Методика организации и проведения факультативного курса по теме "Симметрия в алгебраических задачах"

Теперь мы можем применять знания о симметрических многочленах при решении систем уравнений с 2-мя неизвестными.

Пример 1. Решить систему:

(1)

Введем новые переменные

у₁ = x + y и у₂ =xy;

x³ + y³ = s₃ = у₁³ - 3 у₁ у₂

Для новых переменных получаем следующую систему:

(2)

Подставляя значение у₁ = 5 в первое уравнение системы (2) получаем :

Решение системы (2) таково: у₁ = 5 , у₂ = 6. Вернемся к переменным x и

y:

Выражая из 1-го уравнения y и подставляя во второе, приходим к



Решая 2-е уравнение, находим х = 2 или х =3. Подставляя эти значения в первое уравнение, получаем решения исходной системы (1): (2,3) или (3,2).

Ответ: (2,3) или (3,2).

Пример 2. Решить систему

(1)

Как и в предыдущем примере, произведем замены у₁= x + y и у₂ =xy, тогда x³ + y³ = s₃ = у₁³ - 3 у₁ у₂ и x² + y² = у₁² - 2 у₂ .Перейдем к системе с другими переменными:

Выражая из 2-го уравнения у₂ = 1/2 у₁² - 2 и подставляя в 1-е, получаем

(2)

Первое уравнение данной системы - кубическое. Попытка угадать корень дает результат, у₁ = 2 - подходит. Если мы разделим у₁³ - 12 у₁ + 16 на у₁ - 2, то получим многочлен уже 2-й степени и сможем решить нужное нам уравнение.

ЗАДАНИЕ: Разделить

у₁³ - 12 у₁ + 16 на у₁ - 2.

Ответ: у₁² + 2 у₁ - 8Итак, по следствию из теоремы Безу имеем:

у₁³ - 12 у₁ + 16 = 0, или

(у₁ - 2)( у₁² + 2 у₁ - 8) = 0,Откуда у₁ = 2 или у₁ = -4.

Подставляя эти значения во 2-е уравнение системы(2), получаем:

у₁ = 2; у₂ = 0 или у₁ = -4 ; у₂ = 6 .Возвращаемся к x и y :

или

Вторая система решения не имеет, а из первой находим

Ответ: (2,0) или (0,2).

ЗАДАНИЕ: Решить системы уравнений:

1. 2. 3.

Ответы:1. Вспомогательная система имеет решения у₁ = 3, у₂ = 2 или у₁ = 3, у₂ = 7 Окончательный ответ: (2,1) или (1,2).2. Вспомогательная система имеет решения у₁ = 5, у₂ = 6 Окончательный ответ: (2,3) или (3,2)3. Вспомогательная система имеет решения у₁ = 6, у₂ = 8 или у₁ = -13/3, у₂ = -52/9

Окончательный ответ: (2,4) или (4,2) или (, ) или (, )

3. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Решить системы уравнений:

1. 2. 3.

Ответы:

1. Вспомогательная система имеет решения у₁ = 1, у₂ =1/2 Окончательный ответ: корней нет

2. Вспомогательная система имеет решения у₁ = 5, у₂ = 4 Окончательный ответ: (1,4) или (4,1)

3. Вспомогательная система имеет решения у₁ = 4, у₂ = 3 или у₁ = -5, у₂ = 12 Окончательный ответ: (1,3) или (3,1)

Занятие 4

Цель: Научить детей находить подходящие замены для приведения уравнений и систем уравнений к симметрическому виду, и решать такие уравнения и системы.

План занятия:1. Введение вспомогательных неизвестных для приведения систем уравнений к симметрическому виду.2. Введение вспомогательных неизвестных для решения уравнений.3. Домашнее задание.

1. ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ К СИММЕТРИЧЕСКОМУ ВИДУ

На предыдущем занятии мы с вами решали симметрические системы уравнений. А что делать, если система не является симметрической, но очень на нее похожа? Сделать замену переменных так, чтобы система стала симметрической.

Пример 1:

Эта система не является симметрической, но если произвести замену z = -y, то она станет таковой

Пример 2. Привести систему к симметрическому виду:

В данном случае замена не так очевидна. Нужно заметить, что 81x⁴ = (3x)⁴, и16y⁴ = (-2y)⁴. Заменяя 3x на u, -2y на v, получаем нужную систему:

ЗАДАНИЕ. Привести системы к симметрическому виду:

1. 2. 3. 4.

5. 6.

Ответы:

1. y = -z

2. = u, = v

3. = u, = -v

4. = u, = v

5. x^1/4 = u, y^1/5 = v

6. x^1/3 = u, y^1/3 = v

2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Иногда введением вспомогательных неизвестных можно решать достаточно сложные уравнения с одной переменной, сведя его к симметрической системе с 2-мя неизвестными.

Пример 1. Решить иррациональное уравнение:

+ = 5

Решение

Положим = y и = z, тогда рассматриваемое уравнение примет вид y + z = 5. Кроме того, x⁴ + z⁴ = x + (97 - x) = 97. Таким образом, мы получили систему уравнений Эта система уравнений - симметрическая, делаем стандартную замену у₁ = y + z, у₂ = yz, приходим к системе Решая ее, и возвращаясь к y и z, получаем:

y + z = 5, yz =6 или y + z = 5, yz = 44Вторая система не дает решений, а из первой получаем

y = 2, z = 3 или y = 3 , z = 2, откуда уже можно найти Ответ: x = 16 или x = 81.

Пример 2. Свести уравнение к решению симметрической системы и решить его:

Решение

Сделаем замену = u, = v, откуда u + v = 2.Кроме того, u³ + v³ = 1 + + 1 - , и получаем u³ + v³ = 2.

Решая систему , приходим к решению u = v = 1.

Вспомним, что u = , и получим

Ответ: x = 0.

ЗАДАНИЯ Найти замену, сводящую уравнения к решению симметрической системы:

1.

2.

3.

4.

5.

Ответы

1. z² + 1 = u, z² - 1 = v 2. , 3.

и система примет вид 4. , 5. Перенесем второй корень в правую часть и возведем обе части уравнения в 4-ю степень: . Теперь уже можно получить симметричную систему, сделав замену ,

3. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Решить уравнения и системы уравнений:

1.

2.

3.

4.

Ответы:

1. Замена . Система примет вид . Учитывая равенство, приходим к вспомогательной системе .

Ее решения: или .

Отсюда можно найти 4 решения симметрической системы, но условию у 0 удовлетворяют лишь 3 из них: , , .

Решения исходного уравнения: 4/5 , 3/5 , - 5/14 - /14.2. Заменяя , , получим систему: , вспомогательная система имеет единственное решение , . Ему соответствуют 2 решения симметрической системы: , . Поскольку , то исходное уравнение имеет 2 решения: 2 и 11. 3. Подстановка y = -z приводит систему к симметричному виду: Вспомогательная система: Ее решения: , Решения симметрической системы: , И, наконец, ответ: (5,2) или (-2,-5)4. Подстановка: , Симметрическая система: Выразив из второго уравнения и подставляя в первое, получим , откуда решениями вспомогательной системы будут ,

Вторая система решений не дает, а из первой получаем ответ:(,) или (,)

Занятие 5

Цели: Научить детей решать задачи, в которых требуется вычислить некоторые выражения, содержащие корни заданного квадратного уравнения.

План: 1. Повторение.

2. Теорема 1.

3. Задачи о квадратных уравнениях. 4. Домашнее задание.

1. ПОВТОРЕНИЕ.

Существует тип задач, где по исходным данным некоторого квадратного уравнения (корням или коэффициентам) надо составить какое-нибудь выражение или другое квадратное уравнение. Задачи такого типа достаточно сложны, и применение свойств симметрических многочленов существенно упрощает их решение.

Перед разбором примеров хорошо бы вспомнить:- Формулы Виета ( , )- Степенные суммы высоких порядков s₅ = у₁⁵ - 5 у₁³ у₂ + 5 у₁ у₂² s₆ = у₁⁶ - 6 у₁⁴ у₂ + 9 у₁² у₂² - 2 у₂³

2. ТЕОРЕМА 1.

- В дальнейшем мы будем использовать следующую теорему:

ТЕОРЕМА 1. Пусть и - два произвольных числа. Квадратное уравнение (*) и система уравнений (**)связаны между собой следующим образом: если и - решения уравнения (*), то система (**) имеет 2 решения: , и других решений не имеет; и обратно, если x = a, y = b - решения системы (**) , то числа a и b являются корнями квадратного уравнения (*).

< ДОКАЗАТЕЛЬСТВО приведено в приложении >.

Мы будем использовать теорему 1 на следующем занятии, а сейчас займемся квадратными уравнениями.

3. ЗАДАЧИ О КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ

Пример 1. Дано квадратное уравнение . Нужно составить новое квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней данного уравнения.

Для решения этой задачи обозначим корни данного уравнения через и , корни искомого - через и , а коэффициенты искомого уравнения - через p и q. Тогда по теореме Виета , - это для корней исходного уравнения, а для искомого должно быть и . По условию задачи и , поэтому Зная коэффициенты искомого квадратного уравнения, запишем ответ:

Пример 2. Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа , ,где x₁ , x₂ - корни квадратного уравнения

Решение: по формулам Виета для уравнения имеем и По тем же формулам для искомого уравнения: После раскрытия скобок ясно, что p и q - симметрические многочлены, их можно выразить через степенные суммы, затем через = 1 и = -3, после чего найдем p и q.

Проделаем это:

Таким образом, p = - 140 , q = - 833 , и поэтому искомое квадратное уравнение имеет вид:

ЗАДАНИЯ:1. Составить квадратное уравнение, корнями которого являются кубы корней квадратного уравнения 2. Составить квадратное уравнение с корнями , , если известно, что и + = 13. Доказать, что если , - корни квадратного уравнения с целыми коэффициентами p и q , то при любом натуральном n число является целым.

Ответы:

1.

2. Пусть искомое уравнение имеет вид , тогда и . Заданные соотношения и + = 1 перепишем в виде системы , или

Подставив значение p в 1-е уравнение, получим 2 решения q = 3, q = -2Ответ: или

3. Вспомним формулу s_k = у₁s_k-1 - у₂s_k-2. У нас , ,и формула перепишется в виде (*)Доказательство проведем по индукции:

База: - целое число, - тоже целое число.Индуктивное предположение: если и - целые числа, то - тоже целое число.Справедливость индуктивного предположения очевидна, если принять во внимание формулу (*). Итак, доказательство закончено.

1. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

1. Пусть и - корни квадратного уравнения . Вычислить значение выражения при n = 1, 2, 3, 4, 5.2. При каком действительном а сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение?

Ответы:

1.

2. Сумма квадратов корней имеет вид (а - 1)² + 5 Наименьшее значение получается при а = 1.

Занятие 6

Цели: Научить детей доказывать справедливость неравенств, опираясь на свойства симметрических многочленов.

План:

1. Повторение.

2. Теорема 2.

3. Доказательство неравенств.

4. домашнее задание.

1. ПОВТОРЕНИЕ

Разбор примеров домашнего задания.

Повторение: теорема 1.

2. ТЕОРЕМА 2

С помощью симметрических многочленов можно доказывать различные неравенства. Но для этого нам понадобится следующая

ТЕОРЕМА 2. Пусть и - действительные числа. Для того, чтобы оба числа x , y, определяемые из системы уравнений ,были действительными и неотрицательные, необходимо и достаточно, чтобы и удовлетворяли неравенствам , , .

Вышеприведенная теорема применяется для доказательства неравенств следующим образом: пусть дан некоторый симметрический многочлен и требуется доказать, что при всех действительных значениях x и y должно выполняться a. Для доказательства мы прежде всего будем заменять симметрический многочлен на его выражение через и . Затем, в зависимости от условия задачи, в полученном многочлене возможно два вида замены: 1) Заменить на его выражение через и неотрицательную величину , то есть подставить .2) Заменить его выражением через и z, то есть .

Пример 1. Доказать, что если a и b - действительные числа, удовлетворяющие условию a + b > c, то справедливы неравенства: , ,

Для доказательства введем элементарные симметрические многочлены, . Имеем: Так как z 0, а по условию задачи , то , то есть . Применяя к полученному неравенству те же рассуждения, находим:

Пример 2. Доказать, что если a и b - действительные числа, удовлетворяющие условию a + b > 1, то .

Доказываемое неравенство является частным случаем неравенства, рассмотренного в предыдущем примере. Там мы его доказали, дважды применив неравенство . Но можно доказать неравенство и непосредственно: = = (поскольку z 0).Так как по условию задачи , то неравенство доказано.

ЗАДАНИЯ 1. Доказать, что при любых действительных a и b справедливо неравенство .2. Доказать, что при любых действительных a и b справедливо неравенство .3. Доказать, что при любых неотрицательных a и b справедливо неравенство

РЕШЕНИЕ

1.

2.

3. ,так как , то по теореме 2 и , и неравенство доказано.

3. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

1. Доказать, что при любых действительных a и b справедливо неравенство .2. Доказать, что при любых неотрицательных a и b справедливо неравенство 3. Доказать, что при любых положительных числах x и y справедливо неравенство

РЕШЕНИЯ

1. 2. - по теореме 2.3. Данное неравенство можно переписать в виде , то есть , или , которое выполняется прямо по теореме 2.

Занятие 7

Цели: Научить детей решать возвратные уравнения.

План: 1. Теорема о возвратных многочленах. 2. Решение возвратных уравнений. 3. Домашнее задание.

1. ТЕОРЕМА О ВОЗВРАТНЫХ МНОГОЧЛЕНАХ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Многочлен вида , () называется возвратным, если в нем коэффициенты, равноудаленные от концов, совпадают, то есть и так далее.

Примеры: , , .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Уравнение , левая часть которого представляет собой возвратный многочлен, называется возвратным.

В основе решения возвратных уравнений лежит следующая

ТЕОРЕМА О ВОЗВРАТНЫХ МНОГОЧЛЕНАХ.Всякий возвратный многочлен четной степени2k представляется в виде , где и - некоторый многочлен степени k от . Всякий возвратный многочлен нечетной степени делится на z+1,причем частное представляет собой возвратный многочлен четной степени.

Как применять эту теорему, показано ниже.

2. РЕШЕНИЕ ВОЗВРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Пример 1. Решить уравнение .Данное уравнение является возвратным и имеет степень 4. Его можно преобразовать следующим образом:.Так как z = 0 не является решением уравнения, то корни можно найти только из уравнения . Решая его, находим 2 корня: -7/6 и 5/2.Вернемся к z: z + 1/z = -7/6 или z + 1/z = 5/2.Решив эти уравнения, получим

Ответ: 2 или 1/2.

Пример 2.

Решить уравнение

Решение

.

Так как z = 0 не является решением, то остается решить кубическое уравнение относительно : Угадывается корень z = 2, и по теореме Безу, производя деление многочленов, приходим к уравнению: Его корни 2 , 10/3 , -10/3.Вернемся к z: = 2, = 10/3, = -10/3.Решая эти уравнения, получаем

Ответ: z = 1, z = 3, z = -3, z = 1/3, z = -1/3.

3. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

1. Решить уравнение: 2. Решить уравнение: 3. Доказать, что все корни возвратного уравнения степени 4 ()могут быть найдены при помощи четырех арифметических действий и извлечения квадратного корня.

Решения: 1. .Корни уравнения : 2 и -2. Перейдя снова к z, получим

Ответ: 1 или -1. 2. .

Ответ: 0 , -1 , 5/2 , 2/5.3. .Так как z = 0 не корень исходного уравнения, то мы приходим к квадратному уравнению относительно : .Его решение выполняется с помощью четырех арифметических действий и извлечения квадратного корня. Теперь решение исходного уравнения сводится к решению двух уравнений и , где и - корни рассмотренного выше квадратного уравнения. Два новых уравнения сводятся к квадратным и решаются с помощью четырех арифметических действий и извлечения квадратного корня.

Занятие 8

Цель: Научить детей раскладывать симметрические многочлены на множители.

План: 1. Разложение симметрических многочленов на множители при помощи элементарных симметрических многочленов. 2. Разложение симметрических многочленов на множители методом неопределенных коэффициентов. 3. Домашнее задание.

1. РАЗЛОЖЕНИЕ СИММЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ ПРИ ПОМОЩИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СИММЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ.

На этом занятии мы рассмотрим разложение на множители на примере симметрических многочленов 4-й степени. Первый прием заключается в том, что симметрический многочлен выражают через и , получая многочлен 2-й степени относительно , и затем разлагают его на множители.

Пример 1. Разложить на множители многочлен

Решение

Рассмотрим получившийся многочлен как многочлен 2-й степени относительно . Он имеет корни и и раскладывается на множители так:

Подставляя и , получаем:

Каждую из получившихся скобок тоже можно разложить на множители, рассматривая каждый многочлен как квадратный относительно x или y:

и ,

после чего можно записывать окончательный ответ:

.

ЗАДАНИЕ: Разложить на множители многочлен

Решение: квадратный многочлен относительно имеет корни , и раскладывается на множители так: .

Ответ выглядит так:

.

2. РАЗЛОЖЕНИЕ СИММЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ МЕТОДОМ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Если при выражении симметрического многочлена через и получается многочлен 2-й степени относительно , который корней не имеет, то может помочь другой способ. Многочлен от x и y 4-й степени представляется в виде произведения двух многочленов второй степени, имеющих специальный вид: , где А, В и С - какие-то пока неизвестные (или «неопределенные») коэффициенты. Как найти эти коэффициенты, мы узнаем из примера 2:

Пример 2. Разложить на множители многочлен

Решение: Мы будем искать разложение в виде

=(*)

При нахождении коэффициентов А, В и С заметим, что равенство (*) должно представлять собой тождество, то есть выполняться при любых значениях переменных x и y. Подставляя в соотношение (*) различные значения x и y, мы будем получать уравнения на коэффициенты А, В и С, после чего сможем найти их.

Положим x = y = 1, тогда (*) примет вид 16 = (А + В + С)², откудаА + В + С = 4. Поскольку при значении 4 и -4 правая часть равенства (*) не меняется, для простоты возьмем А + В + С = 4.

Полагая x = 1, y = -1, получим А - В + С = 2,и при x = 0, y = 1, получается АС = 2.

Мы пришли к системе .Решая ее, находим А = 1, В = 1, С = 2 (или А = 2, В = 1, С = 1).И в одном, и в другом случае ответ таков: Это равенство получено в предположении, что искомое разложение (*) существует. Раскрыв скобки в правой части, можно убедиться в справедливости полученного равенства.

3. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Разложить на множители следующие многочлены:

1.

2.

3.

Ответы:

1.

2.

3.

Занятие 9

Цель: Научить детей решать некоторые задачи, не вошедшие в предыдущие занятия.

План: 1. Разбор некоторых задач. 2. Упражнения.

1. РАЗЛИЧНЫЕ ЗАДАЧИ

Симметрические многочлены можно применять и для решения задач многих других видов, отличающихся от рассмотренных ранее.

Пример 1. Исключить x и y из уравнений

Эту задачу следует понимать следующим образом: так как для двух неизвестных x и y мы имеем три уравнения, то эта система имеет решения не при любых значениях a, b и c. Требуется найти соотношение между a, b и c, при котором данная система разрешима.

Решение: воспользуемся тем, что левые части уравнения симметрично зависят от x и y. Выразим их через элементарные симметрические многочлены: Из первых двух уравнений получаем: , , и в силу третьего уравнения , или . Это и есть результат исключения x и y из исходной системы уравнений.

Пример 2. Упростить выражение:

Решение: Снова используем симметрические многочлены и : .

Пример 3. Решить в натуральных числах уравнение

Решение: Перенося все члены уравнения в левую часть и вводя элементарные симметрические многочлены, перепишем заданное уравнение в виде . Группируя и раскладывая на множители, придем к виду . Так как по условию x и y натуральные числа, то > 0, и не может быть равным нулю. Остается решить уравнение .Так как по теореме 2 , то из этого уравнения получаем: ,откуда , что есть . Это возможно только при , и можно уже писать ответ: x = y = 1.

2. УПРАЖНЕНИЯ

1. Упростить: .

2. Доказать тождество: .

3. доказать тождество: .

Ответы:

1.

2.

3.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Задачи, которые были поставлены в данной работе, выполнены. Разработан факультативный курс “симметрия в алгебраических задачах”.

Занятия курса составлены с учетом требований методики организации факультативных занятий и психологии старших школьников, которые описаны в первой главе этой работы. Необходимый теоретический материал и упражнения отобраны и представлены в самих занятиях и приложении.

Данный курс способствует воспитанию математической культуры учащихся и способствует формированию их самостоятельной, творческой и мыслительной деятельности за счет четко построенной теоретической базы и подбору разнообразных и нестандартных задач. Основное внимание данного курса уделяется упражнениям, и дифференцированный подход легко осуществим: в каждом занятии есть несколько несложных упражнений для слабых учеников, а для сильных найдутся задачи посложнее из домашних заданий и приложения. Задачи и методы, которые решаются в данном курсе, часто встречаются на обычных уроках алгебры, и поэтому происходит повторение и углубление разделов обязательной программы. Контроль за процессом обучения и его результатами также несложно осуществить с помощью проверки правильности и количества заданий, выполняемых учениками.

Суммируя все вышесказанное, можно заключить: основная цель данной дипломной работы выполнена.

ПРИЛОЖЕНИЕ

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА: Любой симметрический многочлен от двух переменных x и y можно представить в виде многочлена от у₁ = x + y и у₂ = xy.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Сначала докажем теорему не для любых симметрических многочленов, а лишь для степенных сумм.

С этой целью умножим обе части равенства на у₁ = x + y. Получим:

Таким образом, . (1)Из этой формулы при использовании метода математической индукции напрямую вытекает справедливость теоремы для степенных сумм. База индукции проверена в занятии 1, а выполнение индуктивного предположения следует из равенства (1). (При объяснении в нематематическом классе понятие индукции можно пропустить и доказательство пояснить словами, например: «…мы можем последовательно находить выражения степенных сумм через и : зная и , находим по формуле (1) , затем , и так далее, в итоге мы можем выразить любую степенную сумму через и … »).

Теперь можно завершить доказательство основной теоремы. Любой симметрический многочлен от x и y после приведения подобных членов слагаемые двух видов.

Во-первых, могут встретиться одночлены, в которые x и y входят в одинаковых степенях, то есть одночлены вида . Ясно, что ,то есть одночлены этого вида непосредственно выражаются через .

Во-вторых, могут встретиться одночлены, имеющие разные степени относительно и , то есть одночлены вида , где . Ясно, что вместе с одночленом симметрический многочлен содержит и одночлен , поэтому в симметрический многочлен входит двучлен вида . Предполагая для определенности < , можно переписать этот двучлен так: .А так как по доказанному степенная сумма представляется в виде многочлена от и , то и рассматриваемый двучлен выражается через и .

Итак, каждый симметрический многочлен представляется в виде суммы одночленов вида и двучленов вида , каждый из которых выражается через и . Следовательно, любой симметрический многочлен представляется в виде многочлена от и . Теорема доказана полностью.

ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ: Если многочлены ц(у₁, у₂ ) и ш(у₁, у₂) при подстановке у₁ = x + y , у₂ = xy превращаются в один и тот же симметрический многочлен, то они совпадают.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Достаточно доказать лишь частный случай теоремы, а именно когда . Итак, мы будем доказывать следующее положение

(А): если многочлен при подстановке у₁ = x + y , у₂ = xy обращается в ноль, то он тождественно равен нулю.

Покажем, что теорема единственности вытекает из утверждения (А). Предположим, что многочлены и при подстановке у₁ = x + y , у₂ = xy дают одинаковые результаты: . Тогда многочлен при той же подстановке превращается в ноль: .Поэтому, если верно утверждение (А), то = 0 и, следовательно, = .

Для доказательства утверждения (А) нам понадобится понятие старшего члена многочлена от 2-х переменных. Пусть и - 2 одночлена от и . «Старшинство» определяется сравнением показателей при , а если они одинаковые, то сравниваются показатели при . Иными словами, старше, если либо k > m, либо k = m и l > n.

Докажем теперь следующую лемму:Старший член многочлена (*) равен .

Доказательство: член с наибольшим показателем при получится, если в каждой скобке взять слагаемое . Так как число скобок равно , то старший член имеет вид , так как во всех остальных членах показатель при меньше чем . Лемма доказана.

Вернемся к доказательству (А). Покажем, что если многочлен отличен от нуля, то он не может обратиться в ноль при подстановке у₁ = x + y , у₂ = xy. Пусть многочлен имеет вид: = Выберем в те члены, для которых имеет наибольшее значение. Из отобранных слагаемых выберем член с наибольшим значением (такой член только один, так как числа и однозначно определяют ).

Итак, пусть мы выбрали одночлен . Ему соответствует старший член . покажем, что он старше всех остальных членов, получающихся при подстановке у₁ = x + y , у₂ = xy в многочлен и последующем раскрытии скобок. Относительно членов, получающихся из слагаемого , это ясно, поскольку - старший из этих членов. Возьмем теперь какое - нибудь другое слагаемое, например . Этому слагаемому отвечает старший член . При этом, в силу выбора одночлена , мы имеем либо m + n > k + l, либо m + n = k + l, но n > l. В обоих случаях член старше, чем . Тем более он старше всех остальных членов, получающихся из слагаемого .

Мы доказали, что - самый старший из всех членов, получающихся после подстановки у₁ = x + y , у₂ = xy в многочлен и раскрытия скобок. Поэтому у него нет подобных членов, и после раскрытия скобок он не уничтожится. Но тогда многочлен не может тождественно равняться нулю. Полученное противоречие доказывает предложение (А). Вместе с этим доказана и теорема единственности.

ТЕОРЕМА БЕЗУ: Остаток от деления многочлена f(x) = a₀xⁿ + … + a_nна x - a равен значению этого многочлена при x = a, то есть равен числуа₀а_n + … + а_n .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Разделим многочлен на . Получим частное, которое обозначим через , и некоторый остаток . Этот остаток является многочленом степени меньшей, чем делитель , то есть равна нулю. Поэтому является числом. Итак, Чтобы найти число , положим в этом равенстве . Мы получим . Теорема Безу доказана.

ТЕОРЕМА 1. Пусть и - два произвольных числа. Квадратное уравнение (*) и система уравнений (**)связаны между собой следующим образом: если и - решения уравнения (*), то система (**) имеет 2 решения: , и других решений не имеет; и обратно, если x = a, y = b - решения системы (**) , то числа a и b являются корнями квадратного уравнения (*).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Если и - корни квадратного уравнения (*), то по формулам Виета , ,то есть числа , являются решениями системы (**). То, что других решений система (**) не имеет, вытекает из следующего:

Пусть - решение системы (**), то есть , .Тогда мы имеем: .Но это означает, что числа и являются корнями квадратного уравнения (*).Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 2. Пусть и - действительные числа. Для того, чтобы оба числа x , y, определяемые из системы уравнений ,были действительными и неотрицательные, необходимо и достаточно, чтобы и удовлетворяли неравенствам , , .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Числа и являются, в силу теоремы 1, корнями квадратного уравнения ,то есть совпадают с числами .Поэтому для действительности чисел и необходимо и достаточно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть чтобы было выполнено неравенство . Равенство означает, что .

Если числа и неотрицательны, то помимо неравенства выполняется также и . Пусть теперь, обратно, выполнены неравенства , , . Как было показано выше, из первого неравенства следует, что числа и действительны; так как , то оба они имеют одинаковый знак, и из соотношения вытекает, что оба они неотрицательны. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА О ВОЗВРАТНЫХ МНОГОЧЛЕНАХ.Всякий возвратный многочлен четной степени2k представляется в виде , где и - некоторый многочлен степени k от . Всякий возвратный многочлен нечетной степени делится на z+1,причем частное представляет собой возвратный многочлен четной степени.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Рассмотрим сначала многочлен четной степени. Вынесем в нем за скобки : ,или, принимая во внимание равенства ,

Осталось доказать, что двучлены можно выразить через . Но эта задача сводится к задаче из первого занятия о выражении степенной суммы через элементарные симметрические многочлены и . Если мы положим , то степенная сумма превратится в выражение , элементарный симметрический многочлен - в , а элементарный симметрический многочлен примет значение 1. Поэтому, подставляя в выражение степенной суммы через и значения =, = 1 , мы получим искомое выражение двучлена через . Практически, для этого удобно использовать формулы , полученные в первом занятии. Полагая в этих формулах , получим: , ,

Теорема для четных степеней доказана.

Рассмотрим теперь случай возвратного многочлена нечетной степени:

.Так как этот многочлен возвратный, то есть выполняется , , , … ,то его можно записать в следующем виде: .В каждом двучлене, стоящем в скобках, можно выделить множитель , воспользовавшись известным равенством . Получим:

, , , .

Складывая полученные выражения почленно и вынося в правой части множитель за скобки, получим: ,где - многочлен, являющийся суммой следующих многочленов: , , , .

Непосредственно видно, что во всех этих многочленах коэффициенты, равноудаленные от концов, совпадают, и поэтому их сумма является возвратным многочленом четной степени. Теорема доказана полностью.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

Решить системы уравнений:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Решить уравнения:

8. 9. 10.

Доказать что при любых неотрицательных а и b справедливы неравенства:

11.

12.

13. Какое наибольшее значение может принимать выражение при условии, что ?

14. Доказать, что если - корни квадратного уравнения , то сумма при любом натуральном является целым числом и ни при каком не делится на 5.

15. Решить уравнение: .

16. Доказать, что все корни возвратного уравнения степени 5 могут быть найдены при помощи четырех арифметических действий и извлечения квадратного корня.

17. Разложить на множители:

18. Упростить выражение:

19. Доказать тождество:

20. Решить в целых числах уравнение

ОТВЕТЫ

1. (6,6) или () или ().2. (4,8) или (8,4). 3. (2,3) или (3,2) или (-6,1) или (1,-6).4. Если а = 0, то решением являются любые x и y, такие, что x + y = 0. Если а 0, то решения (а,0) или (0,а).5. (0,0) или (0,1) или (1,0) или (1,1).6. (9,1) или (0,). 7. (1,8) или (8,1).8. 1 или 0. 9. 5/4 или 5/3. 10. 4416.13. Наибольшее значение = .15. 1 или -5/2 или -2/5.17. . 18..20. (0,0) или (1,0) или (0,1) или (2,1) или (1,2) или (2,2).

БИБЛИОГРАФИЯ

1.Антипов И.Н., Березин В.Н., Егоров А.Л. и др. Методика факультативных занятий в 9-10 кл.: Избранные вопросы математики. Пособие для учителей / И.Л.Никольская, В.В.Фирсов. -М.: Просвещение, 2007. - 176 с.

2. Атанасян Л.С., Болибрух А.А., Бутузов В.Ф. и др. Факультативныйкурс по математике для 9-10 классов (экспериментальные материалы)./Колягин Ю.М., Федорова Н.Е.. -М.: НИИ школ МНО РСФСР, 2009. - 378 с.

3. Болтянский В.Т., Глейзер Г.Д. К проблеме дифференциациишк. мат. образования. //Мат. В школе, 2008. - № 3.

4. Болтянский В. Г., Виленкин Н.Я. Симметрия в алгебре. 2-е издание. -Моск. центр непрерывного математического образования, 2010. -240 с.

5. Гусев В.А. Психолого-педагогические основы обучения математикив ср. шк., -М., 2007. -223 с.

6. Гусев В.А. и др. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах:Кн. для учителя /В.А. Гусев, А.И. Орлов, А.Л. Розенталь; Под ред. Шварцбурда С.И., -М.: Просвещение, 2006. - 286 с.

7. Гусев В.А., Смирнова И.М. Магистерская диссертация по методикепреподавания математики: метод рекомендации. - М.: Прометей, 2006. - 107 с.

8. Крутецкий В.А. Психология обучения и воспитания школьников. -М.: Просвещение, 1976. - 304 с.

9. Оганесян В.А. и др. Методика преподавания математики в ср. шк,: Общая методика. Учеб. пособие для физ.-мат. факультетов пед. институтов. / Оганесян В.А., Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Саннинский В.Я.. - М.: Просвещение, 2010. - 367 с.

10. Пойа Д. Как решать задачу /Всесоюзн. Ассоц. учителей мат-ки,научно- метод. журн. «Квантор». - Львов: Журнал Квантор, 2006. - 214 с.

11. Скаткин Н.М., Сластенин В.А., Унт И.З. Индивидуализация идифференциация обучения. -- М.: Педагогика, 2010. - 192 с.

12. Смирнова И.М. Профильная модель обучения математике // Мат. вшколе, 2007. -№ 1.

13. Факультативный курс по математике в ср. шк.: Межвуз. науч. сб.Саратовского Гос. Пед. институтата им. К.А.Федина; /Редкол.: Петрова Е.С., Сухоруков В.И. - Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 2009. - 147 с.

14. Фирсов В.В. Состояние и перспективы факультативных занятий поматематике: пособие для учителей. Под ред. и с предисловием М.П. Кашина,М.: Просвещение, 2007. - 48 с.

15. Фридман Л.М. Как научиться решать задачи: Книга для учащихсяст. кл. средней шк. -М.: Просвещение, 2009. - 192 с.

16. Черкасов Р.С. Методика преподавания математики в ср. школе:Общая методика. Учебн. пособие для пед. ин-тов по спец. «Математика» и «Физика». / Блох А.Я., Канин Е.С., Килина Н.Г. Сост. Черкасов Р.С., Столяр А.Л. - М.: Просвещение, 2005. - 336 с.

17. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач.Учеб. пособие для 10 кл. ср. шк. - М.: Просвещение, 2009. - 352 с.

18. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике:Решение задач. Учеб. пособие для 11 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 2010. -384с.

19. Ткачук В.В. Математика - абитуриенту. Том 1. - 4-е изд., испр. -М.: МЦНМО, 2007. -423 с.

20. Ткачук В.В. Математика - абитуриенту. Том 2. - 4-е изд., испр. -М.: МЦНМО, 2007. -431 с.

Размещено на Allbest