144

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Стерлитамакская государственная педагогическая академия

на правах рукописи

МИХАЙЛИЧЕНКО ИГОРЬ НИКОЛАЕВИЧ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕСОВ

ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА

ПРИ ЗАКАЧКЕ РАДИОАКТИВНЫХ РАСТВОРОВ

В ГЛУБОКОЗАЛЕГАЮЩИЕ ПЛАСТЫ

Диссертация

на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

Научные руководители -

доктор технических наук,

профессор Филиппов А.И.;

кандидат

физико-математических наук,

доцент Михайлов П.Н.

Стерлитамак 2006

ОГЛАВЛЕНИЕ

• ВВЕДЕНИЕ 4
• СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ 12
• Глава I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА ПРИ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ С РАДИОАКТИВНЫМ ЗАГРЯЗНИТЕЛЕМ В ГЛУБОКО ЗАЛЕГАЮЩИХ ПЛАСТАХ 14
• 1.1. Некоторые аспекты развития методов расчётов температурных и концентрационных полей в пластах 14
• 1.2. Основные физические процессы при фильтрации жидкости в глубоко залегающих пластах 16
• 1.3. Уравнение конвективной диффузии с учетом радиоактивного распада и обмена жидкости со скелетом 17
• 1.4. Задача теплопереноса 20
• 1.4.1.Математическая постановка задачи теплопереноса и её обезразмеривание 20
• 1.4.1. Разложение задачи теплопереноса по асимптотическому параметру 26
• 1.4.3. Математическая постановка задачи теплопереноса в нулевом приближении 28
• 1.4.4. Постановка задачи теплопереноса в первом приближении 31
• 1.5. Задача массопереноса 32
• 1.5.1. Математическая постановка задачи массопереноса и её обезразмеривание 32
• 1.5.2.Разложение задачи массопереноса по асимптотическому параметру 36
• 1.5.3. Математическая постановка задачи массопереноса в нулевом приближении 38
• 1.5.4. Математическая постановка задачи массообмена в первом приближении 41
• 1.5.5. Дополнительное интегральное условие для первого приближения 45
• 1.6. Выводы 48
• Глава II. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МАССОПЕРЕНОСА В НУЛЕВОМ И ПЕРВОМ ПРИБЛИЖЕНИЯХ, СТАЦИОНАРНОЕ РЕШЕНИЕ 50
• 2.1 Решение задачи массопереноса в нулевом приближении 50
• 2.2. Анализ результатов расчетов в нулевом приближении 63
• 2.3. Бездиффузионное приближение в задаче массообмена 66
• 2.4. Решение задачи массообмена в первом приближении 70
• 2.5. Анализ результатов расчетов в первом приближении 77
• 2.6. Стационарное решение задачи массопереноса в нулевом и первом приближении 87
• 2.7. Анализ результатов расчёта стационарной задачи 96
• 2.8. Выводы 100
• Глава III. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В НУЛЕВОМ И ПЕРВОМ ПРИБЛИЖЕНИЯХ 102
• 3.1. Нулевое приближение 102
• 3.2. Переход в пространство оригиналов для нулевого представления плотности загрязнителя 111
• 3.3. Анализ результатов расчетов по нулевому приближению 114
• 3.4. Решение задачи теплообмена в пространстве изображений
  в первом приближении 116
• 3.5. Сопоставление радиусов зон химического и теплового возмущений 122
• 3.6. Выводы 129
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ 130
• ЛИТЕРАТУРА 132

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность проблемы. В настоящее время наиболее распространённым видом утилизации радиоактивных отходов предприятий атомной промышленности и химических производств является закачка их в виде жидких растворов в глубокозалегающие подземные пласты. Поэтому чрезвычайно важной экологической задачей является прогнозирование и контроль поведения зон, охваченных воздействием вредных примесей, особенно с учётом того, что глубокозалегающие пласты обычно имеют выходы на поверхность. Указанный прогноз осуществляется, в основном, расчётным путём, так как возможности экспериментального определения размеров глубоко залегающих зон загрязнения весьма ограничены.

При закачке вредных примесей нарушается естественное температурное поле, что определяется как отличием температуры закачиваемой жидкости от пластовой, так и выделением тепла за счет радиоактивного распада и химических реакций. При этом поля концентраций примесей и температуры являются взаимосвязанными, поэтому на основе измерений температуры в контрольных скважинах, проведённых в зоне влияния закачки отходов, можно создать методы контроля за зоной заражения.

Вопросы захоронения радиоактивных отходов в геологических формациях и возникающие при этом экологические проблемы подробно рассматривались многими исследователями, среди которых можно выделить Белицкого А.С., Орлову Е.И. [5], Рыбальченко, А.И., Пименова М.К. [64]. Исследованию полей концентрации радиоактивного загрязнителя в пористых пластах посвящено большое число работ Ф.М. Бочевера, Н.Н. Веригина, В.М. Гольдберга.

Результаты исследования температурных полей представлены в статьях и монографиях научных школ Башкирского, Казанского, Латвийского госуниверситетов, научно-исследовательских и проектных институтов нефтегазовой промышленности, а также зарубежных ученых. В подавляющем большинстве в этих работах в основу исследований положена “схема сосредоточенной ёмкости”, которая предполагает, что поле температуры в интервале пласта не зависит от вертикальной координаты. Однако в последние годы, в связи с повышением разрешающей способности термометрической аппаратуры, встал вопрос о методах расчётов температуры с учётом зависимости от вертикальной координаты.

Расчёт пространственно-временных распределений концентрации вредных примесей в глубоко залегающих пластах сводится к решению краевых задач конвективной диффузии в пористых средах. Соответствующие задачи обладают большим разнообразием, и решение их зачастую сопряжено со значительными трудностями. В настоящее время новые перспективы в исследовании динамики полей температур открывает использование модификации асимптотических методов, ориентированной на задачи скважинной термодинамики (А.И. Филиппов). Она была использована для создания теории температурных и массообменных процессов при закачке жидкости в пласты (О.И. Коркешко) и баротермического эффекта (Н.П. Миколайчук), при моделировании фильтрации газожидкостных смесей и аномальной жидкости (Е.М Девяткин, Г.Я. Хусаинова), движения жидкости по скважине (П.Н. Михайлов, О.В. Ахметова), термического воздействия на пласт на основе фильтрационно-волновых процессов (М.Р. Минлибаев, Г.Ф. Ефимова).

Целью диссертационной работы является разработка методов расчёта полей температур и концентраций радиоактивных примесей при закачке растворов, содержащих радиоактивный загрязнитель, в глубоко залегающие проницаемые пласты на основе асимптотических разложений.

Основные задачи исследования:

- анализ вклада основных физических процессов, обуславливающих динамику распространения радиоактивных примесей и температурных полей, постановка соответствующих математических задач;

- применение асимптотического метода к многослойным задачам, построение задач для коэффициентов разложения искомого решения в виде ряда по параметру;

- получение аналитических решений задач для коэффициентов разложения нулевого и первого порядков;

- проведение расчетов пространственно-временных распределений полей концентраций загрязнителя и температуры и изучение влияния различных физических параметров на эти распределения;

- сопоставление полученных результатов с экспериментальными данными и результатами других исследователей.

Научная новизна:

– С помощью модификации асимптотического метода получены новые приближённые решения задач, описывающих динамику температурных полей и распространения радиоактивных примесей в проницаемых пластах с учетом их распада и осаждения на скелет.

– Найдено стационарное решение задачи о распространении плотности радиоактивного загрязнителя, установлена область применимости задачи в бездиффузионном приближении для расчетов полей в реальных условиях.

– Получено соотношение между размерами зон очищенной воды, загрязненной радиоактивными примесями и температурных возмущений. Установлено, что при больших коэффициентах Генри размеры последней во много раз превосходят размеры зоны загрязнения и поэтому регистрация температурных полей может быть использована для прогнозирования положения зоны радиоактивного заражения.

Практическая значимость. На основе полученных решений созданы новые способы расчётов экологической безопасности природных глубоко залегающих объектов, используемых для захоронения радиоактивных отходов АЭС и промышленных предприятий. Определена зависимость величины и положения максимума температурного поля от параметров закачки, энергетической активности загрязнителя и теплофизических свойств пластов, что очень важно для предотвращения неблагоприятных последствий, в частности, «теплового взрыва».

Достоверность полученных результатов обоснована тем, что в основу исследований положены уравнения, выведенные из фундаментальных законов сохранения. Полученные решения в частных случаях сопоставлены с результатами других исследователей, а также удовлетворительно согласуются с результатами экспериментальных исследований, опубликованными в печати.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Построенная с использованием модификации асимптотического метода математическая модель температурного поля жидкости с радиоактивным загрязнителем, текущей по проводящему пласту, окружённому «кровлей» и «подошвой», в нулевом и первом приближениях. Обоснование утверждения, заключающегося в том, что дополнительное нелокальное интегральное условие приводит к построению в «среднем точного» асимптотического решения.

2. Аналитические выражения для расчётов полей температуры и концентрации вредных примесей при их закачке в подземные пласты, представленные в виде разложения по параметру асимптотического разложения для задач массо- и теплопроводности, содержащие слагаемые нулевого и первого порядков.

3. Результаты расчётов пространственно-временных распределений плотности и температуры загрязнителя (в частности, с помощью стационарного решения), которые показывают, что при отсутствии в пористом пласте естественной миграции жидкости имеются предельные размеры зоны загрязнения, определяемые периодом полураспада нуклида и темпами закачки; аналитические зависимости для размеров зон радиоактивного заражения, термического влияния и очищенной воды.

Краткая характеристика содержания работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы.

Во введении обоснована актуальность проблемы, сформулированы цель и задачи диссертационной работы, обоснованы научная новизна и практическая значимость результатов исследования.

В первой главе приведен краткий обзор литературы. Произведено описание основных физических процессов, происходящих при фильтрации жидкостей в глубокозалегающих пластах, проведена оценка вкладов этих физических процессов, и на этой основе осуществлена постановка задачи о фильтрации жидкости с радиоактивными примесями в глубоко залегающих пластах.

Выписаны уравнения, определяющие изменение температурного поля. Произведено обезразмеривание задачи о распространении поля температур. Произведена оценка вклада радиальной температуропроводности в процессы теплопереноса, и сделан вывод о возможности пренебрежения соответствующими составляющими в уравнении теплопереноса. Введён параметр асимптотического разложения, определена математическая постановка задачи для нулевого и первого приближений. Сделан вывод о необходимости первоначального решения задачи, определяющей зависимость плотности загрязнителя от времени и координат.

Выписаны уравнения массопереноса для радиоактивного загрязнителя. Произведено их обезразмеривание. Обоснована возможность пренебрежения слагаемыми, определяющими радиальную диффузию (в сравнении с конвективным переносом загрязнителя). Произведено асимптотическое разложение массопереносной задачи. Записана математическая постановка задачи в нулевом и первом приближениях.

Во второй главе решена задача массопереноса в нулевом и первом приближениях. Обоснована возможность пренебрежения радиоактивным распадом в «кровле» и «подошве». Рассмотрено бездиффузионное приближение, оценены границы его применимости. Найдено стационарное решение, определены максимальные размеры зоны заражения. Обосновано введение среднеинтегрального условия для первого коэффициента разложения.

Третья глава посвящена решению задачи теплообмена в нулевом и первом приближении. При этом, как и во второй главе, использован метод интегральных преобразований Лапласа-Карсона. Построено решение в нулевом приближении, показано, что оно определяется только нулевым приближением поля загрязнителя. Проанализированы полученные решения. Для первого коэффициента разложения получено решение в пространстве изображений. Рассмотрены и сопоставлены радиусы зон химического и теплового влияния, найдены соотношения, определяющие относительные размеры этих зон. Построен алгоритм получения решения любого требуемого приближения.

В заключении подводены итоги проведенного исследования.

В процессе выполнения работы широко использованы асимптотические методы, методы интегральных преобразований Лапласа - Карсона. Численные расчеты тепловых полей осуществлены с помощью программного пакета MathCAD. Графические иллюстрации выполнены с использованием программы CorelDraw.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 научных работах. Постановка задачи в работах принадлежит профессору Филиппову А.И. В остальном вклад авторов равный. Результаты, выносимые на защиту, принадлежат автору.

1. Михайличенко, И.Н. и др. Поле концентрации при закачке водных растворов радиоактивных примесей в глубокозалегающие пласты / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, И.Н. Михайличенко // Современные проблемы физики и математики. Труды Всероссийской научной конференции (16 - 18 сентября 2004 г., г. Стерлитамак). - Уфа: Гилем, 2004. С. 89 - 97.

2. Михайличенко, И.Н. и др. Температурные поля при закачке водных растворов радиоактивных примесей в подземные горизонты / Филиппов А.И., Михайлов П.Н., Михайличенко И.Н. // Обозрение прикладной и промышленной математики / Тезисы докладов V Всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике. - М., 2004. - Т. 11, - В.3. - С. 596 - 597.

3. Михайличенко, И.Н. и др. Поле концентрации при закачке водных растворов радиоактивных примесей в глубокозалегающие пласты / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, И.Н. Михайличенко // Обозрение прикладной и промышленной математики / Тезисы докладов V Всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике. - М., 2004. - Т. 11, - В.3. - С. 595 - 596.

4. Михайличенко, И.Н. и др. Оценка погрешности бездиффузионного приближения в задачах тепломассопереноса / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, И.Н. Михайличенко // Математические модели в образовании, науке и промышленности: Сб. науч. трудов. - СПб.: Санкт-Петербургское отделение МАН ВШ, 2005. - С. 101 - 105.

5. Михайличенко, И.Н. Способ расчёта концентрации загрязнителя при захоронении растворённых веществ / И.Н. Михайличенко // ЭВТ в обучении и моделировании. Труды IV Региональной научно - методической конференции. (16 - 17 декабря 2005 г., г. Бирск). - Бирск: изд-во БГСПА, 2005. - С. 294 - 303.

6. Михайличенко, И.Н. и др. Определение зоны заражения при подземном захоронении растворённых радиоактивных веществ / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, И.Н. Михайличенко // Вестник Херсонского национального технического университета. Вып. 2(25). - Херсон: ХНТУ, 2006. - С. 508 - 512.

7. Михайличенко, И.Н. и др. Расчет полей концентрации при подземном захоронении растворенных радиоактивных веществ / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, А.Г. Крупинов, И.Н. Михайличенко // Экологические системы и приборы. - 2006. - №5. - С. 27 - 35.

8. Михайличенко, И.Н. Расчет полей концентрации при подземном захоронении растворенных радиоактивных веществ / Д.А. Гюнтер, И.Н. Михайличенко // Региональная школа - конференция молодых учёных: тезисы докладов. - Уфа: Гилем, 2006. - С. 44 - 45.

9. Михайличенко, И.Н, Погранслойное решение в задаче о закачке радиоактивных примесей в пористый пласт/ Е.М. Девяткин, И.Н. Михайличенко // VI Региональная школа - конференция для студентов, аспирантов и молодых учёных по математике, физике и химии. Тезисы докладов. - Уфа: РИО БашГУ, 2006. - С. 141 - 142.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

a  - коэффициент температуропроводности, м²/с;

 - удельные теплоёмкости пластов, Дж/(кг·К);

, ,  - коэффициенты диффузии в вертикальном и радиальном

, , , направлениях, м²/с;

h  - полувысота пористого пласта, м;

 - коэффициент проницаемости, м²;

- удельная теплота радиоактивного распада, Дж/кг;

m  - пористость;

 - радиус скважины закачки, м;

R_p  - положение фронта загрязнения, м;

R_w  - положение фронта закачиваемой жидкости, м;

R_Т  - положение фронта термического влияния, м;

- температура носителя (загрязнителя) в различных пластах, К;

- удельная теплоёмкость и плотность пористого пласта, Дж/(кг·К), кг/м³;

 - скорость конвективного переноса примесей, м/с;

 - скорость фильтрации жидкости, м/с;

 - истинная скорость движения жидкости, м/с;

- постоянная радиоактивного распада, с^-1;.

 - вязкость несущей жидкости, Па с;

 - химические потенциалы примесей в скелете и жидкости

 - плотности загрязнителя в скелете и жидкости, кг/м³;

- плотности пластов, кг/м³;

- время, с;

- коэффициенты теплопроводности в радиальном направлении, Вт/(м·К);

- коэффициенты теплопроводности в вертикальном направлении, Вт/(м·К);

- плотности загрязнителя в различных пластах, кг/м³.

Глава I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА ПРИ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ С РАДИОАКТИВНЫМ ЗАГРЯЗНИТЕЛЕМ В ГЛУБОКО ЗАЛЕГАЮЩИХ ПЛАСТАХ

1.1. Некоторые аспекты развития методов расчётов температурных и концентрационных полей в пластах

Закачка растворов радиоактивных примесей в глубоко залегающие пористые пласты создает необходимость расчёта взаимосвязанных полей концентрации и температуры, что сводится к решению задач конвективной теплопроводности и конвективной диффузии. Это приводит к системе уравнений, включающей в себя уравнения непрерывности, Навье-Стокса, энергии и состояния вещества. Получающиеся дифференциальные уравнения в частных производных, на которые накладываются начальные и граничные условия, не могут быть решены без введения упрощений.

Одним из таких упрощений в задачах конвективной теплопроводности и диффузии является метод сосредоточенной ёмкости [50, 51, 52, 73], который заключается в выделении областей с мало изменяющейся вдоль одной или нескольких координат величиной, что позволяет заменять искомый параметр средним значением его в этих областях. Причем уравнения, описывающие физические процессы в указанных областях, заменяются соответствующим граничным условием в виде дифференциального уравнения в частных производных.

Температурные поля в нефтегазовых пластах в приближении сосредоточенной емкости рассмотрены в большом числе работ научных школ Башкирского, Казанского, Латвийского госуниверситетов.

Необходимо отметить работу Х.А. Ловерье [98], в которой рассмотрена термически анизотропная среда, обладающая следующими свойствами: пористый пласт, в который нагнетается вода, имеет бесконечно большую теплопроводность в вертикальном направлении и не проводит тепло посредством теплопроводности в горизонтальном направлении, породы, окружающие этот пласт, имеют конечную теплопроводность в вертикальном направлении и не проводят тепло в горизонтальном направлении. Как было показано Г.Е. Малофеевым [42] и Н.А. Авдониным [1], схема Ловерье даёт вполне удовлетворительные результаты, несмотря на упрощённые условия теплопереноса.

Большой вклад в изучение температурных полей в нефтяных пластах внёс Л.И. Рубинштейн [64]. Он разработал схемы, названные “точной схемой” и “схемой сосредоточенной ёмкости”. В “точной схеме” пласт и окружающие его породы считаются термически изотропными, имеющими теплофизические характеристики, совпадающие с характеристиками реального пласта, его кровли и подошвы. “Схема сосредоточенной ёмкости” близка к схеме Ловерье.

Считается, что пласт имеет бесконечно большую теплопроводность в вертикальном направлении, а теплопроводность пласта в направлении его простирания считается конечной, совпадающей с теплопроводностью реального пласта. Породы считаются термически изотропными с реальным значением коэффициента теплопроводности.

Теоретические изучения температурных полей при нагнетании в пласт воды проводились также М.А. Пудовкиным [63].

Вопросы захоронения радиоактивных отходов в геологических формациях и возникающие при этом экологические проблемы подробно рассматривались многими исследователями, среди которых можно выделить А.С. Белицкого, Е.И. Орлову [5], А.И. Рыбальченко, М.К. Пименова [65]. Исследованию гидродинамики и массопереноса загрязнителя посвящено большое число научных работ сотрудников ВНИИВодгео. Наиболее ценные результаты получены при проведении численных расчётов на ЭВМ по методу конечных разностей.

1.2. Основные физические процессы при фильтрации жидкости в глубоко залегающих пластах

Построение механики смесей осуществлено на основе физических законов сохранения массы, импульса и энергии. Вместе с истинной скоростью движения жидкости в пористой среде вводится скорость фильтрации

.	(1.2.1)

Здесь m - коэффициент пористости (точнее эффективной пористости), который обуславливает фильтрацию в породе жидкости или газа и зависит от объёма пор , через которые осуществляется фильтрация по отношению ко всему объему образца .

Скорость фильтрации безынерционного движения жидких фаз определяется законом Дарси

.	(1.2.3)

В большинстве встречающихся (и, что важно, “рассчитываемых”) фильтрационных процессов деформация пористого скелета, сжимаемость и связанные с этим изменения температур жидкостей являются малыми. Основными эффектами, определяющими движение системы, являются неравновесное совместное движение нескольких жидких фаз, молекулярная и конвективная диффузия растворённых в фазах компонент, поглощение твёрдой фазой или сорбция компонент, массообмен между фазами и т.д.

Ограничимся рассмотрением задачи для одного загрязнителя, который является радиоактивным или химически активным. Стоит отметить, что концентрации загрязнителя в скелете пористой среды и в насыщающем её несжимаемом растворе быстро выравниваются в силу большой поверхности соприкосновения. Как было показано в работе О.И. Коркешко [30], время протекания массообмена между жидкостью и скелетом оказывается порядка 0.1 с. Растворы, рассматриваемые в работе, считаются идеальными, что соответствует случаю одинакового взаимодействия молекул между собой независимо от того, одинаковы они или различны.

При рассмотрении температурной задачи считается, что нагнетание теплоносителя не сопровождается никакими процессами изменения фазового состояния пластовых жидкостей; теплофизические характеристики жидкости, насыщавшей пласт до начала нагнетания, совпадают с характеристиками нагнетаемой жидкости; начальная температура пласта и окружающих его пород стационарна. Полагаем, что температуры скелета пористой среды и насыщающей её несжимаемой жидкости одинаковы, так как теплообмен (наряду с массообменом) между скелетом и жидкостью осуществляется сравнительно быстро. Это допущение выполняется вследствие большой удельной поверхности пористых сред глубоко залегающих пластов (~).

Жидкость считается несжимаемой, капиллярными силами, силой тяжести, а также температурными изменениями объёмов и тепловых свойств рассматриваемой системы пренебрегаем.

1.3. Уравнение конвективной диффузии с учетом радиоактивного распада и обмена жидкости со скелетом

Постановка задачи о распределении концентрации вредных примесей при закачке растворов в глубоко залегающие пористые пласты основана на законе сохранения массы входящих в состав примесей. Для загрязнителя, находящегося в скелете пласта, справедливо уравнение неразрывности

	(1.3.1)

где - диффузионный поток вещества в скелете, - соответственно плотность и коэффициент диффузии радиоактивного вещества в скелете, m - пористость скелета, - функция массообмена между скелетом и жидкостью, показывающая изменение плотности вещества в скелете за счёт диффузии молекул примеси из жидкости в скелет, - функция источников концентрации, определяющая потери загрязнителя за счёт радиоактивного распада.

Для загрязнителя, находящегося в жидкости, уравнение неразрывности принимает вид

,	(1.3.2)

где - диффузионный поток радиоактивного вещества в жидкости, текущей в пласте, - соответственно плотность и коэффициент диффузии радиоактивного вещества в жидкости. Будем считать, что процесс перехода молекул примеси из жидкости в скелет и её переход из скелета в жидкость определяется соотношением химических потенциалов . При этом, из закона сохранения следует, что потоки вещества из жидкости в скелет и обратно равны, но противоположны по знаку. Это приводит к появлению в правых частях уравнений одной и той же функции , но с противоположным знаком. Полагая далее пористость m постоянной, и складывая уравнения (1.3.1) и (1.3.2), получим

	(1.3.3)

Равновесные концентрации примеси в скелете и в жидкости связаны между собой соотношением (изотерма сорбции), где - некоторая функция концентрации примеси в жидкости.

Будем считать, что зависимость концентрации примеси в скелете от концентрации её в жидкости линейна (изотерма Генри), что является хорошим приближением при сравнительно небольших концентрациях мигранта

,	(1.3.4)

где - коэффициент распределения загрязнителя между носителем и скелетом.

Тогда последнее уравнение принимает вид

	(1.3.5)

Учитывая, что для несжимаемой жидкости , а следовательно, , из последнего уравнения получим

.	(1.3.6)

Здесь введено обозначение

	(1.3.7)

- эффективный коэффициент диффузии в пласте. Из (1.3.6) следует, что в уравнении, описывающем миграцию загрязнителя, необходимо учитывать конвективный перенос загрязнителя, “осложнённый” наличием пористости в скелете и протекающими массообменными процессами между загрязнителем и скелетом. Уравнение (1.3.6) позволяет определить скорость конвективного переноса примесей в пористой среде по аналогии со скоростью конвективного переноса тепла и скоростью фильтрации

.	(1.3.8)

Скорость конвективного переноса примеси определяет положение фронта загрязнения R_d подобно тому, как скорость фильтрации определяет положение фронта закачиваемой жидкости R_w. При этом положение фронта закачиваемой жидкости определяется из баланса массы закачиваемой жидкости. В случае закачки с постоянной скоростью через скважину радиуса r₀ выражение для R_w имеет вид

.	(1.3.9)

Соответствующие радиусы зоны загрязнения и термических возмущений определяются в пунктах 2.1 и 3.1.

1.4. Задача теплопереноса

1.4.1. Математическая постановка задачи теплопереноса и её обезразмеривание

Рассмотрим задачу о распространении радиоактивных примесей в пористом глубоко залегающем пласте, в который закачивается жидкость с растворёнными радиоактивными веществами. Такая задача является фундаментальной для подземного захоронения радиоактивных отходов и отходов химических производств.

Одним из способов прогнозирования динамики поведения радиоактивных и химических примесей в глубокозалегающих пластах, является исследование их температурных полей. Современные приборы и методики измерения температуры позволяют проводить оперативные измерения с точностью, превосходящей тысячные доли градуса. Температурные измерения в таких условиях можно использовать для контроля продвижения радиоактивной зоны.

Соответствующие температурные аномалии возникают как за счет отличия температуры закачиваемой жидкости от естественной температуры пластов, так и за счет энергии, выделяющейся при распаде радиоактивных веществ.

В результате одного акта радиоактивного распада выделяется энергия  1 МэВ. Согласно действующим в России Нормам радиационной безопасности и санитарным правилам высокоактивными жидкими радиоактивными отходами (РАО) признаются отходы, активность которых > 1 Ки/л. Следовательно, для высокоактивных отходов выделяемая мощность оказывается порядка    5 Вт/м³. Причём, для средне- и долгоживущих нуклидов эта мощность мало меняется на протяжении лет и даже десятилетий. Выделяемая энергия является весьма существенной и приводит к значительному изменению температурного поля.

На рис. 1.1 представлена геометрия задачи в цилиндрической системе координат, ось z которой совпадает с осью скважины. Среда представлена тремя областями с плоскими границами раздела z = ±h. Закачка примесей в область _h < z < h производится из скважины радиуса r₀; покрывающий (кровля) и подстилающий (подошва) пласты считаются непроницаемыми; средняя область толщины 2h является пористой; все пласты считаются однородными и анизотропными по теплофизическим свойствам.

Рис. 1.1. Геометрия задачи теплопереноса

Через скважину малого (по сравнению с расстоянием до точки наблюдения) радиуса в горизонтальный бесконечный пласт толщиной закачивается вода с радиоактивным загрязнителем.

В поступающей в пласт жидкости (при ) поддерживаются постоянная температура и концентрация примеси . В общем случае температура и концентрация загрязнителя в пласте изменяются за счёт конвективного переноса вдоль направления , радиальной теплопроводности и диффузии вдоль , теплопроводности и диффузии вдоль , за счёт наличия тепловых источников и источников концентрации (в нашем случае такими источниками является радиоактивный распад загрязнителя).

В окружающих средах имеет место теплопроводность и диффузия вдоль и радиальная теплопроводность и диффузия вдоль . В пласте концентрация примеси , температура - , коэффициент диффузии вдоль равен , коэффициент теплопроводности - , коэффициент радиальной диффузии - , коэффициент радиальной теплопроводности - , в покрывающих пласт породах соответственно - , , , , , , в подстилающих породах - , ,, , , . Кроме того, постулируются условия равенства температур и концентраций, а также плотностей тепловых и диффузионных потоков на границах соприкосновения, накладываются начальные и граничные условия. В начальный момент времени везде и в бесконечно удалённых точках всегда концентрации примеси в пласте и в окружающих средах равны нулю.

Математическая постановка задачи теплопереноса для всех областей, таким образом, включает уравнение теплопроводности с учётом радиоактивного распада в покрывающем

	(1.4.1)

и подстилающем

	(1.4.2)

пластах, а также уравнение конвективного переноса с учётом радиоактивного распада в пористом пласте

	(1.4.3)

Сомножитель при во втором слагаемом в левой части уравнения (1.4.3) в развёрнутом виде

.

Условия сопряжения включают в себя равенство температур

,	(1.4.4)

и потоков тепла на границах раздела пластов

.	(1.4.5)

В уравнениях (1.4.1) - (1.4.3) учтено, что плотность радиоактивного нуклида в данной точке пространства определяется суммой плотностей в носителе и в скелете, которые связаны соотношением (1.3.4).

В начальный момент времени температура пластов является естественной невозмущённой температурой Земли на данной глубине. Рассматривая глубины, превышающие порог влияния сезонных температур (100 м), будем считать, что в силу малой величины градиента температурного поля Земли (0.01 К/м) и небольшой толщины пористого пласта (10 м)

, .	(1.4.6)

Температура загрязнителя в скважине, радиус которой мы считаем малым по сравнению с расстоянием до точки наблюдения, равна

.	(1.4.7)

Будем в дальнейшем искать превышение температуры в пластах над естественной температурой, выраженное в единицах геотермической температуры в пористом пласте .

При решении задачи удобно перейти к безразмерным координатам, определяемым соотношениями

, , , , , , , , , , , .	(1.4.8)

Сразу заметим, что в силу (1.3.7)

.	(1.4.9)

Безразмерный параметр At представляет собой отношение времени тепловой релаксации слоёв к среднему времени жизни радиоактивного нуклида. Выражение Pt является аналогом параметра Пекле, поскольку определяется аналогично последнему, но через температуропроводность настилающего, а не несущего пласта. Величина определяет отношение изменения температуры, вызванного «мгновенным» распадом радиоактивного нуклида к разности температур закачиваемой жидкости и естественной геотермической температуры пласта.

Для больших температурное поле определяется в основном энергией радиоактивного распада, для малых - конвективным переносом тепла, обусловленного различием температур закачиваемой жидкости и пласта.

В силу большого значения аналога параметра Пекле (Рt ~ ), в пористом пласте можно пренебречь радиальной кондуктивной теплопроводностью по сравнению с конвективным переносом тепла.

Аналогично, для настилающего и подстилающего пластов изменение радиальной составляющей температурного поля будет в значительной мере определяться конвективным переносом тепла в пористом пласте, что позволяет пренебречь для них вкладом соответствующих радиальных теплопроводностей.

Таким образом, во всех уравнениях, получающихся из (1.4.1) - (1.4.3) исчезнут слагаемые, содержащие и интересующие нас уравнения запишутся в виде (соответственно для настилающего, подстилающего и пористого пластов):

,	(1.4.10)

,	(1.4.11)

,	(1.4.12)

а условия сопряжения, граничные и начальные условия принимают вид

,	(1.4.13)

, ,	(1.4.14)

,	(1.4.15)

, , ,	(1.4.16)

, , .	(1.4.17)

Уравнения и равенства (1.4.10) - (1.4.17) представляют математическую постановку задачи теплопереноса.

1.3.1. Разложение задачи теплопереноса по асимптотическому параметру

Рассмотрим более общую задачу, получающуюся введением произвольного асимптотического параметра путем формальной замены на и, соответственно, на , а на . Задача (1.4.10) - (1.4.17) является, таким образом, частным случаем более общей задачи при .

,	(1.4.18)

,	(1.4.19)

,	(1.4.20)

,	(1.4.21)

, ,	(1.4.22)

,	(1.4.23)

, , ,	(1.4.24)

, , .	(1.4.25)

Будем искать решение задачи (1.4.18) - (1.4.25), разлагая каждое в ряд по параметру . При этом асимптотические формулы с остаточным членом для данных разложений имеют вид

, , .	(1.4.26)

Решение исходной задачи будет получено из решения параметризованной задачи при . Подставив (1.4.26) в (1.4.18) - (1.4.25) и сгруппировав слагаемые по степеням параметра разложения , получим следующую постановку параметризованной задачи (вместе с граничными условиями)

	(1.4.27)

	(1.4.28)

	(1.4.29)

, ,	(1.4.30)

, ,	(1.4.31)

, , ,	(1.4.32)

,	(1.4.33)

, ,	(1.4.34)

При этом плотность загрязнителя, входящая в (1.4.27) - (1.4.29), также будет разлагаться по параметру асимптотического разложения , причём это разложение производится независимо от разложения (1.4.26), хотя и по тому же принципу.

1.3.2. Математическая постановка задачи теплопереноса в нулевом приближении

Из (1.4.29) для коэффициентов при (нулевое приближение) получим , тогда . Таким образом, в нулевом приближении температура загрязнителя является функцией только от r и t. Из условий сопряжения (1.4.30) . Следовательно, температура загрязнителя в каждом вертикальном сечении одинакова по всей высоте несущего пласта . Приравнивая коэффициенты при к нулю в уравнении (1.4.29), получим

.	(1.4.35)

Сумму первых двух слагаемых в правой части этого уравнения, не зависящую от z, обозначим через

.	(1.4.36)

Тогда

,	(1.4.37)

следовательно,

.	(1.4.38)

При z = 1, воспользовавшись (1.4.30)

,	(1.4.39)

при z = - 1

.	(1.4.40)

Вычитая и складывая два последних уравнения, получим для функций и следующие выражения:

,	(1.4.41)

.	(1.4.42)

Проинтегрировав (1.4.38), получим

,	(1.4.43)

здесь функция, не зависящая от z, значение которой предстоит найти.

Подставив выражение из (1.4.41) в (1.4.36), получим для нулевого приближения уравнение гиперболического типа со следами производных из внешних областей

	(1.4.44)

Окончательная постановка задачи в нулевом приближении наряду с (1.4.44) включает также уравнения для окружающих сред, начальные, граничные условия и условия сопряжения

,	(1.4.45)

,	(1.4.46)

,	(1.4.47)

	(1.4.48)

,	(1.4.49)

, , .	(1.4.50)

Последнее слагаемое в правой части уравнения (1.4.44) устанавливает изменение температуры за счёт энергии, выделяющейся при радиоактивном распаде. Отметим, что температурное поле в нулевом приближении определяется не значениями плотностей радиоактивного загрязнителя в точках, а усреднёнными значениями по вертикальной координате в интервале пласта. Как будет показано ниже, усреднённое таким образом значение плотности совпадает с нулевым приближением соответствующей задачи массопереноса (см. пункт 1.5.3).

Для определения в нулевом приближении поля температур в среде, как следует из (1.4.44) - (1.4.50), необходимо задание функции плотности радиоактивного загрязнителя. Постановка этой задачи осуществлена в пункте 1.5, а её решению посвящена глава II.

1.3.3. Постановка задачи теплопереноса в первом приближении

Уравнения (1.4.27), (1.4.28) для коэффициентов при (первое приближение) принимают вид

,	(1.4.51)

.	(1.4.52)

Для коэффициентов при в (1.4.29)

.	(1.4.53)

Условия сопряжения, начальные и граничные условия

, ,	(1.4.54)

, ,	(1.4.55)

,	(1.4.56)

,	(1.4.57)

, ,	(1.4.58)

Решение отыскивается в виде квадратного многочлена относительно z (1.4.43), где и определяются как (1.4.41), (1.4.42), а значение предстоит найти.

Уравнения (1.4.51) - (1.4.58) определяют постановку задачи теплообмена в первом приближении. Здесь также зависит от плотности загрязнителя, что обусловливается выражениями для , .

1.5. Задача массопереноса

1.5.1. Математическая постановка задачи массопереноса и её обезразмеривание

Геометрия задачи массопереноса практически ничем не отличается от температурной задачи и представлена на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Геометрия задачи массопереноса

Математическая постановка задачи массопереноса для всех областей включает уравнение диффузии с учётом радиоактивного распада в покрывающем

	(1.5.1)

и подстилающем

	(1.5.2)

пластах, а также уравнение конвективной диффузии с учётом радиоактивного распада в пористом пласте

	(1.5.3)

При этом граничные условия включают в себя равенства плотностей и потоков растворённого вещества на границах раздела пластов

,	(1.5.4)

	(1.5.5)

Плотность загрязнителя в скважине, радиус которой мы считаем малым по сравнению с расстояниями до точки наблюдения, равна , т.е.

.	(1.5.6)

В начальный момент времени полагаем плотность загрязнителя равной нулю

.	(1.5.7)

Кроме того, на бесконечности выполняются условия регулярности

, , .	(1.5.8)

Перейдём к безразмерным координатам (1.4.8). При этом получим следующую постановку задачи: для покрывающего пласта

	(1.5.9)

для пористого пласта

	(1.5.10)

для подстилающего пласта

	(1.5.11)

При этом во втором слагаемом в левой части уравнения (1.5.9) появляется отношение коэффициента диффузии к коэффициенту температуропроводности

,	(1.5.12)

величина которого оказывается порядка ч.

Вновь, как и в задаче теплопереноса, последнее слагаемое в левой части уравнения (1.5.10) содержит сомножитель Рd который при существующих объёмах закачки имеет порядок  10², так что конвективная составляющая (вдоль координаты r) для поля концентраций оказывается много значимей, чем диффузионная составляющая. Поэтому в уравнениях (1.5.9) - (1.5.11) пренебрежём молекулярной диффузией вдоль оси r.

Вводя обозначения

, ,	(1.5.13)

выпишем окончательно интересующие нас уравнения:

	(1.5.14)

	(1.5.15)

	(1.5.16)

Условия сопряжения, граничные и начальные условия при этом принимают вид

, ,	(1.5.17)

, ,	(1.5.18)

,	(1.5.19)

, , ,	(1.5.20)

, , .	(1.5.21)

Уравнения (1.5.14) - (1.5.21) определяет математическую постановку задачи массопереноса.

1.5.2. Разложение задачи массопереноса по асимптотическому параметру

Рассмотрим более общую задачу, получающуюся введением произвольного асимптотического параметра путём формальной замены коэффициента диффузии на частное . В соответствии с принятыми обозначениями это отвечает следующим заменам: , . Задача (1.5.14) - (1.5.16) становится, таким образом, частным случаем (при ) более общей задачи, содержащей параметр асимптотического разложения как в уравнении для пласта, так и в условиях сопряжения:

,	(1.5.22)

,	(1.5.23)

	(1.5.24)

с условиями сопряжения, граничными и начальными условиями

, ,	(1.5.25)

, ,	(1.5.26)

, , ,	(1.5.27)

,	(1.5.28)

, ,	(1.5.29)

Будем искать решение задачи (1.5.22) - (1.5.29), разлагая значение плотности каждой из областей в ряд по параметру . При этом для данных разложений асимптотические формулы с остаточным членом имеют вид

, , .	(1.5.30)

Решение исходной задачи получается из решения параметризованной задачи при . Подставив выражения (1.5.30) в (1.5.22) - (1.5.29) и сгруппировав слагаемые по степеням параметра разложения , получим следующую постановку параметризованной задачи

	(1.5.31)

	(1.5.32)

	(1.5.33)

	(1.5.34)

, ,	(1.5.35)

,	(1.5.36)

,	(1.5.37)

.	(1.5.38)

Анализ постановки задачи показывает, что условия сопряжения (1.5.34) позволяют связать между собой решения разных приближений в пласте проводимости, “подошве” и “кровле”. Это и определяет возможность “расцепления” получающихся уравнений, содержащих коэффициенты разложения соседних порядков.

1.5.3. Математическая постановка задачи массопереноса в нулевом приближении

Приравнивая коэффициенты при сомножителях (нулевое приближение) в уравнении (1.5.33), получим

,	(1.5.39)

а, следовательно, после интегрирования

.	(1.5.40)

Таким образом, в нулевом приближении плотность загрязнителя является функцией только от r и t. Далее, из условий сопряжения (1.5.34) получаем . Следовательно, в нулевом приближении плотность загрязнителя в каждом вертикальном сечении одинакова по всей высоте несущего пласта .

Приравнивая к нулю коэффициенты при в (1.5.33), получим

.	(1.5.41)

Левую часть этого уравнения, в силу вышеизложенного не зависящую от z, обозначим через :

,	(1.5.42)

тогда

.	(1.5.43)

Интегрируя это уравнение по z, получим

.	(1.5.44)

Повторное интегрирование позволяет представить первый коэффициент разложения в виде квадратного трехчлена относительно z, коэффициенты которого являются функциями от радиальной переменной и времени, но не зависят от z

.	(1.5.45)

Задача сводится к поиску функций , и , не зависящих от z, значения которых определяются через следы производных из внешних областей с помощью процедуры расцепления, описанной ниже.

Подставляя выражения (1.5.44) при z = 1

	(1.5.46)

и при z= -1

	(1.5.47)

в условия сопряжения (1.5.34) для , найдём два алгебраических уравнения, решая которые, получим для функций и следующие выражения:

,	(1.5.48)

.	(1.5.49)

С учетом (1.5.48) выражение (1.5.42) принимает вид

.	(1.5.50)

(1.5.50) представляет искомое уравнение для определения нулевого приближения плотности примесей в пласте.

Окончательная постановка задачи в нулевом приближении включает также уравнения в покрывающих и подстилающих породах

,	(1.5.51)

,	(1.5.52)

.	(1.5.53)

При этом условия сопряжения, начальные и граничные условия

,	(1.5.54)

,	(1.5.55)

,	(1.5.56)

, , .	(1.5.57)

Выражения (1.5.51) - (1.5.57) представляют смешанную краевую задачу в нулевом приближении. Отметим, что в отличие от исходной задачи, которая представляет задачу сопряжения для уравнений параболического типа, она является смешанной, так как уравнение для пористого пласта не является параболическим. Кроме того, это уравнение содержит следы производных из внешних областей.

1.5.4. Математическая постановка задачи массообмена в первом приближении

Уравнения (1.5.31), (1.5.32) для коэффициентов первого приближения принимают вид

	(1.5.58)

.	(1.5.59)

Коэффициенты при в уравнении (1.5.33) дают

.	(1.5.60)

Начальные, граничные условия и условия сопряжения

,	(1.5.61)

, ,	(1.5.62)

, ,	(1.5.63)

.	(1.5.64)

Причем, решение отыскивается в форме квадратного многочлена относительно z (1.5.45), где и задаются выражениями (1.5.48) и (1.5.49), а неизвестно. Для его определения перепишем (1.5.60) в виде

,	(1.5.65)

где оператор

	(1.5.66)

введён для более компактной записи получающихся соотношений и удобства преобразований. Отметим, что из (1.5.42) следует

.	(1.5.67)

Учитывая (1.5.45), (1.5.65), а также линейность оператора , получим

.	(1.5.68)

Проинтегрировав последнее выражение по вертикальной координате z, получим выражение производной для второго коэффициента разложения в виде кубического многочлена по вертикальной координате z

,	(1.5.69)

используя которое определим выражения для следов производных на границах сопряжения (1.5.63) через вспомогательные функции, не зависящие от вертикальной координаты z

,	(1.5.70)

.	(1.5.71)

Умножая левую и правую части (1.5.71) на и вычитая полученное из (1.5.70), приходим к уравнению для определения функции , входящей в квадратичное представление первого коэффициента разложения

.	(1.5.72)

Уравнение для определения первого коэффициента разложения получается путем подстановки (1.5.68), (1.5.72), (1.5.48), (1.5.49) в (1.5.60)

	(1.5.73)

В задачу для определения первого коэффициента разложения входят также уравнения для окружающей среды

,	(1.5.74)

.	(1.5.75)

Начальные условия, условия сопряжения и граничные условия

,	(1.5.76)

, ,	(1.5.77)

, , ,	(1.5.78)

.	(1.5.79)

Уравнения (1.5.73) - (1.5.79) представляют собой математическую постановку задачи массопереноса для коэффициентов первого приближения.

Как будет показано в процессе решения задачи для первого приближения, условие (1.5.79) является избыточным, и должно быть заменено среднеинтегральным условием, которое получено в следующем пункте.

Такая замена возможна благодаря следующим соображениям. Решение в нулевом приближении, как показано в пункте 1.5.5 описывает средние значения и справедливо для больших и малых времён. Первое приближение является поправкой к нулевому. Эта поправка может быть изменена путём использования видоизменённых граничных условий. Область высокой точности расчётов при этом меняется. Однако, для определения «области высокой точности» необходимо решение задачи для остаточного члена, на основании которого и делается заключение о точности первого приближения.

1.5.5. Дополнительное интегральное условие для первого приближения

Усредним равенство (1.5.15) по z в пределах несущего пласта согласно

.	(1.5.80)

Последовательно для каждого слагаемого

,	(1.5.81)

,	(1.5.82)

	(1.5.83)

Окончательно, после усреднения, получим следующую постановку задачи осреднённого по несущему пласту поля плотностей загрязнителя

	(1.5.84)

	(1.5.85)

.	(1.5.86)

Условия сопряжения, начальные и граничные условия при этом принимают вид

,	(1.5.87)

,	(1.5.88)

, , ,	(1.5.89)

, , .	(1.5.90)

Полученная задача совпадает с задачей (1.5.51) - (1.5.57) для нулевого приближения плотности загрязнителя. В силу единственности решения следует, что .

Аналогичное соотношение получается при усреднении параметризованной задачи (1.5.22) - (1.5.29). Покажем это. Усреднение производных по времени и радиальной координате совпадает с предыдущим

,	(1.5.91)

.	(1.5.92)

Производная по вертикальной координате z содержит дополнительный множитель , который сокращается при использовании условия сопряжения для производных, поэтому в итоге получим выражение, совпадающее с предыдущим

	(1.5.93)

Окончательно после усреднения параметризованной задачи получим следующую постановку задачи

	(1.5.94)

	(1.5.95)

,	(1.5.96)

,	(1.5.97)

,	(1.5.98)

, , ,	(1.5.99)

, , ,	(1.5.100)

которая полностью совпадает с предыдущей и с задачей для нулевого приближения поля плотностей загрязнителя. Совпадение усредненных значений исходной и параметризованной задачи существенно выделяет используемую в данной работе параметризацию от произвольной, которая почти всегда приводит к зависимости усредненных значений от параметра асимптотического разложения.

Совпадение задач для усредненных значений параметризованной и для нулевого приближения, как и выше, в силу единственности решения позволяет утверждать, что . Далее процедура усреднения по z асимптотического представления параметризованной задачи (1.5.30) в пласте на линии r = 0 приводит к следующему равенству