Обобщения при обучении решению математических задач

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Метод

Построить равнобедренный треугольник ABC (b=c) по а, h_b.

Построить треугольник ABC по a, m_b, m_c

Построить ромб ABCD по диагонали BD и высоте ВН

Построение фигуры с помощью вспомогательного треугольника

1) Ищем вспомогательный треугольник: таким треугольником удобно считать CDB.

2) Это даст угол C, следовательно, и угол ABC.

3) есть а, B, C, значит, можно построить треугольник ABC

Схематично запишем:

- (a, h_b)->CDB-> C

- (a,B,C)-> ABC

1) Пусть M - точка пересечения медиан. Ищем вспомогательный треугольник: это CMB.

2) (2/3m_b,2/3m_c, a) дадут CMB, следовательно СBE и BCD

3) с помощью этих углов можно построить стороны b, с.

- (m_b, a, СBE)-> СBE->1/2b

- (m_c, a, BCD)-> DCB->1/2c

- (b, c, a)-> ABC

1) Ищем вспомогательный треугольник: так как известна высота и диагональ, то этоBHD.

2) это даст BDH.

3) Теперь можно построить равнобедренный треугольник BDA, а следовательно, и ромб ABCD.

1) Проанализировать условие задачи и найти вспомогательный треугольник.

Произвести чертеж.

2) Определить элементы вспомогательного треугольника, с помощью которых возможно дальнейшее построение искомой фигуры.

3) произвести дальнейшее построение.

Вопросы и советы для усвоения содержания задачи

А). Сначала следует ознакомиться с задачей, внимательно прочитав ее содержание. При этом схватывается общая ситуация, описанная в задаче.

Б). Ознакомившись с задачей, необходимо вникнуть в ее содержание. В задаче на нахождение выделить данные и искомые, а в задаче на доказательство - посылки и заключения.

В). В том случае, когда данные (или искомые) в задаче не обозначены, надо ввести подходящие обозначения.

Г). Часто пониманию задачи помогает разделение условия на части и запись каждой части условия с помощью введенных обозначений.

Д). Если задача геометрическая или связана с геометрическими фигурами, полезно к задаче и обозначить на чертеже данные и искомые.

Е). Полезно ответить на вопрос: «Возможно ли удовлетворить условию задачи?» Отвечая на него, полезно выяснить, однозначно ли сформулирована задача, не содержит ли она избыточных или противоречивых данных. Одновременно выясняется, достаточно ли данных для решения задачи.

Вопросы и советы для составления плана решения задачи

А). Известна ли вам какая-либо родственная задача? Аналогичная задача?

Б). Подумайте, известна ли вам задача, к которой можно свести решаемую?

В). Если родственная задача неизвестна и свести данную задачу к какой-либо известной задаче не удается, то стоит воспользоваться советом: «Попытайтесь сформулировать задачу иначе». При переформулировании задачи либо пользуются определениями данных в ней математических понятий (заменяют термины их определениями), либо их признаками (точнее сказать, достаточными условиями).

Г). Составляя план решения задачи, следует задать себе вопрос: «все ли данные задачи использованы?» Выявление неучтенных данных задачи облегчает составление плана ее решения. Возможно, имеются «скрытые» данные.

Д). Иногда полезно следовать совету «Попытайтесь преобразовать искомые или данные». При этом данные преобразуют так, чтобы они приблизились к искомым.

Е). Если следуя предыдущим советам, вам не удалось составить план решения, то можно воспользоваться таким советом: «попробуйте решить лишь часть задачи», т.е. попробуйте удовлетворить лишь части условий, с тем, чтобы далее искать способ удовлетворить оставшейся части условий задачи. Этот совет можно расширить, развить до совета: «Расчлените задачу на более простые задачи».

Ж). Нередко в составлении плана решения задачи помогает ответ на вопрос: «Для какого частного случая возможно достаточно быстро решить эту задачу?» Обнаружив такой частный случай, можно воспользоваться решением задачи в найденном частном случае для более общего (но, может быть, не самого общего) случая. Так можно поступить, постепенно обобщая задачу до исходной, решаемой задачи. Совет: «Рассмотрите частные случаи задачной ситуации, решите задачу для какого-нибудь частного случая, примените индуктивные рассуждения».

3). Иногда решение задачи оказывается проще, если сформулировать и решить задачу сначала более общую, а затем с ее помощью решить данную задачу. Совет: «Попробуйте сформулировать и решить более общую задачу».

Советы для реализации плана решения задачи

А). Проверяйте каждый свой шаг, убеждаясь, что он совершен правильно. Иными словами, нужно доказывать правильность каждого шага ссылками на соответствующие известные ранее математические факты, предложения.

Б). При реализации плана поможет совет: «Замените термины и символы их определениями».

В). При решении некоторых задач помогает совет: «Воспользуйтесь свойствами данных в условии объектов».

Анализ и проверка правильности решения задач

А). Проверьте результат.

Б). Проверьте ход решения.

В). Проверяя правильность хода решения, убеждаемся и в правильности результата. Совет: «Проверьте все узловые пункты решения».

Г). Второй способ проверки результата заключается в получении того же результата применением другого метода решения задачи, поэтому полезно ответить на вопрос: «Нельзя ли тот же результат получить иначе?» иными словами стоит следовать совету: «Решите задачу другим способом». Если при решении задачи другим способом получен тот же результат, задачу можно считать решенной правильно.

шаги

Задача №1: докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.

Общий алгоритм

Задача №2: докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.

1

Рассмотрим треугольник ABC, угол С-прямой. М - середина гипотенузы AB. Введем прямоугольную систему координат так, что С-центр, CB_на оси х, СA - на оси у.

Вводим прямоугольную систему координат так, чтобы одна из точек фигуры являлась центром, и хотя бы одна сторона лежала на какой-либо оси.

АBCD_данный параллелограмм. Введем прямоугольную систему координат так, что А-центр, AD - на оси х.

2

Обозначим: BC=a, AC=b, тогда вершины C (0,0), B (a, 0), A (0, b), М (a/2, b/2)

Обозначаем координаты точек во введенной системе координат.

Обозначим: AD=BC=a, тогда вершины A (0,0), B (b, c), D (a, 0), C (a+b, c)

3

Пользуясь формулой расстояния между двумя точками, найдем длины отрезков MC, MA:

Используя нужную формулу, составляем равенство, которое необходимо доказать, и доказываем его в координатной форме.

Используя формулу расстояния между двумя точками, найдем:

AB²=b²+c²; AD²=a²; AC²=(a+b)²+c²; BD²=(a-b)²+c²

Отсюда:

AB²+BC²+CD²+DA²= 2*(AB²+AD²)=2*(a²+b²+c²), AC²+AD²=(a+b)²+c²+(a-b)²+c²= 2*(a²+b²+c²)

MA=MB=MC, что и требовалось доказать

Запись ответа

Таким образом, AB²+BC²+CD²+DA²=AC²+BD², что и требовалось доказать

№

Задача

Решение задачи

Вывод

1

Определить вид четырехугольника ABCD его вид, если известно, что A+B=180⁰, A=смежному с D по продолжению AD и имеет место равенство: AB+CD=BC+AD

1) A+B=180⁰, то AD||BC (A и B - односторонние)

2) A= по продолжению AD, то AB||CD((A и смежному с D - соответственные).

Таким образом

ABCD - параллелограмм.

3) В параллелограмме

равенство: AB+CD=BC+AD

верно только при равенстве всех элементов, то есть AB=BC=CD=AD.

Делаем вывод: вид четырехугольника - параллелограмм, у которого все стороны равны.

Определение: параллелограмм, у которого все стороны равны называется ромбом

2

Дан, параллелограмм ABCD AB=BC=CD=AD. Доказать, что треугольник BOC - прямоугольный, где O - точка пересечения диагоналей.

1) AB=BC=CD=AD, треугольник ABC - равнобедренный.

2) В параллелограмме диагонали точкой

пересечения делятся пополам,

то есть OA=OC и BO - медиана.

3) В равнобедренном треугольнике

медиана является еще и высотой,

то есть BOC=90⁰

Таким образом треугольник BOC - прямоугольный

Так как в параллелограмме ABCD все стороны равны, то это ромб. Задача отражает свойство ромба: диагонали ромба взаимно перпендикулярны

3

В параллелограмме ABCDABD=DBC, AB=a. Найти периметр параллелограмма ABCD.

1) ABD=DBC. так как ABCD - параллелограмм, то DBC (накрест лежащие)

2) Тогда треугольник - равнобедренный

(ABD=BDA) и AB=AD=a.

3) Тогда в параллелограмме ABCD

все стороны равны и его периметр

равен 4*а

Выявили, что данный параллелограмм является ромбом. В ромбе справедливо, что его диагонали делят углы пополам