Измерения геометрических величин в курсе геометрии 7-9 классов

Ученики должны быть поделены на группы, по два - три человека. Затем учитель вместе с учащимися выходит на школьную площадку. Школьники с помощью известного им из курса геометрии метода - провешивания прямой, измеряют некоторое расстояние. После этого учащиеся измеряют то же самое расстояние шагами. Затем ученикам предлагается проделать обратную операцию: сначала измерить некое расстояние шагами, а уже после этого, используя рулетку. После они сравнивают полученные результаты.

Также, имеет большое практическое значение развитие глазомера. Если занятия по определению расстояний на глаз ранее не осуществлялись, то следует начать с определения на глаз малых расстояний. Уже после этого переходить к определению больших длин. Так же, как и в случае с измерением шагами, определяемые расстояния на глаз необходимо проверять путем непосредственных измерений.

После выполнения ряда заданий учащиеся заполняют отчет и делают выводы.

В результате проведенной работы школьники научатся измерять расстояние шагами и на глаз, сделают вывод о целесообразности таких измерений.

Занятие строится следующим образом:

1. Измерение расстояния на местности рулеткой - провешивание прямой. Ученикам выдаются небольшие брусочки и измерительные инструменты.

2. Измерение длины своего шага.

3. Измерение расстояния на местности шагами.

4. Измерение этого же расстояния рулеткой.

5. Сравнение результатов.

6. Измерение расстояния на глаз.

7. Подведение итогов.

Отчет

ученика (цы) ____________________________________________

класса___________________________школы_______________________

Таблица 8

№ задания	Расстояние, измеренное рулеткой, м	Количество шагов, шт.	Длина шага, м
1
2

На сколько отличаются длины, измеренные шагами и рулеткой?

_____________________________________________________________________________

Таблица 9

№ упражнения	Между какими предметами измеряется расстояние	Расстояние, измеренное на глаз, м	Расстояние, измеренное инструментом, м
1	Два бруса
2	Два дерева
3	.......

На сколько отличаются длины, измеренные на глаз и рулеткой?

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Возможно ли измерение недоступного расстояния рассмотренными способами? (Например, измерить ширину озера, реки)

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Будет ли измеренное расстояние точным?

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

В каких ситуациях можно прибегнуть к измерению расстояний шагами или на глаз?

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Литература

1. Перельман Я.И. Живая математика. Математические рассказы и головоломки.- М.: Наука, 1967.- 160 с.: ил. [17]

2. Перельман Я.И. Занимательная геометрия.- М.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1967.- 160 с.: ил. [18]

3. Прочухаев, В.Г. Измерения в курсе математики средней школы.- М.: Просвещение, 1965.- 140 с. [23]

Занятие 3. Измерительные инструменты

Учащиеся уже научились измерять расстояния без помощи измерительных инструментов. Теперь можно приступить к измерению длин, применяя различные приборы. Сначала ученикам нужно рассказать о том, что они измеряли и большие и малые расстояния, используя при этом разные меры длины. Например, для измерения малых расстояний были использованы фаланги пальцев, ладонь, измерения на глаз, а когда измеряли большие, то использовали шаги, аршин, сажень. И после этого уточнить, что существуют и различные измерительные инструменты: одни - для измерения малых длин, другие - больших, с некоторыми из которых школьники знакомы (линейка, рулетка, мерная лента).

На данном занятии нужно научить ребят пользоваться такими инструментами как штангенциркуль, рулетка, мерная вилка лесовода.

С рулеткой, линейкой и т.п. дети уже работали на предыдущих занятиях, поэтому отдельного внимания этим инструментам уделять не обязательно. А с такими приборами как штангенциркуль и мерная вилка лесовода стоит учеников познакомить. При этом важно всех ребят подготовить к этому занятию, проследить, чтобы у всех были нужные инструменты и т.д.

Учащиеся могут попробовать измерить диаметр детали: болт, гайка и др.

После этого учитель объясняет, как использовать инструмент для измерения больших длин. Одним из таких инструментов является мерная вилка лесовода.

Литература

1. Афонский, А.А. Измерительные приборы и массовые электронные измерения. Учеб. пособие / А.А. Афонский, В.П. Дьяконов.- М.: Солон-Пресс, 2007.- 544 с.: ил. [3]

2. Знаменский, М.А. Землеизмерительные инструменты и работа с ними в средней школе.- М.: Учпедгиз, 1933.- 39 с. [11]

3. Карасев, П.А. Сам измеряй и вычисляй. Линейные измерения, измерение площадей. Рабочая тетрадь по геометрии / П.А. Карасев, П.И. Попов.- Москва-Ленинград: ГИЗ, 1926.- 60 с.: ил. [13]

4. Прочухаев, В.Г. Измерения в курсе математики средней школы.- М.: Просвещение, 1965.- 140 с. [23]

Занятие 4. Измерение диаметра ствола дерева

Ученикам для размышлений предоставляется задача: измерить диаметр ствола дерева. Для этого можно применить такой инструмент как мерная вилка лесовода, с которым ученики знакомились на предыдущем занятии. С его помощью рассматриваемая задача легко решается. Также она может быть решена с использованием других средств: диаметромер-центроискатель, подручных средств (нить для измерения длины окружности). Учитель демонстрирует ученикам, как именно это делается, а затем ребята пробуют выполнить измерения сами.

Литература

1. Афонский, А.А. Измерительные приборы и массовые электронные измерения. Учеб. пособие / А.А. Афонский, В.П. Дьяконов.- М.: Солон-Пресс, 2007.- 544 с.: ил. [3]

2. Знаменский, М.А. Землеизмерительные инструменты и работа с ними в средней школе.- М.: Учпедгиз, 1933.- 39 с. [11]

3. Прочухаев, В.Г. Измерения в курсе математики средней школы.- М.: Просвещение, 1965.- 140 с. [23]

4. Перельман Я.И. Занимательная геометрия.- М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950.- 296 с.: ил. [18]

Занятие 5. Измерение недоступного расстояния между доступными точками

Учащиеся уже знают о разных способах измерения: это и измерение подручными средствами, с помощью частей тела, и измерения на глаз, и измерения с помощью специальных инструментов. Но возникают ситуации, когда результата, полученного на глаз недостаточно, а использование приборов становится невозможным. В таких случаях требуется применение различных теорем.

На данных занятиях следует рассмотреть возможность применения теорем курса геометрии при измерении расстояний на местности.

Применение равенства и подобия треугольников.

Пусть требуется измерить ширину озера. Измерить ее с помощью рулетки или другого измерительного инструмента не предоставляется возможным. Нужно построить точку С, таким образом, чтобы расстояния АС и ВС были доступными. На продолжениях АС и ВС отложить А'C = АС и B'C = BC. Соединив точки А' и B', получим ?A'B'C' = ?ABC, но расстояние A'B' мы можем измерить. Таким образом, измерим расстояние АВ.



Рис. 44

После рассмотрения задачи ученикам предлагается проделать это на местности. Школьники заполняют отчет:

Таблица 10

Построить	Измерить, м	Сравнить
Точку С
АС
А'С
ВС
B'C
A'B'

1. Ширина озера АВ равна ___________________________________________________

2. Какими теоремами курса геометрии вы пользовались?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Какими измерительными инструментами вы пользовались?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Литература

1. Прочухаев, В.Г. Измерения в курсе математики средней школы.- М.: Просвещение, 1965.- 140 с. [23]

2. Перельман Я.И. Занимательная геометрия.- М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950.- 296 с.: ил. [18]

Занятие 6. Применение свойств прямоугольного треугольника

При рассмотрении задач в решении которых помогает знание свойств прямоугольных треугольников потребуется умение строить прямые углы. В этом помогут такие инструменты как угломер или экер, поэтому следует показать учащимся, как нужно пользоваться этими инструментами.

После объяснения школьникам предлагаются задания на построение углов на местности. А уже потом переходить к измерениям расстояний на местности.

Рис. 45

Решение задач на измерение недоступных расстояний сводится к построению углов.

Применение свойств осевой симметрии.

Рис. 46

Необходимо определить недоступное расстояние АВ. Для этого нужно построить прямую MN и точки A' и B', симметричные точкам А и В относительно прямой MN. И затем уже измерить расстояние, равное расстоянию АВ.

Ученикам также может быть предложено самим составить задачу, в которой необходимо измерить недоступное расстояние между доступными точками.

Литература

1. Афонский, А.А. Измерительные приборы и массовые электронные измерения. Учеб. пособие / А.А. Афонский, В.П. Дьяконов.- М.: Солон-Пресс, 2007.- 544 с.: ил. [3]

2. Знаменский, М.А. Землеизмерительные инструменты и работа с ними в средней школе.- М.: Учпедгиз, 1933.- 39 с. [11]

3. Прочухаев, В.Г. Измерения в курсе математики средней школы.- М.: Просвещение, 1965.- 140 с. [23]

Занятие 7. Измерение расстояний до недоступной точки.

После того, как со школьниками были рассмотрены различные способы измерения недоступных расстояний следует перейти к измерению расстояний до недоступной точки.

Для этого потребуется так же знание геометрии.

Применение теоремы о зависимости между углами и сторонами треугольника.

Рис. 47

Необходимо найти расстояние между доступной точкой А и недоступной точкой В. Для этого нужно построить произвольный острый угол ВАМ. Затем на луче АМ выбираем точку С так, чтобы полученный треугольник АВС был равнобедренным, с основанием ВС. В данной работе ученикам потребуется умение использовать эккер и угломер.

Литература

1. Афонский, А.А. Измерительные приборы и массовые электронные измерения. Учеб. пособие / А.А. Афонский, В.П. Дьяконов.- М.: Солон-Пресс, 2007.- 544 с.: ил. [3]

2. Знаменский, М.А. Землеизмерительные инструменты и работа с ними в средней школе.- М.: Учпедгиз, 1933.- 39 с. [11]

3. Прочухаев, В.Г. Измерения в курсе математики средней школы.- М.: Просвещение, 1965.- 140 с. [23]

Занятие 8. Измерение расстояний между недоступными точками.

Применение теорем синусов и косинусов.

Для этого занятия можно использовать следующую задачу: необходимо измерить расстояние между двумя предметами, находящимися на другой стороне реки.

Рис. 48

Итак, для того, чтобы измерить недоступное расстояние АВ, нужно выбрать такие точки C и D, между которыми можно измерить расстояние, и таким образом, чтобы из них можно было видеть точки А и В. После чего, нужно измерить расстояние CD, углы ACD, ADC, BDC, BCD. А затем из треугольника ACD по теореме синусов найти АС, из треугольника CDB - ВС. После чего из треугольника АВС по теореме косинусов мы сможем найти и АВ.

Литература

1. Афонский, А.А. Измерительные приборы и массовые электронные измерения. Учеб. пособие / А.А. Афонский, В.П. Дьяконов.- М.: Солон-Пресс, 2007.- 544 с.: ил. [3]

2. Знаменский, М.А. Землеизмерительные инструменты и работа с ними в средней школе.- М.: Учпедгиз, 1933.- 39 с. [11]

3. Прочухаев, В.Г. Измерения в курсе математики средней школы.- М.: Просвещение, 1965.- 140 с. [23]

Занятие 9. Итоговое занятие.

На последнем занятии с учениками подводят итоги работы и выполняют практические задания на закрепление пройденного. Также с учениками могут быть рассмотрены задания на нахождение площади комнаты, например. То есть те, которые связаны с измерением расстояний на местности.

В результате этих занятий ученики понимают важность измерений, а также математики в повседневной жизни. Ученики на личном опыте убеждаются в жизненности и ценности математических знаний.

Заключение

В данной работе рассмотрен вопрос о необходимости изучения измерений геометрических величин в курсе геометрии 7 - 9 классов. В результате работы были сделаны выводы о необходимости изучения измерений геометрических величин в школе, о необходимости обучения умению использовать различные измерительные инструменты.

Была достигнута поставленная цель: мы выявили возможности использования измерений геометрических величин при изучении различных тем курса геометрии 7 - 9 классов. При достижении цели работы мы решили следующие задачи: изучение психологической и учебно-методической литературы по теме; анализ измерительных инструментов для школ; проведение классификации измерений геометрических величин; разработка методических рекомендаций для реализации основных дидактических функций на уроке математики с использованием измерений; разработка элективного курса «Измерение расстояний на местности».

В результате изучения психологической и учебно-методической литературы по теме мы сделали вывод о необходимости практической деятельности учащихся на уроках геометрии: очень важно, чтобы весь процесс обучения геометрии сопровождался практической деятельностью учеников. В результате сравнительного анализа учебников геометрии, рекомендованных (допущенных) Министерством Образования и Науки Российской Федерации к использованию в образовательном процессе в общеобразовательных учреждениях на 2008/2009 учебный год мы выделили основные этапы изучения измерений геометрических величин: пропедевтический курс (1-6 классы), основная школа (7-9 классы), старшая школа (10-11 классы).

При изучении измерений школьники знакомятся с такими методами геометрии как метод подобия, метод площадей, и используют другие методы: метод дополнительных построений, метод вспомогательного треугольника, координатный метод, метод геометрических мест, которые играют немаловажную роль в дальнейшем обучении геометрии. В различных учебниках уровень ознакомления с этими методами различный.

Также нами рассмотрены измерительные инструменты, используемые в школах. В комплект классных инструментов входит: линейка, транспортир, угольник (30є, 60є), угольник (45є, 45є), циркуль. Но учащихся также полезно познакомить и с другими инструментами: мерная вилка лесовода, кронциркуль, штангенциркуль, диаметромер-центроискатель, астролябия, палетка и др.

В соответствии с тем, какие приборы мы используем при измерении геометрической величины, мы провели классификацию измерений геометрических величин: непосредственные, косвенные, измерения с помощью информационных технологий. Также мы рассмотрели возможность применения тех или иных измерений на разных этапах урока, при достижении дидактических целей. В соответствии с которыми, выдели направления использования измерений геометрических величин в школьном курсе геометрии: при изучении нового материала; при закреплении полученных знаний; при выводе формул или установлении математических фактов; для установления межпредметных связей; для опровержения утверждений или верификации гипотезы. Привели примеры фрагментов уроков по различным направлениям использования измерений и методические рекомендации к ним.

Помимо этого, разработали программу элективного курса «Измерение расстояний на местности», который направлен на подготовку учащихся к дальнейшей профессиональной деятельности, повышение уровня понимания практической значимости геометрии, который могут использовать учителя в своей деятельности. Курс состоит из девяти занятий, на каждом из которых учащиеся знакомятся с различными измерительными инструментами, учатся работать с ними, а также знакомятся с различными способами измерений расстояний на местности.

Библиография

1. Александров, А.Д. Геометрия [Текст]: Экспериментальное учебное пособие для учащихся VII класса средних учебных заведений / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик.- М.: Мирос, 1994.- 200 с.: ил.

2. Александров, А.Д. Геометрия для 8 - 9 кл. [Текст]: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик.- М.: Просвещение, 1991.- 415 с.: ил.

3. Афонский, А.А. Измерительные приборы и массовые электронные измерения [Текст]: Учеб. пособие / А.А. Афонский, В.П. Дьяконов.- М.: Солон-Пресс, 2007.- 544 с.: ил.

4. Бескин, Н.М. Методика геометрии [Текст]: Учебник для пед. институтов / Н.М. Бескин.- М.: Учпедгиз, 1947.- 278 с.

5. Виноградова, Л.В. Методика преподавания математики в средней школе [Текст]: Учеб. пособие / Л.В. Виноградова.- Ростов н/Д.: Феникс, 2005.- 252 с.: ил.

6. Воронов, В.В. Педагогика школы в двух словах [Текст]: Учеб. пособие для студентов пед. вузов / В.В. Воронов.- М.: Педагогическое общество, 2000.- 192 с.: ил.

7. Геометрия, 7 - 9 [Текст]: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.- 16-е изд.- М.: Просвещение, 2006.- 384 с.: ил.

8. Геометрия в 7-9 классах [Текст]: Преподавание курса геометрии по учебнику А.В. Погорелова «Геометрия: 7-9» / Л.Ю. Березина, Н.Б. Мельникова, Т.М. Мищенко и др.- 2-е изд., перераб. и доп.- М.: Издательство «Экзамен», 2008.- 431с.

9. Гусев, В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике [Текст] / В.А. Гусев.- М.: ООО «Издательство «Вербум-М», ООО «Издательский центр «Академия», 2003.- 432 с.

10. Дакацьян У.В. Проверка знаний учащихся по математике [Текст]: Пособие для учителей / У.В. Дакацьян.- М.: Академия педнаук, 1963.- 88 с.

11. Знаменский, М.А. Землеизмерительные инструменты и работа с ними в средней школе [Текст] / М.А. Знаменский.- М.: Учпедгиз, 1933.- 39 с.

12. Изучение геометрии в 7, 8, 9 классах [Текст]: Метод. рекомендации к учеб.: Кн. для учителя / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков и др.- 6-е изд.- М.: Просвещение, 2003.- 255 с.: ил.

13. Карасев, П.А. Сам измеряй и вычисляй. Линейные измерения, измерение площадей [Текст]: Рабочая тетрадь по геометрии / П.А. Карасев, П.И. Попов.- Москва-Ленинград: ГИЗ, 1926.- 60 с.: ил.

14. Колягин, Ю.Г. Методика преподавания математики в средней школе [Текст]: Общая методика.: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов / Ю.Г. Колягин.- М.: Просвещение, 1975.- 462 с.

15. Методика и технология обучения математике [Текст]: Курс лекций: пособие для вузов / Н.Л. Стефанова, Н.С. Подходова, В.В. Орлов и др.- М.: Дрофа, 2005.- 416 с.: ил.

16. Методика преподавания математики в средней школе [Текст]: Частная методика: Учебное пособие для студентов пед. институтов по физ.-мат. спец. / А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост. В.И. Мишин.- М.: Просвещение, 1987.- 416 с.: ил.

17. Перельман Я.И. Живая математика [Текст]: Математические рассказы и головоломки / Я.И. Перельман.- М.: Наука, 1967.- 160 с.: ил.

18. Перельман Я.И. Занимательная геометрия [Текст]: Занимательная геометрия / Я.И. Перельман.- М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950.- 296 с.: ил.

19. Перечни учебного оборудования по кабинетам Российской Академии Образования [Электронный документ]: (http://www.ucheba.com/pos_rus/baza/baz_matem.htm) 23.11.2008.

20. Погорелов, А.В. Геометрия [Текст]: Учеб. для 7 - 11 кл. сред. шк. / А.В. Погорелов.- М.: Просвещение, 1992.- 383 с.: ил.

21. Преессман, Л.П. Методика и техника эффективного использования средств обучения в учебно-воспитательном процессе [Текст]: Книга для учителя / Л.П. Преесман.- М.: Просвещение, 1985.- 197 с.: ил.

22. Примерная программа среднего (полного) общего образования по математике [Электронный документ] / Министерство образования и науки РФ (http://window.edu.ru/window_catalog/files/r37204/08-1-s1.pdf). 20.11.2008.

23. Прочухаев, В.Г. Измерения в курсе математики средней школы [Текст] / В.Г. Прочухаев.- М.: Просвещение, 1965.- 140 с.

24. Саранцев, Г.И. Методика обучения математике в средней школе [Текст]: Учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г.И. Саранцев.- М.: Просвещение, 2002.- 224 с.: ил.

25. Саранцев, Г. Современный урок математики [Текст] // Математика в школе.- 2006.- № 7.- С. 50-55

26. Смирнова, И.М. Геометрия [Текст]: 7-9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов.- 3-е изд., стереотип.- М.: Мнемозина, 2008.- 376 с.: ил.

27. Смирнова, И.М. Геометрия. 7 класс [Текст]: Методические рекомендации для учителя / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов.- М.: Мнемозина, 2007.- 269 с.: ил.

28. Стандарт основного общего образования по математике [Электронный документ] / Министерство образования и науки РФ (http://window.edu.ru/window_catalog/files/r39261/11.pdf) 15.01.2009.

29. Темербекова, А.А. Методика преподавания математики [Текст]: Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / А.А. Темербекова.- М.: Гуманит. изд. центр Владос, 2003.- 176 с.

30. Федеральный перечень учебников на 2008-2009 учебный год. - Введ. 2007-12-13 [Электронный документ] / Министерство образования и науки Российской Федерации (http://fsu.edu.ru/p97aa1.html). 15.12.2008.

31. Шарыгин, И.Ф. Геометрия [Текст]: 7 - 9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / И.Ф. Шарыгин.- 7-е изд., стереотип.- М.: Дрофа, 2004.- 368 с.: ил.

32. Шапиро, И.М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики [Текст]: Кн. для учителя / И.М. Шапиро.- М.: Просвещение, 1990.- 96 с.: ил.

33. The geometer's sketchpad [Электронный ресурс] Живая геометрия. Версия 4.04. Русскоязычная версия (http://math66.ucoz.ru/load/2-1-0-6). 07.03.2009.

Размещено на Allbest.ru