Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

кривая школьный математика

В курсе математического анализа разработана универсальная схема исследования функций вида y=f(x) и построения графиков этих функций. В школьном курсе математики выделены некоторые элементы этой теории. А вопросы, связанные с исследованием функций, заданных неявно, в школьном курсе не рассматриваются, да и в Вузовском курсе, по понятным причинам, не уделяется должного внимания. И в курсе «дифференциальной геометрии» исследованию плоских линий, в настоящие время, уделяется недостаточное внимание.

Тема данной работы «Исследование линий на плоскости. Приложения к школьному курсу математики». Тема достаточно актуальна в геометрии и в других разделах математики в том числе в школьном курсе. Это объясняется тем, что как в Вузовских, так и в школьных программах на эту тему выделяется малое количество академических часов.

Целью данной работы и является, рассмотрение основных вопросов данной теории и приложения данной теории к школьному курсу математики. При этом мы будем рассматривать только плоские кривые.

Исходя из данной цели, были поставлены следующие задачи:

- изучить основную литературу по данной теме;

- рассмотреть основные вопросы теории (понятие линии, исследование линий на плоскости);

- рассмотреть отдельные вопросы методики изучения линий на плоскости в школьном курсе математики;

- применить данную теорию к разработке соответствующего спецкурса для средней школы геометрии;

- разработать урок по данной теме.

Структура выпускной квалификационной работы: работа состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка и приложения.

В первой главе рассмотрены основные понятия теории кривых, а также способы задания кривой.

Во второй главе рассмотрены некоторые вопросы методики изучения кривых на плоскости в школьном курсе математики.

В заключении рассмотрены отдельные вопросы, которые требуют дальнейших разработок.



1. Основные понятия теории кривых

1.1 Понятие кривой

Если для любого по определенному правилу (закону) поставлен в соответствии единственный элемент , то говорят, что задано отображение (или функция).

Отображение топологического пространства называется гомеоморфизмом (или топологическим отображением), если:

1. f - биекция

2. f и f^-1 - непрерывны.

Далее мы рассматриваем множество с естественной топологией. Открытыми множествами U называем открытые шары (на U - интервал, на U - открытый круг, на U - открытый шар).

Окрестностью точки называем любое открытое множество. - окрестностью точки () называют открытый шар с центром в точке x и радиусом ().

Понятие отображения фигуры (множества точек) известно из элементарной геометрии. Если каждую точку фигуры F сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру F'. Говорят, что она получена преобразованием из фигуры F. Преобразование фигуры F переводит близкие точки фигуры F в близкие точки фигуры F'?. Это значит, что если точка X фигуры F переходит в точку X'? фигуры F'?, то каково бы ни было ?е > 0, существует д > 0 такое, что любая точка Y фигуры F, которая отстоит от X на расстоянии меньшем д, переходит в точку фигуры F', которая отстоит от X' на расстоянии меньшем е. Преобразование, переводящее различные точки фигуры F в различные точки фигуры F', называется топологическим, если это преобразование и обратное к нему преобразование фигуры F' в F непрерывны. Преобразование фигуры называется локально топологическим, если оно является топологическим в достаточно малой окрестности каждой ее точки.

Дадим теперь несколько определений, относящихся к понятию кривой. Элементарной кривой мы будем называть фигуру, полученную топологическим отображением открытого отрезка. Простой кривой будем называть фигуру, каждая точка которой имеет пространственную окрестность такую, что часть фигуры, содержащаяся в этой окрестности, является элементарной кривой (рис. 1). Общей кривой мы будем называть фигуру, полученную локально топологическим отображением простой кривой. Общая кривая на рисунке 2 получается локально топологическим преобразованием окружности.

Ввиду таких определений, изучение любой кривой «в малом» сводится к изучению элементарной кривой. Пусть г - элементарная кривая, являющаяся топологическим преобразованием отрезка AB. Если на прямой AB как на числовой оси ввести координату t, то преобразование отрезка AB в кривую г можно задать уравнениями

(*)

где - непрерывные функции, причем для различных значений t' и t»

Уравнения (*) мы будем называть уравнениями кривой г в параметрической форме (t - параметр). Элементарная кривая допускает различные задания в параметрической форме. Например, кривую г можно задать уравнениями:



где - любая непрерывная строго монотонная функция от .

Кривую г мы будем называть регулярной (k раз дифференцируемой), если она допускает регулярную параметризацию, т.е. задание уравнениями в параметрической форме

,

где - регулярные (k раз дифференцируемые) функции, удовлетворяющие условию

При k=1 кривая называется гладкой.

Кривая называется аналитической, если она допускает аналитическую параметризацию (функции - аналитические).

Некоторые кривые при подходящем выборе осей координат допускают параметрическое задание вида

,

или, что то же,

.

Эта параметризация иногда оказывается очень удобной для исследования кривой. В связи с этим возникает вопрос: когда кривая хотя бы «в малом» допускает такую параметризацию? Ответ на этот вопрос дает следующее предложение:

Теорема 1. Пусть г - регулярная кривая,

- ее регулярное параметрическое задание в окрестности точки , соответствующей , то в достаточно малой окрестности точки кривая может быть задана уравнениями

где - регулярные функции от x.

1.2 Некоторые способы задания плоской кривой

Кривая г на плоскости у задана явно, если в некоторой прямоугольной системе координат Oxy (ПДСК) одна из текущих координат её точки представляется в виде однозначной явной функции от другой координаты, т.е. имеет аналитическое представление в виде непрерывных функций, имеющих непрерывные производные к-го порядка:

(1)

Кривая г на плоскости у задана неявно, если в некоторой ПДСК кривая представлена уравнением вида

, (2)



неразрешимым ни относительно х, ни относительно у, при этом уравнение (2) называется неявным уравнением кривой.

Теорема. Пусть функция F (x, y) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки , обращается в нуль в точке , т.е. , и при постоянной x функция монотонно возрастает (или монотонно убывает) с возрастанием у. Тогда:

1. В некоторой окрестности точки уравнение (2) определяет у как однозначную функцию от х ();

2. При эта функция принимает значение ();

3. Функция непрерывна.

Следствие 1. Если в точке кривой (2) выполнено условие или , то существует окрестность этой точки, в которой кривая г может быть представлена явным уравнением (1) того или другого вида, при этом функции f или g и их производные или непрерывны.

Следствие 2. Точки , для которых выполняются сразу оба условия

(3)

имеют ту особенность, что в их окрестности кривая г не может быть представлена явным уравнением ни , ни .

Точки кривой г, удовлетворяющие уравнению (3), называют особыми, а остальные точки кривой называют обыкновенными.

Если зависимость у от х не задана уравнениями (1) или (2) (т.е. задана непосредственно), а задана зависимость обеих переменных х и у от некоторой третьей, вспомогательной, переменной (называемой параметром):



(4)

то предполагая, что эти функции имеют производные и , и для функции существует обратная функция , имеющая производную, то тогда у является функцией от х:

(5)

для которой также существует производная .

Если при этом рассматривать х и у как ПДСК на плоскости у, то уравнение (4) каждому значению параметра t ставят в соответствие некоторую точку, которая с изменением t описывает кривую .

Уравнения (4) называют параметрическими уравнениями кривой г на плоскости у.

Рассмотрим точку кривой г, заданной параметрическими уравнениями (4). Тогда данная точка определяется значением параметра. Пусть при . Тогда в окрестности t₀ производная - по непрерывности будет сохранять тот же знак, т.е. функция будет монотонной в указанной окрестности точки t₀. При этих условиях можно t рассматривать как однозначную функцию от х: , непрерывную и имеющую непрерывную производную . Подставляя эту функцию вместо t в выражение для y, получим зависимость y от x:

где, как и в случае неявного задания, функция f непрерывна вместе с производной и мы в определенной окрестности точки плоскости у выразим явным уравнением некоторую часть кривой г, примыкающей к взятой точке t₀ (точке ).

Если предположить, что , но , то также получим явное задание определенной выше части кривой г, с той только разницей, что получится явное задание уравнения вида .

Лишь в том случае, когда одновременно

(6)

кривая г в окрестности рассматриваемой точки может оказаться не представимой явным уравнением.

Такую точку кривой г называют особой.

Может случиться так, что все выше сказанное об обыкновенной точке , т.е. такой, для которой не выполняются условия (6), предполагает еще, что эта точка получается только при одном значении параметра t=t₀.

Такую обыкновенную точку кривой г называют простой точкой.

Если точка является кратной, т.е. отвечает двум или нескольким параметрам t, то в ней, вообще говоря, пересекались бы два или более участков кривой г, определяемые значениями t (t=t₁, t=t₂ и т.д.). В этом случае всю кривую в окрестности точки (x₀, y₀) опять-таки нельзя было бы представить явным уравнением.

Кратные точки кривой г также называют особыми.

Замечание. Для замкнутой кривой заданной параметрически, точку - точку замыкания, которая отвечает двум кратным значениям параметра t, не считают кратной (особой).

Пример окружности:

.

Точку окружности, отвечающую значениям параметра , мы не считаем кратной.

Замечание. Геометрически образы, определяемые уравнениями (1), (2) и (4), в целом могут значительно разниться по своему виду, но в малом, в окрестности обыкновенной (а в случае параметрического задания (4) и простой) точки, все они могут быть заданы уравнением вида (1).

1.3 Неявное задание кривой

Рассмотрим геометрическое место точек M (х, у), координаты которых удовлетворяют уравнению:

, (7)

где функция F (x, у) непрерывно дифференцируема по обоим аргументам в области U на плоскости xy.

Для того чтобы можно было утверждать, что это геометрическое место точек в окрестности некоторой точки М₀ области U образует линию (простую дугу), надо задать начальную точку М₀(х₀, у₀), координаты которой удовлетворяют уравнению (1) и не обращают в нуль одновременно обе частные производные:

. (8)

Теорема 1. Пусть уравнение (7) допускает начальную точку ; функция непрерывно дифференцируема по каждому аргументу в окрестности начальной точки , и производная в этой точке отлична от нуля:

.



Тогда существует одна и только одна функция , которая в некоторой окрестности начальной точки удовлетворяет уравнению (7) и при принимает значение . Эта функция имеет в данной окрестности непрерывную производную

.

Доказательство данной теоремы следует из теорем о существовании неявной функции и её дифференцируемости. [12 пп. 206, 207]

Итак, угловой коэффициент касательной равен , но тогда уравнение касательной в точке принимает вид:

, (9)

а уравнение нормали имеет вид:

. (10)

Следствие. Уравнение

,

где F (x, y) - функция, допускающая в области U плоскости непрерывные частные производные по обоим аргументам, не обращающиеся одновременно в нуль, определяет в этой области регулярный кусок кривой, если найдется в ней хотя бы одна точка М₀(х₀, у₀), координаты которой, удовлетворяют уравнению.

1. Особые точки

Мы предполагаем, что функция F (х, у) непрерывно дифференцируема три раза по обоим аргументам.

Условие регулярности кривой (7) нарушается в точках, где обе частные производные первого порядка равны нулю:

. (11)

Следовательно, подлежат исследованию точки, координаты которых удовлетворяют трем уравнениям: (7), (11). Если в такой точке не все производные 2-го порядка равны нулю, то точка называется двойной.

1. Касательные в двойной точке.

Через двойную точку М₀ может проходить не более двух ветвей кривой с угловыми коэффициентами касательных , определяемыми уравнением

, (12)

где .

2. Изолированная точка.

Введем обозначение

.

Если , то в достаточно малом круге с центром M₀, кроме этой точки, нет других, координаты которых удовлетворяли бы уравнению (7).

Особая точка называется изолированной.

3. Точка самопересечения.

Если < 0, то через точку M₀ проходят две простые дуги с различными касательными (уравнение (12) имеет два различных корня к₁ и к₂).

Особая точка называется точкой самопересечения (узел).

4. Точки возврата и самоприкосновения.

Если в точке кривой (7) =0, то для исследования поведения кривой вблизи данной точки требуются более сложные рассуждения с привлечением производных 3-го (а порой и более высокого) порядка. Рассмотрим основные возможности, которые здесь представляются.

1) Вблизи точки , кроме неё самой, нет точек кривой, т.е. - изолированная точка (как и в п. 2).

2) Через точку проходят две ветви кривой, имеющие в ней общую касательную.

a) Точка - точка самоприкосновения

b) Точка - точка возврата первого рода

c) Точка - точка возврата второго рода

2. Асимптоты

Для отыскания асимптот, параллельных оси абсцисс, надо искать предельное значение ординаты y=b при . Если кривая - алгебраическая (F (x, у) - многочлен), то достаточно приравнять к нулю коэффициент при старшей степени х. Если полученное уравнение допускает решение y=b_i, то оно даст все асимптоты:



.

Действительно, если собрать члены с одинаковыми степенями х и записать уравнение кривой в виде

,

то, деля любые части уравнения на x^p:

и переходя к пределу при , , заметим, что все функции обратятся в и сохранят конечные значения, следовательно, все члены уравнения, имеющие делителем х, обратятся в нуль, и для определения b мы получим уравнение

.

Аналогично находятся асимптоты, параллельные оси ординат.

Чтобы найти асимптоты, не параллельные осям координат ,

надо найти пределы .

Полагая , подставляя в уравнение и исключая ординату, мы получаем уравнение:



надо найти

.

Аналогично, полагая

,

исключаем из уравнения F (x, у)=0 ординату у. Поскольку k известно, получаем уравнение:

и снова имеем:

.

1.4 Приложение теории к решению задач

I. Построить кривую (а)

Решение. Искомое уравнение содержит только один член с третьей степенью и этот член имеет коэффициентом единицу. Следовательно, нет асимптот, параллельных оси х. Действительно, деля на х³, получим:

.

Переходя к пределу и предполагая, что при этом у сохраняет конечное значение, придем к невозможному равенству 1=0.

Зато уравнение содержит два члена с высшей степенью y². Деля на y² и переходя к пределу предполагая, что х сохраняет конечное значение, получим в пределе .

Это будет уравнение асимптоты, параллельной оси ординат. Дифференцируя правую часть уравнения

по x и по y, получим

.

Мы видим, что F_x как сумма трех положительных чисел не обращается в нуль. Следовательно, кривая не имеет касательных, параллельных оси абсцисс.

Производная F_y обращается в нуль при х=1; это соответствует найденной асимптоте. Кроме того, F обращается в нуль и касательная становится параллельной оси у при пересечении оси кривой с осью абсцисс y=0.

Уравнение (а) при этом принимает вид:

Второй множитель, очевидно, отличен от нуля (сумма положительных чисел), а первый показывает, что кривая пересекает ось абсцисс в начале координат, касаясь, следовательно, оси ординат.

Уравнение (а) может быть разрешено относительно у²:



.

Так как в левой части стоит квадрат, то правая часть должна быть положительна. Второй множитель числителя, x²+1, всегда положителен. Значит, должно быть:

или , или .

Отсюда следует, что х не может быть отрицательным (ибо отрицательное число - меньше всякого положительного числа) и, значит, x<1 (чтобы было больше единицы).

Итак, кривая существует только для значений х в интервале

Следовательно, абсцисса х не может расти до бесконечности.

II. Построить график функции , заданной неявно

Решение. Рассмотрим такую функцию . Частная производная F по x равна .

При y > 0: производная больше нуля при , и меньше нуля при , т.е. точка минимума. Найдем значение F в точке минимума . Это значит при y > 0 будет F (x, y) > 0 при всех x, то есть решений у уравнения в области y > 0 нет.

При y=0 равенство обращается . Это уравнение также не имеет решений.

При y < 0: производная функции будет больше нуля при всех x, то есть функция монотонно растёт с ростом x. При больших по модулю отрицательных x функция примерно равно - xy, то есть меньше нуля. При больших по модулю положительных x функция примерно равно , т.е. больше нуля. Следовательно, при любом y < 0 искомое уравнение будет иметь ровно один корень (в силу монотонности F (x, y), корней не может быть больше одного, а в силу того, что F (x, y) меняет знак, хотя бы один корень есть).

В силу того, что корень уравнения при любом y < 0 лежит на диапазоне x < 0.

Далее рассмотрим полный дифференциал функции.

для искомого графика df = 0, т.е. . Кроме того, для точек искомого графика значит



С учётом того, что для всех точек графика x < 0, y < 0 отрицательно вычислим вторую производную

При x < 0, y < 0 это выражение отрицательно. При x стремящемся к минус бесконечности, стремится к нулю.

Если x достаточно велико по сравнению с y, y будет близко к .

На основании всего вышеизложенного можно сказать о графике следующее

График расположен в третьей четверти

(x < 0, y < 0)

График является убывающей функцией

()

График функции является выпуклым вверх

()

В силу симметрии уравнения график является симметричным относительно y=x (рис. 7)

График имеет асимптоту y=0

III. Найти производную неявно заданной функции

Решение. Продифференцируем обе части данного выражения по х, учитывая, что у функция от х и производная от неё берется как от сложной функции

Выразим из этого равенства

Ответ:

IV. Построить кривую (а)

Решение. Так как уравнение кривой не содержит свободного члена и членов первой степени, то начало координат - особая точка. Пара касательных вначале определяется уравнением x²+y²=0. Касательные мнимы. Особая точка - изолированная.

Кривая имеет асимптоту, параллельную оси ординат (x=1), ибо для этого значения х коэффициент при у² обращается в нуль. Кроме того, она имеет две асимптоты, не параллельные осям координат. Действительно, если разделить уравнение (а) на x³ и перейти к пределу , то получим для уравнение

т.е.

С другой стороны, внося

в уравнение (а) и помня, что k² = 1 получим:

,

откуда при и имеем:

ибо .

Значит, кривая имеет две асимптоты:

Они пересекают кривую в общей точке x=-1, у=0.

Так как уравнение (а) содержит у только в квадрате, то кривая симметрична относительно оси х. С другой стороны, разрешая уравнение относительно у²



видим, что ордината будет действительной, кроме начала координат, только вне отрезка

,

единственное исключение - особая точка x=0, у=0, откуда еще раз видно, что эта точка - изолированная.

Дифференцируя, имеем:

откуда

Касательная параллельна оси ординат, если

1) y=0 или 2) x=1.

В первом случае мы найдем, кроме особой точки (0, 0), точку пересечения асимптот х=-1, у =0; во втором мы придем к несобственной точке.

Касательная параллельна оси абсцисс, если

Внося это значение в уравнение (а) и сокращая на х (что соответствует исключению особой точки), получим:



откуда:

.

Только первый корень приводит к действительному значению ординаты у.

Имеем таблицу опорных точек (рис. 8):

	x	Y	k
O	0	0	Изолированная точка
M1	-1	0
M2	1.6	3.2	0

V. Построить кривую (а).

Решение. Кривая имеет в начале особую точку. Пара касательных определяется уравнением . Значит, кривая касается оси ординат. Как как члены третьей степени имеются () и не делятся на , то в начале координат - точка возврата первого рода.

Так как y, очевидно, должно быть положительно, то кривая в окрестности начала лежит выше оси абсцисс.

Кривая имеет асимптоту. Деля уравнение (а) на и переходя к пределу , , получим:

Полагая и внося в уравнение (а), получим

.

Деля на и переходя к пределу , , получим:

Отсюда асимптота:

.

Она пересекается с кривой в точке

.

Кривая имеет с осью ординат только одну общую точку - особую; ось абсцисс она пересекает еще в точке (1,0).

Дифференцирую, имеем:



.

Откуда:

.

Касательная параллельна оси абсцисс в точке

.

Она параллельна оси ординат только в точках пересечения кривой с осью абсцисс.

Имеем таблицу опорных точек



2. Некоторые вопросы методики изучения линий на плоскости в школьном курсе математики

2.1 Понятие линии (кривой) в школьном курсе математики

Первоначальные сведения о кривых дают наблюдения, связанные с натянутой нитью и дальнейшим её «искривлением».

Строгое определение линии (кривой), в широком понимании, дается в курсе «Дифференциальной геометрии и топологии», изучаемого студентами-математиками классических и педагогических специальностей университетов и педагогических ВУЗов.

Понятно, что в школьном курсе математики, а также в некоторых курсах анализа (высшей математики) ВУЗов, понятия линии и поверхности приходится рассматривать нестрого, т.е. интуитивно подразумевают под линией (кривой) фигуры, типа прямой, окружности, параболы синусоиды и т.д.

В физике рассматривается движение материальной точки в той или иной системе координат (ПДСК, полярной и т.д.) в зависимости от особенностей решаемых задач. При этом в выбранной системе отсчета устанавливается положение движущейся точки (на плоскости или в пространстве) для каждого момента времени.

Говорят, что множество точек (плоскости, пространства), через которые прошла материальная точка, образует линию, которую называют траекторией движения [1].

Данный вопрос тесно связан с методикой изучения метода координат. ([9], стр. 134).

Условиями, определяющими линию г в данной ПДСК на плоскости, являются уравнения, неравенства или их системы, но, как правило, рассматривают уравнение линии



. (13)

Линия называется алгебраической, если в уравнении (13) - многочлен от переменных х и у, т.е. сумма членов вида

.

Число (при ) называется степенью одночлена.

Степенью многочлена называется наивысшая степень его членов.

Порядком алгебраической линии называют степень многочлена, определяемого уравнением (13).

Теорема. Понятие алгебраической линии, а также порядок линии не зависят от выбора ПДСК.

Примеры алгебраических линий в школьном курсе математики:

1. Линия первого порядка (прямая)

.

2. Линия второго порядка:

a) Парабола ;

b) Окружность

3. Линия n-го порядка:

Замечание: Уравнение (13) рассматривают как уравнение линии, подразумевая при этом только то, что на плоскости существует линия г, координаты (х, у) каждой точки которой удовлетворяют уравнению (13). При этом на плоскости могут существовать точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (13), но они не составляют линию.

Пример:

(14)

Фигура F, заданная уравнением (14) состоит из двух точек , которые не составляют линию, и прямой .

(15)

фигура, заданная уравнением (15), не является линией.

2.2 Некоторые вопросы методики изучения линий на плоскости в школьном курсе математики

В учебниках геометрии А.В. Погорелова; Л.С. Атанасяна и другие используется один и тот же вариант изложения метода координат на плоскости. Но роль координатного метода в этой учебной литературе не одинакова. Учебник Л.С. Атанасяна ограничивается незначительным использованием координат в изложении геометрии, в то время, в учебнике А.В. Погорелова для изучения геометрии используется координатный метод. Он широко использует его при доказательстве теорем, вводе определении и понятий. А.В. Погорелов в своем учебнике использует метод координат на плоскости по схеме: введение координат, координаты середины отрезка, расстояние между точками, уравнение окружности, уравнение прямой, координаты вектора. Атанасян излагает метод координат по другой схеме: координаты вектора, простейшие задачи в координатах, уравнения окружности и прямой.

Учащиеся уже знакомы с прямоугольной системой координат, поэтому введение этого понятия не вызывает трудностей. Основное внимание должно быть обращено на усвоение соответствующей терминологии и на формирование умения вычислять координаты заданной точки, строить точку по ее координатам, оптимально выбирать систему координат.

В перечисленных учебниках есть задачи на нахождение координат середины отрезка и расстояния между двумя точками.

С уравнениями некоторых фигур учащиеся знакомы из курса алгебры. Поэтому ознакомление с понятием уравнения фигуры осуществляется в процессе обобщения и систематизации знаний учащихся. В учебнике Погорелова [7] уравнением фигуры в декартовых координатах называется уравнение с двумя неизвестными х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки фигуры. И обратно, любые два числа, удовлетворяющие этому уравнению, являются координатами некоторой точки фигуры. Для утверждения, что некоторое уравнение является уравнением фигуры F, нужно доказать, что а) координаты любой точки фигуры F удовлетворяют уравнению , б) любые два числа, удовлетворяющие уравнению , являются координатами некоторой точки фигуры F.

В учебнике Анатасяна [3] уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии. Для утверждения, что некоторое уравнение является уравнением фигуры F, нужно доказать, что а) координаты любой точки фигуры F удовлетворяют уравнению ; б) если точка М не принадлежит фигуре F, то ее координаты не удовлетворяют уравнению , т.е. .

Таким образом, в учебнике Погорелова логическая структура определения уравнения фигуры является конъюнкцией прямого и обратного утверждения, в учебнике Анатасяна - конъюнкцией прямого и противоположного ему утверждений. Логическая структура определения обусловливает характер пропедевтики. Так, в учебнике Погорелова при повторении и систематизации знаний, полученных в курсе алгебры, следует акцентировать внимание учащихся на том, что, например уравнение является уравнением параболы, так как координаты любой точки параболы удовлетворяют уравнению и любые два числа, удовлетворяющие , являются координатами некоторой точки параболы, не забывая обратить внимание учащихся на то, что координаты любой точки, не лежащей на данной кривой, не удовлетворяют данному уравнению.

В работе [9, гл. VII] рассмотрены вопросы, связанные с ролью координатного метода, его компонент, а в качестве примера приведена задача, при решении которой мы получаем кривую, приведенную в примере 2 параграфа 1 глава 2.

2.3 Исследование функции и построение графиков в школьном курсе математики

1. А.Г. Мордкович и др. «Алгебра и начала математического анализа» 10-11 класс

В учебнике Мордкович и др. для 10-11 классов базового уровня [6] тема посторонние графиков функций описывается в 5 главе «Производная». Перед самой темой «построение графиков функций» идет объяснение таких тем, как: предел последовательности, сумма бесконечной геометрической прогрессии, предел функции, определение производной, вычисление производных, уравнение касательной к графику функции, применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы. После этого списка идет тема «построение графиков функций» и завершающий параграф в главе «применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции».

Каждый параграф, по идеи авторского состава, является академическим часом. Но большие для восприятия учениками параграфы разделены на подпункты, которые так же должны быть пройдены классом за академический час.

Почти все параграфы в данной главе построены по схеме:

1. Рассматривается частный случай

2. Вводятся определения, теоремы, частные случаи и т.д.

3. Рассматриваются несколько примеров, причем иногда пример может быть рассмотрен из темы, которая находится впереди учебного плана, но в этой же главе. Благодаря чему происходит актуализация знаний учащихся.

4. И в конце параграфа авторы учебника дают для учащихся алгоритм для исследования функции на критерий, описанный в параграфе. Т.о. они одновременно и подводят итог темы, и выделяют коротко необходимый материал для завершающего параграфа.

Сам параграф «построение графиков функций» начинается с того, что Мордкович напоминает читателям, что раннее ученики строили графики функции «по точкам», т.е. для заданной функции находили контрольные точки. Автор пишет, что данный метод хорош в тех ситуациях, когда есть представление или некоторый эскиз графика функции, но бывают ситуации, когда нет эскиза графика функции. После перечисляет «важные точки графика функции». А именно стационарные и критические точки, точки экстремума, точки пересечения графика с осями координат, точки разрыва функции.

В качестве конкретного алгоритма исследования функции для построения графика, редакция предлагает использовать их облегченный способ. Данный алгоритм состоит из 5 пунктов.

1. Если функция непрерывна на всей числовой прямой, то достаточно найти стационарные и критические точки, точки экстремума, определить монотонность, точки пересечения графика с осями координат

2. Если функция определена не на всей числовой прямой, то исследование стоит начитать с области определения функции и указания точек разрыва

3. Исследовать на четность / нечетность

4. Определить есть ли горизонтальная асимптота графика функции. Определять надо с помощью предела: , где - искомая функция, а асимптота совпадет с

5. Определить есть ли вертикальная асимптота графика функции. Если знаменатель обращается в нуль, а числитель отличен от нуля, тогда является вертикальной асимптотой графика функции f(x)

Таким образом, Мордкович и др. представил отличный учебник для учеников 10-11 классов, благодаря которому дети могут получить необходимые знания из раздела предела, производной, а так же опираясь на данный материал построить график функции.

2. Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и другие «Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы»

В этой книге [2] учебник и задачник не разделены, задачи идут после параграфа, а так же в конце главы есть закрепляющие упражнения.

В данной учебной литературе исследованию функции уделена целая глава, она так и называется «Применение производной к исследованию функций». Предполагается, что учащиеся уже знакомы с производной, и только при этом условии можно продолжать обучение.

Глава состоит из 5 параграфов: возрастание и убывание функции, экстремумы функций, применение производной к построению графиков функций, наибольшие и наименьшее значение функции, выпуклости графика функции.

В первом параграфе главы автор знакомит учеников с возрастанием и убыванием функции. Рассмотрев 2 примера, делается вывод, что производная функции больше (меньше) нуля, то функция возрастает (убывает) на некотором промежутке. Далее идет знакомство с теоремой Лагранжа, но без доказательства, а также следствие теоремы.

Во втором параграфе главы речь идет об экстремумах функции. Учащимся даются определения точек максимума, минимума, экстремума, стационарных, а также теорема Ферма.

В следующем параграфе главы показывается как строить график функции с помощью производной. Способ подачи материала в данном параграфе основан на задачах-примерах. Разобрав 1 задачу, авторы дают читателю свой алгоритм исследования функции для построения графика. По их алгоритму нужно найти:

1. Область определения функции

2. Производную функции

3. Стационарные точки

4. Промежутки возрастания и убывания функции

5. Точки экстремума и значения функции в этих точках

Учащимся предлагается результаты исследования оформлять в виде таблицы. Так же дается совет, что у четных (нечетных) функций можно построить часть при , а затем отобразить относительно оси ординат.

В четвертом параграфе рассматривается вопрос о наибольшем и наименьшем значении функции. Он разделен на 3 подпункта. В первом подпункте дается алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке. Для нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке нужно сравнить значения функции в точках максимума (минимума) и на концах отрезка. Во втором подпункте аналогичный вопрос, только вместо отрезка дается интервал. Третий подпункт дается со знаком «*», это значит, что он необязателен для изучения. В нем дается утверждение, что если значения функции неотрицательны на некотором промежутке, то эта функция и функция , где n - натуральное число, принимают наибольшее (наименьшее) значение в одной и той же точке. Опираясь на данные этого утверждения, в учебнике разбирается несколько задач.

В последнем параграфе рассматривается выпуклость и точки перегиба функции. Этот параграф также обозначен знаком «*», и он тоже состоит из 3 подпунктов. В первом подпункте рассказывается производная второго порядка. Во втором подпункте речь идет о выпуклости функции, даются понятия функции выпуклой вверх, выпуклой вниз. Последний подпункт называется «точки перегиба». Учащимся дается определение точки перегиба: «в точке перегиба дифференцируемая функция меняет направление выпуклости».

Подведя итог по данному учебному пособию, можно сказать, что в нем тема «исследование функции», в отличие от учебника Мордковича, выделена в отдельную главу, также представленный алгоритм исследования функции проще. Среди упражнений для решения часто встречаются междисциплинарные задачи.

3. А.Н. Колмогоров и другие «Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10-11 кл.»

Учебник [5] написан на высоком научном уровне, основные теоретические положения иллюстрируются конкретными примерами. Каждый пункт книги содержит образцы решения типичных задач, соответствующих обязательному уровню подготовки по данной теме, и более трудные задачи для учащихся, хорошо и отлично усвоивших пройденный материал. Вопросы и задачи на повторение, которыми заканчивается каждая глава учебника, позволят учащимся проконтролировать свои знания и умения по основным темам курса, а также могут быть использованы учителем при проведении итогового опроса или зачета.

Для производной в учебнике уделена отдельная глава, которая состоит 3 параграфов, историческая справка, причем выделен отдельный параграф для исследования функции и построения графика функции.

Этот параграф разделен на 4 подпункта:

1. Признак возрастания (убывания) функции

2. Критические точки функции, максимумы и минимумы

3. Примеры применения производной к исследованию функции

4. Наибольшее и наименьшее значение функции

В первом подпункте, в начале дается достаточный признак возрастания (убывания) функции. Доказательство этих признаков проводится на основании формулы Лагранжа (который был рассмотрен ранее в п. 19). После теории автор рассматривает 2 примера и дает упражнения для классной или самостоятельной работы.

В следующем подпункте рассматриваются «критические точки функции». Дав определение критических точек и рассмотрев 2 графика-примера, формулируется теорема Ферма. Автор дает 2 примера и после этого вводит признак максимума (минимума) функции, также дает упрощенную формулировку этого же признака.

В третьем параграфе рассматривается сама методика построения графика после исследования функции. В самом начале параграфа дается алгоритм построения графика функции:

1. Найти область определения функции

2. Выяснить является ли функция четной / нечетной; является ли периодической

3. Определить точки пересечения графика с осями координат

4. Определить промежутки знакопостоянства

5. Определить промежутки возрастания и убывания

6. Определить точки экстремума и значения f в этих точках

7. Исследовать поведение функции в окрестности «особых» точек

Все знания, необходимые для исследования, ученик получил ранее, во время изучения предыдущих тем.

После алгоритма автор рассматривает примеры, которые служат как образцы.

В последнем пункте параграфа рассматривается вопрос нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. В самом начале формулируется теорема Вейерштрасса о наибольшем или наименьшем значении функции на отрезке. После дается правило отыскания наибольшего или наименьшего значения функции. Далее рассматривается 2 примера, второй является междисциплинарной отсылкой.

Учебник А.Н. Колмогорова и других авторов подходит для более глубокого изучения математики в школе. Автор дает более глубокие познания в математическом анализе, чем ранее рассмотренные методические пособия.

2.4 Исследование некоторых плоских линий, заданных неявно, в школьном курсе математики

Некоторые примеры линий, заданных неявно, исследование которых проводится на основе обычной школьной программы

Пример 1. Построить кривую:

Решение. Данное уравнение можно преобразовать к виду

и потом представить как 2 уравнения:



или в виде:

Построить графики этих двух функций не является большой проблемой. Точка М - точка самопересечения (узел)

Пример 2. Построить кривую:

Данное уравнения можно привести к виду: , что является окружностью с центром в точке С (3; -5) и радусом 2.

Пример 3. Построить кривую:

Выполним преобразование: . Потом введем обозначение или - гипербола.

Линии второго порядка, заданные неявно

Существует 9 типов линий второго порядка. Все они представлены ниже.

1. - эллипс

2. - мнимый эллипс

3. а) , б) - гиперболы

4. - пара пересекающихся прямых

5. - пара мнимых пересекающихся прямых

6. - пара параллельных прямых

7. - пара мнимых параллельных прямых

8. - пара совпавших прямых

9. а) , б) - параболы



Замечание. Линия 1 рассмотрена в приложении 2.

Линии 4, 6, 8, 9 рассматриваются в обычном школьном курсе математики

Исследование линий, заданных неявно, на основе теории, рассмотренной в § 3 главы I

Здесь в спецкурс можно включить задачи типа 1, 4, 5 § 4 главы I, или задачи типа примера 1, пункта 1.4, где, выполнив дополнительные исследования, можно показать, что точка М - точка самопересечения.



Заключение

В данной работе рассмотрены только отдельные вопросы теории кривых. Понятно, что следовало бы разработать отдельно следующие темы:

1) Некоторые вопросы топологии в школьном курсе математики

2) Исследование линий, заданных параметрически

3) Разработать уроки на тему: «линии второго порядка, заданные неявно»

4) Приложение данной теории в физике

5) Привести большее число задач, иллюстрирующих данную теорию



Список литературы

1. Александров, Н.В. Курс общей физики. Механика: учеб. пособие / Н.В. Александров, А.Я. Яшкин. - М.: Просвещение, 1978. - 416 с.

2. Алимов, Ш.А. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы / Ш.А. Алимов [и др.]. - М.: Просвещение, 2012. - 464 с.

3. Атанасян, Л.С. Геометрия. 7-9 классы. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев - М.: Просвещение, 2014. - 383 с.

4. Барский, И.Б. Элементы общей топологии и теории топологических многообразий: учеб. пособие / И.Б. Барский. - Йошкар-Ола: Марийский государственный университет, 2011. - 224 с.

5. Колмогоров, А.Н. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. / А.Н. Колмогоров, А.М [и др.]. - М.: Просвещение, 2008. - 384 с.

6. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч., Ч. 1 / А.Г. Мордкович [и др.]. - М.: Мнемозина, 2013. -400 с.

7. Погорелов, А.В. Геометрия. 7-9 классы. / А.В. Погорелов - М.: Просвещение, 2014. - 240 с.

8. Погорелов, А.В. Геометрия / А.В. Погорелов. - М.: Наука, 1983. - 290 с.

9. Саранцев, Г.И. Методика обучения геометрии: учеб. пособие для студентов ВУЗов по направлению «Педагогическое образование» / Саранцев Г.И. - Казань.: Центр инновационных технологий, 2011. - 228 с.

10. Феденко, А.С. Сборник задач по дифференциальной геометрии: учеб. пособие / А.С. Феденко [и др.]. - М.: Наука, 1979. - 272 с.

11. Фиников, С.П. Дифференциальная геометрия. Методическое пособие для студентов педагогических институтов: учеб. пособие / С.П. Фиников. - М.: Учпедгиз, 1949. - 109 с.

12. Фиников, С.П. Дифференциальная геометрия: учеб. пособие / С.П. Фиников. - М.: Учпедгиз, 1955. - 215 с.

Размещено на Allbest.ru