Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Вятский государственный гуманитарный университет»

Физико-математический факультет

Кафедра дидактики физики и математики

Выпускная квалификационная работа

Компетентностно-ориентированные задачи в процессе обучения математике учащихся основной школы

Выполнила студентка V курса

физико-математического факультета

(специальность 050201.65 Математика)

Русских Анна Витальевна

Научный руководитель:

кандидат педагогических наук,

старший преподаватель кафедры

дидактики физики и математики

Малых Елена Владимировна

Рецензент:

кандидат педагогических наук,

старший преподаватель кафедры

дидактики физики и математики

Горев Павел Михайлович

Работа допущена к защите в ГАК

«___» _________2008 г. Зам. зав. кафедрой ________ М. В. Крутихина

«___» _________2008 г. Декан факультета ___________ Е. В. Кантор

Киров 2008

Оглавление

Введение

1. Международное исследование образовательных достижений учащихся PISA (Programme for International Student Assessment) как измеритель качества математической подготовки школьников

1.1.Цели и задачи исследования PISA

1.2. Понятие математической грамотности в исследованиях PISA

1.3.Основные результаты изучения математической грамотности в исследованиях PISA

Выводы по первому параграфу

2. Компетентностный подход как средство повышения качества математической грамотности учащихся основной школы

2.1. Понятие компетентностного подхода и сравнение его с традиционным

2.2. Ключевые компетентности

2.3. Формирование ключевых компетентностей через учебные математические задачи

Выводы по второму параграфу

3. Компетентностно-ориентированные математические задачи

3.1. Содержание компетентностно-ориентированных математических задач

3.2. Три уровня компетентностно-ориентированных задач

Выводы по третьему параграфу

4. Методические рекомендации использования компетентностно-ориентированных математических задач

4.1. Содержание учебника математики как среда для составления компетентностно-ориентированных задач

4.2. Место компетентностно-ориентированных математических задач в процессе изучения математики.

4.2.1. Компетентностно-ориентированные задачи на уроках изучения нового материала

4.2.2. Компетентностно-ориентированные задачи на уроках комплексного применения знаний

4.2.3. Компетентностно-ориентированные задачи в качестве домашнего задания

Выводы по четвертому параграфу

5. Опытное преподавание в 9 классе

Заключение

Список библиографии

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Введение

Современное общество меняет взгляд на содержание математического образования. Основное внимание направлено на развитие способности учащихся применять полученные в школе знания и умения в жизненных ситуациях.

В международных исследованиях PISA (Programme for International Student Assessment) математическая грамотность определяется как «способность человека определять и понимать роль математики в мире, в котором он живет, высказывать хорошо обоснованные математические суждения и использовать математику так, чтобы удовлетворять в настоящем и будущем потребности, присущие созидательному, заинтересованному и мыслящему гражданину». В исследованиях проверяется способность 15-летних учащихся использовать математические знания в ситуациях близких к реальным, связанных с разнообразными аспектами окружающей действительности: жизни школы, общества, личной жизни учащихся и т.д.

Невысокие результаты наших школьников во всех трех циклах исследования (2000 г., 2003 г., 2006 г.) вызвали широкую дискуссию в обществе о качестве российского образования, приоритетах в содержании математического образования.

Многие ученые и школьные учителя видят выход из создавшейся ситуации в реализации компетентностного подхода при обучении математике учащихся основной школы. Данный подход не отрицает значения знаний, но акцентирует внимание на способности использовать полученные знания в жизни. При таком подходе цели образования описываются в терминах, отражающих новые возможности обучаемых, рост их личного потенциала.

Важнейшим видом учебной деятельности при обучении школьников математике является решение задач. Поэтому целесообразно формировать ключевые компетентности через специальные компетентностно-ориентированные задачи, аналогичные задачам для проверки математической грамотности в исследованиях PISA.

Вместе с тем, таких задач в учебниках, учебных пособиях, дидактических материалах немного. Составление же компетентностно-ориентированных задач достаточно трудоемко. Поэтому учителя математики редко используют их на занятиях.

Таким образом, имеем противоречие между необходимостью обучения решению компетентностно-ориентированных задач учащихся основной школы и неразработанностью методики их использования в процессе обучения математике. Разрешение противоречия определяет актуальность выпускной квалификационной работы.

Объектом исследования является процесс обучения математике учащихся основной школы.

Предметом исследования служат компетентностно-ориентированные задачи в этом процессе.

Цель работы состоит в выявлении роли компетентностного подхода в процессе обучения математике учащихся основной школы и разработке методических рекомендаций по использованию компетентностно- ориентированных задач.

В основу работы положена гипотеза: если на уроках математики и внеклассных занятиях в основной школе систематически использовать компетентностно-ориентированные задачи в соответствии с разработанными методическими рекомендациями, то повысится математическая грамотность учащихся.

Для достижения поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы потребовалось решить следующие задачи:

1. Рассмотреть понятие математической грамотности с точки зрения разработчиков международных исследований PISA.

2. Рассмотреть понятие компетентностного подхода в научной и научно-методической литературе, выявить его роль в процессе обучения математике учащихся основной школы.

3. Рассмотреть содержательный аспект и определить уровни компетентностно-ориентированных задач.

4. Разработать методические рекомендации по использованию компетентностно-ориентированных задач.

5. Изучить опыт работы учителей математики по использованию компетентностно-ориентированных задач на уроках.

6. Проверить эффективность методических рекомендаций путем опытного преподавания.

Для решения задач использованы следующие методы:

1. Изучение методической литературы по данной теме;

2. Изучение опыта работы преподавателей;

3. Анализ упражнений из школьных учебников по математике;

4. Анализ международных исследований в области математической грамотности;

5. Опытное преподавание.

Теоретическая значимость работы состоит в разработке методических рекомендаций для составления и использования компетентностно-ориентированных задач на уроках математики в основной школе.

Практическая значимость работы состоит в возможности использования студентами и преподавателями разработанных материалов при подготовке к урокам и факультативным занятиям по математике.

Работа состоит из введения, пяти параграфов, заключения, библиографического списка и 5 приложений.

1 Международное исследование образовательных достижений учащихся PISA (Programme for International Student Assessment) как измеритель качества математической подготовки школьников

1.1 Цели и задачи исследования PISA

В последнее время меняется взгляд на то, какой должна быть подготовка выпускника основной школы. Наряду с получением предметных знаний и умений, школа должна вырабатывать умения использовать их в разнообразных ситуациях, близких к реальным [5].

Организация Экономического Сотрудничества и Развития (OECD) начала работу по Международной Программе оценки знаний и умений учащихся (PISA), основная цель которой - получение надежных сведений о результатах обучения в различных странах мира, сравнимых на международном уровне.

Исследование PISA проводится трехлетними циклами (первый цикл -1997-2000 гг., второй цикл -2000-2003 гг., третий цикл - 2003-2006 гг.). Дополнительно к оценке учебных достижений изучается отношение учащихся к обучению. По мнению разработчиков, полученная информация позволит странам-участницам принимать обоснованные решения в области образования. Особый интерес вызывает возможность определить состояние тех знаний и умений, которые могут быть полезны ребятам в будущем, а так же умения самостоятельно приобретать знания, необходимые для успешной адаптации в современном мире.

Исследование проводится среди учащихся 15-летнего возраста. Ключевой вопрос исследования - «Обладают ли учащиеся 15-летнего возраста, получившие общее обязательное образование, знаниями и умениями, необходимыми для полноценного функционирования в обществе?» (15, с. 5). Исследование направлено не на определение уровня освоения школьных программ, а на оценку способности учащихся применять полученные знания и умения в жизненных ситуациях.

Такой выбор объясняется тем, что во многих странах к этому возрасту завершается обязательное обучение в школе и программы обучения в разных странах имеют много общего. Именно на этом этапе образования важно определить состояние тех знаний и умений, которые могут быть полезны школьникам в будущем, а также способности самостоятельно приобретать знания, необходимые для успешной адаптации в современном мире.

Проверке овладения конкретным содержанием учебных дисциплин не уделяется много времени. Основное время отводится изучению состояния более широких знаний и умений, необходимых во взрослой жизни и приобретенных при изучении школьных предметов, а также оценке межпредметной компетентности учащихся (использованию знаний, полученных в рамках изучения различных предметов или из других источников информации, для решения поставленной задачи).

В каждом цикле исследования оценивается функциональная грамотность учащихся в области чтения, математики, естествознания. В 2000 году приоритетной областью исследования была грамотность чтения, в 2006 - естественнонаучной грамотности, в 2003 году - математическая грамотность.

1.2 Понятие математической грамотности в исследованиях PISA

В исследованиях PISA-2003 проверка математической подготовки учащихся основана на понятии «математическая грамотность», которое определяется как «способность человека определять и понимать роль математики в мире, в котором он живет, высказывать хорошо обоснованные математические суждения и использовать математику так, чтобы удовлетворять в настоящем и будущем потребности, присущие созидательному, заинтересованному и мыслящему гражданину» (15, с.7).

Содержание этого понятия уточняется следующим образом: «под математической грамотностью понимается способность учащихся:

· распознавать проблемы, возникающие в окружающей действительности, которые могут быть решены средствами математики;

· формулировать эти проблемы на языке математики;

· решать эти проблемы, используя математические знания и методы;

· анализировать использованные методы решения;

· интерпретировать полученные результаты с учетом поставленной проблемы;

· формулировать и записывать окончательные результаты решения поставленной проблемы» [15, с. 7].

В исследованиях PISA-2000, PISA-2003 и PISA-2006 основное внимание было уделено проверке способностей учащихся использовать математические знания в ситуациях близких к реальным, связанных с разнообразными аспектами окружающей действительности: жизни школы, общества, личной жизни учащихся и т.д.

Для решения поставленных проблем учащимся необходимо иметь значительный объем математических знаний и умений, которые обычно формируются в школе. В исследовании не ставится цель проверить каждое из выделенных предметных знаний и умений в отдельности. В большинстве ситуаций требуется использовать знания и умения из разных тем и разделов не только курса математики, но и других школьных предметов, например, физики, биологии, химии. Необходимо также такое важнейшее общеучебное умение, как умение внимательно прочитать некоторый связный текст, выделить в приведенной в нем информации только те факты и данные, которые необходимы для получения ответа на поставленный вопрос.

В соответствии с замыслом авторов концепции исследования каждое задание соответствует одной из четырех содержательных областей:

1. Пространство и форма -- это вопросы, относящиеся к пространственным и плоским геометрическим формам и отношениям, которые часто встречаются в школьных программах по геометрии разных стран. Они связаны с поиском сходства в различия при анализе фигур и их частей, распознаванием фигур в различных конфигурациях и с разными размерами, а также пониманием свойств объектов и их взаимного расположения.

2. Изменение и отношения - вопросы, связанные с математическим описанием различных процессов, таких как зависимости между переменными, в том числе функциональные. В большей степени этот материал относится к алгебре. Математические отношения, рассматриваемые в заданиях, могут выражаться уравнениями или неравенствами, но используются также и отношения более общей природы (например, эквивалентность, делимость, включение). Отношения задаются разными способами, включая символические, алгебраические, графические, табличные и геометрические.

3. Количество -- эта область включает вопросы, связанные с числами. В программах по математике этот материал чаще всего относится к арифметике. При выполнении заданий от учащихся требуется умение выполнять сравнение чисел и величин, распознавать числовые выражения и формулы, использовать числа для представления количественных характеристик реальных объектов (подсчеты и измерения). Кроме того, эта область связана с пониманием разных форм представления чисел и выполнением действий с числами, представленными в разных формах. Важным аспектом в соответствующих задачах являются также рассуждения, связанные с числами и проявляющиеся во владении разными представлениями чисел, а также в понимании смысла операций, устных вычислений и приближенных оценок.

4. Неопределенность -- включает в себя вероятностные и статистические явления и зависимости, которые имеют самое непосредственное отношение к современному информационному обществу. Эти явления и зависимости являются предметом изучения разделов статистики и вероятности.

На международном уровне для грамотного современного человека считаются необходимыми следующие математически знания и умения: пространственные представления; пространственное воображение; свойства пространственных фигур; умение читать и интерпретировать количественную информацию, представленную в различной форме (таблиц, диаграмм, графиков реальных зависимостей); знаковые и числовые последовательности; определение периметра и площадей нестандартных фигур; действия с процентами; использование масштаба; использование статистических показателей для характеристики различных реальных явлений и процессов; умение выполнять действия с различными единицами измерения (длины, массы, времени, скорости) и др.

1.3 Основные результаты изучения математической грамотности в исследованиях PISA

Во всех трех циклах PISA российские школьники показали невысокий уровень математической грамотности.

В качестве основной количественной характеристики математической подготовки учащихся конкретной страны используется средний балл, подсчитанный по результатам выполнения математической части работы учащимися этой страны.

Среди стран-участниц исследований PISA Россия в 2000 году занимала 21 место из 32 стран, в 2003 году - 29 место из 40, в 2006 году - 34 место из 57.

Результаты международного исследования PISA-2000 вызвали широкую дискуссию в обществе о качестве российского математического образования, приоритетах в содержании общего среднего образования, способствовавшую появлению новых направлений исследований, прежде всего, - в области изучения целесообразности и возможности реализации так называемого компетентностного подхода в образовании.

В 2001 году распоряжением Правительства Российской Федерации была принята Концепция модернизации Российского образования до 2010 года. В соответствии с Концепцией общеобразовательная школа призвана формировать «новую систему универсальных знаний, умений, навыков, а также опыт самостоятельной деятельности и личной ответственности обучающихся, то есть современные ключевые компетентности» [16]. Определенные таким образом цели образования ориентируют на компетентностный подход к организации образовательного процесса [22].

Однако, итоги исследований PISA -2003 и PISA -2006 показали, что результаты российских школьников по сравнению со сверстниками других стран (близких к России в PISA -2000), не только не улучшились, но и ухудшились.

В таблице 1 приведены итоги исследований в тех странах, результат которых практически не отличался от результата российских школьников в исследовании PISA-2000.

Таблица 1

Средние результаты пяти стран по математической грамотности

Страны	PISA-2000	PISA-2003	PISA-2006
Венгрия	488	490	491
Германия	490	503	504
Латвия	463	483	486
Польша	470	490	495
Россия	478	468	476

Из таблицы видно, что результаты всех стран, которые не отличались от результатов России в начале исследования, значительно улучшились в последующем. Чего нельзя сказать о результатах российских школьников. Результаты исследования математической грамотности не только не улучшились, а наоборот ухудшились.

Сравнение результатов России с другими странами показывает отличие приоритетов отечественного математического образования от приоритетов, которые проявились в международных исследованиях. Пятнадцатилетние российские учащиеся в этих исследованиях явно продемонстрировали, что они затрудняются в решении задач, в которых представлены ситуации, близкие к реальным. Это свидельствует о том, что заявленная в школьной программе необходимость прикладной и практической ориентации на практике не реализуется [6].

Школьные учителя объясняют такое положение дел тем, что для реализации компетентностного подхода с целью повышения математической грамотности учащихся недостаточно разработано методическое обеспечение процесса обучения математике в основной школе.

Анализ результатов международных проверок позволил выявить характерные недочеты математической подготовки российских школьников. К ним относятся недостаточное усвоение ряда тем, имеющих широкое практическое применение: отношение чисел, пропорциональные величины, решение задач на проценты, определение периметров и площадей фигур, оценка и прикидка результатов, чтение графиков реальных зависимостей.

Результаты исследований позволяют определить направления совершенствования содержания математического образования в школах России. По мнению Г.С.Ковалевой «прежде всего, уже с начальной школы следует изучать тему «Анализ данных. Вероятность. Статистика», овладение которой способствует адаптации учащихся в обществе. Необходимо уменьшить внимание к формированию аппаратных умений и усилить роль знаний, имеющих важное практическое значение. В курсе математики 5-6 классов следует уделить большое внимание наглядной геометрии и вопросам прикладного характера (оценке и прикидке результатов, анализу количественных данных, представленных в различной форме; процентным расчетам; пропорциональным величинам). В курсе 7-9 классов эти направления должны получить дальнейшее развитие. Необходимо увеличить количество заданий практического содержания, связанных с описанием реальных ситуаций»[7].

Выводы по первому параграфу

В последнее время меняется взгляд на то, какой должна быть подготовка выпускника основной школы по математике.

В международных исследованиях PISA под математической грамотностью понимается «способность человека определять и понимать роль математики в мире, в котором он живет, высказывать хорошо обоснованные математические суждения и использовать математику так, чтобы удовлетворять в настоящем и будущем потребности, присущие созидательному, заинтересованному и мыслящему гражданину».

На международном уровне для грамотного современного человека считаются необходимыми следующие математически знания и умения: пространственные представления; пространственное воображение; свойства пространственных фигур; умение читать и интерпретировать количественную информацию, представленную в различной форме (таблиц, диаграмм, графиков реальных зависимостей); знаковые и числовые последовательности; определение периметра и площадей нестандартных фигур; действия с процентами; использование масштаба; использование статистических показателей для характеристики различных реальных явлений и процессов; умение выполнять действия с различными единицами измерения (длины, массы, времени, скорости) и др.

Во всех трех исследованиях PISA российские школьники показали невысокий уровень математической грамотности.

Итоги международного исследования PISA вызвали широкую дискуссию в обществе о качестве российского математического образования.

В 2001 году распоряжением Правительства Российской Федерации была принята Концепция модернизации Российского образования до 2010 года. В этом документе общеобразовательная школа призвана формировать «новую систему универсальных знаний, умений, навыков, а также опыт самостоятельной деятельности и личной ответственности обучающихся, то есть современные ключевые компетентности». Такие же цели и задачи сформулированы в концепции математического образования.

Определенные таким образом цели образования ориентируют на компетентностный подход к организации образовательного процесса, предполагают смену требований к критериям оценки результатах обучения.

Однако, итоги исследований PISA -2003 и PISA -2006 показали, что результаты российских школьников по сравнению со сверстниками других стран (близких к России в PISA -2000), не только не улучшились, но и ухудшились.

Школьные учителя объясняют такое положение дел тем, что для реализации компетентностного подхода с целью повышения математической грамотности учащихся недостаточно разработано методическое обеспечение процесса обучения математике в основной школе.

2. Компетентностный подход как средство повышения качества математической грамотности учащихся основной школы

2.1 Понятие компетентностного подхода и сравнение его с традиционным

Понятие «компетентностный подход» и «ключевые компетентности» получили распространение сравнительно недавно в связи с дискуссиями о проблемах и путях модернизации российского образования. Обращение к этим понятиям связано со стремлением определить необходимые изменения в образовании, в том числе в школьном, обусловленные изменениями, происходящими в обществе [9].

Разные ученые трактуют это понятие по-разному.

Некоторые ученые [23] дают такое определение: «Компетентностный подход - это подход, акцентирующий внимание на результате образования, причем в качестве результата рассматривается не сумма усвоенной информации, а способность человека действовать в различных проблемных ситуациях».

Компетентностный подход заключается в привитии и развитии у школьников набора ключевых компетентностей, которые определяют его успешную адаптацию в обществе.

О.Е.Лебедев считает, что «компетентностный подход - это совокупность общих принципов определения целей образования, отбора содержания образования, организации образовательного процесса и оценки образовательных результатов» [11, с.3].

К числу таких принципов он относит: смысл образования, содержание образования, смысл организации образовательного процесса, оценку образовательных результатов.

Смысл образования заключается в «развитии у обучаемых способности самостоятельно решать проблемы в различных сферах и видах деятельности на основе использования социального опыта, элементом которого является и собственный опыт учащихся» [11, с.3].

Содержание образования представляет собой «дидактически адаптированный социальный опыт решения познавательных, мировоззренческих, нравственных, политических и иных проблем» [11, с.3].

Смысл организации образовательного процесса заключается в «создании условий для формирования у обучаемых опыта самостоятельного решения познавательных, коммуникативных, организационных, нравственных и иных проблем, составляющих содержание образования» [11, с.3].

Оценка образовательных результатов основывается на «анализе уровней образованности, достигнутых учащимися на определенном этапе обучения» [11, с.3].

Многие идеи компетентностного подхода появились в результате изучения ситуации на рынке труда и в результате определения тех требований, которые складываются на рынке труда по отношению к работнику. Поэтому школа должна готовить своих учеников к переменам, развивая у них такие качества, как «мобильность, динамизм, конструктивность, инициативность, умение самостоятельно принимать решения» [8].

Сравним традиционный и компетентностный подходы по следующим принципам: цели обучения, пути формирования ценностных ориентаций, ожидаемый результат, критерии оценки и образовательные программы [11].

Таблица 2

Сравнение традиционного и компетентностного подходов

	Традиционный подход	Компетентностный подход
Цели обучения	Ориентация на сохранение экстенсивного пути развития школы (чем больше знаний приобрел ученик, тем лучше, тем выше уровень его образованности). Цели образования моделируют результат, который можно описать, ответив на вопрос: что нового узнает ученик в школе?	Развитие способности решать проблемы различной сложности на основе имеющихся знаний(не отрицает значения знаний, акцентирует внимание на способности использовать полученные знания. Цели образования предполагают ответ на вопрос: чему научился ученик за годы обучения в школе?
Пути формирования ценностных ориентаций	Личностный результат можно достичь за счет приобретения необходимых знаний.	Основной путь - получение опыта самостоятельного решения проблем.
Ожидаемый результат	Усвоение сведений, понятий, способность решать типовые задачи, умение действовать по алгоритму и т.д.	Умение видеть проблему, анализировать данные и ожидаемый результат, умение создавать модель, необходимую для решения проблемы, анализировать ее - важнейший результат обучения.
Критерии оценки	Пятибальная шкала оценок. Одну и ту же оценку можно получить, сделав разные ошибки.	Расширяется шкала оценок, оценка сопровождается словесными пояснениями, комментариями, рекомендациями. Большое внимание уделяется анализу работ.
Образовательные программы	Программы по предметам разрабатываются независимо друг от друга. Связи между ними представлены в лучшем случае на уровне выделения общих понятий.	Программа по отдельным предметам должна рассматриваться как элемент образовательной программы школы. При разработке данных программ нужно их связывать с определенным этапом школьного образования - ступенью школы, классом.

Рассмотрев табл.2, можно сделать вывод о том, что компетентностный подход в образовании в большей степени соответствует социальным ожиданиям в сфере образования, и интересам участников образовательного процесса на современном этапе.

По мнению О.Е.Лебедева компетентностный подход обладает значительным потенциалом. Он позволяет:

1. научить учиться (определять цели познавательной деятельности, выбирать необходимые источники информации, выбирать оптимальные способы реализации поставленных целей, оценивать полученные результаты);

2. научить объяснять явления действительности, их сущность, причины, взаимосвязи;

3. научить ориентироваться в ключевых проблемах современной жизни - экологических, политических и др.;

4. научить ориентироваться в мире духовных ценностей, отражающих разные культуры и мировоззрения;

5. научить решать проблемы, связанные с реализацией определенных социальных ролей;

6. научить решать проблемы, общие для различных видов профессии и иной деятельности.

2.2 Ключевые компетентности

С позиции компетентностного подхода основным непосредственным результатом образовательной деятельности становится формирование ключевых компетентностей.

О.Е.Лебедев рассматривает компетентность как «способность действовать в ситуации неопределенности» [11, с.6].

Под ключевыми компетентностями применительно к школьному образованию понимается способность учащихся самостоятельно действовать в ситуации неопределенности при решении проблемы.

О.Е.Лебедев отмечает несколько особенностей такого понимания ключевых компетентностей, формируемых школой.

1. Способности эффективно действовать не только в учебной, но и в других сферах деятельности.

2. Способность действовать в ситуациях, когда может возникнуть необходимость в самостоятельном определении решений задачи, уточнении ее условий, поиске способов решения, самостоятельной оценке результатов.

3. Решение проблем, актуальных для школьника.

И.С.Фишман даёт такое определение компетентности:

«Компетентность - непосредственный результат образования, выражающийся в овладении учащимся определенным набором (меню) способов деятельности»[3].

ИвановД.А., МитрофановК.Г., Соколова О.В. придерживаются следующего мнения: «Компетентность - это характеристика, даваемая человеку в результате оценки эффективности/результативности его действий, направленных на, разрешение определенного круга значимых для данного сообщества задач/проблем». [4]

Не следует противопоставлять компетентности знаниям или умениям и навыкам. Понятие компетентности шире понятия знания, или умения, или навыка, оно включает их в себя.

А.В. Хуторской определяет компетентность как «владение, обладание человеком соответствующей компетенцией, включающей его личностное отношение к ней и предмету деятельности» [21].

Сам термин «ключевые компетентности» указывает на то, что они являются «ключом», основанием для других, более конкретных и предметно ориентированных. Предполагается, что ключевые компетентности носят надпрофессиональный характер и необходимы в любой области деятельности.

Конкретный набор ключевых компетентностей является предметом запроса работодателей к системе образования, он может варьироваться в связи с актуальной социально-экономической ситуацией в том или ином регионе [22]. В проекте «Концепции реализации на территории Кировской области компетентностно-ориентированного образования» названы следующие ключевые компетентности: рефлексивная, технологическая, проектная, коммуникативная, информационная, социальная.

Рефлексивная компетентность заключается в готовности организовывать свою деятельность в соответствии с позициями что я делаю (делал, буду делать?), зачем я это делаю (делал, буду делать?), как я это делаю (делал, буду делать?), что я получу (получил) в результате?

Технологическая компетентность: способность и готовность к пониманию инструкции, описания технологии, алгоритма деятельности, к четкому соблюдению технологии деятельности.

Проектная компетентность заключается в готовности анализировать ситуацию, выделять проблемы, выдвигать идеи, способствующие решению проблем, ставить цели и соотносить их с устремлениями других людей, программировать и планировать свою деятельность, оценивать результаты своей деятельности.

Коммуникативная компетентность заключается в готовности получать необходимую информацию, представлять и цивилизованно отстаивать свою точку зрения в диалоге и в публичном выступлении на основе признания разнообразия позиций и уважительного отношения к ценностям (религиозным, этническим, профессиональным, личностным и т.п.) других людей.

Информационная компетентность заключается в готовности делать аргументированные выводы, осуществлять информационный поиск и извлекать информацию из различных источников на любых носителях, использовать информацию для планирования и осуществления своей деятельности.

Социальная компетентность заключается в способности соотносить свои устремления с интересами других людей и социальных групп, продуктивно взаимодействовать с членами команды, решающей общую задачу.

И.С.Фишман [3] выделяет шесть ключевых компетентностей

· готовность к разрешению проблем,

· технологическая компетентность,

· готовность к самообразованию,

· готовность к использованию информационных ресурсов,

· готовность к социальному взаимодействию,

· коммуникативная компетентность.

Содержание перечисленных ключевых компетентностей раскрывается следующим образом:

Готовность к разрешению проблем, то есть готовность анализировать нестандартные ситуации, ставить цели и соотносить их с устремлениями других людей, планировать результат своей деятельности и разрабатывать алгоритм его достижения, оценивать результаты своей деятельности, - позволяет принять ответственное решение в той или иной ситуации и обеспечить своими действиями его воплощение в жизнь.

Технологическая компетентность, то есть готовность к пониманию инструкции, описания технологии, алгоритма деятельности, к четкому соблюдению технологии деятельности, - позволяет осваивать и грамотно применять новые технологии, технологически мыслить в тех или иных жизненных ситуациях.

Готовность к самообразованию, то есть способность выявлять пробелы в своих знаниях и умениях при решении новой задачи, оценивать необходимость той или иной информации для своей деятельности, осуществлять информационный поиск и извлекать информацию различных источников на любых носителях, - позволяет гибко изменять свою профессиональную квалификацию, самостоятельно осваивать знания и умения, необходимые для решения поставленной задачи.

Готовность к использованию информационных ресурсов, то есть способность делать аргументированные выводы, использовать информацию для планирования и осуществления своей деятельности, - позволяет человеку принимать осознанные решения на основе критически осмысленной информации.

Готовность к социальному взаимодействию, то есть способность соотносить свои устремления с интересами других людей и социальных групп, продуктивно взаимодействовать с членами группы (команды), решающей общую задачу, - позволяет использовать ресурсы других людей и социальных институтов для решения задач.

Коммуникативная компетентность, то есть готовность получать в диалоге необходимую информацию, представлять и цивилизованно отстаивать свою точку зрения в диалоге и в публичном выступлении на основе признания разнообразия позиций и уважительного отношения к ценностям (религиозным, этническим, профессиональным, личностным и т.п.) других людей, - позволяет использовать ресурс коммуникации для решения задач

Дж. Равен [17] на основе проведенных исследований выделяет следующие ключевые компетентности:

способность работать самостоятельно без постоянного руководства;

способность брать на себя ответственность по собственной инициативе;

способность проявлять инициативу, не спрашивая других, следует ли это делать;

готовность замечать проблемы и искать пути их решения;

умение анализировать новые ситуации и применять уже имеющиеся знания для такого анализа;

способность уживаться с другими;

способность осваивать какие-либо знания по собственной инициативе (т. е. учитывая свой опыт и обратную связь с окружающими);

умение принимать решения на основе здравых суждений - т. е. не располагая всем необходимым материалом и не имея возможности обработать информацию математически.

Рассмотрев различные подходы к набору ключевых компетентностей, выделим основные, которые считаем необходимым формировать на уроках математики в основной школе:

· информационная

· коммуникативная

· исследовательская

· готовность к решению проблем

· готовность к самообразованию

2.3 Формирование ключевых компетентностей через учебные математические задачи

По мнению методистов-математиков (Г. И. Саранцев, Е. С. Петрова) важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой школьниками усваивается математическая теория, развиваются их творческие способности и самостоятельность мышления является решение задач. Поэтому ключевые компетентности на уроках математики необходимо формировать через специальные задачи, аналогичные задачам для проверки математической грамотности в исследованиях PISA.

Для формирования информационной компетентности необходимо использовать задачи содержащие информацию, представленную в различной форме (таблицах, диаграммах, графиках и т.д.). Вопрос задачи может быть сформулирован следующим образом: переведите в графическую (словесную) форму; если возможно, хотя бы приближенно опишите их математической формулой; сделайте вывод, наблюдается ли в этих данных какая-то закономерность и др.

Примером такого задания может быть задача 1

Задача 1. «Озеро Чад»

На рисунке 1 показано изменение уровня глубины озера Чад в североафриканской части пустыни Сахара. Озеро Чад полностью исчезло примерно 20 000 лет назад до нашей эры в течение последнего Ледникового периода. Примерно 11 000 лет назад до нашей эры оно появилось вновь. Сегодня уровень его глубины примерно такой же, каким он был в 1000 году нашей эры. Какова глубина озера Чад на сегодняшний день?



Для формирования коммуникативной компетентности можно использовать групповую форму организации познавательной деятельности учащихся на уроках. Учащимся можно разделиться на несколько групп, каждая группа должна решить задачу предложенным способом и доказать правильность своего решения оставшимся группам.

Задача, которую можно решить разделившись на группы, приведена ниже:

Задача 2

На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС построен квадрат ABDE в той полуплоскости от прямой АВ, которой не принадлежит треугольник АВС. Найти расстояние от вершины С прямого угла до центра квадрата, если катеты ВС и АС имеют соответственно длины a и b.

Решить задачу возможно несколькими способами:

1. используя теорему синусов

2. используя теорему косинусов

3. при помощи метода площадей

4. при помощи метода координат

Для формирования исследовательской компетентности учащимся можно предложить задания, в которых необходимо исследовать все возможные варианты и сделать определенный вывод.

Задача 3. «Треугольники»

Обведите букву, которой обозначена фигура, описание которой дается ниже (рисунок приведен в приложении 1). Треугольник PQR прямоугольный с прямым углом R. Сторона RQ меньше стороны PR. M - середина стороны PQ и N - середина стороны QR. S - точка внутри данного треугольника. Отрезок MN больше отрезка MS.

Готовность к разрешению проблем формируется с помощью задач, в которых необходимо проанализировать предложенную ситуацию, поставить цель, спланировать результат, разработать алгоритм решения задачи, проанализировать результат.

Задача 4

Семья Павловых решила отпраздновать день рождения сына в кафе «Ассоль». Было решено, что их расходы не должны превышать 20 000 рублей. Используя предложенные источники, произведите необходимые расчеты, сделайте вывод и дайте практические рекомендации семье Павловых.

Для начала семья Павловых подготовила список приглашенных на празднование двенадцатого дня рождения сына Сергея. Они решили праздновать его день рождения в кафе «Ассоль», поэтому они взяли прейскурант цен на заказ блюд, напитков, на обслуживание и на дополнительные услуги в данном кафе.

Было решено отмечать день рождение с 16.00 до 22.00. На совете семьи составили меню и список приглашенных (приложение 2).

Для формирования готовности к самообразованию учащимся необходимо предлагать самостоятельно изучить некоторый теоретический материал, написать реферат, составить задачу и т.д.

Формирование ключевых компетентностей посредством задач позволяет реализовать компетентностный подход на уроках математики как средство повышения математической грамотности учащихся.

Часто одна и та же задача способствует созданию условий для формирования нескольких ключевых компетентностей.

Задачи, способствующие формированию ключевых компетентностей, далее будем называть компетентностно-ориентированными задачами. Таких задач в учебниках и дидактических пособиях немного. Поэтому для реализации компетентностного подхода через задачи единственным выходом для школьных учителей является составление компетентностно-ориентированных задач самим.

Выводы по второму параграфу

Понятие «компетентностный подход» и «ключевые компетентности» получили распространение сравнительно недавно в связи с дискуссиями о проблемах и путях модернизации российского образования. Разные ученые трактуют это понятие по-разному.

В работе мы будем придерживаться определения О.Е.Лебедева, который под компетентностным подходом понимает «совокупность общих принципов определения целей образования, отбора содержания образования, организации образовательного процесса и оценки образовательных результатов».

На современном этапе компетентностный подход соответствует социальным ожиданиям в сфере образования, и интересам участников образовательного процесса более, чем традиционный.

С позиции компетентностного подхода основным непосредственным результатом образовательной деятельности становится формирование ключевых компетентностей. «Компетентность - это способность действовать в ситуации неопределенности». Под ключевыми компетентностями применительно к школьному образованию понимается способность учащихся самостоятельно действовать в ситуации неопределенности при решении проблемы.

Рассмотрев различные подходы к набору ключевых компетентностей, мы выделили основные, которых будем придерживаться в работе:

· информационная

· коммуникативная

· исследовательская

· готовность к решению проблем

· готовность к самообразованию

Так как задача является важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой школьниками усваивается математическая теория, развиваются их творческие способности и самостоятельность мышления, то ключевые компетентности на уроках математики необходимо формировать через специальные задачи, аналогичные задачам для проверки математической грамотности в исследованиях PISA. Такие задачи мы будем называть компетентностно-ориентированными.

3. Компетентностно-ориентированные математические задачи

3.1 Содержание компетентностно-ориентированных математических задач

При решении компетентностно-ориентированных задач основное внимание должно уделяться формированию способностей учащихся использовать математические знания в разнообразных ситуациях, требующих для своего решения различных подходов, размышлений и интуиции.

Содержание заданий должно быть связано с традиционными разделами или темами, составляющими основу программ обучения в большинстве стран мира, в том числе и в России: числа, алгебра, функции, геометрия, вероятность, статистика, дискретная математика.

Задачи должны содержать вопросы различных типов - с выбором ответа, с кратким ответом (в виде числа, выражения, формулы, слова и пр.), с развернутым свободным ответом. В первом случае ученик среди предложенных вариантов ответа должен найти верный; во втором - записать свой ответ, не давая при этом никаких пояснений; в третьем случае от ученика требуется записать свое решение, дать обоснование, привести аргументацию. Иногда эти вопросы взаимосвязаны и в процессе их последовательного выполнения учащиеся должны подметить закономерности, выйти на некоторые обобщения. Иногда вопросы являются независимыми, и ответ на последующий вопрос не обусловлен правильностью ответа на предыдущий. В одном и том же задании часто могут быть представлены вопросы разного типа: сначала предлагаются вопросы с выбором ответа, с кратким ответом, а в конце - вопросы с развернутым ответом.

Например, в задании «Гоночная машина» содержатся вопросы с выбором ответа и вопросы, ответ на которые нужно записать.

Задача 5 «Гоночная машина»

На графике показано, как изменялась скорость гоночной машины, когда она проходила второй круг по трёхкилометровой кольцевой трассе без подъёмов и спусков.

Вопрос 1

Чему примерно равно расстояние от линии старта до начала самого длинного прямолинейного участка трассы?

0,5 км

1,5 км

2,3 км

2,6 км

Вопрос 2:

В каком месте трассы скорость машины была наименьшей при прохождении второго круга?

Вопрос 3:

Что можно сказать о скорости машины при прохождении трассы между отметками 2,6 км и 2,8 км?

Вопрос 4:

Ниже изображены пять различных по форме гоночных трасс (рис.2). По какой из этих трасс ехала гоночная машина, график скорости которой приведен ранее? Ответ объясните.

3.2 Три уровня компетентностно-ориентированных

Для составления компетентностно-ориентированных задач по аналогии с тестами PISA разделим их на три уровня (уровень воспроизведения, уровень установления связей, уровень рассуждения). Выделение уровней основывается на уровне математической подготовки учащихся.

Первый уровень (уровень воспроизведения) включает воспроизведение математических фактов, методов и выполнение вычислений. Учащиеся могут применять базовые математические знания в стандартных, четко сформулированных ситуациях. Они могут решать одношаговые текстовые задачи, понимают простые алгебраические зависимости, стандартную систему обозначений, могут читать и интерпретировать данные, представленные в таблицах, на графиках, картах, различных шкалах.

Примерами заданий первого уровня могут служить задачи 6 и 7.

Задача 6 «Обменный курс»

Мей-Линг из Сингапура готовилась в качестве студентки по обмену отправиться на 3 месяца в Южную Африку. Ей нужно было обменять некоторую сумму сингапурских долларов (SGD) на южно-африканские рэнды (ZAR).

Вопрос 1:

После возвращения в Сингапур через 3 месяца у Мей-Линг осталось 3900 ZAR. Она обменяла их снова на сингапурские доллары, обратив внимание на то, что обменный курс изменился следующим образом: 1 SGD = 4,0 ZAR

Сколько денег в сингапурских долларах получила Мей-Линг?

Вопрос 2:

Мей-Линг узнала, что обменный курс между сингапурским долларом и южно-африканским рэндом был:

1 SGD = 4,2 ZAR

Мей-Линг обменяла 3000 сингапурских долларов на южно-африканские рэнды по данному курсу. Сколько южно-африканских рэндов получила Мей-Линг?

Задача 7 «Увеличение роста»

На графике (рис.3) показан средний рост девушек и юношей в Нидерландах в 1998 году.

Вопрос 1: Объясните, как можно по данному графику определить, что увеличение роста девушек в среднем замедляется после 12 лет.

Вопрос 2: По сравнению с 1980 годом средний рост 20-летних девушек в 1998 году увеличился на 2,3 см и стал равным 170,6 см. Чему был равен средний рост 20-летних девушек в 1980 году?

Второй уровень (уровень установления связей) включает установление связей и интеграцию материала из разных математических тем, необходимых для решения поставленной задачи. Учащиеся могут применять свои знания в разнообразных, достаточно сложных ситуациях. Они могут упорядочивать, соотносить и производить вычисления, решать многошаговые текстовые задачи. Учащиеся могут выполнять несложные алгебраические задания, включающие составление выражений, решение систем линейных уравнений, определять значения величин, используя известные формулы. Они могут интерпретировать информацию, представленную в таблицах и на графиках.

Примерами заданий второго уровня могут служить:

Задача 8 «Скейтборд»

Сергей большой любитель кататься на скейтборде. Он нередко заходит в магазин «Спорт», чтобы выяснить цены на некоторые товары.

В этом магазине можно купить полностью собранный скейтборд. Но можно купить платформу, один комплект из 4 колес, один комплект из двух держателей колес, а так же комплект металлических и резиновых составных частей и собрать свой собственный скейтборд. Цены в магазине на эти товары представлены в таблице 3.

Таблица 3

Цены на части к скейтборду

Вопрос 1

Сергей хочет сам собрать для себя скейтборд. Какую наименьшую цену и какую наибольшую цену можно заплатить в этом магазине за все составные части скейтборда?

Вопрос 2

В магазине предлагают на выбор три различных вида досок, два различных комплекта колес, два различных комплекта металлических и резиновых деталей. При этом имеется только один выбор комплекта держателей колес.

Сколько различных скейтбордов может собрать Сергей из предлагаемых составных частей?

А. 6

Б. 8

В. 10

Г. 12

Вопрос 3 для задачи «Увеличение роста»:

Пользуясь графиком, определите, в каком возрасте девушки в среднем выше юношей того же возраста

Третий уровень (уровень рассуждения) - математические размышления, требующие обобщения и интуиции. Учащиеся могут организовывать информацию, делать обобщения, решать нестандартные проблемы, делать выводы на основе исходных данных и обосновывать их. Они могут вычислить изменения имеющихся данных, связанные с процентами, применить знания алгебраических понятий и зависимостей, составить алгебраическую модель несложной ситуации. Они могут интерпретировать, интерполировать и экстраполировать данные в различных таблицах и на графиках

В заданиях третьего уровня, прежде всего, необходимо самостоятельно выделить в ситуации проблему, которая решается средствами математики, и разработать соответствующую ей математическую модель. Решить поставленную задачу используя математические рассуждения и обобщения, и интерпретировать решение с учетом особенностей рассмотренной в задании ситуации.

Примерами заданий, формирующих третий уровень математической грамотности, могут служить:

Вопрос 3 для задачи «Скейтборд»

У Сергея 120 зедов, и он хочет собрать самый дорогой скейтборд, который может позволить себе на эти деньги. Сколько денег он может истратить на каждую из 4 частей скейтборда?

Запишите ответ в приведенную ниже таблицу 4.

Таблица 4

Части скейтборда	Сумма денег
Платформа
Колеса
Держатели колес
Металлические и резиновые детали

Вопрос 3 для задачи «Обменный курс»:

За прошедшие 3 месяца обменный курс изменился, вместо 4,2 стал 4,0 ZAR за 1 SGD.

Был ли обменный курс в 4,0 ZAR вместо 4,2 ZAR в пользу Мей-Линг, когда она снова обменяла южно-африканские рэнды на сингапурские доллары?

Задача 9 «Садовник»

У садовника имеется 32 метра провода, которым он хочет обозначить на земле границу клумбы. Форму клумбы ему надо выбрать из следующих вариантов (рис.4).

Обведите слово «Да» или «Нет» в таблице 5 около каждой формы клумбы в зависимости от того, хватит или не хватит садовнику 32 м провода, чтобы обозначить ее границу.