В связи с эффектом резонансного светового давления в последние годы наибольшее развитие получило направление исследований, связанное с глубоким охлаждением и пространственной локализацией атомарного газа. Рассмотрим здесь принципиальные стороны соответствующих процессов. Начнем с процесса охлаждения газа спонтанным световым давлением.

Рис. 6. Процесс торможения и охлаждения атомного пучка (показаны виды распределения атомов по скоростям в последующие моменты времени)

Возникает естественный вопрос: можно ли похожим способом охладить обычный газ атомов и можно ли это сделать для всех трех направлений движения?

Таким образом,

Рис. 7. Одномерное охлаждение газа атомов (показано последовательное изменение распределения по скоростям с течением времени)

Как видно, это довольно-таки глубокое охлаждение.

Мы показали, что спонтанным световым давлением можно сильно охладить газ атомов в области пересечения световых волн. Однако, если не предпринять специальных усилий, они покинут эту область в процессе свободного движения. Представляет интерес каким-то образом задержать их здесь, т.е. речь идет об охлаждении и пространственной локализации холодных атомов. Мы обсудим, как это сделать с помощью того же излучения.

Как оказывается, спонтанное световое давление - не единственная сила, действующая со стороны излучения на атомы. С ростом интенсивности излучения становятся существенными новые виды сил. Обсудим их.

где - единичный вектор в направлении от отрицательного заряда к положительному. К тому же мы знаем, что если потенциальная энергия для какого-то тела зависит от координат, то на него действует сила

= U, (61)

где U - градиент потенциальной энергии.

Заметим теперь, что ЭП световой волны способно раскачивать электрон относительно ядра атома (на квантовом языке это и означает вынужденные переходы с одного уровня на другой). Следовательно, в атоме наводится дипольный момент, колеблющийся с частотой (частота вынуждающейся силы):

= , (62)

где - ЭП волны, коэффициент пропорциональности.

Подставим (62) в (60) и получим

U= E2.. (63)

Таким образом, несмотря на то, что поле колеблется с очень большой частотой, существует отличная от нуля средняя потенциальная энергия взаимодействия. Если излучение неоднородно в пространстве, существует и средняя сила типа (61), которую называют стрикционной силой. В связи с оптическим излучением на нее впервые обратил внимание А.Г. Аскарьян (1962). В бегущей волне пространственная неоднородность обусловлена конечным диаметром светового пучка. Если же используется стоячая волна, то возникает более мелкомасштабная периодическая пространственная неоднородность с характерным размером, равным длине волны излучения . Средняя по времени потенциальная энергия атома в стоячей волне приобретает вид, показанный на рис. 8. Мыслима ситуация, когда атом, пролетая мимо одной из потенциальных ям, затормозившись спонтанным излучением, свалится в нее и останется там (на возможность такой локализации атома впервые обратил внимание В.С. Летохов (1968)).

Предположим теперь, что три взаимно ортогональные стоячие волны сфокусированы в одну область пространства (область пересечения).

Рис. 8. Средняя по времени потенциальная энергия атома в стоячей волне

В этой области интенсивности волн максимальны и для атомов можно осуществить эффективную потенциальную ловушку. Если проделать те манипуляции, которые описаны выше, то можно одновременно охладить атомы и локализовать их в области пересечения световых пучков [25, 26]. При этом возможна ситуация, когда атомы будут локализованы в пучностях или узлах стоячих волн, образуя тем самым трехмерную пространственную решетку с характерным расстоянием между узлами решетки. Нарисованная здесь картина несколько идеализирована. Реально тот факт, что потенциальная энергия осциллирует во времени, приводит к более сложному выражению для силы, чем выражение (61) с потенциалом (63). При строгом подходе сила так называемого вынужденного светового давления может способствовать еще более глубокому охлаждению, чем за счет только спонтанного светового давления. При этом ограничением уже будет энергия отдачи при испускании фотона.

В экспериментах по охлаждению атомов для локализации оказалось удобно использовать дополнительные поля (МП, поле микроволнового излучения). Спонтанным и вынужденным световым давлением осуществляют предварительное охлаждение и пространственную локализацию в приготовленной другими полями ловушке. Затем наступает этап получения ультрахолодных атомов. Для этого меняют параметры ловушки таким образом, чтобы за ее пределы уходили высокоэнергетичные атомы, а оставались ультрахолодные. На этом пути удалось опуститься до температуры в единицы микрокельвинов.

Глубокое охлаждение и локализация атомов представляют не только самостоятельный академический интерес. Ультрахолодные атомы - это новый физический объект, интересный во многих отношениях. Прежде всего он может дать новые возможности для спектроскопии сверхвысокого разрешения (полное отсутствие доплеровского уширения). Физика атомных столкновений здесь также найдет для себя много интересного (столкновения очень медленных частиц). При локализации атомов в узлах стоячих волн получаем специфический объект - газовый кристалл, у которого могут оказаться неожиданные интересные свойства. Локализованные в малых объемах атомы могут начать проявлять квантовый характер движения, а если атомов в одной ловушке набралось достаточно и они хорошо охлаждены, то может произойти процесс так называемой бозе-конденсации, т.е. образуется квантовая жидкость, обладающая свойством сверхтекучести. В 1995 году несколько экспериментальных групп за рубежом заявили о том, что им удалось реализовать процессы бозе-конденсации. К настоящему времени уже существуют убедительные доказательства, что бозе-конденсация действительно реализована.

В исследования механического действия излучения на атомы внесли вклад многие ученые из разных стран. Помимо упомянутых уже Нобелевских лауреатов из зарубежных ученых отметим А. Ашкина, который первым (1970) представил силу резонансного светового давления в виде (55), а также Т. Хэнша и А. Шавлова, предложивших использовать световое давление для охлаждения газа (1975). Значительный вклад внесен и отечественными учеными. Еще в 1968 году В.С. Летоховым предсказана возможность локализации атомов в узлах или пучностях стоячей световой волны. Систематическое развитие теории начато А.П. Казанцевым, который в 1972 году предложил ускорять атомы, захваченные в узлах квазистоячей волны. Значительные результаты в теории получены А.П. Казанцевым с сотрудниками, а также В.С. Летоховым и В.Г. Миногиным. Деформация функции распределения (рис. 5) впервые описана И.В. Красновым и Р.Я. Шапаревым, а экспериментально впервые реализована В.И. Балыкиным (1981) из группы В.С. Летохова. Здесь же впервые осуществлено двухмерное охлаждение (1981). Более подробную информацию о развитии идей и их воплощении можно найти в обзоре [23] и монографии [24].

Хотя выше рассмотрено механическое действие излучения на атомарные объекты, есть смысл упомянуть о таком же действии на макрочастицы малых (микронных) размеров. Для ряда задач, в том числе для управляемого ядерного синтеза, существует потребность ускорить такие частицы до больших энергий. В этом способно помочь лазерное излучение высокой интенсивности. С прямым световым давлением здесь конкурирует сила реактивного движения, возникающая за счет импульса отдачи со стороны продуктов испарения. В итоге ожидается возможность достижения скорости частиц до 108 см/с [25].

Другая интересная возможность - ускорение частиц, поглощающих излучение (но не испаряющихся) в жидкости. В данном случае движущей силой является давление, возникающее вследствие испарения жидкости из-за нагрева той части поверхности частицы, где происходит поглощение излучения. Таким способом удалось [26] разогнать частицы микронного размера до скоростей 106 см/с.

4. Диффузионно-химические явления и фотохимические методы

Фотохимическая реакция. Возбужденный атом или молекула в общем случае имеет повышенную способность вступать в химические реакции по сравнению с атомами или молекулами в основном состоянии, и их можно отделить от последних, выбирая подходящую схему химической реакции. Хотя электронное возбуждение часто бывает в этом отношении более эффективным, в случае молекул может оказаться продуктивным и колебательное возбужение. Ниже приведены два примера, иллюстрирующие изотопически селективную фотохимию [21].

В смеси молекул орто-I2 и пара-I2 с 2-гексаном (Х) молекулы орто-I2 возбуждались линией 514,5 нм аргонового лазера. После часового облучения пучком мощностью 0,2 Вт было обнаружено, что плотность орто-I2 снизилась до 5 %. Этот эффект объяснялся тем, что электронно-возбужденные молекулы орто-I2 могли реагировать с 2-гексаном, тогда как невозбужденные молекулы пара-I2 - не могли:

орто-I2 орто- + X XI2.

В другом примере газовая смесь, содержащая Н3СОН, D3COD и Br2 в пропорции 1:1:1, облучалась лазером на НF непрерывного действия с длиной волны 2,7 мкм. Возбуждалось колебание ОН молекул Н3СОН. Колебательно-возбужденные молекулы Н3СОН затем сильно реагировали с Br, давая в результате 2НBr и Н2СО :

Н3СОН* + Br2 > 2HBr + H2CO.

В результате после облучения смеси лазером мощностью 90 Вт в течение 60 с отношение концентраций Н3СОН и D3COD снизилось до 1:19. Однако этот результат требует дополнительной проверки.

Химические реакции в описанных примерах были простыми. В результате их получаются стабильные первичные продукты, которые легко можно отделить от исходных молекул. В общем случае, однако, бывает не так. Часто после селективного возбуждения атомов или молекул возникает цепная реакция. В результате неконтролируемых вторичных реакций может произойти перемешивание изотопов.

Одноступенчатая фотопредиссоциация. Унимолекулярная диссоциация является особым классом химических реакций, вызываемых лазерным возбуждением. Если возбуждение является изотопически селективным, то этот процесс можно использовать для разделения изотопов.

Некоторые молекулы имеют резкие ровибронные состояния, накладывающиеся на возбужденное электронное состояние, которое является вырожденным с диссоциационным континуумом другого возбужденного электронного состояния (рис. 9).

Эти состояния носят название предиссоциационных. Они сходны по своей природе с автоионизационными состояниями в ионизационном континууме. Молекула, возбужденная в предиссоциационное состояние, может релаксировать в континуум и диссоциировать. Если резкие предиссоциационные состояния имеют изотопический сдвиг, который можно разрешить в эксперименте, то селективное возбуждение может привести к предиссоциации выделенных изотопических молекул. Продукты диссоциации могут быть стабильными или нестабильными. В последнем случае нужно придумать процесс химической очистки для удаления соединений с выделенным изотопическим составом до того, как произойдет их перемешивание с другими соединениями. Необходимо также предотвратить вторичные химические реакции, которые могут перемещать изотопы. Преиму-ществом метода одноступенчатой предиссоциации является его прос-тота. Для однофотонного селективного возбуждения требуется лишь один лазер сравнительно малой мощности.

Рис. 9. Схематическая диаграмма энергетических уровней молекулы, имеющей предиссоционные состояния, вырожденные с континуумом диссоциирующего электронного состояния

Для примера рассмотрим случай изотопического обогащения дейтерия с помощью фотопредиссоциации формальдегида Н2СО. Этот же процесс можно использовать для обогащения изотопов С и О. При предиссоциации Н2СО преобладает реакция

.

И Н2, и СО являются стабильными молекулами, и их легко можно выделить. При облучении естественной смеси Н2СО и НDCO He - Cd лазером непрерывного действия с длиной волны 325,03 нм был получен фактор обогащения К(D/H), равный 14.

Двухступенчатая фотодиссоциация и фотопредиссоциация

Диссоциация молекул может быть вызвана их возбуждением либо в предиссоциационное состояние, либо в диссоциационный континуум. Для изотопически селективной диссоциации можно воспользоваться двухступенчатой схемой возбуждения: на первом этапе селективно возбуждаются молекулы с данным изотопическим составом, а на втором этапе молекулы дополнительно возбуждаются в диссоциационное или предиссоциационное состояние. Поскольку предиссоциационное состояние также может иметь изотопический сдвиг, то случай двухступенчатой фотодиссоциации в общем случае обладает большей селективностью по сравнению со случаем одноступенчатой фотопредиссоциации, хотя для реализации первой необходимо иметь два перестраиваемых лазера с достаточно большой интенсивностью для ступенчатого возбуждения. Селективное возбуждение может быть либо электронным, либо колебательным. Чаще используется последнее, поскольку для большинства молекул изотопический сдвиг лучше разрешается в колебательных спектрах. В этом случае продукты диссоциации также должны быть удалены прежде, чем вторичные реакции или другие процессы перемещают молекулы с разным изотопическим составом.

В качестве примера приведем первую демонстрацию метода. Смесь молекул 14NH3 и 15NH3 в пропорции 1:1 при давлении 10 20 Торр в присутствии буферного газа при давлении 250 Торр (Хе или Ne) одновременно облучалась импульсным СО2-лазером и УФ-излучением искрового разряда. Излучение СО2-лазера селективно возбуждало колебательную моду 2 молекулы 15NH3 в основном состоянии: (, = 0) (, = 1). Вслед за тем УФ-возбуждение переводило эту молекулу в предиссоциационное состояние (, =0). Получающаяся в результате цепь химических реакций предположи-тельно имела вид

Как видно, во вторичных реакциях не участвуют невозбуж-денные молекулы NH3. Следовательно, эти реакции являются изотопически селективными. Получающиеся в результате молекулы N2 должны быть обогащены изотопом 15N. Действительно, полученный коэффициент обогащения К(15N/14N) в молекулах N2 достигал 2,5 6.

В другом примере импульсный СО2-лазер использовался для селективного возбуждения колебательной моды 3 молекул 11ВСl3 в смеси 10ВСl3 и 11ВСl3. УФ излучение импульсной ксеноновой лампы возбуждало молекулы 11ВСl3* в смеси 10ВСl3 и 11ВСl3. УФ-излучение импульсной ксеноновой лампы возбуждало молекулы 11ВСl3 дальше, в континуум диссоциационного электронного состояния. Продукты диссоциации удалялись при помощи молекул О2. В эксперименте наблюдалось 10 %-ное обогащение изотопа 10В по сравнению с 11В в оставшейся смеси молекул ВСl3. В США рассматривалось использование метода двухступенчатой фотодиссоциации для широкомасштабного разделения изотопов урана.

Многофотонная диссоциация в сильном ИК-поле

Многофотонная диссоциация молекул в сильном ИК-поле подробно будет рассмотрена в подразд. 4. Поскольку переходы через низколежащие дискретные уровни обладают изотопической селективностью, этот процесс также можно использовать для разделения изотопов. Он имеет то преимущество, что для его осуществления требуются только импульсные ИК-лазеры средней мощности. Работы С.Я. Рабиновича с сотрудниками экспериментально продемонстрировали разделение изотопов урана с помощью многофотонной диссоциации молекул UF6 в сильном ИК-поле.

5. Эмиссионные процессы

С феноменологической точки зрения под фотоэлектрическим эффектом понимается явление вырывания электронов с поверхности металла при его освещении, т.е. в результате воздействия ЭМИ в видимой, ИК- и УФ-областях спектра (вырывания электронов с помощью рентгеновского и гамма-излучения также следует назвать фотоэффектом). Естественно, что фотоэффект наблюдается не только в металлах, но и в других твердых телах (полупроводниках, диэлектриках, молекулярных кристаллах и др.), а также и в жидкостях. Однако здесь ограничимся рассмотрением фотоэффекта только для случая твердых металлических тел. Из других типов взаимодействия ЭМП с веществом, родственных в какой-то мере внешнему фотоэффекту, следует еще упомянуть: явление фотоионизации (испускание электронов при освещении газов и паров); явление фотопроводимости (внутренний фотоэффект), т.е. появление электронов проводимости в телах, не проводящих электрический ток (полупроводниках или диэлектриках) при их освещении; фотогальванический эффект (возникновение ЭДС в замкнутом контуре под влиянием освещения, но без внешнего источника тока). Строгого различия между этими явлениями и внешним фотоэффектом нельзя провести в силу их общего физического содержания, но здесь рассмотрим только внешний фотоэффект.

Открытие внешнего фотоэлектрического эффекта принадлежит Г.Герцу [27]. Открытие этого явления (сыгравшего выдающуюся роль в развитии квантовой теории), было сделано Герцем попутно, в его знаменитых опытах по экспериментальному обоснованию электромагнитной теории света. Герцем было обнаружено, что длина электрической искры в разряднике вспомогательного колебательного контура зависела от того, падал ли на нее свет от другой искры, получающейся в разряднике контура, или нет. Было выявлено, что если разрядник вспомогательного контура защищен от света, то длина искры в нем меньше, чем при его освещении. Оказалось также, что этот эффект наблюдается и в УФ-части спектра падающего излучения и что он наблюдается лучше всего, если освещается отрицательный электрод разрядника. Эти результаты опытов Герца послужили началом интенсивного изучения фотоэлектрического эффекта. Среди последующих экспериментальных исследований в первую очередь следует упомянуть работы А.Г. Столетова [28], в которых были впервые вскрыты основные законы фотоэффекта, а также работы Э. Гальвакса (1888) и других исследователей. Р. Ленард (1899, 1900) и С. Томсон (1899) доказали, что при освещении металлов вылетают электроны, открытые ранее в опытах с катодными лучами в разрядных трубках.

При исследовании явления испускания электронов веществом, подвергнутым освещению, необходимо было прежде всего установить связь между характеристиками падающего излучения и характеристиками потока вылетающих фотоэлектронов. Основными характеристиками излучения следует выбрать интенсивность, спектральный состав (частоту) и поляризацию света, а для электронов их число, распределение по скоростям и направлению их испускания. Задачей теории является объяснение закономерных связей между этими величинами и сравнение их с экспериментом.

В результате упомянутых выше опытных исследований, а также и многих других были установлены три основных экспериментальных закона внешнего фотоэффекта:

Сила фотоэлектрического тока j прямо пропорциональна интенсивности I светового потока, вызывающего фотоэффект, при условии неизменности спектрального состава этого потока (закон Столетова).

2. Существует длинноволновая граница (0 или 0) в спектре излучения, начиная с которой (для < 0, или > 0) в данном веществе может иметь место фотоэффект (закон «красной» границы).

3. Энергия фотоэлектронов не зависит от интенсивности света, а максимальная величина этой энергии 0,5(m2)макс линейно связана с частотой падающего света, т.е.

0,5(m2)макс = a + b , (64)

где а и b постоянные, m масса и скорость фотоэлектрона. Известно, что второй и третий законы фотоэффекта не могли быть объяснены на основе классической волновой теории света и привели к очередной «катастрофе» классической физики, не способной объяснить квантовый характер световых явлений. Эйнштейну [29] первому удалось дать теоретическое объяснение этих законов, применив для этой цели планковские представления о квантах света. Работа Эйнштейна по фотоэффекту положила начало современной теории взаимодействия света с веществом. Приняв, что свет частоты может поглощаться и излучаться квантами энергии h, Эйнштейн предположил, что энергия светового кванта, попадающего на металл, целиком поглощается электроном, частично расходуясь при этом на работу вырывания из металла, а в остальном превращаясь в кинетическую энергию выбитого из металла электрона. Таким образом, закон сохранения энергии в данном случае имеет вид

h = ч + 0,5m2макс,

где минимальная энергия, требующаяся для удаления электрона из металла во внешнее свободное пространство, т.е. так называемая работа выхода, а макс максимальная скорость вылетающих электронов. Из последнего уравнения сразу вытекают второй и третий законы фотоэффекта. А именно для «красной» границы получаем

h0 = ч, 0 = ч/h. (65)

Таким образом, минимальная частота 0 определяется работой выхода ч, а максимальная энергия фотоэлектронов является линейной функцией частоты света, т.е. может быть получена опытным путем (третий закон).

Первый закон Столетова также хорошо объясняется теорией Эйнштейна, ибо число фотоэлектронов растет прямо пропорционально числу фотонов.

Уравнения Эйнштейна были проверены в ряде опытов. Среди них в первую очередь следует упомянуть фундаментальные работы А.Ф. Иоффе (1907) по элементарному фотоэлектрическому эффекту, в которых впервые наблюдался элементарный акт квантового поглощения света, предсказанного Эйнштейном. Важную роль в экспериментальном изучении фотоэффекта сыграли тонкие по экспериментальному искусству работы П. И. Лукирского и С.С. Прилежаева (1928), которые разработали очень точную методику измерений фотоэффекта при помощи сферического конденсатора и произвели тщательное исследование скоростей фотоэлектронов на целом ряде металлов, а также дали прецизионный метод количественного определения постоянной Планка.

Из формулы (65) явствует, что фотоэлектрическая граница определяется работой выхода (которая определяется также условиями на поверхности металла). Таким образом, можно ожидать, что граничная частота 0 в сильной мере зависит от состояния поверхности металла, что полностью подтверждается опытом. Обработка поверхности, наличие адсорбированных газов и т.п. могут сильно менять величину работы выхода, а вместе с ней и величину красной границы, и тем самым делают задачу определения красной границы чистых металлов весьма трудной. На величину 0 может оказывать существенное влияние и температура металла. Опыты с чистыми поверхностями в вакууме показали, что фототок j незначительно меняется с увеличением температуры поверхности для частот, далеких от красной границы, и резко возрастает на частотах, близких к ней, особенно для частот ~ 0 (т.е. температура поверхности эффективно смещает красную границу в область меньших частот, и эта граница перестает быть резкой с ростом температуры). Аналогично температуре действует на фототок ускоряющее ЭП у поверхности фотокатода. Влияние этого поля незначительно для частот , далеких от красной границы ( >> 0), и очень существенно для , близких к 0.

Помимо фотоэлектрической границы для характеристики фотоэффекта имеют существенное значение энергия фотоэлектронов и спектральное распределение фотоэффекта, т.е. зависимость фототока от частоты света. При этом важно определить функцию распределения электронов по скоростям или энергиям , в которую в качестве параметра входит частота света : f(, ).

На рис. 10 в качестве примера приведена кривая распределения энергии фотоэлектронов для алюминия, освещаемого светом длины волны = 0,2536 мкм.

Рис. 10. Кривая распределения Рис. 1 Схематические кривые фотоэлектронов по энергиям для Al спектрального распределения фототока

По оси ординат отложено число фотоэлектронов nф (в произвольных единицах), а по оси абсцисс отношение энергии электрона к его максимальной энергии /макс. Эти кривые мало различаются для различных металлов, но могут сильно деформироваться для тонких пленок (толщин d < 1 мкм).

Кривые зависимости фототока от частоты света имеют вид, изображенный на рис. 1 Здесь по оси ординат отложено отношение фототока j к интенсивности света I, вызывающего его (j/I чувствительность фотокатода), а по оси абсцисс частота света . Кривая типа А на рис. 11 соответствует «нормальному» фотоэффекту (нормальная характеристика) и имеет монотонно возрастающий характер с ростом частоты. Кривая В на рис. 11 имеет максимум в той или иной области частот и соответствует «селективному» фотоэффекту [30, 31].

При этом селективность может быть просто спектральной, когда в некоторой области частот имеется максимум на кривой рис. 11 независимо от поляризации света, а может быть и поляризационной, когда этот максимум получается лишь при определенной поляризации падающего на фотокатод света.

Чувствительность фотокатода j/I можно записать и в несколько иной форме, если взять частное от деления фототока на заряд электрона j/e = nф, т.е. число фотоэлектронов, а вместо интенсивности света ее отношение к энергии кванта I/h = nкв, то есть число фотонов данной частоты. Тогда получим чувствительность, выраженную в количестве фотоэлектронов, приходящихся на один поглощенный световой квант (квантовый выход фотоэффекта nф/nкв). Эта величина оказывается очень маленькой. В случае чистых металлов квантовый выход составляет величину порядка 105 103. Эта величина является функцией «расстояния» от красной границы, т.е. разности 0. По экспериментальным данным [32] квантовый выход из максимума спектральной характеристики сложных катодов может достигать величины 0,3 электрона на один поглощенный световой квант.

Рассмотрим основные результаты исследований по квантовомеханической теории фотоэлектрического эффекта в металлах.

6. Основные предпосылки для построения квантовой теории фотоэффекта

Теория фотоэффекта должна объяснить спектральные характеристики фотокатодов, закон распределения фотоэлектронов по энергиям, температурную зависимость фототока и его зависимость от ускоряющего поля, а также влияние на фототок состояния поверхности и природы металла, формы и размеров фотокатода. Все эти задачи не могла решить элементарная теория Эйнштейна. Это оказалось под силу только современной квантовомеханической теории кристаллических тел. В наиболее общей форме задача ставится так: система электронов проводимости в кристалле взаимодействует с его ионной решеткой и друг с другом; из вакуума на металл падает ЭМИ определенной интенсивности, поляризации и направления. Требуется вычислить электронный ток в вакууме, вызванный взаимодействием системы электронов с ЭМП световой волны. Для этой цели необходимо решить волновое уравнение такой системы, определить волновую функцию (которая может быть и нестационарной) и найти по общим формулам квантовой механики электронный ток. Для учета температурных эффектов следует решать уже не квантовомеханическую, а квантовостатистическую задачу, для чего нужно найти не волновую функцию, а матрицу плотности (статистический оператор) и с ее помощью определить фототок как функцию температуры фотокатода. Однако решение как первой, так, тем более, и второй из этих общих задач практически в настоящее время не найдено. Поэтому приходится идти путем приближенных решений, используя методы теории возмущений и другие аппроксимации.

Уже в рамках квантовой модели свободных электронов можно получить некоторые положения для понимания природы изучаемого эффекта и его основных особенностей в металлах. С точки зрения простейшей модели металла последний представляет собой потенциальный «ящик» (рис. 12) с высотой потенциального барьера Wa = ha. При T = 0 К электроны внутри «ящика» (в силу принципа Паули) заполняют все нижние энергетические уровни вплоть до некоторого максимального уровня энергии ф = hф (предельная энергия Ферми или химический потенциал электронного газа при 0 К). Из рис. 12 видно, что разность между высотой потенциального барьера на границе металла и предельной энергией Ферми равна работе выхода Wa ф = , т.е. минимальной энергии, которую нужно затратить, чтобы электрон с верхнего энергетического уровня из металла перевести в вакуум. Эта величина определяет красную границу фотоэффекта = h0.

Рис. 12

Очевидно, что такая граница, строго говоря, существует только при T = 0 К, когда имеется определенная величина предельной энергии ф, выше которой нет ни одного занятого электронного энергетического уровня. С повышением температуры в распределении Ферми для электронов появляется так называемый «максвелловский хвост» термически возбужденных электронов. Поэтому при Т > 0 К появляется вероятность не только испускания фотоэлектронов, но и самопроизвольной термоэмиссии электронов из металла. Однако вследствие сильного вырождения электронного газа в типичных металлах «размывание» резкого спада Ферми в распределении электронов по энергиям весьма незначительно вплоть до комнатных температур и даже выше (100 1000 К), поэтому можно ожидать достаточной четкости красной границы и в области комнатных температур. Ее прецизионное определение требует проведения опытов при достаточно низких температурах и применения метода экстраполяции кривых спектрального распределения. Это предсказание теории вполне оправдывается на опыте.

Следует ожидать, что с ростом частоты света число фотоэлектронов сначала будет возрастать за счет электронов, занимающих уровни в интервале энергий между Wa h и предельной энергией ф (рис. 12). Если частота света становится такой, что энергия кванта больше высоты барьера h > Wa, то число фотоэлектронов больше уже не имеет причин возрастать (если пренебречь ионизацией электронов, не входящих в число электронов проводимости, а также падающей световой волной).

Более того, так как с ростом частоты уменьшается вероятность элементарного акта поглощения света электронами, то при переходе через критическую частоту h = Wa можно ожидать максимума на спектральной кривой фототока (селективный эффект). Это явно отслеживается экспериментально, особенно ярко для щелочных металлов, что объясняется относительно небольшой величиной потенциала Wa для этих веществ.

Большая величина свободного пробега электронов в металле позволяет допустить, что процессы столкновения электронов с фононами не должны заметно влиять на величину фототока. Широкий интервал энергий фотоэлектронов определяется не процессами столкновений электронов внутри металла, а тем, что в силу особых свойств фермиевской функции распределения электроны проводимости в металле уже при 0 К распределены в широком интервале энергий (от 0 до ф, причем ф ~ 1012 эрг ~ 1 эВ).

Используя модель свободных электронов, можно произвести и количественный расчет, который, в частности, дает вполне удовлетворительное объяснение ряду количественных закономерностей фотоэффекта [33].

Допустим, что поверхность металла совпадает с плоскостью ху, а нормаль к ней с осью z. Тогда ток электронов через поверхность определяется формулой

(66)

где N() число электронов, у которых нормальная составляющая энергии = 0,5m2 лежит в интервале d и которые за 1 с падают на поверхность металла, a D() вероятность прохождения электронов с нормальной энергией через потенциальный барьер. Как показано в работе [34], величина N() равна

(67)

Действительно, из выражения для функции распределения Ферми следует, что число электронов, слагающая импульса pz которых лежит в интервале dpz, равно

Используя новые координаты pzcos, pysin и интегрируя по углу от 0 до 2, получим

Введем новую переменную интегрирования = 2 /2mkT и обозначим

где pz2/2m = , тогда получим

где

откуда следует (67), если умножить выражение n() на скорость z= =(2/m)0,5, что дает поток электронов за 1 с. В частности, из (67) при абсолютном нуле получаем

(68)

Функция (68) имеет, очевидно, вид прямой линии.

Для определения вероятности D() необходимо знать форму потенциального барьера, удерживающего электроны проводимости в металле. При заданном типе потенциального барьера вероятность может быть определена обычными квантовомеханическими методами.

Применение формулы (66) для вычисления фототока требует, во-первых, определение влияния падающего ЭМП на распределение электронов проводимости по энергиям и, во-вторых - использование измененной этим влиянием функции распределения для определения величины фототока. Для решения этих задач требуется:

знать исходное распределение электронов проводимости по энергиям в отсутствие падающего света;

определить вероятность элементарного акта поглощения фотона частоты v электроном энергии , в результате которого электрон получит определенную нормальную составляющую энергии (эта вероятность кроме и будет зависеть от интенсивности и поляризации света и от характера потенциального поля в металле);

найти функцию распределения электронов, возбужденных светом, по значениям нормальной энергии к поверхности металла N();

определить вероятность D() прохождения таких электронов через потенциальный барьер. Умножив функцию распределения возбужденных электронов на D(), получим выражение для числа электронов с определенной величиной нормальной энергии вне металла, созданных данной частотой света, т.е. кривую распределения фотоэлектронов по скоростям N() D(). Наконец, интегрируя это выражение по всем возможным значениям «нормальных» энергий, мы получим полный фототок как функцию частоты и температуры j = f(,T), т.е. спектральные характеристики эффекта при различных температурах.

Ввиду большой сложности точного проведения этой схемы расчета Р. Фаулер [35] предложил полуфеноменологическое решение для частного случая этой задачи. А именно, он ограничился рассмотрением сравнительно узкого интервала частот вблизи «красной границы» (примерно от 0 до 1,5 0). Решение этой задачи, несомненно, имеет и практический интерес, поскольку экспериментаторов и практиков больше всего интересует вопрос не столько об определении полной кривой спектрального распределения, сколько вопрос о точном ходе этой кривой в узкой области частот вблизи красной границы [36 39]. Если ограничиться рассмотрением этой узкой области частот, то отсюда сразу следует, что фотоэлектроны имеют начальные энергии также в узком интервале вблизи предельной энергии Ферми ф. Так как на распределение этих «термически возбужденных» электронов температура оказывает сильное влияние, то следует ожидать, что и состояние фотоэлектронов в этом диапазоне частот будет сильно зависеть от Т. Поэтому в этом случае уже нельзя считать, что поверхность фотокатода находится при 0 К. Пользуясь узостью интервала начальных энергий, можно считать все величины, не очень резко зависящие от энергии электронов, практически постоянными. Можно также считать постоянными величины, зависящие от частоты в небольшой степени, по сравнению с величинами, которые зависят от разности частот ( 0).

Если учесть все эти упрощения, то программа расчета значительно облегчается. А именно, теперь нет необходимости определять вероятность элементарного акта поглощения фотона электроном, поскольку эту вероятность можно принять в данном случае постоянной. Хотя вероятность D(), по-видимому, и зависит от разности ( 0), но Фаулер принимает, что D() = 0 для электронов с энергией < Wa и равна единице для > Wa. Таким образом, можно воспользоваться формулой (67) для числа электронов, падающих на 1 см2 границы металла за 1 с, в интервале нормальных энергий от ф до ф+h. Для определения числа электронов, которые могут выйти за границу металла, очевидно, необходимо проинтегрировать величину (67) в пределах от W h до . Выбор нижнего предела связан с тем, что свет частоты как бы смещает граничную энергию на величину h и делает ее равной ф + h, и потому появляются электроны с энергией, большей чем высота потенциального барьера Wa (см. рис. 12). Вместо вероятности элементарного акта поглощения фотона электроном введем, по Фаулеру, постоянный коэффициент , который показывает, во сколько раз значение функции распределения электронов, возбужденных светом, меньше этой функции для нормального газа электронов проводимости. Таким образом, для фототока получим

(69)

Вводя новые переменные

после подстановки d = kTdx, получим

(70)

Функция может быть найдена по таблицам или же представлена в виде рядов

(71)

(72)

Уравнение спектрального распределения окончательно можно записать в следующей форме:

(73)

Универсальная постоянная А0 = 4mq0k2/h3 = 120 Асм2град2.

Легко проверить, что при = 0 и = 1 (при этом x = h0/kT <<0) из формулы (73) сразу получаем уравнение Ричардсона для термоэлектронной эмиссии:

Далее, для случая Т = 0 К, когда х = ± , получаем

(74)

Первое из уравнений (74) дает красную границу, а второе показывает, что для близких к ней частот спектральная характеристика имеет квадратичный характер. При температурах, отличных от 0 К, уже нельзя говорить о красной границе, ибо при Т > 0 и для < 0, x 0 функция отлична от нуля, к которому она стремится лишь асимптотически при . Поэтому при Т > 0 фототок существует не только при >0, но и при 0. Однако можно сохранить представление об эффективной красной границе и при Т > 0, определив ее как частоту при х = 0 из уравнений Фаулера [40].

Остановимся еще на вопросе о температурной зависимости фототока. Из формулы (73) вытекает, что эта зависимость в сильной степени определяется величиной частоты света. Для трех частных случаев мы получаем:

если = 0 (т.е. х = 0 и f(0) = 1), то j = *A0T2;

если 0, то x >> 0, и в силу (69)

Следует заметить, что даже для интервала частот ( 0), соответствующего интервалу длин волн ~ 10 нм, первое слагаемое в правой части гораздо больше второго, и поэтому фототок весьма слабо зависит от Т;

в) если << 0, то x << 0, и в силу (71) приближенно имеем

т.е., получаем резкую зависимость от температуры. Если подобрать постоянные и 0 в формулах Фаулера путем наложения экспериментальных и теоретических кривых, то получается достаточно удовлетворительное согласие. Это убеждает в том, что изложенная полуфеноменологическая теория, по крайней мере качественно, хорошо отражает реальную природу фотоэффекта в металле. Можно также применить эту теорию к расчету распределения энергий фотоэлектронов, определяемых из вольт-амперных кривых для задерживающего потенциала [39].

7. Фотоэлектрический эффект под действием ЛИ

Высокие плотности потока ЛИ существенно изменили постановку классических задач об ионизации в поле сильной ЭМВ. Особенность здесь состоит в том, что в практически важных случаях энергия кванта ЛИ оказывается меньше потенциала ионизации, так что выход электрона из металла вызывается поглощением нескольких квантов. Среди опубликованных по этой теме работ имеются труды [41 43], в которых с помощью теории возмущений вычислена вероятность фотоэффекта с поглощением двух фотонов. Однако с увеличением числа фотонов, необходимых для вырывания электрона из металла, расчеты по теории возмущений становятся все более трудоемкими. Более эффективным оказывается подход, предложенный в работе Л.В. Келдыша [44], примененный к задаче о многоквантовом фотоэффекте в работе Ф.В. Бункина и М.В. Федорова [43].

Рассмотрим постановку задачи и метод решения, предложенный в работах [43, 44]. Пусть существует следующая упрощенная модель металла: электроны движутся в поле с постоянным потенциалом, который испытывает скачок на границе металл - вакуум:

(75)

(плоскость x = 0 есть граница металла с вакуумом). Для состояний электрона с положительной энергией р = p2/2m волновая функция имеет вид

(76)

где q2 = p2 + 2mU0 и ар, b+p, b-p постоянные, определяемые из условий непрерывности при x = 0 и нормировки волновой функции. Аналогично, для состояний с отрицательной энергией k = k2/2m волновую функцию можно записать в виде

(77)

где постоянные.

В формулах (76) и (77) опущены множители вида exp[i(ypy + +zpz)/h], которые будут учтены в конечном результате.

Принимаемые допущения (внешнее ЭМП имеет вид плоской волны; длина волны в рассматриваемом случае много больше характерной длины h/kF, где kF = [2m (u0 F)]0,5, F энергия Ферми) позволяют не учитывать зависимость напряженности поля от координаты и ограничиться дипольным приближением. Таким образом, потенциал внешнего поля имеет вид

где E напряженность ЭП волны и угол падения волны на поверхность металла.

Далее вводится ортонормированная система функций вида [44]

(78)

и волновая функция электрона, в начальный момент времени находившегося в состоянии k, представляется в виде

Теперь, в отличие от обычной теории возмущений, вычисляется вероятность перехода электрона из начального состояния не в стационарное конечное состояние, а в состояние типа (68). При этом точно учитывается основной эффект действия сильного поля на свободный электрон; поправка же, связанная с несвободным характером движения электрона, вводится в окончательном результате.

Вероятность перехода электрона из состояния k в состояние p в единицу времени равна

Для вычисления тока эту вероятность необходимо просуммировать по всем состояниям электрона внутри металла и по импульсам выходящих из него электронов (при этих вычислениях должны быть учтены множители вида exp[(i(ypy + zpz)/h]).

После выполнения необходимых интегрирований для плотности тока получается весьма громоздкое выражение, которое можно упростить в некоторых предельных случаях. Приведем здесь окончательные результаты только для этих случаев [43, 44].

Рассмотрим случай, когда

Плотность тока при этом определяется формулой