Таким образом, необходимо отметить, что понятие "неравенство" у автора Петерсон Л.Г. раскрыто более шире. Включены упражнения, в которых учащимся необходимо построить более сложную цепочку рассуждений для нахождение результатов. Такой подход способствует повышению интеллектуального уровня ученика, а предмет "Математика" становится средством обучения, средством общего развития детей.

§4. Сравнительный анализ содержания и методики преподавания неравенств в различных системах обучения

Тема "Неравенство" одна из самых важных и трудных тем в курсе математики начальных классов. Поэтому учителю очень важно знать методику и содержание заданий, предлагаемых в различных системах обучения.

Ниже предложен анализ содержания и методики обучения темы "Неравенство" в традиционном учебнике авторов М.И.Моро, М.А.Бантовой, в учебнике Н.Б.Истоминой (Р.О.) и Л.Г.Петерсон ("Школа - 2100").

В традиционном учебнике подготовительная работа по теме "Неравенство" начинается с первых уроков первого класса. Учащиеся сравнивают два множества предметов, посредством установления взаимно-однозначного соответствия между элементами этих множеств. Это выражено в отношениях "больше", "меньше" и "равно".

Аналогичная работа, на подготовительном этапе, ведется и в учебнике Н.Б.Истоминой, но немного позже (14-й урок). Стр.21 В учебнике Л.Г.Петерсон подготовительный этап начинается на 7 уроке при сравнении совокупностей предметов с помощью знаков = и . (Часть 1, стр. 12)

- Поставь знак = или .

В дальнейшем ознакомление с неравенствами в различных системах обучения непосредственно связано с изучением нумерации целых неотрицательных чисел и арифметических действий с ними.

У авторов М.И.Моро, М.А.Бантовой в ходе изучения темы "Нумерация чисел 1-10" дети сравнивают два числа уже без опоры на предметную наглядность, на основе знания натурального ряда чисел от 1 до 10. И только на странице 42 - 43 первой части авторы предлагают ознакомить со знаками больше (>), меньше (<), равно (=). На следующем уроке вводятся понятия "равенство", "неравенство".

Знакомство со знаками ">" и "<" в учебнике Н.Б.Истоминой, происходит в 1 классе во время изучения темы "Числовой луч" на 64 странице (2 четверть, 7урок). Здесь же дети знакомятся с понятием "неравенство". Стр.64 №143

"В математике вместо слова "больше" между числами ставят знак >, а вместо слова "меньше" знак <. Эти записи называются "неравенства" 5<6, 5>4". Необходимо отметить, что у М.И.Моро и Н.Б.Истоминой и знаки, и термины даются в готовом виде, как факт.

Иной подход у Л.Г.Петерсон. Ставится проблема - придумать знак, обозначающий "больше", "меньше".

Дети уже знакомы со знаком "=". На доске размещены два мешка с одинаковым количеством предметов. Мешки соединены знаком "=". Затем из правого мешка несколько фигур помещаются в левый. Дети должны догадаться раздвинуть полоски (обозначающие "="), как клювик у птицы, получается знак ">".



Аналогичная работа проводится и со знаком "<". Но термин "неравенство" вводится только в 3 классе.

После знакомства со знаками ">", "<" Л.Г.Петерсон предлагает рассмотреть некоторые свойства неравенств. А именно свойство транзитивности и антисимметричности: если а<в и в<с, то а<с и если а<в, то в>а. Для этого предлагается игра "Найди подходящее слово". Учитель читает предложение, а дети подбирают недостающее слово.

1) Если первое число больше второго, то второе … первого. (Меньше)

2) Если первое число больше второго, а второе больше третьего, то первое число … третьего. (Больше)

Также Л.Г.Петерсон предлагает в более подготовленных классах дать обобщенное обоснование: Если А>Б, то Б<А.

Если А>Б, Б>С, то А>С.

Во всех трех программах даются понятия "верное", "неверное неравенство".

У М.И.Моро и Н.Б.Истоминой это происходит в 1 классе, а у Л.Г.Петерсон в третьем классе. Хотя в заданиях эти термины употреблялись раньше. 2 класс, часть1, стр. 71, №7

"Какую цифру можно поставить вместо звездочки, чтобы получились верные неравенства 5*4 < 514 206 >*06"

Таким образом, у Л.Г.Петерсон мы видим расхождение в программе.

В течении изучения других тем работа с неравенствами продолжается во всех трех программах. Но числа в них увеличиваются: двузначные, трехзначные и многозначные. Неравенства включают в себя число и выражение, два выражения (выражения тоже усложняются). У М.И.Моро, М.А.Бантовой сразу после введения понятия "неравенство" дети знакомятся со сравнением числа и выражения (М.1, стр. 42, ч.1). И дается соответствующее задание:

Поставь знак >,< или =.

1 + 2 … 3 3 + 1 … 3

5 - 3 … 2 6 - 2 … 2

Сравнение происходит на основе вычисления значения выражения и сравнения полученного числа с данным: "3 + 1 > 3, так как 4 > 3".

Во втором классе выполняется сравнения двух выражений. Стр. 35, часть1, №1.

Сравни выражения:

5 - 2 … 1 + 1 5 + 3 … 3 + 5

Здесь дети опираются на рисунок учебника:

В учебнике Н.Б. Истоминой работа со сравнением числа и выражения начинается также сразу после введения понятия "неравенство".

Стр. 73 №159

Поставь знаки > или <:

2 + 4 … 5 1 + 5 … 8

7 … 3 + 3 4 + 2 … 4

5 + 1 … 5 3 + 3 … 4

И уже через урок, при изучении темы "Переместительное свойство сложения", учащиеся сравнивают два выражения. Стр. 75 № 165

Поставь знак >, < или =:

2 + 4 … 5 + 1

5 + 1 … 1 + 5

3 + 3 … 3 + 2

Дети сравнивают число и выражение, два выражения не только на основе смысла действия, но и используют логические приемы мышления: 3 + 2 < 4 + 2, так как одно из слагаемых одинаково, а 3 < 4.

Автор учебника Л.Г.Петерсон работу над сравнением числа и выражения предлагает рассмотреть с помощью рисунка.

1класс, II часть, стр.8, №2.

Надо составить выражения по рисункам или рисунки по двум выражениям.

3 + 1 < 3 + 3

У всех трех авторов большое внимание уделяется сравнению значений величин и по мере изучения какой-либо величины предлагается ряд разнообразных упражнений

М.И.Моро, М.А.Бантова:

1. Подберите равную величину:

7 км 500 м = … м

3080 кг = … т … кг

2. Подберите числовые значения величин так, чтобы запись было веной:

… ч < … мин

… см = … дм …см

3. Проверьте, верные или неверные равенства даны, исправьте знак отношений, если равенства неверны:

4 т 8 ц = 480 кг

100 мин = 1 ч

Н.Б.Истомина:

1. Сравни:

5 м 3 дм … 5 м 4 дм

35 дм … 34 дм 5 см

7 мин 15 с… 445 с

2. Л.Г. Петерсон:

Сравни:

3 м ? 29 дм

43 дм ? 3 м 4 дм

У всех трех авторов дети усваивают правило: сравнить величины можно только тогда, когда они измерены одинаковыми мерками.

Особое внимание хотим обратить на вопрос о решении неравенств в начальной школе.

Школьники, занимающиеся по программам М.И.Моро, М.А.Бантовой и по программе Н.Б.Истоминой начинают подготовительную работу над этой темой еще в 1 классе. Неравенства задаются с использованием условного знака, который дети называют окошечком:

? > 0 6 + 4 > ? 7 + ? < 10

9 - 3 > 9 - ? 8 - ? < 8 - 6

Термины "решить неравенство", "решение неравенства" не вводятся, т.к. во многих случаях ограничиваются подбором значений переменной, при которой получается верное неравенство. Также термин "переменная" у авторов Моро М.И., Бантовой М.А. не вводится, но окошечки в 4 классе заменяются буквами латинского алфавита (х,у и др.)

Например, 10 • х < 10

В программе Н.Б.Истоминой термин "переменная" и буквенное обозначение вводится в конце 4 класса (4 четверть). Стр.195 " …математики называют букву в выражении переменной"

Иной подход мы видим у Л.Г.Петерсон. В 3 классе в течении нескольких уроков, вводятся понятия и термины "переменная", "неравенство", "верное, неверное неравенство",а в начале 4 класса - "решение неравенства", "множество решений", знаки " , ", "двойное неравенство" (см. глава 2, п. 2.3, стр. 24 - 25)

Решение неравенств также осуществляется методом подбора.

Стр. 2 №5 (4 класс, ч.1)

Имеются ли среди чисел 6, 9, 12, 30, 72 решение неравенства:

8 • b - 7 > 90 d : 3 + 9 < 12

Стр. 2 №6

Найди два решения неравенства:

r + 5 < 815 43 • m < 100

n - 3 > 960 180 : y > 20

Таким образом, упражнения для закрепления умений детьми сравнивать числа, сравнивать число и выражения, два выражения и сравнивать величины в учебниках М.И.Моро, М.А.Бантовой повторяются систематически. Усиленное внимание авторы учебника уделяют упражнениям, формирующим вычислительные навыки. Но малое количество упражнений для закрепления умений решать неравенства. Все они основаны на подборе чисел.

Особенностью учебников Н.Б.Истоминой, является то, что дается математическая терминология, используются логические приемы обучения: сравнения, работа с признаками, анализ, обобщение. Но над решением неравенств дети работают мало.

У автора Л.Г.Петерсон особое место в курсе математики отводится теме "Неравенство". Включены математические термины и понятия для более глубокого усвоения этой темы.

Ниже приведена сравнительная таблица.

Таблица №1

	Традиционная система обучения	Система Н.Б.Истоминой	Система "Школа-2100". Л.Г.Петерсон
Подготовительная работа к изучению понятия "Неравенство"	Установление взаимно-однозначного соответствия между элементами двух множеств предметов (до счета предметов). 1 класс, 3-й урок.	Установление взаимно-однозначного соответствия между элементами двух множеств предметов.(после счета предметов) 1класс, 14-й урок	Сравнение совокупностей предметов с помощью знаков = и .
Операция сравнения:
а) двух чисел	на основе нумерации 43, 75 80 ,?	на основе нумерации 9 3, 5 > 85, 1436 > 14 82164 … 82048 400899 … 400998 …	на основе нумерации 46*1 > 4671 52* 529 24239 ? 24293 3 ? 2
б) числа и выражения	на основе смысла действия 1 + 2 4 100 - 40 + 30 70	на основе смысла действия 8 + 5…12 86 - 42 : 7 • 6 … 52 на основе взаимосвязи компонентов и результата действий 13 + 2 …13	на основе смысла действия
в) двух выражений	?	на основе свойств арифметических действий 259 • (8 + 7) …259 •8 + 259 • 6 3705 • 30 … 3705 • 5 • 7 на основе взаимосвязи компонентов и результата действий 7215 • 3 … 9 • 7215 42360 • 7 … 42370 • 7 41 + 8 - 20 … 41 + 7 - 20 32 • (174026 + 561513) … …(561513 + 174026) • 35	на основе смысла действия 87 + 87 ? 3 • 87 25 • 706 + 6300 : (3840 - 39 • 98) - (13439 + 3755) ? 70122 : (1000 - 913) на основе свойств арифметических действий n • 3 + n • 9 ? 13 • n на основе взаимосвязи компонентов и результата действий 7 • 4 ? 7 • 2 516 • 724 ? 724 • 521 а + 45 ? 98 + а
г) значений величин			7 дм 5 мм ? 75 мм 5 ч 17 мин ? 517 мин 1 век ? 360 лет 8 кг 3 г ? 950 г
Неравенства с "окошечками"		8, 1, 3, 4, 2, 9, 5 ?< 4 ?< 2 5 < ? 5 + 4 > ? 8 - 2 > 8 - ?
Неравенства с переменной		а + 2070 < 5375 а - 180 < 96 : 16	с + 24 > c + 42 75 - х > 4 30 < у 48 х < (400000 - 98440) : 6 • 7 + + 4920 • 907 : 123
Способы решения неравенств	подбором
Методы обучения	репродуктивные	продуктивные	продуктивные
Терминология	неравенство верное, неверное нерав-во знаки <, >,	неравенство верное, неверное нерав-во знаки <, > переменная	неравенство верное, неверное нерав-во знаки <, >, , переменная решение неравенства множество решений нер-ва двойное неравенство

ГЛАВА 3. ОПЫТНО - ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ РАБОТА

§1. Преемственность при изучении понятия «неравенство» на начальной и основной ступенях образования в развивающей системе обучения по программе Истоминой Н.Б.

Методика работы с понятием «неравенство» осуществлялась в рамках концепции Истоминой Н.Б., основной целью которой является развитие мышления учащихся в процессе усвоения математического содержания.

В соответствии с этой концепцией у учащихся начальных классов целенаправленно формируются приемы умственной деятельности: анализ, синтез, сравнение, классификация, обобщение. Средствами достижения этой цели служат:

1. Логика построения содержания начального курса математики, в основе которой лежит тематический принцип, позволяющий сориентировать курс на усвоение системы понятий и общих способов математических действий. В русле этой логики курс математики построен таким образом, что каждая следующая тема органически связана с предыдущей. Тем самым создаются условия для повторения ранее изученных вопросов в процессе изучения нового материала и для самостоятельного решения школьниками новых учебных задач.

2. Методические подходы к усвоению школьниками математических понятий, в основе которых лежит установление соответствия между предметными, вербальными, схематическими (графическими) и символическими моделями, а также формирование у учащихся представлений об изменении, правиле (закономерности) и зависимости.

Как показала практика обучения, этот методический подход
к формированию понятий позволяет учитывать индивидуальные
особенности ребенка, его предметно-действенное и наглядно-образное мышление и постепенно вводить учащихся в мир математических понятий, терминов, символов, способствуя развитию как эмпирического, так и теоретического мышления.

3. Система учебных заданий, процесс выполнения которых носит продуктивный характер и, исходя из психологических особенностей младших школьников, определяется соблюдением баланса между логикой и интуицией, словом и наглядным образом, осознанным и подсознательным, догадкой и рассуждением.

Ориентируясь на те же средства развития мышления учащихся (логику построения содержания курса, методические подходы к формированию понятий и систему учебных заданий), автором учебно-методического комплекта строилась работа с понятием «неравенство» и в 5,6 классах.

Таким образом, основные направления методики изучения неравенств в начальных классах получили свое дальнейшее развитие при изучении неравенств в 5 классе.

Реализация данной методики в учебниках 5,6 классов нашла свое
выражение: в замене объяснительных текстов диалогами, проблемными ситуациями, требующими активного использования приемов выбора, сравнения, классификации, преобразования, конструирования; в отказе от репродуктивного повторения; в приоритете обучающих заданий; в установлении взаимосвязи понятий курса 5,6 классов с теми понятиями, которые учащиеся усвоили в начальных классах.

Методика работы с неравенствами в начальных классах подробно описана нами в параграфе 2.2.второй главы.

К концу 4 класса учащиеся должны обладать рядом знаний и умений, способствующих в дальнейшем продолжить работу с неравенствами. Рассмотрим конкретные учебные задания, которые могут быть включены в проверочную работу в конце 4 класса.

1. Сравни выражения, не вычисляя их значений:

8003 • 57 … 8030 • 57

39711 : 7 … 105445 : 5

53158 : 7 … 350168 : 7

5308 - 308 - 2000 … 5000 + 308 - 2000

900284 + 21542 … 49080 + 841002

678075 • 14 … 678075 •24 + 678075

Цели - проверить:

· усвоение зависимости произведения от первого множителя при постоянном втором множителе;

· усвоение алгоритма деления многозначного числа на однозначное;

· усвоение смысла действий;

· сформированность вычислительных навыков.

2. > или <

3284 • (9 + 6) … 3284 • 9 + 3284 • 7

508 • (32 • 4) … 508 • 32 • 5

5013 • 4 … 8 • 5013

259 • (8 + 7) …259 •8 + 259 • 6

3705 • 30 … 3705 • 5 • 7

3 • 7 + 30000 … 9 • 2 + 300000

Цель - проверить:

· знания свойств арифметических действий (распределительное свойство умножения относительно сложения, сочетательное свойство умножения, переместительное свойство умножения)

· сформированность вычислительных навыков.

3. Вставь числа в «окошки», чтобы получились верные неравенства:

720 : 4 > 4800 :

: 14 > 7800 : 1300

9000 • < 54000

Цель: проверить сформированность умений решать неравенства.

4. Вычисли выражения и сравни их:

420 - 240 : 3 … (420 - 240) : 3

Цель - проверить:

· усвоение правил порядка выполнения действий в выражениях;

· сформированность вычислительных навыков.

5. Подбери четыре значений а, чтобы числовые неравенства получились верными:

а + 350 > 580 + 350

а = а =

а = а =

Цель - проверить сформированность умений решать неравенства.

8. Поставь знак > или <, чтобы неравенства были верные:

а + 3960 … а + 3990

с - 518 … с - 543

0 : 273 + d …d + 1 : 273

Замени букву любым четырехзначным числом и проверь, правильно ли поставлены знаки.

Цели - проверить:

· усвоение зависимости суммы от второго слагаемого при постоянном первом;

· усвоение зависимости разности от вычитаемого при постоянном уменьшаемом;

· сформированность умений решать неравенства;

· сформированность вычислительных навыков.

Таким образом, для выполнения этих заданий учащимся необходимо уметь:

Ш сравнивать два числа, используя знания нумерации;

Ш сравнивать число и выражение, сравнивать два выражения, используя вычислительные навыки, применяя свойства арифметических действий, используя знания взаимосвязи между компонентами и результатом действий ;

Ш решать неравенства методом подбора;

Ш правильно пользоваться математической терминологией: неравенство; верное, неверное неравенство; переменная; знаки >, <;

Ш использовать логические приемы мышления при работе с неравенствами.

В пятом классе продолжается работа, начатая в начальных классах.

В первой четверти учащимся предлагается четыре контрольных работы. Целью первых двух контрольных работ является проверка усвоения основных вопросов начального курса математики. Автор учебно-методического комплекта сюда включил такие задания, как:

1. Сравни величины:

556 м … 5 км 56 м

2 ч 40 мин … 240 мин

4350 кг … 43 ц

2. Не выполняя вычислений, сравни выражения:

750021 + 280017 … 280017 + 750020

(3080 + 426) + 1702 … 3080 + (426 + 1702)

(38125 • 6) • 71 … 38125 • (6 • 71)

Тема «Натуральные числа» - первая тема в 5 классе. Наряду с повторением вводятся и новые понятия. В частности на 22 уроке вводится понятие "двойное неравенство". Это понятие вводится с помощью координатного луча.

С. 34 № 157

Отметь на координатном луче точки, соответствующие натуральным числам, которые

а) больше 3 и меньше 6

б) больше 5 и меньше 8

в) больше 2 и меньше 7.

Выбери математические записи, которые соответствуют данным условиям:

5 < х < 8 3 < х < 6

2 < х < 7 5 < х < 12

Эти записи называются двойное неравенство.

Также включены задания, нацеленные как на совершенствование вычислительных умений и навыков, так и на развитие логической грамотности учащихся. (Работа с подобными заданиями была начата в начальной школе.)

С. 195 № 895

Сравни выражения, не вычисляя их значений:

а) 35,067 + 12,67 … 12,67 + 35,067

б) 12,37 + (19,08 + 1,9) … (12,37 + 19,09) + 1,9

Проверь ответ, выполнив вычисления.

Стр. 212 № 972

Можно ли сравнить выражения, не выполняя вычислений:

а) 778,75 : 35 … 89,936 : 73

б) 4329,6 : 96 … 52,923 : 59

в) 1365,76 : 44 … 254,877 : 53

Стр. 20 №80

Не выполняя вычислений, сравни выражения:

а) (60834 + 5099) + 40878 … 68034 + (5099 + 40878)

б) 936 • 18 + 936 • 2 … 936 • 21

в) 573 • 36 + 573 • 4 … 573 • 40

Даются задания на сравнения двух чисел, на основе знания нумерации.

Стр. 18 № 74

Запиши верные неравенства:

7000804 … 700809

540097 … 54099

800721 … 8000721

Используя усвоенные ранее правила сравнения натуральных чисел предполагается что, учащиеся без особых затруднений учатся сравнивать десятичные дроби:

12,06 … 12,6 24,23 … 24,32000

0,354 … 0,367 9,003 … 9,090

и легко могут ответить на вопрос:

- Почему в учебнике не сформулировано правило сравнения десятичных дробей?

(Оно аналогично правилу сравнения натуральных чисел.)

Сравнение величин также основывается на то правило, которые дети усвоили в начальных классах, а именно: чтобы сравнить две величины, необходимо выразить их в одинаковых единицах измерения.

Сравни величины:

1кг … 2050 г 7ц … 760 кг

3 сут 3 ч … 76 ч 908 ц … 9 т 8 ц

Продолжается работа над решением неравенств. Решение неравенств осуществляется методом подбора, также как в начальных классах.

Стр. 204 № 926

Какие натуральные числа можно записать вместо а, чтобы получились верные неравенства?

а) а + 0,1 < 5,2 < 1

б) а + 0,01 < 4 - 0,01

Для успешной работы с понятием "неравенство" выпускник 5-го класса должен уметь:

Ш сравнивать два числа, используя знания сравнения натуральных чисел с помощью координатного луча;

Ш сравнивать число и выражение, сравнивать два выражения, используя вычислительные навыки, применяя свойства арифметических действий, используя знания взаимосвязи между компонентами и результатом действий ;

Ш решать неравенства методом подбора;

Ш сравнивать величины;

Ш правильно пользоваться математической терминологией: неравенство; двойное неравенство; верное, неверное неравенство; переменная; знаки >, <;

Ш использовать логические приемы мышления при работе с неравенствами.

Таким образом, преемственность между начальными классами и 5 - 6 классами основной школы находит свое выражение:

Ё в единстве логики изложения. Тематический принцип построения курса позволяет обеспечить работу с понятием "неравенство" на более высоком уровне сложности, что создает условия для повторения ранее изученных вопросов на новом уровне, позволяет сопоставлять и соотносить их в самых различных аспектах, обобщая и систематизируя , устанавливая причинно - следственные связи. При этом если учащиеся начальной школы в большей мере опираются на жизненный опыт, интуицию, то ученики в 5 - 6 классов активно применяют уже сформированные понятия и способы действий;

Ё в единстве методических подходов к изучению математических понятий, свойств и способов действий.

Каждое из этих направлений реализуется в системе учебных
заданий, отражающих цели, содержание, методы и формы обучения и обусловливающих характер учебной деятельности ученика.

Реализация единства логики изложения содержания и методических подходов при изучении понятия "неравенство" в системе учебных заданий изложена в следующем параграфе.

§ 2. Системе учебных заданий по обучению решения неравенств младших школьников

Учебные задания являются основным средством организации учебной деятельности учащихся. В них находят отражение цели, содержание, методы и формы обучения. Задания непосредственно выходят на ученика, обусловливая характер его учебных действий. Поэтому содержание, формулировка и система учебных заданий в развивающем курсе 1-4 классов имеют ряд отличительных особенностей по сравнению с системой заданий, нацеленных на отработку знаний, умений и навыков.

Так, при построении курсов математики в начальных и 5-6 классах, основной целью которых является формирование у учащихся знаний, умений и навыков, учитель обычно сам дает образец действий, сопровождая его необходимыми пояснениями, затем дети выполняют тренировочные задания, аналогичные тем, которые использовал учитель на этапе объяснения. После этого возможны творческие или нестандартные задания. Они обычно обсуждаются фронтально или предлагаются так называемым «сильным» ученикам.

Подобное построение системы учебных заданий не оказывает
эффективного влияния на развитие мышления учащихся, так как процесс их выполнения не требует активного использования различных мыслительных операций.

В развивающем курсе математики, основной целью которого является формирование приемов умственной деятельности в начальных классах и активное их использование в 5-6 классах в процессе усвоения математического содержания, последовательность предлагаемых видов заданий существенно изменяется. Сначала это частично-поисковые, творческие задания. Процесс их выполнения может быть связан с догадкой, опирающейся в начальных классах на опыт ребенка, а в 5-6 классах на уже усвоенные знания, умения и навыки, с обсуждением различных вариантов и возможных способов действий, с организацией целенаправленного наблюдения, позволяющего включать в активную познавательную деятельность всех учащихся.

Обучающие задания выполняются как фронтально, так и в процессе самостоятельной работы учащихся. При этом могут быть использованы различные методические приемы: организация целенаправленного наблюдения, анализ математических объектов с различных точек зрения, установление соответствия между предметной - вербальной - графической - символической моделями, предложение заведомо неверного способа выполнения задания - «ловушки», сравнение данного задания с другим, которое представляет собой ориентировочную основу, обсуждение различных способов действий.

Контролирующие задания (репродуктивные, частично-поисковые, творческие) используются только для выявления результатов работы с обучающими заданиями на этапе контроля и позволяют сделать вывод об уровне усвоения материала.

Таким образом, учебные задания в курсе «Математика», нацеленном на развитие мышления учащихся:

Ш характеризуются возможностью их выполнения различными способами: практическими или дедуктивными (используя правила);

Ш обладают свойствами ретроспективной и перспективной преемственности;

Ш создают условия для повторения ранее изученных вопросов и самостоятельного построения обобщений.

Наша система учебных заданий состоит из четырех блоков. Каждый блок связан с решением определенных учебных задач:

I блок. Сравнение чисел в последовательности натурального ряда.

Он включает следующие вопросы:

1. Использование свойств натурального ряда чисел для их сравнения.

2. Использование символических знаков для сравнения двух чисел.

II блок. Сравнение числа и выражения.

Он включает следующие вопросы:

1. Сравнение числа и выражения на основе взаимосвязи компонентов и результата действий.

2. Сравнение числа и выражения на основе смысла действия.

III блок. Сравнение двух выражений.

Он включает следующие вопросы:

1. Сравнение двух выражений на основе свойств арифметических действий.

2. Сравнение двух выражений на основе взаимосвязи компонентов и результата действий.

3. Сравнение двух выражений на основе смысла действия.

IV блок. Решение неравенств.

Он включает следующие вопросы:

1. Решение неравенств методом подбора.

I Блок

Сравнение чисел в последовательности натурального ряда.

Задание 1. Учащимся предлагается последовательность чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, …

Для каждого числа назовите предыдущее и последующее числа. Для любого числа можно назвать предыдущее число?

Выберите любое число последовательности. Сравните его с предыдущим числом, с последующим числом. Сформулируйте правило.

Запишите результат сравнения с помощью знаков

2 * 3, 4 * 5, 10 * 9, 1 * 2

Задание 2. Используя точки, отмеченные на числовом луче, запиши три любых верных неравенства.

А < В, К > Л, М > N

Как называется число В для числа А? Число А для числа В? (Аналогично для других пар.)

Задание 3. Может ли быть одновременно:

Задания 3, 4 позволяют усвоить сравнения двух чисел на абстрактном уровне, с использованием символических моделей. Интерпретация подобных заданий с использованием числового луча может выглядеть так:

Задание 4. Используя точки, отмеченные на луче, запиши четыре любых верных неравенства.

Задание 5. Разгадай правило, по которому составлены неравенства в каждом столбике. Продолжи каждый столбик, записав в нем еще три неравенства.

8 > 1 7 < 8 2 > 1

8 > 2 6 < 7 3 > 2

8 > 3 5 < 6 4 > 3

Для выполнения этого задания необходимо найти закономерность каждого столбика. А именно: в первом столбике неравенств слева число 8, а справа записана последовательность чисел 1, 2, 3. Продолжая этот столбик, ребята записывают слева число 8, а справа - продолжают ряд чисел. Главное, чтобы дети увидели, что этот ряд заканчивается числом 7. Работа во втором и третьем столбике аналогична.

Задание 6. Сравни числа в каждой тройке:

1, 2, 3; 6, 7, 8; 8, 9, 10; 3, 1, 2.

Запиши результат сравнения по образцу:

2, 3, 4

2 < 3, 3 < 4.

2 < 3 < 4

2 < 4

Это задание подготавливает детей к введению понятия "двойное неравенство". Это можно закрепить на символических числах.

Задание 7. Даны тройки последовательных чисел:

Как называется число для числа ? Число для числа ?

Сравните числа в каждой тройке. Запишите результат сравнения с помощью знаков.

II блок

Сравнение числа и выражения.

В подготовительную работу можно включить задания 10, 11, 12,13, 14.

Закончи предложения так, чтобы они выражали верную мысль:

"Если к числу прибавить 1, то оно станет…"

"Если из числа вычесть 1, то оно станет…"

а) больше;

б) меньше;

в) последующим;

г) предыдущим;

д) следующим.

Задание 8. Будут ли данные суждения верными для числа 2? Докажите.

Задание 9. Восстановите предложения:

"Если …, то оно станет больше"

"Если …, то оно станет меньше"

"Если …, то оно не изменится"

Заполни таблицы. Сделай вывод.

Слагаемое	7	7	7	7
Слагаемое	10	11	12	13
Сумма

Уменьшаемое	20	20	20	20
Вычитаемое	10	11	12	13
Разность

Уменьшаемое	35	45	55	65
Вычитаемое	10	10	10	10
Разность

Заполни таблицы. Сделай вывод.

Множитель	3	4	5	6
Множитель	5	5	5	5
Произведение

Делимое	20	25	30	35
Делитель	5	5	5	5
Частное
Делимое	32	32	32	32
Делитель	2	4	8	16
Частное

При выполнении этих заданий дети делают вывод о взаимосвязи компонентов и результата действий. Для этого целесообразно воспользоваться следующим заданием.

Задание 14 Закончи предложения:

"Если при постоянном одном из слагаемых другое слагаемое увеличить (уменьшить), то значение суммы…"

"Если при постоянном уменьшаемом (вычитаемом) вычитаемое (уменьшаемое) увеличить (уменьшить), то значение разности…"

Если при постоянном одном из множителей другой множитель увеличит (уменьшить), то значение произведения …"

"Если при постоянном делимом (делителе) делитель (делимое) увеличить (уменьшить), то значение частного …"

Не находя значения суммы, сравните:

3 + 0 * 3 2 * 2 + 0

4 + 1 * 4 3 * 3 + 2

5 + 1 * 5 6 * 6 + 2

6 + 3 * 6

Учащиеся рассуждают следующим образом: "4 * 4 + 1.Справа число 4. Слева к 4 прибавили 1, стало больше, чем 4. Значит, 4 < 4 + 1" Аналогично выполняются задания 17

Задание 10. Не находя значения суммы, сравните:

5 - 1 * 5 3 * 3 - 2

6 - 1 * 6 4 * 4 - 2

4 - 0 * 4 5 * 5 - 2

III блок.

Сравнение двух выражений.

В третьем блоке используются теоретические знания для сравнения двух выражений, а именно сравнение двух выражений на основе свойств арифметических действий, сравнение двух выражений на основе взаимосвязи компонентов и результата действий, сравнение двух выражений на основе смысла действия.

Задание 11. Сравни выражения в каждой паре. Чем они похожи? Чем отличаются? (Это сумма, одинаковые первые слагаемые. Различные вторые слагаемые и значение суммы)

6 + 2 4 + 3 5 + 1

6 + 3 4 + 4 5 + 2

Что вы заметили? (Второе слагаемое увеличилось на 1, значение суммы также увеличилось на 1.)

Как вы думаете будет ли это суждение верным, если втрое слагаемое увеличим на 2, на 3?

Как изменится значение суммы, если второе слагаемое уменьшим на 1? на 2? на 3? Докажите.

Проведите аналогичные рассуждения при изменении первого слагаемого.

Аналогичная работа ведется для установления зависимости при нахождении значение разности:

Задание 20

а) 6 - 27 - 3 6 - 2

6 - 3 7 - 4 6 - 1

б) 6 - 25 - 3 4 - 2

7 - 2 6 - 3 5 - 2

Аналогичную работу целесообразно провести и для случая увеличения (уменьшения) множителей, делимого и делителя.

Задание 21. Не находя значения суммы, поставьте знак сравнения:

4 + 1* 4 + 2 6 + 2 * 2 + 6

4 + 2 * 4 + 3 1 + 3 * 2 + 3

Рассуждение учащихся: "4 + 1 * 4 + 2. Оба выражения - суммы. У них одинаковые первые слагаемые, вторые слагаемые различные. Второе слагаемое слева меньше, чем второе слагаемое справа. Следовательно, 4 + 1 < 4 + 2"

Аналогично - для вычитания:

5 - 2 * 5 - 3 7 - 3 * 8 - 3

6 - 3 * 6 - 2 9 - 4 * 8 - 4

7 - 3 * 5 - 1 3 - 2 * 4 - 3

Аналогичные задания можно использовать для умножения и деления.

Для закрепления данного приема можно предложить задания со "сказочными" числами:

Задание 22. Сравните:

3 + * 4 +

7 - * 8 -

Задание 23. Выпиши выражения в два столбика. По какому признаку это можно сделать?

3 + 2 * 4 + 2 0 + 1 * 1 - 0

3 - 2 * 4 - 2 6 + 2 * 2 + 6

3 + 1 * 2 + 3 5 - 2 * 5 - 3

6 - 4 * 8 - 2 9 - 1 * 8 - 1

6 - 3 * 7 - 4 3 + 4 * 2 + 5

2 - 0 * 2 + 0 7 - 3 * 5 - 2

Превратите обе части неравенства в суммы (разности, суммы и разности), не меняя знака и данных чисел по образцу:

7 > 5

7 + 2 > 5 + 2

7 + 3 > 5 + 1

7 - 2 > 5 - 2

7 - 1 > 5 - 3

7 + 2 > 5 - 4

Превратите равенство в неравенство по образцу:

4 = 4

4 + 2 < 4 + 3

4 - 2 < 4 - 1

4 + 7 > 4 - 2

Для подготовки учащихся к усвоению свойств числовых неравенств, можно использовать упражнения на весах. Эти упражнения можно внести как во второй блок, так и в третий.

Сравните массу куска пластилина с массой карандашей. Что будет если я добавлю на каждую чашу гирю одинаковой массы? Сохранилось ли отношение больше (меньше)? Сделайте вывод.

Задание 24. На весах предметы разной массы. Учитель убирает некоторые предметы с чашки, где масса больше.

- Как сохранить прежнее положение на весах?

Дети подводятся к мысли о том, что, чтобы сохранить прежнее положение чашек весов, нужно на столько же уменьшить массу предметов и на другой чашке. Затем эти упражнения закрепляются при решении числовых неравенств вида: 5 < 6, 5 - 2 < 6 - 2, 3 < 4.

Задания, предложенные в этом параграфе, предполагают начать работу уже с 1 класса. В дальнейшем увеличиваются лишь числа и объем задания. Для творчески работающего учителя это не составит большого труда. Систематическое применение подобных заданий позволит обеспечить не только успешное обучение работы с неравенствами в начальной школе, но и преемственность в 5-6 классах.

Данные задания составлены согласно методической концепции развивающего обучения математике - автор концепции Истомина Н.Б.

Но в учебных пособиях Истоминой Н.Б. отсутствуют задания, которые позволяют обобщить материал на вербальном уровне (задания № 12, 14).

Также мы считаем необходимым добавить задания, где происходит замена арабских цифр на условные символы, что позволит детям усвоить решение неравенств на абстрактном уровне (задания № 3, 4, 5, 6, 9, 17, 18, 23, 32).

Использование заданий творческого характера (№ 35, 36) развивает не только творчество детей, но и обеспечивает высокий уровень усвоения учебного материала.

В начале 5-го класса [ 14, с. 34] учащиеся знакомятся с понятием "двойное неравенство". Детям предлагается понятие "двойное неравенство" в готовом виде, учащиеся опираются только на координатный луч, а как образовывается двойное неравенство, не дается. Мы считаем, что подготовительную работу следует вести уже в начальной школе. Этому способствуют задания № 8, 9.

§4. Результаты формирующего эксперимента

Наш эксперимент был проведен в начальной школе п. Бор Туруханского района. В двух классах была проведена проверочная работа, целью которой было проверить умения учащихся:

Ш сравнивать два числа, используя знания нумерации с помощью числового луча;

Ш сравнивать число и выражение, сравнивать два выражения, используя вычислительные навыки, применяя свойства арифметических действий, используя знания взаимосвязи между компонентами и результатом действий ;

Ш решать неравенства методом подбора;

Ш сравнивать величины;

Ш правильно пользоваться математической терминологией: неравенство; верное, неверное неравенство; переменная; знаки >, <;

Ш использовать логические приемы мышления при работе с неравенствами.

Проверочная работа была составлена согласно требованиям к умениям учащихся при подготовке обучению в 5 классу. (см. Глава 3, параграф 3.2)

Работа проводилась 5 апреля вторым уроком в 4 "Б" классе, где учащиеся занимаются по программе Истоминой Н.Б. и в 4 "А" классе, где учащиеся занимаются также по программе Истоминой Н.Б., но в этом классе детям предлагались те учебные задания, которые описаны в главе 3, параграфе3.2.

Проверочная работа была следующего содержания:

Пояснительная записка.

Задание № 1. Цель: проверить умения учащихся сравнивать два числа.

Задание № 2. Цель: проверить умения учащихся сравнивать два выражения, используя вычислительные навыки, применяя свойства арифметических действий, используя знания взаимосвязи между компонентами и результатом действий;

Задания № 3 - 6. Цель: проверить умение решать неравенства методом подбора.

Задание № 7. Цель: проверить умения решать неравенства с помощью числового луча.

Задание № 8. Цель: проверить умения решать двойное неравенства с помощью числового луча.

Выбери те задания, которые ты сможешь выполнить.

1. а) Вставь недостающие цифры:

* 1*** > *6***

24**9 < 25***

***560 > ***560

б) Сравни:

35756 * 35956

95067 * 9567

745673 * 745645

2. Сравни выражения, не вычисляя их значений:

53158 : 7 … 350168 : 7

5308 - 308 - 2000 … 5000 + 308 - 2000

14088 : (3 • 8) … 14088 : 8 • 3

3284 • (9 + 6) … 3284 • 9 + 3284 • 7

508 • (32 • 4) … 508 • 32 • 5

5013 • 4 … 8 • 5013

3. Вставь числа в «окошки», чтобы получились верные неравенства:

720 : 4 > 4800 :

: 14 > 7800 : 1300

9000 • < 54000

4. Подбери четыре значений а, чтобы числовые неравенства получились верными:

а + 350 > 580 + 350

а = а =

а = а =

5. Поставь знак > или <, чтобы неравенства были верные:

а + 3960 … а + 3990

с - 518 … с - 543

0 : 273 + d …d + 1 : 273

Замени букву любым четырехзначным числом и проверь, правильно ли поставлены знаки.

6. Поставь вместо х значение переменной и покажи решение на числовом луче:

399994 + х > 400000

7. А, В и С - значения переменной трех неравенств. Напиши эти неравенства.

А = 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

В = 2, 3, 4, ...

С = 0, 1, 2, 3.

8. Отметь на луче те числа, которые можно подставить вместо x.

3 < х < 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Результаты проверочной работы. Таблица № 2

Таким образом, мы видим что учащиеся 4 "Б" класса справились с проверочной работой, показав те умения, которые необходимы выпускнику начальной школы по теме "Неравенство". Но здесь ребята не приступили к заданиям творческого характера и к заданию, где требовалось решить двойное неравенство. Также мы увидели, что дети которым предлагались задания, описанные в главе 3, параграфе 3.2. без ошибок справились с работой и выполнили задания № 6, 7, 8 что позволяет обеспечить усвоение материала на более высоком уровне и обеспечивает преемственность при работе с двойными неравенствами и решения неравенств с помощью координатного луча в 5 классе.

Цель задания: Класс	проверить умения учащихся сравнивать два числа	проверить умения учащихся сравнивать два выражения, применяя свойства арифме-тических действий, используя знания взаимосвязи между компонентами и ре-зультатом действий	проверить умение решать неравенства методом подбора	проверить умение решать неравенства с помощью числового луча	проверить умение выполнять задания творческого характера
4 "А" (эксперимен-ая группа) справились	14 человек 14 чел. - 100%	14 человек 14 чел. - 100%	14 человек 14 чел. - 100%	14 человек 14 чел. - 100%	14 человек 14 чел. - 100%
	4 "Б" (контрольная группа) справились	13 человек 13 чел. - 100%	13 человек 13 чел. - 100%	13 человек 11 чел. - 84%

Размещено на http://www.allbest.ru/

62

Таким образом, программа Истоминой Н.Б. и использование обучающих заданий обеспечивает высокий уровень усвоения учебного материала, способствуют реализации преемственности начальных классов и 5-6 классов основной школы. Учебные задания также могут быть использованы и в традиционной системе обучения.

обучение методика решение неравенство школьник

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Написание дипломной работы осуществлялось:

1. На основе анализа научно-педагогической, методической и периодической литературы.

В первой главе отражены теоретические сведения о неравенствах; рассмотрены: общее понятие неравенства, свойства неравенств, неравенства с одной переменной, различные методы решения неравенств.

Во второй главе проведен анализ содержания и методических подходов при работе с неравенствами в различных системах обучения. А именно: традиционная система обучения, автор Моро М.И., Бантова М.А., система "Школа - 2100", автор учебного комплекта Петерсон Л.Г. и система развивающего обучения, автор учебно-методического комплекта Истомина Н.Б.

При анализе мы пришли к выводу: в традиционных учебниках чаще всего используются объяснительно - иллюстративный, репродуктивный методы обучения. Преобладают однотипные упражнения тренировочного характера, формирующие знания, умения и навыки. Упражнения в основном ориентированы на отработку частных вопросов. Не уделяется внимание развитию самостоятельности мышления. Это формирует эмпирический тип мышления. Особенностью же учебников Н.Б.Истоминой и Л.Г. Петерсон является то, что используются логические приемы обучения: сравнение, классификация, преобразование, работа с признаками, абстрагирование, анализ, обобщение. Включены упражнения, в которых учащиеся рассматривают сложную цепочку рассуждений для нахождения результата. Используются частично - поисковый метод обучения, который позволяет развивать у детей логическое мышление и непосредственно влияет на более осознанное выполнение различных упражнений. Необходимо заметить, что у автора Истоминой Н.Б. содержание курса остается традиционным в отличие от программы Петерсон Л.Г., где расширен объем содержания.

Итогом этой главы явился сравнительный анализ в котором представлены: подготовительный этап, этап раскрытия сущности понятия "неравенство" и решение неравенств. Результат представлен в таблице № 1 (Стр. 45)

В третьей главе выделена специфика понятия преемственности как необходимого условия развития; рассмотрена преемственность при изучении понятия «неравенство» на начальной и основной ступенях образования в развивающей системе обучения по программе Истоминой Н.Б.

В основу построения математического содержания курса "Математика" положен комплексный, системный подход к характеристике преемственности, в котором нашли отражение:

Ж логика построения основной содержательно-методической линии курса, учитывающая взаимосвязь и развитие изучаемого школьниками понятия;

Ж развитие мышления учащихся;

Ж способы организации учебной деятельности учащихся.

2. В соответствии с концепцией обучения автора профессора Истоминой Н.Б. была составлена система учебных заданий по теме "Неравенство", нацеленных на развитие мышления учащихся. Разработана проверочная работа по теме "Неравенство", составлены конспекты уроков.

Список литературы

1. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах. - М.: Просвещение, 1984.- 335с.

2. Бантова М.А., Бельтюкова Г. В., Степанова С. В. Методическое пособие к учебнику "Математика. 1класс": Пособие для учителя. Просвещение, 2002.

3. Баранов И.А., Богатырев Г.И., Боковнев О.А. Математика для подготовительных курсов техникумов (Под ред. Т.А.Панькова. - М.: Наука. Гл.ред. физ. - мат.лит., 1982.

4. Истомина Н.Б., Нефедова И. Б.Информационно-методическое письмо об учебниках математики для четырехлетней начальной школы//Начальная школа. - 1998. - №8. - С.72 - 74

5. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. М.: Издательский центр "Академия", 2000. - 288с.

6. Истомина Н.Б., Нефедова И.Б. Математика. Учебник для 1 класса четырехлетней начальной школы. - Смоленск, 2001. - 176с.

7. Истомина Н.Б., Нефедова И.Б. Математика. Учебник для 2 класса четырехлетней начальной школы. - Смоленск, 2001. - 176с.

8. Истомина Н.Б., Нефедова И.Б. Математика. Учебник для 3 класса четырехлетней начальной школы. - Смоленск, 2000. - 176с.

9. Истомина Н.Б. Математика. Учебник для 4 класса четырехлетней начальной школы. - Смоленск, 1999. - 240с.

10. Истомина Н.Б. Методические рекомендации к учебнику "Математика. 1 класс". - Смоленск. Ассоциация XXI век, 2000 - 112с.

11. Истомина Н.Б. Методические рекомендации к учебнику "Математика. 2 класс". - Смоленск. Ассоциация XXI век, 2001 - 96с.

12. Истомина Н.Б. Методические рекомендации к учебнику "Математика. 3 класс". - Смоленск. Ассоциация XXI век, 2000 - 112с.

13. Магомедов Н.Г. Некоторые упражнения по усвоению элементов математической логики//Начальная школа. - 2002. - №3. - С.48 - 49

14. Моро М.И., Пышкало А.М. Методика обучения математике в I-III классах. - М.: Просвещение, 1975. - 304с.

15. Моро М.И., Бантова, Бельтюкова и др.Математика. Учеб. для 1 кл. четырехлет. нач.шк. - М.: Прсвещение, 2001. - 96с.

16. Моро М.И., Бантова, Бельтюкова и др.Математика. Учеб. для 2 кл. четырехлет. нач.шк. - М.: Прсвещение, 2001. - 144с.

17. Моро М.И., Бантова, Бельтюкова и др.Математика. Учеб. для 3 кл. четырехлет. нач.шк. - М.: Прсвещение, 2001. - 184с.

18. Моро М.И., Бантова, Бельтюкова и др.Математика. Учеб. для 4 кл. четырехлет. нач.шк. - М.: Прсвещение, 2000. - 204с.

19. Педагогика: педагогические теории, системы, технологии: Учеб. для студ. высш. и сред. учеб. заведений/ Под ред. С.А. Смирнова. - М.: Издательский центр "Академия", 1999. - 512с.

20. Петерсон Л.Г. Математика 1 класс. Методические рекомендации. Пособие для учителей. - М.: "Баласс", "С-инфо", 1996, - 224с.

21. Петерсон Л.Г. Математика 2 класс. Методические рекомендации. Пособие для учителей. - М.: "Баласс", "С-инфо", 1997, - 256с.

22. Петерсон Л.Г. Математика 1 класс. Часть 1. М.: "Баласс", "С-инфо", 2000.

23. Петерсон Л.Г. Математика 1 класс. Часть 2. М.: "Баласс", "С-инфо", 2000, - 64с.

24. Петерсон Л.Г. Математика 2 класс. Часть 1. - М.: Издательство "Ювента", 2002. - 80с.

25. Петерсон Л.Г. Математика 2 класс. Часть 3. - М.: Издательство "Ювента", 2002. - 112с.

26. Петерсон Л.Г. Математика 2 класс. Методические рекомендации. Пособие для учителей. - М.: "Баласс", "С-инфо",1997, - 256с.

27. Петерсон Л.Г. Математика 2 класс. Часть 1. - М.: Издательство "Ювента", 2002. - 80с.

28. Петерсон Л.Г. Математика 2 класс. Часть 2. - М.: Издательство "Ювента", 2002. - 112с.

29. Петерсон Л.Г. Математика 3 класс. Часть 1. - М.: Издательство "Ювента", 1996. - 112с.

30. Петерсон Л.Г. Математика 3 класс. Часть 2. - М.: Издательство "Ювента", 1996. - 96с.

31. Приложение к журналу "Начальная школа", поурочные разработки: пособие для учителя. - М.: Начальная школа, 2002. - 224с.

32. Селевко Г.К. Современные образовательные технологии.: Учебное пособие. - М.: Народное образование, 1998. - 256с.

33. Стойлова Л.П., Пышкало А.М. Основы начального курса математики. - М.: Просвещение, 1988.- 320с.

34. Савинова С.В. Математика. 1 класс: Поурочные планы. - Волгоград: Учитель, 2003. - 106с.

35. Цыкина Н.А. Математика. 3 класс. Часть I. Поурочные планы. - Волгоград: Учитель, 2003. - 176с.

36. Цыкина Н.А. Математика. 3 класс. Часть II. Поурочные планы. - Волгоград: Учитель, 2003. - 160с.

Размещено на Allbest.ru