Главная База знаний "Allbest" Педагогика Обобщения при обучении решению математических задач

Обобщения при обучении решению математических задач

Виды и приемы обобщений в философской, психолого-педагогической, математико-методической литературе и их роль в процессе обучения математике, условия осуществления. Обобщения по аналогии и индуктивные обобщения при обучении решению математических задач.

Рубрика Педагогика
Вид дипломная работа
Язык русский
Дата добавления 24.06.2009
Размер файла 1,4 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Страница:

Рис. 3

1) Выделим для начала частный случай, который можно легко решить. В данном случае будет удобно, если одну из сторон четырехугольника стянуть в точку (рис. 3б). Тогда пусть BC стягивается в точку В. В таком положении точка N совпадает с серединой К отрезка BD, и MN становится средней линией MK треугольника ABD. Таким образом исходная задача сводится к следующей: что больше, половина стороны AD треугольника ABD или отрезок MK, соединяющий середины двух других сторон.

По определению средней линии треугольника ответ очевиден: MK=AD

2) Теперь рассмотрим общий случай (Рис. 3в). Задача будет легко решена, если его свести к уже решенному частному случаю. Пусть K - середина диагонали BD четырехугольника ABCD. Из рассмотренного частного случая имеем: в треугольнике ABD MK=AD и МК|| AD, в треугольнике BCD KN=BC и KN||BC.

Так как по условию AD не параллельно BC, то M, N, K не лежат на одной прямой. Тогда по правилу треугольника, в треугольнике MKN видно, что MN<MK+KN = (AD+BC).

Следовательно, мы доказали, что полусумма сторон AD и BC четырехугольника ABCD больше чем отрезок (MN), соединяющий середины двух других сторон.

Каждый раз при решении общей задачи используется результат решения предыдущей частной задачи. Такой частный случай Д. Пойа называет ведущим [30].

Рассмотрим использование различных частных случаев при решении задач.

Пример 20. Дана окружность радиуса R. Из точки A, лежащей вне окружности и отстоящей от центра O на расстоянии а, проведена секущая. Точки B, C ее пересечения с окружностью соеденены с центром О. Пусть BOA и COA обозначены соответственно через и . Найти tg*tg(рис. 4а).

Так как требуется найти величину tg* tg в зависимости от данных, то есть а и R, то ответ должен быть одним и тем же при любом выборе секущей. Тогда верно, что этот же ответ должен получиться и при случае, когда секущая вырождается в касательную (рис. 4б). В данной задаче в качестве частного случая следует рассмотреть случай, когда проведена не секущая, а касательная.

Обобщение «по индукции» удачно подходит для вывода площадей поверхностей многогранников.

Пример 21. Вывести формулу боковой поверхности правильной n_угольной призмы.

Вначале можно вывести формулу площади боковой поверхности прямой правильной треугольной призмы.

Далее обобщаем задачу до вывода формулы площади боковой поверхности прямой правильной n_угольной призмы.

Иногда при решении задачи необходимо рассмотреть несколько вариантов, исчерпывающих все частные случаи, о чем прямо в задаче не сказано. Тогда метод будет иметь несколько другую схему рассуждений:

1) выделить все варианты частных случаев ситуации, описанной в задаче или создавшейся при ее решении;

2) решить задачу для каждого варианта;

3) объединить решения всех вариантов.

Часто этот метод называют методом исчерпывающих проб. Применение метода возможно при конечном числе вариантов.

Пример 22. Найти все четырехзначные числа, удовлетворяющие условиям: сумма цифр равна 11, само число делится на 11.

Обозначим искомое число: abcd=103*a+102*b+10*c+d.

Запишем условия задачи в систему:

Второе уравнение системы выражает делимость искомого числа на 11. Преобразовав систему, получим уравнение: 2*(a+c)=11*(k+1), причем k , так как разность в левой части второго уравнения не может быть меньше -11 и больше 11 (сумма цифр равна 11).

Тогда возможны три случая:

1) k=-1, тогда a+c=0, тогда a=0, что противоречит условию (число четырехзначное).

2) k=0, тогда 2*(a+c)=11, чего не может быть.

3) k=1, тогда a+c=11, b=0, d=0 и все значения a и с можно записать в таблицу 2:

Табл. 2

a

2

3

4

5

6

7

8

9

c

9

8

7

6

5

4

3

2

Число вариантов конечно, снова решив задачу для каждого варианта, находим, что решением задачи будут числа 2090, 3080, 4050, 5060, 6050, 7040, 8030,9020.

Таким образом, чтобы применять обобщение как метод решения задачи «по индукции», нужно уметь выделять частные в случаи задаче.

2.2.2 Решение задач «в общем виде»

Необходимо обучать школьников решению задач «в общем» виде, так как решение задачи «в общем» виде часто может оказаться доступнее, легче, рациональнее, чем решение конкретной задачи. Так же обобщенная формулировка задачи помогает усвоению математической сущности конкретных задач и позволяет обнаружить способ решения исходной задачи. К более общей задаче могут быть применимы методы, которые не применимы к исходной задаче.

Обобщенная задача иногда подсказывает новый способ решения.

Пример 23. Вычислить |a| - 2*|a| + 9*|a|2+35*|a|5-21*|a|3-5*|a|4 при a равных -2; 1.

Так как модуль раскрывается в зависимости от того, какой знак имеет подмодульное выражение, то обобщением задачи может быть следующая задача: Найти значение выражения F(a), если a<0; a >=0.

Обобщенная задача помогает прояснить суть конкретных задач. При a<0 учащиеся поймут суть раскрытия модуля с отрицательным знаком, при a >=0 с положительным.

Иногда задачу удобнее решать сформулировав ее в общем виде.

Пример 24. Даны правильный октаэдр и прямая занимают в пространстве фиксированное положение. Найти плоскость, проходящую через данную прямую и делящую октаэдр на две равновеликие части [30].

Эта задача может показаться сложной, поэтому рациональнее ее сформулировать в общем виде, используя знания о правильном октаэдре: «Даны замкнутая поверхность, обладающая центром симметрии, и прямая занимают в пространстве фиксированное положение. Найти плоскость, проходящую через данную прямую и делящую объем тела, ограниченного данной поверхностью, на две равновеликие части». Искомая плоскость должна проходить через центр симметрии поверхности и определяться этой точкой и данной прямой. Так как октаэдр обладает центром симметрии, тем самым первоначальная задача оказывается найденной.

Так же следует использовать решение задачи в «общем виде» и в задачах с конкретными значениями, но решения которых громоздки. Решение задачи в «общем» виде с последующей подстановкой числовых данных часто позволяет лучше просмотреть план решения задачи, сократить записи, затратить меньше времени на вычисления.

Таким образом, при использовании обобщения как метода решения задач необходимо уметь выделять частные случаи. Так же полезно обучать школьников решению задач в общем виде, так как часто обобщенную задачу решить легче, чем конкретную задачу.

2.3 Обобщение как источник новых математических задач

Обобщения при обучении решению математических задач могут способствовать возникновению новых задач. Новые задачи могут появиться как при исследовании конкретной задачи и ее решения, так и при исследовании обобщенной задачи и ее решения.

К возникновению новой обобщенной задачи могут привести индуктивные обобщения. Обратная операция - специализация, позволяет от обобщенной задачи перейти к конкретным задачам.

Так же с помощью обобщений по аналогии из одной конкретной задачи получают новые конкретные задачи, из обобщенной задачи - новые обобщенные задачи.

Получение новых задач важно тем, что при составлении задач учащиеся усваивают структуру задачи, взаимосвязь данных, данных и искомых, обнаруживают внутреннюю связь между задачами.

Для того чтобы получить новые задачи при помощи обобщений, используют следующие приемы:

1) обобщение данных при сохранении искомых;

2) обобщение (добавление) искомых при сохранении данных;

3) обобщение данных и искомых.

Рассмотрим подробнее эти приемы.

2.3.1 Обобщение данных при сохранении искомых

Замена одних данных (или части данных) другими при сохранении искомых приводит к применению разнообразных приемов и методов решения, казалось бы, близких по содержанию задач. При этом может применяться не один прием, а широкий спектр методов.

Изменением условия задачи при сохранении требования может являться: замена данных более общими; замена одних отношений между объектами задачи другими.

Замена числовых данных задачи параметром часто приводит к обобщенной задаче. Специализация обобщенной задачи помогает получить целый класс аналогичных задач. Конкретные числовые данные можно заменять буквами не все сразу, а последовательно.

Пример 25. «Найти, если сторона нижнего основания равна 10 м, сторона верхнего 5 м и высота пирамиды 6 м» [30].

Если числа 10, 5, 6 заменить буквами, например а, b, h, получим обобщенную задач: «Найти объем усеченной пирамиды с квадратным основанием, если сторона нижнего основания равна a, сторона верхнего b и высота пирамиды h». Перейдя от задачи «в числах» к задаче «в буквах», мы воспринимаем данные величины как переменные.

Обобщенная задача дает возможность составить и решить еще несколько типов задач, в которых одна из величин является искомой, а остальные - данными.

К появлению новых задач так же приводит обобщение понятий, данных в задаче.

Пример 26. Найти диагональ куба, если даны три его измерения (длина, ширина и высота).

Обобщив понятие куба до понятия прямоугольного параллелепипеда, получим новую задачу:

Пример 27. Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, если даны три его измерения (длина, ширина и высота).

Замена одних отношений между объектами задачи другими тоже может привести к появлению новых задач.

Пример 28. Как изменится частное двух чисел если делимое увеличить в три раза?

Можно исследовать эту задачу и получить новые, размышляя, что произойдет с частным, если делимое увеличить в 3 раза, уменьшить в 3 раза, если изменить делитель, если изменить одновременно делимое и делитель? Возникает целая серия задач, порожденных данной задачей, которые можно записать в таблицу 3.

Табл. 3

Условие задачи

Вопрос задачи

* Если делимое увеличить в 3 раза

* Если делимое уменьшить в 3 раза

* Если делитель увеличить в 3 раза

* Если делитель уменьшить в 3 раза

* Если делимое и делитель увеличить в 3 раза

* Если делимое увеличить, а делитель уменьшить в 3 раза

* Если делимое уменьшить, а делитель увеличить в 3 раза

* Если делимое и делитель уменьшить в 3 раза

Как изменится разность?

После решения конкретных задач полезно сделать обобщения: если делимое и делитель увеличить или уменьшить в одно и то же положительное число раз, то не изменится; если делимое увеличить, а делитель уменьшить в одно и то же положительное число раз, то частное увеличиться в квадрат этого числа; если делимое уменьшить, а делитель увеличить в одно и то же положительное число раз, то частное уменьшится в квадрат этого числа.

Изменяя отношения между данными задачи, делая их более общими так же можно получить новые задачи.

Пример 29. Доказать, что сумма расстояний, от точки пересечения медиан правильного треугольника до его сторон постоянна.

От этой задачи можно перейти к следующей:

Пример 30. Доказать, что сумма расстояний, от точки взятой произвольно внутри правильного треугольника до его сторон постоянна.

2.3.2 Обобщение (добавление искомых) при сохранении данных

Новая математическая задача может быть получена с помощью изменения требования задачи при сохранении условия: добавления новых заключений; обобщения искомых.

В большинстве случаев в задаче встречается лишь один вопрос, одно заключение, но содержащаяся в задаче информация иногда позволяет сделать и другие выводы (ответить на другие вопросы, сделать другие заключения), т.е. добавить новые заключения при сохранении данных.

Пример 31. Даны две прямые a и b. Доказать, что любая прямая, пересекающая прямую a, пересекает и прямую b, то прямые a и b параллельны. [1]

Вначале требуется доказать параллельность прямых a и b. Тогда прямая, пересекающая a будет не только пересекать прямую b, но и обладать свойствами над этими прямыми: их накрест лежащие, соответственные и углы будут равны, а сумма односторонних будет равна 1800. Поэтому можно сформулировать более общую задачу.

Пример 32. Даны две прямые a и b. Доказать, что любая прямая, пересекающая прямую a, пересекает и прямую b, то прямые a и b параллельны, их накрест лежащие, соответственные и углы будут равны, а сумма односторонних будет равна 1800.

Задачи, которые приучают учащихся рассматривать всевозможные заключения из данных посылок, что бывает необходимо при решении многих задач на доказательство, при доказательстве различных теорем, иногда называют задачами «без вопросов». На основе решения таких задач удобно рассматривать обобщения о искомых в задаче.

Пример 33. Дана прямоугольная призма, в основании которой трапеция. Установите всевозможные взаиморасположения прямых, содержащих ребра данной призмы.

Прямые, содержащие ребра данной призмы могут

находиться в трех положениях: быть параллельны,

пересекаться, быть скрещивающимися. Учащиеся, находя

параллельные, скрещивающиеся и пересекающиеся прямые, делают выводы о свойствах призмы: что для каждой прямой, находящейся в плоскости одного основания всегда есть прямая, параллельная в плоскости другого основания; все прямые, содержащие боковые ребра параллельны; каждая прямая, содержащая боковое ребро, пересекается с двумя прямыми, содержащими ребра оснований, с остальными скрещивается.

2.3.3 Обобщение данных и искомых

Нередко обобщение данных задачи приводит к обобщению искомых.

Так, обобщение понятий, в условии задачи может привести к обобщению вопроса задачи. Таким образом, теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора.

Пример 34. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Пример 35. В произвольном треугольнике квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Обобщение данных и искомых задачи до параметра так же приводит к составлению новых задач. Например, зная, что правильный треугольник определяется любым элементом, можно составить задачи, связывающие между собой элементы правильного треугольника: стороны, медианы, радиусы вписанной и описанной окружностей.

Таким образом, мы показали как обобщения при обучении решению математических задач приводят в возникновению новых задач. Это происходит в результате исследования задач и их решений, а так же исследований обобщенных задач и их решений. Используя обобщение и специализацию, учащиеся могут сами составлять новые задачи, осуществляя замену части данных другими при сохранении искомых, добавляя новые заключения или обобщая искомые.

2.4 Обобщения задач ведущие к формированию понятий и теорем

С помощью обобщений можно осуществлять введение понятий и теорем. При этом происходит мотивация введения понятий и теорем, учащиеся сами осознают, как получили и для чего нужно новое знание, определяют его место в системе других понятий или теорем, и легко применяют его при решении различных задач.

При формировании понятий различают обобщения: 1) от конкретных примеров до математического понятия; 2) самих математических понятий.

К определению понятия часто приводит обобщение конкретных примеров.

Пример 36. Определение средней линии треугольника, в основном, в учебниках геометрии вводится дедуктивно. При этом большинство учащихся плохо усваивают определение средней линии треугольника или путают его с теоремой о средней линии треугольника.

Данное определение можно ввести, выделив отличительное свойство средней линии треугольника: соединение середин двух сторон треугольника.

Формирование понятия происходит в три этапа:

1) Выделение общего свойства у класса примеров. Глядя на рисунок 6, уместно задать вопрос ученикам: какими общими свойствами обладает линия

MN на рисунке?

При таком обобщении учащиеся анализируют рисунки, находят в них общее свойство, которое сохраняется во всех данных рисунках: MN соединяет середины двух сторон треугольника. Это свойство включается в определение средней линии треугольника: средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

2) Осуществление специализации на следующем примере (рис. 7).

Необходимо найти средние линии.

4) Так же вместе с примерами объектов, удовлетворяющих

определению понятия необходимо привести контрпримеры, объекты, которые к изучаемому понятию не относятся (рис. 8).

Таким образом сформированное понятие четко осознается учащимися, а выделенное свойство и приведенные контрпримеры помогут быстро отличать его от других.

При обобщение планиметрии до стереометрии происходит большинство переходов от одних понятий к другим, более общим.

Пример 37. Обобщение параллельности прямых на плоскости до параллельности прямых в пространстве может осуществляться так: вспомнить определение параллельности прямых на плоскости: «Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются»; рассмотреть две прямые в пространстве. В результате беседы приходим к выводу, что для определения параллельности двух прямых в пространстве, необходимо, чтобы они принадлежали одной плоскости; обобщить определение параллельности прямых на плоскости до определения параллельности прямых в пространстве: «Две прямые в пространстве называются параллельными, если они принадлежат одной плоскости и не пересекаются».

По такому же принципу происходит обобщение квадрата до куба, площади параллелограмма до объема параллелепипеда, и другие.

Индуктивные обобщения при изучении теорем так же необходимы.

В основе любой теоремы лежит задача на доказательство. Поэтому осуществление обобщений при решении задач на доказательство позволяют учащимся увидеть возникновение теоремы, метода её доказательства, установить связь между различными теоремами, сформулировать новые, систематизировать теоремы и методы доказательства. Это облегчает проведение мотивации при введении теорем, приводит к осознанному восприятию идей доказательства, к пониманию и усвоению содержания теоремы, разумному применению теоремы для решения задач.

Индуктивные обобщения при решении задач на доказательство можно разделить на:

1) обобщение конкретных задач до формулировки теоремы;

2) обобщение теорем.

Индуктивное обобщение конкретных задач до теоремы состоит в том, что в результате сравнения и анализа решения нескольких конкретных задач можно выдвинуть гипотезу для общего случая и вывода теоремы.

Пример 38. Доказать, что если в четырехугольнике сумма противоположных углов равна 1800, то около этого четырехугольника можно описать окружность.

Задачу можно обобщить до формулировки теоремы:

«В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 1800».

Возможно обобщение самих теорем до более общих. Любая доказанная теорема становится началом для открытия новых фактов и соотношений, доказательств новых теорем, т.е. входит в их доказательства.

Например, теорема о параллельности прямой и плоскости в пространстве обобщается до теоремы о параллельности трех прямых в пространстве, которая может быть обобщена до признака параллельности двух плоскостей.

При таких обобщениях расширяется множество объектов, к которым применимы рассматриваемые свойства и часто сохраняются методы доказательства.

Так же сами теоремы являются обобщениями ранее известных. Для соединения знаний в систему необходимо проводить обобщения теорем и показывать переходы от одних теорем к другим.

Так, обобщая теорему «площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов», отбросим ограничение, что треугольник прямоугольный и получим теорему «Площадь произвольного треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними».

От теоремы «Середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма» можно перейти к теореме «Точки, делящие стороны четырехугольника в одном и том же отношении (соединенные определенным образом) являются вершинами параллелограмма», а можно перейти к теореме стереометрии: «Середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма».

Таким образом, обобщение при формировании понятий и введении теорем очень полезно. Обобщение знания от конкретных задач до понятия и от задач на доказательство к доказательству теорем помогает проведению мотивации введения понятий и теорем, применению их при решении различных задач.

2.5 Таблицы как средство обобщения при обучении решению математических задач

При обучении решению математических задач удобно проводить обобщения, когда информация представлена в таблицах. Такие таблицы будем называть обобщающими.

Обобщающие таблицы служат для проведения сравнения и анализа математических задач и их решений, при систематизации способов и методов решения задач, при составлении системы советов для поиска решения задач, при выводе понятий и обобщении материала, используемого при решении задач.

При выводе метода решения задач удобно решение по этапам записывать в таблицу. При этом таблица будет состоять из двух столбцов: в первом - решение конкретной задачи, во втором - общий метод решения или алгоритм метода решения задач такого класса.

Для более глубокого понимания метода решения задачи очень эффективно дополнение таблицы еще одним столбцом, в котором показана специализация метода на еще одной конкретной задаче.

Пример 39. Общий алгоритм применения метода координат к решению математических задач можно вывести, проведя анализ решения задачи, к которой применим этот метод. Метод заключается во введении прямоугольной системы координат и записи условия задачи в координатах, после чего решение задачи легко провести с помощью алгебраических вычислений. Необходимо пошагово расписать решение задачи в первом столбце и записать обобщенный алгоритм решения во втором столбце [Приложение 10].

Так решение конкретной задачи приводит к выводу общего алгоритма решения класса задач методом координат:

1. Изучить условие задачи, ввести прямоугольную систему координат так, чтобы одна из точек фигуры являлась центром, и хотя бы одна сторона лежала на какой-либо оси.

2. Обозначить координаты точек во введенной системе координат

3. Используя нужную формулу, составить равенство, которое необходимо доказать, и доказать его в координатной форме.

4. Записать ответ.

Использование метода координат позволит решать и другие задачи.

После вывода алгоритма полезно сразу провести его специализацию на второй задаче, оформив все записи в таблицу.

Так же обобщающие таблицы удобно использовать при выводе нового понятия. При этом понятие формулируется на основе решенных задач, подводящих к его определению.

Пример 40. К определению понятия ромба можно подвести, решив три задачи определяющие его характеристические свойства и сделав вывод.

В учебнике [1] дается такое определение ромба: «Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны». Далее приводится особое свойство ромба: «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам». Для целостного осознания понятия «ромб» следует определение ввести вместе со свойством.

И так, требуется три задачи:

1) задача, подводящая к определению понятия: ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны;

2) задача, подводящая к первой составляющей свойства ромба: диагонали взаимно перпендикулярны;

3) задача, подводящая ко второй составляющей свойства ромба: диагонали делят его углы пополам.

Все данные удобно оформить в таблицу [Приложение 11].

Решив все три задачи, следует приступить к заполнению четвертого столбца.

Из первой задачи следует определение ромба. Из условия второй задачи следует, что параллелограмм ABCD - ромб, и в нем диагонали пересекаются под прямым углом. Результатом решения третьей задачи является выяснение, что параллелограмм ABCD - ромб и к любому ромбу будет применимо условие задачи, что его диагонали делят углы пополам.

В результате такого способа формирования, понятие «ромб» гораздо лучше усваивается учащимися, чем введение понятия дедуктивно.

Широкое применение таблиц отмечается при обобщении материала, используемого при решении задач. Такие обобщающие таблицы могут быть использованы для различных целей: повторить и систематизировать знания, установить причинно-следственные связи между свойствами объектов, изложить материал укрупненными блоками, рационально заучить и воспроизвести материал [15].

Особое место среди обобщающих таблиц занимают динамические обобщающие таблицы. Они четко отражают взаимосвязи объектов в таблице и логику обобщения.

Примерами таких таблиц могут быть: обобщающая таблица свойств действительных чисел и векторов в школьном курсе математики [15] [Приложение 1] и сравнительная таблица связи векторов в геометрии и физике [15] [Приложение 2]. Примером обобщающей таблицы систематизации знаний учащихся может служить динамическая обобщающая таблица основных тригонометрических формул и их взаимосвязей [10] [Приложение 3].

Таким образом, для лучшего понимания процесса сравнения и анализа задач, при систематизации методов решения задач, при выводе понятий и обобщении материала, используемого при решении задач, удобно использовать обобщающие таблицы.

2.6 Опытное преподавание

Цель: апробация методических рекомендаций на уроках математики в 10-м классе, выявление их влияния на результативность обучения школьников решению задач.

Место проведения: муниципальное общеобразовательное учреждение гимназия №2 города Кирово - Чепецка Кировской области.

Время проведения: 2007-2008 учебный год.

Класс: 10

Учитель: Останина Ольга Александровна, учитель математики высшей квалификационной категории.

Содержание опытного преподавания.

Учитель систематически и целенаправленно в соответствии с методическими рекомендациями осуществлял обобщения решения задач при изучении различных тем алгебры и начала анализа и геометрии.

Приведем некоторые примеры использования обобщений.

Обобщение и систематизация теоретического материала по теме преобразование тригонометрических выражений учитель проводил при помощи динамической обобщающей таблицы основных тригонометрических формул и их взаимосвязей из пункта 2.5 [Приложение 3].

При изучении темы «производная» для формирования понятия производной осуществлялось индуктивное обобщение результатов решений задач из различных областей знаний (механики, геометрии, физики).

На основе сравнения и анализа решения конкретных задач был выявлен общий математический алгоритм решения для всех конкретных задач, которые приводят к новому математическому понятию - понятию производной. Все записи были оформлены в таблицу. [приложение 4]

После заполнения таблицы дается определение производной: производной функции f в точке х0 называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, вычисленный при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует и конечен.

Понятие производной позволило сформулировать другие понятия: мгновенной скорости тела («мгновенная скорость есть производная пути по времени»), углового коэффициента касательной к графику дифференцируемой функции («угловой коэффициент производная функции в этой точке f(х0)»), мгновенной силы тока («мгновенная сила тока есть производная количества электричества по времени»).

При таком подходе учащиеся смогли осознать появление понятия и усвоить механический, геометрический, физический смысл производной, а так же научиться решать разнообразные задачи на приложения производной.

При изучении этой же темы проводилось обобщение решения конкретной задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения до метода решения класса задач на оптимизацию.

Для этого была выбрана конкретная задача, ее решение оформлялось в таблицу, состоящую из двух столбцов [приложение 5]. В левом столбце - решение конкретной задачи, в правом - решение обобщенной задачи.

Задача: сумма двух целых чисел равна 24. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наибольшее значение [25, №949а].

Таким образом был выведен общий метод решения задач на отыскание наибольшего и наименьшего значения.

Составленная схема решения задач на оптимизацию сравнивалась со схемой решения алгебраических текстовых задач и был сделан вывод, текстовые задачи алгебры и начал анализа решаются по одной схеме

Из решения данной конкретной задачи так же можно вывести следующее обобщение: «произведение двух чисел, если известна их сумма, будет наибольшим, если эти числа равны».

Обобщение как метод решения задач по индукции использовалось при выведении формулы площади боковой поверхности правильной n_угольной призмы.

Вначале выводилась формула площади боковой поверхности правильной треугольной призмы.

Так как Sбок= Pосн*h, то для правильной треугольной призмы будет выполняться: Sбок= 3*а*h, где а - сторона правильного треугольника, находящегося в основании призмы.

Далее формула обобщалась до формулы площади боковой поверхности правильной n_угольной призмы.

Так, Sбок= n*а*h, где а - сторона правильного n_угольника, находящегося в основании призмы.

Все записи оформляем в таблицу [приложение 6].

Выведенная таким образом формула более понятна учащимся и сразу определяется класс задач, к которым она применима.

Обобщение как метод решения задач в «общем виде» был осуществлен при изучении темы «Многогранники» на уроке «Решение задач на призму», с целью показать, как иногда бывает более удобно решить задачу в общем виде, а потом подставить конкретные значения [Приложение 7].

Был сделан вывод, что решение задачи в общем виде и последующая подстановка числовых данных короче и производится быстрее по времени, так же яснее просматривается план решения задачи.

В результате апробации было установлено, что использование методических рекомендаций позволило повысить познавательную активность учащихся и результативность решения задач, что подтверждено рецензией учителя проводившего опытное преподавание.

Выводы по второй главе.

Таким образом обобщения при обучении решению задач являются эффективным средством поиска решения задачи и овладения общими методами решения задач.

Индуктивные обобщения при решении математических задач используются для вывода новых методов решения задач, перехода от одних методов решения задач к более общим, применимым к решению широкого класса задач. Так же индуктивные обобщения подходов к решению задачи их систематизация помогают в создании системы советов, полезных в процессе отыскания решения задачи.

Сами обобщения могут являться методом решения класса задач. При использовании обобщения как метода решения задач «по индукции» необходимо уметь выделять частные случаи. Полезно обучать школьников решению задач в общем виде, так как часто обобщенную задачу решить легче, чем конкретную задачу.

Обобщения приводят в возникновению новых задач. Необходимо проводить анализ задач и их решений, а так же обобщенных задач и их решений, при этом учащиеся могут сами составлять новые задачи, осуществляя замену части данных другими при сохранении искомых, добавляя новые заключения или обобщая искомые.

Введение понятий и теорем с помощью обобщения задач улучшает понимание вводимого знания, учащиеся сами осознают, как получили и для чего нужно новое знание, определяют его место в системе других понятий или теорем.

Обобщающие таблицы служат для проведения сравнения и анализа математических задач и их решений, при систематизации способов и методов решения задач, при составлении системы советов для поиска решения задач, при выводе понятий и обобщении материала, используемого при решении задач.

В результате проведения опытного преподавания было выявлено положительное влияние осуществления обобщений на результативность обучения школьников решению задач.

Заключение

В данной работе рассмотрены обобщения при обучении решению математических задач в курсе средней (полной) школы.

Цель работы достигнута, поставленные задачи выполнены.

В работе были рассмотрены обобщения при обучении методам решения математических задач, обобщение как метод решения математических задач, обобщение как источник новых математических задач, так же обобщения задач ведущие к формированию математических понятий и теорем.

Так же была показана роль таблиц как средства обобщения при обучении решению математических задач.

Опытное преподавание подтвердило выдвинутую гипотезу: если на уроках математики организовать процесс обучения решению задач в соответствии с предложенными методическими рекомендациями, то это позволит повысить результативность обучения школьников решению задач.

Библиографический список

1. Атанасян, Л.С. Геометрия 7-9 [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина. - М.: Просвещение. 1996. - 336 с.

2. Атанасян, Л.С. Геометрия 10-11 [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина. - М.: Просвещение. 1997. - 256 с.

3. Балк, Г.Д. О применении эвристических приемов в школьном преподавании математики [Текст] / Г.Д. Балк // Математика в школе. - 1969. - №5. - С. 21 - 28.

4. Бернштейн, М.С. Задачи на доказательство в курсе геометрии [Текст] / М.С. Бернштейн // Математика в школе. -1941. - №4. - С. 19-30.

5. Богушевский, К.С. Из писем и заметок читателей [Текст] / К.С. Богушевкий // Математика в школе. -1952. - №5. - С. 60-72.

6. Болтянский, В.Г. Анализ - поиск решения задач [Текст] / В.Г. Болтянский // Математика в школе. - 1974. - №1. - С. 34 - 40.

7. Выготский, Л.С. Избранные педагогические исследования[Текст] / Л.С. Выготский, Л.С. - М.:Изд-во АПНРСФСР, 1956. - 519 с.

8. Горский, Д.П. Краткий словарь по логике [Текст] / Д.П. Горский, А.А. Ивин, А.Л. Никифоров; Под ред. Д.П. Горского. - М.: Просвещение, 1991. - 208 с.

9. Горский, Обобщение и познание Д.П. Горский. - М.: Мысль. 1985. - 208 с.

10. Груденов, Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики [Текст]: кн. для учителя / Я.И. Груденов. - М.: Просвещение, 1990. - 224 с.

11. Дорофеев, Г.В. Обобщение метода интервалов [Текст] / Г.В. Дорофеев // Математика в школе. - 1969. - №З.-С. 39-44.

12. Зильберберг, Н.И. Урок математики [Текст]: подготовка и проведение: кн. для учителя / Н.И. Зильберберг. - М.: Просвещение; Учеб. лит., 1995. - 178 с.

13. Изаак, Д.Ф. Обобщение задач по геометрии [Текст] / Д.Ф. Изаак // Математика в школе. - 1983. - №2. - С. 55 - 57.

14. Канин, Е.С. Заключительный этап решения учебных задач [Текст] / Е.С. Канин, Ф.Ф. Нагибин // Преподавание алгебры и геометрии в школе / сост. О.А. Боковнев. - М., 1982. - С. 131-139.

15. Канин, Е.С. Учебные математические задачи [Текст]: учеб. пособие / Е.С. Канин. - Киров: Изд - во Вят. ГГУ, 2003. - 191 с.

16. Кретинин, О.С. формирование приемов обобщения и специализации в 5 классе [Текст] / О.С. Кретинин // Математика в школе. - 1972. - №2. - С. 28 - 30.

17. Кузнецова, Алгебра. 9 кл [Текст]:сборн. зад. для проведения письм. экз. по алгебре за курс осн. школы / Л.В. Кузнецова, Е.А. Бунимович, Б.П. Пигарев, С.Б. Суворова. - М.: Дрофа, 1996. - 144 с.

18. Кушнир, И.А. Об одном способе решения задач на построение [Текст] / И.А. Кушнир // Математика в школе. - 1984. - №2. - С. 22 - 25.

19. Маланюк, М.П., Гапюк, Я.Ф. Упражнения обобщающего характера в курсе алгебры 6 класса [Текст] / М.П. Маланюк, Я.Ф. Гапюк // Математика в школе. - 1984. - №2. - С. 25 - 27.

20. Малых, Е.В. Обобщения в обучении математике учащихся полной средней школы [Текст]: дисс. … канд. пед. наук. Киров. 2005.

21. Методика обобщающих повторений при обучении математике [Текст]: пособие для учителей и студентов / В.А. Далингер. - Омск: изд-во ОГПИ. 1992. - 88 с.

22. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика [Текст]: учеб. пособие для студентов пед. ин-ов / А.Я. Блох, Е.С. Канин; сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. - М.: Просвещение. 1985. - 336 с.

23. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика [Текст]: учеб. пособие для студентов физ. - мат. фак. пед. ин-ов / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Саннинский. - М.: Просвещение. 1980. - 368 с.

24. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2003. - 375 с.

25. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. [Текст]: задачник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович, Л.О. Денищева, Т.А. Корешкова, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская; под ред. А.Г. Мордковича. - М.: Мнемозина, 2004. - 315 с.

26. Мордкович, А.Г. Беседы с учителями математики [Текст]: Концептуал. методика. Рекомендации, советы, замечания. Обучение через задачи / А.Г. Мордкович. - М.: Школа-Пресс, 1995. - 272 с.

27. Островский, А.И. Геометрия помогает арифметике [Текст] / А И. Островский, Б. А Кордемский. - М: Физматгиз, 1960. -168 с.

28. Педагогика [Текст]: учеб. пособие для студентов пед. ин-ов / Ю.К. Бабанский, В.А. Сластенин, Н.А. Сорокин; под ред. Ю.К. Бабанского. 2 - е изд., доп. и перераб. - М.: Просвещение, 1988. - 479 с.

29. Педагогический энциклопедический словарь [Текст] / гл. ред. Б.М. Бим - Бад. - М: Большая Российская энциклопедия, 2002. - 528 с.

30. Пойа, Д. Как решать задачу [Текст]: пер. с англ. / Д. Пойа. - М.: Учпедгиз, 1959. - 216 с.

31. Пойа, Д. Математика и правдоподобные рассуждения [Текст] / Д. Пойа. - М.: Наука, 1975. - 464 с.

32. Пойа, Д. Математическое открытие [Текст] / Д. Пойа. - М.: Наука, 1970. - 452 с.

33. Понарин, Я.П. Геометрия [Текст]: учебное пособие / Я.П. Понарин. - Ростов-на-Дону: Феникс, 1997. - 512 с.

34. Психологический словарь / под ред. В.В. Давыдова, А.В. Запорожца, Б.Ф. Ломова; науч. - исслед. ин-т общей и педагогической психологии АПН СССР. - М.: Педагогика, 1983. - 448 с.

35. Родионов, М.А. Теория и методика формирования мотивации учебной деятельности школьников в процессе обучения математике [Текст]: дисс. … докт. пед. наук. - Саранск, 2001.

36. Розенфельд, Д.И. Об ознакомлении учащихся с методом обобщения [Текст] /Д.И. Розенфельд // Математика в школе. - 1965. - №1. - С. 41-43

37. Рубинштейн, С.Л. Основы общей психологии [Текст] / С.Л Рубинштейн. - СПб.: Питер Ком, 1998 - 688 с.

38. Саранцев, Г.И. Общая методика преподавания математики [Текст]: учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и университетов / Г.И. Саранцев. - Саранск: Тип. «Крас. Окт.», 1999. - 208 с.

39. Семенов, Е.Е. Об одном приеме обучения учащихся обобщению и конкретизации [Текст] / Е.Е. Семенов // Математика в школе. - 1976. - №2. - С. 55 - 57.

40. Философская энциклопедия [Текст].Т4.-М.:Современная энциклопедия, 1967. - 519 с.

41. Философский энциклопедический словарь [Текст].Т4.-М.:Современная энциклопедия, 1983. - 446 с.

42. Фридман, Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи [Текст]: кн. для учащихся ст. классов сред. шк./ Л.М. Фридман, Е.Н. Турецкий. - 3_е изд., дораб. - М.: Просвещение, 1989. -192 с.

43. Эрдниев, П.М. Укрупнение дидактических едениц в обучении метематике [Текст]: кн. для учителя / П.М. Эрдниев, Б.П. Эрдниев. - М.: Просвещение, 1986. - 255 с.

Приложения

Приложение 1

Действительные числа

Векторы

1. Существуют отношения ра венства и неравенства

1. Существуют отношения ра венства и неравенства

2. Есть ноль

2. Есть нулевой вектор

3. Существуют противоположные числа a + (- a) = 0

3. Существуют противоположные векторы:

4. Определены действия сложения и вычитания чисел. Результат - число

4. Определены действия сложения и вычитания векторов. Результат - вектор.

5. Выполняются законы сложения

a + b = b +a,

a + (b + c) = (a + b) + c

5. Выполняются законы сложения:

6. Определены действия умножения и деления чисел. Результат - число. Делить на 0 нельзя

6. Определено действие умножения (деления) вектора на число. Результат - вектор.

Определено скалярное умножение векторов. Результат - число.

7. Выплоняются законы умножения:

a*b=b*a

(a*b)*c=a*(b*c)

(a+b)*c=a*c + b*c

a*b 0, если a0, b 0

7. Выплоняются законы умножения:

Не выполняется

может быть при 0, 0

8. Существует взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и точками координатной прямой

8. Существует взаимно однозначное соответствие между множеством векторов и точками координатной плоскости

9.

9. - длина вектора

10. Направление на прямой

10. Направление на плоскости

Приложение 2

Векторы в геометрии

Векторы в физике

Вектор - направленый отрезок

Вектор - направленый отрезок: сила, скорость, ускорение, момент силы и т.п.

Скалярное умножение векторов

Работа:

1) при движении по наклонной плоскости

2) где Ф - магнитный поток, В-магнитная индукция, S - площадь контура

Вычисление длины лектора

Нахождение значения равнодействующей силы, скорости и др.

Разложение вектора по координатным осям или по двум данным векторам

Разложение сил, скоростей, других векторных величин по координатным осям или двум данным векторам

Нулевой вектор

Сумма сил по замкнутому многоугольному контуру; сумма сил приложенных к центру тяжести фигуры

Компланарные вектора

Силы, скорости, ускорения и др., действующие в одном или противоположных направлениях

Некомпланарные векторы

Физические векторные величины, направленные друг к другу под углом

Приложение 3

Приложение 4

Задача о скорости движения (механика)

Задача о касательной к графику функции (геометрия)

Задача о мгновенной силе электрического тока (физика)

общий алгоритм решения этих задач

Найти мгновенную скорость движения тела в момент времени t.

Дан график функции f=f(x) и точка М(х0, f(x0)) на нем. В этой точке к графику проведена касательная (предположим что существует). Найти угловой коэффициент касательной.

Для цепи переменного тока определить силу тока в данный момент времени

Нахождение производной функции в заданной точке.

Обозначим зависимость пути от времени как функцию S=S(t).

Рассмотрим функцию f=f(x) дифференцируемую в заданной точке М

Рассмотрим зависимость количества электричества, протекающего через поперечное сечение проводника за время t как функцию Q=Q(t)

Выбираем некоторую функцию f=f(x).

зафиксируем какой то момент времени t, дадим аргументу t приращение t и рассмотрим ситуацию в момент времени

Зафиксируем х0 и придадим приращение аргументу х. Получим точку х+х0

Зафиксируем значение времени t0, дадим аргументу t приращение t и рассмотрим промежуток времени от t0 до t0+t.

Зафиксируем х0, придадим приращение аргументу х. Получим точку х+х0

Найдем S(t), S (t+t) и вычислим приращение функции S (t+t) - S(t)= S.

Найдем f(x0), f(x0+x) и вычислим приращение функции f(x0+x) - f(x0)= f. Через точки М(х0, f(x0) и М' (x0+x, f(x0+x)) проведем секущую к кривой MM'.

Найдем Q(t0), Q(t0 + t) и приращение количества электричества Q = Q(t0+t) - Q(t0)

Найдем f(x0), f(x0+x), приращение функции f(x0+x) - f(x0)= f.

Найдем среднюю скорость vср.=

Тогда угловой коэффициент секущей будет

Найдем среднюю силу тока Iср.=

Составим отношение

Тогда мгновенная скорость движения в момент времени t будет вычисляться как предел средней скорости при t->0: vмгн.=

Учитывая, что касательная к кривой в точке М есть предельное положение секущей то при х->0 M'->M. Получаем:

Мгновенная сила тока есть предел средней силы тока при t->0.

Iуд.=

определяем условие существования предела

Это и есть мгновенная скорость движения тела.

Это и есть угловой коэффициент касательной

Это есть определение мгновенной силы тока.

Тогда предел есть производная функции f=f(x) в точке x0 и обозначается f' (x0)

Приложение 5

Задача: сумма двух целых чисел равна 24. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наибольшее значение [25, №949а].

Решение конкретной задачи

Решение обобщенной задачи

сумма двух целых чисел равна 24. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наибольшее значение.

По исходным данным найти наибольшее или наименьшее значение какой-либо функции

1. Введем переменные: первое число равно х, второе - 24_х

2. Ввести переменную, выразить через нее все остальные переменные задачи

2. Произведением двух чисел является функция P(x)=x (24_х)

3. Составить функцию для исследования на экстремум

3. Так как х - целое число, а сумма двух чисел равна 24, то 0 < х < 24

4. Определить по условию задачи области задания функции

4. Задача свелась к нахождению такого значения х, при котором функция P(x)=x*(24_х) принимает наибольшее значение на интервале (0; 24); P' (x)= 24-2х; 24-2х = 0. Отсюда х = 12.

При х=12 функция P(x)=x*(24_х) на интервале (0; 24) принимает наибольшее значение

5. Исследовать полученную функцию на экстремум, затем на наибольшее или наименьшее значение на области задания

5. Таким образом оба числа равны 12.

6. Записать ответ

Приложение 6

Вид призмы

Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы

Площадь боковой поверхности правильной n_угольной призмы.

Чертеж

Общая формула площади боковой поверхности призмы

Sбок= Pосн*h

Sбок= Pосн*h

Вывод формулы площади боковой поверхности призмы необходимого вида

1) h - высота правильной треугольной призмы, в данном случае ребро призмы.

2) Pосн - периметр правильной треугольной призмы

В основании правильный треугольник -> Pосн = 3*a, где а - сторона правильного треугольника, находящегося в основании призмы

1) h - высота правильной n_угольной призмы, в данном случае ребро призмы

2) Pосн - периметр правильной n_угольной призмы

Страница:


Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

© 2000 — 2023, ООО «Олбест» Все права защищены