Разработка факультативного курса "Применение метода интервалов при решении неравенств"
Актуализация внеурочной деятельности старших школьников. Место факультативных занятий в рамках обучения в школе. Структура и содержание факультативного курса для страшеклассников, раскрывающего способы применения метода интервалов при решении неравенств.
| Рубрика | Педагогика |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 08.03.2012 |
| Размер файла | 851,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
.
Теперь можем провести кривую знаков, беря во внимание степени множителей, входящих в неравенство:
? ? ?
1 2
Учитывая знаки неравенства, запишем ответ.
Ответ: .
5)
Для решения данного неравенства необходимо левую его часть разложить на множители. Здесь будет удобно ввести новую переменную . Тогда исходное неравенство примет вид квадратного неравенства:
.
Воспользуемся методом интервалов:
_ _
1 8
В результате получили и . Сделав обратную замену переменной, найдем решение в каждом из случаев.
а)
б)
Объединение найденных решений будет решением исходного неравенства.
Ответ: .
6)
Здесь введение новой переменной ничем не поможет. Попробуем подобрать хотя бы один из корней соответствующего уравнения. является таковым, тогда уравнение можно переписать в виде (где выражение - это частное деления левой части уравнения на ). Теперь подберем значение переменной, обращающее в нуль второй множитель последнего уравнения. Это . Значит, мы получим уравнение . Выражение принимает только положительные значения, поэтому можем вернуться непосредственно к исходному неравенству, которое равносильно следующему:
.
Применив метод интервалов, найдем решение неравенства и запишем ответ.
? ?
2
Ответ: [-1;2].
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ
1) Ответ: .
2) Ответ: .
3) Ответ: .
4) Ответ: .
5) Ответ: .
6) Ответ: .
7)* Ответ: (-1;1).
Занятие №2
1. Метод интервалов для дробно-рациональных неравенств.
Рассматриваемый ранее метод интервалов с небольшими изменениями и дополнениями и может быть использован для решения не только рациональных, но и для дробно-рациональных неравенств вида
(9),
где , - многочлены, причем , а символ есть одно из неравенств: , , , . Применительно к таким неравенствам этот метод включает в себя следующие операции.
1. Нахождение области определения левой части неравенства (кратко ОДЗ).
2. Нахождение корней числителя и знаменателя.
3. Нанесение найденных корней на числовую ось, причем с учетом ОДЗ (т.е. принимая во внимание строгость или нестрогость знака неравенства).
4. Определение знаков левой части неравенства на полученных промежутках.
5. Выяснение принадлежности концов полученных промежутков (нулей числителя и знаменателя) множеству решений неравенства.
6. Выбор промежутков, соответствующих знаку неравенства, и запись ответа. [30]
2. Утверждения о равносильности неравенств.
1)
2)
3)
4)
3. Решить неравенства:
1) Ответ: .
2) Ответ: .
3) Ответ: .
4) Ответ: .
Р е ш е н и е.
1)
Перепишем исходное неравенство, используя утверждение 1) о равносильных переходах в неравенствах:
.
Применим для решения метод интервалов, преобразовав полученное неравенство к виду (2):
.
_ _ _
5
Ответ: .
2)
Можно начать решение с выписывания ОДЗ, но в нашем случае удобнее будет воспользоваться утверждением 3), где учтены ограничения по ОДЗ. Таким образом исходное неравенство равносильно следующей системе:
Применим обобщенный метод интервалов для решения первого неравенства последней системы.
? _ _
0 4
Во всех полученных интервалах левая часть неравенства принимает положительные значения, но в силу знака неравенства имеем один корень .
Ответ: .
Замечание. Можно было и не производить никаких действий по решению данного неравенства, а воспользоваться здравым смыслом. В левой части неравенства все множители имеют четную степень, а значит положительны при любых значениях переменной . Но в числители имеем еще один множитель (-1), значит вся дробь будет принимать лишь отрицательные значения. Беря во внимание знак неравенства, можно сделать вывод о том, что неравенство имеет решения лишь в том случае, когда числитель равен нулю, а именно при .
3)
Аналогично предыдущему примеру, воспользуемся при решении неравенства утверждением 4), а затем методом интервалов. Но сначала необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и привести исходное неравенство к виду (9). Поработаем отдельно с числителем и знаменателем.
Одним из корней числителя является число . Значит выражение
можно переписать в следующем виде:
= .
Найдя так же методом подбора корень знаменателя , получим
= = .
В результате перепишем исходное неравенство в следующем виде:
_ _ ? ? _ ?
1 2
Ответ: .
4. “Правило ромашки.”
Существует еще один способ для определения знаков на промежутках, получаемых в ходе решения неравенств. Этот способ применяется для решения неравенств вида (соответственно ), где
,
где -- натуральные числа.
Способ ромашки скорее служит для забавы (хотя и работает), поэтому его мы сразу поясним на примере.
Решить неравенство:
5)
Р е ш е н и е.
ОДЗ:
Корни числителя: 1;-1;4.
а) Отметим на числовой оси полученные точки - нули числителя и знаменателя.
б) Найдем знак левой части неравенства на крайнем правом промежутке. Для этого возьмем, например, . Имеем:
.
в) Начнем вести волнообразную кривую, начиная ее правее и выше крайней правой точки 4. Когда кривая подойдет к точке 4, посмотрим на соответствующее этому значению выражение . Показатель этого выражения равен 5, значит кривая должна пять раз коснуться точки 4 и идти дальше к точке 2. Когда кривая подойдет к точке 2, посмотрим на соответствующее этому значению выражение . Показатель этого выражения равен 2, значит кривая должна два раза коснуться точки 2 и идти дальше к точке 1. Когда кривая подойдет к точке 1, посмотрим на соответствующее этому значению выражение . Показатель этого выражения равен 3, значит кривая должна три раза коснуться точки 1 и идти дальше к точке . Когда кривая подойдет к точке , посмотрим на соответствующее этому значению выражение . Показатель этого выражения равен 2, значит кривая должна два раза коснуться точки и идти дальше к точке . Когда кривая подойдет к точке , посмотрим на соответствующее этому значению выражение . Показатель этого выражения равен 3, значит кривая должна три раза коснуться точки и идти дальше к точке . Когда кривая подойдет к точке , посмотрим на соответствующее этому значению выражение . Показатель этого выражения равен 1, значит кривая должна один раз коснуться точки и идти дальше.
_ _ ? ? _ ?
1 2 4
Из получившейся схемы видно, почему способ называется способ ромашки.
г) Теперь знаки определяются совсем просто. В пункте б) мы уже нашли знак на крайнем правом промежутке -- это знак “минус”. Теперь знаки должны чередоваться, но при этом нельзя пропустить ни один «лепесток ромашки»:
_ _ ? ? _ ?
1 2 4
Из полученной схемы уберем все лишнее и отметим штриховкой промежутки, на которых
:
_ _ ? ? _ ?
1 2 4
Ответ: .
Решить неравенство:
6) Ответ: (-1;2).
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ
1) Ответ: .
2) Ответ: .
3) Ответ: .
4) Ответ: .
5) Ответ: .
6) Ответ: .
Занятие №3
На предыдущем занятии предлагалось решить дробно-рациональные неравенства, содержащие “одну дробь”. На этом же занятии целесообразно предложить задания, в которых присутствует сумма нескольких дробей и линейных выражений, для решения которых необходимо привести с помощью равносильных преобразований исходные неравенства к виду (9) (см. предыдущее занятие), а затем применить метод интервалов.
Решить неравенства:
1) Ответ: .
2) Ответ: .
3) Ответ: (-2;1).
4) Ответ: .
5) Ответ: .
Р е ш е н и е.
1)
Перенесем все члены неравенства в левую часть, получим
.
Приведя дроби к общему знаменателю и приведя подобные слагаемые в числителе, получим следующее выражение:
.
Применяя метод интервалов, заключаем, что решением неравенства является объединение двух промежутков: и .
_ _ _
3
Ответ: .
3)
Перенесем все члены неравенства в левую часть и воспользуемся формулой квадрата суммы:
.
Пусть , причем , т.к. выражение принимает положительные значения при любых . Тогда неравенство примет вид
.
Домножим обе части неравенства на , при этом знак неравенства не изменится (т.к. ). Имеем
.
Применим метод интервалов:
_ _
3
Таким образом, мы получили систему
Но мы требовали, чтобы . Значит, первое неравенство системы можно не учитывать.
Произведя обратную замену переменной, получим неравенство
Найдем решение последнего неравенства, а значит и исходного, и запишем ответ.
_ _
1
Ответ: (-2;1).
5)
Разложим каждый из знаменателей дробей, входящих в исходное неравенство, на множители:
Теперь легко можно определить общий знаменатель четырех дробей. Перенеся все члены неравенства в левую часть и сделав соответствующие преобразования, получим
Применяя метод интервалов, заключаем, что решением неравенства является объединение промежутков .
_ _ ? _ ?
1 2 5
Ответ:
5)
Преобразуем выражения в каждой из скобок:
Применим метод интервалов (обратив внимание на то, что один из множителей неравенства системы имеет четную степень).
_ _ ? ?
0 1 2
Ответ: .
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ
1) Ответ: .
2) Ответ: .
3) Ответ: .
4) Ответ: .
5) Ответ: .
6)* Ответ: .
Занятие №4
Напомним следующие факты.
1) Решением системы неравенств называют значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство.
2) Решить систему - значит найти множество всех ее решений.
3) При решении системы неравенств с одной переменной обычно решают каждое из неравенств системы, а затем находят пересечение множеств полученных решений.
Решить системы неравенств:
1) Ответ: .
2)
Ответ:
.
3)
Ответ: (0;1).
Р е ш е н и е.
1)
Перепишем двойное неравенство в виде системы.
Перенеся в каждом из неравенств системы все члены в левую часть и приведя их к общему знаменателю, получим следующую равносильную систему:
.
Рассмотрим первое неравенство системы. Уравнения, соответствующие выражениям числителя и знаменателя, действительных корней не имеют, значит левая часть неравенства принимает всегда лишь положительные значения.
Второе неравенство системы имеет тот же знаменатель, что и первое. Значит решение исходной системы сводиться к решению квадратного неравенства
.
? ?
1 6
Ответ: .
2)
Решим сначала первое неравенство системы, для чего преобразуем множители знаменателя дроби:
,
,
при любых , значит выражение на знак левой части неравенства не влияет, так же как и выражение числителя .
Таким образом, исходное первое неравенство системы равносильно следующему:
.
Применив метод интервалов, найдем решение первого неравенства.
_ _ _ _ _ _
1 2 3
Замечание. Для самопроверки правильности определения знаков на полученных промежутках можно предложить учащимся воспользоваться “правилом ромашки”.
Итак, решением первого неравенства является объединение промежутков:
.
Решим второе неравенство исходной системы.
.
_ _ _ _
0 4
Решением второго неравенства является объединение двух промежутков: (-4;-1), (0;4).
Пересечение найденных решений будет решением исходной системы.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
0 1 2 3 4
Ответ: .
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ДОМАШНЕЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1) Ответ: .
2) Ответ: .
3) Ответ: .
4) Ответ: .
5) Ответ: .
6) Ответ: .
7)* Ответ: .
8)* Ответ:
.
9)*
Ответ: .
10)* Ответ: .
Занятие №5
Неравенства, содержащие переменную под знаком корня, называются иррациональными. Мы будем рассматривать обобщенный метод интервалов для решения иррациональных неравенств, суть которого заключается в следующем:
1) рассматривается иррациональное уравнение вместо неравенства;
2) рассматривается верность выполнения неравенства с учетом ОДЗ и корней уравнения.
Решить неравенства:
1) Ответ: .
2) Ответ: .
3) Ответ: .
4) Ответ: .
Р е ш е н и е.
1)
Определим ОДЗ:
.
Рассмотрим уравнение . Для решения данного иррационального уравнения необходимо возвести обе части уравнения в квадрат, но данную операцию можно производить лишь при условии неотрицательности обеих частей уравнения. Поэтому уравнение будет равносильно следующей системе:
.
Полученный корень уравнения входит в определенную ранее ОДЗ, поэтому нанесем на числовую ось точки и (закрашенные), отметим получившиеся интервалы в пределах ОДЗ:
? ?
3
Итак, мы получили два промежутка. Теперь на каждом из них проверим верность исходного неравенства .
На первом промежутке возьмем удобную для вычисления точку, чтобы проверить будет ли данное неравенство верным или нет. Если неравенство верно, будем ставить знак “+”, если неверно - знак “-”. При (это точка из первого промежутка) получим верное неравенство , поставим на соответствующем промежутке знак “+”.
На втором промежутке возьмем удобную нам точку , тогда получим неверное неравенство . Значит на промежутке ставим знак “-”.
В итоге схема будет выглядеть следующим образом:
интервал неравенство факультатив обучение
? ?
3
В ответ запишем промежуток, на котором неравенство выполняется (т.е. промежуток, отмеченный знаком “+”).
Ответ: .
2)
Начнем решение неравенства, как и в предыдущем случае, с определения ОДЗ:
.
Решим уравнение:
Уравнение в системе действительных корней не имеет, значит решением системы является пустое множество. Поэтому решение исходного неравенства будем искать лишь на промежутке, определенным ОДЗ. Для чего
1) нанесем на числовую ось “закрашенные” точки 0, 3 ;
2) возьмем точку из промежутка , например, . При подстановке данного значения переменной в исходное неравенство получим . Очевидно, что это верное выражение, поэтому на схеме ставим знак “+” и записываем ответ.
_ _
0 3
Ответ: .
3)
Способ решения данного неравенства с помощью обобщенного метода интервалов не будет отличаться от рассмотренных ранее иррациональных неравенства, хотя и содержит более одного корня. Поэтому начнем с определения ОДЗ:
.
Далее решим уравнение . Поскольку обе части уравнения неотрицательны, то можем возвести их в квадрат:
.
В итоге мы свели иррациональное уравнение, содержащее два корня, к уравнению, содержащему один корень, решение которого найдем, составив систему, включающую условие неотрицательности правой части уравнения (левая часть неотрицательна в силу определения квадратного корня):
. .
Таким образом, мы получили один корень, который входит в ОДЗ исходного неравенства. Поэтому нанесем на числовую ось точки (закрашенную), (пустую) и проверим верность неравенства на полученных промежутках.
_ _
1 10
В первом промежутке для проверки возьмем точку . Получим неверное неравенство
, поэтому промежуток отметим знаком “-”.
На втором промежутке возьмем, например, точку . Получим верное неравенство , поэтому промежуток отметим знаком “+”.
Ответ: .
4)
Определим ОДЗ:
.
Рассмотрим уравнение
.
Обе части данного уравнения положительны, поэтому возведем их в квадрат:
.
Получили иррациональное уравнение, в котором обе части положительны, значит можем возвести в квадрат и получим следующее, равносильное последнему, уравнение:
.
Корнями данного уравнения являются
и ,
из которых лишь принадлежит ОДЗ исходного неравенства. Поэтому верность неравенства будем проверять на двух промежутках:
,.
_ ? _
2
Рассмотрим промежуток . Для более удобных вычислений выберем точку , подставив которую в неравенство, получим следующее: .
Точно вычислить значение корней нам не удастся, но, сделав приблизительную оценку их значений, приходим к выводу, что неравенство ложно. Поэтому на схеме ставим знак “-”.
На втором промежутке возьмем точку . При подстановке данного значения переменной в неравенство получим выражение , которое заведомо положительно. Поэтому на схеме отметим рассматриваемый промежуток знаком “+”.
_ ? _
2
Таким образом, решением неравенства являются значения
.
Ответ: .
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ
1) Ответ: .
2) Ответ: .
3) Ответ: .
4) Ответ: .
5) Ответ: .
6)* Ответ: (-9;4).
Занятие №6
Решить неравенства:
1) Ответ: .
2) Ответ: .
3) Ответ: .
4) Ответ: .
Р е ш е н и е.
1)
Определим ОДЗ:
Рассмотрим уравнение , представляющее собой произведение двух выражений, равное нулю. Известно, что произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности
.
Нанеся все найденные корни на числовую ось, увидим, что не входит в ОДЗ исходного неравенства. Поэтому получим следующие промежутки:
? ? ?
1 2
Для проверки знака неравенства на каждом из промежутков достаточно посмотреть лишь знак первого множителя (так как при любых значениях переменной ).
Не сложно заметить, что при любых значениях получим неверное неравенство (значит на схеме ставим “-”), а любые значениях являются решением исходного неравенства (на схеме ставим “+”). Но в силу нестрогости неравенства к найденному промежутку необходимо добавить и точку . Поэтому ответ запишем в следующем виде:
Ответ: .
2)
ОДЗ: .
Рассмотрим уравнение . В обеих частях данного уравнения присутствует выражение , сократить на которое нельзя, так как оно содержит переменную. Поэтому выполним следующие равносильные преобразования:
.
Найденные корни входят в ОДЗ неравенства, поэтому получим три промежутка, на каждом из которых проверим знак неравенства.
? ? ?
0
При получим: (верное неравенство, промежуток отмечаем знаком “+”).
При получим: (неверное неравенство, промежуток отмечаем знаком “-”).
При получим: (верное неравенство, промежуток отмечаем знаком “+”).
Объединение двух промежутков, отмеченных знаком “+”, и является решением исходного неравенства.
Ответ: .
3)
Как и в предыдущих примерах, начнем решение с определения ОДЗ:
.
Далее рассмотрим уравнение . В силу определенной ранее ОДЗ, уравнение будет равносильно следующему:
.
Найденный корень принадлежит ОДЗ неравенства, поэтому получим следующую схему:
? _ ? ?
0 4 6
Для проверки знака неравенства на полученных промежутках будет удобнее переписать его в следующем виде:
.
Возьмем точку из промежутка , например, . Подставив данное значение в преобразованное неравенство, получим верное неравенство: . Значит на схеме в промежутке ставим знак “+”.
Из второго промежутка для проверки удобнее будет взять точку . Получим , что неверно. Поэтому на схеме в промежутке ставим знак “-”.
Наконец, из промежутка возьмем точку . Получим верное неравенство . Ставим на соответствующем промежутке знак “+”. В ответ запишем объединение промежутков, отмеченных знаком “+”.
Ответ: .
4)
Определим ОДЗ:
Преобразуем неравенство:
.
Для того чтобы применить обобщенный метод интервалов для решения иррациональных неравенств подобного вида, необходимо приравнять к нулю и числитель и знаменатель дроби. В нашем случае знаменатель не может быть равен нулю (это условие уже включено в ОДЗ самого неравенства), поэтому решение сведется к рассмотрению одного уравнения:
.
Далее найдем корни полученного уравнения известным нам способом:
.
Отметим на числовой оси найденный корень и ОДЗ исходного неравенства, тем самым получим три промежутка: , , .
_ ? ?
0 1 2
Рассмотрим знак неравенства на каждом из промежутков.
При имеем: . Значит на схеме промежуток отметим знаком “+”.
При имеем: . Значит на схеме промежуток отметим знаком “-”.
При имеем: . Значит на схеме промежуток отметим знаком “+”.
Ответ: .
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ
1) Ответ: .
2) Ответ: .
3) Ответ: .
4) Ответ: .
5)* Ответ: .
6)* Ответ: .
Занятие №7
Решить неравенства:
1) Ответ: .
2) Ответ: .
3) Ответ: .
4) Ответ: .
Р е ш е н и е.
1)
ОДЗ: .
Рассмотрим уравнение , содержащее модуль. В начале нанесем на числовую ось корень уравнения (это ) и определим знаки выражения на области допустимых значений исходного неравенства:
? ?
8
Теперь раскроем модуль в уравнении с учетом определенных нами изменений знаков подмодульного выражения. Получим два случая.
а)
.
б) Ш
Нанесем на числовую ось все найденные корни в пределах ОДЗ неравенства и определим знак верности последнего на полученных промежутках.
? ? ?
0 8
Возьмем из крайнего левого промежутка точку . При подстановке в начальное условие получим верное неравенство:
.
Из промежутка для удобных вычислений возьмем точку . Получим неверное неравенство: .
Из крайнего правого промежутка возьмем точку . При подстановке в начальное условие получим опять неверное неравенство:
или .
Так как знак исходного неравенства нестрогий, то в ответе к отмеченному знаком “+” промежутку необходимо добавить еще и точку .
Ответ: .
2)
ОДЗ: .
Рассмотрим уравнение . Выражение не равняется нулю (в силу ОДЗ неравенства), поэтому домножим на него обе части уравнения. Получим:
.
Нанесем точки , (пустые) на числовую ось и проверим выполнимость исходного неравенства на полученных промежутках (в пределах ОДЗ):
_ _
При получим: (неверно).
При получим: (верно).
Ответ: .
3)
Преобразуем неравенство:
.
Областью допустимых значений неравенства будет вся числовая ось, поэтому сразу можем перейти к рассмотрению уравнения . Для освобождения от иррациональности в нашем уравнении необходимо условие неотрицательности правой его части, т.е. . Так как выражение , стоящее под модулем, будет принимать только положительные значения на данном промежутке, то рассматриваемое уравнение равносильно системе:
.
В результате получили два промежутка, на которых проверим выполнимость исходного неравенства.
_
При получим верное неравенство: ; при получим неверное: .
Ответ: .
4)
Рассмотрим уравнение
.
Введем новую переменную , причем (данное ограничение будет совпадать с ОДЗ исходного неравенства). Тогда уравнение примет вид: . Корнями полученного квадратного уравнения являются и . Так как мы потребовали, чтобы , то, возвращаясь к исходной переменной, получим корень . С учетом ограничения значений переменной , числовая ось разобьется на два промежутка.
? _
0 64
На промежутке исходное неравенство выполняться не будет (так как, например, при получим: ).
На промежутке исходное неравенство выполняется (при получим: ).
Ответ: .
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ДОМАШНЕЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1) Ответ: .
2) Ответ: .
3) Ответ: .
4) Ответ: .
5) Ответ: .
6) Ответ: .
7)* Ответ: .
Занятие №8
На последующих двух занятиях мы будем решать показательные и логарифмические неравенства, применяя обобщенный метод интервалов. Кроме того, в некоторых случаях для проверки выполнимости неравенств мы будем использовать свойства функций (монотонность), входящих в условие неравенств.
Поэтому напомним:
1) если основание степени (логарифма) больше единицы, то график соответствующей функции монотонно возрастает;
2) если основание степени (логарифма) меньше единицы (но больше нуля), то график соответствующей функции монотонно убывает.
Начнем с решения показательных неравенств. Показательными неравенствами называют неравенства вида , где - положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду. [23, с.285]
Решить неравенства:
1) Ответ: .
2) Ответ: .
3) Ответ: .
Р е ш е н и е.
1)
Решение начнем с определения ОДЗ:
Рассмотрим уравнение . Домножив обе части уравнения на ненулевое выражение знаменателя (это мы уже определили в ОДЗ), получим равносильное уравнение:
.
Нанесем на числовую ось точки: и (пустые), 2 (закрашенную). Проверим выполнимость неравенства на каждом из полученных интервалов.
_ _ ?
2
В нашем случае будет удобнее воспользоваться не методом пробных точек, а анализом поведения функций, входящих в неравенство.
В числителе имеем показательную монотонно возрастающую функцию (так как основание ). При : , значит функция будет принимать положительные значения; при функция будет принимать отрицательные значения.
В знаменателе находиться квадратичная функция, принимающая положительные значения на крайних от ее корней интервалах, отрицательные - на интервале между корнями.
Принимая во внимание знак неравенства, нам остается лишь выбрать из промежутков те, на которых обе функции (и в числителе и в знаменателе) принимают одновременно либо отрицательные, либо положительные значения. Таковыми являются и .
Ответ: .
2)
ОДЗ: .
Так как на всей ОДЗ, то знак неравенства не изменится, если мы умножим обе части неравенства на это выражение. То есть исходное неравенство равносильно следующему:
.
Решим уравнение:
.
Нанесем все найденные точки на числовую ось.
_ ? ?
1 2 5
На промежутках и рассматриваемое неравенство не выполняется (так, например, при получим
, при получим ).
На промежутках и неравенство выполняется (например, при получим
,
при получим
).
Ответ: .
3)
ОДЗ: .
Решим уравнение . Произведем замену: (). Перепишем уравнение в виде
Но так как мы ввели ограничение , то из найденных корней подходит лишь . Возвращаясь к исходной переменной, получим:
.
Нанесем на числовую ось точку и проверим выполнимость исходного неравенства на ОДЗ.
? _
0
При (точка из интервала ) получим неверное неравенство: .
На интервале исходное неравенство выполняется (так, например, при получим ). Значит ответ запишем в следующем виде:
Ответ: .
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ
1) Ответ: .
2) Ответ: .
3) Ответ: .
4) Ответ: .
Занятие №9
Логарифмическими неравенствами называют неравенства вида , где - положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду. [23, с.308]
При решении логарифмических неравенств нельзя забывать об условиях существования логарифма :
Решить неравенства:
1) Ответ: .
2) Ответ: (1;2).
3) Ответ: (1;100).
4) Ответ: .
Р е ш е н и е.
1)
ОДЗ: .
Рассмотрим уравнение . Найдем его корни.
Корень не входит в ОДЗ неравенства. Поэтому на числовую ось нанесем все найденные точки, за исключением данной.
_ ? ?
1 2 8
Методом пробной точки определим знак неравенства на каждом из промежутков.
а)
При получим следующее: , что совпадает со знаком исходного неравенства. На схеме ставим знак “+”.
б)
При получим следующее: . Значит интервал отмечаем знаком “-”.
в)
При получим следующее: . Получили знак, совпадающий с первоначальным. Ставим на схеме знак “+”.
Объединение интервалов, отмеченных на схеме “+” является решением исходного неравенства.
Ответ: .
2)
ОДЗ:
Решим уравнение:
(на ОДЗ)
Оба найденные корни не входят в ОДЗ. Поэтому б рассматривать лишь интервалы и .
_ _
1 2
Для облегчения вычислений при проверке выполнимости неравенства преобразуем его левую часть:
.
В интервале возьмем точку . Получим .Значит на схеме в данном интервале ставим знак “+”.
В интервале возьмем точку . Получим . В данном интервале получили положительное значение левой части исходного неравенства, что не совпадает с первоначальным условием. Ставим на схеме знак “-”.
Запишем ответ.
Ответ: (1;2).
3)
ОДЗ:
Решим уравнение, соответствующее исходному неравенству.
_ _ _
0 1 100
При получим неверное неравенство: .
При получим , что верно.
При получим неверное неравенство: .
Ответ: (1;100).
4)
Для определения ОДЗ отдельно найдем корни выражения с логарифмом.
,
Получим ОДЗ:
С учетом нуля числителя получим четыре точки, разбивающие ОДЗ на пять промежутков. На каждом будем проверять знак неравенства.
_ _ _ ?
2
Для дальнейшей проверки преобразуем само неравенство, используя свойства логарифмов:
(т.к. - это отрицательное число)
При получим . Полученный знак не совпадает с требуемым, поэтому интервал отмечаем знаком “-”.
При получим . Значит отмечаем интервал знаком “+”.
При получим . Так как требуется неотрицательность левой части неравенства, интервал отметим знаком “-”.
При получим . Значения переменной из интервала являются решением неравенства, поэтому на схеме ставим знак “+”.
При получим . Неравенство на интервале не выполняется - ставим знак “-”.
В ответ запишем объединение промежутков, отмеченных “+”.
Ответ: .
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ
1) Ответ: .
2) Ответ: (1;50).
3) Ответ: (1;1000).
4) Ответ: .
5) Ответ: .
Занятие №10
Если в неравенстве (или уравнении) некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а неравенство (или уравнение) параметрическим.
Решить неравенство с параметрами означает:
1) определить, при каких значениях параметров существуют решения;
2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.
Для всех значений параметра решить неравенства:
1)
2)
3)
4)
Р е ш е н и е.
1)
Рассмотрим уравнение
.
На числовой оси отметим точки , и определим знаки левой части неравенства на полученных промежутках.
Возможны случаи.
1) . Тогда имеем три промежутка, на которых знаки левой части неравенства чередуются (рис. ). Следовательно, при .
? ?
рис.1
2) . Тогда неравенство примет вид и будет единственной критической точкой кратности 2, при переходе через которую знак левой части неравенства меняется (рис.2). Следовательно, решением неравенства будет при .
?
2
рис.2
3) . Тогда (рис.3) при .
? ?
рис.3
Ответ: если , то ;
если , то ;
если , то .
2)
Как мы уже знаем, решение иррациональных неравенств обычно начинается с нахождения ОДЗ. В нашем случае ОДЗ неизвестного образуют решения неравенства . Чтобы решить это неравенство, а затем и исходное неравенство, рассмотрим последовательно три случая.
а) ОДЗ:
Тогда левая и правая части исходного неравенства неотрицательны, поэтому при возведении их в квадрат получим:
.
Корнями последнего квадратного трехчлена являются и . Нанесем найденные корни на числовую ось (в пределах ОДЗ), определим знаки исходного неравенства на полученных промежутках.
? _ _
0
Видно, что решением последнего неравенства, а значит и исходного, является при .
б) ОДЗ:
В данном случае получаем, что левая часть исходного неравенства отрицательна, а правая часть положительна. Следовательно, неравенство не имеет решений при .
в) ОДЗ:
Тогда неравенство примет вид .
Ответ: если , то ;
если , то ;
если , то решений нет.
3)
Разложив знаменатель на линейные множители, получим
.
Чтобы решить это неравенство методом интервалов, надо на числовой оси отметить точки (закрашенная точка) и , (пустые точки).
Возможно несколько случаев взаимного расположения точек на числовой оси, в каждом из которых будем определять выполнимость исходного неравенства.
1) .
? _ _
-2 3
рис.4
Из рис.4 видно, что при получаем .
2) . Тогда неравенство примет вид .
_ _
-2 3
рис.5
То есть при .
3) . Получили четыре промежутка, определим знаки на каждом из них.
_ ? _
-2 3
рис.6
Опираясь на рис.6 делаем вывод: при .
4) . Здесь неравенство примет вид . Определим знаки в каждом из полученных трех промежутков.
_ _
-2 3
рис.7
Из рис.7 видно, что при .
5) . В данном случае числовая прямая вновь разбивается на четыре промежутка:
_ _ ?
-2 3
рис.8
На основании рисунков (4 - 8) имеем:
Ответ: если , то ;
если , то ;
если , то ;
если , то ;
если , то .
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ
Для всех значений параметра решить неравенства:
1) . Ответ: если , то ,
если , то ,
если , то .
2) . Ответ: если , то ,
если , то ,
если , то .
3) . Ответ: если ,то , если ,то Ш,
если ,то , если ,то .
4) . Ответ: если ,то ,
если ,то ,
если ,то ,
если ,то .
5)* . Ответ: если ,то ,
если ,то ,
если ,то ,
если ,то .
6)* . Ответ: если , то ,
если ,то ,
если , то ,
если , то .
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ИТОГОВОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ДОМАШНЕЙ РАБОТЫ
1) Ответ: .
2) Ответ: .
3) Ответ: .
4) Ответ: .
5) Ответ: .
6) Ответ: .
7) Ответ: .
8) Ответ: .
9) Ответ: если , то ;
если , то .
10)* Ответ: .
11)* Ответ: .
12)* Ответ: .
13)* Ответ: если , то ;
если , то ;
если ,то .
14)* Ответ: если , то ;
если , то .
Заключение
В начале дипломной работы мы поставили следующие задачи:
– составить психолого-педагогическую характеристику старших школьников, выявить особенности их учебной деятельности;
– определить роль и место факультативных занятий в рамках обучения в школе;
– проанализировать методическую, педагогическую литературу по теме дипломной работы (в частности действующие учебники по алгебре и началу анализа для 10 -11 классов);
– отобрать содержание факультативного курса “Применение метода интервалов при решении неравенств”;
– разработать план факультатива “Применение метода интервалов при решении неравенств” и конспекты конкретных занятий.
Проанализировав психолого-педагогические особенности старшеклассников, мы пришли к выводу, что центральным новообразованием данного возраста становится самоопределение, профессиональное и личностное. Умение юношей и девушек составлять жизненные планы, искать средства их реализации определяет специфику содержания учебной деятельности. Так факультативные занятия, учитывая интересы и склонности учащихся, помогают расширить и углубить усвоение ими программного материала, улучшают подготовку к вступительным экзаменам в вузы и средние специальные учебные заведения.
По результатам анализа действующих учебников по алгебре и началу анализа таких авторов и авторских коллективов, как А.Н., Башмаков, Виленкин Н.Я., Колмагоров М.И., А.Г. Мордкович, Алимов Ш.А., в которых нас интересовало изложение метода интервалов и система упражнений по его применению при решении неравенств, мы сделали вывод о необходимости создания специальной системы упражнений в рамках факультативного курса по исследуемой теме.
Определив роль и место факультативных занятий в процессе обучения старшеклассников (опять же с учетом их психолого-педагогических особенностей, в частности, нежелание осваивать уже известный материал, известными же способами), был отобран соответствующий разноуровневый учебный материал (рациональные, дробно-рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические неравенства), который лег в основу занятий курса.
По нашему мнению, представленная последовательность занятий и их содержание позволяет успешному усвоению способов решения неравенств с помощью метода интервалов. Таким образом, поставленные задачи решены.
Библиография
1) Алгебра и математический анализ .10 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. - 11-е изд., стереотип. - М.: Мнемозина, 2004. - 335 с.: ил.
2) Алгебра и математический анализ .11 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. - 11-е изд., стереотип. - М.: Мнемозина, 2004. - 288 с.: ил.
3) Алгебра и начала анализа. 10 - 11 кл.: В двух частях. Ч. 2: Задачник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская; Под ред. А.Г. Мордковича. - 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2003. - 315с.: ил.
4) Алгебра и начала анализа: 3600 задач для школьников и поступающих в вузы / Л.И. Звавич, Л.Я. Шляпочник, М.В. Чинкина. - М.: Дрофа, 1999. - 352с.: ил.
5) Алгебра и начала анализа: Сборник задач для подготовки и проведения итоговой аттестации за курс средней школы / И.Р. Высоцкий, И.И. Звавич, Б.П. Пигарев и др.; Под ред. С.А. Шестакова. - М.: Внешсигма-М, 2003. - 208с.
6) Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10 - 11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. - 12-е изд. - М.: Просвещение, 2004. - 384с.: ил.
7) Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10 -11 кл. сред. шк./А.Н. Колмагоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под ред. А.Н. Колмагорова. - 4-е изд.- М.: Просвещение, 1994.- 320 с.: ил.
8) Башмаков, М.И. Алгебра и начала анализа. 10- 11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений. - 2-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2000. - 400 с.:ил.
9) Белоненко, Т.В. и др. Сборник конкурсных задач по математике. - СПб.: “Специальная литература”, 1997. - 560с.
10) Задания для подготовки к выпускному экзамену по алгебре и началам анализа: Кн. Для учащихся 11 кл. общеобразоват. учреждений / Е.А. Семенко, С.Д. Некрасов, Г.Н. Титов и др. - М.: Просвещение, 1997. - 191с.: ил.
11) Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие. Вавилов В.В., Мельников И.И. и др.- М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1987.-432с.
12) Кадыров, И. Взаимосвязь внеклассных и факультативных занятий по математике: Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1983. - 64с.
13) Казаренков, В.И. Педагогические основы организации внеурочных занятий школьников по учебным предметам: Учебное пособие.- М.: МГПУ, 1998.-127с.
14) Киричек, Г.А. Индивидуальный подход к учащимся при уровневой дифференциации изучения темы ”Неравенства” в курсе алгебры основной школы. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук. Саранск, 2002.- 20с.
15) Крамор, В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. - М.: Просвещение, 1990. - 416с.: ил.
16) Крутецкий, В.А. Психология математических способностей школьников. - М.: Просвещение, 1968. - 432с.
17) Крутецкий, В.А., Лукин, Н.С. Очерки психологии старшего школьника. - М.: Учпедгиз, 1963. - 198с.
18) Кулагина, И.Ю., Колюцкий, В.Н. Возрастная психология: Полный жизненный цикл развития человека. Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. - М.: ТЦ “Сфера”, 2001. - 464с.
19) Куланин, Е.Д., Федин, С.Н. 5000 конкурсных задач по математике. - М.: ООО “Фирма “Издательство АСС” ”, 1999. - 720с.
20) Локоть, В.В. Задачи с параметрами. Иррациональные уравнения, неравенства, системы, задачи с модулем. - М.: АРКТИ, 2004. - 64с.
21) Макичян, Б.М. Факультативные занятия по математике в условиях всеобщего среднего образования. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук. М., 1982.- 16с.
22) Математика. Пособие для углубленного изучения математики для учащихся средних школ и поступающих в технические университеты. Под ред. проф., д.ф.-м.н. Муравья Л.А.- М.: БРИДЖ, 1994,- 180с.
23) Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа. 10 - 11 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. - 3-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2002. - 375с.: ил.
24) О личностном развитии школьников средствами математики. //В кн.: Развивающий потенциал математики и его реализация в обучении: Сборник научных и методических работ, представленных на региональную научно-практическую конференцию.; Под ред. М.И.Зайкина. - Арзамас, АГПИ, 2002. - 334с. - с. 72-73.
25) Олехник, С.Н., Потапов, М.К., Пасиченко, П.И. Алгебра и начала анализа. Уравнения и неравенства. Учебно-методическое пособие для учащихся 10-11 классов. - М.: Экзамен (Серия “Экзамен”), 1998. - 192с.
26) Потапов, М.К. и др. Математика. Методы решения задач. Для поступающих в вузы: Учебное пособие.- М.: Дрофа, 1995.- 336с.: ил.
27) Потапов, М.К., Олехник, С.Н., Нестеренко, Ю.В. Конкурсные задачи по математике: Справоч. пособие. - М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1992. - 480с.
28) Саранцев, Г.И. Методика обучения математике в средней школе : Учеб. пособие для студентов мат. спец. вузов и ун-тов / Г.И. Саранцев. - М.: Просвещение, 2002. - 224с.: ил.
29) Сборник задач по математике для поступающих в вузы: Учебное пособие/ В.К.Егерев, Б.А.Кордемский, В.В.Зайцев и др.; Под ред. М.И.Сканави.- 6-е изд., испр. и доп.- М.: СТОЛЕТИЕ, 1997.- 560с.: ил.
30) Сильвестров, В.В. Обобщенный метод интервалов: Учеб. пособие. - Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 1998. - 80с.
31) Система учебных задач как средство развития математического мышления учащихся. // В кн.: Развивающий потенциал математики и его реализация в обучении: Сборник научных и методических работ, представленных на региональную научно-практическую конференцию.; Под ред. М.И.Зайкина. - Арзамас, АГПИ, 2002. - 334с. - с. 114-115.
32) Столяренко, Л.Д. Педагогическая психология. Серия “Учебники и учебные пособия”. - 2-е изд., перераб. и доп. - Ростов н/Д : “Феникс”, 2003. - 544с.
33) Фридман, Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе: Учителю математики о пед.психологии.-М.: Просвещение, 1983.- 160с.: ил.
34) Шарыгин, И.Ф. Сборник задач по математике с решениями: Учеб. пособие для 11 кл. общеообразоват. учреждений/ И.Ф. Шарыгин. - М.: ООО “Издательство Астрель”: ООО “Издательство АСТ”, 2001. - 448с.: ил.
35) Шестаков, С. Письменный экзамен. Неравенства и системы неравенств // Математика.- 2004. - № 2. - с. 28-29.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Обобщение метода интервалов применительно к решению произвольных неравенств в курсе математики средней и старшей школы; психолого-педагогические обоснования универсальности, дидактические принципы обучения; нормативные документы, программные материалы.
дипломная работа [1019,5 K], добавлен 15.08.2011Разработка занятий элективного курса. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств. Разработка элективного курса "Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций". Методические основы разработки элективного курса.
дипломная работа [294,8 K], добавлен 24.06.2009Изучение основных принципов факультативного обучения. Анализ современных методов и средств проведения факультативных занятий. Организация факультативных занятий в школе. Обоснование целесообразности реализации факультативных курсов по английскому языку.
курсовая работа [50,7 K], добавлен 13.10.2014- Методика организации и проведения факультативного курса по теме "Симметрия в алгебраических задачах"
Основы организации факультативных занятий по математике. История возникновения и требования к их проведению. Психологические особенности старшеклассников. Методические разработки занятий факультативного курса "Симметрия в алгебраических задачах".
дипломная работа [379,4 K], добавлен 05.11.2011 Психолого-педагогические особенности подросткового возраста и специфика обучения в школе. История развития математики как науки. Доказательства утверждений, образующих материал занятий. Структура и план факультативного курса, результаты его апробации.
дипломная работа [2,0 M], добавлен 26.12.2011Становление факультативных занятий по математике, их роль на разных этапах развития математического образования. Разработка факультативного курса по теме "Методы решения нестандартных задач по алгебре". Методика его проведения в 11 классе средней школы.
дипломная работа [1,1 M], добавлен 12.11.2011Место приближенных вычислений в школьной программе и в математике как науке. Разработка факультативного курса "Приближенные вычисления", его цели, задачи, структура, апробация и анализ результатов. Творческая работа как форма дополнительного образования.
дипломная работа [456,8 K], добавлен 26.08.2011Значение факультативных курсов в системе высшего профессионального образования. Практическое конструирование факультативного курса "Репрезентации образов кельтской мифологии в культуре Европы (средние века – XIX век)" для высших учебных заведений.
курсовая работа [54,1 K], добавлен 31.08.2013Психолого-педагогические обоснования проблемы организации внеурочной деятельности детей в начальной школе. Формы организации учебной деятельности по естествознанию с младшими школьниками. Содержание, тематический план факультативного курса по краеведению.
дипломная работа [210,7 K], добавлен 19.02.2015Типология факультативных курсов и их роль в организации профильного обучения. Разработка факультативного курса "Web-конструирование" в информационно-технологическом профиле. Составление примерных конспектов занятий и распределение учебного времени.
дипломная работа [6,0 M], добавлен 24.06.2011
