Основатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор сказал: "Бесконечное множество есть многое, мыслимое нами как единое".

Георг Кантор обнаружил, что свойства конечных и бесконечных множеств совершенно непохожи друг на друга: многие операции, невозможные для конечных множеств, без труда выполняются для бесконечных. "Попробуйте, например, поместить в гостиницу, каждый номер которой занят одним постояльцем, еще жильцов, да так, чтобы в каждом номере снова жил лишь один человек. Не получается? Так это только потому, что число номеров в гостинице конечно! А если бы в ней было бесконечно много номеров?. Но такие гостиницы могут встретиться разве что в рассказах межзвездного скитальца Йоца Тихого.

Первый вопрос, который мы сейчас разберем, это вопрос о сравнении друг с другом бесконечных множеств. Для конечных множеств задача сравнения решается просто. Чтобы узнать, одинаково ли число элементов в двух множествах, достаточно пересчитать их. Если получатся одинаковые числа, то, значит, в обоих множествах поровну элементов. Но для бесконечных множеств такой способ не годится, ибо, начав пересчитывать элементы бесконечного множества, мы рискуем посвятить этому делу всю свою жизнь и все же не закончить начатого предприятия.

Но и для конечных множеств метод пересчета не всегда удобен. Представьте, что мы на танцплощадке. Как узнать, поровну ли здесь юношей и девушек? Для этого попросим оркестр сыграть какой-нибудь танец, который все умеют танцевать. Тогда юноши пригласят девушек на танец и наша задача будет решена. Ведь если окажется, что все юноши и все девушки танцуют, то есть если вся молодежь разбилась на танцующие пары, то ясно, что на площадке ровно столько же юношей, сколько и девушек.

Мы познакомились с тем, как узнать, что два конечных множества имеют поровну элементов, не прибегая к пересчету этих множеств. Этот способ можно применить и для бесконечных множеств. Только здесь уж не удастся прибегнуть к помощи "оркестра", а придётся самим располагать элементы двух сравниваемых множеств в "танцующие пары".

Итак, пусть у нас даны два множества А и В, Говорят, что между ними установлено взаимно однозначное соответствие, если элементы этих множеств объединены в пары (а,b) так, что:

1) элемент а принадлежит множеству А, а элемент b - множеству В;

2) каждый элемент обоих множеств попал в одну и только одну пару.

Например, если множество А состоит из юношей на танцплощадке, а множество В - из девушек на той же площадке, то пары {а, b) образуются из танцующих друг с другом юноши и девушки. Читатель сам легко придумает разнообразные примеры таких соответствий между множествами равной численности" [5, c.48-53]. Важнейшим поворотным пунктом в теории множества был момент, когда Кантор решил применить идею взаимно однозначного соответствия для сравнения бесконечных множеств. Иными словами, по Кантору, два бесконечных множества А и В имеют поровну элементов, если между элементами этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие.

"Зададим себе новый вопрос: Равна ли часть целому? Основной догмой, которую пришлось отбросить, было положение, установленное на самой заре развития математики: часть меньше целого. Это положение безусловно верно для конечных множеств, но для бесконечных множеств оно уже теряет силу. Вспомните, как расселил директор необыкновенной гостиницы космозоологов по четным номерам. При этом расселении жилец из № п переезжал в № 2п. А мы договорились считать, что бесконечные множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие, содержат поровну элементов. Значит, бесконечное множество натуральных чисел содержит столько же элементов, сколько и его часть - бесконечное множество четных чисел.

Вообще между множеством всех натуральных чисел и любой его бесконечной частью всегда можно установить взаимно однозначное соответствие. Для этого достаточно перенумеровать по порядку числа из этой части.

Мы уже выяснили, что значат слова "два бесконечных множества имеют поровну элементов". А теперь выясним, что значит "одно бесконечное множество имеет больше элементов, чем второе". Для конечных множеств это тоже можно выяснить, не прибегая к счету. В этих случаях мы поступали так: устанавливали взаимно однозначное соответствие между одним множеством и частью другого множества. Если это удавалось, то отсюда следовало, что второе множество содержит больше элементов, чем первое. Пользуясь этим методом, легко установить, например, что рыб в океане меньше, чем атомов на земном шаре (хотя оба эти множества и конечны, их вряд ли возможно пересчитать). Для этого достаточно каждой рыбе поставить в соответствие один атом, входящий в состав ее тела. Тем самым будет установлено взаимно однозначное соответствие между множеством всех рыб и частью множества всех атомов на земном шаре.

К сожалению, для бесконечных множеств так просто поступить нельзя. Ведь мы уже видели, что бесконечное множество может иметь столько же элементов, сколько и его часть. Поэтому только из того, что бесконечное множество А имеет столько же элементов, сколько часть бесконечного множества В, еще нельзя заключить, что оно имеет меньше элементов, чем все множество В.

Мы скажем, что если А можно поставить во взаимно однозначное соответствие с частью бесконечного множества В, то бесконечное множество В имеет не меньше элементов, чем бесконечное множество А. Можно доказать, что это отношение обладает всеми свойствами неравенств:

1) каждое бесконечное множество имеет не меньше элементов, чем оно само;

2) если в одном бесконечном множестве не меньше элементов, чем во втором, а во втором - не меньше элементов, чем в третьем, то первое бесконечное множество имеет не меньше элементов, чем третье;

3) если каждое из двух бесконечных множеств имеет не меньше элементов, чем другое, то оба имеют поровну элементов.

Первое свойство вытекает из того, что, ставя в соответствие каждому элементу бесконечного множества А сам этот элемент, получаем взаимно однозначное отображение А на себя. Прозрачен и смысл второго свойства: если А можно взаимно однозначно отобразить на часть бесконечного множества В, а В - на часть бесконечного множества С, то существует взаимно однозначное отображение А на часть С. А вот третье свойство при всей простоте его формулировки означает довольно сложное утверждение: если можно взаимно однозначно отобразить бесконечное множество А на часть бесконечного множества В, а бесконечное множество В на часть бесконечного множества А, то существует и взаимно однозначное отображение всего бесконечного множества А на В.

Выясним теперь, в каких же случаях говорят, что мощность бесконечного множества А меньше мощности бесконечного множества В. Может случиться, что бесконечное множество В имеет не меньше элементов, чем бесконечное множество А, но эти бесконечные множества не эквивалентны. Иными словами, может случиться, что есть взаимно однозначное соответствие между бесконечным множеством А и частью бесконечного множества В, но не существует взаимно однозначного соответствия между А и всем бесконечным множеством В. Вот в этом случае мы и будем говорить, что А имеет меньше элементов, чем В.

Мы уже говорили, что любая бесконечная часть множества натуральных чисел счетна. Это означает, что не может существовать бесконечное множество, мощность которого была бы меньше мощности счетного множества. Докажем теперь, что в каждом бесконечном множестве есть счетное подмножество. Отсюда будет следовать, что мощность счетного множества не больше мощности любого бесконечного множества, то есть что эта мощность - самая маленькая из бесконечных.

Чтобы выбрать счетное подмножество из бесконечного множества А, поступим так. Выберем один элемент х₁ - это можно сделать, так как множество А бесконечно и, во всяком случае, не пусто. Ясно, что после удаления элемента X₁ множество А не исчерпывается, и мы сможем выбрать из него второй элемент х_г. После этого выберем третий элемент х₃ и т.д. В результате мы извлечем из множества А счетное подмножество занумерованных элементов. Немного усовершенствовав это доказательство, можно добиться, чтобы после удаления счетного подмножества осталось бесконечное множество. Для этого надо после извлечения подмножества X вернуть обратно все элементы с четными номерами. В результате получится, что мы извлекли счетное подмножество, а оставшееся множество еще содержит бесконечное множество элементов и, быть может, еще много других элементов.

Нетрудно доказать следующие теоремы:

Мощность бесконечного множества, не изменяется от прибавления к нему счетного множества.

Мощность несчетного множества не меняется от удаления из него счетного множества.

Эти теоремы еще раз подтверждают, что счетные множества - самые малые из бесконечных множеств.

Все построенные до сих пор множества оказались счетными. Это наводит на мысль: а не являются ли вообще все бесконечные множества счетными? Если бы это оказалось так, то жизнь математиков была бы легкой: все бесконечные множества имели бы поровну элементов и не понадобился бы никакой анализ бесконечности. Но выяснилось, что дело обстоит куда сложнее: несчетные множества существуют и притом могут иметь самые разные мощности. Одно несчетное множество всем хорошо знакомо - это множество всех точек на прямой линии. Но прежде чем говорить об этом множестве, мы расскажем о другом, тесно связанном с ним множестве Л вариантов заполнения необыкновенной гостиницы" [5, c.53-63].

Заметим, что доказать несчетность какого-то множества вообще нелегко. Ведь доказать, что какое-то множество счетно, это значит просто придумать правило, по которому нумеруются его элементы. А доказать несчетность какого-то множества, это значит доказать, что такого правила нет и быть не может. Иными словами, какое бы правило мы ни придумали, всегда найдется незанумерованный элемент множества". Чтобы доказывать несчетность множеств, Кантор придумал очень остроумный способ, получивший название диагонального процесса. Метод доказательства Кантора становится ясен из рассказа Иона Тихого "Несостоявшаяся перепись".

"До тех пор пока читатель не познакомился с удивительными свойствами бесконечных множеств, ответ на вопрос: "Где больше точек, на отрезке длиной в 1 мм или на отрезке длиной в 1 м?" - вряд ли вызвал бы у него хоть тень сомнения. Ясно, что на отрезке в 1 м куда больше точек, он ведь в 1000 раз длиннее. Но теперь, вероятно, читатель поостережется делать столь безапелляционные заявления - уж слишком не похожи свойства бесконечных множеств на то, чему учит обыденная жизнь. И действительно, на очень коротком и очень длинном отрезках точек поровну! Иными словами, всегда можно установить взаимно однозначное соответствие между точками этих отрезков.

Трудно примириться с мыслью, что дорога длиной в миллион световых лет имеет столько же точек, сколько и радиус атомного ядра! Но еще неожиданнее оказалось то, что даже на всей бесконечной прямой не больше точек, чем на отрезке, то есть что между множеством точек на прямой и множеством точек на отрезке можно установить взаимно однозначное соответствие." [5, c.65-66].

С тем, что на бесконечной прямой столько же точек, сколько и на отрезке, математики, скрепя сердце, примирились. Но следующий результат Кантора оказался еще более неожиданным. В поисках множества, имеющего больше элементов, чем отрезок, он обратился к множеству точек квадрата. Сомнения в результате не было: ведь отрезок целиком размещается на одной стороне квадрата, а множество всех отрезков, на которые можно разложить квадрат, само имеет ту же мощность, что и множество точек отрезка.

Георг Кантор пришел к выводу, что бесконечное множество точек квадрата имеет не большую мощность, чем бесконечное множество точек отрезка. Но его мощность и не меньше, а потому эти мощности совпадают. Не только квадрат, но и куб имеет столько же точек, сколь и отрезок. Вообще любая геометрическая фигура, содержащая хоть одну линию, имеет столько же точек, сколько и отрезок. Такие бесконечные множества называют множествами мощности континуума (от латинского continuum - непрерывный).

"Пока что самой большой мощностью, которую мы знаем, является мощность бесконечного множества точек на прямой, то есть мощность континуума. Ни множество точек квадрата, ни множество точек куба не имеют большей мощности. Не является ли мощность континуума самой большой? Оказывается, что нет. Более того, вообще нет множества самой большой мощности. Для любого бесконечного множества А есть бесконечное множество, мощность которого больше мощности А. Этим множеством является, например, бесконечное множество В всех функций, заданных на бесконечном множестве А и принимающих значения 0 и 1.

Итак, для любого множества А можно построить множество В большей мощности. Поэтому бесконечного множества самой большой мощности не существует. Отправляясь от самой малой из бесконечных мощностей - мощности бесконечного множества натуральных чисел, мы получим сначала мощность континуума, потом мощность бесконечного множества всех функций, заданных на множестве действительных чисел, и будем без конца подниматься вверх по этой головокружительной лестнице все увеличивающихся бесконечных мощностей" [5, c.71-72].

Кантор, вслед за Больцано, настойчиво объяснял различие актуальной и потенциальной бесконечностей. Согласно определению Кантора, потенциально бесконечное "означает переменную конечную величину, растущую сверх всяких конечных границ.". Математическое потенциально бесконечное Кантор называет "несобственно-бесконечным". Оно выступает в математике в форме дифференциалов первого или высших порядков, или в виде сумм бесконечных рядов, или в виде других предельных процессов. По разъяснению Кантора, "потенциально бесконечное" есть простое вспомогательное понятие нашего мышления. Это - "понятие отношения, которое, согласно своему определению, заключает в себе идею изменчивости и о котором, таким образом, никогда нельзя сказать в собственном смысле слова. Оно "не означает само по себе никакой идеи". Кантор тут же оговаривается, что и в этом своем смысле - как понятие отношения - потенциально бесконечное "благодаря открытому Лейбницем и Ньютоном дифференциальному и интегральному исчислениям обнаружило свое огромное значение как средство познания." (5, с.84).

Кантор признавал в полной мере плодотворность для науки этого давно утвердившегося в ней понятия потенциальной бесконечности. Он возражал против презрительного именования потенциальной (несобственной) бесконечности "дурной бесконечностью" и находил, что бесконечно малые величины, применявшиеся дотоле в математике лишь в виде "несобственно-бесконечного", принесли весьма большую пользу, так как они "доступны всем тем различиям, видоизменениям и отношениям, которыми пользуются в исчислении бесконечно малых и в теории функций и с помощью которых там собирают богатую жатву аналитических истин" (5, с.80). Но как бы ни была велика ценность для науки "потенциальной бесконечности", эта бесконечность оставалась в сущности только некоторой переменной - то растущей сверх всяких границ, то убывающей до произвольной малости, всегда конечной величиной.

Это был вывод о том, что в данном и в подобных ему случаях вполне правомерно "мыслить. бесконечное, как расположенное в некоторой вполне определенной точке". Такое бесконечное, выступающее в отличие от потенциально бесконечного в подобной вполне определенной форме, Кантор стал называть "собственно-бесконечным" или "актуально бесконечным".

Под актуально бесконечным в отличие от потенциально бесконечного Кантор понимает "некоторое замкнутое в себе постоянное, но лежащее по ту сторону всех конечных величин, количество." (5, с.85). Актуально бесконечным Кантор называет "такое количество, которое, с одной стороны, не изменчиво, но определенно и неизменно во всех своих частях и представляет истинную постоянную величину, а с другой в то же время превосходит по своей величине всякую конечную величину того же вида". Пример актуально бесконечного - совокупность всех точек, лежащих на данной окружности. Это множество есть, по выражению Кантора, "некоторая вещь для себя и образует - отвлекаясь от натурального ряда относящихся сюда чисел - некоторое неизменное во всех частях и определенное количество., которое, очевидно, приходится назвать большим, чем всякое конечное количество".

В свою очередь внутри сферы актуально бесконечного Кантор различил две его формы. Это - "трансфинитное" актуально бесконечное и абсолютное. По мысли Кантора, эти формы актуально бесконечного резко отличаются друг от друга. Трансфинитное следует мыслить "бесконечным, но в то же время доступным еще увеличению". Напротив, абсолютное "следует мыслить недоступным увеличению и поэтому математически неопределимым" (16, 86). Согласно Кантору, предмет математики - только трансфинитное бесконечное. В качестве идеального предела конечного можно мыслить не абсолютное, а лишь трансфинитное, "и притом как минимум всего трансфинитного (соответствующий наименьшему сверхконечному числу.)" (16, 87). Число это Кантор обозначил посредством греческой буквы "омега".

Кантор сделал наблюдение, что бесконечные реальные целые числа не относятся к "потенциальной бесконечности", к "несобственно-бесконечному". Обнаружилось, что им присущ тот же характер определенности, с каким мы имеем дело при рассмотрении бесконечно удаленной точки (в теории аналитических функций), и что, следовательно, они также относятся к видам "собственно-бесконечного", или к "актуальной бесконечности". Но в то время как бесконечно удаленная точка комплексной числовой плоскости противостоит, одинокая, всем расположенным на конечных расстояниях точкам, при рассмотрении бесконечных целых чисел мы получаем "не просто одно-единственное бесконечное целое число, но бесконечный ряд подобных чисел, которые резко отличны друг от друга и находятся в закономерных числовых отношениях друг к другу и к конечным целым числам".

Новое понятие актуальной бесконечности было введено в математику Георгом Кантором. Канторовская бесконечность - актуальная бесконечность, не являющаяся исчисленным неисчислимым множеством. Исходная идея Кантора - это задание множества по содержанию. Множество может быть задано перечислением всех входящих в него элементов. Бесконечное множество не может быть задано таким способом. Но множество можно задать иначе, указав некоторые признаки, которыми должны обладать все элементы множества. Подобным образом, по содержанию, может быть задано и бесконечное множество.

Георг Кантор разделил потенциальную и актуальную бесконечности. Актуально бесконечным Кантор называет "такое количество, которое, с одной стороны, не изменчиво, но определенно и неизменно во всех своих частях и представляет истинную постоянную величину, а с другой в то же время превосходит по своей величине всякую конечную величину того же вида". Согласно определению Кантора, потенциально бесконечное "означает переменную конечную величину, растущую сверх всяких конечных границ.". Математическое потенциально бесконечное Кантор называет "несобственно-бесконечным".

Кантор вводит также арифметику бесконечности. Он определил операции сложения и умножения для бесконечных мощностей. Для бесконечных мощностей он установил и операцию возведения в степень с бесконечным показателем. Далеко не все законы обычной арифметики переносятся в область арифметики натуральных чисел. Кантор говорил, что законы арифметики бесконечности коренным образом отличаются от зависимостей, царящих в области конечного, а также свойства конечных и бесконечных множеств различны. Георгу Кантору принадлежит появление трансфинитных чисел, он ввел понятие мощность бесконечного множества, разделил счетные и несчетные бесконечные множества, ввел для бесконечных множеств взаимнооднозначное соответствие, что позволило оперировать этими понятиями. Георг Кантор - величайший математик, проливший свет в тайны бесконечного, он сделал наибольшее число открытий в этой области и поэтому велика его роль как в математике, так и в философии.

Заключение