Теоретические основы электротехники

(7.2)

Вместо коэффициента А1 и А2 подставим их значения из (26.8), определенные по известным величинам напряжения U1 и тока I1 в начале линии (х = 0). Кроме того, сделаем замену:

После преобразования из уравнений (26.11) получим:

(7.3)

Из этих уравнений можно также получить выражения напряжения и тока в любой точке линии, если известны напряжение U2 и ток I2 в конце линии, при условии отсчета расстояния от конца линии:

(7.4)

С помощью уравнений (7.3) и (7.4) можно исследовать различные режимы длинной линии без потерь.

2. Холостой ход. При холостом ходе линии (I2 = 0)

(7.5)

Напряжение и ток вдоль линии в любой момент времени распределены по синусоидальному закону, причем в пунктах, где напряжение равно нулю, ток имеет наибольшую величину, а в пунктах с наибольшим напряжением ток равен нулю (рис. 7.2, а, б).

Точки линии, в которых напряжение или ток равны нулю, называются узлами, а точки с наибольшей величиной напряжения или тока -- пучностями.

Таким образом, узлы напряжения по месту расположения на линии совпадают с пучностями тока, а пучности напряжения -- с узлами тока.

Положение узлов напряжения и пучностей тока найдем, приравняв нулю напряжение в первом уравнении (7.5): U = 0 при вх = k + р/2, где k -- любое целое число или нуль, т. е. вх = р/2; 3/2р, 5/2р и т. д.

Положение на линии узлов тока и пучностей напряжения определяется из второго уравнения (7.5) при I = 0.

Напряжение и ток, распределяясь вдоль линии по синусоидальному закону без затухания, по такому же закону изменяются во времени.

Рисунок 7.2

3. Короткое замыкание. Аналогичная картина наблюдается и при коротком замыкании конца линии без потерь. Отличие электромагнитных процессов в линии без потерь в режимах холостого хода и короткого замыкания состоит лишь в том, что изменяется расположение пучностей и узлов напряжения и тока по длине линии: в тех пунктах, где при холостом ходе находятся пучности напряжения и узлы тока, при коротком замыкании обнаруживаются пучности тока и узлы напряжения. В частности, в конце разомкнутой линии имеется пучность напряжения и узел тока (I2 = 0), а в конце короткозамкнутой линии имеются пучность тока и узел напряжения (U2 = 0).

4. Стоячая волна. Пусть вектор напряжения в конце разомкнутой линии направлен по действительной оси комплексной плоскости, т. е. начальная временная фаза напряжения равна нулю:

В этом случае мгновенные значения напряжения и тока в линии можно выразить уравнениями

(7.6)

При щt = 0 во всех точках линии напряжение отсутствует (u = 0). Затем напряжение растет во всех пунктах линии, кроме узлов, и при щt = р/2 достигает амплитуды.

Но эта амплитуда напряжения во всех пунктах линии разная. В месте пучности напряжение достигает наибольшего значения U2m, а в узле оно всегда равно нулю.

Электромагнитный процесс, подчиняющийся уравнениям (7.6), называется стоячей волной, характерной особенностью которой является неподвижность узлов и пучностей на линии.

5. Бегущая волна

Из тригонометрии известно, что

Следовательно, напряжение и ток в линии можно представить суммой двух составляющих, каждая из которых является уравнением бегущей волны:

(7.7)

Первое слагаемое в этих уравнениях -- прямая волна, распространяющаяся от начала к концу линии; второе -- обратная волна с такой же амплитудой.

В этом можно убедиться, рассмотрев подробно одну из составляющих, например первую в уравнении напряжения.

Предположим, что некоторая величина напряжения и' в момент времени t имеет место в пункте, пространственное положение которого определяется расстоянием х от конца (или начала) линии (см. рис. 7.2)

Распространение волны напряжения означает, что через бесконечно малый промежуток времени dt такое же напряжение и' возникает в другом пункте линии, отстоящем от первого на бесконечно малое расстояние dx:

Равенство напряжений в моменты времени, отстоящие на dt, возможно при равенстве аргументов синусов в обоих уравнениях, т. е. при

Отсюда

или

(7.8)

Отношение характеризует скорость распространения волны напряжения вдоль линии и называется фазовой скоростью волны.

Знак минус указывает на то, что волна движется от начала к концу линии (расстояние х уменьшается).

Аналогично можно показать, что вторая составляющая напряжения в уравнении (7.7) представляет собой волну, распространяющуюся в обратном направлении (х увеличивается).

Волна, распространяющаяся от начала к концу линии, называется прямой или падающей, а волна, распространяющаяся в обратном направлении (от конца линии к началу),-- обратной или отраженной.

Те же рассуждения можно отнести к составляющим тока во втором уравнении (7.7).

Таким образом, стоячая волна напряжения представляет собой сумму, а волна тока -- разность прямой (падающей) и обратной (отраженной) волн одинаковой амплитуды.

6. Волновое сопротивление. Длина волны.

Уравнения (7.7) запишем в таком виде:

Отсюда

Волновое сопротивление линии выражается отношением напряжения к току падающих волн или аналогичным отношением для отраженных волн.

Волновое сопротивление линии можно определить через входные сопротивления при холостом ходе и коротком замыкании

(7.9)

Большой интерес представляет также расстояние, на которое бегущая волна распространяется за время одного периода синусоидально изменяющегося напряжения или тока.

Из формулы (7.8) видно, что фазовая скорость постоянна, поэтому х = щt/в.

Пусть, пройденный волной за время периода Т=2р/щ называется длиной волны

В линии без потерь фазовая скорость

(7.10)

а длина волны

Найдем величину фазовой скорости для воздушной линии без потерь, подставляя в формулу (26.19) Lo и Со двухпроводной линии, определенные ранее [см. формулы (7.31), (8.29)]:

Фазовая скорость электромагнитной волны в воздушной линии без потерь равна скорости света.

Если среда, в которой распространяется электромагнитная волна, характеризуется величинами диэлектрической еr и магнитной проницаемости мr, то

Принимая н = Cо, при частоте f = 50 Гц получим длину волны л = Cо/f =3·105)/50 = 6000 км.

Нетрудно заметить, что при частоте f = 50 Гц в реальных линиях электропередачи 6 -- 220 кВ, длина которых значительно меньше 6000 км, укладывается только небольшая часть длины волны. Поэтому волнообразное изменение напряжения и тока вдоль этих линий при такой частоте практически не наблюдается.

В линиях дальних передач с номинальным напряжением 500 кВ и более изменения величины напряжения вдоль линии становятся заметными и приходится принимать меры к его выравниванию. С увеличением частоты длина волны уменьшается. В технике связи, где применяются высокие частоты, длина волны может быть во много раз меньше длины линии.

Контрольные вопросы:

1. Какое основное уравнение длинной линии без потерь?

2. Что называется стоячей волной?

3. Что называется фазовой скоростью волны?

4. Что называется прямой или падающей волной?

5. Что называется волновым сопротивлением линии?

Литература: 1. стр. 468-476, 2. стр. 335-338, 3. стр. 408-412.

Тема 8: Нагрузочные режимы длинной линии без потерь

Цель: Уяснить нагрузочные режимы длинной линии без потерь

План:

1. Режим с согласованной нагрузкой;

2. Режим с несогласованной нагрузкой;

3. Коэффициенты отражения и преломления.

Кроме крайних режимов холостого хода и короткого замыкания для практики еще более интересными являются нагрузочные режимы, когда в конце линии включается приемник электромагнитной энергии. Из различных нагрузочных режимов рассмотрим режимы с согласованной и несогласованной активными нагрузками.

1. Режим с согласованной нагрузкой. Режим в линии называется согласованным, если сопротивление нагрузки в конце линии равно ее волновому сопротивлению: Z2 = Zс. В этом случае U2 = I2Zc, а уравнения (7.3) записывают так:

(8.1)

Учитывая, что

уравнения (8.1) можно записать в виде

(8.2)

Предположим, что синусоидальное напряжение в конце линии имеет начальную фазу ш = 0, тогда U2 = U2mejщt.

Если нагрузка линии активная (R2 = Zc), ток и напряжение совпадают по фазе: I2 = I2ejщt.

Уравнения напряжения и тока в линии:

(8.3)

В этом случае мгновенные величины напряжения и тока в любом пункте линии на расстоянии jc от ее концов определяются уравнениями

(8.4)

Это уравнения бегущих волн напряжения и тока, распространяющихся от начала к концу линии (прямые волны) с фазовой скоростью н = щ/в.

При согласованной нагрузке отраженных волн в линии нет, следовательно, энергия, которую несет падающая электромагнитная волна, полностью поглощается в нагрузке.

2. Режим с несогласованной нагрузкой. Нагрузка линии называется несогласованной, если нагрузочное сопротивление в конце линии Z, отличается от т.е.

Рассмотрим случай, когда линия замкнута на активное сопротивление R2 > ZC. Напряжение в конце линии определяется произведением U2 = I2R2. Уравнения (7.4) для этого случая

(8.5)

Отношение ZC/R2 = k называется коэффициентом бегущей волны.

С введением этого коэффициента уравнения (8.5) принимают следующий вид:

Вместо cos вx в уравнении напряжения и sin вx в уравнении тока подставим тождественные им выражения:

После подстановки получим

(8.6)

Первые слагаемые в этих уравнениях аналогичны уравнениям (8.1). Анализ их ранее показал, что они выражают бегущие волны напряжения и тока. Вторые слагаемые аналогичны уравнениям (8.4), которые являются уравнениями стоячих волн. Опуская промежуточные выводы, выполненные ранее для бегущих и стоячих волн, напишем уравнения для мгновенных величин напряжения и тока при несогласованной нагрузке:

 (8.7)

Таким образом, режим в линии без потерь при несогласованной нагрузке можно рассматривать как наложение бегущих и стоячих волн напряжения и тока.

Наличие бегущих волн в направлении от начала к концу пинии указывает на потребление энергии в нагрузке. Однако потребляется лишь часть энергии электромагнитной волны, другая часть отражается от конца линии. Режимы холостого хода и с согласованной нагрузкой линии без потерь являются частными случаями, соответствующими значениями коэффициента бегущей волны k = 0 (холостой ход) и k = 1 (согласованная нагрузка).

3. Коэффициенты отражения и преломления. Представление электромагнитного процесса в линии как наложение прямых (падающих) и обратных (отраженных) волн напряжения и тока возможно не только в рассмотренных частных случаях. Оно соответствует общим уравнениям напряжения и тока в линии (7.3), в правой части которых записана сумма (разность) двух составляющих.

При анализе электромагнитных процессов в длинных линиях вводится понятие о коэффициенте отражения с, который равен отношению комплекса напряжения отраженной волны к комплексу напряжения падающей волны или аналогичному отношению комплексов токов:

Выразим напряжение и ток в конце линии их падающими и отраженными составляющими в соответствии с уравнениями (7.2):



При совместном решении этих уравнений найдем коэффициент отражения:

(8.8)

Подставим найденное выражение с в уравнения напряжения U2 и тока I2:

(8.9)

Множители

(8.10)

называются коэффициентами преломления волн напряжения (тока).

Согласно выражениям (8.9), коэффициент преломления равен отношению комплексов напряжения (тока) в рассматриваемом пункте линии к комплексу напряжения (тока) падающей волны

Анализ этих формул показывает:

1) при холостом ходе линии (R2 = ?) коэффициент отражения с = 1, а коэффициенты преломления в конце линии mu = 2, mi = 0; напряжение в конце линии равно удвоенной величине напряжения падающей волны, а ток равен нулю: U2 = mu U2пад = 2Uпад; I2 = mi I2пад = 0;

2) при коротком замыкании линии (R2 = 0) коэффициент отражения с = - 1; коэффициент преломления mu = 0; mi = 2; напряжение в конце линии равно нулю, а ток равен удвоенной величине тока падающей волны: U2 = 0; I2 = 2I2пад;

3) при согласованной нагрузке (R2 = Zc) коэффициент отражения с = 0, коэффициент преломления mu = 0; mi = 1; напряжение и ток в конце линии равны своим падающим составляющим: U2 = U2пад; I2 = mi I2пад при несогласованной активной нагрузке (R2 > Zc) коэффициент отражения

где k -- коэффициент бегущей волны;

или

или

Контрольные вопросы:

1. Какая нагрузка линии называется несогласованной?

2. Что называются коэффициентами преломления волн напряжения (тока).

3. Что называется коэффициентом отражения?

Литература: 1. стр. 476-479, 2. стр. 338-342, 3. стр. 412-418.

Тема 9: Нелинейные электрические цепи постоянного тока

Цель: Рассмотреть принципы решения некоторых задач расчета электрических цепей с нелинейными элементами на основе их вольт-амперных характеристик.

План:

1. Эквивалентные схемы простейших нелинейных цепей;

2. Статическое и динамическое сопротивления нелинейного элемента;

3. Приведение нелинейных цепей к линейным;

4. Нелинейный активный двухполюсник;

В автоматике, электронике и радиотехнике широко применяются элементы электрических цепей, имеющие нелинейную зависимость между током и напряжением U = f(I).

Электрическая цепь, в которую входят нелинейные элементы, называется нелинейной.

Нелинейную вольт-амперную характеристику имеют электровакуумные приборы, фотоэлементы, газоразрядные приборы, полупроводниковые приборы.

Большую группу нелинейных элементов представляют нелинейные сопротивления: терморезисторы, варисторы, бареттеры и др.

В данной теме рассмотрены принципы решения некоторых задач расчета электрических цепей с нелинейными элементами на основе их вольт-амперных характеристик.

1. Эквивалентные схемы простейших нелинейных цепей. Для нелинейных электрических цепей остаются справедливыми законы Ома и Кирхгофа. Однако рассмотренные ранее методы расчета для нелинейных цепей непосредственно применить нельзя.

Аналитический расчет нелинейной цепи можно выполнить при условии, что вольт-амперные характеристики нелинейных элементов выражаются относительно простыми уравнениями U = f(I). Например, для электронной лампы известна зависимость I = kU3/2. Кроме того, характеристики некоторых нелинейных элементов в определенном интервале изменения напряжения и тока прямолинейны или близки к прямой. В таких случаях можно составить для нелинейного элемента эквивалентную схему замещения с линейными элементами и ввести ее в аналитический расчет.

В других случаях схемы замещения остаются нелинейными, но с их помощью достигаются упрощения схем нелинейных цепей.

2. Статическое и динамическое сопротивления нелинейного элемента. У нелинейных элементов различают статическое и динамическое сопротивления (рис. 6.1, а).

Статическим сопротивлением в данной точке а вольт-амперной характеристики называют отношение напряжения к току, соответствующему этой точке

(9.1)

где mu и mi -- масштабы напряжения и тока; mR = mu/mi -- масштаб сопротивления.

Динамическое сопротивление в точке а определяется отношением бесконечно малых приращений напряжения dU и тока dI:

(9.2)

Динамическое сопротивление пропорционально тангенсу угла наклона касательной к вольт-амперной характеристике в точке а.

3. Приведение нелинейных цепей к линейным. Если продолжать линейный участок h-b-a характеристики до пересечения с осью напряжения, то он пересечет ее в точке f.

Отрезок of в принятом масштабе напряжений выражает постоянное напряжение Uo.

Рисунок 9.1 Рисунок 9.2

Нетрудно заметить, что в любой точке h прямолинейной части вольт-амперной характеристики напряжение складывается из постоянного напряжения Uo и изменяющейся части, определяемой произведением тока и динамического сопротивления, т. е. прямая fh выражается уравнением

(9.3)

На основании уравнения (6.3) нелинейный элемент можно представить схемой последовательного соединения ЭДС Ео = Uo и динамического сопротивления Rдин (рис. 9.1, б). При этом

Аналогичную схему замещения можно получить для нелинейного элемента с вольт-амперной характеристикой, обращенной выпуклостью к оси токов (рис. 9.2, а). ЭДС Ео в этом случае будет направлена по направлению тока. На примере данной характеристики покажем, что нелинейный элемент можно представить схемой параллельного соединения источника тока и динамической проводимости Gдин.

В линейной части характеристики ток можно представить в виде суммы

(9.4)

Этому равенству соответствует схема замещения рис. 9.2, б.

После замены нелинейных элементов эквивалентными схемами замещения с линейными элементами нелинейную цепь можно рассчитать одним из методов, применяемых для расчета линейных цепей.

4. Нелинейный активный двухполюсник. Нелинейный элемент, вольт-амперная характеристика которого не проходит через начало координат (рис. 9.3, а), можно представить схемой последовательного соединения постоянной ЭДС и нелинейного сопротивления.

Если характеристику нелинейного элемента перенести так, чтобы она проходила через начало координат, то получится зависимость I(U) нелинейного сопротивления эквивалентной схемы, в которую кроме этого нелинейного сопротивления последовательно включен источник ЭДС Ео.

Рисунок 9.3

Эквивалентная схема рис. 9.3, б представляет собой активный нелинейный двухполюсник, для которого справедливо уравнение по второму закону Кирхгофа. В данном случае

(9.5)

Эту схему вводить в аналитический расчет нельзя, так как она остается нелинейной в отличие от схемы рис. 9.1, б или 9.2, б, но ее можно использовать для упрощения более сложной схемы, в которую она входит как часть.

В некоторых случаях полезно или необходимо обратное построение: по известной вольт-амперной характеристике нелинейного сопротивления и величине ЭДС Е последовательно с ним включенного источника строят вольт-амперную характеристику активного нелинейного двухполюсника (рис. 9.3, в, г).

Контрольные вопросы:

1. Какие приборы имеют нелинейную вольт-амперную характеристику?

2. Что называют статическим сопротивлением?

3. Что называют динамическим сопротивлением?

Литература: 1. стр. 95-98, 2. стр. 110-118, 3. стр. 128-134.

Тема 10: Графический расчет нелинейных электрических цепей

Цель: Уяснить графический метод расчет нелинейных электрических цепей

План:

1. Последовательное соединение двух нелинейных элементов;

2. Параллельное соединение двух нелинейных элементов;

3. Смешанное соединение нелинейных элементов;

4. Примеры упрощения схем нелинейных цепей;

4.1 Цепь с двумя узлами;

4.2 Цепь с одним нелинейным сопротивлением;

4.3 Цепь с двумя нелинейными сопротивлениями;

5. Метод последовательных приближений.

Многие нелинейные элементы, применяемые в практике, имеют вольт-амперные характеристики, у которых нет линейных участков, и уравнения для их аналитического выражения.

Расчет цепей, содержащих такие элементы, осуществляется графическими методами, которые применимы при любом виде вольт-амперных характеристик и дают результаты достаточной точности.

Исходные данные для расчета (вольт-амперные характеристики элементов цепи) задаются в виде графиков или таблиц.

Задачу определения тока одного элемента по напряжению этого элемента или обратную задачу решают просто: заданное значение отмечают на оси координат, находят соответствующую ей точку кривой, а затем на другой оси определяют искомое значение.

Рассмотрим, как решаются такие задачи, когда несколько элементов соединены между собой в нелинейной цепи.

1. Последовательное соединение двух нелинейных элементов. Для расчета такой цепи (рис. 10.1, а) заданные вольт-амперные характеристики элементов I(U1) и I(U2) строят в общей системе координат (рис. 10.1, б).

Далее строят вольт-амперную характеристику I(U) всей цепи, выражающую зависимость тока в цепи от общего напряжения.

Ток I обоих участков цепи одинаков, а общее напряжение U = U1 + U2.

Для построения общей вольт-амперной характеристики достаточно сложить абсциссы исходных кривых I(U1) и I(U2).

Проведем прямую, параллельную оси абсцисс и соответствующую току I1. Отрезки 1-2 и 1-3 в выбранном масштабе выражают напряжения U1, U2 на участках. Сложив эти отрезки, на той же прямой получим точку 4 общей вольт-амперной характеристики.

Для других значений тока аналогично найден еще ряд точек, через которые проведена общая вольт-амперная характеристика.



Рисунок 10.1 Рисунок 10.2

Построение вольт-амперных характеристик (рис. 10.1, б) является подготовительным этапом для решения различных задач, относящихся к подобным цепям. Требуется, например, определить ток в цепи и напряжения Ux и U2 на участках, если общее напряжение U известно.

На оси абсцисс находим точку 5, определяющую напряжение U (отрезок 0-5 в масштабе напряжений выражает напряжение в цепи). Через нее проводим перпендикуляр к оси абсцисс до пересечения с общей вольт-амперной характеристикой I(U) в точке 4. Из точки 4 проводим линию, параллельную оси абсцисс. Отрезок 5-4 выражает ток в цепи, а отрезки 1-2 и 1-3 -- напряжения на участках (соответственно U1 и U2),

2. Параллельное соединение двух нелинейных элементов. При параллельном соединении двух нелинейных элементов (рис. 10.2, а) к ним приложено одно и то же напряжение U, а ток в неразветвленной части цепи равен сумме токов в ветвях: I = I1+I2.

Для построения общей вольт-амперной характеристики I(U) нужно для ряда значений U сложить ординаты вольт-амперных характеристик элементов, как показано на рис. 10.2, б. При напряжении их (отрезок 0-1) сумма отрезков 1-2 (ток I1 и 1-3 (ток I2) равна отрезку 1-4 (ток I).

Предположим, что по заданному значению U = U1 нужно определить токи в ветвях и общий ток I. На оси абсцисс откладываем отрезок 0-1, выражающий напряжение U1 и через точку 1 проводим линию, параллельную оси ординат. Определяем точки 2, 3, 4 пересечения прямой с вольт-амперными характеристиками. Отрезки 1-2, 1-3, 1-4 в масштабе токов выражают токи в цепи I1, I2, I3.

Аналогично решают задачи при параллельном соединении нелинейного элемента с линейными, а также при большем числе линейных и нелинейных элементов.

3. Смешанное соединение нелинейных элементов. При смешанном соединении нелинейных элементов графический расчет цепи производится методом «свертывания» схемы: в соответствии со схемой соединения элементов складываются их вольт-амперные характеристики.

Рассмотрим решение этой задачи применительно к схеме рис. 10.3, а. По заданным характеристикам I2(U2), I3(U3) параллельно соединенных элементов строится вольт-амперная характеристика участка цепи между точками.

Для примера на рис. 10.3, б при напряжении U2 (отрезок 0-1) определены токи I2 (отрезок 1-2) и I3 (отрезок J-3), а затем ток I1 = I2 + I3 (отрезок 1-4).

Далее строим вольт-амперную характеристику I1(U) всей цепи, учитывая, что участок цепи между точками b, с включен последовательно с нелинейным элементом на участке аb. Для примера при токе I1 (отрезок 0-7) определены напряжения U1 (отрезок 7-5) и U2 (отрезок 7-4), а также общее напряжение U = U1 + U2 (отрезок 7-6).

После построения вольт-амперных характеристик порядок решения задачи зависит от ее условия. Пусть задано напряжение в цепи. Требуется определить токи в схеме и напряжения на участках.



Отложив на оси абсцисс отрезок 0-11, выражающий напряжение U, проведем линию 11-6 параллельно оси ординат до пересечения с кривой I1(U). Отрезком 11-6 определяется ток I1 в неразветвленной части цепи. Прямая, параллельная оси абсцисс, проведенная через точку 6, пересекает кривые I1(U1) и I1(U2) в точках 5 и 4. Отрезками 7-4 и 7-5 определяются напряжения U2 и U1 на участках. Напряжение U2 -- общее для параллельно соединенных участков с токами I2 и I3. Для определения этих токов через точку 4 проводится прямая, параллельная оси ординат. Пересечение этой прямой с кривыми I2(U2) и I1(U2) в точках 2 и 3 дает отрезки 1-2 и 1-3, определяющие токи I2 и I3.

4. Примеры упрощения схем нелинейных цепей. Расчеты разветвленных нелинейных электрических цепей при наличии в схеме произвольного количества элементов представляют значительные трудности. В зависимости от вида схемы принимается тот или другой путь расчета, но во всех случаях основой является систематическое упрощение схемы. Рассмотрим некоторые конкретные примеры.

4.1 Цепь с двумя узлами. Между двумя узлами 1 и 2 (рис. 10.4) включены три ветви, две из которых представляют собой последовательное соединение нелинейного сопротивления и постоянной ЭДС.

Нелинейные сопротивления заданы вольт-амперными характеристиками I1(U1); I2(U2), I3(U3) (рис. 10.5).

Рисунок 10.4 Рисунок 10.5

Ток каждой ветви можно выразить в зависимости от напряжения между узлами: U1.2 = Е1 - U1 (I1); U1.2 = E2 - U2(I2);

Построение кривых I1 (U1.2) и I2(U1.2) проводится так: для ряда значений тока определяют разность ЭДС и соответствующих значений напряжения; через полученные точки проводят кривые. Кривая I3(U1.2) совпадает с заданной кривой I3(U3), так как U1.2 = U3.

Далее строится кривая (I1 + I2)(U1.2); Для ряда значений U1.2 определяют сумму токов I1 + I2, которая согласно первому закону Кирхгофа равна I3.

Поэтому точка 3, в которой пересекаются кривые (I1+I2) и I3(U3), определяет величину тока I3 (отрезок 3-4). Опустив перпендикуляр к оси U через точку 5, находят другие величины: ток I1 -- отрезок 1-4; ток I2 -- отрезок 2-4; напряжение U2 -- отрезок 0-4.

Заметим, что кривая (I1+I2) (U1.2) является вольт-амперной характеристикой нелинейного активного двухполюсника, эквивалентного двум ветвям исходной схемы. Построение этой кривой означает замену двух ветвей (7 и 2) одной ветвью, что является упрощением заданной схемы. Нетрудно представить, что такой путь можно применить при наличии в схеме большего числа ветвей и постепенно привести ее к схеме простейшего активного нелинейного двухполюсника.

4.2 Цепь с одним нелинейным сопротивлением. Предположим, что в разветвленную цепь входит несколько линейных элементов, в том числе источники ЭДС, и одно нелинейное сопротивление (рис. 10.6, а). Ветвь с нелинейным сопротивлением можно выделить, а оставшуюся линейную часть представить в виде активного двухполюсника.

Включим в нелинейную ветвь ЭДС Е' такой величины, чтобы ток в ней уменьшился до нуля. Для активного линейного двухполюсника такое состояние является режимом холостого хода, поэтому E' = Ux, где Ux -- напряжение холостого хода.

Для того чтобы получить ток, т. е. возвратиться к первоначальному режиму, можно в нелинейную ветвь включить еще одну ЭДС Е", равную по величине E", но направленную ей встречно (рис. 10.6, б). Можно сказать, что ток в нелинейной ветви вызывает только ЭДС Е", а остальные ЭДС (Е' и активного двухполюсника) тока не вызывают и их можно из схемы исключить, накоротко замкнув точки, к которым эти источники присоединены.

Рисунок 10.6

В результате получается схема последовательного соединения пассивного линейного двухполюсника с активным нелинейным двухполюсником (рис. 10.6, в).

Отсюда следует порядок расчета первоначально заданной нелинейной цепи: 1) определяют напряжение холостого хода и входное сопротивление линейного двухполюсника (рис. 10.6, г); 2) находят, например графически, ток и напряжение в нелинейной ветви; 3) определяют токи в линейной части цепи, считая сопротивление нелинейной ветви R=U/I постоянным.

4.3 Цепь с двумя нелинейными сопротивлениями. В сложную цепь могут входить два нелинейных сопротивления, которые простым преобразованием не приводятся к одному сопротивлению (рис. 10.7, а).

Упрощение и расчет такой цепи можно осуществить в следующем порядке. Выделим нелинейные сопротивления, а оставшуюся часть цепи представим активным линейным четырехполюсником, у которого к первичным и вторичным зажимам присоединено по одному нелинейному сопротивлению.

В каждой нелинейной ветви можно провести преобразования, такие же, как на рис. 10.6, и провести аналогичные рассуждения (рис. 10.7, б). В данном случае линейный четырехполюсник можно представить Г-образной схемой замещения и получить схему с двумя узлами, изображенную на рис. 10.7, в.

Рисунок 10.7

Затем надо определить сопротивления Г-схемы четырехполюсника и решить задачу так, как указано в начале этого параграфа. При необходимости от Г-схемы четырехполюсника известными способами можно перейти к исходной схеме, считая при этом сопротивления нелинейных ветвей постоянными, так как токи в них найдены.

Подобный путь применяют для расчета цепей с тремя (и более) нелинейными сопротивлениями.

5. Метод последовательных приближений. Суть этого метода заключается в предварительном выборе ожидаемого результата и последовательной его проверке и уточнении.

Рассмотрим метод на примере относительно простой цепи последовательного соединения двух нелинейных сопротивлений рис. 6.4, а. Даны напряжение на зажимах цепи и вольт-амперные характеристики нелинейных элементов. Ток в цепи по закону Ома

(10.1)

где n -- порядковый номер приближения.

Первое значение тока I1 в цепи выбирают ориентировочно, если имеются для этого какие-то основания, а если их нет, то произвольно. По вольт-амперным характеристикам определяют напряжения на нелинейных элементах U1 и U2 и затем по закону Ома -- сопротивления R1 и R2: R1 = U1/I1; R2 = U2/I1

По формуле (10.1) находят второе приближение тока:

По найденному значению тока I2 и вольт-амперным характеристикам снова определяют напряжения на нелинейных элементах и их сопротивления, а затем опять находят ток и так до тех пор, пока результат не начнет практически повторяться. Обычно достаточно точный ответ получают после четырех-пяти повторений расчета, если процесс приближений обладает сходимостью. В случае расходящегося процесса задачу следует решать на основе уравнения для другой величины вместо (10.1), например для напряжения на одном из нелинейных элементов:

(10.2)

Контрольные вопросы:

1. Как решаются задачи, когда несколько элементов соединены между собой в нелинейной цепи?

2. В чем заключается метод последовательных приближений?

Литература: 1. стр. 99-103, 2. стр. 118-122, 3. стр. 134-138.

Тема 11: Расчет электрических полей. Закон Кулона

Цель: Уяснение расчета электрических полей и закона Кулона

План:

1. Электрическое поле уединенного заряженного тела;

2. Электрическое поле группы заряженных тел.

В рабочем состоянии электрических устройств и установок между токоведущими частями имеется разность потенциалов, т. е. существует электрическое поле.

Кроме основного (разрешенного) канала тока имеется бесчисленное множество потенциальных каналов, которые закрыты электрической изоляцией. Таким образом, электрическая изоляция находится под действием электрического поля и должна быть рассчитана на то, чтобы надежно выполнять свои функции. Для расчета необходимо определить характеристики электрического поля.

Эти и другие вопросы, относящиеся к электрическому полю, рассматриваются в данной главе.

Применение закона Кулона для расчета электрического поля. Расчет электрических полей на основе закона Кулона применяется в тех случаях, когда электрические заряды тел можно рассматривать сосредоточенными в весьма малом объеме, т. е. полагать заряженные тела точечными.

1. Электрическое поле уединенного заряженного тела.

Из закона Кулона следует, что напряженность электрического поля уединенного точечного заряженного тела

(11.1)

где Q -- величина заряда тела; Qo -- заряд пробного тела; r -- расстояние от заряженного тела до точки, в которой определяется напряженность поля.

Электрическое поле уединенного точечного заряженного тела неравномерно. Найдем потенциал поля в некоторой точке 1 (см. рис. 12.1), выразим работу в поле на пути от некоторой точки 1 до бесконечности:

где r1 -- расстояние от заряженного тела до точки 1.

Положение точки 1 выбрано произвольно, поэтому полученное выражение можно записать для любой точки

(11.2)

Напряжение между точками 1 и 2

Между напряженностью электрического поля и потенциалом в некоторой точке имеется определенная связь, которую выразим в общем виде.

Из выражения следует:

Знак минус в этих выражениях указывает на то, что энергия убывает, если перемещение происходит в направлении напряженности поля.

Отсюда

(11.3)

Еn -- величина проекции вектора Е на направление dl.

2. Электрическое поле группы заряженных тел. При рассмотрении электрического поля в вакууме (а также в воздухе) установили, что напряженность поля линейно зависит от заряда тела [в выражении (11.1) Q = const]. Поэтому при определении напряженности результирующего поля от действия нескольких заряженных тел можно пользоваться принципом наложения полей.

В каждой точке пространства, окружающего заряженные тела, электрическое поле одного тела накладывается на поле другого.

Для определения общей напряженности нужно найти величину и направление вектора напряженности каждого из составляющих полей, а затем сложить векторы:

(7.4)

Принцип наложения действителен и при определении потенциала в некоторой точке результирующего поля. Но потенциалы складываются алгебраически, так как они скалярные величины:

(7.5)

Контрольные вопросы:

1. Когда применяется закон Кулона при расчете электрических полей?

2. Какая имеется связь между напряженностью электрического поля и потенциалом в некоторой точке?

Литература: 1. стр. 108-111, 2. стр. 130-132, 3. стр. 140-144.

Тема 12: Теорема Гаусса и ее применение

Цель: Уяснить теорему Гаусса и ее применение в решении задач

План:

1. Поток вектора напряженности электрического поля;

2. Теорема Гаусса;

3. Поле заряженной плоскости;

4. Поле заряженного шара;

5. Поле заряженного прямого провода

В практике чаще встречаются случаи, когда заряд тела распределен по его поверхности с некоторой плотностью. В таких случаях задачи решаются более просто на основе теоремы Гаусса.

1. Поток вектора напряженности электрического поля. Рассматривая электрическое поле, изображенное на рис. 12.1, выделим элемент поверхности площадью dS. Он представляет собой маленькую часть сферы радиусом r, в центре которой помещено точечное тело с положительным зарядом Q.

В силу геометрической симметрии поля вектор напряженности Е по величине одинаков во всех точках поверхности и направлен перпендикулярно ей. Произведение EdS выражает величину элементарного потока dN вектора напряженности электрического поля через элемент поверхности dS, если линии напряженности перпендикулярны пронизываемой ими поверхности: dN = EdS.

Рисунок 12.1

Определим полный поток N вектора напряженности электрического поля, для чего сложим элементарные потоки по всей поверхности сферы:

(12.1)

Вынося постоянную величину Е за знак суммы и учитывая, что вектор Е всюду перпендикулярен поверхности сферы, получаем

(12.2)

где §dS=4nr2 -- площадь сферы; следовательно,

(12.3)

Подставляя напряженность поля в формулу (11.1), получим

(12.4)

2. Теорема Гаусса. Приведенные рассуждения справедливы и при отрицательном заряде с той лишь разницей, что поток вектора напряженности в этом случае отрицательный.

Из формулы (12.4) следует, что поток N не зависит от радиуса сферической поверхности.

Потоку вектора напряженности электрического поля можно придать некоторую наглядность с помощью линий напряженности.

Вследствие симметрии электрического поля в рассматриваемом случае линии напряженности пронизывают всю поверхность сферы и их плотность (число линий на единицу площади) одинакова. Предположим, что эта плотность выбрана численно равной напряженности поля. Тогда общее число линий, пронизывающих поверхность сферы, будет численно равно полному потоку вектора напряженности поля N.

Число линий напряженности, а следовательно, и поток вектора напряженности остаются одинаковыми для сферы любого радиуса. Это справедливо и для элементов dS' и dS" сферических поверхностей, через которые проходят одни и те же линии напряженности (рис. 12.1), образующие конус с вершиной в центре сферы.

Элементарный поток вектора напряженности заключен внутри указанного конуса и пронизывающие элемент поверхности dS линии напряженности образуют элементарную трубку поля. Сложив потоки всех трубок по всему объему шара, получим полный поток вектора напряженности электрического поля точечного заряженного тела.

Можно доказать, что формула (12.4) справедлива не только для сферы, окружающей точечное запряженное тело, но и для любой замкнутой поверхности.

В общем случае направление вектора напряженности Е может быть не перпендикулярно элементу поверхности dS около выбранной точки А (рис. 12.2). Угол между направлением вектора Е и внешней нормалью n к поверхности в точке А обозначим а (внешняя нормаль -- это линия, перпендикулярная поверхности в выбранной точке, направленная от этой поверхности с внешней стороны). Для определения потока через элемент поверхности нужно взять проекцию вектора Е на направление внешней нормали

где

Тогда

Рисунок 12.2

(12.5)

Суммирование элементарных потоков по всей замкнутой поверхности дает полный поток

Если внутри замкнутой поверхности находится любое число тел с разноименными зарядами, в формулы (12.4) и (12.5) следует ввести алгебраическую сумму всех зарядов

(12.6)

Алгебраическая сумма зарядов берется в данном случае потому, что линии напряженности при положительных и отрицательных зарядах направлены противоположно.

Формула (12.6) является математическим выражением теоремы Гаусса, которая формулируется так: поток вектора напряженности электрического поля сквозь замкнутую поверхность в вакууме равен отношению электрического заряда, заключенного внутри этой поверхности к электрической постоянной.

3. Поле заряженной плоскости. Бесконечная плоскость (рис. 12.3) имеет заряд, распределенный с плотностью а. Выделим вокруг части этой плоскости замкнутую поверхность, которая образована двумя плоскими поверхностями, параллельными заряженной плоскости, и цилиндрической боковой поверхностью, перпендикулярной ей. Вследствие симметрии все точки поверхности S имеют одинаковую напряженность поля.

Рисунок 12.3 Рисунок 12.4

Кроме того, вектор напряженности направлен перпендикулярно заряженной плоскости, т. е. перпендикулярно поверхности S и параллельно цилиндрической боковой поверхности. В этом случае поток вектора напряженности через цилиндрическую поверхность равен нулю и, следовательно, общий поток равен потоку через поверхности S.

Заряд, заключенный внутри выделенной поверхности, составляет aS. Согласно теореме Гаусса,

Отсюда

(12.7)

Электрическое поле двух параллельных бесконечных плоскостей, несущих разноименные заряды одинаковой плотности (рис. 12.4), определяется наложением полей положительной и отрицательной пластин.

Как видно из формулы (12.7), напряженность поля бесконечной плоскости не связана с расстоянием от нее. Поэтому вне пластин (точка А) поля положительной и отрицательной пластин взаимно скомпенсированы, т. е. результирующая напряженность поля равна нулю (Е = 0).

Между пластинами (точка В) поля их складываются, поэтому

(12.8)

Таким образом, между двумя бесконечными плоскостями, заряженными противоположно с одинаковой плотностью заряда, напряженность поля одинакова во всех точках по величине и направлению, т. е. электрическое поле равномерно.

4. Поле заряженного шара. Наметим в пространстве, окружающем заряженный шар, произвольную точку 1, отстоящую от центра шара на расстоянии r (рис. 12.5). Выделим сферическую поверхность, концентричную с поверхностью заряженного шара, так, чтобы точка 1 лежала на этой поверхности. Вследствие симметрии все точки выделенной поверхности имеют одинаковую напряженность. В данном случае вектор напряженности Е направлен радиально в каждой точке, т. е. перпендикулярно выбранной сферической поверхности.

Поток вектора напряженности поля через выделенную сферическую поверхность

Рисунок 12.5 Рисунок 12.6

Заряд шара

где с -- поверхностная плотность заряда; R -- радиус шара. Согласно теореме Гаусса [см. формулу (12.4)],



Отсюда для напряженности поля получим выражение

(12.9)

Напряженность поля заряженного шара имеет такое же выражение, какое получено из закона Кулона для точечного заряженного тела. Следовательно, заряд шара можно считать сосредоточенным в центре и рассматривать заряженный шар как точечное заряженное тело. При r = R

На рис. 12.5 показаны графики зависимости напряженности и потенциала поля уединенного заряженного шара от расстояния r.

5. Поле заряженного прямого провода. Проведем через некоторую точку 1 пространства цилиндрическую поверхность, ось которой совпадает с осью провода круглого сечения (рис. 12.6).

Вследствие симметрии во всех точках выделенной поверхности линии напряженности перпендикулярны ей, а напряженность поля одинакова: Еn = Е.

Поток вектора напряженности

где -- соковая поверхность цилиндра.

Поток через основания цилиндра равен нулю, так как линии напряженности не пронизывают их.

Согласно теореме Гаусса,

(12.10)

где ф -- линейная плотность заряда на проводе.

Контрольные вопросы:

1. Назовите математическое выражение теоремы Гаусса.

2. Что называется элементарным потоком вектора напряженности?

Литература: 1. стр. 111-116, 2. стр. 132-136, 3. стр. 144-148.

Тема 13: Магнитное поле

Цель: Изучить явления магнитной индукции и закон Ампера

План:

1. Закон Ампера;

2. Магнитная индукция;

3. Линии магнитной индукции.

Магнитное поле окружает движущиеся элементарные частицы, обладающие электрическим зарядом, и связано с ними. В проводнике с током и пространстве вокруг него магнитное поле создается этим током, а внутри и вне намагниченного тела (постоянного магнита) -- внутриатомным и внутримолекулярным движением элементарных заряженных частиц (например, вращением электронов вокруг собственной оси и ядра атома).

Магнитное поле характеризуется воздействием на движущуюся электрически заряженную частицу с силой, пропорциональной заряду частицы и ее скорости.

Закон Ампера. Магнитная индукция. Магнитное поле обнаруживается благодаря магнитным явлениям: притяжению и отталкиванию проводов с токами или намагниченных тел, действию проводника с током на магнитную стрелку, электромагнитной индукции.

В основе этих явлений лежит характерное свойство магнитного поля -- силовое действие на движущиеся заряженные частицы. Силы взаимодействия магнитного поля с движущимися заряженными частицами (токами) называются электромагнитными.

Изучение магнитных явлений и расчеты, связанные с их использованием, невозможны без количественной оценки магнитного поля.

Выбирая необходимую для этого величину, можно исходить из силового взаимодействия двух проводов с токами.

1. Закон Ампера. Опыт показывает, что на каждый из двух проводов действуют силы, притягивающие друг к другу провода с одинаковым направлением токов и отталкивающие провода с противоположными направлениями токов (рис. 13.1). Магнитные поля, обусловленные каждым из токов, распределены в одной и той же области пространства. Поэтому в соответствии с принципом наложения можно полагать, что оба провода окружены общим магнитным полем, которое получается в результате наложения двух полей. Каждое поле связано со своим током, когда соответствующий провод уединен.

Рисунок 13.1 Рисунок 13.2

В таком случае притяжение или отталкивание проводов нужно рассматривать как результат силового действия общего магнитного поля на заряженные частицы, образующие ток в каждом из проводов. Количественные соотношения для этого случая определены законом Ампера, согласно которому силовое действие магнитного поля на движущиеся заряженные частицы рассматривается как взаимодействие двух элементов тока.

Величина силы взаимодействия между двумя элементами тока в вакууме пропорциональна произведению элементов тока и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Элементом тока называется произведение Idl, где dl -- длина участка провода с током I, весьма малая (так же как и диаметр провода) по сравнению с расстоянием от него до точек, в которых рассматривается магнитное поле тока I.

Если элементы тока расположены параллельно, то сила взаимодействия между ними

(13.1)

где I1dl1 I2dl2 -- элементы токов; r -- расстояние между элементами; б -- угол между направлением одного из элементов тока и отрезком прямой r, проведенным от этого элемента к другому; мо/4р -- коэффициент пропорциональности, величина которого определяется в зависимости от системы единиц. Числитель этого коэффициента мо называется магнитной постоянной.

В Международной системе единиц (СИ) магнитная постоянная

 - единица индуктивности. Заметим, что формула (13.1) и последующие формулы, относящиеся к магнитному полю в вакууме, справедливы и для магнитного поля в воздухе.

2. Магнитная индукция. Предположим, что элемент линейного тока I2dl2 столь мал, что его поле практически не изменяет поле тока I1. Тогда этот элемент линейного тока можно рассматривать как пробный, служащий лишь для регистрации электромагнитной силы, которая в этом случае является результатом действия магнитного поля первого тока на пробный элемент линейного тока.

Значение тока I1 определяет интенсивность магнитного поля: чем больше ток, тем «сильнее» его магнитное поле.

Для оценки интенсивности магнитного поля введено понятие магнитной индукции В.

Магнитная индукция -- векторная величина, характеризующая магнитное поле и определяющая силу, действующую на движущуюся заряженную частицу со стороны магнитного поля.

В численном выражении магнитная индукция равна отношению силы, действующей на заряженную частицу, к произведению заряда Q и скорости частицы v, направленной так, что эта сила максимальна

(13.2)

Направление вектора магнитной индукции перпендикулярно векторам силы и скорости и совпадает с поступательным перемещением правого винта (или буравчика), если вращать его в направлении от вектора силы к вектору скорости частицы с положительным зарядом.

За некоторое время dt заряд Q = Idt,

а скорость v =dl/dt, поэтому Qн = Idl -- элемент тока. Из формулы (13.1) следует

(13.3)

Магнитное поле в окружающем проводник пространстве создается не только выбранным элементом тока, но и другими элементами, на которые может быть разделен реальный проводник (рис. 13.2).

Магнитная индукция В в данной точке является векторной суммой элементарных векторов dB.

Формула (13.3), по которой определяется элементарная магнитная индукция, является математическим выражением закона Био -- Савара.

Из нее следует единица измерения магнитной индукции:

В расчетах применяется также единица магнитной индукции -- гаусс (Гс) (1 Гс = 10 -4 Тл).

3. Линии магнитной индукции. Графически магнитное поле можно изобразить с помощью линий магнитной индукции.

Линию магнитной индукции проводят так, чтобы в каждой точке этой линии касательная к ней совпадала с вектором магнитной индукции.

Пользуясь этим правилом, можно изобразить магнитное поле для различных случаев. Магнитное поле тока прямолинейного провода имеет линии магнитной индукции в виде окружностей, лежащих в плоскостях, перпендикулярных направлению тока, с центром на оси провода (рис. 13.3).

Направление магнитной индукции в этом случае определяется с помощью правила буравчика: если направление поступательного движения буравчика совместить с направлением тока в проводе, то вращение рукоятки покажет направление линий магнитной индукции.

Большой практический интерес представляет картина магнитного поля тока катушек, так как во многих электротехнических устройствах (трансформаторы, электрические машины, электромагнитные реле и т. д.) магнитное поле создается токами в катушках различной формы.

Магнитное поле тока цилиндрической катушки изображено на рис. 13.4. Если длина катушки значительно больше ее диаметра, то линии магнитной индукции имеют внутри катушки одинаковое направление (вдоль оси катушки) и величина магнитной индукции во всех точках одинакова, за исключением точек, расположенных у краев.

Рисунок 13.3 Рисунок 13.4

Магнитное поле, имеющее во всех точках одинаковую по величине и направлению магнитную индукцию, называется однородным (равномерным).

По форме магнитного поля цилиндрическая катушка подобна постоянному магниту кругового сечения (рис. 13.5). На конце катушки, где линии магнитной индукции выходят из нее, образуется северный полюс, а на противоположном конце -- южный.



Рисунок 13.5 Рисунок 13. 6

Кольцевая катушка с обмоткой на тороидальном сердечнике (рис. 13.6) создает магнитное поле только внутри витков. Направление линий индукции магнитного поля тока катушки или контура тоже определяется правилом буравчика, но в другой формулировке: если рукоятку буравчика вращать по направлению тока в витках, то поступательное перемещение буравчика совпадает с направлением линий магнитной индукции внутри катушки.

С помощью линий магнитной индукции можно выразить не только направление магнитного поля, но и величину магнитной индукции, подобно тому, как это делается при исследовании электрического поля.

Неравномерное магнитное поле изображается замкнутыми линиями, проведенными с неодинаковой плотностью в различных областях.

В отличие от линий напряженности электростатического поля, которые начинаются на положительных, а оканчиваются на отрицательных заряженных телах или уходят в бесконечность, линии индукции магнитного поля всегда замкнуты на себя, т. е. не имеют ни начала, ни конца.

Контрольные вопросы:

1. Что называют электромагнитными силами?

2. Какова формулировка закона Ампера?

3. Что называется элементом тока?

4. Что такое магнитная индукция?

5. Единица измерения магнитной индукции?

Литература: 1. стр. 133-138, 2. стр. 136-140, 3. стр. 148-152.

Тема 14: Расчет симметричных магнитных полей

Цель: Уяснить методы расчета симметричных магнитных полей на основе понятий о циркуляции вектора магнитной индукции и полном токе.

План:

1. Циркуляция вектора магнитной индукции и полный ток;

2. Поле прямого тока;

3. Поле тока кольцевой катушки;

4. Поле тока цилиндрической катушки.

Связь тока с его магнитным полем ранее выражена формулой закона Био -- Савара, который можно применять для определения основных характеристик магнитного поля в любом случае. Подобные задачи решаются более просто на основе понятий о циркуляции вектора магнитной индукции и полном токе.

1. Циркуляция вектора магнитной индукции и полный ток. Для выяснения смысла этих понятий в магнитном поле системы токов выберем произвольный замкнутый контур (рис. 14.1). В каждой точке этого контура вектор магнитной индукции В может иметь любое направление. Обозначим через Bl проекцию этого вектора на направление элемента длины dl около выбранной точки контура.

Выражение §Bldl, взятое по всему замкнутому контуру, называют циркуляцией вектора магнитной индукции по данному контуру. Алгебраическую сумму токов ?I, пронизывающих поверхность, ограниченную контуром, называют полным током.

На основе закона Био -- Савара можно доказать, что циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру пропорциональна полному току, пронизывающему поверхность, ограниченную этим контуром (рис. 14.1):

(14.1)

Рисунок 14.1

Для магнитного поля в вакууме коэффициентом пропорциональности между циркуляцией вектора магнитной индукции и полным током является магнитная постоянная м0.

При составлении уравнения (14.1) для конкретного случая знак произведения Bldl берется положительным, если в данной точке направление В, совпадает с направлением обхода контура; знак тока принимается положительным, если направление линий индукции магнитного поля данного тока, определенное по правилу буравчика, совпадает с направлением обхода.

Выражение §lBldl можно представить алгебраической суммой произведений Bldl, составленной из бесконечно большого числа слагаемых.

Для рис. 14.1

Если выбрать контур, совпадающий с линией магнитной индукции, то вместо проекции вектора магнитной индукции В, в формулу (14.1) можно подставить полную его величину В.