Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсова робота

Величини в шкільному курсі математики



Вступ

математика скалярний векторний шкільний

Величини є складовою частиною змісту багатьох наук: математики, фізики, хімії, астрономії, біології та ін. Без величин вивчення природи обмежувалося б лише спостереженнями і залишалося на описовому рівні. Відомо, наприклад, що при нагріванні тіла розширюються. Це явище було відомо з давніх часів. Введення таких величин, як температура і об'єм, встановлення залежності між ними дозволило значно збагатити знання про це явище.

Кожен об'єкт має багато різних властивостей, які відображені у відповідних величинах.

Величини не існують самі по собі як якісь субстанції, відірвані від матеріальних об'єктів і їх властивостей. З іншого боку, величини в деякій мірі ідеалізують властивості об'єктів і явищ. У процесі абстракції завжди відбувається огрубіння дійсності, відволікання від ряду обставин. Тому величини - це не сама реальність, а лише її відображення. Проте практика показує, що величини вірно відображають властивості навколишньої дійсності.

Величини тісно пов'язані з поняттям вимірювання. Результат вимірювання виражається числовим значенням величини. Виміри є одним із шляхів пізнання природи людиною, об'єднуючим теорію з практичною діяльністю людини. Роль і значення вимірювань у процесі розвитку природничих і технічних наук безперервно зростає, так як зростає число і якість різних вимірів величин.

Таким чином, величини дозволяють перейти від описового до кількісного вивчення властивостей об'єктів, тобто матемізувати знання про природу.

Поняття величини в математиці виникло в результаті абстрагування від якісних особливостей властивостей реальних об'єктів, щоб виділити тільки кількісні відносини. А для цього, як вказує Ф. Енгельс, «…необхідно абсолютно відокремити їх від їхнього змісту, залишити це останнє осторонь як щось байдуже: таким шляхом ми отримуємо точки, позбавлені вимірів, лінії, позбавлені товщини і ширини, різні а й b, х і у, постійні та змінні величини».

Поряд з вивченням конкретних величин в школі важливо, щоб учні отримали достатньо повне і в той же час доступне уявлення про те, що таке величина взагалі; які її властивості, види; яка роль і місце величин в пізнанні природи; що означає величина і як виміряти її; в чому полягає математична обробка результатів вимірювань і т.д. Розуміння цих питань сприяє формуванню в учнів наукового світогляду.

Вивчаючи величини, учні знайомляться також з основними метрологічними поняттями: розмір, значення, розмірність величини. Про зростання ролі величин у пізнанні природи говорить і той факт, що вони проникають вже в такі традиційно «не математизовані» науки, як біологія, психологія, педагогіка, соціологія та інші, тому тема роботи є актуальною.

Метою курсової роботи є вивчення ролі поняття величини в шкільному курсі математики, ознайомлення з основними підходами до введення даного поняття та формування у учнів поняття і навиків роботи з величинами в шкільному курсі математики.

Обєктом дослідження в курсовій роботі виступають величини в шкільному курсі математики. Предметом дослідження основні підходи до визначення та формування поняття величини та її видів у учнів.

Згідно мети визначено завдання:

1) Ознайомлення з поняттям величини та її роллю в математиці.

2) Вивчення основних підходів до поняття скалярної та векторної величини.

3) Засвоєння основних кроків спрямованих на формування у учнів поняття скалярної та векторної величин.



1. Поняття величини в математиці

Поняття величини вперше з'явилося у філософській літературі і пов'язувалося з дійсними числами. Число генетично виникло в процесі рахунку предметів і вимірювань величин (довжин, площ, об'ємів та ін.). На цю обставину вказував ще давньогрецький філософ Аристотель. Предметом вивчення математики до XVII ст., як відомо, були постійні величини. Пізніше, коли постало завдання математичного опису процесів і рухів у фізиці та астрономії, були введені змінні величини. До середини минулого століття математика мала справу з величинами, але вивчала не конкретні властивості окремих величин, а загальні властивості і відносини об'єктів математичної природи, абстраговані від якісного змісту. Даламбер в знаменитій французькій енциклопедії (XVIII ст.) визначає математику як «науку, що вивчає властивості величин, оскільки вони перераховуються і вимірні».

Однак як у філософській, так і в математичній літературі того часу визначення поняття величини в більшості випадків мали описовий характер. Наприклад, Л. Ейлер називав величиною «все те, що здатне збільшуватися або зменшуватися». У процесі свого розвитку поняття величини піддавалося ряду узагальнень. Ще Евклідом в книзі «Початки» дано перше узагальнення таких конкретних понять, як «довжина відрізка», «площа», «обсяг» і т. Д., у вигляді аксіом. Ці аксіоми побічно визначають поняття позитивної скалярної величини. Розширення цього поняття призвело в подальшому до понять скалярної, векторної і тензорною величин.

Обмежимося розглядом двох основних видів величин: скалярних і векторних, які знайшли широке застосування в шкільному навчанні.



1.1 Скалярні величини

У математиці існує кілька підходів до поняття скалярної величини. В одних випадках величини просто ототожнюються з числами, в інших величина визначається як функція із заданими властивостями і тд.

При аксіоматичному підході, який отримав широке поширення, скалярна величина визначається побічно через ту чи іншу систему аксіом. Вибір системи може бути різним (роботи А.Н. Колмогорова, Н.Я. Віленкіна та ін.). В одних випадках аксіоматика скалярних величин припускає відомими дійсні числа, в інших скалярна величина має самостійне визначення.

Наведемо приклад аксіоматики поняття скалярної величини, яка передбачає відомі поняття упорядкованої комутативності напівгрупи. Для визначеності розглянемо спочатку позитивні скалярні величини. Системою позитивних скалярних величин називається впорядкована комутативна підгрупа G = {a, b, c,…} з визначеними на ній операціями додавання і відносинами порядку, що задовольняють наступним аксіомам:

1) a + b> a (монотонність додавання).

2) Якщо а> b, то існує єдиний елемент с ? G, такий, що

a = b + c. Пишуть: c = a - b (можливість віднімання).

3) При будь-якому a ? G і n ? N існує елемент b ? G, такий, що n*b = а. Пишуть: b = a / n.

4) При будь-якому а ? G і b ? G існує натуральне число n ? N, таке, що a <nb (аксіома Архімеда).

5) Якщо нескінченна послідовність a ₁ <a ₂ <… <b ₂ <b ₁ володіє тою властивістю, що при будь-якому c ? G існує натуральне число n ? N, таке що b _n - a _n <c, то існує єдиний елемент х ₀ ? G, такий що a _k <х ₀ <b _k (при будь-якому k ? N) (аксіома Кантора).

Кожен елемент системи G називається позитивною скалярною величиною, причому якщо величини a, b ? G, то вони називаються однорідними величинами. В іншому випадку величини називаються різнорідними. Для них операція додавання і відношення порядку не визначені.

В математиці мають справу з досить великою кількістю скалярних величин.

Можна довести, наприклад, що довжини відрізків підкоряються розглянутій системі аксіом. Для цього розглянемо безліч всіх довжин відрізків евклідової площини. Якщо на множині L задано відношення еквівалентності, то можна розбити цю безліч на класи що не перетинаються: L = К _[АB] ? K _[CD] ?…. об'єднуючи в один клас всі еквівалентні між собою елементи (відрізки). Відношення конгруентності є відношенням еквівалентності, так як воно рефлексивне, симетричне і транзитивне. Значить, клас еквівалентності К _[АВ] є безлічю всіх відрізків, конгруентних відрізку AB, клас еквівалентності K _[CD] є безлічю всіх відрізків, конгруентних відрізку CD, і т.д. На множині L введемо операцію додавання: для цього на довільному промені [ОХ] відкладемо будь-який відрізок [ОМ] ? [АВ] ? K _[A B] і від точки М відкладемо відрізок [MN]? [CD] ? K _[CD], які є представниками в класах еквівалентності К _[A B] і K_[CD] Точка М не залежить від вибору відрізка АВ в класі еквівалентності К _[АВ], а точка N не залежить від вибору відрізка CD у класі K _[CD]. Відрізок ON однозначно визначає елемент K _[0N] ? L, який не залежить від вибору променя ОХ.

Таким чином, для кожних двох елементів К _[АВ], K _[CD] множини L існує єдиний елемент K _[0N], який і називається сумою даних елементів: K _[АВ] + K _[CD] = K _[0N] (відрізки ON, АВ, CD - представники своїх класів). Відрізок ON представляється відрізками АВ і CD не однозначно, а з точністю до переміщення. Проте кажуть, що відрізок ON є сумою відрізків АВ і CD.

З означення додавання відрізків випливає, що К _[А В]+K _[CD] >К _[АВ]. Далі можна переконатися, що складання відрізків коммутативне і асоціативне (на підставі коммутативності і асоціативності додавання векторів ОМ ^>, MN ^>, ON ^>), т. Е. Множина L є комутативною (абелевою) підгрупою щодо операції додавання.

Далі, визначимо відношення порядку на L. На довільному промені ОХ відкладемо [ОМ] ? [АB] ? K _[АB] і [ОМ'] ? [CD] ? K_[CD]. Можливий тільки один в трьох випадках:

1) Точка М збігається з точкою М'. Тоді [А B] ? [CD] і K _[АB] = K _[CD]

2) Точка М лежить між точками О і М'. Тоді K _[А B] <K _[CD].

3) Точка М' лежить між точками О і М. Тоді K _[А B]> K _[CD].

Відношення між К _[АВ] і K _[CD] не залежить від вибору променя ОХ та представників [AВ] і [CD] в класах еквівалентності К _[АВ]і K _[СD]. Очевидно, K _[A B] ? K _[CD] > K _[AB] + К _[XY] ? K _[CD] + K _[XY] при будь-якому K _[ХУ] ? L

Отже, комутативна підгрупа є впорядкованою, а множина L є системою позитивних скалярних величин. ЇЇ елементи називаються довжинами. Наприклад, довжина відрізка АВ являє собою певний клас еквівалентності К _[A B], як елемент системи позитивних скалярних величин. Іншими прикладами позитивних скалярних величин є площа, об'єм. У цьому випадку також можна довести, що площі, обєми являють собою систему позитивних скалярних величин, які є впорядкованою комутативною підгруппой.

Значить, у множині довжин відрізків, площ, обємів справедливі одні й ті ж аксіоми. Таким чином, різні за своєю природою величини, що відображають різні властивості об'єктів, мають ряд загальних властивостей, їх і називають позитивними скалярними величинами.

Іноді доводиться розглядати таку систему скалярних величин, коли підгрупа (G) містить елемент «нуль», що володіє властивістю: a + 0 = a. У цьому випадку виходить система невід'ємних скалярних величин (наприклад, невід'ємні дійсні числа).

Нарешті, ще більш розширеним поняттям розглянутих раніше систем величин є система скалярних величин.

Наприклад, множина R дійсних чисел є системою скалярних величин щодо операції додавання і природного порядку в R. Іншими прикладами можуть бути величина кута та ін. Взагалі кажучи, щоб встановити, чи є яка-небудь величина скалярною, необхідно показати, що множина таких величин є впорядкована комутативна півгрупа, яка задовольняє аксіомам 1) -5).

Виміром величини з системи С скалярних величин називається ізоморфное відображення f: G > R впорядкованої напівгрупи G на впорядковану напівгрупу R, в якій існує елемент e ? G, такий, що f (e) = 1. Елемент e називається одиницею виміру. Число f (a)= a називається мірою або числовим значенням величини a ? G при одиниці виміру e. Записують так: a = ae (ae іноді називають іменованих числом).

Зокрема, нехай L - множина відрізків, a R - безліч додатніх чисел. Вимірювання відрізка встановлено, якщо визначено відображення f: L> R, яке задовольняє наступним аксіомам, які називаються аксіомами вимірювання відрізків: 1) конгруентні відрізки мають рівні довжини (інваріантність функції при переміщенні); 2) довжина відрізка, що складається з декількох відрізків без внутрішніх точок, дорівнює сумі довжин цих відрізків (адитивність функції); 3) існує відрізок, довжина якого дорівнює 1 (цей відрізок називається одиничним). Слід зауважити, що сказане справедливе в метричній геометрії. У евклідовій геометрії подібності немає одиничного відрізка. Щоб перейти від геометрії подібності до метричної геометрії, потрібно якийсь відрізок зафіксувати як одиничний, тоді число, що виражає довжину всякого іншого відрізка, буде його відношенням до вибраного «одиничного». Будь-якому відрізку в геометрії подібності відповідає відображення, яке задовольняє аксіомам 1) -3). Результат вимірювання довжини відрізка АВ записують так: | АВ | = б e, де а - числове значення, е - одиниця виміру. Наприклад, | АВ | = 5 см.

Можна довести, як наслідок, що довжина частини відрізка не перевищує довжини всього відрізка. Дійсно, нехай [АС] - відрізок і [АВ] - його частина. [АВ] і [ВС] разом складають [АС], тобто | АС | = | АВ | + | ЗС | (на підставі адитивності). Очевидно, | ВC | ? 0, значить, | АС | ? | АВ |.

1.2 Векторні величини

Такі поняття як швидкість, прискорення і т.д. утворюють інший різновид величин - векторні величини. Особливістю векторних величин є їх спрямованість у просторі. Це обумовлює наявність у векторних величин властивостей, відмінних від властивостей скалярних величин.

Зупинимося насамперед на понятті вектора, яке узагальнює багато властивостей векторних величин і є математичним апаратом при їх вивченні.

Існує кілька інтерпретацій поняття вектора. Наведемо найбільш характерні приклади, що розкривають це поняття.

1. Один з підходів використовує поняття напрямленого відрізка, під яким розуміється відрізок з фіксованими початковою і кінцевою точками. Нехай кожна точка площини (або простору) являє собою початок деякого напрямленого відрізка з множини всіх напрямлених відрізків площини (простору). Цю множину напрямлених відрізків розіб'ємо на підмножини, кожна з яких складається з співнапрямлених відрізків рівної довжини. Такі відрізки АВ і CD називають еквіполентними. Можна переконатися, що відношення еквіполентності володіє трьома властивостями:

1) рефлексивності: якщо А=С і В=D, то напрямлені відрізки АВ і CD співпадуть і тому мають рівні довжини. Ці відрізки є співнапрямленими, так як їх напрямок визначається одним і тим же променем;

2) симетричності: якщо | АВ | = | CD | і [AВ] ^^ [CD], то | CD | = | АВ | і [CD] ^^ [AB]. Для випадку, коли відрізки АВ і CD лежать на одному промені, ця властивість є очевидною. Тепер нехай напрямлені відрізки АВ і CD лежать на різних променях. З умови | АВ | = | CD | і [AB]^^[CD] випливає, що АВ і CD є протилежними сторонами паралелограма. Значить, | CD | = |АВ| і CD ^^ АВ;

3) транзитивності.

Таким чином, ставлення еквіполентності напрямлених відрізків є відношенням еквівалентності. Безліч напрямлених відрізків розбивається на класи еквівалентності до К ₁ і K ₂,… Спрямований відрізок АВ ? К цілком визначає весь клас еквіполентних йому спрямованих відрізків К. Цей напрямлений відрізок часто називають представником.

Введемо операцію додавання. Нехай потрібно скласти два класи еквіполентних відрізків K ₁ і К ₂. Виберемо в одному класі еквіполентних відрізків довільний напрямлений відрізок АВ ? K ₁ потім в іншому класі беремо відрізок ВС ? K ₂ з початком в точці В. Якщо точка С - кінець другого відрізка, то напрямлений відрізок АС належить деякому класу еквіполентних відрізків К, який називається сумою даних класів К ₁ і К ₂: K ₁ + К ₂ = К.В курсах геометрії доводиться, що K визначається за допомогою К ₁ і K ₂ однозначно, незалежно від вибору точки A, від якої відкладається напрямлений відрізок АВ ? K ₁.

Введемо тепер операцію множення класу еквіполентних відрізків на число. Напрямлені відрізки, еквіполентні відрізку АВ, утворюють клас еквіполентних напрямлених відрізків K ₁. Множачи кожне з них на одне і те ж число m, отримаємо інший клас еквіполентних відрізків К ₂, який утворюється добутком K ₁ на число m: К₂ = mЧК _1. Якщо m >0, то напрямлені відрізки в класах K ₁ і K ₂ співнапрямлені; якщо m <0, то протилежно напрямлені.

Операції додавання і множення на число в множині класів еквіполентних напрямлених відрізків мають ряд властивостей. Зокрема, побудовою легко показати властивість асоціативності щодо операції додавання. Зауважимо, що при виконанні геометричних побудов ми працюємо з представниками класів еквіполентних спрямованих відрізків. Відкладемо від довільної точки А напрямлений відрізок АВ ? К₁ від його кінця В-напрямлений відрізок ВС ? K ₂, а від кінця С напрямленого відрізка ВС - відрізок CD ? K ₃. Згідно з визначенням напрямлений відрізок АС визначає суму класів K ₁ і K ₂ еквіполентних відрізків, тобто [АС] ? K ₁ K ₂, напрямлений відрізок BD визначає суму K ₂ + K ₃, тобто [BD] ? K ₂ + K ₃. Напрямлений відрізок AD визначає, з одного боку, клас (K ₁ + K ₂) + K ₃, а з іншого боку - клас K ₁ + (K ₂ + K ₃). Отже, (K ₁ + K ₂) + K ₃ = K ₁ + (K ₂ + K ₃).

У множині класів еквіполентних напрямлених відрізків можна знайти й інші властивості:

1) K ₁ + K ₂ = K ₂ + K ₁

2) К + 0 = К,

3) К + (-K) = 0,

4) 1 Ч К = K,

5) (х + у) К = хК + yк,

6) х (K ₁ + K ₂) = xK ₁ + хК ₂,

7) ху(К) = х (уК), де х і y - числа. Елементи розглянутої множини називаються векторами.

2. Розглянемо множину паралельних перенесеннь площини (або простору). Паралельне перенесення Т визначається як відображення площини на себе, при якому кожна точка X відображається на таку точку Х ₁, що: 1) промінь XX ₁ має заданий напрямок; 2) відрізок XX ₁ має задану довжину. Відомо, що паралельне перенесення задається парою точок, одна з яких є образом іншої.

Введемо операцію додавання перенесеннь. Послідовно виконаємо два перенесення T ₁ і T ₁: відображення (паралельне перенесення) довільну точку A переводить в точку В = T ₁ (A), а відображення T ₂ - точку В в точку С = T ₂ (В). Результат послідовного виконання перенесень T ₁ і T ₂ є новим перенесенням, при якому точка A відображається в точку С. Це відображення A>C=T₂[T₁(A)] називається сумою (композицією) паралельних перенесеннь.

У множині паралельних перенесеннь мають місце ті ж властивості, що й у розглянутій вище множині класів еквіполентних напрямлених відрізків. У такому випадку саме паралельне перенесення можна назвати вектором.

3. Векторами можна назвати не тільки паралельні перенесення, але і безлічі пар точок, які задають ці перенесення.

Виділимо підмножини тих пар точок, які ставлять одне і те ж паралельне перенесення. Такі підмножини інакше називають графіками паралельних перенесеннь.

Щоб отримати графік паралельного перенесення, вводять відношення еквівалентності для будь-яких пар точок (A; В) і (C; D) так, що [АВ] ^^ [CD] і | А; B | = | C; D |. Далі за допомогою цього відношення роблять розбиття множини всіх пар точок на класи що не перетинаються, елементами яких є еквівалентні пари. Можна показати, що класи еквівалентних пар володіють вже розглянутими вище властивостями Прийнято ототожнювати графік паралельного перенесення із самим перенесенням, як переміщенням простору. Сам графік паралельного перенесення є вектором.

Існують величини, для яких справедливі властивості векторів: швидкість та ін. Їх називають векторними величинами. У цьому випадку властивості виконуються в множині однорідних векторних величин. Підтвердженням того, що для однорідних векторних величин справедливі властивості векторів, є досвід, експеримент. Наприклад, досвід показує, що в множині швидкостей справедливі ті ж дії та їх властивості, що й для векторів. Значить, швидкість - векторна величина (або вектор).

Множина однорідних векторних величин називається системою векторних величин. Система векторних величин утворює комутативну підгрупу щодо операції додавання, але відношення порядку в ній не визначено. Тому на відміну від системи скалярних величин ця підгрупа не є впорядкованою. Інакше кажучи, для векторних величин не мають сенсу відношення «більше», «менше». Більше того, зіставляючи аксіоматику системи скалярних величин і властивостей векторів, можна помітити, що багато їхніх властивостей є аналогічними.



2. Різні підходи до поняття скалярної величини в математиці

Наведемо приклади інших аксіоматикою скалярних величин, які набули найбільшого поширення.

1. Позначимо множину об'єктів {a, b, c…} буквою S і назвемо її множиною однорідних скалярних величин, якщо для її елементів {a, b, c…} мають місце такі властивості (аксіоми):

1) Якщо a ? S і b ? S, то справедливо одне і тільки одне з співвідношень a <b, a = b, a > b.

2) Якщо a < b і b < c, то a > c.

3) Для будь-яких a ? S і b ? S визначена c = a + b, яка теж належить S.

4) а + b = b + а.

5) а + (b + с) = (а + b) + с.

6) а + b >а.

7) Якщо а> b, то існує одна і тільки одна величина c, для якої b + с = а.

8) Які б не були а ? S і натуральне число n, існує b? S, таке що nb = а.

9) Які б не були а ? S і b ? S існує таке натуральне число n, що nb>а (властивість 9 називають аксіомою Архімеда).

10) Якщо послідовність величин а ₁ < а ₂ <… <… < b ₂ < b ₁ володіє властивістю, що b _N - а _n <c для будь-якої величини с при досить великому номері n, то існує єдина величина х, яка більше всіх а _n і менше всіх b _N (аксіома безперервності).

Ці аксіоми визначають поняття додатньої скалярною величини. Для визначення величин, які можуть мати і відємне значення, потрібно лише змінити аксіоми 6, 7, 9:

6) Якщо а <b, то а + с <b + с.

7) Для будь-яких а і b існує одна і тільки одна величина с = а - b, для якої а = b + с.

З властивостей 3, 4, 5, 7 можна вивести, що для будь-яких а ? S і b ? S a- a =b - b, тобто в множині однорідних величин існує одна цілком певна «нульова» величина, що володіє властивістю: завжди а + 0 = а.

9) Якщо b> 0, то для будь-яких а ? S і b ? S існує таке натуральне число n, що а <nb.

Розглянутий підхід до визначення поняття скалярної величини в математиці є самостійним і не пов'язаний з поняттям дійсного числа, але припускає відомим натуральне число.

2. Існує й інша аксіоматика скалярних величин, яка передбачає відомим поняття дійсного числа та операцій над ними. Аксіоматика скалярних величин в цьому випадку виглядає інакше.

Множину S = {a, b, c….} назвемо множиною однорідних скалярних величин, в якій визначені операції додавання, множення на дійсне число і відношення нерівності, що володіють такими властивостями:

1) Серед множин S однорідних величин існує така величина 0, що mЧ0 = 0.

2) При будь-якій величині e> 0 відображення m > a = me здійснює взаємно-однозначне відображення множини дійсних чисел на множину S однорідних величин.

Тут передбачається можливість вимірювання будь-якої з величин даної множини S, якщо з цієї множини обрана якась величина «e» в якості одиниці вимірювання. Тоді кожному елементу множини S в результаті вимірів ставиться у відповідність дійсне число. Під вимірюванням можна розуміти знаходження числового множника m в рівності a = me. Тут a називається значенням величини, m - числовим (або чисельним) значенням. Таким чином, величина а виходить в результаті множення числа m на одиницю виміру e. Якщо повернутися до першої аксіоми, то ясно, що значення величини 0 дорівнює нулю, тобто 0 = 0 Ч e = 0.

3) Завжди m Ч e + n Ч e = (m + n) Ч e.

Ця аксіома вказує на одну дуже важливу властивість операції додавання величин: сума величин при обраній одиниці виміру e дорівнює сумі числових значень доданків цих величин. Припустимо, площа двох трикутників дорівнює відповідно 5 і 8 см ². Щоб знайти площу фігури, складеної з цих трикутників, скористаємося даною властивістю:

5 см ² + 8 см ² = (5 +8) см ² = 13 см ².

4) Завжди m Ч (n Ч e) = (m Ч n) Ч e.

У цій аксіомі лежить властивість операції множення величини на дійсне число: щоб помножити величину на дійсне число, потрібно перемножити це число з числовим значенням величини, залишивши одиницю виміру колишньою. Вийде величина того ж роду.

5) Якщо m Ч e> n Ч e, то m> n, т. Е. Більшій величині відповідає і більше числове значення при одній і тій же одиниці виміру.

Можна ввести поняття відношення двох однорідних величин, як деякого числа k, для якого m Ч e = k (n Ч e). Звідси легко вивести, що (m Ч e)/(n Ч e) = m/n = k, тобто ставлення величин дорівнює відношенню їх числових значень при загальній одиниці виміру e. Дві величини називаються сумарними, якщо їх відношення k раціональне, в іншому випадку k ірраціональне.

Перераховані аксіоми можна проілюструвати в процесі вимірів довжин відрізків, площ, обємів та ін. Таким чином, ці величини, володіючи загальними властивостями, відносяться до одного виду величин - скалярних.

3. Підхід до визначення поняття скалярної величини, пропонований Віленкіним також є аксіоматичним. Розглянемо аксіоматику безперервних позитивних скалярних величин.

Множина V із заданою в ній алгебраїчною операцією додавання називається безперервною позитивною скалярною величиною, якщо виконуються наступні аксіоми:

1) Додавання в V коммутативне, асоціативне і скоротливе.

2) Для будь-яких x і y з V маємо x + y ? x.

3) Для будь-якого x? V і будь-якого n знайдеться таке y ? V, що ny = x (через ny позначена сума y +… + y, що містить а доданків).

4) Якщо x, y ? V, то або x <y, або y> x.

5) Якщо ? ? x? V, причому x не більший за y, то існує елемент а ? V, що розділяє x і y (інакше для будь-яких x ? X і y? Y виконується x?y і x?a?y).

При вимірах величин кожному вимірюваному об'єкту зіставляється елемент з множини V тобто задається відображення f: Q > V, де Q - сукупність вимірюваних об'єктів. Відповідності між об'єктами в Q і їх образами можна аксіоматизувати, якщо ввести поняття області визначення величини. Областю визначення величини називають безліч Q із заданими в ньому відносинами еквівалентності б ~ в і тернарним ставленням б= в ? г (читається «б складається з в і г»), такими, що:

а) існує хоча-б одне відображення f: Q > V, для якого з б ~ в випливає

f (б) = f (в).

б) для будь-якого відображення g: Q > V, що має ті ж властивості, що й f, знайдеться таке б ? R, що для всіх б ? Q виконується рівність g (б) = бf(б) (тут R - множина додатніх дійсних чисел).

Не розкриваючи далі теорію вимірювання скалярних величин, зауважимо лише наступне: щоб виразити результат вимірювання числом, треба вибрати в Q який-небудь елемент e і назвати його одиницею виміру цієї величини. Тоді кожному б ? Q зіставляється число, рівне f (б) / f (e). Це число називають мірою а при одиниці виміру e. З умови б) і визначення Q випливає, що воно не залежить від вибору відображення f, а залежить від б і е.

Використання одного з розглянутих підходів до поняття скалярної величини в шкільному викладанні для формування загальних уявлень про величину викликає певні труднощі, оскільки будь-яка аксіоматика скалярних величин володіє високим рівнем абстракції. Але принципова можливість застосування того чи іншого підходу деякими авторами заперечується. Так, в період переходу радянської школи на новий зміст математичної освіти про можливості використання другого підходу до поняття величини в середніх класах А.Н. Колмогоров писав:»… Можна запропонувати прийнятний, наприклад, для VI класу шкільний варіант викладу подібного резюме раніше набутих знань про скалярні величини» ^*.

З приводу третього підходу Н.Я. Виленкін вказував, що «викладений підхід після відповідної адаптації може бути використаний в шкільному викладанні» ^*.

В існуючих навчальних посібниках аксіоматика скалярних величин повністю не розкривається і поняттям скалярною величини в шкільному курсі математики користуються без визначення. Однак учні повинні отримати деякі відомості про загальні властивості скалярних величин, а в процесі вивчення окремих величин ці властивості застосовувати.

Різні підходи до поняття скалярної величини дозволяють дати деяке узагальнення основних відомостей про скалярні величини, які можуть бути використані в практиці шкільного викладання математики.

1. Скалярная величина - елемент множини однорідних скалярних величин.

2. Скалярні величини можуть бути різних родів.

3. Для скалярних величин одного роду вводиться операція додавання і відношення порядку.

4. Скалярная величина має числове значення при обраній одиниці виміру. Числове значення отримують в результаті вимірів.

5. При вимірах здійснюється взаємно-однозначне відображення множини величин на множину дійсних чисел при обраній одиниці виміру.

6. У процесі вимірювань виявляються такі властивості величин:

а) рівним величинам відповідають рівні числові значення величин при одній і тій же одиниці виміру;

б) числове значення суми величин при одній і тій же одиниці виміру дорівнює сумі числових значень доданків величин.

7. Запис числового значення величини здійснюється із зазначенням одиниці виміру.

8. Для різнорідних величин операція додавання і відношення порядку не визначені.



3. Формування поняття скалярної величини

Формування і розвиток поняття скалярної величини можливий, лише протягом усього періоду навчання математики в процесі вивчення конкретних скалярних величин. Процес формування понять в учнів тривалий і складний. Поняття створюється не відразу, а виникає і розвивається поступово, стаючи все більш повним і глибоким. Тим більше це відноситься до складних понять, яким є поняття «скалярна величина». Лише в міру накопичення знань про загальні властивості конкретних скалярних величин можливі деякі узагальнення та систематизація цих властивостей на все більш і більш високому рівні. На думку психологів Д.Н. Богоявленського, Н.А. Менчинська, Л.В. Занкова, Д.Б. Ельконіна, В.В. Давидова, підвищення рівня узагальнень досліджуваного матеріалу пов'язано з підвищенням наукового рівня знань учнів. У процесі узагальнень властивостей скалярних величин будуть поступово формуватися в учнів загальні уявлення про скалярні величини.

Формальне ж введення тієї чи іншої аксіоматики скалярних величин непосильне учням молодших і середніх класів. Згідно із загальними положеннями теорії пізнання «завдання навчання зводиться до того, щоб забезпечити не просту абстракцію, а змістовну, в процесі якої здійснюється подумки виділення суттєвих особливостей предмета». У методиці визнається той факт, що найчастіше аксіоматичний метод в навчанні застосовується тоді, коли учні вже володіють відомим обсягом знань з метою узагальнення та організації їх у систему. Таким чином, ні про який повний аксіоматичний метод при формуванні поняття скалярної величини говорити не доводиться. Завдання полягає в тому, щоб виробити інтуїтивно зрозумілий учням спосіб викладу матеріалу, вільний від формалістики, що не суперечить подальшим уточненням поняття скалярної величини в більш старших класах.

Розгляд різних підходів до поняття скалярної величини дозволив виділити ті основні відомості про це поняття, які можуть бути викладені учням на тому чи іншому рівні строгості залежно від вікових особливостей учнів. Неповне або нестроге введення поняття скалярної величини має допомагати, а не заважати в подальшому більш повному засвоєнню цього поняття на будь-якому рівні строгості.

Практична реалізація другого пункту, а саме навчання учнів практичного застосування скалярних величин у взаємозв'язку з вимірами і обчисленнями, нерозривно пов'язана з першим, тому що, по-перше, поняття величини і вимірювання тісно взаємопов'язані, і, по-друге, «процес формування понять розуміється як і одночасний процес формування в учнів відповідної цим поняттям системи умінь і навичок». Навчання учнів вимірам величин, математичній обробці результатів цих вимірів - процес тривалий і тому повинен здійснюватися поступово і безперервно.

Таким чином, методика вивчення поняття скалярної величини з урахуванням міжпредметних зв'язків може бути побудована на таких основних положеннях:

1) формування та розвиток загальних уявлень учнів про скалярну величину повинно здійснюватися поступово, в процесі вивчення конкретних величин з подальшими узагальненнями їх властивостей;

2) вивчення конкретних величин має здійснюватися таким чином, щоб у першу чергу виявлялися ті їх властивості, які лежать в основі загального визначення поняття скалярної величини;

3) при первісному формуванні поняття про величини повинні враховуватися життєві уявлення учнів;

4) у процесі формування та розвитку поняття про скалярну величину повинні враховуватися вікові особливості учнів.

У зв'язку з викладеними вище положеннями вивчення конкретних величин може передбачати розгляд таких моментів:

1. Обґрунтування введення тієї чи іншої величини.

Введенню величин передує вивчення властивостей об'єктів, які виявляються в процесі порівняння. Необхідність такого порівняння і служить обгрунтуванням введення величин, хоча може бути й недостатньою.

Реалізація цього дає можливість виділити одну з загальних властивостей скалярних величин, яка полягає в тому, що для однорідних скалярних величин існує відношення рівності і нерівності, яке встановлюється кожного разу спеціально для різних за своєю природою величин.

2. Введення відношеннь «бути сумою» і «бути помноженою (поділеною) на число».

3. Встановлення для похідних величин зв'язку між величинами, введення формул для їх розрахунків.

4. Введення одиниці вимірювання величини.

5. Обґрунтування способів вимірювання величини.

6. Розкриття наближеного характеру вимірювань.

7. Встановлення властивостей величин, що випливають в процесі вимірювань.

Досвід шкільної роботи показав, що вивчення величин найбільш успішно реалізується через систему самостійних завдань, до числа яких входять наступні:

1. Пряме і непряме порівняння величин.

Порівняння величин передбачає включення в вправи наступних відношеннь в множині однорідних скалярних величин {a, b, c…}:

1) відношення «дорівнює» і його властивості:

а) рефлексивності а = а;

б) симетричності а = b > b = a;

в) транзитивності а = b і b = с > а = с.

2) відношення «більше», «менше» і їх властивості:

а) асиметричності а> b > b <а;

б) транзитивності а> b і b> с > а> c.

Тут особливо важливим є включення в вправи питань і завдань, спрямованих на розуміння цих відношеннь: «Що більше?», «Що менше?», «На скільки більше?», «На скільки менше?», «Збільшити на…», «Зменшити на…».

2. Пряме і непряме додавання величин, що володіє наступними властивостями:

а) а + b = b + а;

б) (а + b) + с = а + (b + с);

в) а + b = c > c> a і c> b;

У зв'язку з розглядом суми величин учням важливо показати, що існує величина «b», названа різницею величин с і а, що володіє властивістю

а + b = c.

3. Пряме і непряме множення і ділення величини на число. Тут особливу увагу вчителю слід звернути на таку властивість: для будь-яких однорідних скалярних величин а і b знайдеться таке натуральне число n, що

n Ч b> a.

Важливим є включення до вправ питань і завдань, спрямованих на розуміння цих відношеннь: «у скільки разів більше», «у скільки разів менше», «збільшити в стільки-то разів», «зменшити в стільки-то разів» та ін.

4. Засвоєння формул для розрахунку величин, зв'язків між ними.

5. Засвоєння одиниць вимірювання величин.

6. Формування і розвиток знань, умінь і навичок вимірювання величин.

Залежно від особливостей тієї чи іншої величини, цілей уроку, вікових можливостей учнів, рівня наявних у них знань, умінь і навичок і т.д. послідовність розгляду цих пунктів може бути різною і менш докладною.

В роботі основні властивості величин, а також знання, вміння та навички вимірювань їх формуються і засвоюються учнями в ході предметної діяльності в процесі виконання фронтальних практичних завдань та завдань з дидактичними картками, які активізують пізнавальну діяльність учнів.

Більшість завдань повинні бути нетривалі за часом виконання. Їх можна поділити на такі види:

1. Завдання, що готують учнів до введення тієї чи іншої величини.

2. Завдання, що розкривають основні властивості величин. Зазвичай такі завдання виконуються в процесі введення величини або після її введення.

3. Завдання, які служать для закріплення основних властивостей величини.

4. Завдання, які служать для повторення або узагальнення знань про величину.

5. Завдання, що сприяють формуванню та розвитку умінь і навичок вимірювань величин.

6. Завдання, які служать для контролю знань, умінь і навичок, пов'язаних з величинами.

7. Завдання, які розвивають поняття величини в процесі його застосування.

8. Завдання на встановлення, закріплення або повторення залежностей між величинами.

Процес вивчення поняття про скалярну величину починається з 1 класу і продовжується протягом всього навчання в школі.



4. Формування поняття векторної величини

Формування і розвиток загального уявлення в учнів про векторну величину можливий в процесі вивчення конкретних векторних величин, що виявляє в першу чергу властивості, характерні саме для цього виду величин; надалі ці властивості узагальнюються і систематизуються.

Вивчення властивостей векторних величин визначається виділенням таких моментів:

1. Однорідні векторні величини можна додавати, а різнорідні ні. Виконання цієї операції специфічне для різних величин, але виробляється за єдиними правилами (трикутника і паралелограма). Досвід показує, що в результаті додавання отримують векторну величину того ж роду, яка замінює складові величини.

2. Векторні величини можна множити (і ділити) на число і на скалярну величину. У першому випадку отримують векторну величину того ж роду, розмір якої більше або менше в дане число разів. У другому випадку отримують нову векторну величину.

3. Для однорідних векторних величин не існує відносини нерівності (також як і для векторів).

4. Відношення рівності має вкрай конкретний зміст для різних однорідних векторних величин.

У міру накопичення знань про загальні властивості окремих векторних величин можливі деякі узагальнення. В результаті узагальнення та систематизації знань в учнів поступово формуються загальні уявлення про векторні величини, при цьому:

1) Операції з векторними величинами аналогічні відповідним операціям з векторами, але мають свої особливості і межі застосування.

2) Поняття вектора і векторної величини взаємопов'язані, але не тотожні.

Методичні основи вивчення поняття про векторної величиною можуть будуватися на таких основних положеннях:

1. Формування і розвиток загальних уявлень про векторну величину повинно здійснюватися поступово, в процесі вивчення конкретних векторних величин з подальшими узагальненнями.

2. Вивчення конкретних векторних величин в першу чергу має виявляти ті їх властивості, які відрізняють ці величини від скалярних величин.

3. Вивчення векторних величин повинно проводитися в зіставленні їх властивостей з властивостями скалярних величин і векторів.

4. У процесі формування та розвитку поняття про векторної величини повинні враховуватися вікові особливості і життєвий досвід учнів.

Виходячи з особливостей поняття «векторна величина» і вікових можливостей учнів процес вивчення цього поняття можна розбити на три етапи.

Перший етап (V-VI класи). Тут проводиться пропедевтична робота.

Другий етап (VII клас). На уроках математики вводиться поняття вектора і його властивості, при цьому широко використовуються знання учнів, отримані на I етапі. Викладається питання про використання поняття вектора при вивченні векторних величин.

Третій етап (VIII клас). Тут учні вивчають нові векторні величини, причому вивчення будується з опорою на поняття вектора, введеного на II етапі. Узагальнюються і систематизуються загальні властивості векторних величин, підкреслюється їх зв'язок і відмінності з властивостями вектора. Більш широко викладається питання про зв'язок понять вектора, векторної величини і напрямленого відрізка.



Висновок

В ході роботи над курсовим проектом я детально ознайомився з особливостями вивчення величин в шкільному курсі математики. Слід сказати, що поняття величин відіграє одну з ключових ролей в математиці загалом. Вони дозволяють перейти від описового до кількісного вивчення властивостей об'єктів, тобто матемізувати знання про природу.

Слід сказати що поряд з вивченням конкретних величин в школі важливо, щоб учні отримали достатньо повне і в той же час доступне уявлення про те, що таке величина загалом, які її властивості, види, яка роль і місце величин в пізнанні природи, що означає величина і як виміряти її, в чому полягає математична обробка результатів вимірювань і т.д. Виходячи з цього стає зрозуміло, що роль величин в математиці без перебільшення є дуже великою.

Також в ході роботи я вивчив основні підходи до введення поняття скалярної та векторної величини в шкільному курсі математики. Різні підходи до поняття скалярної величини дозволяють дати деяке узагальнення основних відомостей про скалярні величини, які можуть бути використані в практиці шкільного викладання математики. На даному етапі я детально ознайомився з аксіоматичним підходом до вивчення скалярних величин, так я вивчив основні аксіоми котрі дозволяють виділити із усієї групи величин саме ті які задовольняють даним умовам, і вони називаються скалярними. Ці аксіоми у вигляді властивостей дозволяють віднести величини до даної групи.

На останніх етапах моєї роботи над курсовим проектом я вивчив основні положення які допомагають більш краще пояснити учням таке складне поняття як величина. Хоча слід сказати що поняття величин учні вивчають не на певному етапі навчання, а загалом на всьому протязі вивчення курсу математики в школі.



Список використаної літератури

1. Лйзенштат Я.Й. Розв'язування задач з математики в середній школі / Я.Й. Лйзенштат, Б.Г. Білоцерківська - Київ: Рад. шк., 1957. - 320 с.

2. Бевз Г.П. Методика викладання математики: навч. посібник / Г.П. Бевз. - Київ: Вища школа, 2004. - 367 с.

3. Бевз Г.П. Методика розв'язування алгебраїчних задач / Г.П. Бевз - Київ: Рад. шк., 1975. - 240 с.

4. Бесполько В.П. Складові педагогічних технологій / В.П. Бесполько - М: Педагогіка, 119 с.

5. Бондар В.І. Теоретичні основи і технологія аналізу навчально-виховного процесу на уроці / В.І. Бондар - К.: держ. псд. ін-т ім. М.П. Драгоманова, 1993. - 72 с.

6. Гніденко Б.В. Математика в сучасному світі і математична освіта / Б.В. Гніденко - Математика в шк. - 1991. - №1.

7. Столяр А.А. Методи навчання математики / А.А. Столяр - Мінськ: Вища шк., 1966. - 191 с.

8. Слєпкань З.І. Методика навчання математики: підручник / З. І. Слєпкань - Київ: Вища школа, 2010. - 582 с.

9. Бех І.Д. Особистісно зорієнтоване виховання: Наук.-метод, посіб / І.Д. Бех - К.: Ін-т змісту і методів навчання, 1998, 204 с.

10. Коба В.І. Позакласна робота з математики в школі: навч. посібник / В. І. Коба, О.О. Хмура. - К.: Радянська школа, 1988. - 482 с.

11. Якиманська І.С. Розвиваюче навчання / І.С. Якиманська - М.: Педагогіка, 1979. - 144 с

Размещено на Allbest.ru