Парадоксы в науке

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛИНГВИСТИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра истории, философии и социальных наук

Реферат по теме:

Парадоксы в науке

Иркутск 2008

Содержание

Введение

1. Определение понятия «парадокс»

1.1 Паралогизмы и софизмы

1.2 Классификации парадоксов

2. Парадоксы в науке

2.1 Парадоксы в логике

2.2 Парадоксы в математике и в физике

2.3 Роль парадоксов в развитии науки

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Наука все основательнее внедряется в организм общества, подчиняя своему влиянию новые и новые пространства. Важен не только ее экономический эффект. Выясняется воспитательное назначение научного достижения, его роль в формировании нравственных, эстетических норм, в преобразовании всего духовного склада людей. Наука - одно из высших проявлений человеческих возможностей, показатель того, на что вообще способен наш интеллект [9].

Наука - это явление сложное и многоаспектное. Её можно рассматривать как социальный институт, как определенную социальную общность или как социально-культурный феномен, но всё же центральным аспектом её изучения является рассмотрение её как системы знания особого рода. Научное знание обладает определёнными характеристиками. К ним относится предметность, проблемность, обоснованность, интерсубъективность, системность и непротиворечивость [14, С.239].

Требование непротиворечивости нашего знания является центральным в научном мышлении и обычно строго выполняется. Однако появление противоречий в процессе познания отнюдь не редкое явление. Почти в каждой более или менее сложной науке возникают противоречия определенных видов - так называемые парадоксы [3, С.31].

Чаще всего парадоксы расцениваются как негативные явления, «факторы зла», «патологии науки». От парадоксов стремятся избавиться любыми путями, парадоксальные идеи не принимаются, а парадоксальные теории не признаются. Однако полностью избежать парадоксов никогда не удаётся. Даже в таких строгих и точных науках как логика и математика существуют свои парадоксы.

Таким образом, парадокс - это неотъемлемая часть любой области научного исследования. И его роль в развитии науки не является только отрицательной. Обычно наличие парадоксов в теории говорит о несовершенстве, ошибочности самой теории. При таком рассмотрении парадокс может восприниматься как «симптом», свидетельствующий о каком-либо «заболевании» в науке. Следовательно, парадокс может способствовать появлению новых более совершенных теорий, помогать осуществлению прогресса, продвижению науки вперед на пути от незнания к истине.

Целью данной работы - описание парадоксов в науке, а также выявление их роли в научном познании мира.

В связи с поставленной целью в данной работе решаются следующие задачи:

1. Определение понятия парадокс.

2. Отграничение парадокса от смежных явлений (паралогизмов, софизмов).

3. Изучение существующих классификаций парадоксов.

4. Осуществление выбора наиболее подходящей для данного исследования классификации парадоксов.

5. Рассмотрение основных логических парадоксов.

6. Описание наиболее известных парадоксов в математике и физике.

7. Определение значения парадокса для развития научного знания.

Реферат состоит из введения, в котором отражены цель и задачи работы; двух глав, содержащих материал, посвящённый проблеме парадокса и его значения для развития науки; заключения, в котором приведены основные выводы данной работы; списка использованной литературы.

1. Определение понятия «парадокс»

В настоящее время термин парадокс прочно вошел в нашу речь. Его можно встретить и в научных текстах (парадоксальный сон, парадоксы природы, парадоксы науки, парадоксы творчества)[8] и в повседневной речи («ну это уже парадокс») и художественной литературе («О сколько нам открытий чудных готовят просвещенья дух, и опыт, сын ошибок трудных, и гений, парадоксов друг») [9]. Поэтому вполне естественно, что термин парадокс понимается по-разному в разных ситуациях. В.С. Библер замечает: «Понятие парадокса существует сейчас в самых различных смыслах - от чисто словарного и повседневного (красиво звучащая бессмыслица, до строго формального (логического), наиболее осознанного в парадоксах теории множества»[1, С.28].

Такое широкое значение термина парадокс хорошо отражено в словарях. В них можно найти следующие определения этого слова:

Парадокс (от др.-греч. ????????? -неожиданный, странный от др.-греч. ????-????? - кажусь) - истинное высказывание, утверждение, суждение или вывод, характеризующиеся парадоксальностью. Парадоксальность - неожиданность, непривычность, оригинальность, противоречивость себе, исходным посылкам, общепринятому, традиционному взгляду или здравому смыслу по содержанию и/или по форме [16].

Парадокс - 1) в обще-базальном порядке - это аффирмация, которая контрастирует с общепринятыми критериями, ориентациями, установками, а также парадокс это элиминирование того, что может быть достоверным;

2) это неожиданное нестандартное положение, которое антитезно фактам действительности;

3) это дискурсивно-верное рассуждение, которое результирует харизматические тезисы, кои могут быть дискурсивно доказуемы, а уже такие положение мы не можем отнести ни к достоверным, ни к ложным;

4) два антитезных утверждения, которые обладают весьма убедительными аргументациями [15, С.482].

Парадокс (от греч. paradoxos - неожиданный, странный) - 1)мнение, рассуждение, резко расходящееся с общепринятыми, противоречащее (иногда только на первый взгляд) здравому смыслу;

2) необычное, неожиданное явление, не соответствующее привычным представлениям;

3) формально-логическое противоречие, которое возникает в содержательной теории множеств и формальной логике при сохранении логической правильности хода рассуждений;

Paradoxon - парадоксальное положение [13, C.332].

Данные словарные статьи наглядно показывают, что сейчас понятие парадокса очень широкое, однако, все эти определения можно совместить и, тогда, получается, что в самом обобщенном и упрощенном смысле парадокс - это какое-либо утверждение, которое противоречит действительности, здравому смыслу или общепринятому мнению. Подобные утверждения вначале всегда воспринимаются как ошибки (хотя и не всегда таковыми являются).

Трактование парадокса как ошибки иногда приводит к тому, что его путают с другими понятиями, которые тоже обозначают ошибки, но несколько иного рода. А.В. Сухотин пишет: « Парадокс рожден в семействе понятий, описывающих ошибки и противоречия познания. Ошибки бытуют разные. Одни из них непроизвольны. Человек и не хотел бы ошибаться, да не получается. Как будто рассуждение логично, проведено правильно и, тем не менее, дает сбой» [9]. Другие - наоборот «делаются умышленно с намерением ввести кого-то в заблуждение» [5, С.293]. Для данной работы важно рассмотреть данные понятия поподробнее, чтобы отделить парадокс от смежных, «соседних» явлений.

1.1 Паралогизмы и софизмы

С ошибками в рассуждениях приходится сталкиваться на каждом шагу, и избежать их невозможно. Больше того, процесс человеческого познания состоит, в сущности, из ошибок - в том числе ошибок в рассуждениях - и их исправления. В частности, ошибки неизбежны в спорах: если двое отстаивают противоположные мнения, то в силу закона противоречия в рассуждениях, по крайней мере, одного из них есть ошибки [3, C.181].

Ошибки бывают преднамеренные и случайные. Ненамеренные ошибки в рассуждениях называют паралогизмами (буквально «неверное умозаключение) [4, С. 181]. Паралогизм понимается как непреднамеренная ошибка в рассуждении, обусловленная нарушением законов и правил логики. Паралогизм кажется не обманом, а искренним заблуждением, он не связан с умыслом подменить истину ложью [5, С.293].

А.В. Сухотин приводит так пишет о паралогизмах: «Непреднамеренные сдвиги мышления, случающиеся вопреки желаниям рассуждающего, называются «паралогизмами». Этим словом характеризуют операции мысли, отклоняющиеся от правил логики, можно сказать, «околологические» («пара» - в греческом означает «около», «рядом», «вблизи»). Здесь наблюдается явные отступления от норм мышления, однако они не осознаются, и их можно обнаружить лишь специальным анализом. Пример: все существительные меняют падежные окончания. Слово «земля» меняет падежные окончания. Следовательно, слово «земля» - существительное. Это, конечно, правда - земля действительно имя существительное. Вывод верен, но получен он неверным путем. Здесь имеется логическая погрешность. Её можно обнаружить, подставив в схему рассуждения вместо слова «земля» другое, обозначающее не существительное, а, например, прилагательное - слово «синий». Тогда получается следующее заключение: все существительные меняют падежные окончания. Слово «синий» меняет падежные окончания. Следовательно, слово «синий» - существительное. Но это вовсе не существительное, здесь имеется ошибка - нарушено правило логики. Чтобы получить верный результат в рассуждениях подобной структуры, одна из посылок обязательно должна быть отрицательной. Например: все существительные обозначают предметы или вещи. Слово «синий» не обозначает предмета или вещи. Следовательно, слово «синий» не существительное. Однако в первом примере полученное следствие оказалось истиной, хотя умозаключение шло по такой же форме, что и во втором, когда мы получили ошибочный результат. В этом и состоит особенность паралогизмов, что иногда они могут давать верный вывод при логически неправильном рассуждении. В подобных случаях эта правильность случайная и потому вводит в заблуждение. Результатом подобных заблуждений является тот факт, что зачастую люди делают ложные заключения и, не замечая погрешности, считают их истинным [9]. Действительно, если критерий изменений падежных окончаний «работает» со словом «земля», то почему бы ему ни быть определяющим при тех же операциях со словом «синий»? Вот таким образом и создаются паралогизмы.

Другой вид ошибок - это ошибки преднамеренные, их называют софизмами. Софизм (буквально «мастерство, умение, искусство») обычно определяется как умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Софизмы - логически неправильные рассуждения, выдаваемые за правильные и доказательные.

Кажущаяся убедительность многих софизмов, иллюзия их «логичности» и «доказательности» связана с хорошо замаскированной ошибкой, с нарушением правил языка или логики. Софизм - это обман, но обман тонкий и закамуфлированный, так что его не сразу и не каждому удаётся раскрыть.

Говоря о мнимой убедительности софизмов, древнеримский философ Сенека сравнивал их с искусством фокусников: мы не можем сказать, как совершаются их манипуляции, хотя твердо знаем, что все делается совсем не так, как нам представляется.

Ф. Бэкон сравнивал того, кто прибегает к софизмам, с лисой, которая хорошо петляет, а того, кто раскрывает софизмы, - с гончей, умеющей распутывать следы [6, С.370-371].

А.А. Ивин пишет: «В обычном и распространённом понимании софизм - это умышленный обман, основанный на нарушении правил языка и логики. Его цель - выдать ложь за истину. Считается, что прибегать к софизмам предосудительно, как и вообще обманывать и внушать ложную мысль, поэтому о софизмах обычно говорят вскользь и с очевидным осуждением» [5, С.292-293]. Подобное отношение к софизмам, на первый взгляд, является вполне оправданным. Действительно, вряд ли имеет смысл задерживаться и размышлять над следующими рассуждениями, которые являются примерами софизмов:

«Сидячий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидячий стоит»;

«Сократ - человек; человек - не то же самое, что Сократ; значит, Сократ - это нечто иное, чем Сократ»;

«Для того чтобы видеть, не обязательно иметь глаза, так как без правого глаза мы видим, без левого тоже видим; кроме правого и левого, других глаз у нас нет; поэтому ясно, что глаза не являются необходимыми для зрения» [5, С.292].

Софизмы существуют уже более двух тысячелетий. Их возникновение обычно связывается с философией софистов (Древняя Греция V-IV вв. до н.э.), которая обосновывала и оправдывала подобные рассуждения. Однако софизмы существовали задолго до философов-софистов, а наиболее известные и интересные из них были сформированы позднее в сложившихся под влиянием Сократа философских школах. Термин «софизм» впервые ввел Аристотель, охарактеризовавший софистику как мнимую, а не действительную мудрость. К софизмам были отнесены и апории Зенона, направленные против движения и множественности вещей, и рассуждения собственно софистов, и все те софизмы, которые открывались в других философских школах. Это говорит о том, что софизмы не были изобретением одних софистов, и являлись скорее чем-то обычным для многих школ античной философии.

Характерно, что для широкой публики софистами были также Сократ, Платон и сам Аристотель. Не случайно Аристофан в комедии «Облака» представил Сократа типичным софистом. В ряде диалогов Платона человеком, старающимся запугать своего противника тонкими вопросами, выглядит иногда в большей мере Сократ, чем Протагор.

Широкую распространенность софизмов в Древней Греции можно понять, только предположив, что они как-то выражали дух своего времени и являлись одной из особенностей античного стиля мышления [5, С.294-295].

Обычно софисты выступали публично, с целью озадачить, запутать и поставить в неловкое положение своего собеседника и заодно повеселить публику. Вот примеры самых известных античных софизмов:

1. В одном из своих диалогов Платон описывает, как два древних софиста запутывают простодушного человека по имени Ктесипп.

- Скажи-ка, если у тебя собака?

- И очень злая, - отвечает Ктесипп.

- А есть ли у неё щенята?

- Да, тоже злые.

- А их отец, конечно, собака же?

- Я даже видел, как он занимается с самкой.

- И этот отец тоже твой?

- Конечно.

- Значит, ты утверждаешь, что твой отец - собака и ты брат щенят!

Здесь имеется следующая логическая ошибка: заключение не вытекает из принятых посылок. Чтобы убедиться в этом, нужно слегка переформулировать посылки, не меняя их содержания: «Этот пес принадлежит тебе; он является отцом». Из данной информации можно вывести только одно заключение: «Этот пес принадлежит тебе и он является отцом», но никак не «Он твой отец».

2. Обычная для разговорного языка сокращенная форма выражения заводит в тупик в следующем рассуждении.

- Скажи, - обращается софист к молодому любителю споров, -может одна и та же вещь иметь какое-то свойство и не иметь его?

- Очевидно, нет.

- Посмотрим. Мёд сладкий?

- Да.

- И жёлтый тоже?

- Да, мёд сладкий и жёлтый. Но что из этого?

- Значит, мёд сладкий и жёлтый одновременно. Но жёлтый - это сладкий или нет?

- Конечно, нет. Жёлтый - это жёлтый, а не сладкий.

- Значит, жёлтый - это не сладкий?

- Конечно.

- О мёде ты сказал, что он сладкий и жёлтый, а потом согласился, что жёлтый не значит сладкий, и поэтому как бы сказал, что мёд является и сладким, и несладким одновременно. А ведь в начале ты твердо говорил, что не одна вещь не может и обладать и не обладать каким-то свойством.

Конечно, софисту не удалось доказать, что мёд имеет одновременно противоречащие друг другу свойства - сладкий и несладкий. Подобные утверждения несовместимы с логическим законом противоречия, и их вообще не возможно доказать. Видимость убедительности данного утверждения создаётся за счет подмены софистом выражения «Быть желтым не значит быть сладким» выражением «Быть желтым значит не быть сладким». Но это совершенно разные выражения. Верно, что желтое не обязательно является сладким (например, лимон, который желтый и кислый), но неверно, что желтое непременно несладкое. Подмена происходит почти незаметно, когда рассуждение протекает в сокращенной форме. Но стоит развернуть сокращённое «желтый - это несладкий», как эта подмена становиться явной.

3. Софизм «Рогатый» был одним из самых знаменитых в Древней Греции. Сейчас он содержится во многих энциклопедиях в качестве «образцового». С его помощью можно уверить каждого, что он рогат: «Что ты не терял, ты имеешь; рога ты не терял; значит у тебя рога». Здесь обыгрывается двусмысленность выражения «то, что не терял». Иногда оно означает «то, что имел и не потерял», а иногда просто «то, что не потерял, независимо от того, имел или нет». Можно, например, спросит человека: «Не вы потеряли зонтик?», не зная заранее, был у него зонтик или нет. В посылке «Что ты не терял, то имеешь» оборот «то, что ты не терял» должен означать «то, что имел и не потерял», иначе эта посылка окажется ложной. Но во второй посылке это значение уже не проходит: высказывание «Рога - это то, что ты имел и не потерял» является ложным [6, С.372-373].

Подобных софизмов придумали в античности очень много. И, несмотря на то, что их осуждали и критиковали ещё в Древней Греции, их обсуждают и сейчас, и интерес к ним не пропал и в наши дни. Люди до сих пор сочиняют и используют софизмы в своей речи. Примером современного софизма может служить сочиненная английскими студентами песенка:

Чем больше учишься, тем больше знаешь. Чем больше знаешь, тем больше забываешь. А чем больше забываешь, тем меньше знаешь. А чем меньше знаешь, тем меньше забываешь. Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь. Так для чего учиться?

А в одном известном анекдоте про Вовочку (где доказывается, что таракан слышит ногами) можно увидеть аналогию с софистическим утверждением, что для зрения глаза не так уж нужны.

Встречаются софизмы и в повседневных разговорах, например, в спорах. Часто один из участников спора, стремящийся добиться победы любой ценой, намеренно использует в своей речи софизмы. А.А. Ивин пишет: «Софизм традиционно считается помехой в обсуждении и в споре. Использование софизмов уводит рассуждение в сторону: вместо выбранной темы приходится говорить о правилах и принципах логики» [5, С.293].

Таким образом, софизмы понимаются лишь как сбивчивое доказательство, как нечестная попытка выдать ложь за правду. Это преднамеренные логические ошибки, тонкий завуалированный обман.

Парадокс, по своей природе близок и паралогизму и особенно софизму. Однако, несмотря на их схожесть, все-таки существуют и различия. Как уже говорилось, парадоксом называется странный, неожиданный результат, глубоко расходящийся с общепринятыми представлениями. Но от паралогизма он отличается тем, что выведен логически корректно, с соблюдением норм и правил логики. Различие между парадоксом и софизмом в то, что парадокс - не преднамеренно полученный противоречивый результат.

Впрочем, нужно заметить, что грань между софизмами и парадоксами не является четко определенной. В случаях многих конкретных рассуждений невозможно решить на основе стандартных определений софизма и парадокса, к какому из этих двух классов следует отнести данные рассуждения. Хорошо известный «Парадокс лжеца» был придуман, как софизм, однако в последствие получил статус парадокса, поскольку его противоречивость говорит о какой-то логической ошибке, но в чем она и как её устранить до сих пор остаётся загадкой.

1.2 Классификации парадоксов

Таким образом, парадокс - это противоречие, а не ошибка, его появление нельзя объяснить желанием сознательно исказить положение дел или незнанием какой-то детальной информации. Он коренится глубже и свидетельствует об объективно сложившемся противоречивом состоянии дел.

Первые парадоксы были известны уже в глубокой древности, существуют и современные парадоксы. Некоторые из этих противоречий удалось решить путём создания новых теорий, переосмысления устоявшихся, но несовершенных законов. Другие - так и остались неразрешенными. Считается, что ученые относятся к парадоксам с неприязнью, их называют «патологиями» науки и стремятся как можно скорее от них избавиться. Однако это не всегда удаётся. В настоящее время не существует науки, в которой бы никогда не возникала парадоксов. Их находили в психологии, лингвистики, физике и даже в таких точных науках как логика и математика.

Сейчас сложно подсчитать, как много существует парадоксов: они многочисленны, разнообразны по своей природе и структуре. Поэтому ученые пытаются их структурировать, объединить в какую-либо систему. Вот примеры некоторых классификаций:

Традиционная классификация, идущая от Рамсея (1926), делит парадоксы на логические и семантические. Это классификация проста и удобна, однако М.М. Новосёлов замечает, что рамсеевская классификация парадоксов не делает различия между чистой и прикладной логикой. Однако, это различие существенно, поскольку в чистой логике нельзя обнаружить что-либо парадоксальное, непротиворечивость этих систем доказана. Только в прикладной логике есть гипотезы и предпосылки, которые придают доказательствам относительный (условный) характер и которые, в случае обнаружения противоречий, приходится исключать. Поскольку в данной классификации подобного различия не проводится, все беды, связанные с парадоксами как бы перекладываются на какой-то таинственный противоречивый характер нашего мышления, что даёт возможность недоброжелателям говорить о кризисе в логике.

М.М. Новосёлов предлагает иную классификацию парадоксов, которая, по его мнению, более детально обращает внимание на особенности допущений (и принципов) весьма общего порядка, способных проявиться в основе того или иного парадокса. Данная классификация разделяет парадоксы на:

1) парадоксы, связанные с математической индукцией (парадокс кучи, космологические парадоксы; парадокс Хао-Вана, связанный с неоднозначностью натурального ряда в аксиоматической теории множеств и формализуемостью доказательств непротиворечивости);

2) парадоксы релевантности (т.е. те, в основе которых лежит допущение о возможности игнорировать подробности смысловых связей); с этими парадоксами связаны и парадоксы математической индукции, так как попытки освободиться от этих парадоксов основаны на математической индукции;

3) парадоксы отождествлений (в основе которых лежит допущение о независимости тождества от отождествлений); они также связаны с парадоксами математической индукции и парадоксами актива-пассива;

4) семантические парадоксы (основанные на допущение об осмысленности отношения обозначения);

5) теоретико-множественные парадоксы (сводимые к предыдущим);

6) парадоксы актива-пассива (отождествление происходящего с производимым и т.п.; к ним относятся парадоксы о необходимости начала мира, антиномии Канта); кроме того, из-за парадоксов актива-пассива возникают парадоксы отождествлений, а также следующие группы парадоксов:

7) парадоксы модальностей, которые допускают дальнейшую классификацию: отождествление возможного с действительным, ошибка смещения целей (приводящая к тому, что достаточное считается необходимым и т.п.); пренебрежение условиями возможности (что связано с парадоксами релевантности и приводит к смешению возможности с действительностью); парадокс «утренняя звезда»

8) парадоксы из-за смещения интуитивных понятий с четко определенными (они родственны семантическим парадоксам)[7, С.76-77].

В электронной энциклопедии Wikipedia приводится следующая классификация парадоксов:

I. Логические:

- парадокс импликации: несовместные посылки делают аргумент верным;

- парадокс воронов (или Вомроны Хемпеля): существование красного яблока увеличивает вероятность того, что все вомроны чёрные;

- парадокс неожиданной казни: если сказать осуждённому на казнь, что она произойдёт в неожиданный для него день этой недели, то он логически придёт к выводу, что она не может произойти ни в один из дней недели. Тогда она и будет сюрпризом;

- парадокс пьяницы: в любом непустом заведении всегда существует человек такой, что если он пьёт, то пьют и все остальные посетители;

- парадокс лотереи: вполне ожидаемо (и философски проверяемо), что данный конкретный билет не выиграет, но нельзя ожидать, что никакой билет не выиграет.

II. Парадоксы самореференции (самоотносимости):

Это хорошо известный (и хорошо изученный) класс противоречий, возникающий из-за ссылки на само себя.

- парадокс Берри: фраза «наименьшее число, которое нельзя описать менее, чем десятью словами» описывает это число девятью словами;

- парадокс Эпименида: Критянин говорит: «Все критяне - лжецы»;

- парадокс исключений: «Если у каждого правила есть исключения, то каждое правило должно иметь хотя бы одно исключение, кроме этого» …а это не исключение к правилу, которое утверждает, что у каждого правила есть исключения?

- парадокс Греллинга-Нельсона: является ли слово «гетерологичный», означающее «неприменимый к самому себе», гетерологичным словом?

- парадокс Петрония: «Ограничивайте себя во всех вещах, даже в ограничении»;

- парадокс Квина: «…влечёт за собой ложность, будучи добавленным к собственному цитированию» влечёт за собой ложность, будучи добавленным к собственному цитированию;

- парадокс Эватла (софизм Эватла): Протагор взял ученика Эватла при условии, что тот ему заплатит, когда выиграет первое дело. Случилось так, что Протагор подал иск на Эватла за то, что тот ему долго не платит. Должен ли Эватл заплатить, если он выиграет это дело (хотя выигрыш означает, что Эватл ничего не должен Протагору)?

- парадокс Рассела: Содержит ли множество всех таких множеств, которые не содержат себя, самого себя? Рассел популяризовал его в форме парадокса брадобрея: «Брадобрей бреет всех людей, которые не бреются сами. Бреет ли он себя?»

III. Неопределённые:

- парадокс Корабля Тесея: если каждый элемент корабля был заменён хотя бы один раз, можно ли считать корабль прежним кораблём?

- парадокс кучи: в какой момент куча перестанет быть кучей, если отнимать от неё по одной песчинке? Или, в какой конкретно день какой-либо человек становится лысым?

IV. Математические и статистические:http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%B7%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5:Monty_open_door.svghttp://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%B7%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5:Monty_open_door.svg

- парадокс интересных чисел: первое неинтересное число интересно само по себе этим фактом. Поэтому неинтересных чисел не существует;

- парадокс Линдли: маленькие ошибки в нулевой гипотезе сильно возрастают, если анализируются большие массивы данных, приводя к ложным, но одновременно точным со статистической точки зрения результатам;

- парадокс недоношенности: низкий вес при рождении и курение матери приводят к большой смертности. Дети курящих родителей имеют более низкий вес при рождении, однако маловесящие дети курящих родителей имеют более низкую смертность, чем другие маловесящие дети;

- парадокс Уилла Роджерса: математическое понятие среднего, определённое как среднее арифметическое, или как медиана - неважно, приводит к парадоксальному результату - например, возможно переместить статью из Википедия в Викицитатник так, чтобы средняя длина статьи увеличилась на обоих сайтах!

- парадокс маляра: бесконечную по площади пластинку можно окрасить конечным количеством краски.

V. Вероятностные:

- парадокс Берксона: два независимых события становятся условно зависимыми при условии, что хотя бы одно из них произошло;

- парадокс пари: в некоторых ситуациях выгодно спорить обоим противникам, ибо оба имеют бомльшие шансы на победу, чем на проигрыш;

- парадокс определения: невозможно дать определение определению, ибо пока мы не дали это определение, сам о понятие определения остается неизвестным;

VI.Связанные с бесконечностью:

- парадокс Гильберта: Если гостиница с бесконечным количеством номеров полностью заполнена, в неё можно поселить ещё посетителей, даже бесконечное число;

- парадокс Интернета: Вероятность существования нужной информации в Интернете возрастает, а возможность её найти уменьшается.

VII.Геометрические или топологические:http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%B7%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5:Tarski.pnghttp://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%B7%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5:Tarski.png

- парадокс Банаха - Тарского: шар может быть разложен на несколько частей, из которых потом можно сложить два точно таких же шара.http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%B7%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5:MorinSurfaceFromTheTop.PNG

VIII. Связанные с выбором:

- парадокс Абилина: Бывает, что люди принимают решения основанные не на том, что они сами хотят, но на том, что они думают, что другие хотят. В результате получается, что каждый делает что-то, что никому на самом деле не нужно;

- парадокс контроля: человек не может быть свободен от контроля, ибо чтобы быть свободным от контроля, нужно контролировать себя;

IX. Химические:

- парадокс Левинталя: промежуток времени, за который протеиновая цепочка приходит к своему скрученному состоянию, на много порядков меньше, чем оно могло бы быть, если она просто перебирала все возможные конфигурации.

X. Физические:

- парадокс Архимеда: огромный корабль может плавать в нескольких литрах воды;

- кот Шрёдингера. Квантовый парадокс: кот жив или мёртв перед тем, как мы на него посмотрим?

- парадокс близнецов: Когда близнец-путешественник вернулся, он стал моложе или старше, чем его брат, который оставался на Земле?

- парадокс Мпембы: горячая вода (при некоторых условиях) может замёрзнуть быстрее, чем холодная, хотя при этом она должна пройти температуру холодной воды в процессе замерзания;

- фотометрический парадокс: Почему ночное небо - чёрное, хотя в нём бесконечное число звёзд?

XI. Связанные с путешествиями во времени:

- парадокс дедушки: вы перемещаетесь в прошлое и убиваете своего дедушку до того, как он познакомился с Вашей бабушкой. Из-за этого Вы не сможете появиться на свет и, следовательно, не сможете убить своего дедушку;

- парадокс предопределения: человек попадает в прошлое, имеет половую связь со своей прабабушкой и зачинает своего дедушку. В результате получается череда потомков, включая родителя этого человека и его самого. Следовательно, если бы он не путешествовал в прошлое, его бы вообще не существовало.

XII. Философские:

- тотальная казнь, или парадокс смертной казни: убийство в некоторых странах карается смертной казнью, но, совершая её, государство (то есть все его жители) становятся убийцами и должны быть приговорены к смерти;

- парадокс эпикурейцев, или Проблема зла (англ.): кажется, что существование зла несовместимо с существованием всемогущего и заботливого Бога;

- аддитивность счастья: что лучше: большая группа людей, живущая сносной жизнью, или небольшая, живущая счастливо?

- парадокс всемогущества: может ли всемогущее существо создать камень, который оно само не сможет поднять?

- парадокс гедонизма: когда человек занимается только своим счастьем, он несчастен; но, занимаясь другими вещами, он может быть счастливым;

XIII. Экономические:

- парадокс ценности: почему вода стоит дешевле алмазов, хотя потребность человека в ней гораздо больше, чем в алмазах?

- парадокс Элсберга: Люди предпочитают известный, хотя и бомльший, риск неизвестному риску, что противоречит теории ожидаемой пользы;

- парадокс Паррондо: возможно выиграть, играя поочерёдно в две заведомо проигрышные игры; [16]

Таким образом, можно утверждать, что в настоящий момент существует немало классификаций парадоксов и ни одну из них нельзя назвать совершенной. Попытаться классифицировать, упорядочить парадоксы - это как попытаться объять необъятное. Парадоксы существуют повсюду, они неотъемлемая часть любой науки. Разнообразие и разноаспектность наук и объясняет разнородность парадоксов, которая служит помехой для создания точной и общепринятой классификации.

В настоящей работе не ставилась задача рассмотреть все парадоксы во всем их разнообразии, здесь лишь делается попытка описать наиболее общие, известные и «образцовые» (прототипические) парадоксы. Поэтому в данном реферате мы будем придерживаться очень простой классификации: разделим парадоксы на логические и парадоксы, существующие в других науках (физические, математические). Несмотря на явное упрощение, именно такое разделение представляется наиболее подходящим и оправданным целями данной работы.

2. Парадоксы в науке

Наука - это сложное явление общественной жизни; её основным назначением является получение объективных знаний о мире. Наука - это многоаспектное явление. Её можно рассматривать как социальный институт, как определенную социальную общность или как социально-культурный феномен, как порождение определённого типа общества, как продукт человеческой истории, как фактор общественной жизни. Но всё же центральным аспектом её изучения является рассмотрение её как системы знания особого рода.

Научное знание обладает определёнными особенностями. Основным требованием к научному знанию является требование его истинности. В современной методологии науки выявлено, что требование истинности является скорее идеалом, методологическим регулятивном познания, нежели реально достижимой целью. Поэтому традиционно при исследовании научного знания выделяют те его характеристики, которые должны быть присущи каждой научной теории. К ним относится предметность, проблемность, обоснованность, интерсубъективность, системность и непротиворечивость [14, С.239].

Требование непротиворечивости нашего знания является центральным в научном мышлении и обычно строго выполняется. При возникновении противоречия в том или ином процессе познания или составе некоторого знания ученые всегда стремятся устранить его. Вместе с тем появление противоречий в процессе познания отнюдь не редкое явление. Почти в каждой более или менее сложной науке возникают так называемые парадоксы или антиномии - противоречия определенных видов [3, С.31]. Как говорил А.В. Сухотин: «Беспарадоксальных наук в настоящее время не существует. Фактически наука и движется от парадокса к парадоксу. Это вехи, которыми обозначены ее взлеты. Но и падения тоже, поскольку выявление парадокса воспринимается вначале как наступление катастрофы, как развал искусно построенного здания» [9].

Наиболее ярки и заметны парадоксы в точных науках - логике и математике. Появление парадоксов в данных науках парадоксально. Логика и математика - науки точные, не терпящие никаких противоречий вообще, не говоря уже о «неразрешимых противоречиях». Именно поэтому парадоксы, возникающие в этих науках, являются наиболее интересными и требуют более детального рассмотрения.

2.1 Парадоксы в логике

Логический парадокс - это положение, которое сначала ещё не является очевидным, однако, вопреки ожиданиям, выражает истину. В античной логике парадоксом называли утверждение, многозначность которого относится, прежде всего, к его правильности или неправильности [13, С.332-333].

Логические парадоксы пользуются особой известностью, и это не случайно. Дело в том, что логика - это абстрактная наука. В ней нет экспериментов, нет даже фактов в обычном смысле этого слова. Строя свои системы, логика исходит, в конечном счете, из анализа реального мышления. Но результаты этого анализа носят синтетический, нерасчлененный характер. Они не являются констатациями каких-либо отдельных процессов или событий, которая должна была бы объяснить теория.

Констатируя новую теорию, ученый обычно отправляется от фактов, от того, что можно наблюдать на опыте. Но в логике, как уже говорилось, нет экспериментов, нет фактов и нет самого наблюдения. Поэтому возникает вопрос: что в таком случае принимается во внимание при создании новых логических теорий? А.А. Ивин пишет по этому поводу: «Расхождение логической теории с практикой действительного мышления нередко обнаруживается в форме более или менее острого логического парадокса, а иногда даже в форме логической антиномии (это наиболее резкая форма парадокса - рассуждение, доказывающее эквивалентность двух утверждений, одно из которых является отрицанием другого). Парадоксы и антиномии говорят о внутренней противоречивости теории. Именно этим объясняется то значение, которое придаётся парадоксам в логике, и то большое внимание, которым они в ней пользуются» [5, С.309-310].

Рассмотрим некоторые из наиболее известных логических парадоксов.

Королем логических парадоксов по праву считается парадокс «Лжец». Автором этого парадокса считается Евбулид из Милета. В его формулировке данный парадокс звучит следующим образом:

Критянин Эпименид сказал: «Все критяне лжецы». Эпименид сам критянин. Следовательно, он лжец.

Далее начинаются логические рассуждения: «Если Эпименид лгун, тогда его заявление, что все критяне лгуны - ложно. Значит, критяне не лгуны. Между тем Эпименид, как определено условием, - критянин, следовательно, он не лгун, и поэтому его утверждение «все критяне лгуны» - истинно. Таким образом, получаются взаимоисключающие предложения. Одно из них утверждает, что высказывание «все критяне лгуны», является ложным, а другое, наоборот, квалифицирует это же высказывание как истинное. Притом как в одном, так и в другом случае используемые рассуждения логически строги, в них нет ни намеренных, ни непреднамеренных ошибок. Так где же истина?

Было приложено немало усилий объяснить этот странный результат. Имеется, например, такое решение. Почему мы должны считать, что Эпименид говорит одну только ложь и никогда не говорит правды? Точно так же тот, кто считается правдивым, разве всегда утверждает лишь правду? В практике общения ложное обычно перемешано с истиной, и мы не найдем такого отпетого лгуна, который только бы лгал» [9]. Поэтому вполне можно считать, что в данном случае Эпименид говорит правду, все критяне действительно лгуны, а данное высказывание является исключением. Однако подобные рассуждения, конечно, нельзя считать объяснением этого парадокса, это скорее «уход от решения», а не само «решение».

Парадокс «Лжец» считается наиболее известным и самым интересным из всех логических парадоксов. Одним из подтверждения данного факта можно считать огромное количество вариаций на тему этого парадокса.

В простейшем варианте «Лжеца» человек произносит всего одну фразу: «Я лгу». Или говорит: «Высказывание, которое я сейчас произношу, является ложным». Или: «Это высказывание ложно».

В средние века была распространена такая формулировка данного парадокса:

- Сказанное Платоном - ложно, - говорит Сократ.

- То, что сказал Сократ, - истина, - говорит Платон.

Имеются и современные перефразировки этого парадокса. Например:

На лицевой стороне карточки написаны слова: «На другой стороне карточки записано истинное высказывание». Значит то, что написано на обороте является истинным. Перевернув карточку, мы видим слова: «На другой стороне карточки написано ложное высказывание». Допустим, что утверждение на лицевой стороне карточки истинно. Тогда утверждение на обороте должно быть истинным и, значит, утверждение на лицевой стороне должно быть ложным. Но если утверждение с лицевой стороны ложно, тогда утверждение на обороте также должно быть ложным, и, следовательно, утверждение на лицевой стороне должно быть истинным. В итоге - парадокс [5, С.310-311].

Парадокс лжец произвел громадное впечатление на греков. Ходит даже легенда, что некий Филлит Косский, отчаявшись разрешить этот парадокс, покончил с собой. А один известный древнегреческий логик Диодор Кронос, уже на склоне лет дал обет не принимать пищу до тех пор, пока не найдёт решение «Лжеца», и вскоре умер, так ничего и не добившись.

В средние века этот парадокс был отнесен к так называемым неразрешимым предложениям. В Новое время «Лжец» долго не привлекал никакого внимания. И только в наше Новейшее время развитие логики достигло наконец уровня, когда проблемы, стоящие, как представляется за этим парадоксом, стало возможным формулировать уже в строгих терминах.

Сейчас «Лжец» считается характерным примером тех трудностей, к которым ведёт смешение двух языков: языка, на котором говориться о лежащей вне его действительности, и языка, на котором говорят о самом первом языке.

В повседневном языке нет различия между этими уровнями: и о действительности, и о языке, мы говорим на одном и том же языке. Однако, если бы у кого-то возникла мысль о необходимости говорить о мире на одном языке, а о свойствах этого языка - на другом, он мог бы воспользоваться двумя разними существующими языками, например, русским и английским. Вместо того чтобы просто сказать: «Утверждение «Стекло не прозрачно» ложно», он произнёс бы: «The assertion «Стекло не прозрачно» is false». При таком использовании двух разных языков сказанное о мире ясно отличалось бы от сказанного о языке, с помощью которого говорят о мире.

Такое разграничение языков по области их применения - редкое явление в обычной жизни. Но в науках, специально занимающихся, подобно логике, языками, оно иногда оказывается весьма полезным. Язык, на котором рассуждают о мире, обычно называют предметным языком. Язык, используемый для описания предметного языка, именуют метаязыком.

Если язык и метаязык разграничиваются указанным образом, утверждение «Я лгу» уже не может быть сформулировано. Оно говорит о ложности того, что сказано на русском языке, и, значит, относится к метаязыку и должно быть высказано на английском языке. Оно должно звучать так: «Everything speak in Russian is false», в этом английском утверждении ничего не говорится о нём самом, и никакого парадокса не возникает [5, С.311-312].

Несколько лет назад я бессознательно применила этот метод двух языков в одном из своих стихотворений. Стихотворение называлось «Alles Luge» (всё ложь), его последняя строчка была такая:

Правда в том, что Alles Luge - остальное ложь…

Если воспроизвести эту строчку только на русском, то получится: «Правда в том, что все ложь…». Если начать рассуждать и допустить, что данное утверждение истинно, то все - ложь, а, значит, и это утверждение ложно, поэтому возможно не все - ложь, а, значит, и это утверждение может быть правдой, и, следовательно, все - все-таки ложь….и т.д. В итоге получился порочный круг, который невозможно разорвать. Данное высказывание оказывается ещё одной вариацией на тему «Лжеца», однако использование двух языков маскирует парадокс, делает его скрытым, и осознание противоречия в данном случае возможно лишь при применении подобного логического анализа.

Таким образом, теперь можно смело утверждать, что «Лжец» - это е локальное изолированное препятствие, устранимое одним изобретательным движением мысли. «Лжец» затрагивает многие наиболее важные темы логики и семантики. Это и определение истины, и истолкования противоречия и доказательства, и целая серия важных различий: между употреблением выражения и его упоминанием, между смыслом имени и обозначаемым им объектом [5, С.315].

Еще одним известным парадоксом является «Неразрешимый спор». В его основе лежит небольшое происшествие, случившееся две с лишним тысячи лет назад и не забытое до сих пор:

У знаменитого софиста Протагора, жившего в V в. до н.э., был ученик по имени Еватл, обучавшийся праву. По заключенному между ними договору Еватл должен был заплатить за обучение лишь в том случае, если выиграет свой первый судебный процесс. Если же он этот процесс проиграет, то вообще не обязан платить. Однако, закончив обучение, Еватл не стал участвовать в процессах. Это длилось довольно долго, терпение учителя иссякло, и он подал на своего ученика в суд. Таким образом, для Еватла это был первый процесс. Своё требование Протагор обосновал так:

- Каким бы ни было решение суда, Еватл должен будет заплатить мне. Он либо выиграет этот свой первый процесс, либо проиграет. Если выиграет, то заплатит в силу нашего договора. Если проиграет, то заплатит согласно этому решению.

Судя по всему, Еватл был способным учеником, поскольку он ответил Протагору:

- Действительно, я либо выиграю процесс, либо проиграю его. Если выиграю, решение суда освободит меня от обязанности платить. Если решение суда будет не в мою пользу, значит, я проиграл свой первый процесс и не заплачу в силу нашего договора.

Было предложено много решений данного парадокса.

Например, ссылались на то, что решение суда должно иметь большую силу, чем частная договоренность двух лиц. Однако, не будь этой договорённости, какой бы незначительной она не казалась, не было бы ни суда, ни его решения. Ведь суд должен вынести своё решение именно по её поводу и на её основе.

Обращались также к общему принципу, что всякий труд, а значит, и труд Протагора, должен быть оплачен. Но ведь известно, что этот принцип всегда имел исключения, тем более в рабовладельческом обществе. К тому же данный принцип просто неприложим к конкретной ситуации спора: ведь Протагор, гарантируя высокий уровень обучения, сам отказывался принимать плату в случае неудачи своего ученика в первом процессе.

На самом деле все эти решения являются несостоятельными. Они представляют собой не более чем уход от существа спора, являются софистическими уловками и хитростями в безвыходной и неразрешимой ситуации. Ни здравый смысл, ни какие-то общие принципы, касающиеся социальных отношений, не способны разрешить данный спор. Проблема здесь заключается в самом договоре, в его внутренней противоречивости. Он требует реализации логически невозможного положения: Еватл должен одновременно и уплатить за обучение, и вместе с тем не платить [5, С.319-321].

Таким образом, можно утверждать, что парадоксы широко распространены в логике. Они озадачили ученых с момента своего открытия и, скорее всего, будут озадачивать всегда. Парадоксы в логике следует рассматривать не просто как проблемы, которые ожидают своего решения, а как неисчерпаемый сырой материал для размышления. Они важны, поскольку размышление о них затрагивает наиболее фундаментальные вопросы всей логики, а значит, и всего мышления.

2.2 Парадоксы в математике и в физике

Математику называют царицей наук и считают самой точной и строгой областью научного исследования. Не случайно существует мнение, что математики плохо приспособлены к законам действительного парадоксального мира, так как их «математический мир» отличается идеальностью, логичностью и непротиворечивостью. Поэтому наличие парадоксов в математике - это факт сам по себе парадоксальный. И все-таки это - факт. Парадоксы существуют даже в математике. Более того, математические парадоксы являются наиболее впечатляющими, а вместе с тем и особенно сложными и трудными для понимания.

За свою историю математика испытала три сильнейших потрясения, три кризиса, которые касались ее основ. И все три сопровождались обнаружением парадоксов. Одновременно с этим их преодоление достигалось ценой введения необычных понятий, утверждением невероятных идей. Одним словом, парадоксы разрешались благодаря тому лишь, что они порождали новые, также парадоксальные теории.

Первый кризис разразился еще в древности и был вызван открытием факта несоизмеримости величин. Другими словами две однородные величины, выражающие длины или площади, являются соизмеримыми, если они обладают так называемой общей мерой. То есть если имеется такая однородная с ними величина, которая укладывается в каждой из них целое число раз. Однако выяснилось, что диагональ квадрата и его сторона не имеют общей меры, и их отношения нельзя выразить с помощью известных к тому времени рациональных, то есть целых или дробных чисел. Это и вызвало кризис античной математики. Парадокс состоял в том, что по отдельности каждая из несоизмеримых величин - и диагональ и сторона квадрата - может быть измерена и количественно точно определена. Однако выразить их длины через отношения друг к другу посредством имевшихся тогда чисел не удавалось.

Этот парадокс удалось преодолеть путём введения в математику v (квадратного корня). Он был введен благодаря следующим рассуждениям:

Если квадрат разрезать по диагонали, получается два прямоугольных равнобедренных треугольника, где линия бывшей диагонали будет гипотенузой, а стороны квадрата - катетами. Согласно знаменитой теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, точнее, площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Отсюда и величина отношения гипотенузы к катету (или диагонали к стороне квадрата), равная v2.

Очередная катастрофа произошла несколько веков спустя и особенно сильно проявлялась в математике в XVII-XVIII вв. В этот раз дело касалось истолкования бесконечно малых величин. Бесконечно малые - это переменные величины, стремящиеся к нулю, точнее, как было показано позже, стремящиеся к пределу, равному нулю. Кризис возник в силу расплывчатого понимания бесконечно малого. В одних случаях оно приравнивалось к нулю и при вычислениях отбрасывалось, в других же - принималось как значение, отличное от нуля, о чем говорит и само название. Причина столь противоречивого подхода к бесконечно малым объясняется тем, что их рассматривали в качестве постоянных величин, В силу этого бесконечное понималось как нечто завершенное, имеющееся налицо, данное всеми своими элементами.