Логико-математический анализ учебного материала темы "Квадратные неравенства"

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Глава 1. Логико-математический анализ учебного материала темы «Квадратные неравенства»

1.1 Анализ представления темы в различных школьных учебниках

1.2 Анализ дидактической единицы темы

1.3 Анализ теоретического содержания темы

1.4 Анализ задачного материала темы

Глава 2. Методика обучения учащихся по теме «Квадратные неравенства»

2.1 Обязательные результаты обучения

2.2 Анализ методической литературы по теме «Квадратные неравенства»

2.3 Тематическое планирование по теме «Квадратные неравенства»

2.4 Описание методики обучения теме «Квадратные неравенства»

2.5 Методика обучения решению типовых задач

2.6 Описание приложения

Заключение

Список используемой литературы

Приложения



Введение

Тема «Квадратные неравенства» занимает важное место в математике. Эта тема связана с другими содержательными линиями: неравенства, квадратичная функция, график функции, решение неравенств.

Тема изучается в 8 классе: изучается определение квадратного неравенства, различные способы его решения.

При изучении темы имеются возможности для развития памяти, логического мышления, формирования у учащихся навыков самостоятельной работы. Квадратные неравенства сами по себе представляют интерес для изучения, так как именно с их помощью на символьном языке записываются важные задачи познания реальной действительности. Как в самой математике, так и в её приложениях с квадратными неравенствами приходится сталкиваться не менее часто, чем с уравнениями. Например, квадратные неравенства используются при изучении свойств функции (нахождение промежутков знакопостоянства функции, определение монотонности и др.)

Ожидаемые результаты - ученики должны знать определение квадратного неравенства, алгоритмов решения квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции и методом интервалов, уметь применять данные алгоритмы к решению задач.

Целью данной работы состоит в том, чтобы разработать методику обучения учащихся теме «Квадратные неравенства». Для реализации цели необходимо решить следующие задачи: проанализировать представление темы в различных школьных учебниках, выполнить анализ теоретического содержания темы, задачного материала темы, сделать анализ методической литературы по данной теме, разработать математического планирование, описать методику обучения теме «Квадратные неравенства», а так же описать методику обучения решению типовых задач.

Данная работа состоит из двух глав и приложения.

В первой главе рассматривается логико-математический анализ учебного материала темы, который включает в себя анализ представления темы в различных школьных учебниках, анализ дидактической единицы темы, анализ теоретического содержания темы и анализ задачного материала темы.

Во второй главе рассматривается методика обучения учащихся по теме, которая включается в себя обязательные результаты обучения, анализ методической литературы, математическое планирование, описание методики обучении, а так же методичку обучения решения типовых задач.



Глава 1. Логико-математический анализ учебного материала темы «Квадратные неравенства»

1.1 Анализ представления темы в различных школьных учебниках

Компоненты анализа учебника	Мордкович А.Г. Алгебра 8, 9 кл.	Алимов Ш.А. Алгебра 8 кл.	Никольский С.М. Алгебра 9 кл.
Общая структура а) характеристика частей.	1.1. а) Материал в учебнике по данной теме разделен на 2 главы: глава 6 (в учебнике за 8 класс), которая содержит §35 и глава 1 (в учебнике за 9 класс), которая содержит §1, §2. Нумерация параграфов сквозная. Отдельно имеется задачник. Итого, содержание темы занимает три параграфа.	1.1. а) Материал в учебнике по данной теме представлен в 4 главе «Квадратные неравенства», которая содержит 4 параграфа. Нумерация параграфов сквозная. Итого, содержание темы занимает четыре параграфа.	1.1. а) Материал в учебнике по данной теме представлен в §2, который в свою очередь состоит из 5 пунктов. Итого, содержание темы представлено в пяти пунктах.
б) структура наименьшей части.	б) каждый параграф содержит только теоретический материал, примеры с подробным решением, которые являются либо опорой для введения теоретического материала, либо образцами применения теории.	б) каждый параграф содержит теоретический материал, примеры, которые являются либо опорой для введения теоретического материала, либо образцами применения теории. Имеются задания различной степени трудности.	б) каждый пункт содержит теоретический материал, который подробно объяснен на примерах. Так же имеются задания для проверки знаний и задания, предназначенные для устной работы
Представление задачного материала. а) классификация.	1.2. а) задачный материал разбит на след.блоки: первый - до черты - содержит задания базового и среднего уровня сложности, к ним ответы даны в конце задачника. Второй блок упражнений - после черты - включает задания среднего и выше среднего уровня трудности.	1.2. а) задачный материал разбит на следующие основные блоки: обязательные задачи, дополнительные более сложные задачи и трудные задачи.	1.2. а) задачный материал разбит на следующие основные блоки: наиболее легкие задания, предназначенные для устной работы; задания повышенной трудности.
б) представление текста задачи.	б) задачи представлены математическим текстом.	б) в основном присутствуют задачи, представленные математическим текстом, так же есть задачи, содержащие чертеж по условию.	б) задачи представлены как стандартным математическим текстом, так и нагладно-поисковым текстом.
Другие структурные особенности	1.3. При изложении материала используются различные значки типа «рабочий словарь», «вспомните», «обратите внимание» и т.д.	1.3. При изложении материала используется разный цвет и шрифт	1.3. Других структурных особенностей нет.
Методические особенности Характер изложения.	2. 2.1. Теоретический материал рассматривается сначала на конкретных примерах, а затем делаются обобщения. Следовательно, материал учебника изложен конкретным индуктивным методом.	2. 2.1. Теоретический материал рассматривается сначала на конкретных примерах, а затем делаются обобщения. Следовательно, материал учебника изложен конкретным индуктивным методом.	2. 2.1. В начале вводится теоретический материал, который в последствии объясняется на примерах. Следовательно, материал учебника изложен дедуктивным методом.
Использование цвета, особых выделений главного.	2.2. Материал для заучивания (определения, теоремы, правила) выделяются жирным курсивом. Алгоритмы взяты в рамочку. Номера примеров среднего уровня снабжены значком _, номера сложных примеров - ?.	2.2. Материал для заучивания (опред-ия, теоремы, алгоритмы) выделяются курсивом и рядом с материалом помещен розовый прямоугольник; текст, который важно знать и полезно помнить (не обязательно наизусть) помещается в рамки.	2.2. Материал для заучивания (определения, теоремы) выделяются жирным шрифтом. _ и ? - знаки, отмечающие начало и конец текста, необязательного при работе по обычной программе.
Наглядность.	2.3. Наглядность применяется для представления и пояснения некоторых задач и теоретического материала: рисунки, чертежи.	2.3. Имеются рисунки и чертежи для наглядного представления теоретического и задачного материала.	2.3. Для представления и пояснения некоторых задач применяются чертежи, рисунки.
Повторение	2.4. Материал для повторения не выделен.
Другие методические особенности.	2.5. Нет других особенностей.
Выводы. Достоинства.	3.1. Изложение материала характеризуется четкостью, алгоритмичностью, выделяются основные этапы рассуждений с фиксацией внимания читателя на выделенных этапах.	3.1. В учебнике четко выделен материал для запоминания. Есть легкие задачи. Цветное оформление.	3.1. В учебнике выделен текст для запоминания. Достаточно много рисунков и чертежей.
Недостатки.	3.2. Задачник представлен отдельно от теорет. материала. Мало цветов. Нет исторических сведений.	3.2. Мало рисунков и чертежей.	3.2. Нет исторических сведений. Не используется цветное оформление.

1. Объем содержания учебника Мордковича А.Г. по данной теме очень большой. Материал рассматривается и в 8, и в 9 классе. В учебниках Алимова Ш.А. и Никольского С.М. объем содержания примерно одинаков.

2. У Мордковича А.Г. задачный материал представлен отдельно от теоретического, что не совсем удобно. В учебнике Алимова Ш.А. присутствует и задачный, и теоретический материал. Причем теоретический материал подкреплен конкретными разобранными примерами. В учебнике Никольского С.М. мало примеров с решением, в основном теоретический и задачный материал.

3. В учебнике Мордковича А.Г. используется индуктивный метод изложения теоретического материала. Задачный материал разделен на легкие, средние задачи и задачи повышенной трудности. Цветного оформления нет, но используются различные значки для обозначения «характера» теоретического материала. У Алимова Ш.А. так же индуктивный характер изложения теоретического материала. Причем материал достаточно нагляден - присутствует большое количество рисунков, чертежей. В учебнике Никольского С.М. не используется цветовое оформление. Теоретический материал представлен дедуктивным методом. Рисунков, чертежей мало.

4. Таким образом, мой выбор - учебник Алимова Ш.А. Так как он наиболее нагляден для учащихся. Весь теоретический материал подкреплен конкретными примерами. Задачный материал рассчитан на каждого ученика: есть задачи легкого уровня, среднего и повышенной трудности.

квадратный неравенство математический обучение

1.2 Анализ дидактической единицы темы

· С точки зрения логики:

- В теме представлено всего одно понятие - понятие квадратного неравенства, которое определено через род и видовые отличия.

- Утверждения темы сформулированы в импликативной форме.

- Алгоритма в теме два:

а) алгоритм решения квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции;

б) алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов.

Методы доказательства утверждений и решения задач:

- алгебраический;

- на применение алгоритма;

- эвристический;

- на построение графика.

· С помощью блок-схемы:



· Обязательные результаты обучения по теме:

- Знать: определение квадратного неравенства, алгоритмы решения квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции и методом интервалов.

- Уметь: отличать квадратные неравенства от других неравенств, применять алгоритмы решения квадратных неравенств с помощью квадратичной функции и методом интервалов к решению задач.

1.3 Анализ теоретического содержания темы

Анализ понятий.

В теме представлено 2 понятия, из которых только одно определено явно.

1. Формулировка определения понятия: Если в левой части неравенства стоит квадратный трехчлен, а в правой - нуль, то такое неравенство называют квадратным.

2. Логический анализ структуры определения понятия «квадратное неравенство»:

- термин - квадратное неравенство;

- род - неравенство;

- видовые отличия: в левой части неравенства стоит квадратный трехчлен, а в правой - нуль;

- связь между видовыми отличиями -с точки зрения логики - импликативное определение;

- вид определения - через род и видовые отличия;

- опорные знания - понятие неравенства, понятие квадратного трехчлена.

3. Подведение под понятие (примеры конкретных квадратных неравенств и контрпримеры):

; ; ; ;

.

4. Следствия из определения понятия: решение квадратного неравенства (графическим методом, аналитическим методом, методом интервалов).

5. Возможные ошибки в формулировке определения: учащиеся вместо двух существенных признаков называют только один; забывают указать слово «неравенства».

Используется импликативная связь между видовыми отличиями в определении понятия. Понятие определяется через род и видовые отличия. Подведение под понятие осуществляется с помощью примеров конкретных квадратных неравенств и контрпримеров. Опорными знаниями являются понятия неравенства и квадратного трехчлена. Возможные ошибки состоят в том, что учащиеся вместо двух существенных могут назвать только один, забывают указать слово «неравенства».

Анализ утверждений.

1.

1. Формулировка утверждения: Если D<0, то при всех действительных значениях х знак квадратичной функции совпадает со знаком числа а.

2. Структура утверждения:

- разъяснительная часть - любая квадратичная функция;

- условие - 1) D<0; 2) ;

- заключение - При всех действительных значениях х знак квадратичной функции совпадает со знаком числа а.

3. Форма формулировки утверждения - импликативная.

4. Вид утверждения - сложное (два условия, одно заключение).

5. Метод доказательства - алгебраический.

6. Достаточное или необходимое условие - достаточное.

7. Опорные знания: понятие дискриминанта, понятие квадратного трехчлена, понятие действительного числа.

8. Возможные ошибки и затруднения: в формулировке утверждения пропускают слово «действительных».

II.

1. Формулировка утверждения: Если D=0, то при всех действительных значениях х, кроме , знак квадратичной функции совпадает со знаком числа а; при значение квадратичной функции равно нулю.

2. Структура утверждения:

- разъяснительная часть - любая квадратичная функция;

- условие - 1) D=0; 2) ;

- заключение - 1) при всех действительных значениях х, кроме , знак квадратичной функции совпадает со знаком числа а; 2) при значение квадратичной функции равно нулю.

3. Форма формулировки утверждения - импликативная.

4. Вид утверждения - сложное (два условия, два заключения).

5. Метод доказательства - алгебраический.

6. Достаточное или необходимое условие - достаточное.

7. Опорные знания: понятие дискриминанта, понятие квадратного трехчлена, понятие действительного числа.

8. Возможные ошибки и затруднения: в формулировке утверждения пропускают слово «действительных».

III.

1. Формулировка утверждения: Если D>0, то знак квадратичной функции совпадает со знаком числа а для всех х, лежащих вне отрезка [x₁,x₂], т.е. при x<x₁ и при x>x₂, где x₁<x₂ - нули функции; знак квадратичной функции противоположен знаку числа а при x₁<x<x₂.

2. Структура утверждения:

- разъяснительная часть - любая квадратичная функция;

- условие - 1) D>0; 2) ;

- заключение - 1) знак квадратичной функции совпадает со знаком числа а для всех х, лежащих вне отрезка [x₁,x₂], 2) знак квадратичной функции противоположен знаку числа а при x₁<x<x₂.

3. Форма формулировки утверждения - импликативная.

4. Вид утверждения - сложное (два условия, два заключения).

5. Метод доказательства - алгебраический.

6. Достаточное или необходимое условие - достаточное.

7. Опорные знания: понятие дискриминанта, понятие квадратного трехчлена, понятие действительного числа.

8. Возможные ошибки и затруднения: в формулировке утверждения забывают указывать значения х.

Все утверждения даны в импликативной форме. Все теоремы сложные. Во всех теоремах используется алгебраический метод доказательства. Данные теоремы являются достаточными условиями. Опорными знаниями являются понятия дискриминанта, квадратного трехчлена, действительного числа. Возможные ошибки состоят в том, что учащиеся могут забыть в формулировке теорем указывать значения x, пропускать слово «действительных».

Анализ алгоритмов (правил)

В данной теме содержатся два алгоритма: алгоритм решения квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции и алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов.

I. Алгоритм решения квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции:

1) определить направление ветвей параболы по знаку первого коэффициента квадратичной функции;

2) найти действительные корни соответствующего квадратного уравнения или установить, что их нет;

3) построить эскиз графика квадратичной функции, используя точки пересечения (или касания) с осью Ох, если они есть;

4) по графику определить промежутки, на которых функция принимает нужные значения.

Правило	Корректировка правила	Характерестич. свойства	Обосновывающ. знания	Опорные знания
1. а) если а<0, то ветви параболы направлены вниз; б) если a>0, то ветви параболы направлены вверх. 2. а) если сущ. х1 и х2 - корни квадратного трехчлена, то график имеет две точки пересечения с осью Ох; б) если сущ. только х1, то график имеет одну точку пересечения с осью Ох; в) если корней нет, то пересечения графика с осью Ох нет. 3. Эскиз графика квадр. функции. 4. Записать ответ.	Расписать правило на 4: 1. ax2+bx+c>0; 2. ax2+bx+c<0; 3. ax2+bx+c?0; 4. ax2+bx+c?0;	1. Массовость. 2. Дискрентность. 3. Элементарность. 4. Детерменированность. 5. Результативность.	Сравнение чисел с нулем, нахождение корней квадратного трехчлена.	Сравнение чисел с нулем, нахождение корней квадратного трехчлена, тождественные преобразования неравенств.

II. Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов:

1) Найти корни квадратного трехчлена;

2) Отметить данные корни на числовой оси;

3) Определить знак квадратного трехчлена на каждом из полученных интервалов;

4) Выбрать требуемые промежутки и записать ответ.

Правило	Корректировка правила	Характерестич. свойства	Обосновывающ. знания	Опорные знания
1. Найти корни ax2+bx+c=0; 2. Отметить данные корни на числовой оси; 3. Определить промежутки на которых ax2+bx+c>0 и ax2+bx+c<0; 4. Записать ответ.	Расписать правило на 4: 1. ax2+bx+c>0; 2. ax2+bx+c<0; 3. ax2+bx+c?0; 4. ax2+bx+c?0;	1. Массовость. 2. Дискрентность. 3. Элементарность. 4. Детерменированность. 5. Результативность.	Сравнение чисел с нулем, нахождение корней квадратного трехчлена.	Сравнение чисел с нулем, нахождение корней квадратного трехчлена, тождественные преобразования неравенств.

1. Ядерным материалом темы являются одно новое понятие, три утверждения и два алгоритма;

2. Теоретический материал изложен индуктивно;

3. Задачный материал способствует отработке представленной теории на 1 и 2 УУ.

1.4 Анализ задачного материала темы

№ задач	По способу задания	По характеру требования	По сложности	По способу решения	По дидактической цели	По типу задач
652-655; 660-664; 666-669; 687-691; 692-696; 699	Задачи представлены математическим текстом	Решить неравенство	652-654,660-664,667,687-691 - O	652-655, 687-688 - алгебраический; 660-664, 666-669, 689-691 - на применение алгоритма.	Отработка алгоритма решения квадратного неравенства с помощью графика	652-655, 687-689, 694, 699 - 1.1, 660-664, 667-669, 692-694, 695-696 - 1.2, 666 - 1.3, 690-691 - 1.4
			655,668-669, 692-696 - OO
			699 - OOO
675-682	Задачи представлены математическим текстом	Решить методом интервалов неравенство	675-680 - O	На применение алгоритма	Отработка алгоритма решения квадратного неравенства методом интервалов	675-682 - 1.4
			681 -OO
			682 - OOO
656, 659, 698	Задачи представлены математическим текстом	Построить график функции	659 - O 656, 698 - OO	На построение графика, на применение алгоритма.	Отработка алгоритма решения квадратного неравенства с помощью графика	656, 659- 2.1, 698 - 2.2,
672,673, 685,686.	Текстовые задачи	Найти значение параметра, при котором выполняется данное условие	672,673,685,686- OOO	Алгебраический	Отработка свойств квадратичной функции, алгоритма решения квадратичного неравенства с помощью графика	672,673 - 3.1, 685 - 3.2, 686 - 3.3.
658, 670, 700.	Текстовые задачи	Найти числа, удовлетворяющие заданному условия	670 - OO	Алгебраический	Отработка свойств квадратичной функции	658 - 4.1, 670 - 4.2, 700 - 4.3.
			658, 700 - OOO
683, 684, 657	Задачи представлены математическим текстом	Доказать, что квадратичная функция имеет действит-ые нули при заданном условии	683, 684 , 657- OOO	Алгебраический	Отработка свойств квадратичной функции	683 - 5.1, 684 - 5.2, 657 - 5.3
671	Задачи представлены математическим текстом	Показать, что при заданном условии выполняется неравенство	671 - OOO	Алгебраический	Отработка свойств квадратичной функции, алгоритма решения квадратичного неравенства с помощью графика	671 - 6.1
665	Задача по готовому чертежу	Используя график функции указать ответ	665 - O	Эвристический	Отработка алгоритма решения квадратичного неравенства с помощью графика	665 - 7.1

Условные обозначения: O - легкие задачи, OO - более сложные задачи, OOO - трудные задачи.

Типы задач:

1.1 - решить неравенство.

1.2 - решить неравенство с помощью графика квадратичной функции.

1.3 - (устно) решить неравенство.

1.4 - решить неравенство методом интервалов.

2.1 - Построить график функции, по графику найти все значения х, при которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения; значения, равные нулю.

2.2 - В данной системе координат построить графики функций и выяснить, при каких х значения одной функции больше (меньше) значений другой, результат проверить, решив соответствующее неравенство.

3.1 - Найти все значения r, для которых при всех действительных значениях х выполняется неравенство.

3.2 - Найти все действительные значения b, при которых корни уравнения действительные и такие, что х₁>-1, x₂>-1.

3.3 - Найти все действительные значения b, при которых корни уравнения действительные и принадлежат интервалу (0;3).

4.1 - Из трех последовательных натуральных чисел произведение первых двух меньше 72, а произведение последних двух не меньше 72. Найти эти числа.

4.2 - Найти все значения х, при которых функция принимает значения, не большие нуля.

4.3 - Найти четыре последовательных целых числа такие, что куб второго из них больше произведения трех остальных.

5.1 - Доказать, что квадратичная функция имеет действительные нули х₁ и х₂ такие, что х₁<M, x₂<M, где М - заданное число, только тогда, когда выполняются заданные условия.

5.2 - Доказать, что квадратичная функция имеет действительные нули х₁ и х₂ такие, что K<x₁<M, K<x₂<M, где К и М - заданные числа, только тогда, когда выполняются заданные условия.

5.3 - Известно, что числа х₁ и х₂, где x₁<x₂, являются нулями функции. Доказать, что если число х₀ заключено между х₁ и х₂, то выполняется заданное неравенство.

6.1 - Показать, что при q>1 решениями неравенства являются все действительные значения х.

7.1 - Используя график функции, указать, при каких значениях х эта функция принимает требуемые значения.



Глава 2. Методика обучения учащихся по теме «Квадратные неравенства»

2.1 Обязательные результаты обучения

Федеральный базисный учебный план образовательных учреждений от 09.03.2004г.

Из стандарта основного общего образования по математике:

· Обязательный минимум содержания по теме «Квадратные неравенства»:

- неравенства с одной переменной;

- решение неравенства;

- квадратные неравенства;

- примеры решения дробно-линейных неравенств;

- переход от словесной формулировки соотношений между величинами к алгебраической;

- решение текстовых задач алгебраическим способом.

· Требования к уровню подготовки по теме «Квадратные неравенства»:

- знать как используются математические неравенства;

- знать примеры из применения для решения математических и практических задач;

- уметь решать квадратные неравенства с одной переменной и их системы.

2.2 Анализ методической литературы по теме «Квадратные неравенства»

Проанализируем методическую литературу с точки зрения наличия в ней методических приемов, подведения, приемов закрепления и приемов контроля.

№	Источник анализа	Методические приемы	Подведение	Приемы закрепления	Приемы контроля
1.	Шуругина Н.В. «Разработка урока по алгебре в 9 классе по теме: “Решение квадратных неравенств”» / Н.В. Шуругина. Новосиб.обл., 2007г.	Использование мультимедиа технологий (презентация Power Point), интерактивная доска, линейки согласия-несогласия, предложение в адрес учащихся сделать гипотезы, самостоятельные работы учеников, работы учащихся в группах.	Заранее подготовленные вопросы и задания учителя, устная работа по специально подобранным чертежам.	Работа по готовым чертежам, самостоятельное решение простейших задач, работа в группах.	Проверка решений осуществляется при первом готовом решении одной из групп на интерактивной доске, групповая работа оценивается руководителями, отражая результат в паспорта.
2.	Коломникова С.И. «Решение квадратных неравенств». Работа выполнена в рамках проекта «Повыш. квалификации различных категорий работников образования и формирования у них базовой педагогической ИКТ - компетентности»/ С.И.Коломникова. Новосиб.обл., 2008г.	Использование мультимедиа технологий (презентация Power Point), предложение в адрес учащихся сформулировать алгоритм решения квадратных неравенств, по ходу обсуждения материала учащиеся составляют опорный конспект.	Устная работа по специально подобранным чертежам, работа с таблицей «решение квадратных неравенств», два ученика работают у доски по карточкам, фронтальный опрос остальных учащихся.	Работа по готовым чертежам, работа с опорными конспектами, самостоятельная работа учащихся у доски, составление алгоритма на решение кв.неравенства.	Работа в парах с элементами соревнования, работа с учебником, домашнее задание.
3.	Полякова Е.А. «Методическая разработка по теме “Квадратное неравенство и его решение” по учебнику Алимова Ш.А., Алгебра 8 класс./ Е.А.Полякова. Белгород, 2009г.	Использование мультимедиа технологий (презентация Power Point), использование рабочих карт урока, практические работы.	Кросс-опрос, письменная работа у доски, устная работа по специально подобранным вопросам.	Решение простейших задач у доски, составление алгоритма на решение кв.неравенств,	Самостоятельная работа учеников в тетрадях, с последующей проверкой результатов у доски.
4.	Федоськина О.Д. «Решение квадратных неравенств и неравенств, сводящихся к квадратным с использованием графика квадратичной функции» по учебнику Алимова Ш.А. Алгебра 8 класс./ О.Д.Федоськина. Сов.Гавань, 2004г.	Использование персональных компьютеров, приложения MS Excel, интерактивные тесты в программе MS Excel, раздаточный материал: таблицы 1,2.	Фронтальный опрос учеников, совместное рассмотрение хода решения кв.неравенства, устное компьютерное тестирование.	Задания на чтение графиков функций, работа с таблицами.	Практическая работа на компьютере, самостоятельная работа учащихся, задание на дом.
5.	Матукова Т.А. «Решение квадратных неравенств» в 8 кл., по учебнику «Алгебра» Мордковича А.Г./ Т.А.Матукова. Кемеровская область, 2006г.	Использование проектора, интерактивной доски, мультимедиа технологий (презентации Power Point).	Разминка, на которой повторяют основные теоретические моменты по данной теме, рассматривают различные виды расположения корней квадратного трехчлена и направления парабол при решении неравенств, отрабатывается выбор правильного решения неравенства.	Решение квадратных неравенств с помощью схематического изображения параболы, решение заданий с выбором ответов, самостоятельное приведение примеров учащимися.	Контроль проводится у доски, а также в презентации Power Point, выбирается ответ и нажимается кнопка «проверить».
6.	Рязанцева Е.А. «Открытый урок по теме “Решение неравенств второй степени с одной переменной”» по учебнику Макарычева Ю.Н. Алгебра 9 кл.	Использование медиа-проектора, авторской презентации к уроку, раздаточного материала, копировальной бумаги.	Предложение учащимся выполнить самостоятельную работу (под копирку).	Класс решает неравенство по алгоритму с пошаговым контролем учителя. Проведение физкультразминки (ученики ищут карточку с правильным ответом только что решенного задания и называют ее цвет), ученики поочередно проговаривают алгоритм решения соседу по парте.	Учитель берет один экземпляр самостоятельной работы, по второму экземпляру ученики работают в парах (обсуждают, исправляют), затем ученики сверяют ответы по представленным учителем на экране презентации решениям. Устный контроль. Постановка домашнего задания.

Размещено на http://www.allbest.ru/

2.3 Тематическое планирование по теме «Квадратные неравенства»

№1.

Тема урока: «Квадратное неравенство».

Цели урока:

ОЦ: Обеспечить усвоение понятия «квадратное неравенство».

ВЦ: Формирование у учащихся навыков самостоятельной работы.

РЦ: Развитие умений анализировать, сравнивать, конкретизировать и делать выводы.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый, репродуктивный.

Приемы обучения: использование заранее сделанных записей на доске; выполнение заданий на чтение заданных выражений; придумывание учащимися примеров.

Средства обучения: специально подобранные вопросы и задания учащимся.

Формы контроля: устный контроль; самостоятельная работа учащихся у доски.

Приемы мотивации: предложить решить учащимся задание на новый материал.

Ожидаемы результаты: Дети пытаются решить проблему, но понимают, что не хватает знаний. Дети стараются отвечать на вопросы учителя, стараются решать примеры на узнавание квадратных неравенств, придумывают свои примеры.

№2.

Тема урока: «Квадратное неравенство и его решение».

Цели урока:

ОЦ: обеспечить усвоение способа решения квадратного неравенства.

ВЦ: формирование у учащихся навыков самостоятельной работы.

РЦ: развивать умение анализировать, сопоставлять и делать выводы.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый, репродуктивный.

Приемы обучения: подводящий или побуждающий диалоги, использование заранее сделанных записей на доске, придумывание учащимися примеров.

Средства обучения: специально подобранные вопросы и задания учащимся.

Формы контроля: устный контроль, самостоятельная работа учащихся у доски и в тетрадях.

Приемы мотивации: предложить решить учащимся задание на новый материал.

Ожидаемы результаты: Дети вспоминают, что мы понимаем под квадратным неравенством, говорят о том, что мы называем решением неравенств, пытаются сформулировать способ решения квадратного неравенства.

№3.

Тема урока: «Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции».

Цели урока:

ОЦ: Обеспечить усвоение алгоритма решения квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции.

ВЦ: Формирование у учащихся навыков самостоятельной работы, воспитание сообразительности, воспитание аккуратности.

РЦ: развитие умений анализировать, конкретизировать и делать выводы; развитие памяти через неоднократное повторение.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый, репродуктивный.

Приемы обучения: подводящий или побуждающий диалоги, предложение учащимся сформулировать алгоритм, предложение учащимся сравнить новую задачу с решенной.

Средства обучения: интерактивная доска, специально подобранные вопросы и задания учащимся.

Формы контроля: устный контроль, отслеживание грамотности формулирования алгоритма, практическая работа учащихся в тетради.

Приемы мотивации: предложить решить учащимся задание на новый материал.

Ожидаемые результаты: Дети стараются формулировать алгоритм решения квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции, отвечают на вопросы учителя.

№4.

Тема урока: «Метод интервалов».

Цели урока:

ОЦ: Обеспечить усвоение решения квадратных неравенств методом интервалов.

ВЦ: Формирование у учащихся навыков самостоятельной работы, воспитание сообразительности, воспитание аккуратности.

РЦ: Развитие умений анализировать, выделять главное, обобщать, конкретизировать и делать выводы.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый, репродуктивный.

Приемы обучения: подводящий диалог, предложение учащимся самостоятельно сформулировать алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов.

Средства обучения: специально подобранные вопросы и задания учащимся.

Формы контроля: устный контроль, письменный контроль.

Приемы мотивации: предложить решить учащимся решить задание на новый материал.

Ожидаемые результаты: Дети стараются формулировать алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов, отвечают на вопросы учителя.

№5.

Тема урока: «Исследование квадратичной функции».

Цели урока:

ОЦ: Обеспечить усвоение теорем, выражающих зависимость знака квадратичной функции от знака коэффициента а и знака D.

ВЦ: Формирование у учащихся навыков самостоятельной работы, воспитание самостоятельности, целеустремленности.

РЦ: Развитие умений анализировать, делать выводы, развивать умение работать с книгой.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый, репродуктивный.

Приемы обучения: подводящий диалог, самостоятельная работа учеников у доски.

Средства обучения: специально подобранные вопросы и задания учащимся.

Формы контроля: устный контроль, письменный контроль.

Приемы мотивации: предложить решить учащимся решить задание на новый материал.

Ожидаемые результаты: Дети отвечают на вопросы учителя, работают с учебником.

№6.

Тема урока: «Контрольный урок по теме “Квадратные неравенства”».

Цели урока:

ОЦ: Проверка знаний учащихся.

ВЦ: Формирование у учащихся навыков самостоятельной работы, воспитание сообразительности, воспитание аккуратности.

РЦ: Развитие умений анализировать, выделять главное, обобщать, конкретизировать и делать выводы.

Приемы обучения: самостоятельная работа учеников в тетради.

Средства обучения: специально подобранные вопросы и задания учащимся.

Формы контроля: письменный контроль.

Приемы мотивации: предложить решить учащимся решить задание на пройденный материал.

Ожидаемые результаты: Дети решают контрольную работу.

2.4 Описание методики обучения теме «Квадратные неравенства»

Урок 1: «Квадратное неравенство».

Предмет, класс, количество часов: Алгебра, 8 класс, 1 час.

Тип урока: урок изучения нового.

Цели урока:

ОЦ: Обеспечить усвоение понятия «квадратное неравенство».

ВЦ: Формирование у учащихся навыков самостоятельной работы.

РЦ: Развитие умений анализировать, сравнивать, конкретизировать и делать выводы.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый, репродуктивный.

План урока

1. Оргмомент.

2. Актуализация знаний.

3. Введение понятия «квадратное неравенство».

4. Отработка новых знаний.

5. Подведение итогов урока.

6. Постановка домашнего задания.

ХОД УРОКА

1. Оргмомент.

Ребята, сегодня мы начинаем изучать новую главу «Квадратные неравенства». На сегодняшнем уроке мы с вами постараемся узнать, что же такое квадратное неравенство.

2. Актуализация знаний.

Для начала давайте вспомним, что вообще мы понимаем под неравенством. (дети говорят, что число а больше числа b, если разность a-b положительна. Число а меньше числа b, если разность a-b отрицательна).

Хорошо. Мы с вами знаем линейные неравенства, которые содержат линейные функции. Скажите, а какую функцию мы называли квадратичной? (Функция , где a,b и c заданные действительные числа, a?0, х - действительная переменная, называется квадратичной функцией).

Укажите среди записанных на доске функций квадратичную.

; ; ; .

(Квадратичными являются первая и последняя функции. Во втором случае функция является линейной, а в третьем - кубической).

3. Введение понятия «квадратное неравенство».

Ребята, на доске вы видите записи

, , , ,

, .

Какие из данных неравенств являются линейными?

(Линейными являются неравенства .

Почему вы сделали такие выводы?

(Потому что данные неравенства содержат линейные функции)

Хорошо! Какие еще неравенства вы видите на доске?

(Неравенства .

Молодцы. У нас остались еще два неравенства, которым мы ни как не можем дать названия.

Посмотрите, какие функции стоят в левой части оставшихся неравенств?

(В левой части оставшихся неравенств стоят квадратичные функции).

Правильно! Итак, ребята, если мы с вами вспомним сейчас все, что говорили чуть ранее, какой вывод мы с вами можем сделать? Какие неравенства мы будем называть квадратными?

(Если в левой части неравенства стоит квадратичная функция, то такое неравенство называют квадратным).

Хорошо… Только вы забыли сказать про левую часть неравенства. Что стоит в ней?

(В левой части такого неравенства стоит ноль!)

Молодцы! Значит, если в левой части неравенства стоит квадратный трехчлен, а в правой - нуль, то такое неравенство называют квадратным.

4. Отработка новых знаний.

Хорошо, ребята, давайте теперь проверим насколько вы усвоили данный материал.

Укажите какие из следующих неравенств являются квадратными:

1) ; 2) ; 3);

4) ; 5) ; 6) .

(Квадратными неравенствами являются неравенства под цифрами 1), 2) и 5)).

Почему вы сделали такой вывод?

(Т.к. в левой части этих неравенств стоят квадратные трехчлены, а в правой части стоит ноль!).

Хорошо. Давайте теперь вы сами выйдете к доске и приведете примеры квадратных неравенств.

(Ребята по очереди выходят к доске и записывают примеры квадратных неравенств).

Молодцы. Но ведь неравенства могут быть даны не в явном виде. Попробуйте свести к квадратным следующие неравенства:

; ; ;

.

( 1) . Перенесем выражение, стоящее в правой части неравенства, в левую часть данного неравенства. При этом поменяем знаки: . Данное неравенство является квадратным, т.к. удовлетворяет нашему определению.

2). Поступим так же, как и в предыдущем примере: . Данное неравенство так же является квадратным.

3) . Перенесем квадратный трехчлен из правой части неравенства в левую: . Приведем подобные: . Данное неравенство является квадратным.

4) . Так же переносим выражение, стоящее в правой части неравенства, в левую: . Раскроем скобки и приведем подобные: ; . Данное неравенство является квадратным.)

5. Подведение итогов урока.

Итак, давайте подведем итоги.

С каким новым понятием мы сегодня познакомились?

(С понятием квадратного неравенства).

Какое неравенство мы с вами называем квадратным?

(Если в левой части неравенства стоит квадратный трехчлен, а в правой - нуль, то такое неравенство называют квадратным).

6. Постановка домашнего задания.

Почитайте §40, стр 174. Определение наизусть.

№649, 650.

Урок 2: «Квадратное неравенство и его решение».

Предмет, класс, количество часов: Алгебра, 8 класс, 1 час.

Тип урока: урок повторения и изучения нового.

Цели:

ОЦ: обеспечить усвоение способа решения квадратного неравенства.

ВЦ: формирование у учащихся навыков самостоятельной работы.

РЦ: развивать умение анализировать, сопоставлять и делать выводы.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый, репродуктивный.

План урока

1. Оргмомент.

2. Актуализация знаний.

3. Введение решения квадратного неравенства.

4. Отработка новых знаний.

5. Подведение итогов.

6. Постановка домашнего задания.

ХОД УРОКА

1. Оргмомент.

Ребята, мы продолжаем изучать квадратные неравенства. На сегодняшнем уроке мы вспомним, что называют решением неравенства и научимся решать квадратные неравенства.

2. Актуализация знаний.

На прошлом занятии мы с вами познакомились с понятием квадратного неравенства. Давайте вспомним, какое неравенство мы называли квадратным!

(Если в левой части неравенства стоит квадратный трехчлен, а в правой - нуль, то такое неравенство называют квадратным).

Хорошо, ребята! Давайте несколько человек выйдут к доске и приведут примеры квадратных неравенств. Причем сделаем это таким образом, что бы ни одно неравенство не было похоже на другое!

(Ученики выходят к доске и пишут примеры неравенств).

Молодцы!

Мы с вами знаем, что неравенства имеют решения! Вспомните, что мы понимали под решением неравенства с одним неизвестным?

(Решением неравенства с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство).

А решить неравенство значит…

(Значит найти все его решения или установить, что их нет).

3. Введение решения квадратного неравенства.

Давайте рассмотрим неравенство .

Квадратное неравенство имеет два различных корня . Следовательно, квадратный трехчлен можно разложить на множители:

.

Поэтому данное неравенство можно записать так:

>0.

В каком случае произведение двух множителей положительно?

(Произведение двух множителей положительно, если они имеют одинаковые знаки).

1) Рассмотрим случай, когда оба множителя положительны, т.е. и . Эти два неравенства образуют систему:



.

Давайте, кто-нибудь выйдет к доске и решит данную систему.

(Решая систему, получаем , откуда ).

Итак, значит все числа являются решениями неравенства

>0.

2) Рассмотрим теперь случай, когда оба множителя отрицательны.

Ребята, попробуйте самостоятельно в тетрадях найти решение неравенства >0 в данном случае.

(Получаем систему . Решая данную систему, получаем , откуда ).

Хорошо! Итак, все числа также являются решениями неравенства >0. Таким образом, решениями неравенства >0, а значит, и исходного неравенства являются числа , а также числа .

Теперь, ребята, скажите, что же нам нужно сделать для того, что бы решить квадратное неравенство или ?

(Можно найти корни квадратного трехчлена и разложить его на множители. Затем решать систему уже не квадратных, а линейных неравенств).

Правильно! Т.е., если квадратное уравнение имеет два различных корня, то решение квадратных неравенств и можно свести к решению системы неравенств первой степени, разложив левую часть квадратного неравенства на множители.

4. Отработка новых знаний.

Давайте для начала поработаем устно!

На доске вы видите три числа: 0; -1; 2. И четыре неравенства:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Задание: какие из данных чисел являются решениями этих неравенств?

Для начала, скажите, что нужно сделать, что бы понять является число решением этого неравенства или нет?

(Для этого нужно подставить это число в неравенство вместо переменной x и посмотреть обращается ли это неравенство в верное числовое неравенство). Правильно! Теперь давайте выполним наше задание.

(Решениями первого неравенства являются числа 0 и 2, т.к. при их подстановке в неравенство, получаются, соответственно, верные числовые неравенства 2>0 и 12>0. А при подстановке -1, числовое неравенство 0>0 не является верным.

Решениями второго неравенства являются числа 0 и 2, т.к. при их подстановке в неравенство, получаются, соответственно, верные числовые неравенства и . А при подстановке -1, числовое неравенство не является верным.

Решениями третьего неравенства являются все числа 0, -1 и 2, т.к. при их подстановке в неравенство, получаются, соответственно, верные числовые неравенства , и .

Решениями четвертого неравенства являются числа -1 и 2, т.к. при их подстановке в неравенство, получаются, соответственно, верные числовые неравенства и . А при подстановке 0, числовое неравенство не верно).

Молодцы ребята! Все правильно. Теперь поработаем у доски. Давайте попробуем решить неравенства:



; ;

; .

( 1)

Произведение двух множителей положительно, если они имеют одинаковые знаки.

Рассмотрим случай, когда оба множителя положительны, т.е. и . Эти два неравенства образуют систему: . Решая данную систему, получаем , откуда .

Рассмотрим теперь случай, когда оба множителя отрицательны, т.е. и . Эти два неравенства образуют систему , решая которую, мы получаем , откуда .

Таким образом, решениями неравенства являются числа , а также числа .

2)

Произведение двух множителей отрицательно, если эти множители имеют противоположные знаки.

Получаем две системы:

и

Решением первой системы являются числа .

Вторая система решений не имеет.

Таким образом, решением неравенства являются числа .



3)

Произведение двух множителей отрицательно, если эти множители имеют противоположные знаки.

Получаем две системы:

и

Решением первой системы являются числа .

Вторая система решений не имеет.

Таким образом, решением неравенства являются числа .

4)

Произведение двух множителей положительно, если они имеют одинаковые знаки.

Получаем две системы:

и

Решением первой системы являются числа .

Решением второй системы являются числа .

Таким образом, решением неравенства являются числа , а также числа ).

Молодцы, ребята! Вы очень хорошо поработали у доски.



5. Подведение итогов.

На сегодняшнем уроке мы с вами вспомнили определение квадратного неравенства. Вспомнили, что мы называем решением неравенств и что значит решить неравенство.

Так же сегодня мы рассмотрели решение квадратных неравенств и сказали, что, если квадратное уравнение имеет два различных корня, то решение квадратных неравенств и можно свести к решению системы неравенств первой степени, разложив левую часть квадратного неравенства на множители.

6. Постановка домашнего задания.

§ 40, стр. 174-176.

№ 653 (1,4); №654.

Урок 3: «Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции»

Предмет, класс, количество часов: Алгебра, 8 класс, 1 час.

Тип урока: урок изучения нового.

Цели:

ОЦ: Обеспечить усвоение алгоритма решения квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции.

ВЦ: Формирование у учащихся навыков самостоятельной работы, воспитание сообразительности, воспитание аккуратности.

РЦ: развитие умений анализировать, конкретизировать и делать выводы; развитие памяти через неоднократное повторение.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый, репродуктивный.

План урока

1. Оргмомент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Актуализация знаний.

4. Введение алгоритма решения квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции.

5. Отработка новых знаний.

6. Подведение итогов.

7. Постановка домашнего задания.

ХОД УРОКА

1. Оргмомент.

Сегодня мы продолжаем изучать главу «Квадратные неравенства». На сегодняшнем уроке мы познакомимся с алгоритмом решения квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции и постараемся решить несколько задач.

2. Проверка домашнего задания.

Для начала давайте посмотрим что было задано вам на дом и проверим как вы справились с заданием.

(На дом был задан § 40 и № 653 (1,4); №654).

Откройте тетрадки, я пройду, посмотрю ваши решения.

3. Актуализация знаний.

Что значит решить неравенство?

(Решить квадратное неравенство - это значит найти множество всех х, для которых данное неравенство выполняется или доказать, что таких х нет).

Какие ответы могут получиться при решении квадратного неравенства?

(При решении квадратного неравенства могут быть четыре случая:

1) Решений может не быть, 2) решением может быть вся числовая ось, 3) решением является объединение промежутков, содержащих знаки бесконечности, 4) решением может быть числовой промежуток.)

В чем «проявляется» каждый коэффициент квадратичной функции на ее графике?

(Коэффициент а влияет на направление ветвей параболы; коэффициент с показывает на то, пересекает ли график ось Оу; коэффициенты а и b участвуют в вычислении вершины; так же все коэффициенты участвуют в вычислении дискриминанта, который влияет на наличие корней).

Ребята, на доске вы видите четыре чертежа.

Докажите, что на чертеже изображено решение данного неравенства.

(Учащиеся выходят к доске и, рассматривая каждое неравенство, доказывают, что на графике изображено его решение.

Так, на графике 1 изображено решение неравенства . Т.к. старший коэффициент а=2>0 => ветви параболы направлены вверх. Дискриминант больше нуля, следовательно, существует два корня - две точки пересечения с осью Ох.

На графике 2 изображено решение неравенства . Т.к. дискриминант меньше нуля, следовательно, пересечения графика с осью Ох нет. Старший коэффициент а=2>0, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

На графике 3 изображено решение неравенства . Т.к. старший коэффициент а=-1<0, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Дискриминант больше нуля, следовательно, уравнение имеет два корня - две точки пересечения графика с осью Ох.

На графике 4 изображено решение неравенства . Старший коэффициент а =1>0, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Дискриминант равен нулю, следовательно одна точка пересечения графика с осью Ох).

Молодцы, ребята!

4. Введение алгоритма решения квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции

Давайте рассмотрим несколько примеров.

1. Решить неравенство .

Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена. Имеем

, т.е. пересечения графика с осью Ох нет.

Старший коэффициент трехчлена (число 2) положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Схематически график уравнения имеет вид:

Мы видим, что весь график данной функции лежит выше оси Ох, т.е. все значения положительны. Следовательно, неравенство имеет решение на всей числовой прямой (-?, +?).

Рассмотрим второй случай:

Пусть требуется решить неравенство .

Найдем дискриминант квадратного трехчлена. Имеем т.е. пересечения графика с осью Ох нет. Старший коэффициент трехчлена (число -1) отрицателен, т.е. ветви параболы направлены вниз.

Схематически график уравнения имеет вид:



Мы видим, что график данной функции лежит ниже оси Ох, т.е. все значения отрицательны. Следовательно, неравенство не выполняется ни при каком значении х, т.е. неравенство не имеет решений.

Теперь давайте попробуем сформулировать алгоритм решения квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции.

(Ученики пытаются сформулировать алгоритм, делая опору на решенные примеры).

Хорошо ребята, давайте теперь все вместе проговорим этот алгоритм:

1. Найти корни квадратного трехчлена ax²+bx+c.

2. Найти знак старшего коэффициента и с учетом этого определить направление ветвей параболы.

3. Построить схематический график трехчлена.

4. С помощью полученной геометрической модели определить, на каких промежутках оси х ординаты графика положительны (отрицательны); включить эти промежутки в ответ.

Хорошо! Теперь по цепочке, каждый из вас будет проговаривать этот алгоритм по шагам!

5. Отработка новых знаний.

Давайте посмотрим, насколько хорошо вы усвоили данный алгоритм.

На доске вы видите 4 графика и 5 неравенств.



Перерисуйте аккуратно графики к себе в тетрадь и установите соответствие между графиками данных функций и функциями, входящими в данное неравенство. Укажите решение.

(Учащиеся выходят к доске и сначала сопоставляют графики и вид неравенств, затем отмечают на графиках решение данных неравенств).

Молодцы! Теперь кто-нибудь из вас выйдет к доске и решит неравенство , записывая каждый шаг алгоритма.

(Учащиеся выходят к доске. Обращают внимание на то, что квадратное неравенство является неполным. Разбирают с учителем как решить эту проблемы. Затем, следуя алгоритму, расписывают свои действия по шагам).