О наличии у учащихся вычислительной культуры можно судить по их умению производить устные и письменные вычисления, рационально организовывать ход вычислений, убеждаться в правильности полученных результатов.

В зависимости от сложности задания на практике используются три вида вычислений: письменное, устное и письменное с промежуточными устными вычислениями.

Качество вычислительных умений определяется знанием правил и алгоритмов вычислений. Поэтому степень овладения вычислительными умениями зависит от четкости сформулированного правила и от понимания принципа его использования. Умение формируется в процессе выполнения целенаправленной системы упражнений. Очень важно владение некоторыми вычислительными умениями доводить до навыка.

Вычислительные навыки отличаются от умений тем, что выполняются почти бесконтрольно. Такая степень овладения умениями достигается в условиях целенаправленного их формирования. Образование вычислительных навыков ускоряется, если учащемуся понятен процесс вычислений и их особенности [3].

При обучении вычислениям и совершенствовании техники счета необходимо отчетливо представлять, какие умения и навыки у учащихся необходимо сформировать. Перечислим наиболее важные из них.

В письменных вычислениях данные числа, знаки арифметических действий, промежуточные и окончательные результаты записываются. Поскольку качество записей оказывает существенное влияние на успех вычисления, то учащимся необходимо владеть следующими навыками:

· отчетливо писать математические символы (цифры, знаки препинания, знаки арифметических действий);

· цифры и знаки располагать строго в соответствии с правилами арифметических действий;

· безошибочно применять таблицы сложения и умножения натуральных чисел.

При устных вычислениях надо помнить данные числа и законы действий над ними. При этом формирование навыков устных вычислений связано с выработкой навыка запоминания чисел, выявления особенностей отдельных чисел.

Правила и приемы вычислений не зависят от того, выполняются они письменно или устно. Однако владение навыками устных вычислений представляет большую ценность не только потому, что в быту ими пользуются чаще, чем письменными выкладками, но и потому, что они ускоряют письменные вычисления, позволяют усовершенствовать их. Наличие у учащихся навыков устного счета влияет на степень отработки у них рациональных и безошибочных вычислительных умений. Например, без навыков устного использования таблиц сложения и умножения невозможно в совершенстве овладеть умениями в выполнении арифметических действий.

Для того чтобы овладеть умениями, предусмотренными программой, учащемуся достаточно уметь устно:

· складывать и умножать однозначные числа;

· прибавлять к двузначному числу однозначное;

· вычитать из однозначного или двузначного числа однозначное (преимущественно из числа, меньшего 20);

· складывать несколько однозначных чисел;

· складывать и вычитать двузначные числа;

· делить однозначное или двузначное число на однозначное нацело или с остатком;

· производить действия (на основе знаний правил) с дробными числами.

Как в письменных, так и в устных вычислениях используются разнообразные правила и приемы. Умения в применении правил арифметических действий с многозначными числами, и учащиеся приобретают в начальной школе. Поэтому уровень, вычислительных навыков определяется систематичностью закрепления ранее усвоенных приемов вычислений и приобретением новых в связи с изучаемым материалом.

В 1-4 классах учащиеся обучаются выполнению арифметических действий над натуральными числами. При этом должны быть выработаны прочные навыки письменного сложения, вычитания и умножения двух-трехзначных чисел, а также деления чисел на одно- и двузначное число, что предполагает знание наизусть таблиц сложения и умножения однозначных чисел. Формирование навыков письменных вычислений, а в простейших случаях, и устных, следует довести до уровня, обеспечивающего беглое и безошибочное выполнение вычислений [6].

В 5-6 классах учащиеся овладевают навыками вычисления с натуральными и целыми числами, с обыкновенными и десятичными дробями. При этом алгоритмы вычислений с двух-трехзначными числами должны быть отработаны с учащимися до автоматизма; учащиеся должны свободно производить в уме арифметические действия в пределах сложности примеров и умножение двузначного числа на однозначное, на сложение двух дробей в простейших случаях. Все вычисления должны производиться достаточно бегло; их включение в выполнение более сложных вычислений не должно затруднять учащихся [6].

В 7-9 классах обобщаются и систематизируются сведения о действительных числах, развиваются и закрепляются вычислительные навыки. При этом не следует ослаблять внимание к поддержанию достаточно высокого уровня техники вычислений и повышению уровня вычислительной культуры учащихся (рационализация вычислений, их организация, применение приближенных вычислений). Эта задача должна решаться путем последовательного увеличения доли вычислений при изучении основного материала курса. Вычислительные навыки учащихся должны получить дальнейшее развитие при изучении вопросов, связанных с приближенными вычислениями, где, помимо дальнейшей отработки вычислительных алгоритмов, должны быть сформированы навыки прикидки и оценки результатов вычислений. По мере усвоения учащимися вычислительных алгоритмов и расширения объема сведений о числовых функциях существенно увеличивается объем и сложность вычислительных работ, что требует привлечения таблиц и математических инструментов (калькулятора) [6].

Вычислительным навыкам, как и любым другим, необходимо учить. Качество вычислительных умений и навыков определяется знанием правил и алгоритмов вычислений. Поэтому степень овладения вычислительными умениями зависит от четкости сформулированного алгоритма и от понимания принципа его использования. Очень важно владение некоторыми вычислительными умениями доводить до навыка. Что нужно сделать для этого учителю?

1. Ознакомить учащихся с принципом работы того или иного нового для них вычислительного алгоритма.

2. Провести работу по отработке отдельных операций, входящих в новый алгоритм. Для формирования навыка выполнения данного алгоритма недостаточно отдельных упражнений, необходима тщательно продуманная их система, в которой должна соблюдаться последовательность упражнений с постепенным их усложнением. Однако следует предостеречь от излишнего числа однообразных упражнений в системе. Упражнения по формированию навыков должны быть достаточно разнообразными как по содержанию, так и по форме, лишь в этом случае достигается прочность навыков.

3. Провести работу по закреплению алгоритма - использовать его применение во всех стандартных и нестандартных ситуациях. Это немаловажно, так как уровень вычислительных навыков определяется систематичностью закрепления ранее усвоенных приемов вычислений и приобретением новых в связи с изучаемым материалом. Кроме того, формируемые навыки в выполнении вычислений и тождественных преобразований должны входить в ранее сформированную систему знаний, умений и навыков учащихся как составная часть. Поэтому после нескольких упражнений в формировании нового вычислительного умения или навыка полезно для достижения этой цели выполнять упражнения, связывающие изучаемое с ранее приобретенными умениями и навыками.

4. И, конечно же, необходимо провести проверку по усвоению алгоритма учащимися. Этому могут помочь проведение самостоятельных работ и наблюдения учителя за работой учащихся в классе. Анализ письменных и устных работ учащихся дает возможность установить, как усвоен данный материал, какие общие и наиболее характерные ошибки допущены при проведении вычислений, кто из учащихся и что именно не усвоил и как ликвидировать выявленные пробелы.

Вычислительные навыки и умения можно считать сформированными только в том случае, если учащиеся умеют с достаточной беглостью выполнять математические действия с натуральными числами, десятичными и обыкновенными дробями, рациональными числами, производить тождественные преобразования различных числовых выражений и приближенные вычисления, рационально организовывать ход вычислений, а также убеждать в правильности полученных результатов.

На каких же этапах урока и внеклассных мероприятий можно обучать вычислительным навыкам? На уроках можно отводить 5-10 минут, в течение которых учащиеся знакомятся с каким-либо алгоритмом и закрепляют его решением примеров. Пятиминутки «устного счета» так же могут быть использованы для формирования и отработки вычислительного навыка. На этапе актуализации знаний можно провести проверку знаний того или иного вычислительного алгоритма. А на внеклассных мероприятиях можно ввести специальное отделение, в котором учащиеся, хорошо владеющие вычислительными алгоритмами, с успехом выступают перед одноклассниками. Также можно использовать различные игровые приемы (конкурсы, состязания) для изучения, закрепления, проверки знания вычислительных алгоритмов.

Таким образом, вычислительные навыки нужны и при изучении программного материала в школе, и в повседневной жизни. Кроме того, они окажутся полезными для прикидки ожидаемого результата не только в учебной деятельности, но и в жизни. Именно поэтому учить учащихся быстро, правильно и рационально считать в школе необходимо и не только на уроках, но и на внеклассных занятиях по математике.

1.3 Устные вычисления как основа повышения вычислительной культуры школьников

В методике математики различают устные и письменные приемы вычисления. К устным относят все приемы для случаев вычислений в пределах 100, а также сводящихся к ним приемы вычислений для случаев за пределами 100 (например, прием для случая 900·7 будет устным, так как он сводится к приему для случая 9·7). К письменным относят приемы для всех других случаев вычислений над числами большими 100.

Устная работа на уроках математики в младших классах, имеет большое значение - это и беседы учителя с классом или отдельными учениками, и рассуждения учащихся при выполнении тех или иных заданий и т.п. Среди этих видов устной работы можно выделить так называемые устные упражнения. Ранее они сводились в основном к вычислениям, поэтому за ними закрепилось название «устный счет». И хотя в современных учебниках содержание устных упражнений весьма разнообразно и велико, за счет введения алгебраического и геометрического материала, а также за счет большого внимания к свойствам действий над числами и величинами и других вопросов, название «устный счет» по отношению к устной форме проведения упражнений сохранилось до сих пор. Это, по мнению В.С. Кравченко, приводит к некоторым неудобствам, так как термин «устный счёт» используется, кроме того, и в своём естественном смысле, то есть вычисления, производимые устно, в уме, без записей. В связи с этим вместо термина «устный счёт», удобнее пользоваться термином «устные упражнения».

Как пишет педагог О.П. Зайцева в своей статье «Роль устного счета в формировании вычислительных навыков и развития личности ребенка» важность и необходимость устных упражнений доказывать не приходиться. Значение их велико в формировании вычислительных навыков и в совершенствовании знаний по нумерации, и в развитии личностных качеств ребёнка. Создание определённой системы повторения ранее изученного материала дает учащимся возможность усвоения знаний на уровне автоматического навыка. Устные вычисления не могут быть случайным этапом урока, а должны находиться в методической связи с основной темой и носить проблемный характер.

Для достижения правильности и беглости устных вычислений на каждом уроке математики необходимо выделять 5-10 минут для проведения упражнений в устных вычислениях, предусмотренных программой каждого класса.

Устные упражнения проводятся в вопросно-ответной форме, все учащиеся класса выполняют одновременно одни и те же упражнения. Устные упражнения важны и ещё и тем, что они активизируют мыслительную деятельность учащихся; при их выполнении активизируется, развивается память, речь, внимание, способность воспринимать сказанное на слух, быстрота реакции.

В сочетании с другими формами работы, устные упражнения позволяют создать условия, при которых активизируются различные виды деятельности учащихся: мышление, речь, моторика. И устные упражнения в этом комплекте имеют большое значение.

Так как устные упражнения или устный счёт это этап урока, то он имеет свои задачи:

1) воспроизводство и корректировка определённых ЗУН учащихся, необходимых для их самостоятельной деятельности на уроке или осознанного восприятия объяснения учителя;

2) контроль учителя за состоянием знаний учащихся;

3) психологическая подготовка учащихся к восприятию нового материала.

Так как уроки математики в младших классах как правило имеют кроме основной задачи, связанной с изучением текущего материала, еще ряд задач, относящихся к закреплению пройденного материала и подготовке к новым вопросам, то с этой точки зрения и подбираются упражнения к уроку, продумывается вид устных упражнений.

Для эффективного использования устных упражнений, нужно правильно определить их место в системе формирования понятий и навыков.

1.3.1 Приемы устного счета на уроках математики

Наиболее часто устные упражнения - первый этап урока, причем не только в 5-6-х, но и в старших классах.

Цель этого этапа: во-первых, подготовить учащихся к продуктивной работе на всем протяжении урока, значит, среди этих упражнений должны быть задания на восстановление опорных заданий и умений. Во-вторых, постоянно проводить работу по поддержанию и совершенствованию ранее сформулированных знаний и умений, в частности, вычислительных навыков. И, в-третьих, способствовать развитию учащихся, т.е. необходимо на каждом уроке предлагать задачи, требующие сообразительности, внимания, анализа и обобщения имеющихся знаний и т.п.

В 5-6 классах для развития и совершенствования вычислительных навыков часто используются так называемые цепочные вычисления.

В учебнике Н.Я. Виленкина и др. такие цепочки даются в виде схем и в виде столбиков. Роль этих упражнений не сводится только к поддержанию умения считать. Важно, что они хороши для развития оперативной памяти, тренировки внимания, настойчивости. Вообще, в учебниках 5-6 классов Н.Я. Виленкина и др. такие примеры достаточно разнообразны для применения их в устном счете.

При проведении устного счета сталкиваешься с такой проблемой, как охват всех учащихся. При наполняемости классов в 25 человек сделать это довольно проблематично. Как правило, классы по силам неоднородны, сильные ученики выполняют все упражнения довольно быстро, что приводит к тому, что постоянно отвечают одни и те же, или им становится скучно. Другие же ученики имеют возможность вообще не выполнять устные упражнения, либо выполнять их от случая к случаю. Смысл же заданий устного счета в том, чтобы каждый ученик выполнил весь объем вычислений, а учитель имел возможность быстро и легко проверять работу учащихся.

Поэтому при планировании устной работы в начале урока можно поступить следующим образом: на доске выписываем пример из методического пособия «Упражнения для быстрого счета» на интересующие разделы и темы, предназначенные для устного счета или текстом, иногда по вариантам, иногда одинаковые. Учащимся дается определенное количество времени, в зависимости от количества заданий. Все вычисления и рассуждения учащиеся производят устно, записывая только конечные результаты, причем именно в той последовательности, в какой были предложены задания (это нужно для облегчения проверки). Через отведенное время собираем по 4-5 тетрадей с каждого варианта. Потом вызываем ученика на каждое задание, который называет только ответы, при необходимости или затруднении обсуждаем или комментируем. Одновременно проверяем сданные тетради, с выставлением отметок.

Так как ученики заранее не знают, чьи тетради берем на проверку, это активизирует их действия, заставляет работать каждого. Такую работу можно проводить во всех классах.

Кроме того, можно использовать следующую форму работы, которая применима в тех ситуациях, когда требуется «набить руку» по темам:

1) упрощение выражений;

2) формулы сокращенного умножения;

3) решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств, и др.

Берем одинарный лист в клетку и складываем его по длине пополам. Получаем 4 страницы. В течение 4-х уроков, каждый ученик получает один из четырех вариантов (каждый раз новый) одной и той же работы. Задание выполняется устно, записываются только ответы. Новый вариант работы выполняется на новой странице. Обычно берется 10 заданий в каждом варианте, которые охватывают все возможные случаи для данной темы. Учащимся дается ограниченное количество времени. После каждого урока работы проверяются и оцениваются. На следующем уроке выдаются эти же листочки и другой вариант работы. В журнал выставляется итоговая отметка по результатам всех четырех работ. Такой вид работы позволяет к четвертому уроку существенно увеличить процент качества выполнения работ.

1.3.2 Виды упражнений для устного счета

Навыки устных вычислений формируются в процессе выполнения учащимися разнообразных упражнений. Рассмотрим основные их виды [1].

1) Нахождение значений математических выражений.

Предлагается в той или иной форме математическое выражение, требуется найти его значение. Эти упражнения имеют много вариантов. Можно предлагать числовые математические выражения и буквенные (выражение с переменной), при этом буквам придают числовые значения и находят числовое значение полученного выражения, например:

· найдите разность чисел 100 и 9;

· найдите значение выражения , если С = 100, К = 9.

Выражения могут предлагаться в разной словесной форме:

· из 100 вычесть 9; 100 минус 9;

· уменьшаемое 100, вычитаемое 9, найдите разность;

· найти разность чисел 100 и 9;

· уменьшить 100 на 9 и т.д.

Эти формулировки использует не только учитель, но и ученики.

Выражения могут включать одно и более действий. Выражения с несколькими действиями могут включать действия одной ступени или разных ступеней, например:

· 47 + 24;

· 72: 12 · 9.

Могут быть действия со скобками или без скобок: (): 3, : 3. Как и выражения в одно действие, выражения в несколько действий имеют разную словесную формулировку, например:

· из 90 вычесть частное чисел 42 и 3;

· уменьшаемое 90, а вычитаемое выражено частным чисел 42 и 3.

Выражения могут быть заданы в разной области чисел: с однозначными числами, с двузначными, с трехзначными и т.д., с натуральными числами и величинами. Однако, как правило, приёмы устных вычислений должны сводиться к действиям над числами в пределах 100. Так, случай вычитания четырехзначных чисел сводится к вычитанию двузначных чисел и, значит, его можно предлагать для устных вычислений.

Выражения можно давать и в форме следующей таблицы

Основное значение упражнений на нахождение значений выражений - выработать у учащихся твердые вычислительные навыки, а также они способствуют усвоению вопросов теории арифметических действий.

2) Сравнение математических выражений.

Эти упражнения имеют ряд вариантов. Могут быть даны два выражения, а надо установить, равны ли их значения, а если не равны, то какое из них больше или меньше: 6 + 4 * 4 + 6, 20 + 7 * 20 + 5, 20 · 8 * 18 · 10, 8 · 9 * 8 · 10. Вместо * необходимо поставить знак <, > или =.

Могут предлагаться упражнения, в которых уже дан знак отношения и одно из выражений, а другое выражение надо составить или дополнить:
8 · (10 + 2) = 8 · 10 +…

Выражения таких упражнений могут включать различный числовой материал: однозначные, двузначные, трехзначные числа и величины. Выражения могут быть с разными действиями.

Главная роль таких упражнений - способствовать усвоению теоретических знаний об арифметических действиях, их свойствах, о равенствах, о неравенствах и др. Также они помогают выработке вычислительных навыков.

3) Решение уравнений.

Это прежде всего простейшие уравнения (х + 2 = 10) и более сложные.

Уравнение можно предлагать в разных формах:

· решение уравнения 24: х = 3;

· из какого числа надо вычесть 18, чтобы получить 40?

· найдите неизвестное число: 73 + х = 73 + 18

· я задумала число, умножила его на 5 и получила 85. Какое число я задумала?

Назначение таких упражнений - выработать умение решать уравнение, помочь учащимся усвоить связи между компонентами и результатами арифметических действий.

4) Решение задач.

Для устной работы предлагаются и простые и составные задачи.

Эти упражнения включаются с целью выработки умений решать задачи, они помогают усвоению теоретических знаний и выработке вычислительных навыков.

Разнообразие упражнений возбуждает интерес у детей, активизирует их мыслительную деятельность.

1.3.3 Формы восприятия устного счета

1) Беглый слуховой (читается учителем, учеником, записано на магнитофоне) - при восприятии задания на слух большая нагрузка приходится на память, поэтому учащиеся быстро утомляются. Однако такие упражнения очень полезны: они развивают слуховую память.

2) Зрительный (таблицы, плакаты, записи на доске, счеты, диапозитивы) - запись задания облегчает вычисления (не надо запоминать числа). Иногда без записи трудно и даже невозможно выполнить задание. Например, надо выполнить действие с величинами, выраженными в единицах двух наименований, заполнить таблицу или выполнить действия при сравнении выражений.

3) Комбинированный.

Так же применяются:

- обратная связь (показ ответов с помощью карточек);

- задания по вариантам (обеспечивают самостоятельность);

- упражнения в форме игры (молчанка, продолжи цепочку, стук-стук, хлопки).

Таким образом, при формировании и развитии математических навыков учащихся значимое место занимают вычислительные навыки и, в частности, устные вычисления.

2.2.1 Сложение