Методика обучения решению задач с параметрами на уроках алгебры основной школы

1) один корень;

2) ни одного корня;

3) бесконечно много корней?

Ответ: 1) а ? 1; а ? 5;

2) а = 5;

3) а = 1.

Решить уравнения при всех значениях параметра (№5 - 11).

5. (2 - х)а = х + 1.

Ответ: а ? -1 ? x = (2a - 1)/(1+a).

6. (?а² - 1)х = а + 1.

Ответ: а ? 1 ? х = 1/(а - 1).

7.

Ответ: если а = 1 ? ?;

если а ? 1 ? х = а.

8.

Ответ: если а = -2 ? ?;

если а ? -2 ? x = 2.

9.

Ответ: а ? -2 ? х = (а + 8)/3.

10.

Ответ: а ? -2 ? х = 6/(4 - а).

11*.

Ответ: если а = 0 ? R\{2};

если а = 1 ? R\{2};

если а ? 0, а ? 1 ? ?.

Линейные уравнения с модулем.

Решить уравнение при всех значениях параметра (№1 - 6).

1. |x + a| = 2.

Ответ:

x = -a ± 2.

2. |x + 2| = a.

Ответ:

a < 0 ? ?;

a = 0 ? x = -2;

a > 0 ? x = -2 ± a.

3. |x + a| = 2 - а.

Ответ:

a > 2 ? ?;

а = 2 ? х = -2;

4*. |3x - c| = |x + 2|.

Ответ:

с = -6 ? x = -2;

c ? -6 ? x₁ = 0,5(c + 2), x₂ = 0,25(c - 2).

5*. |x + 3| - a|x - 1| = 4.

Ответ:

a ? (-1; 1) ??x₁ = 1, x₂ = (a + 7)/(a - 1);

a = 1 ??x₁ ? 1;

a > 1 ??x = 1.

6*. |x - a| + |x - 2a| = 3a

Ответ:

a < 0 ? ?;

a = 0 ? x = 0;

a > 0 ? x₁ = 3a, x₂ = 0.

7. При каких значениях параметра а уравнение x + 2 = a|x - 2| имеет единственный корень? Найти это решение.

Ответ: a ? (-1; 1] ??x = (a - 2)/(a + 1).

(Возможен графический способ решения).

8. При каких значениях параметра b уравнение b|x - 3| = x + 1 имеет единственное решения? Найти это решение.

Ответ: b ? (-1; 1] ??x = (3b - 1)/(b + 1).

(Возможен графический метод решения).

9*. Выяснить, сколько решений в зависимости от параметра а имеет уравнение

| x + 2 | = ax + 1.

Ответ: а = 0,5 ????

??a ? (0,5; 1] ???;

а ? (1; +?] ? 1.

При каких значениях параметра а уравнение | x - a | - | 2x + 2 | = 3 имеет единственное решение? Найти это решение.

Ответ: a = -4, a = 2?? x = -1.

11*. При каких значениях параетра а уравнение | 2x + a | + 1 = | x + 3| имеет единственное решение?

Ответ: {-8; -4}.

12*. При всех а решить уравнение | x + 3 | - a| x - 1 | = 4. Определить, при каких а оно имеет ровно два решения.

Ответ: (1; +?) при а = 1;

[-3; 1] при а = -1;

при а ? (-1; 1);

{1} при а ? (-?; -1) ? (1; + ?).

13*. Сколько решений имеет уравнение ax = |x| в зависимости от параметра?

Ответ:

а ? ±1 ? х = 0;

а = 1 ? х ? [0; +?);

a = -1 ? х ? (-?; 0].

Линейные неравенства

1. Сравнить 3a и -а.

Ответ:

a < 0 ? 3a < -a;

a = 0 ? 3a = -a;

a > 0 ? 3a > -a.

Для каждого значения параметра решить неравенство (№2 - 8).

2. cx > 2.

Ответ: с < 0 ? x < 2/c;

a = 0 ? ?;

c > 0 ? x > 2/c.

3. cx > -3.

Ответ: c < 0 ? x < -3/c;

c = 0 ? x ? R;

c > 0 ? x > -3/c.

4. cx ? 2.

Ответ: c < 0 ? x ? 2/c;

c = 0 ? x ? R;

c > 0 ? x ? 2/c.

5. (c - 2)x ? -5.

Ответ: с < 2 ? x ? 5/(2 - c);

c = 2 ? ?;

c > 2 ? x ? 5/(2 - c).

6. 3(2a - x) < ax + 1.

Ответ: с < 2 ? x ? 5/(2 - c);

c = 2 ? ?;

c > 2 ? x ? 5/(2 - c).

7*.

Ответ: b < 3 ? x ? ((2b+1)/(b -1); 2);

b = 3 ? ?;

b > 3 ? x ? (2; (2b + 1)/(b - 1)).

Линейные неравенства с модулем

1*. | x - 3a | - | x + a| < 2a.

Ответ: a ? (-?; 0) ? x ? (-?; 2a);

a = 0 ? ?;

a ? (0; +?) ? x ? (0; +?).

2*. | x + 2| - | 2x + 8 | ? a.

Ответ: a < -4 ? x ? [a - 6; -a - 6];

a ? [-4; 2) ? x ? [a - 6; -a - 6];

a > 2 ? x ? ?;

a = 2 ? x = -4.

Квадратные уравнения

1*. Для 0 < a < 1/4 решить уравнение:

Ответ:

2*. Найдите наибольшее из значений параметра, для которого существуют числа х и у, удовлетворяющие уравнению

Ответ:

3. При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения

4x² - 28x + a = 0 равна 22,5?

Ответ: таких а не существует.

4. Найти все значения параметра а, для которых уравнение

x² - 2(a - 1)x + (2a + 1) = 0 имеет два положительных корня.

Ответ: a ? [4; +?).

5. Найти все а, при которых оба корня уравнения (2a + 3)x² + (a + 1)x + 4 = 0 заключены между -2 и 0.

Ответ:

6. При каких положительных значениях параметра а можно сократить дробь ?

Ответ: а = 4.

7. Решить уравнение:

(а - 1)x² + 2(2a + 1)x + 4a + 3 = 0.

Ответ: если а < -4/5, то корней нет,

если а = 1, то х = -7/6,

если а ? -4/5,а ? 1, то

8. Решить уравнение

Ответ: если а = -1/3, то х = -2/3,

если а = 3/2, то х = -5/2,

если а = -4, то х = -8,

если а ? -1/3, 3/2, -4, то х₁ = 2а, х₂ = -а-1.

9. Решить уравнение:

Ответ: если a = 3, то х = -3,

если а = -3, то х =3,

если а ? ±3, то х₁ = 3, х₂ = -3.

10. Решить уравнение:

Ответ: если а = 1, а = 3,5, а = -1,5 то нет решений,

если а ?1, а ? 3,5, а ? -1,5, то х =5/(а-1).

Квадратные неравенства

1. При каких значениях параметра а неравенство имеет решения?

Ответ: а <

2. При каких значениях а все пары чисел (х; у) удовлетворяющие неравенству, одновременно удовлетворяют и неравенству

Ответ: a = 0.

3. Для всех а ? 0 решить неравенство

Ответ: при а = 0, х ? 3,

при 0 < a < 1/12,

при а ? 1/12, х ? R.

4* При каких значениях параметра а множества решений неравенства

x² + ax - 1 < 0 будет интервал длины 5?

Ответ:

График квадратного трехчлена

1. Какие знаки имеют параметры a, b, и с, если известно, что график функции

y = ax² + bx + c проходит через точки (-4; 0), (0; -2), (-3; -2)?

Ответ: a > 0, b > 0, c < 0.

2. При каких значениях параметра а корни уравнения

(a - 2)x² - 2ax + a + 3 = 0 положительны?

Ответ: a < 3, 2 ? a ? 6.

3. При каких значениях параметра а корни уравнения

(a - 2)x² - 2ax + a + 3 = 0 меньше 3?

Ответ: a < 2, 15/4 < a ? 6.

4*. При каких значениях параметра а корни уравнения

(a - 2)x² - 2ax + a + 3 = 0 заключены в интервале (1; 3)?

Ответ: а = 2, 15/4 < a ? 6.

Иррацирнальные уравнения

1. Решить уравнение

Ответ: х = а.

2*. Определить число корней уравнения

Ответ: если ? 4, то уравнение имеет единственный корень,

если < 4, то корней нет.

3. Решить уравнение

Ответ: если а < 1, то х₁ = 1, х₂ = а,

если а ? , то х = а.

4. При каких значениях параметра а уравнение имеет один корень?

Ответ: а < 0 или а = 4.

Рациональные неравенства

1. При каких значениях параметра а неравенство x² - 2ах + 9 > 0 выполняется при всех х?

Ответ: -3 < a < 3.

2. При каких значениях параметра а неравенство

ax² + 2(a + 1)x + 2a + 2 ? 0 выполняется при всех х?

Ответ: а ? -1.

3. При каких значениях параметра а неравентсво (x - a)(x - 2) ? 0 имеет единственное решение?

Ответ: а = 2.

4*. при каких значениях параметра а неравенство (x³ - 8)(a - x) ? 0 выполняется при всех х?

Ответ: а =2.

5*. При каких значениях параметра а в множестве решений неравенства

(1 - х)(х - а) ? 0 содержится пять целых чисел?

Ответ: -4 < a ? -3; 5 ? a <6.

Заключение

В данной дипломной работе была реализована намеченная цель - разработать версию обучения учащихся решению задач с параметрами в средней школе.

При написании работы были решены поставленные задачи: изучить психолого - педагогические особенности учащихся, обосновывающие целесообразность обучения умению решать задачи с параметрами, проанализировать подходящее для этого учебное пособие по математике и программу по математике с точки зрения интересующего вопроса, составить версию обучения учащихся решению уравнений и неравенств с параметрами с подборкой основных заданий разного уровня, а также продемонстрировать важность обучения учащихся таким задачам.

Анализ психолого - педагогической литературы выявил особенности развития высших психических функций учащихся среднего школьного возраста.

Было установлено, что задачи с параметрами обладают большим потенциалом в развитии интеллектуальных качеств личности, так как развивают исследовательские способности, учат творчески мыслить, помогают сформировать и развить творческое мышление. Понимая, какое важное значение задачи с параметрами играют в развитии учащихся, и учитывая потенциальные возможности учеников среднего школьного возраста, был сделан вывод, что задачи с параметрами должны включаться в школьный курс математики, начиная с 7 класса. Конечно, уровень сложности предполагаемых заданий должен определяться уровнем подготовки всего класса в целом и каждого ученика в отдельности.

Анализ учебной литературы выявил существенные недостатки в обучении решению задач с параметрами: в общеобразовательных классах данной теме, как правило, уделяется очень мало внимания, изучение очень поверхностное; в математических классах предполагается более глубокое изучение темы, но отсутствуют точные определения рассматриваемых объектов.

В работе выделены задания для проведения отдельных дополнительных занятий, для отстающих и для сильных учеников.

Основной вывод работы - задачи с параметрами должны составлять самостоятельную линию школьного курса математики.

Библиография

Алгебра 7 кл. [Текст] / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, и др.- М.: Просвещение, Московские учебники, 2000.

Алгебра 8 кл. [Текст] / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, и др.- М.: Просвещение, Московские учебники, 2001.

Алгебра 9 кл. [Текст] / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, и др.- М.: Просвещение, Московские учебники, 2002.

Алгебра 7 кл. [Текст] : Учебник / под ред. С.А. Теляковского.- М.: Просвещение, 2003.

Алгебра 8 кл. [Текст] : Учебник / под ред. С.А. Теляковского.-М.: Просвещение, 2003.

Алгебра 9 кл. [Текст] : Учебник / под ред. С.А. Теляковского.- М.: Просвещение, 2003.

Алимов, Ш.А., Алгебра 8 [Текст] / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров.- М.: Просвещение, 2000.

Алимов, Ш.А. Алгебра 9 [Текст] / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров.- М.: Просвещение, 2000.

Амелькин, В.В. Задачник с параметрами [Текст] / В.В. Амелькин, В.А. Рябцевич.- Минск.: Асар, 2002.

Виленкин, Н.Я. Алгебра для 9 класса [Текст] : Учебное пособие для учащихся шк. и кл. с углуб. изучением математики / Н.Я. Виленкин.- М.: Просвещение, 1996.

Галицкий, М.Л. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов [Текст]

/ М.Л. Гаицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич.- М.: Просвещение, 1997.

Горнштейн, П.И. Задачи с параметрами [Текст] / П.И. Горнштейн.- 3-е изд. М.; Харьков: Илекса, Гимназия, 1998.

Дорофеев, Г.В. Математика для каждого [Текст] / Г.В. Дорофеев.- М.: Аякс, 1999.

Кононов, А.Я. Задачи по алгебре [Текст] / А.Я. Кононов.- М.: Просвещение, 1996.

Крутецкий, В.А. Психология математических способностей школьников [Текст] / В.А. Крутецкий.- М.: Просвещение., 1998.

Марциковская, Д.И. Психология развития [Текст] / Д.И. Марциковская.- М.: Академия, 2001.

Мирошин, В.В. Решение задач с параметрами [Текст] : Теория и практика / В.В. Мирошин.- М.: Экзамен, 2009.

Мордкович, А.Г. Алгебра. 7 кл [Текст] : Учебник / А.Г. Мордкович.- М.: Мнемозина, 2001.

Мордкович, А.Г. Алгебра. 8 кл [Текст] : Учебник / А.Г. Мордкович.- М.: Мнемозина, 2001.

Мордкович, А.Г. Алгебра. 8 кл [Текст] : Учебник / А.Г. Мордкович.- М.: Мнемозина, 2001.

Мордкович, А.Г. Алгебра. 8 кл [Текст] : Учебник для кл. с углубл. изуч. математики / А.Г. Мордкович.- М.: Мнемозина, 2001.

Мордкович, А.Г. Алгебра. 7 кл [Текст] : Задачник / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская.- М.: Мнемозина, 2000.

Мордкович, А.Г. Алгебра. 8 кл [Текст] : Задачник / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская.- М.: Мнемозина, 2001.

Мордкович, А.Г. Алгебра. 9 кл [Текст] : Задачник / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская.- М.: Мнемозина, 2001.

Мордкович, А.Г. Беседы с учителем математики [Текст] / А.Г. Мордкович.- М.: Школа - Пресс, 1995.

Муравин, К.С. Алгебра 7 [Текст] / К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В. Дорофеев.- М.: Дрофа, 2000.

Муравин, К.С. Алгебра 8 [Текст] / К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В. Дорофеев.- М.: Дрофа, 2000.

Мухина, В.С. Возрастная психология [Текст] / В.С. Мухина.- М.: Академия, 1997.

Немов, Р.С. Психология [Текст] : В 3 кн. Кн. 2: Психология образования / Р.С Немов.- М.: Владос, 1998.

Петровский, А.В. Психология [Текст] / А.В. Петровский.- М.: Академия, 1998.

Рубинштейн, С.А. Основы общей психологии [Текст] / С.А. Рубинштейн.- СПб.: Питер, 2000.

Фельдштейн, Д.И. Психология взросления [Текст] / Д.И. Фельдштейн.- М.: Моск. псих.-соц. ин-т, 1999.

Фридман, Л.М. Психологический справочник учителя [Текст] / Л.М. Фридман.- М.: Просвещение, 1991.

Шестаков, С.А. Уравнения с параметрами [Текст] / С.А. Шестаков, Е.В. Юрченко.- М.: Слог, 1993.

Ястребинецкий, Г.А. Уравнения с параметрами [Текст] / Г.А. Ястребинецкий.- М.: Просвещение, 1986.

Размещено на Allbest.ru