Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

а) Сначала рассмотрим случай, когда дискриминант . В этом случае знак квадратного трёхчлена совпадает со знаком , и поскольку этот трёхчлен положителен (в силу условия равенство трёхчлена нулю невозможно), то .

Таким образом, мы можем сделать следующую подстановку:

(или ) (10)

Подстановку (10) иногда называют первой подстановкой Эйлера. Докажем, что эта подстановка рационализирует функцию (9) в рассматриваемом случае. Возводя в квадрат обе части равенства

(заметим, что ), получим , так что

,

где функции и рациональные. Таким образом,

.

В правой части полученного равенства стоит рациональная функция.

б) Рассмотрим теперь случай, когда дискриминант , то есть квадратный трехчлен имеет (различные) действительные корни и . Следовательно,

.

Аналогично предыдущему доказывается, что в этом случае функция (9) рационализируется посредством подстановки:

, (11)

называемой часто второй подстановкой Эйлера.

Замечание 1. Рационализирующая подстановка (11) справедлива при условии . Следовательно, применяя эту подстановку при решении иррационального уравнения, необходимо проверить, не является ли значение корнем данного уравнения (иначе возможна потеря этого корня).

Замечание 2. Если , то в этом случае можно положить

(или ) (12)

Ответ: , .

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. В данном уравнении дискриминант квадратного трехчлена положителен, корни его и . Найдем другие корни подстановкой

.

Применяя эту подстановку, необходимо проверить, не является ли значение корнем данного уравнения. Итак, - корень данного уравнения.

Возводя в квадрат обе части равенства , получим , откуда . Теперь подставим это значение в исходное уравнение и последовательно получаем:

и исходное уравнение сводится к уравнению , или . Это уравнение имеет единственный действительный корень , тогда . Итак, исходное уравнение имеет два корня: и .

Ответ: , .

5. Рационализация с помощью тригонометрических подстановок

Иногда подходящей заменой неизвестной иррациональное уравнение можно свести к тригонометрическому уравнению. При этом полезными могут оказаться следующие замены переменной. [17]

1). Если в уравнение входит радикал , то можно сделать замену , или , .

2). Если в уравнение входит радикал , то можно сделать замену tg t, или ctg t, .

3). Если в уравнение входит радикал , то можно сделать замену , или , .

Проиллюстрируем использование этих замен на следующих примерах.

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. В данное уравнение входит выражение , поэтому в соответствии с пунктом 2, сделаем замену

tg t, где .

Тогда выражение , входящее в уравнение, можно преобразовать

и исходное уравнение можно записать в виде

.

Поскольку не равен нулю при рассматриваемых значениях t, то полученное уравнение равносильно уравнению

.

Решая это уравнение, находим два возможных значения

и .

Из всех корней этих уравнений промежутку принадлежит единственное значение .

Поэтому соответствующее значение x равно

.

Ответ. .

Пример 6. Решить уравнение .

Решение. В этом уравнении x по ОДЗ может принимать только значения из отрезка , что приводит к мысли совершить замену

, где .

В результате такой замены приходим к уравнению

.

Учтем, что

и ,

получим уравнение

.

В силу ограничения выполнено , поэтому приходим к уравнению

,

которое, пользуясь формулой приведения, сведем к стандартному виду

.

Решая последнее уравнение, находим

или , .

Условию удовлетворяют лишь три значения

, , .

Поэтому

, , .

Ответ. , , .

В заключение нужно отметить, что способ рационализации успешно может быть применён также для рационализации иррациональных неравенств, для вычисления и преобразования иррациональных выражений и так далее.