Существует и другой, нетрадиционный, взгляд на содержание факультативного курса. Он представлен в пособии [26], в котором собран опыт преподавателей саратовского педагогического института. Остановимся на этом понимании факультативного курса подробнее.

Иванова Н. Н. в пособии [26] отмечает вопросы, на которые нужно уделить внимание при проведении занятий:

1. Значение эмоциональности преподавания (яркий рассказ, просмотр диафильмов, эксперименты учащихся с моделями, игровые ситуации);

2. создание проблемных ситуаций и их разрешение (разработать систему вопросов, направляющих мысль ученика на поиск решения проблемы, приобщить учащихся к самостоятельному поиску, открытию, умению творчески осмыслить изученное);

3. система поисковых задач. Поисковая задача - задача, при предъявлении которой учащиеся не знают заранее способа ее решения. Учащиеся решают все задачи самостоятельно или при небольшой помощи учителя.

4. включение исторического материала. Оно целесообразно по следующим причинам:

- яркий факт биографии ученого может вызвать у учащихся желание глубоко познакомится с его жизнью и творчеством;

- полезно показать характер постановки проблемы, трудности, которые возникали перед учеными, попытки преодолеть трудности и почему это не удавалось. Указанные этапы задают хоть и очень упрощенную, но модель движения в науке.

5. развитие самостоятельности и творческой активности учащихся при работе с научно - популярной литературой по математике. Работа с дополнительной литературой имеет большое значение для повышения общего уровня развития учащихся, подготовки школьников к дальнейшему образованию и самообразованию, к практической творческой деятельности.

Опыт показывает, что основу группы учащихся, посещающих факультатив, составляют школьники с ярко выраженными математическими способностями, индивидуальность мышления которых очевидна. Петрова Е. С. в своей статье [26] ставит вопрос о дифференциации и индивидуализации в обучении, сочетание коллективной, групповой и индивидуальной учебно - познавательной деятельности. Автор предлагает сначала всем участникам факультативной группы предложить разные конкретные задачи, при попытке которые школьники отыскивают общий способ в решении задач такого вида, подмечая некоторые закономерности. Общий вывод делают ученики всей группой на основе исследований каждого, т. е. итог проделанным исследованиям подводит коллективная работа.

При проведении факультативного курса важна система вопросов и упражнений, предлагаемых учащимся. Важно охватить вопросами весь изученный материал.

В пособии [26] выделены методы, применяемые в целях пробуждения у слушателей школьного факультатива творческой активности:

- Эвристический. Используется при ознакомлении учащихся с новым материалом: в случае алгебраического и геометрического подходов к изучаемому, при составлении алгоритма нового для школьников математического метода, решении задач, выводе учащимися нового правила, формулы, доказательстве теорем, введении новых понятий.

- Проблемный. Создание проблемных ситуаций - необходимое условие побуждения учащихся к творческому поиску. Например, указание задач с практическим содержанием, занимательного или исторического характера, вызывающих желание учащегося их решить.

Важно отметить, что изучаемый на факультативе фактический материал может быть либо известен, либо неизвестен учащимся. На этот факт стоит обратить внимание. Если фактический материал содержания факультатива уже частично известен, то этим путем идти нельзя. Полезно задать участникам несколько вопросов на дом: перечислить, какие факты стоит повторить перед работой с данным материалом; выявить возможности реализации межпредметных связей при изучении данного вопроса, его практические приложения; постараться сформулировать проблему.

В процессе выполнения лабораторных работ у учащихся появляется интерес к получаемым результатам. Здесь удачно сочетаются два подхода к творческой деятельности:

- учет эмоциональной стороны вопроса;

- учет операционной структуры, возможность алгоритмического поэтапного руководства исследовательской деятельности учащегося. При этом учитель должен:

1) учитывать запас знаний учащихся;

2) выявлять способы их актуализации;

3) продумывать новую информацию, сообщаемую учащимся, цель работы, ход выполнения работы, необходимое оборудование, оформление хода и результатов работы учащимися в рабочих тетрадях, выводы.

4) Определение путей проверки выполнения работы учащимися;

5) Выявление возможности индивидуализации и дифференциации обучения.

- Работа с литературой. Это реализуется в следующих формах. Слушатели факультатива получают индивидуальные задания составить и написать реферат. Например, описать некоторые факты из истории, доказательства теорем. Подбор литературы в соответствии с тематикой.

Немаловажным условием является обеспечение активной познавательной деятельности учащихся на протяжении каждого занятия.

Частью факультатива являются задачи, предназначенные для организации учебно-исследовательской деятельности учащихся. Для решения учебно-исследовательской задачи недостаточно одной или нескольких блестящих идей, она естественно, разбивается на ряд более мелких задач - от простых, не требующих никаких предварительных знаний и доступных любому школьнику, до сложных проблем. Машевецкий Г. И. [26] выделяет общие характеристики учебно-исследовательских задач:

К основным группам требований относятся: мотивационные (условие задачи должно привлекать внимание, быть связана с окружающей действительностью, иметь практическое применение, задача должна приносить реальную пользу решаемому); доступности (условие задачи должно быть сформулировано на основе известных знаний, задача может быть естественно разбита на ряд вспомогательных задач от простых до весьма трудных); общеобразовательной и воспитательной ценности задачи (задача должна давать навыки исследования и эксперимента, умение обрабатывать и обобщать полученные результаты; задача призвана развивать познавательную активность и фантазию, творческие способности учащихся).

Петрова Е. С. в пособии [26] ставит вопрос о способах поощрения и порицания школьников, занимающихся на факультативах. Система оценок знаний в настоящее время фактически двухбалльная: `'4'' и ''5''. “Система очков” за решение задач привносит на занятия дух соревнования, элементы игры, заинтересовывает учащихся.

Часто проводится разделение слушателей факультатива на подгруппы. Разделение осуществляется по разным принципам, в зависимости от дидактических и воспитательных целей работы: разный уровень знаний учащихся; интересы учащихся; возможности взаимоконтроля; разную внеурочную информированность учащихся; взаимоотношения учащихся; различные способности.

При проверке выполнения заданий каждым слушателем используют: взаимопроверку; групповую проверку; коллективную проверку.

Такие способы проверки приучают школьников критически относится к выполнению заданий самими и товарищами. Умение коллективно работать дает ученикам представления о научной дискуссии, об обсуждении исследовательских работ.

Коллективная работа всей группы проводится в следующих формах:

- Проверка правильности алгоритма решения новым математическим методом, составленного отдельными учащимися;

- Обсуждение правильности и конкретности решения контрольных задач;

- Выявление возможных ошибок школьников при изучении отдельной конкретной темы, указание путей устранения их;

- Организация дискуссий на предложенную преподавателем тему.

Таким образом, на факультативном курсе материал излагается порционно, он проводится в соответствии с планом, который не претерпевает больших изменений, существует некоторая последовательность в изложении материала. Кроме того, существуют две точки зрения. Первая: изучение на факультативе того же материала, что и на уроке, но более глубоко, решение нетрадиционных задач, задач повышенной трудности. Целью здесь является поддержать интерес к предмету, включить учащихся в предмет. Вторая: курс включает в себя как изучение некоторого материала, так и творческий поиск. Факультативный курс подразумевает выполнение творческих работ. Творческая работа может опираться на новое, изученное на факультативе. Это новое служит источником тем творческих работ. Ключевое - возникший вопрос, проблема.

При проектировании курса по теме “Приближенные вычисления”, вы попробовали соединить две точки зрения. В курсе есть углубление уже изученного материала, так и задачи, требующие творческого поиска.

2. Цели, задачи, структура факультативного курса

Разработка факультативного курса проходила в несколько этапов.

На первом этапе из школьных учебников были выделены задачи, в которых могут быть полезны знания о приближенных вычислениях. Также были придуманы другие задачи, для решения которых нужны знания и приближенных вычислениях. Список задач приведен в приложении 3 к данной работе.

На втором этапе была проанализирована логика введения понятия точности приближения, которая приводится в работе [15]. Здесь выделяются исходные элементы клеточки понятия точности приближения:

- точное значение x;

- приближенное значение a;

- мера отклонения (абсолютная погрешность) приближенного значения от точного.

Для разрабатываемого курса мы использовали первый этап развития клеточки понятия, в то время как в работе [15] их два.

Этап1: изменение в каком-либо из элементов клеточки. Например, если приближенная величина задана как изменяющаяся, тогда:

Схема 1

При этом предложенная схема была нами изменена, мы находили связь между всеми объектами:

Предполагалось, что в курсе будут опробоваться исследовательские задачи, с целью определить: являются ли для учеников задачи по этой теме исследованием, можно ли выделить задачу, которая станет для учеников творческой задачей? Поэтому на третьем этапе мы выделили возможные темы исследовательских задач:

1. Погрешность суммы и разности. Накопление погрешности при предварительном округлении.

2. Погрешность произведения.

3. Приближенное решение уравнений.

К задачам факультативного курса относятся:

- Расширение представления учащихся;

- Создание условий для проведения самостоятельного учебного исследования.

Возможность проведения курса в 7, 8 классах объясняется не возрастом учащихся, а определяется особенностью школьной программы. Из анализа школьных учебников были выделены объекты школьной математики, связанные с приближенными вычислениями: периодическая десятичная дробь, число , построение графика функции, извлечение корня n- й степени из числа, нахождение значений log и тригонометрических функций, для усвоения курса необходимы представления о корне и степени, поэтому курс возможен для учащихся 7, 8 классов.

Разработанный факультативный курс состоит из двух блоков.

Первый блок. Базовые определения

В первом блоке изучаются базовые понятия, выделенные в результате анализа учебной литературы. В начале каждого занятия, посвященного изучению нового материала, ученикам предлагается задача, для решения которой необходимо новое знание. Базовые понятия вводятся на основе логики введения понятий темы “Приближенные вычисления”, разработанной Ковалевой С. А. [15]. При проведении занятий вводятся дополнительные элементы: верные и значащие цифры.

Второй блок. Выполнение исследовательских заданий

Во втором блоке предложены исследовательские задачи. При изучении тем проводятся опыты, измерения объектов. Для контроля знаний ученикам предлагается составить свои задачи, в которых используются приближенные вычисления.

Ученикам предлагается задача, решая которую появляется затруднение, необходимость в новом знании. При этом сложность заданий постоянно увеличивается. Для решения последующих задач необходимо понимание предыдущих.

Факультативный курс сопровождают раздаточные материалы: шаблоны, памятки, тексты.

Шаблоны представляют собой построенные графики функций. Построение графиков функций - трудоемкий процесс, кроме того, это не является темой курса, поэтому возникла необходимость в их использовании. В итоге, было затрачено минимум времени на построения. Памятки выдавались ученикам для того, чтобы не возникало путаницы с только что изученными формулами, определениями; для систематизации знаний. Под текстами понимается список заданий, вопросов к занятию, требования к выполнению тех или иных заданий, тексты правил.

Программа факультативного курса

Блок I: Теоретическая часть. Знакомство с базовыми определениями.

1. Понятия точного, приближенного значений, абсолютная погрешность приближения.

2. Связь исходных элементов. ВГ и НГ, диапазон разброса. Нахождение точного как среднего.

3. Округление. Округление с заданной точностью.

4. Верные и значащие цифры.

Блок II: Выполнение учебно-исследовательских заданий.

5. Погрешность суммы и разности. Накопление погрешности при предварительном округлении.

6. Относительная погрешность. Предельные абсолютная и относительная погрешности.

7. Погрешность произведения.

8. Приближенное решение уравнений.

- Подбором;

- Метод последовательных приближений;

- Деление отрезка пополам;

(Вопрос о выборе наиболее эффективного метода, о сходимости метода последовательных приближений).

3. Описание содержания курса

Приведем краткое описание содержания курса. Подробно темы занятий, задачи и комментарии представлены в приложении 4 к данной работе.

Тема 1: “Понятие точного, приближенного значений. Абсолютная погрешность приближения”.

Вводятся понятия: точное значение, приближенное значение, абсолютная погрешность.

В начале ученикам предлагается задача, в результате обсуждения которой выделяются ключевые понятия. Ключевое - первая задача. Далее составляется схема, показывающая связь между понятиями. Ученики должны сами предлагать схемы. В заключении задание на нахождение абсолютной погрешности - задание на отработку.

Тема 2: “Связь точного, приближенного значений и абсолютной погрешности. ВГ и НГ, диапазон разброса. Нахождение точного как среднего”.

Используются понятия: точное значение, приближенное значение, абсолютная погрешность.

Вводятся понятия: верхняя и нижняя границы, диапазон разброса, точное как среднее.

Изучение связей и зависимостей между точным, приближенным значениями и абсолютной погрешностью приближения. Нахождение ответа на вопрос, любой ли из трех элементов может быть неизвестным. Знакомство с верхней и нижней границей, диапазоном разброса происходит в форме коллективной работы. Ученики сами открывают новое знание. Знакомство с точным как средним происходит через задачу.

Тема 3: “Округление. Округление с заданной точностью”.

Вводятся понятия: Округление, округление с заданной точностью.

Требуется понять необходимость округления, систематизировать знания по теме. Ученики узнают новый способ - правило четной цифры. Правило их заинтересовывает и интригует.

Тема 4: “Знакомство с верными и значащими цифрами”.

Вводятся понятия: верные цифры, значащие цифры.

Ученикам предлагаются две записи, на первый взгляд обозначающие одно и то же число. Нужно найти различие. Различие объясняется значащими и верными цифрами. В дальнейшем эти знания могут быть полезны при написании творческой работы по теме.

Тема 5: “Погрешность суммы и разности. Накопление погрешности при предварительном округлении”.

Это исследовательская задача.

Здесь ученикам предлагается несколько примеров с несколькими знаками после запятой. В задании нужно найти сумму и разность с точностью до десятых двумя способами, а после сравнить полученные результаты. Учащимся предлагается обсудить свои способы решения. В результате остановились на двух способах. При нахождении значения первым способом нужно сначала округлить слагаемые до десятых, а потом сложить/отнять. При нахождении значения вторым способом сначала складывают/отнимают, а потом округляют до десятых.

Таким образом, получились разные ответы. Возник вопрос, почему так произошло. Проанализировав каждое округление, пришли к выводу, что произошло накопление погрешности. Это эмпирическое исследование.

Тема 6: “Относительная погрешность. Предельные абсолютная и относительная погрешности”.

Вводятся понятия: относительная погрешность, предельные абсолютная и относительная погрешности.

Ученики изучают понятия самостоятельно по карточкам. Понятия нужны для решения исследовательских задач.

Тема 7: “Погрешность произведения”.

Это исследовательская задача.

Ученики должны выйти на приближенную формулу для нахождения предельной относительной погрешности произведения.

Тема 8: “Приближенное решение квадратных уравнений”.

Это исследовательская задача.

- При решении этой задачи было поставлено три проблемы:

- Какой из методов: подбора или последовательных приближений, наиболее эффективен?

- Какой из методов: подбора, последовательных приближений, половинного деления, наиболее эффективен?

- Любое ли уравнение можно решить методом последовательных приближений? Для каких уравнений метод работает?

Таким образом, темы 1, 2, 3 предназначены, чтобы логически ввести ключевые понятия. Темами 4, 6 вводятся понятия, используемые в исследовательских задачах. Темы 5, 7, 8 - исследовательские задачи. Они направлены на выявление творческой задачи.

4. Апробация курса анализ результатов

Факультативный курс был опробован в Лицее № 3 г. Красноярска, в 7 классе. При выполнений исследовательских заданий дети включились в исследование. Часть детей были искренне заинтересованы получить ответ. Но самой увлекательной была для учеников задача о приближенном нахождении корня. При выполнении исследовательских заданий ученики обращались к полученным теоретическим сведениям.

На первом этапе, когда вводились понятия, ученикам было предложено составить аналогичные задачи, они не могли это сделать. Предлагались задачи с аналогичным сюжетом. После того, как были отработаны связи между основными элементами, школьники смогли составить аналогичные задачи.

Глава 3. Творческая работа как форма дополнительного образования школьников

1. Творческая деятельность и математическое творчество

Понятие математического творчества.

В монографии [5] сказано, что при определенных условиях организации учебного процесса, возможно инициировать, «запустить» процесс детского математического творчества. Инициация такого рода детской активности, способствующей личностному росту ученика, развитию его мыслительных способностей, к самостоятельной деятельности и планированию является особенно важной при обучении.

Для обсуждения математического творчества необходимо конкретизировать понятие творчества.

А.Т. Шумилиным в своей работе [28] выделяет следующие важные характеристики творчества:

- Творчество тесно связанно с познавательной деятельностью. Акт творчества - это акт познания мира. Математическое творчество это форма овладения математическими знаниями.

- Необходимым условием начала творческого поиска (исследования) является осознание проблемы, ее постановка; процесс творчества - это процесс решения проблемы. В процессе творчества формулировка проблемы претерпевает изменения, уточняется; ее решение распадается на ряд задач. Разными авторами отмечается этапность, цикличность в решении проблемы, то есть наличие истории творческого поиска. Гипотеза или проба решения, даже если она не верна, подготавливает представление о верном пути решения, т. е. гипотеза - это средство решения проблемы.

- Творческая деятельность оригинальна. В процессе творчества всегда создается новая вещь (получается новый математический результат), применяются либо новые средства, способы, либо новые программы деятельности, но при этом результат может быть объективно уже известным, но индивидуально, психологически новым, то есть достигнутым собственными силами. И в этом случае тоже говорят о творчестве [24].

- Обсуждая творчество учащегося, специально отмечают наличие активной личностной позиции по отношению к познанию, личную заинтересованность в творческой деятельности, эмоционально окрашенное отношение к исследуемому материалу (14).

Самая простая структура творческой деятельности состоит из двух этапов:

- Постановка проблемы (задачи);

- Решение проблемы (задачи).

В монографии Шумилина А. Т. [28, с. 47] выделены четыре основных этапа творчества.

Первый этап - осознание, постановка, формулирование проблемы.

Второй этап - нахождение принципа решения проблемы нестандартной задачи.

Третий этап - обоснование и развитие найденного принципа. Конкретизация гипотезы, разработка плана экспериментальной проверки гипотезы, доказательство или опровержение ее.

Четвертый этап - практическая проверка гипотезы.

Предложенная структура отражает ситуацию с творческой работой; шаги, которые нужно пройти при написании ее.

Еще один важный фактор, связан с требованием представления результатов работы в форме письменного текста. Поскольку творческая работа должна быть представлена адресованным учителю и соученикам текстом, важное условие ее появления - наличие у учащихся опыта общения с учителем по поводу предмета математики посредством письменного текста.

В схеме А. М. Матюшкина как особые выделяются этапы нахождения принципа решения, его разработки и реализации. В своей работе [28, с. 32 - 51] он пишет: “ … Первый этап любого процесса решения задачи характеризуется как этап “усвоения” задачи. … Возникновение проблемной ситуации, главным элементом которой является неизвестное новое, то, что должно быть открыто для правильного выполнения задания, для выполнения нужного действия”.

На втором этапе “человек для решения ищет связи, не имевшие ранее прямого отношения к решаемой проблеме. На этом этапе выявляется такое новое отношение, которое ведет к “переконструированию” проблемы, к выявлению нового принципа действия, к пониманию решения”.

Третий этап - “реализация найденного принципа”, которая сводится к применению некоторых операций, связанных с практикой, к выполнению вычислений, обоснованию доказательств. Возможно выявление новых проблем, которые повлекут поиски новых принципов реализации.

Четвертый этап - “заключительный этап решения проблемной задачи - проверка правильности решения”.

Остановимся на каждом из этапов подробнее. В постановке проблемы важное место занимает обоснование актуальности проблемы, т. к. убежденность в актуальности проблемы стимулирует поиски решения, устойчивость интереса исследователя. На этапе постановки проблемы начинается процесс обострения противоречия.

Авторы монографии [5] выделили условия, при выполнении которых можно считать деятельность учащегося творческой:

- Он сам сформулировал задачу, которую решает, причем формулирование учащимся задачи выступило как средство решения стоящей перед ним проблемы;

- Сам по себе полученный результат ценен и значим для учащегося;

- Учащийся «вовлечен» в работу с проблемой, эмоционально переживает процесс исследования.

Вообще, наука развивается в гипотезах. Но отношение “человек - наука” могут быть очень разными. Можно выделить по крайней мере два аспекта:

- потребительский аспект - человек использует результаты науки для решения практических задач различного типа.

- Поисковый аспект - связан с поиском новых закономерностей, с получением новых знаний. Это исследовательский аспект.

Гипотеза является формой творческого мышления и, следовательно, должна рассматриваться как категория диалектической логики. Исследования творчества показали, что содержание, механизм поиска решения проблемы состоит в выдвижении гипотез о путях решения проблемы и их проверки, генерации гипотез и их верификации - центральный механизм творчества.

Гипотеза - предположение о том, как разрешить противоречие проблемы. Гипотеза может быть либо предположением о свойствах и структуре вещи (объекта системы), разрешающие противоречие проблемы, либо предположением о способе деятельности разрешающим последнее. В процессе познания наступает момент, когда обращение к гипотезе оказывается необходимым и неизбежным когда движение познания без выдвижения гипотезы становится невозможным. Таким моментом является возникновение проблемной ситуации, проблемы.

Важно подчеркнуть, что строгая формулировка проблемы не всегда возможна из-за недостатка информации о закономерностях исследуемой (новой) области действительности. «Безупречная во всех отношениях постановка проблемы, - замечает И.И. Мочалов в [21, с. 56], - предполагает наличие у исследователя полной информации об изучаемом объекте. Но тогда бы не было проблемы!».

Некоторая нестрогость формулировки проблемы неизбежна на начальных этапах исследованию. В ходе исследования она уточняется. И только в работах, в которых излагаются уже найденные решения, возможна и необходима глубокая постановка проблем и их строгая формулировка.

Дж. Бернал считал «нахождение проблем» высшим показателем творчества. Решение проблемы и содержание творческой деятельности начинается с нахождения выявления принципа - идеи решения. (Идея - основная мысль, лежащая в основе теоретической системы, логического построения, плана действия. Понятие принцип в философии используется для обозначения основания, то есть того, что лежит в основе некоторой совокупности фактов, знаний, способа действия раскрывает суть их связей, движения).

Этап нахождения принципа или идеи решения является кульминационным в творческом поиске. Понятие «принцип» очень близко к понятию «идея» и часто употребляется как синоним.

Решение в самом общем виде состоит в открытии или создании новых связей вещей, такого их соединения, преобразования которое позволило бы решить проблему. Поиск решения состоит в нахождении носителя определенных новых отношений (в случае открытия) или в создании его (в случае изобретения).

Следует различать термины проблема и задача. Проблема выступает как вопрос, требующий разрешения, а задача включает в себя и вопрос, и условие (данные) решения задачи. Рубинштейн С. Л. дает следующее определение “Задача - это всегда по своему словесная, речевая формулировка проблемы. Она - живое свидетельство единства мышления и речи”. [28]

Существенное различие между проблемой и задачей, как показывает В.Е.Берков [28], состоит в том, что «понятие задачи связано с ситуацией, характеризующейся достаточностью, средств для достижения цели научного познания, а понятие проблемы - с их недостаточностью».

Высокие требования предъявляются к формулированию проблемы или задачи. Это объясняется тем, что в ней фиксируются результаты анализа проблемной ситуации, и что в самой постановке уже содержаться элементы ее решения. Формулирование задачи (проблемы) - важный этап в ее понимании. Глубокий анализ проблемных ситуаций, продуманность формулировок проблем и задач являются необходимыми условиями оптимизации творческого исследования. Речевая формулировка - это не внешний фактор по отношению к мышлению, но сам процесс его.

2. “Изучение скорости сходимости разных методов при решении квадратных уравнений” - тема творческой работы

При написании творческой работы подготовительным этапом является представление тем творческих работ. На этом этапе была предложена тема: “Проблема оценки погрешности в решении задач”. Следующий этап: этап обмена текстами и устные беседы. Здесь происходила ориентация учащегося в материале, знакомство с терминами, так как данная тема не представлена в школьной программе. Необходимо было понять, какое может быть исследование, какие могут возникнуть проблемы. На этом же этапе происходит накопление информации по изучаемому вопросу. В ходе работы были открыты новые области для исследования, вследствие чего был изменен ход работы.

Следующий этап - работа с полученными результатами. Систематизация, доработка, выполнение чертежей, оформление работы в соответствии с планом.

На выездной школе участникам для написания творческой работы была предложена тема: “Приближенные вычисления. Накопление погрешности при предварительном округлении”. Эту тему выбрал ученик 8 класса Гимназии №1.

В ходе совместной работы над темой мы пришли к выводу, что тема не является творческой. Отметим, что как в творческой задачи, так и в исследовательской необходимо провести исследование, но, кроме того, творческая задача должна заинтересовать человека, в отличии от исследовательской.

Тема “Приближенные вычисления. Накопление погрешности при предварительном округлении” заключалась в следующем. Были предложены два равенства, эти два равенства имели приблизительно один и тот же результат. Нужно было разобраться, как так получается, т. е. доказать, что эти два равенства выведены из одного квадратного уравнения. Также нужно было выделить наиболее точный способ и вывести правила, придерживаясь которых не происходило бы накопление погрешности или оно было бы минимальным и с известной точностью.

Работая над темой, было доказано, что два равенства выведены из одного квадратного уравнения, было выделить наиболее точный способ. Однако дальше исследование не заинтересовало. Были открыты новые области для исследования. Предложенная тема расширилась. В дальнейшем мы исследовали скорость сходимости разных методов при решении квадратных уравнений. Тема была переформулирована: “Изучение скорости сходимости разных методов при решении квадратных уравнений”.

Таким образом, задача нашей творческой работы заключается в исследовании скорости сходимости разных методов при решении квадратных уравнений.

Нами были выделены следующие этапы ее решения:

- Нахождение корня квадратного уравнения двумя способами и выбор наиболее эффективного способа.

- Изучение методов половинного деления и последовательных приближений.

- Применение метода последовательных приближений к разным типам квадратных уравнений.

- Выведение условия, при выполнении которого квадратное уравнение можно решить методом последовательных приближений.

Нами были выделены гипотезы:

1. Из равенств и , равенство, имеющее вид , дает более точный результат.

2. Методом последовательных приближений можно решить любое квадратное уравнение.

В первой части нашей работы представлены теоретические сведения, во второй части мы предлагаем ход нашего исследования.

Результатом нашей творческой работы является то, что равенство, имеющее вид , дает более точный результат и методом последовательных приближений можно решать лишь те квадратные уравнения, которые подчиняются выведенному условию.

Степень самостоятельности школьника в данном исследовании в следующем. Ученик доказал, что равенства получены из одного и того же уравнения. Доказал, какое из уравнений дает более точный результат. После он сам решил работать только с этим уравнением. Способы нахождения корней уравнения были предложены руководителем, применил способы к уравнению ученик самостоятельно, сам выбрал наиболее эффективный способ и решил исследовать его. Уравнение, корень которого нельзя найти методом последовательных приближений, было предложено руководителем. Далее ученик сам построил графики, показал геометрически, как значения приближаются к корню, и заметил, что в случае возможности нахождения корня методом последовательных приближений, значения стремятся к точке пересечения графиков, а в другом случае просто движутся “по квадрату”. Формулирование условия произошло при помощи руководителя.

Отказ от первоначальной темы и формулирование этой можно объяснить новизной материала. Раньше ничего не было известно про методы, кроме того, есть интрига, когда корень одного из уравнений нельзя найти методом последовательных приближений. Данная творческая работа может быть продолжена.

Творческая работа была защищена на школьной конференции и, а докладчик был награжден “за лучший доклад и грамотное исследование”. Текст дипломной работы приведен в приложении 4.

Заключение

В итоге проделанной работы были получены следующие результаты:

1) обнаружили связь теоретического знания со школьной программой. Приближенное решение квадратных уравнений может вывести учеников на понятия приближенных вычислений, открыть для них новую область знаний.

2) был разработан и опробован факультативный курс, направленный на выделение задач по теме приближенные вычисления, которые бы являлись исследованием для учеников.

3) Была разработана и опробована тема творческой работы.

В дальнейшем работа над данной темой может быть продолжена. Во-первых, следует рассмотреть возможность разработать факультативный курс как самостоятельный, который бы являлся не только средством для выделения исследовательских задач. Во - вторых, возможна доработка выявленных исследовательских задач до тем творческих работ. В - третьих, возможно продумывание связей факультативной программы с элементами, представленными в школьной программе.

Литература

1. Алгебра. Учеб. для 8 кл. ср. шк. / Под ред. С.А. Теляковского. - М.: Просвещение, 1988.

2. Алгебра: Учебник для 8 класса средней школы / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и т. д. - М.: Просвещение, 1991.

3. Алимов Ш.А. Принцип сжатых отображений. Математика. Кибернетика. Подписная научно - популярная серия. М.: Знание, 1983.

4. Алимов Ш.А. Математика. Учебник для 8 кл. ср. шк. М.: Просвещение 1992.

5. Аронов А.М., Ермаков С.В., Знаменская О.В. Учебно-образовательное пространство в педагогике развития: математическое образование: Монография. - Красноярск: КрасГУ, 2001.

6. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973.

7. Башмаков М.И. Алгебра. Учебник для 11 кл. - М.: Просвещение, 1997.

8. Брадис В.М. Устный и письменный счет. Вспомогательные средства вычислений. // Энциклопедия элементарной математики. Кн. 1. Арифметика. Под ред. Александрова П.С., Маркушевича А.И., Хинчина А.Я. // М.: Гос. изд. Технико - теоретич. Литература, 1951.

9. Виленкин Н.Я. Математика. Учебник для 5 кл. ср. шк. - М.: Просвещение, 1994.

10. Виленкин Н.Я. Алгебра. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. - М.: Просвещение, 1994.

11. Выготский М.Я. Справочник по элементарной математике. Спб.: Санкт - Петербург оркестр, 1994.

12. Зверкина Г.Л. Приближенные вычисления. / Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика / Глав. Ред. М.Д. Аксенова. - М.: Аванта+, 1998.

13. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Харьков, Харьковский университет, 1972.

14. Кашапов М.М., Табакова Ю.А. Обучение творческому решению проблемных ситуаций в процессе преподавания психологии как средства формулирования интеллектуальных способностей старшеклассников // Педагогика развития: Проблемы современного детства и задачи школы: Материалы III научно - практической конференции. Красноярск, 1996. ч. I.

15. Ковалева С.А. О месте приближенных вычислений в школьной математике. Дипломная работа, 2001.

16. Куланин Е.Д., Лемешко Н.Н., Шамшурин В. Л. Микрокалькуляторы в курсе математике. - М.: Высшая школа, 1989.

17. Математика БЭС/ Гл. Ред. Ю.В. Прохоров - 3-е изд. - М.: Большая советская энциклопедия, 1998.

18. Математика: учебник для 5 класса средней школы / Н.Я. Виленкин и др. - Спб.: Свет, 1995.

19. Математика: Школьная энциклопедия. М.: Дрофа, 1997.

20. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс.: Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 1998.

21. Мочалов И.И. Мнимые проблемы науки // Вопросы философии. 1966.№1.

22. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. Математика. 5 класс: учебник для общеобразовательных учебных заведений. - М.: Дрофа, 1995.

23. Степанов В.Д. Активизация внеурочной работы по математике в средней школе. Книга для учителей. Из опыта работы. М.: “Просвещение”, 1991.

24. Табидзе О.И. Ценностный аспект творчества // Вопросы философии. 1981. № 6.

25. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Под ред. Виленкина Н.Я. - М.: Просвещение, 1994.

26. Факультативный курс по математике в средней школе. Межвузовский научный сборник. Ред. Кол.: Петрова Е.С., канд. пед. Наук, Сухоруков В.И., канд. ф.- м. наук. Саратов: Саратовский государственный педагогический институт им. К. А. Федина, 1989.

27. Цих А.К. Введение в специальность “Математика”: Учеб. Пособие / Красноярск: Краснояр. Гос. ун-т, 1997.

28. Шумилин А.Т. Проблемы теории творчества. Монография - М.: Высшая школа, 1989.

29. Энциклопедический словарь юного математика. М.: педагогика, 1989.

Приложение 1



Приложение 2

Правила округления

Правило 1: Если первая слева из отброшенных цифр меньше 5, то оставшиеся десятичные знаки не изменяются.

Правило 2: Если первая слева из отброшенных цифр больше 5, то к последней оставшейся цифре прибавляют 1.

Правило 3: Если первая слева из отброшенных цифр равна 5 и среди остальных отброшенных цифр имеются ненулевые, то к последней из оставшихся цифр прибавляют 1.

Правило 4: Если первая слева из отброшенных цифр равна 5 и все остальные отброшенные цифры равны нулю, то последняя оставшаяся цифра сохраняется, если она четная, и увеличивается на 1, если она нечетная (правило четной цифры).

Приложение 3

Задачи

Понятие точного, приближенного значений. Абсолютная погрешность приближения.

1) Сколько целых чисел, делящихся на 7 содержится

в) от 1 до 10 б) от 1 до 20 в) от 1 до 50 г) от 1 до 1000000?

Можно ли назвать точную цифру?

2) Опишите способы нахождения ответов

3) Почему получились разные результаты?

4) Известно, что от 1 до 1000000 содержится 142857 цифр. На сколько вы ошиблись?

5) Введение терминологии.

6) Постройте схему отношения понятий.

7) Сформулируйте определение точного значения, приближенного значения, абсолютной погрешности.

8) Пусть а - приближенное значение числа х. Найти погрешность приближения, если:

а) х=5,346 а=5,3 б) х=15,9 а=16 в) х=4,82 а=4,9

9) В комнатном термометре верхний конец жидкости находится между отметками 21 и 22oC. В качестве приближенного значения температуры взято число 21,5 чему равна абсолютная погрешность приближения.

Приближение с заданной степенью точности.

10) Построить графики функций y= x, y= x-2, y= x-4.

11) Найти значения графически и решив уравнение.

12) С точностью до какого разряда нашли корни уравнения по графику?

13) Знакомство с приближенными значениями по недостатку и по избытку.

14) Приближенное значение числа х=2,4, абсолютная погрешность меньше 0,1. Найти промежуток в котором заключено точное значение х.

15) Пусть х=5,80,2 может ли точное значение оказаться равным:

а) 5,9 б) 6,001 в)5,81

16) Является ли число 4 приближенным значением дроби 4,3 с точностью до 0,5? До 0,1?

17) Указать приближенное значение числа х равное среднему арифметическому приближений с недостатком и с избытком

а) 20x22 б) 5х6 в) 3,7х4,1

18) Доказать, что число 0,43 является приближенным значением дроби 13/30 с точностью до 0,01.

19) Указать приближенное значение числа х, равное среднему арифметическому приближений с недостатком и избытком

а) 4,5х4,8 б) 2,81х2,83 в) 0,55х0,6

Округление.

20) Решить уравнение ха=6,3, при а=0,428571…

21) Как можно решить уравнение? (Воспользоваться обыкновенными дробями, взять конечное число ).

22) Правило округления.(читают)

23) В день переписи населения число жителей города равнялось 57328, но число жителей в городе постоянно изменяется (приезд, отъезд…) сколько жителей в городе?

24) Округлить числа последовательно до тысячных, сотых, десятых долей, единиц, десятков, сотен, тысяч: а) 3285,05384; б) 6377,00753; в) 1234,5336

25) Представить в виде десятичной дроби с точностью до 0,1 число: а) 13/8 б) 17/25 в) 39/129

26) Число 3,141592652 есть отношение длины окружности к ее диаметру. Округлить это число до миллионных, тысячных, сотых.

Методы нахождения результата. Их сравнение.

27) Найти значение выражения с заданной точностью (точность то трех знаков после запятой)

2+

28) Найти корень уравнения с заданной степенью точностью (три знака после запятой) 5x2+x-3=4

29) Представьте свои способы. Обоснуйте их.

30) Найти решение уравнения x=1+1/x. Каким методом быстрее получается результат?

31) Округлите с другой степенью точности.

32) Составьте аналогичные задачи.

Приложение 4

Задания к факультативному курсу, виды работ, комментарии.

Тема 1: “Понятие точного, приближенного значений. Абсолютная погрешность приближения”.

(40 мин)

Цели: Ввести представления о точном, приближенном значениях и абсолютной погрешностью в соответствии с логикой.

Методы:

o Эвристический поиск.

Формы:

o Семинар;

o Лекция.

Средства:

o Записи на доске;

o Устная речь.

Введение (3 мин): Несколько занятий будет посвящено теме приближенные вычисления. Мы изучим основные объекты, а после сформулируем вопросы, для ответа на которые нужно проделать творческую работу.

Задания	Формы работы	Комментарии
Задача 1: Сколько целых чисел, делящихся на 7 содержится а) от 1 до 10 б) от 1 до 20 в) от 1 до 50 г) от 1 до 1000000? Можно ли назвать точную цифру? Опишите способы нахождения ответов Почему получились разные результаты? Известно, что от 1 до 1000000 содержится 142857 цифр. На сколько вы ошиблись?	Самостоятельная работа учащихся (5 мин), после фронтальное обсуждение (10 мин).	В результате обсуждения должны определится с терминами: Точное значение х; Приближенное значение а1, …, аn. Приближение - замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близких к исходным. Погрешность - задание точности приближенного числа. А. п. Обозначается . = |х - а|
Задание 2: составьте схему отношения понятий х, а, .	фронтальное обсуждение (10 мин).
Задание 3: Пусть а - приближенное значение числа х. Найти погрешность приближения, если: а) х=5,346 а=5,3 б) х=15,9 а=16 в) х=4,82 а=4,9	Самостоятельная работа учащихся (10 мин)	Тренировочное упражнение на нахождение А.п.

Тема 2: “Связь точного, приближенного значений и абсолютной погрешности. ВГ и НГ, диапазон разброса. Нахождение точного как среднего”.

(40 мин)

Цели:

Предметные:

o Указать связь точного, приближенных значений и абсолютной погрешности.

o Ввести представления о ВГ и НГ, диапазоне разброса.

o Выявить способом нахождения точного значения как среднего.

Общекультурные:

o Ввести норму высказывать свое мнение.

Методы:

o Уяснение готового знания из устного источника.

Формы:

o Семинар;

o Лекция.

Средства:

o Записи на доске;

o Устная речь.

Блок 1: Работа с математической моделью.(20 мин)

Задания	Формы работы	Комментарии
Задание 1: Вспомнить элементы, с которыми познакомились на прошлом занятии. Указать связь элементов.	Фронтальный опрос. Устно.	(x - точное значение величины, a - приближенное значение величины x, =| x- a| - абсолютная погрешность.)
Задание 2: В предложенных задачах выделить известные и неизвестные элементы. Можно ли их найти? Как? Указать на модели связь элементов. (10 мин) задача 1: Вес булочки должен равняться 120 граммам. Когда взвесили две готовые булочки, получили значения 123гр. и 118гр. Насколько ошиблись пекари? задача 2: Известно, что булочка должна весить 120гр. При взвешивании теста пользуются автоматическими весами, которые нечувствительны к уменьшению или увеличению веса на 5гр. Какая величина будет являться точной, а какая приближенной? Почему?	Самостоятельное решение (5 мин); Фронтальное обсуждение (5 мин).
Вопрос: Вы рассмотрели два варианта: Неизвестно а и . Может ли быть еще вариант? Придумать свои задачи.	Самостоятельное решение; Фронтальное обсуждение	х неизвестным быть не может.

Блок 2: Понятия ВГ и НГ, диапазона разброса. Нахождение точного как среднего. (20 мин)

задача 1: а) На отрезке отметить точку 4/7. Б) На отрезок наложить другой отрезок, с отмеченными делениями.	Игра. (коллективная работа) 10 мин.	(ВГ, НГ, диапазон разброса). Точка 4/7 должна быть расположена между точками 3/7 и 5/7. Т.е. 3/7 - НГ; 5/7 - ВГ; (3/7; 5/7) диапазон разброса.
Задача 2: Заданы границы изменяющейся величины х: А) 20 x 22; Б)3,7 x 4,1. Чему равно среднее значение? Назовите три приближенных значения х.	Самостоятельная работа учащихся. 10 мин.	Точное значение как среднее.

Подведение итогов.

Тема 3: ”Округление. Округление с заданной точностью”.

(40 мин)

Цели:

o Повторить способы округления и округление с заданной точностью.

Методы:

o Выведение частных знаний из общих;

o Уяснение готового знания из письменного источника.

Формы:

o Семинар.

Средства:

o Записи на доске;

o Устная речь;

o Раздаточный материал.

Задания	Формы работы	Комментарии
Задание 1. (5 мин). Вопрос 1: Ответьте на вопрос, что значит округлять? Вопрос 2: Зачем бывает нужно округлять?	Фронтальный опрос.	Версии детей кратко записываются на доске: округлить - отбросить одну или несколько цифр, приближенно представить число с помощью конечного количества разрядов,
		Версии детей: уменьшить запись…
Задание 2: Ответьте на вопросы, поставленные в задачах. (5 мин). Задача 1: Диаметр Земли составляет около 6400 км. Так пишут в учебниках географии. Каков порядок этого числа: измеряется ли расстояние в десятках, сотнях или тысячах километров? Задача 2: Расстояние от Красноярска до Москвы 3312км. Какое значение важно для путешественника?	фронтальное обсуждение
Задание 3: Прочтите правила округления. Есть ли среди этих правил неизвестное, малознакомое?	Самостоятельная работа учащихся (5 мин.), фронтальное обсуждение (5 мин).	Ученикам выдается текст: Вспомним правила округления. Правило 1: Если первая слева из отброшенных цифр меньше 5, то оставшиеся десятичные знаки не изменяются. Правило 2: Если первая слева из отброшенных цифр больше 5, то к последней оставшейся цифре прибавляют 1. Правило 3: Если первая слева из отброшенных цифр равна 5 и среди остальных отброшенных цифр имеются ненулевые, то к последней из оставшихся цифр прибавляют 1. Правило 4: Если первая слева из отброшенных цифр равна 5 и все остальные отброшенные цифры равны нулю, то последняя оставшаяся цифра сохраняется, если она четная, и увеличивается на 1, если она нечетная ( правило четной цифры).
Задание 4: К одному из правил построить модель.	Самостоятельная работа учащихся (3 мин.), фронтальное обсуждение (5 мин).	На занятиях учеников обычно заинтересовывает правило 4, т. к. оно редко встречается и не предлагается в школьных учебниках. Можно построить следующую модель: H-нечетная цифра.
Задание 5: Выполните. (10 мин) 1) Округлить, отбрасывая по одной цифре, =3, 141592653… С какой точностью мы округляли? С точностью до какого разряда? 2) Округлить числа последовательно до тысячных, сотых, десятых долей, единиц, десятков, сотен, тысяч: 1. 3285,0584; 2. 6377,00753; 3. 1234,5336. 3) Представить в виде десятичной дроби с точностью до 0,1 число: 1. 13/8; 2. 17/25; 3. 39/129.	Самостоятельная работа учащихся.	Отработка. Округление с заданной точностью.

Подведение итогов. (2 мин.)

Тема 4: ”Знакомство с верными и значащими цифрами ”.

(40 мин)

Цели:

o Ввести понятие верных цифр;

o Ввести представление о значащих цифрах;

o Работа с верными и значащими цифрами.

Методы:

o Уяснение готового знания из письменного источника;

o Уяснение готового знания из устного источника.

Формы:

o Семинар;

o Лекция.

Средства:

o Записи на доске;

o Устная речь;

o Раздаточный материал.

Задания	Формы работы	Комментарии
Задание 1: Отличаются ли записи 2,4 от 2,40; 4,05 от 4,050? С какой точностью округлили? (10 мин).	фронтальное обсуждение	Предложенные версии детей кратко записываются на доске. Должны сформулировать следующее (предложат ученика или скажет учитель): Запись 2,4 означает, что верны только цифры целых и десятых (т.е. истинное значение числа может быть, например, 2,43 или 2,38). Запись 2,40 означает, что верны и сотые доли (истинное число может быть 2,403 или 2,398, но не 2,421 и не 2,382).
Задание 2: Прочтите правило и примеры. Ответьте на вопросы. Понятно ли правило, если нет, то задайте вопросы. Придумайте свой пример. (15 мин).	Самостоятельная работа. фронтальное обсуждение.	Ученикам выдается текст: Верными называют цифры, если представленный ими результат имеет погрешность не более Ѕ младшего разряда. Пример 1: Если x = 20,04 и это значение имеет три верные цифры, то можно считать, что 19,95<x<20,05. Пример 2: x = 4,323 имеет две верные цифры. Каков диапазон разброса x? Пример 3: x = 4,3230 имеет 5 верных цифр. Каков диапазон разброса x?
(5 мин). Задание 3: Выполните. 1) Приближенно значение числа x равно 3,6647. Если абсолютная погрешность равна 0,0007, то какие цифры числа будут верными? 2) Приближенно значение числа x равно 0,029560. Если абсолютная погрешность равна 0,00003, то какие цифры числа будут верными?	Самостоятельная работа. фронтальное обсуждение.	Задание на отработку.
(8 мин). Задание 4: Прослушайте правило и выполните задание. Задание: Какие цифры в числах являются значащими? 0,09862; 652; 87200; 0,064504.	Фронтальное объяснение. Фронтальное обсуждение.	Объясняет учитель: Значащими называют все верные цифры числа, кроме нулей, стоящих впереди числа.

Подведение итогов. (2 мин).

Тема 5: ”Погрешность суммы и разности. Накопление погрешности при предварительном округлении”.

(40 мин)

Цели:

o Формирование понимания возможности накопления погрешности.

o Выделение условий, при которых происходит накопление погрешности.

Методы:

o Метод эвристического поиска знаний.

o Формы:

o Семинар.

Средства:

o Записи на доске;

o Раздаточный материал.

Задания	Формы работы	Комментарии
Задание 1: Найти сумму 25,3 + 0,442 + 2,741 а) не округляя слагаемые; б) округлить сумму до десятых долей; в) округляя до десятых долей каждое слагаемое.	Самостоятельная работа учащихся. (5 мин).	Ученики могут работать либо по парам, либо индивидуально. (задания выдаются ученикам на карточках).
Задание 2: Найти сумму 52,861 + 0,2563 + 8,1 + + 57,35 + 0,0087 а) не округляя слагаемые; б) округлить сумму до десятых долей; в) округляя до десятых долей каждое слагаемое.	Самостоятельная работа учащихся. (5 мин).	Ученики могут работать либо по парам, либо индивидуально.
Задание 3: а) сравните результаты в задании 1; б) сравните результаты в задании 2; в) что общего в полученных результатах? г) как можно объяснить получившиеся результаты? д) какой результат точнее?	Самостоятельная работа учащихся. (5 мин). Фронтальное обсуждение. (12 мин).	Работа разделена на два этапа: На первом этапе школьники обдумывают полученные результаты, обсуждают в парах. На втором этапе ученики обсуждают вместе, из-за чего получились разные ответы. При обсуждении должны заметить, что результаты отличаются на 0,1. В заключении нужно сформулировать, что разные ответы получились из-за накопления погрешности.
Задание 4: Составьте пример, в котором бы происходило накопление погрешности при вычитании. Как вы придумали пример? Сравните свой пример с другими примерами, можно ли выделить что-то общее?	Самостоятельная работа (3 мин). Фронтальное обсуждение (8 мин).	Учащиеся должны представить свои примеры, рассказать, как они были придуманы.

Подведение итогов. (2 мин).

Тема 6: ”Относительная погрешность; предельные абсолютная и относительная погрешности”.

(40 мин)

Цели:

o Представление об относительной погрешности;

o Представление о предельной абсолютной и относительной погрешностях;

Методы:

o Метод эвристического поиска знаний;

o Уяснение готового знания из письменного источника.