Законы сохранения механики

Измерения. Для определения объема цилиндра необходимо определить его геометрические размеры: длину и диаметр. Для определения плотности вещества трубки необходимо (кроме объема) определить и ее массу.

Определение объема. Измерение длины производят следующим образом. Достаточно раздвинув ножки штангенциркуля, между ними помещают цилиндр. Ножку подводят так, чтобы цилиндр был слегка зажат, и производят отсчет. Так как ножка, а следовательно, и путь нониуса переместились на длину трубки, то отсчитывают по масштабу целое число миллиметров до нуля нониуса и смотрят, какое деление нониуса совпадает с некоторым делением масштаба. Измерение повторяют несколько раз, повернув перед каждым из них цилиндр вокруг его оси на некоторый угол (около 45°).

Далее производят измерение диаметра цилиндра. Одинаковое число раз на том и другом конце цилиндра измеряют два взаимно перпендикулярных диаметра, слегка зажимая цилиндр между ножками штангенциркуля и держа его при этом перпендикулярно к длине масштаба. Результаты занести в табл. 2. Из всех результатов измерения берут среднее значение.

Таблица 2

Вычисление плотности вещества цилиндра

№	Диаметр d, мм	Высота h, мм	Масса m, кг
i	di	di2	di	hi	hi	hi2	mi	mi	mi2

; .

При измерении внутренних диаметров ножки штангенциркуля вводят в трубку и разводят настолько, чтобы обе они прилегли к внутренним стенкам трубки; производят отсчет. Измерение повторяют несколько раз, поворачивая перед каждым из них трубку вокруг ее оси на некоторый угол (около 45°). Если штангенциркуль не приспособлен специально для измерения внутреннего диаметра трубки, то необходимо принять во внимание толщину обеих ножек; эта толщина обычно указывается на самом штангенциркуле.

Из результатов измерений по элементарным геометрическим формула вычисляют объем цилиндра.

Определение плотности вещества цилиндра. Измерение массы цилиндра производят при помощи весов. На одну чашу кладут цилиндр, на другую - разновесы. Их подбирают так, чтобы плечи весов оказались в равновесии. По результатам измерения массы и объема цилиндра определяют плотность его материала

.

Замечание.

Количество измерений в каждом из опытов указывается преподавателем.

Обработка результатов измерений производится в соответствии с требованиями методических указаний: «Методика обработки данных измерений физических величин». С ними следует ознакомиться до начала выполнения измерений.

Контрольные вопросы

1.Как произвести измерение линейных размеров тела с помощью микрометра, штангенциркуля?

2.Как определяется точность нониуса?

3.Каковы причины возникновения погрешностей при измерении линейных размеров тел, их объемов, плотностей, массы?

Лабораторная работа №6

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы: изучить один из экспериментальных методов определения моментов инерции тел.

Приборы и принадлежности: трифилярный подвес, секундомер, штангенциркуль; набор тел подлежащих измерению.

Момент инерции I твердого тела относительно некоторой оси определяется выражением

,

где r - расстояние элемента массы dm от оси вращения.

В простых случаях величину момента инерции можно определять расчетом, а в сложных его приходится искать экспериментальным путем. Одним из удобных методов измерения моментов инерции твердых тел является метод трифилярного подвеса.

Теория трифилярного подвеса

Схема трифилярного подвеса приведена на рис. 6.

Подвижная платформа Р' подвешена к платформе Р на трех симметрично расположенных нитях АА', ВВ'., СC'. Платформа Р позволяет возбудить в системе крутильные колебания. Вращательный импульс, необходимый для начала крутильных колебаний, сообщается платформе путем специального приспособления, которое находится сверху прибора, приводящего в движение рычажок, связанный с диском. Этим достигается почти полное отсутствие других крутильных колебаний, наличие которых затрудняет измерения. Для удобства отсчета колебаний на платформе имеется метка, против которой при покоящейся платформе устанавливается указатель - проволока на штативе.

При повороте нижней платформы Р' (относительно верхней) вокруг вертикальной оси на некоторый угол возникает момент сил, стремящийся вернуть платформу в положение равновесия. Если пренебречь трением, то на основании закона сохранения энергии для колеблющейся системы можно записать:

, (1)

где - кинетическая энергия системы, - потенциальная энергия системы, I - момент инерции платформы вместе с исследуемым телом, М - масса платформы с телом, z₀ - начальная координата точки О' (при (=0), z - координата точки О при текущем значении . Точкой обозначено дифференцирование по времени.

Как следует из рис. 6, координаты точки С в системе координат
(x, y, z) равны (r,0,0), а точка С' имеет координаты (Rcos₀, Rsin₀, Z), где ₀ - максимальный угол отклонения. Расстояние между точками С и С' равно длине нити l. Записывая l через значение ее координат (l²=x²+y²+z², где x²=(Rcos₀-r)², y²=(Rsin₀)², z²=z²), получим:

(R cos_{0 -} r)²+ (R sin₀)²+ z²=l²

z²=l²-R²-r²+2Rrcos₀=Z₀² - 2Rr(1-cos₀),

так как Z₀²=l²-(R-r)²= l²-R²+2Rr-r².

Учитывая, что для малых углов отклонения ₀ cos₀ 1-₀²/2, получим

Z²=Z₀²-Rr₀ ².(2)

Приравнивая корень из выражения (2), найдем, что при малых углах

. (3)

Из (3) следует, что , (4)

так как Z₀=l. Считая, что платформа совершает гармонические колебания, можем записать зависимость углового смещения в виде:

, (5)

где ₀ - амплитуда отклонения, Т - период колебания, t - текущее время. Угловая скорость, являющаяся первой производной по времени, выражается так:

. (6)

В момент прохождения через положение равновесия

t=0, T/2,T,3T/2, ….(т.к. cos(2/T) = 1),

абсолютное значение этой величины будет

. (7)

На основании вышеизложенного - выражений (1) и (7) - имеем

. (8)

Подставляя в (8) выражение (4), получим

,

откуда (9)

По формуле (9) может быть определен момент инерции платформы и тела, положенного на нее, так как все величины в правой части формулы могут быть непосредственно измерены. Формула (9) справедлива при отсутствии в системе потерь энергии на трение, или при T, где Т - период колебаний системы, а - время, в течение которого амплитуда колебаний платформы заметно уменьшается (в 2 - 3 раза).

Параметры трифилярного подвеса.

r = (0,060,001) м; l = (0,610,002) м;

R = (0,120,001) м; m₀ = (0,4810,01) кг - масса пустой платформы.

Проверка теоремы Штейнера методом крутильных колебаний

Для однородных и симметричных тел справедлива теорема Штейнера, которая формулируется следующим образом: момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I₀ относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

I=I₀ +md² .(10)

Справедливость теоремы Штейнера можно проверить при помощи трифилярного подвеса, для чего необходимо иметь два совершенно одинаковых тела. Оба тела симметрично располагают на платформе и определяют их момент инерции при таком расположении. Половина этой величины и будет давать момент инерции одного тела, находящегося на фиксированном расстоянии от оси вращения. Зная это расстояние, массу тела и момент инерции тела, положенного в центре платформы, можно проверить теорему Штейнера

I=(I₂-I₀)/2=+md², (11)

где I₂ - момент инерции двух грузов с платформой; I₀ - момент инерции пустой платформы; - момент инерции первого груза без платформы; I - момент инерции первого груза без платформы, расположенного на расстоянии d от оси вращения.

Тела на платформе необходимо класть строго симметрично - так, чтобы не было перекоса платформы, для чего на платформе нанесены цилиндрические окружности на определенном расстоянии друг от друга.

Измерения

Сначала по формуле (9) определяют момент инерции пустой платформы I₀. Так как величины l, R, r и масса платформы m₀ даются как постоянные прибора, то определяют только время периода колебаний пустой платформы Т₀. Для этого сообщают платформе вращательный импульс и при помощи секундомера измеряют время 50 полных колебаний, что дает возможность достаточно точно определить величину периода Т₀. После этого нагружают платформу в центре исследуемым телом, масса которого должна быть предварительно определена путем взвешивания, и вновь определяют период колебаний Т всей системы. Затем, пользуясь формулой (9), вычисляют момент инерции I₁ всей системы, принимая ее массу m равной сумме масс тела и платформы. Величина момента инерции тела определяется как разность =I₁ - I₀.

Далее нагружают платформу двумя одинаковыми телами, расположенными симметрично, и по формуле (9) определяют их момент инерции вместе с платформой I₂. Остальные результаты находят с помощью соответствующих вычислений.

При измерениях недопустимо пользоваться амплитудами колебаний, большими чем 5 - 6 градусов. Все данные измерений и расчетов свести в таблицу, проверить соотношение (11).

В работе использовать систему единиц СИ.

№	t0, с (50 колебаний платформы)	T0, с	I0, кг/м2	t0, с (50 колебаний с грузом 200 г в центре платформы)	T1, с	I0, кг/м2	t0, с (50 колебаний с грузом 400 г по краям платформы)	T2, с	I0, кг/м2
1 2 3 4 5
	t0			t1			t2

Период , где N = 50.

Контрольные вопросы

1.Что называется моментом инерции тела? В каких единицах измеряется момент инерции тела?

2.Выведите рабочую формулу. Какие упрощающие предположения следует использовать при выводе?

3.Справедлив ли указанный метод при определении момента инерции, если его центр инерции не лежит на оси вращения системы?

4.Сформулируйте и докажите теорему Штейнера.

Рекомендуемая литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики. М.: Наука, 1977. Т. 1. § 36 - 39.

2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. М.: Наука, 1974. Т. 1. § 52, 55 - 59.

Лабораторная работа №7

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА ПРИ ПОМОЩИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы: ознакомление с динамическим методом определения модуля сдвига.

Принадлежности: проволока из исследуемого материала, грузы, секундомер.

Если механический стержень с двумя симметрично расположенными грузами, подвешенный горизонтально к металлической проволоке, заставить колебаться, то уравнение движения для этого случая запишется в виде

, (1)

Здесь: М - момент сил, происходящий из упругих деформаций; I - момент инерции стержня с грузом; - угол поворота стержня. Если амплитуда колебаний невелика, то для определения момента сил можно воспользоваться законом Гука в форме

M=f, (2)

где f - модуль кручения проволоки ().

Момент М в этом случае вызван деформацией проволоки и стремится уменьшить, а не увеличить угол . В формуле (2) поэтому необходимо изменить знак.

После подстановки (2) в (1) формула приобретает вид

, (3)

где .

Выражение (3) является дифференциальным уравнением 2-го порядка. Его решение находится в виде гармонической функции.

=₀ sin(t+), (4)

где амплитуда ₀ и фаза определяются начальными условиями. Таким образом, является угловой частотой крутильных колебаний стержня, период которых равен

, (5)

Следует заметить, что последняя формула получена для незатухающих колебании, в то время как на самом деле колебания стержня всегда затухают. Если, однако, затухание невелико, т. е. изменение амплитуды колебаний за период много меньше самой амплитуды, то формулой (5) можно пользоваться. Критерием ее применимости служит неравенство

n>>1, (6)

где n - число полных колебаний, после которого амплитуда уменьшается в 2 - 5 раз.

Отметим, что период Т, как видно из формулы (5), не зависит от амплитуды. Однако при больших амплитудах закон Гука нарушается и такая зависимость может проявляться. Таким образом, вторым условием применимости данного метода является соблюдение равенства Т = const.

Описание экспериментальной установки

Данные прибора: 2m = 410,8 + 410,8 = 821,6 г; расстояние от центров грузов до оси системы (при установке грузов внутренней стороной на риску):

1-я риска - 0,1 м, 2-я риска - 0,15 м, 3-я риска - 0,2 м, 4-я риска - 0,25 м, 5-я риска - 0,288 м.

Экспериментальная установка (рис. 7) состоит из длинной вертикально висящей проволоки 1, к нижнему концу которой прикреплен горизонтальный металлический стержень 2 с двумя симметрично расположенными грузами 3. Их положение на стержне можно фиксировать. Верхний конец проволоки зажат в цангу 4 и при помощи специального приспособления вместе с цангой может поворачиваться вокруг вертикальной оси. Таким образом, в системе можно возбудить крутильные колебания.

Ход работы

1. Прежде всего установите диапазон амплитуд, в котором выполняется условие (6). Для этого укрепите грузы на некотором расстоянии от проволоки и возбудите в системе крутильные колебания. Измеряя время нескольких полных колебаний, найдите период T₁. Затем, уменьшив амплитуду вдвое, тем же способом найдите соответствующий период Т₂. Если T₁=T₂ то для проведения измерений можно выбрать любую амплитуду, но не больше первой. Если же окажется, что T₁ T₂, то амплитуду необходимо уменьшить до такого значения , начиная с которого для всех ₀= будет справедливо равенство T₁ =T₂.

2. Установите грузы так, чтобы их центры находились на некотором расстоянии L₁ от оси системы, измерьте период, как описано выше. Если I - момент инерции стержня без грузов, а I₁ - момент инерции грузов, то очевидно, что

. (8)

Изменив расстояние грузов до значения L₂, аналогично получим

.(9)

Из (8) и (9) следует

, (10)

где m - масса одного груза.

Измерьте период колебаний для трех разных положений грузов на оси маятника (L₁, L₂, L₃). Определите величину f по формуле (10) для нескольких (не менее трех) пар значений L₁ и L₂. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу:

Расстояние до груза	i	ti, c	, c	(t1)2, c2	T, c
L1=15 см	1:5
L2=20 см	1:5
L3=25 см	1:5

3. Зная f, вычислите значение модуля сдвига G, который связан с модулем кручения формулой , где - радиус проволоки (=(10,01) мм), l - длина проволоки (l=(5081) мм). Сравните экспериментальное значение модуля сдвига G с табличным значением для стали.

4. Вычислите погрешность результатов косвенного измерения f и G. Число колебаний N = 20; t - время, за которое происходит 20 колебаний; период одного колебания Т = t /N.

Контрольные вопросы

1.Как формулируется основной закон динамики вращательного движения?

2.В каком случае правую часть уравнения (1) можно записать в таком виде?

3.Что такое деформация кручения? Проиллюстрируйте графически деформацию кручения балки, закрепленной на одном из концов.

4.Каков физический смысл параметров f и G?

5.В каком случае справедлива формула М =f?

6. Запишите уравнение гармонических незатухающих колебаний в дифференциальной форме и сравните его с уравнением (3). Какой вывод можно сделать из этого сравнения?

Когда гармонические колебания станут ангармоническими?

Рекомендуемая литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики. М.: Наука, 1977. Т. 1. § 33, 38, 45, 64, 86.

Лабораторная работа №8

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ НА МАШИНЕ АТВУДА

Цель работы: опытное изучение равноускоренного движения и нахождение ускорения свободного падения.

Принадлежности: машина Атвуда, секундомер, набор перегрузков.

Краткая теория

Машина Атвуда предназначена для исследования закона движения тел в поле земного тяготения. Естественнее всего изучать этот закон, исследуя свободное падение тел, но этому, однако, мешает большая величина ускорения свободного падения. Поэтому опыт возможен либо при очень большой высоте прибора (намного выше высоты комнаты), либо с применением специальных методов, позволяющих точно измерить небольшие промежутки времени (доли секунды). Машина Атвуда позволяет избежать этих трудностей и замедлить движение до удобных скоростей.

Машина Атвуда состоит из вертикальной штанги 2 со шкалой (рис. 8), сверху которой установлен легкий пластмассовый блок, укрепленный на корундовых подшипниках и способный вращаться вокруг оси с незначительным трением. Через блок перекинута нить, на концах которой прикреплены грузы А и В, имеющие равные массы М. На груз А могут надеваться один, два или несколько перегрузков. Система грузов в этом случае выходит из равновесия и начинает двигаться ускоренно.

Найдем закон движения груза А. При расчетах будем пользоваться неподвижной системой координат, центр которой совпадает с осью блока. Ось ОХ направлена вниз. На груз А действуют две силы - сила тяжести (M+m)g и сила натяжения левой части нити T₁, m - масса перегрузка, лежащего на грузе А. По второму закону Ньютона:

(М + m)g -T₁ = (М+m)a, (1)

где a - ускорение груза А.

1- подставка (столик), передвигающаяся по штанге,

2- вертикальная штанга со шкалой,

3- грузы одинаковых масс,

4- электромагнит для удерживания грузов,

5- легкий пластмассовый блок,

6- тонкая капроновая нить.

Применим второй закон Ньютона к движению груза 3. В силу нерастяжимости нити ускорение груза 3 равно ускорению груза А по абсолютной величине и направлено в противоположную сторону, следовательно, оно равно а. Натяжение правого конца нити обозначим через Т₂. Тогда

Mg-T₂=Ma. (2)

Запишем основное уравнение динамики вращательного движения твердых тел применительно к блоку:

.

Здесь - суммарный момент сил относительно оси вращения, приложенный к блоку; I - момент инерции вращающего тела; - угловое ускорение.

Угловое ускорение связано с линейным ускорением a следующим образом

,

где R - радиус блока.

Запишем для пластмассового блока (с учетом двух последних выражений) основной закон динамики вращательного движения:

, (3)

где I - момент инерции блока; R - радиус блока (R=0,0660,001 м). Очевидно, что если подобран перегрузок m₀, при котором система движется равномерно, то момент силы трения

М_TP = m₀ gR.

Учитывая, что , где М₀ - масса блока, уравнение (3) перепишется в виде

. (4)

Из системы уравнений (1), (2), (4) найдем линейное ускорение:

. (5)

Здесь M₀ - масса блока (M₀ =(0,115± 0,0005) кг); М =(0,1610,0005) кг - масса груза А и В; m₀ = 0,2 г (определяется экспериментально).

Таким образом, движение груза А происходит равноускоренно и подчиняется уравнению (5). Формула (5) может служить для определения ускорения g. Эксперимент осложняется, однако, тем обстоятельством, что не существует простых способов прямого измерения ускорения a. Для определения a воспользуемся равноускоренным характером движения и будем измерять путь S и время t движения груза. Эти величины связаны известным соотношением:

. (6)

Из (6) выразим ускорение а:

. (7)

Экспериментальная часть

Эксперимент выполняется в следующем порядке. Один из имеющихся перегрузков кладут на груз А. Груз А поднимают на определённую высоту и фиксируют, подав ток в катушку электромагнита. Секундомер ставится на нуль. По шкале отмечается высота поднятия груза S над столиком.

Теперь следует разорвать цепь электромагнита и одновременно включить секундомер. При соприкосновении груза А со столиком секундомер выключают и замечают время опускания груза А. Зная S и t, нетрудно посчитать a по формуле (7), Опыт повторяют 5 раз и записывают полученные данные в таблицу:

№

Масса перегрузки

M=2 г

M=4 г

M=6 г

i

S1 м

ti c

t c

ti2 c2

a1 м/с2

S1 м

ti c

t c

ti2 c2

a2 м/с2

S1 м

ti c

t c

ti2 c2

a3 м/с2

S2 м

ti c

t c

ti2 c2

a1 м/с2

S2 м

ti c

t c

ti2 c2

a2 м/с2

S2 м

ti c

t c

ti2 c2

a3 м/с2

1 : 5

S3 м

ti c

t c

ti2 c2

a1 м/с2

S3 м

ti c

t c

ti2 c2

a2 м/с2

S3 м

ti c

t c

ti2 c2

a3 м/с2

1 : 5



Прежде чем приступить к систематическим измерениям, полезно проделать несколько опытов при разных S и t для того, чтобы убедиться в правильности работы установки. Вычисленное по экспериментальным данным по формуле (5) значение g следует сопоставить с табличным.

Экспериментально определить m₀. Для этого используют миллиграммовые перегрузки разновеса; их кладут на груз А; постепенно увеличивая нагрузку до тех пор, пока груз А не начнет опускаться.

Ход работы

1.На груз А положить перегрузок и измерить время прохождения расстояния S не менее пяти раз.

2.Повторить опыт для различных перегрузков: 2 г, 4 г, 6 г.

3.Повторить опыт для трех различных высот подъёма груза.

4.Полученные данные изобразить графически t=F(S^1/2). Проверить равноускоренный характер движения.

5.Вычислить значения всех ускорений a. Найти среднее значение и погрешности в определении a для каждого перегрузка.

6.Используя найденные значения a, вычислить значения g и сравнить их с табличными. Оценить точность найденного значения по формулам:

,

.

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте и запишите второй закон Ньютона в дифференциальной форме.

2.Дайте определение момента сил, момента инерции, линейного и углового ускорения. Выведите связь линейного и углового ускорения.

3.Изменится ли натяжение нити (при движении грузов), если один перегрузок заменить другим?

4.Как изменится ускорение системы, если увеличить массу постоянных грузов А и В (не меняя массы перегрузка и сил трения)?

5.Почему система движется, хотя сила трения больше веса перегрузка?

6.Почему не рекомендуется ставить платформу слишком близко к началу шкалы?

7.Почему найденное значение g отличается от табличного?

Рекомендуемая литература

1.Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1: Механика, колебания и волны, молекулярная физика. М.: Наука, 1973. § 14, 16, 19, 21.

2.Иверонова В.И. Физический практикум. 1967. С. 51.

Размещено на http://www.allbest.ru/