Нелинейные многоволновые взаимодействия в упругих системах

Рассматривается натуральная Под натуральной подразумевается система, обладающая ограниченным ресурсом энергии. квазилинейная механическая система, движение которой характеризуется лагранжевыми уравнениями, представленными в квазинормальной матричной форме [2]

(4) и

с соответствующими граничными и начальными условиями. Здесь обозначает комплексный -мерный вектор решения ( - матрица линейного нормализующего преобразования искомых переменных , - единичная матрица); - диагональная матрица дифференциальных операторов с собственными значениями , где - пространственный дифференциальный оператор (очевидно Например, если оператор -- полином, то , где -- скаляр, -- вектор с постоянными компонентами, -- некоторая функция (более детально см. [3])., что ); - -мерный вектор нелинейности , представленный рядом по , т.е.

,

где - однородные векторные полиномы степени , например

Здесь и - некоторые заданные дифференциальные операторы.

Наряду с системой (4) рассматривается соответствующая линеаризованная подсистема

(5) и ,

аналитическое решение которой, удовлетворяющее соответствующим краевым и начальным условиям, представляется суперпозицией нормальных волн

,

где - постоянные комплексные амплитуды; - число нормальных волн -го типа. Возникает вопрос - есть ли существенная разница между этими двумя системами, иначе говоря, - насколько существенно присутствие малой нелинейности. В соответствии с теорией нормальных форм (см. например [4]), решение уравнений (4) ищется в форме почти тождественного преобразования переменных, т.е.

(6)

где - неизвестная -мерная векторная функция, компоненты которой формально представимы рядом по , т.е. почти билинейная форма:

(7) ,

Например

где и - неизвестные коэффициенты, подлежащие определению. При подстановке (6) в (4), получаются следующие дифференциальные уравнения с частными производными для нахождения :

.

Очевидно, что собственные числа оператора , действующего на полиномиальные компоненты функции , т.е. , представляют собой линейные целочисленные комбинации собственных чисел оператора при различных значениях векторов .

В первом приближении получаются линейные уравнения для нахождения нормализующего преобразования:

.

Всякой полиномиальной компоненте соответствует собственное число , т.е. , где

или

,

в то время как в наинизшем приближении разложения по .

Аналогично, во втором приближении разложения решения по :

собственные значения оператора можно выразить в следующем виде: , где . Продолжая и далее подобные итерационные процедуры, можно построить искомое преобразование (7).

Таким образом, если хотя бы одно собственное значение оператора стремится к нулю, , то соответствующие коэффициенты ряда (7) стремятся к бесконечности, т.е. говорят, что в системе наступает резонанс порядка . В противном случае, если собственные значения оператора не равны нулю, то системы (4) и (5) называются формально эквивалентными, поскольку ряд (7) все же может быть расходящимся. Если же оказывается ограниченной аналитической функцией, то системы (4) и (5) считаются аналитически эквивалентными.

В теории нормальных форм существует основная теорема Пуанкаре, накладывающая одновременно весьма сильные условия на спектральные параметры системы и на коэффициенты нормализующего преобразования, для того чтобы две подходящие различные системы обыкновенных дифференциальных уравнений оказались аналитически эквивалентными. Во множестве задач о колебаниях нелинейных механических систем условия теоремы Пуанкаре, как правило, не выполняются. Например, основные типы резонансов второго порядка ассоциируются с трехволновыми резонансными процессами, когда и ; процессом генерации второй гармоники, когда и .

Наиболее важные случаи резонансов третьего порядка следующие: четырехволновые резонансные процессы, при выполнении условий синхронизма: ; (взаимодействие двух пар волн), или при иных условиях синхронизма и (распад высокочастотной волны на тройку низкочастотных волн); вырожденные трехволновые резонансные процессы, при и ; генерация 3-ей гармоники, при и .

Во всех приведенных примерах резонансов второго и третьего порядков в общем случае наблюдается ярко выраженная амплитудная модуляция, глубина которой растет, когда фазовая расстройка стремится к нулю. Волны, фазы которых удовлетворяют условиям фазового синхронизма, формируют так называемые резонансные ансамбли.

Наконец, во втором нелинейном приближении всегда присутствуют так называемые нерезонансные взаимодействия, когда условия фазового синхронизма вырождаются в следующие “тривиальные” случаи: кросс-взаимодействия пары волн, при и ; самовоздействия волны, и .

Нерезонансные взаимодействия в основном характеризуются только лишь фазовой модуляцией волн.

Основное предложение настоящего пункта можно сформулировать следующим образом. Если в системе (4) нет резонансов, начиная с порядка и до порядка включительно, то следует ожидать, что нелинейность приведет лишь только к малым поправкам к решениям соответствующей линеаризованной системы. Эти поправки будут того же порядка, , что и мера нелинейности, и вплоть до времен .

Для получения формально пригодного преобразования (7) в резонансном случае, следует пересмотреть структуру системы сравнения (5) в сторону модификации ее правой части:

(8) ; ,

таким образом, чтобы нелинейные слагаемые , где - однородные полиномы -го порядка, содержали бы только лишь резонансные члены. В этом случае уравнения (8) ассоциируются с так называемыми нормальными формами. В практических задачах, ряды обычно укорачиваются до одного-двух слагаемых соответствующего порядка по .

Уместны следующие замечания

Теория нормальных форм достаточно просто обобщается на случай так называемых существенно нелинейных систем, поскольку малый параметр может быть опущен в выражениях (4) - (8) без всякого ущерба для конечного результата, при этом и оператор может также зависеть от пространственной переменной .

Формально, собственные значения оператора могут быть произвольными комплексными числами. Это означает то, что резонансы порядка могут быть определены и проклассифицированы даже и для неколебательных процессов, например применительно к эволюционным уравнениям.

Резонанс в многоволновых системах

Явление резонанса играет ключевую роль в динамике большинства физических систем. Интуитивно, резонанс ассоциируется с одним частным случаем силового возбуждения линейных колебательных систем. Такое возбуждение сопровождается с более или менее скорым ростом амплитуды колебаний при достаточной близости одной из собственных частот колебаний системы к частоте внешнего периодического возмущения. В свою очередь, в случае так называемого параметрического резонанса возникают некоторые рациональные соотношения между собственными частотами системы и частотой параметрического возмущения. Таким образом, резонанс можно проще всего классифицировать, согласно выше приведенному эскизу, по его порядку, начиная с первого, , если включить в рассмотрение и линейные и нелинейные динамические системы. Поэтому, в общем случае, понятие резонанса в колебательных системах может быть связано с физическим явлением, которое характеризуется накоплением энергии одним или несколькими колебательными объектами за счет энергии другой группы колебательных объектов, когда все колебательные процессы объединены некоторым пространственно-временным сродством. Так называемые нерезонансные процессы, такие как кросс-взаимодействия и самовоздействие, также могут быть включены в подобное определение, но со специальной оговоркой, касающейся их специфических динамических свойств.

Для широкого класса механических систем со стационарными краевыми условиями математическое определение резонанса следует из рассмотрения следующих усредненных функций

(9) , при ,

где - комплексные константы соответствующие решениям линеаризованных эволюционных уравнений (5); - пространственный объем, занимаемый системой. Если функция претерпевает скачек при заданных значениях и , то систему следует отнести к резонансной В прикладных проблемах определение резонанса следует прямо связать с порядком применяемой асимптотической процедуры. Например, если рассматривается первое приближение, то скачками функции второго порядка, при , следует пренебрегать [5].. Последнее подтверждается основными результатами теории нормальных форм. Резонанс имеет место при условии выполнения условий фазового синхронизма

и .

Здесь - число резонансно взаимодействующих квазирармоник; - некоторые целые числа ; и - параметры малой расстройки.

Пример 1. Рассматриваются линейные поперечные колебания тонкой балки, подверженной действию малой внешней периодической силы и параметрического возбуждения, согласно уравнению

,

где , , , , , и - некоторые подходящие константы, . Это уравнение переписывается в стандартной форме

,

где , , . При , решение уравнения таково, где собственные частоты удовлетворяют дисперсионному соотношению . Если , тогда малые амплитудные вариации удовлетворяют следующему уравнению

где , - групповая скорость амплитудной огибающей. Усреднение правой части этого уравнения, в соответствии с (9), дает

, при ;

, при и ;

во всяком другом случае.

Отметим, что резонансные свойства системы с нестационарными краевыми условиями не всегда могут быть обнаружены с помощью функции .

Пример 2. Рассматриваются уравнения, описывающие колебания балки по модели Бернулли-Эйлера:

с граничными условиями ; ; . После приведения уравнений к стандартной форме и использовании формулы (9), определяется скачек функции при условиях

и .

В то же время, резонанс первого порядка, испытываемый продольной волной на частоте , автоматически уже не определяется.

Литература

1. Kaup P. J., Reiman A. and Bers A. Space-time evolution of nonlinear three-wave interactions. Interactions in a homogeneous medium, Rev. of Modern Phys., (1979) 51 (2), 275-309.

2. Ковригин Д.А., Потапов А.И. Нелинейная волновая динамика одномерных упругих систем. Изв. вузов. ПНД, (1996) 4 (2), 72-102.

3. Маслов В.П. Операторные методы. М.: Наука, 1973, с.544.

4. Jezequel L., Lamarque C. - H. Analysis of nonlinear dynamical systems by the normal form theory, J. of Sound and Vibrations, (1991) 149 (3), 429-459.

5. Журавлёв В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1973, с.328.