдем для интересующих нас величин r₁ и r₂ следующие выражения:

а+, при x>0

r₁= - а - , при х<0

- а+, при x>0

r₂=

а - , при х<0 (1.11)

Таким образом, для рассматриваемой точки М имеем |r₁-r₂| =2а, и поэтому она располагается на гиперболе.

Уравнение (1.9) называется каноническим уравнением гиперболы. Величины а и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы.

6. Свойства гиперболы

1°.Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, которые называются вершинами гиперболы. Эта ось называется действительной осью гиперболы.

Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и поэтому называется мнимой осью гиперболы.

Таким образом, мнимая ось гиперболы разделяет плоскость на правую и левую полуплоскости, в которых расположены симметричные относительно этой оси правая и левая ветви гиперболы.

Справедливость указанного свойства симметрии гиперболы вытекает из того, что в уравнении (1.9) величины х и у фигурируют в четных степенях.

Рис. 9

Следовательно, если координаты х и у точки М удовлетворяют уравнению (1.9) (т.е. точка М располагается на гиперболе), то этому уравнению удовлетворяют координаты (-х, у) и (х,-у) симметричных ей точек относительно осей координат и координаты (-х,-у) точки, симметричной М относительно начала координат (рис. 6.6).

Таким образом, если гипербола задана своим каноническим уравнением (1.9), то главными осями этой гиперболы являются оси координат, а центром гиперболы - начало координат.

Убедимся теперь, что ось Ох является действительной осью гиперболы, точки А(-а, 0) и В (а, 0) - вершинами гиперболы и ось Оу является мнимой осью гиперболы. Для этого достаточно доказать, что ось Ох пересекает гиперболу в точках А и В, а ось Оу не имеет общих точек с гиперболой. Так как ординаты точек оси Ох равны нулю, то для выяснения величины абсцисс точек пересечения этой оси с гиперболой нужно в уравнении (1.9) положить у=0. После этого мы получим уравнение , из которого находятся абсциссы точек пересечения оси Ох с гиперболой. Полученное уравнение имеет решения х=-a и х=a. Следовательно, ось Ох пересекает гиперболу (т. е. является ее действительной осью) в точках А(-а, 0) и В (а, 0) (т. е. эти точки и есть вершины гиперболы). Поскольку абсциссы точек оси Оу равны нулю, то для ординат точек пересечения этой оси с гиперболой получаем из (1.9) уравнение , которое не имеет действительных решений. Следовательно, ось Оу является мнимой осью гиперболы.

Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.

2°. Рассмотрим область G, которая получена объединением прямоугольника D, координаты х и у точек которого удовлетворяют неравенствам |х|<а,|у|<b, и тех двух углов, образованных диагоналями этого прямоугольника, в которых располагается мнимая ось гиперболы (на рис. 6.6 эта область заштрихована). Убедимся, что в области G нет точек гиперболы.

Разобьем область G на две части G₁ и G₂, где G₁ представляет собой полосу, абсциссы x точек которой удовлетворяют неравенству |х|<a, a G₂ - остальная часть области G (Область G₁ представляет собой, очевидно, полосу, заключенную между безгранично продолженными вертикальными сторонами прямоугольника D. Область G₂ состоит из четырех частей, каждая из которых располагается в одном из координатных углов.)

Очевидно, в полосе G₁ нет точек гиперболы, так как абсциссы х точек, расположенных на гиперболе, удовлетворяют неравенству |х| а (Из канонического уравнения гиперболы вытекает, что ). Обратимся теперь к точкам области G₂. Заметим, что каждая точка G₂ либо лежит на диагонали прямоугольника D, либо за его диагональю. Поскольку диагонали D определяются уравнениями и то координаты х и у точек G₂ в силу их расположения удовлетворяют неравенству (Абсциссы х точек G₂ не равны нулю). Из этого неравенства вытекает неравенство из которого в свою очередь следуют неравенства . а так как для точек гиперболы , то в области G₂ нет точек гиперболы.

7. Парабола.

Рис. 10

Парабола

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, также расположенной в рассматриваемой плоскости.

Указанная в определении точка F называется фокусом параболы, а фиксированная прямая - директрисой параболы (Слово директриса означает направляющая).

Рис. 11

Для вывода канонического уравнения параболы выберем начало О декартовой системы координат в середине отрезка FD, представляющего собой перпендикуляр, опущенный из фокуса F на директрису (при этом фокус F не лежит на директрисе, ибо в противном случае точки плоскости, для которых были бы выполнены условия определения параболы, располагались на прямой, проходящей через F перпендикулярно директрисе, т. е. парабола выродилась бы в прямую.), а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис.6.3.

Пусть длина отрезка FD равна р. Тогда в выбранной системе координат точка F имеет координаты (,0)Пусть М - точка плоскости с координатами (х, у). Обозначим через r расстояние от М до F, а через d - расстояние от М до директрисы (рис. 6.3). Согласно определению параболы равенство r=d(1.12) является необходимым и достаточным условием расположения точки М на-данной параболе. Так как

 (1.13)

то, согласно (1.12), соотношение представляет собой необходимое и достаточное условие расположения точки М с координатами х и у на данной параболе. Поэтому соотношение (1.14) можно рассматривать как уравнение параболы. Путем стандартного приема «уничтожения радикалов» это уравнение приводится к виду

у² = 2рх. (1.15)

Убедимся в том, что уравнение (1.15), полученное путем алгебраических преобразований уравнения (1.14), не приобрело новых корней. Для этого достаточно доказать, что для каждой точки М, координаты x и y которой удовлетворяют уравнению (1.15), величины r и d равны (выполнено соотношение (1.12)).

Из соотношения (1.15) вытекает, что абсциссы х рассматриваемых точек неотрицательны,

т.е. х 0. Для точек с неотрицательными абсциссами . Найдем теперь выражение для расстояния r от точки М до F. Подставляя у из выражения (1.15) в правую часть выражения для r (1.13) и учитывая, что х 0, найдем, что . Таким образом, для рассматриваемых точек r=d, т. е. они располагаются на параболе.

Уравнение (1.15) называется каноническим уравнением параболы. Величина р называется параметром параболы.

8. Свойства параболы

Рис. 12

1°. Парабола имеет только одну ось симметрии (ось параболы), в отличии от эллипса и гиперболы. Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Действительно, в уравнении (1.15) величина у фигурирует в четной степени. Следовательно, если координаты х и у точки М удовлетворяют уравнению (1.15) (т. е. точка М располагается на параболе), то этому уравнению удовлетворяют координаты (х,-у) симметричной ей точки относительно оси Ох (рис. 6.8). Таким образом, если парабола задана своим каноническим уравнением (1.15), то осью этой параболы является ось Ох. Очевидно, вершиной параболы является начало координат.

2°. Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху. В самом деле, так как р>0, то уравнению (1.15) удовлетворяют координаты точек лишь с неотрицательными абсциссами. Такие точки располагаются в правой полуплоскости.

3°. Из рассуждений вытекает, что директриса параболы, определяемой каноническим уравнением (1.15), имеет уравнение (1.23)

4°. Любые две параболы подобны друг другу. Пусть у² = 2рх и у²=2р*х - канонические уравнения этих парабол в декартовой системе Оху, y=kx - уравнение произвольной прямой, проходящей через О, а (х, у) и (х*,у*) - координаты точек пересечения этой прямой с параболами. Используя канонические уравнения, получим

Из последних формул вытекает, что , эти равенства означают подобие рассматриваемых парабол относительно точки О.

5°. Отметим, что кривая у²=2рх при р<0 также является параболой, которая целиком располагается в левой полуплоскости плоскости Оху. Чтобы убедиться в этом, достаточно заменить х на -х и -р на р.

9. Директрисы эллипса, гиперболы и параболы

Определение параболы, базировалось на свойстве этой кривой, которое связано с ее фокусом и директрисой. Это свойство можно сформулировать также и следующим образом: парабола есть геометрическое место точек плоскости, для которых отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы есть величина постоянная, равная единице.

Оказывается, отличный от окружности эллипс и гипербола обладают аналогичным свойством: для каждого фокуса эллипса или гиперболы можно указать такую прямую, называемую директрисой, что отношение расстояния от точек этих кривых до фокуса к расстоянию до отвечающей этому фокусу директрисы есть величина постоянная.

1. Эксцентриситет эллипса и гиперболы. Обратимся к эллипсу (гиперболе). Пусть с - половина расстояния между фокусами эллипса (гиперболы), а - большая полуось эллипса (действительная полуось гиперболы).

Определение. Эксцентриситетом эллипса (гиперболы) называется величина е, равная

e=(1.24)

Учитывая связь величины с с длинами а и b большой и малой полуосей эллипса (с длинами действительной и мнимой полуосей гиперболы) (см. формулы (1.5) и (1.10)), легко получить следующие выражения для эксцентриситета е:

для эллипса(1.25)

для гиперболы (1.25')

Из формул (1.25) и (1.25') вытекает, что эксцентриситет эллипса меньше единицы, а эксцентриситет гиперболы больше единицы

Отметим, что эксцентриситет окружности равен нулю (для окружности b= а).

Два эллипса (две гиперболы), имеющих одинаковый эксцентриситет, подобны. В самом деле, из формулы (1.25) для эксцентриситета эллипса (из формулы (1.25') для эксцентриситета гиперболы) вытекает, что эллипсы с одинаковым эксцентриситетом имеют одинаковое отношение малой и большой полуосей (гиперболы с одинаковым эксцентриситетом имеют одинаковое отношение - мнимой и действительной полуосей). Такие эллипсы (гиперболы)" подобны

Эксцентриситет эллипса можно рассматривать как меру его «вытянутости»: чем больше эксцентриситет

Рис. 13

е (см. формулу (1.25)), тем меньше отношение - малой полуоси эллипса b

к его большой полуоси а. На рис. 6.9 изображены эллипсы с разными эксцентриситетами, но с одинаковой большой полуосью а.

Эксцентриситет гиперболы можно рассматривать как числовую характеристику величины раствора угла между ее асимптотами. В самом деле, отношение равно

тангенсу половины угла между асимптотами гиперболы.

Директрисы эллипса и гиперболы.

Рис. 14

1°. Директрисы эллипса. Мы выяснили, что любой, отличный от окружности, эллипс имеет большую и малую оси и центр - точку пересечения этих осей. Обозначим через с половину расстояния между фокусами F₁ и F₂ эллипса, через а его большую полуось и через О его центр (рис. 6.10).

Пусть е - эксцентриситет этого эллипса (так как эллипс отличен от окружности, то еО) и - плоскость, в которой расположен эллипс. Малая ось эллипса разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Обозначим через _i (i=1, 2) ту из этих полуплоскостей, в которой лежит фокус Fi (i=1, 2).

Определение. Директрисой D_i (i=1, 2) эллипса, отвечающей фокусу F_i (i=1,2), называется прямая, расположенная в полуплоскости _i (i = 1,2) перпендикулярно большой оси эллипса на расстоянии от его центра.

Выберем начало декартовой прямоугольной системы координат в середине отрезка F₁F₂. а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 6.10. Тогда, очевидно, уравнения директрис D_i (i=1,2) эллипс можно записать следующим образом:

уравнение директрисы D₁: x = -

уравнение директрисы D₂: х =

Директрисы эллипса расположены вне эллипса. Действительно, эллипс расположен в прямоугольнике |х|а, |у|b стороны которого перпендикулярны большой и малой осям эллипса.

Из определения директрис вытекает, что они параллельны двум перпендикулярным большой оси эллипса сторонам этого прямоугольника. Поскольку упомянутые стороны отстоят от центра эллипса на расстоянии а, а директрисы - на расстоянии >а (0<е<1), то директрисы расположены вне прямоугольника, а следовательно, и вне эллипса.

Как мы только что выяснили, директрисы расположены вне эллипса. Отсюда вытекает, что точки эллипса и его центр расположены по одну сторону от каждой из его директрис.

Обозначим через р расстояние от фокуса эллипса до соответствующей этому фокусу директрисы. Поскольку расстояние от центра эллипса до директрисы равно а расстояние от центра эллипса до фокуса равно с, то р равно -с. Так как с = ае, то для р получаем следующее выражение

(1.27)

Докажем теорему, выясняющую важное свойство отличного от окружности эллипса и его директрис.

Теорема 1.1. Отношение расстояния r_i от точки М эллипса до фокуса F_i к расстоянию d_i от этой точки до отвечающей этому фокусу директрисы D_i равно эксцентриситету е этого эллипса.

Доказательство. Пусть F₁ и F₂ - фокусы эллипса. Выберем декартову прямоугольную систему координат см. рис. 6.10. выше мы выяснили, что при таком выборе системы координат расстояния r₁ и r₂ от точки М(х,у) эллипса до фокусов F₁ и F₂ определяются формулами (1.6). Так как отношение -

равно эксцентриситету е этого эллипса, то для r₁ и г₂ мы получим выражения

r₁ = a+ex, r₂=а- ex.(1.28)

Найдем теперь расстояния d_i от точки М эллипса до директрис D_i. Используя уравнения директрис D_i (см. формулы (1.26)), легко убедиться в том, что нормированные уравнения директрис имеют вид

D_1:= 0 D₂: = 0 (1.29)

Так как точка М(х, у) эллипса и начало координат находятся по одну сторону от каждой из директрис, то расстояния d₁ и d₂ от точки М(х, y) до директрис D₁ и D₂ равны соответствующим отклонениям М(х, у) от D₁ и D₂, взятым со знаком минус, и мы получим (в силу (1.29)):

(1.30)

Используя формулы (1.28) и (1.30), найдем, что

Теорема доказана.

Директрисы гиперболы. Обозначим через с половину расстояния между фокусами F₁ и F₂ гиперболы, через а ее действительную полуось и через О ее центр (рис. 6.11). Пусть е - эксцентриситет этой гиперболы и - плоскость, в которой расположена гипербола. Мнимая ось гиперболы разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Обозначим через _i, (i=1,2) ту из этих полуплоскостей, в которой лежит фокус F_i (i=1,2).

Определение. Директрисой D_i (i=1,2) гиперболы, отвечающей фокусу F_i (i=1,2), называется прямая, расположенная в полуплоскости _i (i=1,2) перпендикулярно действительной оси гиперболы на расстоянии - от ее центра.

Выберем начало декартовой прямоугольной системы координат в середине отрезка F_iF₂, а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 6.11. Тогда, очевидно, уравнения директрис D_i (i=1,2) гиперболы можно записать следующим образом:

уравнение директрисы D_i:

уравнение директрисы D₂:

Рис. 15

Директрисы гиперболы целиком расположены в области G, не содержащей точек. В самом деле, ранее мы убедились, что полоса G₁ определяемая в выбранной системе координат Оху неравенством |х|<а, содержится в области G. Но эта полоса содержит директрисы гиперболы, так как, согласно (1.31), для точек директрис |x| =, либо для гиперболы е>1. Расположение директрис гиперболы указано на рис. 6.11.Следовательно, мы можем обосновать расположение директрис гиперболы, указанное на рис. 6.11. Очевидно, что точки левой (правой) ветви гиперболы и ее центр О расположены по разные стороны от директрисы D₁ (D₂), а точки правой (левой) ветви гиперболы и ее центр О расположены по одну сторону от директрисы D₁ (D₂).

Обозначим через р расстояние от фокуса гиперболы до соответствующей этому фокусу директрисы. Поскольку расстояние от центра гиперболы до директрисы равно а расстояние от центра гиперболы до фокуса равно с, то . Так как с=ае, то для р получаем формулу

(1.32)

Докажем теорему, выясняющую важное свойство гиперболы и ее директрис.

Теорема 1.2. Отношение расстояния r₁ от точки М гиперболы до фокуса F_i к расстоянию d_i от этой точки до отвечающей этому фокусу директрисы D_i равно эксцентриситету е этой гиперболы.

Доказательство. Для доказательства этой теоремы нужно рассмотреть следующие четыре случая: 1) точка M находится на левой ветви гиперболы, исследуется фокус F₁ и директриса D₁, 2) точка М находится на правой ветви гиперболы, исследуется фокус F₁ и директриса D₁; 3) точка М на левой ветви, фокус F₂, директриса D₂; 4) точка М на правой ветви, фокус F₂, директриса D₂. Так как рассуждения для каждого из случаев однотипны, то мы ограничимся лишь первым случаем. Начало декартовой прямоугольной системы координат в середине отрезка F_iF₂, а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 6.11. Так как абсцисса х любой точки М(х, у) левой ветви гиперболы отрицательна, то расстояние r₁ от этой точки до фокуса F₁ согласно формулам (1.11), равно . Так как , то для r₁ получим выражение

r₁=(1.33)