Разработка элективного курса по теме: "Кривые второго порядка" для учащихся старшей школы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Департамент образования города Москвы

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования города Москвы

«Московский городской педагогический университет»

Математический факультет

Кафедра математического анализа и методики его преподавания

Дипломная работа

по теме: «Разработка элективного курса по теме: «Кривые второго порядка» для учащихся старшей школы»

По специальности 050201.65 «Математика» с дополнительной специальностью «Информатика»

Москва, 2010

Введение

В настоящее время можно отметить возрастание таких мотиваций к обучению как стремление к более глубокому образованию. Поэтому эффективность обучения является одним из важнейших показателей обучения. Она заключается в том, как обеспечивается в процессе обучения психическое развитие ребенка и, в частности, развитие его мыслительных способностей. Следовательно, на уроке по любому предмету, в процессе обучения, необходимо развивать мышление учащихся. Применительно к математике можно сказать, что сам процесс ее изучения должен приводить к умению логически доказательно мыслить, умению отрываться от стереотипных действий, творчески подходить к решению задачи.

Существует немало школ, в которых на уроке математики большинство задач решается по определенным алгоритмам, и быстрота их решения зависит от знания учениками формул и умения их применять. При этом основное усложнение задачи производится за счет увеличения числа действий, увеличения чисел и т.п. Многие этапы решения таких задач у учеников приобретают автоматический характер, и они не задумываются над каждым из них. Отсюда нерациональное, а иногда и неправильное решение задачи.

Можно выделить следующие причины механического запоминания ряда действий при решении задач:

выбор метода решения не вызывает трудностей и сомнений;

решение сводится к одной и той же операции, которая может быть и довольно сложной, но состоящей из ряда элементарных операций;

решение задачи одним, иногда двумя способами;

предлагаемые задачи являются задачами одного типа, вследствие чего не являются непривычными.

Учащиеся очень быстро перестают применять изученные определения, теоремы, сокращая обоснование решения задачи. Поэтому система заданий должна составляться учителем так, чтобы нарушались вышеуказанные причины, т. к. нарушение хотя бы одной из них приводит к активизации мыслительной деятельности учащихся.

Наряду с обязательными учебными занятиями в общеобразовательных учреждениях используются и разнообразные формы учебной работы, проводимой вне расписания уроков. К таким формам учебной работы относят, в частности, элективные курсы. Элективные курсы представляют собой сверхпрограммные занятия, право выбора которых остается за учащимся, а посещение осуществляется на добровольной основе. Это своеобразная «творческая лаборатория» учителя. Здесь для него много возможностей: можно заниматься углубленным изучением тем, которые вызывают интерес; можно решать вместе с ребятами олимпиадные задачи; можно проводить исследования различных, как теоретических, так и практических задач. Нет обязательной программы, которая утверждается свыше, нет и оценок, которые порой так страшны для ребят, нет и ограничений по времени в течении которого следует изучать разбирать задачи данной тематики. В базовом школьном курсе геометрии практически не изучаются кривые и поверхности второго порядка - разделы аналитической геометрии. Предлагаемое в элективном курсе изучение свойств и форм линий второго порядка позволит расширить рамки математических знаний учащихся, позволит взглянуть по-новому на практическое применение математики, на её связь с другими отраслями знаний. Школьникам будет интересно узнать об оптических свойствах эллипса, гиперболы, параболы, о применении этих свойств на практике. Элективный курс включает учащихся в различные формы самостоятельной деятельности, совмещает математическую строгость изложения материала с математической красотой и математической занимательностью.

Целью данной работы является разработка элективного курса по теме «Кривые второго порядка», который может:

- Расширить кругозор учащихся.

- Развить математическое мышление

- Сформировать активный познавательный интерес к предмету

- Сформировать умения последовательно рассуждать, анализировать факты, обобщать их

- Сформировать представления о прикладных возможностях математики

- Содействовать профессиональной ориентации учащихся.

Для реализации поставленной цели было необходимо решить следующие задачи:

1. Изучить психолого-педагогические особенности старшего школьного возраста для обоснования возможности обучения учеников кривым второго порядка.

2. Проанализировать учебную литературу (программа по математике, школьные учебники) с точки зрения рассматриваемого вопроса.

3. Сформулировать педагогические требования к элективному курсу.

4. Обеспечить преемственность школьного материала и материала элективного курса

5. Обеспечить преемственность между общим и профессиональным образованием

Актуальность данной работы продиктована необходимостью обеспечить развитие кругозора учащихся, дополнительной мотивации к изучению предмета, содействию в дальнейшей профессиональной ориентации учащихся, соблюдая при этом преемственность общеобразовательного курса математики и элективного курса по теме «Кривые второго порядка».

Глава 1. Психолого-педагогические основы организации элективного курса в старшей школе

1.1 Старший школьный возраст

Это период ранней юности - период жизни и развития человека от 16 до 18 лет. Как правило, к концу этого периода юноши и девушки обычно достигают физической зрелости. Завершается период бурного роста и развития организма, наступает относительно спокойное время дальнейшего физического развития. Заметно нарастает мышечная сила и работоспособность, заканчивается формирование и функциональное развитие тканей и органов. Более отчетливыми становятся моральные понятия, оценки, крепнут этические убеждения. Чувство взрослости становится глубже и острее. Формируется принципиальность, развиваются убеждения, чувство долга и ответственности. Высокого уровня развития достигают волевые качества: самостоятельность, инициативность, настойчивость, выдержка. Юношеский возраст отличается богатством и многообразием переживаемых чувств. У старшеклассников усиливаются сознательные мотивы поведения. Важное значение имеет статус личности в коллективе. Старшеклассники, в отличие от ценящих физическую силу подростков, уважают интеллектуальные качества. Больше всего ценятся живость ума, находчивость, умение остро чувствовать проблему, быстро ориентироваться в материале, необходимом для ее решения. Авторитетом в классе пользуются учащиеся, имеющие проницательный ум, способные за видимыми фактами находить скрытые причины, предвидеть, строить смелые предположения. Кроме этого, в юношеском возрасте развивается умение комплексной оценки человека. Сравнение себя с идеалом стимулирует процесс самовоспитания, направленный на преодоление тех или иных недостатков и развитие отдельных положительных качеств. Юность - время самоутверждения, бурного роста самосознания, активного осмысления будущего, пора поисков, надежд и мечтаний. Происходят характерные изменения в умственном развитии юношей и девушек. Растет их сознательное отношение к труду и учению.[5]

Развитие высших психических процессов

У старшеклассников обычно ярко выражено избирательное отношение к учебным предметам. Потребность в значимых для жизненного успеха знаниях - одна из наиболее характерных черт нынешнего старшеклассника.

Восприятие

Восприятие характеризуется целенаправленностью. Заметно развивается, совершенствуется способность к переключению и распределению внимания. Последнее, в частности, сказывается в формирующемся умении одновременно слушать объяснения учителя, и вести запись лекции-беседы, следить за содержанием и формой своего ответа.

Память

В этом возрасте происходят важные процессы, связанные с перестройкой памяти. Активно развивается логическая память и скоро достигает такого уровня, что ребенок переходит к преимущественному использованию этого вида памяти, а также произвольной и опосредованной памяти. Процесс запоминания у старших школьников сводится к мышлению, к установлению логических отношений внутри запоминаемого материала, а припоминание заключается в восстановлении материала по этим отношениям.

Мышление

Существенные изменения происходят в мыслительной деятельности старших школьников, в характере умственной работы. Ведущей деятельностью в этом возрасте является учение. Большое значение приобретают уроки-лекции, самостоятельное выполнение практических работ, написание рефератов и докладов. В учении формируются общие интеллектуальные способности, особенно понятийное теоретическое мышление. Это происходит за счет усвоения понятий, совершенствования умения пользоваться ими, рассуждать логически и абстрактно.

Мыслительная деятельность приобретает такой уровень развития процессов анализа и синтеза, теоретического обобщения и абстрагирования, который делает вполне «возможной самостоятельную, в известной мере, творческую деятельность в определенных областях. Для юношей и девушек становятся характерными тенденция к причинному объяснению явлений, умение аргументировать, делать выводы, связывать изучаемое в систему. В раннем юношеском возрасте завершается формирование когнитивных процессов и, прежде всего, мышления. В эти годы мысль окончательно соединяется со словом, в результате чего образуется внутренняя речь как основное средство организации мышлении и регуляции других познавательных процессов.

Наряду с этим идет активный процесс формирования научных понятий, содержащих в себе основы научного мировоззрения человека в рамках тех наук, которые изучаются в школе. Приобретают окончательные формы умственные действия и операции с понятиями, опирающиеся на логику рассуждений и отличающие словесно-логическое, абстрактное мышление от наглядно-действенного и наглядно-образного. Юность - это период расцвета всей умственной деятельности.

Самостоятельность мышления приобретает определяющий характер и крайне необходима для самоутверждения личности. Взрослые, учителя часто безапелляционно отвергают наивные, односторонние, еще далеко незрелые заключения, создавая своей бестактностью предпосылки для конфликтов и недоразумений.

Общая характеристика познавательных процессов

Познавательные процессы (восприятие, память, мышление, воображение) входят как составная часть в любую человеческую деятельность и обеспечивают ту или иную ее эффективность. Когда говорят об общих способностях человека, то также имеют в виду уровень развития и характерные особенности его познавательных процессов, ибо, чем лучше развиты у человека эти процессы, тем более способным он является, тем большими возможностями он обладает. От уровня развития познавательных процессов учащегося зависит легкость и эффективность его учения. Человек рождается с достаточно развитыми задатками к познавательной деятельности, однако познавательные процессы новорожденный осуществляет сначала неосознанно, инстинктивно. Ему еще предстоит развить свои познавательные возможности, научиться управлять ими. Поэтому уровень развития познавательных возможностей человека зависит не только от полученных при рождении задатков (хотя они играют значительную роль в развитии познавательных процессов), но в большей мере от характера воспитания ребенка в семье, в школе, от собственной его деятельности по развитию интеллектуальных способностей.

Познавательные процессы осуществляются в виде отдельных познавательных действий, каждое из которых представляет собой целостный психический акт, состоящий нераздельно из всех видов психических процессов. Но один из них обычно является главным, ведущим, определяющим характер данного познавательного действия. Только в этом смысле можно рассматривать отдельно такие психические процессы, как восприятие, память, мышление, воображение. Познание человека объективной действительности начинается с ощущений и восприятия. Но, начинаясь с них, познание действительности не заканчивается, а переходит к мышлению.

Мышление как психический процесс

Мышление имеет целенаправленный характер. Необходимость в мышлении возникает, прежде всего, тогда, когда в ходе жизни и практики перед человеком появляется новая цель, новая проблема, новые обстоятельства и условия деятельности. Мышление ребенка зарождается и развивается сначала в процессе наблюдения, которое является не чем иным, как более или менее целенаправленным мыслящим восприятием. Мышление представляет собой активную целенаправленную деятельность, в процессе которой осуществляется переработка имеющейся и вновь поступающей информации - анализ и синтез. Анализ - это выделение в объекте тех или иных его сторон, элементов, свойств, связей, отношений и т.д.; это расчленение познаваемого объекта на различные компоненты. В отличие от анализа синтез предполагает объединение элементов в единое целое. Анализ и синтез всегда взаимосвязаны. Неразрывное единство между ними отчетливо выступает уже в познавательном процессе сравнения. Всякое сравнения предметов начинается с сопоставления или соотнесения их друг с другом, т.е. начинается с синтеза. В ходе этого синтетического акта происходит анализ сравниваемых явлений, предметов, событий и т.д. - выделение в них общего и различного. Так сравнение ведет к обобщению.

1.2 Психологические особенности восприятия в старшем школьном возрасте

“Восприятие - отражение предметов и явлений, целостных ситуаций объективного мира в совокупности их свойств и частей при непосредственном воздействии их на органы чувств” [20].

Иногда наши органы чувств подводят нас, как бы обманывают. Это называется иллюзией. Зрение поддается иллюзиям больше, чем другие органы чувств. Это нашло отражение и в разговорной речи и в пословицах: “ не верь глазам своим”, “ обман зрения”. На уроках математики также можно столкнуться с этой психологической особенностью восприятия. Например, в геометрических чертежах диагональ большего четырехугольника кажется больше диагонали меньшего, хотя объективно обе диагонали равны [рис.1].



Рис. 1

Восприятие человека не возможно без деятельности памяти и мышления. Большое значение в процессе восприятия имеет речь, название, т.е. словесное обозначение, предмета.

Основным способом развития восприятия является наблюдение. Наблюдение - восприятие, тесно связанное с деятельностью мышления - сравнением, различением, анализом. Наблюдение - планомерное, целенаправленное восприятие. Наблюдать - значит не просто смотреть, а рассматривать, не просто слушать, а вслушиваться. Наблюдение всегда осуществляют с определенной целью.

Восприятие, внимание, мышление и речь объединяются при наблюдении в единый процесс умственной деятельности.

Умение наблюдать и подмечать характерные, но мало заметные особенности предметов, явлений, людей называется наблюдательностью. Она тесно связана с развитием профессиональных интересов человека.

Умение наблюдать играет огромную роль в самых разнообразных областях человеческой деятельности.

Наблюдательность прекрасно развита у художников, писателей, поэтов. Она необходима и педагогу. Без внимательных постоянных наблюдений невозможно сколько-нибудь глубоко понять психологические особенности ребенка и наметить правильные пути его развития и воспитания.

Совершенствование и развитие восприятия и наблюдения происходит в активной деятельности, в огромной мере в учебной деятельности. Чем старше школьник, тем более содержательным становится его восприятие, увеличивается объем воспринимаемого, восприятие становится плановым, последовательным, преднамеренным и всесторонним. Юноша уже способен ставить определенную цель - воспринимать те стороны предмета или явления, которые необходимы для получения определенных знаний, конечно, это в значительной мере определяется руководством учителя.

Юноша уже воспринимает довольно сложные явления. Этого требует все усложняющаяся учебная деятельность. Учителю необходимо добиваться того, чтобы предмет или явление воспринималось учащимися разносторонне в совокупности всех своих частей и различных признаков.

При восприятии человек познает не отдельные свойства предметов и явлений, а предметы и явления окружающего мира в целом. Рассмотрим некоторые вопросы целостности восприятия. Тогда, когда ясно виден психологический продукт, который нужно получить в результате обучения, можно правильно и целенаправленно построить методику обучения. Прежде чем учить, надо знать, чему учить [22].

1.3 Математическое мышление

Анализируя понятие мышления в целом, возникает вопрос об особенностях мышления подростка при постановке тех или иных математических задач. Мы будем рассматривать мышление подростка в преломлении к проблемам и задачам математики.

Понятию «математическое мышление», «математическое творчество», уделялся и уделяется особый интерес. Примерами могут послужить работы таких ученых, как А. Пуанкаре «Математическое творчество», Г. Гельмгольц «Как приходят новые идеи», И. Р. Шафаревич «Математическое мышление и природа». Каждый из перечисленных ученых сам является математиком, поэтому привносит в изучение данного вопроса свой личный опыт, который, в свою очередь, может быть очень полезен. Б. В. Раушенбах подчеркивает, что процесс поиска решения в «логических» задачах, например, при разработке некоторой математической проблемы, привлекает внимание исследователей. Однако изучение этой стороны деятельности человеческой психики находится еще в стадии накопления результатов наблюдений.

Математическое мышление - это один из видов мышления, направленный на решение математических проблем и задач, характеризующийся использованием математических понятий и символов.

Мыслительная деятельность приобретает в юношеском возрасте особую значимость и является важным психологическим новообразованием.

Когнитивные и психофизические изменения в отрочестве, их совершенствование и расширение требует изучения этого вопроса в преломлении к определенному возрастному периоду. Рассмотрим особенности развития мышления в подростковом возрасте.

В подростковом и юношеском возрасте активно идет процесс познавательного развития. Подростки уже могут мыслить логически, заниматься теоретическими рассуждениями. Важнейшее приобретение подросткового возраста - это умение оперировать гипотезами. К старшему школьному возрасту дети усваивают многие научные понятия, обучаются пользоваться ими в процессе решения различных задач [18]. Подростки стремятся понять логику явлений, отказываются что-либо принимать на веру, требуют системы доказательств [20]. Вследствие роста когнитивных умений, таких, как текущий самоконтроль и саморегуляция, подростки могут размышлять о своих собственных мыслительных процессах и о мышлении других людей. Развитие самосознания учащегося находит свое выражение в изменении мотивации основных видов деятельности. В частности, на интересной, интеллектуально захватывающей деятельности или на такой работе, которая мотивирована соображениями престижности, подростки могут длительное время удерживать внимание, быть в состоянии переключать действия. Изучаемый в школе материал становится для подростка условием для построения и проверки своих гипотез. Подростки могут формулировать свои гипотезы, исследовать и сравнивать между собой различные альтернативы при решении одних и тех же задач [9].

Исследуемая психологическая литература позволяет сделать предварительные выводы о мышлении подростка:

Ребенок-подросток приходит к мышлению в понятиях. Высока значимость теоретического мышления.

Не регрессируют, а развиваются другие виды мышления, взаимно дополняя друг друга.

Подросток может размышлять о своих мыслительных процессах и мышлении других людей. Мышление становится когнитивным.

В мышлении подростка большую роль играет мотивация.

В подростковом возрасте формируется стиль мышления.

Подростку становится доступным осознание ошибки, допущенной в процессе мышления.

Итак, мы можем сказать, что мышление подростка - это опосредованное и обобщенное познание объективной реальности, вплетенное во всю его психологическую жизнь и связанное с его возрастными и личностными особенностями.

1.4 Элективные курсы в обучении

1.4.1 Цель, задачи, функции элективных курсов

Элективные курсы (курсы по выбору) - новый элемент учебного плана, играющий важную роль в системе профильного обучения на старшей ступени школы. В отличие от факультативных курсов, существующих ныне в школе, элективные курсы - обязательны для старшеклассников [11].

Цель изучения элективных курсов - ориентация на индивидуализацию обучения и социализацию учащихся, на подготовку к осознанному и ответственному выбору сферы будущей профессиональной деятельности [11].

Элективные курсы должны помочь в решении следующих задач:

1). Создание условий для того, чтобы ученик утвердился или отказался от сделанного им выбора направления дальнейшего учения и связанного с определенным видом профессиональной деятельности.

2). Оказание помощи старшекласснику, совершившему в первом приближении выбор образовательной области для более тщательного изучения, в рассмотрении многообразия видов деятельности, с ней связанных [21].

В соответствии с целями и задачами профильного обучения элективные курсы могут выполнять различные функции:

· повышение уровня изучения базовых учебных предметов;

· изучение смежных учебных предметов на профильном уровне; реализация межпредметных связей, интеграция разрозненных представлений, сформированных в рамках отдельных учебных предметов, в целостную картину мира;

· подготовка к сдаче экзаменов на повышенном уровне для учеников, изучающих предмет на базовом уровне;

· ориентация в особенностях будущей профессиональной деятельности, “профессиональная проба”;

· ориентация на совершенствование навыков познавательной, организационной деятельности [11].

Каждая из указанных функций может быть ведущей, но в целом они должны выполняться комплексно.

1.4.2 Типы элективных курсов

Можно условно выделить следующие типы элективных курсов.

I. Предметные курсы, задача которых - углубление и расширение знаний по предметам, входящих в базисный учебный план школы.

Предметные элективные курсы можно разделить на несколько групп.

1. Элективные курсы повышенного уровня, направленные на углубление учебного предмета, имеющие тематическое и временное согласование с этим учебным предметом.

2. Элективные курсы, в которых углубленно изучаются отдельные разделы основного курса, входящие в обязательную программу данного предмета («Применение производной к исследованию функций»).

3. Элективные курсы, в которых углубленно изучаются отдельные разделы основного курса, не входящие в обязательную программу данного предмета («Теория вероятности», «Математическая логика»).

4. Прикладные элективные курсы, цель которых - знакомство учащихся с путями и методами применения знаний на практике, развитие интереса учащихся к современной технике и производству.

5. Элективные курсы, посвященные изучению методов познания природы.

6. Элективные курсы, посвященные истории предмета, как входящего в учебный план школы («История математики», «Великие математики»), так и не входящего в него («История религии»).

7. Элективные курсы, посвященные изучению методов решения задач (математических, физических, химических, биологических и т.д.), составлению и решению задач на основе физического, химического, биологического эксперимента.

II. Межпредметные элективные курсы, цель которых - интеграция знаний учащихся о природе и обществе («Математические методы в экономике»).

III. Элективные курсы по предметам, не входящим в базисный учебный план [6].

1.4.3 Элективные курсы на этапе предпрофильной подготовки

Реализация идеи обязательной профильности старшей ступени, ставит выпускника основной школы перед необходимостью совершения ответственного выбора. Выбор подросток должен совершить и в отношении индивидуальной образовательной траектории (или профессиональной, если основная школа становится последним этапом школьного образования) и относительно предварительного самоопределения в отношении профилирующего направления собственной деятельности. Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования предполагает создание условий в основной школе, позволяющие ученику совершить этот выбор, а именно - введение предпрофильной подготовки через организацию курсов по выбору [21].

На этапе предпрофильной подготовки элективные (обязательные курсы по выбору) курсы поддерживают у школьников интерес к той или иной учебной дисциплине. Проверяют возможности, способности ребят. Помогают им выбирать профиль обучения в старшей школе, т.е. имеют развивающую, деятельностную, практическую направленность.

Основные цели, стоящие перед элективными курсами в основной школе:

· создать условия, способствующие осознанному выбору профиля обучения в старшей школе;

· способствовать формированию личной ответственности учащихся за сделанный выбор профиля обучения в старшей школе [21].

В 10-11 классах целью элективного курса является расширение, углубление знаний, выработка специфических умений и навыков, знакомство с новыми областями науки в рамках выбранного профиля.

Это главные отличия элективных курсов в 9-х классах и в 10-11-х классах, а требования к их разработке и оформлению сходны.

1.4.4 Мотивы выбора школьниками элективных курсов

Так как элективные курсы выбираются самими учащимися, они должны соответствовать их потребностям, целям обучения и мотивам выбора курса. Следует отметить, что к основным мотивам выбора элективных курсов в 9-11 классе, которые следует учитывать при разработке и реализации элективных курсов относятся:

· подготовка к экзаменам по профильным предметам;

· приобретение знаний и навыков, освоение способов деятельности для решения практических, жизненных задач;

· возможности успешной карьеры, продвижения на рынке труда;

· любопытство;

· поддержка изучения базовых курсов;

· профессиональная ориентация;

· интеграция имеющихся представлений в целостную картину мира [11].

1.4.5 Требования к содержанию программ элективных курсов

Базой для работы учителя, ведущего элективный курс, могут стать программы факультативных курсов, разнообразные учебные пособия. На их основе учитель будет составлять свой элективный курс с учетом уровня подготовленности учеников; наличия тех или иных средств обучения в школе; личных интересов и т.д. Даже если предположить, что учитель купит учебно-методический комплект специально созданный «под элективный курс», то трудно предположить, что им не будет сделано в программе каких-то изменений. Что необходимо учитывать при разработке элективного курса?

Базовыми требованиями к содержанию программ элективных курсов являются следующие:

ориентация на современные образовательные технологии;

соответствие учебной нагрузки учащихся нормативам;

соответствие принятым правилам оформления программ;

наличие пособия, содержащего необходимую информацию;

краткосрочность проведения курса;

развитие содержания одного из базовых курсов, изучение которого осуществляется на минимальном общеобразовательном уровне, что позволяет поддерживать изучение смежных предметов на предпрофильной уровне;

удовлетворение познавательных интересов школьника в различных областях деятельности человека;

8) ознакомление учащихся с комплексными проблемами, выходящими за рамки традиционных учебных предметов [17].

1.4.6 Элективные курсы в образовательной области «Математика»

Среди школьных предметов математика занимает совершенно особое место. В середине прошлого века в старших классах отечественной школы много внимания и как следствие учебного времени уделялось математике.

Специфика преподавания математики в старших классах во многом определяется тем, что экзамен по математике (в данное время по алгебре и началам анализа) является обязательным для всех школьников. В настоящее время этот экзамен проводится в виде ЕГЭ. Единый государственный экзамен по математике - процедура серьезная, требующая специальной подготовки.

Математику, в отличие от других предметов, сдают в вузах разного профиля (математических, естественнонаучных, технических, экономических, военных, связанных с математической лингвистикой и т. д.). С введением ЕГЭ на учителя математики явно или неявно возлагается еще большая ответственность за сдачу его выпускниками вступительных экзаменов в вуз.

Из вышеизложенного можно сделать вывод, что в профильной школе математика займет весьма важное место, большинство учителей математики будут заинтересованы во введении элективных курсов.

С другой стороны, очень важен вопрос о том, какие это будут элективные курсы, как учителя распорядятся отведенным на этот элемент образовательной программы временем.

Можно прогнозировать, что очень многие преподаватели математики захотят, явно или неявно, использовать элективные курсы для закрепления содержания основной программы и/или подготовки учащихся к ЕГЭ.

Несмотря на это, в настоящее время основная цель образования связывается с развитием личности и ее способности к активной деятельности, хотя еще недавно основная цель овладения знаниями состояла в основном в освоении готовых знаний, обобщении результатов созданного предшествующими поколениями. Внедрение элективных курсов, объединяющих две древнейшие науки: математику и философию. По О. Шпендлеру, «математика… есть тоже искусство».

Весь курс математики, как правило, строится на решении различных по степени важности и трудности задач. Совершенно ясно, что любую теорему тоже можно и нужно рассматривать как задачу, ее доказательство - как решение этой задачи, а различные следствия из доказательства (использование доказанного в различных областях) - как приложения этой задачи. Ученик должен чувствовать эстетическое удовлетворение от красиво решенной задачи, от установленной им возможности приложения математики к другим наукам. К этой цели стремятся авторы многих программ элективных курсов по математике [6]. Важной целью обучения на элективных курсах является знакомство учащихся с математикой как с общекультурной ценностью, выработка понимания ими того, что математика является инструментом познания окружающего мира и самого себя.

Глава 2. Разработка элективного курса по теме: «Кривые второго порядка»

2.1 Сравнительный анализ учебников по геометрии для 10-11-х классов

В процессе написания работы была проанализирована литература по геометрии с целью выявления способа введения материала в 10-11-х классах по данной теме.

такие кривые как парабола и гипербола отдельно не рассматриваются, а эллипс вводится через задачу, в которой учащимся предстоит выяснить, в какую фигуру В учебнике геометрии за 11 класс автора И.М. Смирнова (гуманитарный профиль)переходит окружность при параллельном проектировании.

«Пример Выяснить, какая фигура является параллельной проекцией окружности.

Решение. Пусть F - окружность в пространстве, F' - ее проекция на плоскость к в направлении прямой I. Если прямая I параллельна плоскости окружности или лежит в ней, то проекцией окружности является отрезок, равный диаметру окружности. Рассмотрим случай, когда прямая I пересекает плоскость окружности.

Рис. 2

Пусть AB - диаметр окружности, параллельный плоскости его проекции на эту плоскость. Тогда АВ = А'В'. Возьмем какой, другой диаметр CD и пусть C'D' - его проекция. Обозначим отношение С'D': CD через k. Так как при параллельном проектировании сохраняются параллельность и отношение длин параллельных отрезков, то для произвольной хорды C₁D₁, параллельной диаметру CD, ее проекция С₁'D₁' параллельна C'D' и отношение C₁'D₁': C₁D₁ будет равно k.

Таким образом, проекция окружности получается сжатием или растяжением окружности в направлении какого-нибудь ее диаметра в то же число раз. Такая фигура на плоскости называется эллипсом».

В учебнике по геометрии для 10-11-х классов (профильный уровень) наряду с введением эллипса как и в гуманитарном, предусмотрено расширение курса, в котором рассматриваются кривые: гипербола, парабола и эллипс более подробно. Рассмотрим способ введения каждой из них.

Первой рассматривается парабола, как геометрическое место точек. Далее представлен способ построение с помощью линейки, угольника и нити. Вводится определение оси параболы, как прямая, проходящая через фокус и перпендикулярная директрисе, вводится определение касательной, и доказывается теорема.

Рис. 3

«Пусть А - точка на параболе с фокусом F и директрисой d, AD - перпендикуляр, опущенный на директрису (рис 343). Тогда касательной к параболе, проходящей через точку А, будет прямая, содержащая биссектрису угла FAD».

На основе этой теореме вводится фокальное свойство параболы и рассматривается задача о построении касательной к параболы. В конце материала по параболе предусмотрена небольшая лабораторная работа, в которой учащимся предлагается получить параболу из листа бумаги.

Далее авторы вводят эллипс, также как и парабола, эллипс вводится как геометрическое место точек. Дается определение фокуса и способ построение эллипса с помощью нитки и карандаша. Далее вводится определение касательной к эллипсу, как прямой имеющей одну общую точку с эллипсом, и точку касания, как общую точку и доказывается теорема:

Рис. 4

«Пусть А - произвольная точка эллипса с фокусами F₁,F₂. Тогда касательной к эллипсу, проходящей через точку А, является прямая, содержащая биссектрису угла, смежного с углом F₁AF₂.»

Далее авторы вводят фокальное свойство эллипса, и рассматривается задача о построении касательной к эллипсу, решить которую предлагается с помощью циркуля и линейки. И в завершении дается лабораторная работа, в которой предлагается учащимся сделать эллипс из листа бумаги.

Последняя кривая, которая предлагается учащимся при изучении данной темы это гипербола. Она вводится аналогично предыдущим кривым: дается определение гиперболы как геометрического места точек, обладающих заданным свойством. Далее предложен способ построения с помощью линейки нити и карандаша. Доказывается теорема о касательной к гиперболе и вводится фокальное свойство гиперболы. В конце изучаемого материала представлена лабораторная работа, которая предлагает способ получения гиперболы из листа бумаги.

После каждой темы предусмотрены задания, которые обеспечат первичное закрепление материала по теме. Так же необходимо отметить, что данный материал является дополнительным (в учебнике он помечен звездочкой) и не обязателен для изучения в школе.

Рассмотрим как вводится понятие кривых второго порядка в учебнике по геометрии за 10-ый класс авторов А.Д. Александрова, А.Л. Вернера, В.И. Рыжика.

Эллипс вводится значительно раньше гиперболы и параболы также, как это делает и И.М. Смирнова, через проекцию окружности на плоскость.

Авторы перечисляют основные свойства кривых второго порядка, но эти свойства не доказываются, а предлагается выполнить доказательство учащимся самостоятельно. В тексте также указанно, что окружность является частным случаем эллипса. Гипербола и парабола вводятся авторами позже во второй главе и даются уже как конические сечения прямого кругового конуса. Там же, во второй главе, доказывается, что эллипс тоже является кривой сечения.

После введения кривых, как кривых сечения авторы объединяет их в один класс «невырожденные» и вводит общее для всех уравнение ax²+2bxy+cy²+dx+eyt=0, из этого уравнения авторы выводят взаимосвязь между параметрами a,b,c,d,e,f и такими фигурами как гипербола, эллипс, парабола. Указывается место конических сечений в жизни, природе.

Рассмотрим учебник по геометрии под редакцией А.В. Погорелова, 10-11 классы (базовый и профильный уровень)

Автор вводит последовательно эллипс гиперболу и параболу. Эти кривые вводятся как геометрические места точек. Отталкиваясь от определений, автор приходит к каноническим уравнения. Далее водятся такие понятия как эксцентриситет, для эллипса и гиперболы, и директриса для параболы, и дается понятие кривой второго порядка «как мы видим, конические уравнения эллипса, гиперболы и параболы , как и окружности x²+y²=R², представляют собой уравнения второй степени относительно координат х и у. Поэтому они называются кривыми второго порядка». Автор дает также определение кривых как конических сечений, отталкиваясь при этом от значений эксцентриситета. Но свойства эллипса, гиперболы и параболы не даются. После данного параграфа предусмотрены вопросы для первичного закрепления материала, в числе которых есть несколько вопросов по кривым второго порядка, рассчитаны они на закрепление таких понятий как: определения эллипса, гиперболы и параболы как геометрического места точек, и связи между значением эксцентриситета и типами кривых.

Данный материал включен в раздел избранные вопросы планиметрии и является дополнительным.

В учебнике Е.В. Потоскуева и Л.И. Звавич за 11 класс, под научной редакцией А.Р. Рязановского (для классов с углубленном и профильным изучением математики) материал о кривых второго порядка дается в разделе дополнение в главе «О поверхностях второго порядка», в которой дается дополнительный материал по уже ранее изученным понятиям в курсе планиметрии. В этой главе кривые второго порядка водятся «как плоские сечения конической поверхности». Авторы выделяют три принципиально различных случая расположения секущей плоскости по отношению к конической поверхности вращения. Подробно рассматривая каждый из них авторы приходят к трем типам сечения и, опираясь на определения в курсе планиметрии доказывают что эти сечения являются эллипсом гиперболой и параболой и относят эти кривые к классу собственных, или невырожденных конических сечений. Свойства кривых второго порядка авторы не дают.

Таким образом, нами представлены наиболее распространенные способы введения кривых второго порядка в школе.

Проанализировав содержание курса математики в различных учебниках, можно сказать, что данная тема не является обязательной для изучения в старшей школе. К сожалению, школьный курс не позволяет рассмотреть эти кривые детально, как правило, даются только одно свойство каждой кривой, это фокальное свойство. Исходя из вышеперечисленного, мы считаем целесообразным создание элективного курса по теме «Кривые второго порядка».

2.2 Разработка элективного курса по теме: «Кривые второго порядка»

Опираясь на ранее описанный материал, считаем возможным использовать следующую структуру элективного курса:

1. Познакомить с историей изучения кривых;

2. Рассказать о способах образования кривых;

3. Определение эллипса, параболы, гиперболы, как геометрического места точек плоскости;

4. На основе определений вывести канонические уравнения кривых второго порядка;

5. Опираясь на каноническое представление показать основные свойства эллипса, гиперболы и параболы;

6. Ввести понятия «эксцентриситет», «директриса»;

7. Сформулировать определение эллипса, гиперболы, параболы на языке директрис;

8. Дать определение касательных к эллипсу гиперболе, параболе, формулы касательных, вывести формулы касательных;

9. Познакомить с фокальными свойствам кривых второго порядка;

10. Рассмотреть эллипс, параболу и гиперболу как конические сечения;

11. Познакомить учащихся с законами Кеплера, траекториями движения планет;

Примерное почасовое планирование

№	Тема	Количество часов
1.	История изучения кривых	0,5
2.	Способы образования кривых	0,5
3.	Эллипс	2
4.	Гипербола	2
5.	Парабола	2
6.	Директриса и эксцентриситет кривых второго порядка	2
7.	Касательные к кривым второго порядка	1
8.	Фокальные свойства кривых второго порядка	2
9.	Эллипс, парабола и гипербола как конические сечения	1
10.	Законы Кеплера	1
11.	Движения по орбитам	3
12.	Итоговое занятие	1

Всего 18 часов.

1. История изучения плоских кривых

Понятие кривой определилось в сознании человека в доисторические времена. Траектория брошенного камня, струя воды, лучи света, очертания цветов и листья растений, извилистая линия берега реки и моря и другие явления природы привлекали внимание наших предков и, наблюдаемые многократно, послужили основой для постепенного установления понятия кривой.

Однако потребовался большой исторический период прежде чем люди стали сравнивать между собой формы кривых и отличать одну кривую от другой. Первые рисунки на стенах пещерного жилища, примитивные орнаменты, украшавшие домашнюю утварь, свидетельствуют о том, что люди научились уже не только отличать прямую от кривой, но и различать формы отдельных кривых и в их сочетаниях находить удовлетворение зарождающихся эстетических потребностей. Но всё это было ещё далеко от того абстрактного понимания кривой, которым располагает математика сейчас.

Правда, исторические памятники глубокой древности показывают, что у всех народов на известной ступени их развития имелось понятие окружности, не говоря уже о прямой линии. Употреблялись примитивные инструменты для построения этих линий и были попытки измерять площади, ограничиваемые прямыми и окружностью. Как видно, например, из древнейшего памятника математической культуры - «папируса Ринда», египтяне за 17 - 20 веков до начала нашей эры занимались квадратурой круга и получили довольно хорошее приближение для числа , равное , или 3, 1604. Но лишь с возникновением математики как науки стало развиваться учение о кривых, достигшее в трудах греческих математиков высокого совершенства.

Греческие учёные создали теорию конических сечений - кривых второго порядка, имеющих особенно большое значение в науке и технике. Открытие их приписывается Менехму (4 век до н.э.), ученику Евдокса Книдского и, как полагают, учителю Александра Македонского. Менехм определял эти кривые как сечения конуса плоскостью, перпендикулярной к его образующей.

Что послужило поводом к этому открытию? Может быть, поиски решения знаменитой делосской задачи об удвоении куба, может быть практический вопрос о том, насколько должен быть вытянут овал, находящийся в качестве архитектурного сооружения на фронтоне здания, чтобы с известного места перед зданием он казался кругом.

Есть данные полагать, что Менехм знал свойства параболы и гиперболы, выражаемые в наши дни равенствами y²=2px и xy=c, и использовал эти свойства для делосской задачи удвоения куба. К сожалению, это первое сочинение по теории конических сечений было утеряно. Также не дошла до нас работа греческого геометра Аристея, написавшего пять книг о пространственных местах», из которых много заимствовал Евклид для своей (также утраченной) работы о конических сечениях.

Архимед решил задачу о квадратуре сегмента параболы. Сравнивая фигуры, вписанные в эллипс и в окружность, построенную на большой оси эллипса как на диаметре, он определил и площадь эллипса.

Однако все сведения о конических сечениях были ещё разрозненны. Первая методическая обработка конических сечений принадлежит Аполлонию Пергскому (3 - 2 в. до н.э.). Это был трактат «О конических сечениях». В своём трактате Аполлоний систематизировал всё, что было известно до него, и открыл ряд важных свойств, установил их названия.

К кривым второго порядка математическая наука обратилась только в 17 веке, в связи с созданием аналитической геометрии.

2. Способы образования кривых второго порядка

Исследование особенностей формы кривой второго порядка и её свойств средствами дифференциальной геометрии возможно, когда кривая выражена в аналитической форме, т.е. уравнением. Однако, прежде чем исследовать уравнение кривой, необходимо его составить на основании некоторых данных. Для этого надо рассмотреть способы образования кривых.

1. Кривая определяется как линия пересечения данной поверхности плоскостью, положение которой определено.

В истории развития учения о кривых этот способ является первым. Греки определяли кривые второго порядка как сечения кругового конуса. Таково же происхождение кривых Персея, получаемых в результате сечений плоскостью поверхности тора. Эвольвента круга может быть определена как линия пересечения поверхности касательных к винтовой линии, перпендикулярной к её оси и т.д.

2. Кривая определяется как геометрическое место точек, обладающих данным свойством.

Этот способ особенно употребителен. Он широко практиковался ещё греческими математиками; так Евклид рассматривал конические сечения как геометрические места точек, сохраняющих постоянное отношение расстояний от данной точки и от данной прямой. Как геометрическое место точек была определена Диоклесом его циссоида. Таким же способом определяет Никомед конхоиду. Такие линии, как овалы Декарта, овалы Кассини, улитка Паскаля, строфоида, верзиера и целый ряд других кривых, определяются обычно как геометрические места.

3. Кривая определяется как траектория точки, характер движения которой обусловлен тем или иным образом.

4. Кривая определяется как линия, получаемая в результате того или иного геометрического преобразования уже известной кривой.

Этот способ образования кривых является наиболее эффективным. Он не только даёт неиссякаемые средства для определения новых кривых, но и позволяет определять свойства но вой кривой как отражение свойств преобразуемой кривой.

Мы заключим обзор различных способов, дающих средства для аналитического определения кривых, ещё одним, естественным по сравнению с предыдущими, в том смысле, что составлять уравнение кривой в том смысле уже не приходится, так как кривая задаётся сразу же в аналитической форме и представляет собой график той или иной функции и их уравнений.

3. Эллипс.

Рис. 5

Эллипс

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

При этом не исключается совпадение фокусов эллипса. Очевидно, если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.

Для вывода канонического уравнения эллипса выберем начало О декартовой системы координат в середине отрезка F₁F₂, а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 6 (если фокусы F₁ и F₂ совпадают, то О совпадает с F₁ и F₂, а за ось Ох можно взять любую ось, проходящую через О).

Рис. 6

Пусть длина отрезка F₁ F₂ равна 2с. Тогда в выбранной системе координат точки F₁ и F₂ соответственно имеют координаты (-с, 0) и (с, 0). Обозначим через 2а постоянную, о которой говорится в определении эллипса. Очевидно, 2а>2с, т. е. a>с (Если М - точка эллипса (см. рис. 6.2), то |MF₁| + |MF₂| = 2a, а так как сумма двух сторон MF₁ и MF₂ треугольника MF₁F₂ больше третьей стороны F₁F₂=2c, то 2а>2с.) Случай 2а=2с естественно исключить, так как тогда точка М располагается на отрезке F₁F₂ и эллипс вырождается в отрезок.). Пусть М - точка плоскости с координатами (х, у) (рис. 6.2). Обозначим через r₁ и r₂ расстояния от точки М до точек F₁ и F₂ соответственно. Согласно определению эллипса равенство

r₁+r₂=2а(1.1)

является необходимым и достаточным условием расположения точки М (х, у) на данном эллипсе.

Используя формулу расстояния между двумя точками получим

(1.2)

Из (6.1) и (6.2) вытекает, что соотношение

(1.3)

представляет собой необходимое и достаточное условие расположения точки М с координатами х и у на данном эллипсе. Поэтому соотношение (1.3) можно рассматривать как уравнение эллипса. Путем стандартного приема «уничтожения радикалов» это уравнение приводится к виду

(1.4)

Где b²=a²-c²(1.5)

Так как уравнение (1.4) представляет собой алгебраическое следствие уравнения эллипса (1.3), то координаты х и у любой точки М эллипса будут удовлетворять и уравнению (1.4). Поскольку при алгебраических преобразованиях, связанных с избавлением от радикалов, могли появиться «лишние корни», мы должны убедиться в том, что любая точка М, координаты которой удовлетворяют уравнению (1.4), располагается на данном эллипсе. Для этого, очевидно, достаточно доказать, что величины r₁ и r₂ для каждой точки удовлетворяют соотношению (1.1). Итак, пусть координаты х и у точки М удовлетворяют уравнению (1.4). Подставляя значение у² из (1.4) в правую часть выражения (1.2) для r₁ после несложных преобразований найдем, что

. Так как а + > 0,то r₁ = а +.

Совершенно аналогично найдем, что r₂= а -.

Таким образом, для рассматриваемой точки М