Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Рівненський державний гуманітарний університет

Факультет математики та інформатики

Кафедра інформатики та прикладної математики

КУрсова РоБОТа

на тему:

Асимптотичний метод розв'язування сингулярно збурених крайових задач типу „конвекція-дифузія-масообмін”

ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ 1. АСИМПТОТИЧНІ МЕТОДИ В ТЕОРІЇ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ ЗАДАЧ

1.1 Розвиток асимптотичних методів в теорії диференціальних рівнянь

1.2 Асимптотичні методи розв'язання сингулярно збурених задач конвективної дифузії

РОЗДІЛ 2. СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНІ МОДЕЛІ ТИПУ “КОНВЕКЦІЯ-ДИФУЗІЯ-МАСООБМІН»

2.1 Асимптотичне наближення розв'язків сингулярно збурених крайових задач процесів міграції речовини двома шляхами

2.2 Нелінійні моделі процесів типу “конвекція-дифузія-масообмін” (залежність масообміну від сполуки забруднюючих речовин)

2.3 Дослідження одного типу нелінійного сингулярно збуреного процесу трикомпонентної конвективної дифузії з урахуванням малого масообміну та утворення речовини, що випадає в осад

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

ВСТУП

Актуальність теми. За останні десятиріччя на Землі суттєво зросла кількість твердих побутових відходів (ТПВ). У біосферу щорічно потрапляє близько 400 млн. тонн твердих відходів, причому на одного мешканця міста припадає 250-700 кг відходів на рік. Кількість ТПВ зростає на 3-6% щорічно, що перевищує швидкість росту населення.

Тільки міста України генерують близько 40 млн. м3 на рік ТПВ (10 млн. тонн на рік). Понад 90% цієї кількості збирається та вивозиться на 655 звалищ, розташованих за 10-20 км від міст. У середньому на одного мешканця України припадає 0.8-1.0 кг ТПВ на добу. Понад 500 звалищ в Україні не мають елементарних запобіжних заходів проти забруднення підземних водойм та атмосферного повітря.

Необхідно відмітити, що у системі управління відходами, депонування ТПВ на полігонах і звалищах визначено як один із самих розповсюджених способів їх знешкодження. Однак полігони і звалища ТПВ часто самі стають джерелами забруднення довкілля, які можуть привести до деградації ландшафтів і представляють загрозу для здоров'я людини.

Аналізів полігонів і звалищ ТПВ дає змогу виділити наступні види забруднень: фізичні, теплові, хімічні, мікробіологічні, а у деяких випадках, і радіоактивні.

У товщі ТПВ протікають процеси біохімічного розкладу органічної частини відходів, які можна порівняти із роботою “біологічного реактора”. В результаті утворюються біогаз і фільтрат, який містить розчинні, завислі чи осідаючі токсичні компоненти. У зв'язку з тим, що морфологічний склад ТПВ ускладнюється, а у відповідності з діючими нормативними документами на полігони ТПВ допускається вивозити промислові відходи ІІІ, ІV класу небезпеки, токсичність фільтрату зростає.

Закономірності утворення і руху біогазу і фільтрату у товщі полігонів і звалищ ТПВ, а також за межами їх розташування у даний час вивчені недостатньо. Основною причиною є складність і тривалість отримання достовірних експериментальних результатів.

Математичне моделювання масопереносу і біохімічних процесів, що протікають у товщі полігонів і звалищ ТПВ та в ґрунтовому середовищі за їх межами дає змогу прогнозувати масообмін біогазу і швидкість руху речовин фільтрату (зокрема, ЛЖК - леткі жирні кислоти) на кожному етапі життєвого циклу полігону чи звалища; виробити стратегію захисту, яка зменшує ризик впливу забруднень; розробити протиаварійні системи і методи утилізації біо-газу.

Розвиток теоретичних методів прогнозування масопереносу фільтрату у товщі полігону та за його межами у загальному випадку є необхідною умовою подальшого прогресу в області знешкодження відходів і, особливо, технологій депонування ТПВ. Отже, проблема моделювання та дослідження процесів міграції забруднень (масопереносу) з урахуванням їхнього масообміну в пористих середовищах є нагальною, досить важливою та актуальною.

Мета роботи - математичне моделювання нелінійних сингулярно збурених процесів конвективної дифузії в пористих середовищах за умов малого масообміну та розвинення асимптотичних методів розв'язання відповідних задач для двозв'язних областей.

Об'єкт дослідження - нелінійні сингулярно збурені процеси типу „конвекція-дифузія-масообмін”.

Предмет дослідження - нелінійні сингулярно збурені крайові задачі конвективної дифузії у одно- та багатозв'язних областях - математичні моделі еко-енергосистем за умов взаємовпливу та числово-асимптотичні методи їхнього розв'язання.

Методи досліджень. При розв'язанні поставлених задач використано асимптотичні методи теорії сингулярних збурень, числові методи наближеного їх розв'язку.

РОЗДІЛ 1. АСИМПТОТИЧНІ МЕТОДИ В ТЕОРІЇ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ ЗАДАЧ

1.1 Розвиток асимптотичних методів в теорії диференціальних рівнянь

Ідея асимптотичного наближення з'явилася у природознавстві і стала підсумком тривалого розвитку теорії збурень планетних орбіт. Тому довгий час здавалося, що вона має відношення лише до небесної механіки. Проте зараз ця ідея - одна з найбільш важливих і глибоких у математиці, особливо в тій її частині, що тісно стикається з фізикою. Асимптотичний підхід виявився дуже ефективним при розв'язуванні рівнянь, що описують ті чи інші фізичні процеси. Але ще більш важлива його роль як методологічного принципу, що відкриває шлях до заглибленого розуміння і декомпозиції складних систем, що сприяє розвитку фізичної інтуїції, формуванню нових понять і виявленню ієрархічних зв'язків між фізичними теоріями різного рівня. Саме в такому контексті американський математик М. Крускал запропонував ключове слово "асимптотологія", затверджуючи цим універсальність асимптотичних явищ, можливість розглядати їх з єдиної точки зору, у якій би формі й у якій би області природознавства вони не спостерігалися. Введення таких понять, як теорія коливань, теорія катастроф, синергетика, кібернетика, нарешті асимптотологія, що є по суті своєї міждисциплінарними, відіграє могутню стимулюючу роль, оскільки розвиває і синтезує інтуїтивні представлення, що найчастіше мають своїми джерелами дуже далекі один від іншого по своєму змісті розділи науки.

Стрімкий розвиток асимптотичних методів розпочався у математичному аналізі в XVIII ст. Його широко починають застосовувати у своїх працях Лагранж, Лаплас, Леверр'є, які заклали міцний фундамент теорії збурення. Астрономічні задачі привели до нових методів Ньюкома, Ліндштедта, Гільдена, Боліна та ін.

Асимптотичними розвиненнями за незалежною змінною розв'язків для звичайних диференціальних рівнянь займались А. Пуанкаре, Пуассон, О. М. Ляпунов, Е. Айнс [1], Е. Коддінгтон, Н. Левінсон, Е. Камке, Ф. Трикомі, А. Ердейї, Ж. Хорн, О. Перрон, И. 3. Штокало, I. М. Рапопорт та ін. Зокрема, в останній третині дев'ятнадцятого століття А. Пуанкаре й А.М. Ляпунов одержали строгі результати щодо збіжності асимптотичного розкладу, розвиваючи одну з модифікацій теорії збурень - метод малого параметра, що не припускає поділу змінних на швидкі і повільні, але застосовний лише до відшукання періодичних режимів (питання про те, які значення малого параметра забезпечують збіжність розкладу, при цьому залишалось відкритим). У той же час Пуанкаре зробив дуже важливий крок. Він уперше зрозумів, що розкладання за малими параметрами, що використовувались в астрономії, не обов'язково повинні збігатися. Вони можуть являти собою об'єкти особливої природи - асимптотичні ряди. Незважаючи на розбіжність, такі ряди в деякому сенсі добре наближають шукані функції. Тим самим, вперше в математиці виникла ситуація, коли абсолютна точність недосяжна навіть у принципі: у кожній конкретній системі малий параметр має цілком визначене значення.

Вчені К. Штурм, I. Ж. Ліувілль, А. Пуанкаре, О. М. Ляпунов, Г. Біркгофф, Л. Шлезінгер, В. А. Стеклов, Я. Д. Тамаркін, П. Нуайон, X. Территін, В. Пугачов, М. М. Крилов, М. М. Боголюбов [2], И. 3. Штокало, Ю. О. Митропольський [2], А. М. Тихонов [3], I .С. Градштейн, А. Б. Васильева [4], С. Ф. Фещенко, С. Г. Крейн, Л. А. Люстернік, М. Й. Вішик, С. О. Ломов, М. I. Шкіль, I. Г. Малкін, В. М. Волосов, М. М. Красовський та ін. присвятили свої праці знаходженню асимптотики розв'язків за параметром для звичайних диференціальних рівнянь. Розвитком асимптотичних методів розв'язування диференціальних рівнянь займались також відомі іноземні автори.

Асимптотичні розвинення розв'язків для звичайних диференціальних рівнянь одночасно за незалежною змінною i параметром розглянуто у працях М.В. Федорюка, Б. Ван-дер-Поля, И.3. Штокала та ін. Вивченню стійкості, обмеженості, порядку росту розв'язків звичайних диференціальних рівнянь на скінченому й нескінченому інтервалі присвячено чимало літератури, яка бере свій початок від праць О. М. Ляпунова i А. Пуанкаре.

Такі вчені, як В. Штернберг, В. Тржицинський, В. Вазов [5], Л. Г. Магнарадзе, Н. Левінсон, М. В. Келдиш, О. А. Олійник, С. Каменомостська [6], Є. Жидков [7], Д. Аронсон, Є. Ісакова [8], Т. Цуцунава, М. Вішик, Л. Люстернік, О. Ладиженська, Б. Панайоті, Л. Бобісуд, Су Юй-чен, В. О. Митропольский, С. Ф. Фещенко, Н. А. Павлюк, Я. А. Ройтберг, 3. Г. Шефтель, Н. С. Бахвалов, М. I. Фрейдлін, Р. С. Ефендієв, Л. Чезарі досліджували асимптотику розв'язків диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Особливе місце серед асимптотичних методів зайняла теорія сингулярних збурень, основою якої є рівняння, що містять малий параметр в коефіцієнтах при старших похідних. Розвиток теорії сингулярних збурень започатковано роботами А.Н.Тихонова. В них була розглянута початкова задача для системи звичайних диференціальних рівнянь з малим параметром е > 0 при певних похідних. Вчений отримав умови, при яких розв'язок поставленої задачі прямує при е > 0 до одного з розв'язків так званої виродженої системи, яка отримувалась з початкової, якщо в ній формально покладали е=0. Метод регуляризації розроблено в роботах С.А. Ломова. Базуючись на роботах А.М.Ільїна, розвивається метод зрощування.

У 1957 р. Є. К. Ісакова в праці [8] дослідила розв'язок задачі Коші при е>0 для рівняння параболічного типу другого порядку при початковій умові .

Крайові задачі для лінійного параболічного рівняння другого порядку також досліджував В. Л. Мельников. Так у 1973 р. автор вивчив залежність розв'язку другої крайової задачі від параметра і одержав його розклад за параметром. Також він дослідив поводження розв'язку першої крайової задачі при розширенні області. Асимптотичний розв'язок мішаної задачі для рівняння 4-го порядку знайшли у 1868 р. вчені М. М. Кабацій та І. І. Маркуш.

О. А. Олійник довела існування розв'язку задачі Коші для квазілінійного рівняння з початковою умовою . Зауважимо, що розв'язок дослідниця визначає як границю при е>0 розв'язків задачі Коші для параболічного рівняння з тою ж початковою умовою. У праці розглядаються випадки, коли неперервно диференційована функція з умовою і для всіх х, а також, коли - довільна обмежена вимірна функція.

Побудову асимптотики за цілими степенями малого параметра розв'язку задачі Коші для рівняння у випадку, коли розв'язок виродженої задачі є кусково-гладкою функцією із скінченим числом ліній розриву, здійснив у 1972 р. В. Г. Сушко. Автор будує асимптотику довільного порядку, а також знаходить оцінки похибок асимптотики, попередньо зробивши відповідні припущення відносно початкової функції.

Розв'язки рівнянь та при одній і тій же початковій умові, що відповідає центрованій хвилі розрідження для розв'язку другого рівняння, знайдено у 1966 р. І. С. Бахваловим. Автор знаходить головний, при малих е, член відхилення розв'язків цих рівнянь.

Асимптотичними методами розв'язання задач для параболічного рівняння і подібних задач для інших видів рівнянь із малим параметром при старших похідних присвячено ряд робіт і закордонних авторів. Зокрема, Д. Аронсон побудував нульові асимптотики із звичайним пограншаром. Так в 1956 р. у праці автор розв'язав крайову задачу для лінійного рівняння параболічного типу , за умов (і = 1, 2, 3), де b(x,y) ? m > 0, е > 0 - малий параметр, S - межа області, для якої розглядається дана задача. Аналогічний результат для рівняння еліптичного типу з малим параметром при старших похідних було отримано Н. Левінсоном. В роботах американських вчених (наприклад, Коул, Ван-Дайк і ін.) був розвинутий так званий метод зовнішніх і внутрішніх розкладів, на основі яких одержано ряд результатів у механіці суцільного середовища.

Ефективним методом розв'язку сингулярно збурених задач є асимптотичний метод Вішика-Люстерника [9]. Суть методу покажемо, побудувавши асимптотику розв'язку задачі:

, (1.1.1)

, (1.1.2)

де . Функція типу примежового шару може появлятись в правому околі точки ), або в лівому околі точки . У першому випадку вироджене рівняння:

, (1.1.3)

розв'язувалось при умові:

, (1.1.4)

а в другому випадку - при додатковій умові:

. (1.1.5)

Нехай (. Тоді розв'язок задачі (1.1.3)-(1.1.5) шукається у вигляді ряду:

. (1.1.6)

Підставивши (1.1.6) в (1.1.1), матимемо:

. (1.1.7)

Підставивши в (1.1.7), а також зробивши деякі перетворення отримаємо:

.

Для визначення функцій , прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях, одержимо системи:

(1.1.8)

Рівняння першої системи (1.1.8) розв'язуємо при умовах: . Щоб задовольнити умови (1.1.2) рівняння другої системи (1.1.8) слід розв'язувати при умовах:

, .

Ввівши гладку функцію , одержимо вираз , який точно задовольняє крайові умови (1.1.2), а рівняння (1.1.1) - з точністю до величини порядку

Відомо, що важливим досягненням методу є його ідейна простота, “охоплення” ним основних і другорядних складових частин процесу, що вивчається, чутливе реагування на них, застосування до широкого кола задач, які пов'язані з розв'язуванням різноманітних рівнянь з частинними похідними.

У роботах В.Ф.Бутузова та А.Б.Васильєвої широкий розвиток і застосування отримав так званий метод пограничних функцій та метод згладження “негладкостей”. Зокрема в роботі [4] розглядається задача:

. (1.1.9)

Асимптотичний розклад її розв'язку В.Бутузовим отримано у вигляді:

де - регулярна частина асимптотики, -погранфункції, вплив яких суттєвий близько сторін прямокутника, а - кутові погранфункції, вплив яких суттєвий близько вершин прямокутника. В відповідності до числа сторін прямокутника - функції складаються із чотирьох доданків:



де - пограншарові змінні.

Функції , що служать для опису пограншару в околі сторони , визначаються з допомогою пограншарового оператора і граничних умов . Тим самим - функції ліквідовують нев'язку, внесену в граничні умови на стороні регулярною частиною асимптотики. Для одержимо вираз:

.

Далі можна послідовно знайти в явному вигляді для Всі ці функції мають експоненціальну оцінку:

(1.1.10)

Аналогічно, функції визначаються з допомогою пограншарового оператора і граничних умов

.

Для одержимо вираз:

Наступні також знаходяться в явному вигляді і мають оцінку типу (1.1.10): Таким же чином визначаються погранфункції .

Зазначимо, що погранфункції , ліквідовуючи нев'язку в граничній умові на стороні , в свою чергу вносять додаткові умови на сторонах і . Ці нев'язки суттєві біля кутових точок (0,0) і (а,0), а далі з ростом вони експоненціально затухають. Аналогічні нев'язки вносять функції на сторони і , функції - на сторони і , а функції на сторони і .

Для ліквідації цих неузгодженостей і вводяться кутові погранфункції. В відповідності з числом вершин прямокутника Р- функції складаються із чотирьох доданків:

.

Зокрема, - функції служать для ліквідації неузгодженостей, внесених - функціями в граничну умову на стороні і - функціями в граничну умову на стороні . Рівняння для функцій отримуються із вихідного рівняння (1.1.9) (точніше, із однорідного рівняння, що відповідає (1.1.9)) стандартним способом: переходом до змінних розкладом коефіцієнта в ряд по степеням і прирівнюванням коефіцієнтів при однакових степенях в обох частинах рівняння. Отже матимемо такі задачі:

, (1.1.11)

де рекурентно виражаються через функції з номерами , зокрема . Розв'язки задач (1.1.11) можна послідовно виразити в явному вигляді через функцію Гріна.

1.2 Асимптотичні методи розв'язання сингулярно збурених задач конвективної дифузії

Розглянемо асимптотичний метод розв'язування сингулярно збурених крайових задач типу “конвекція-дифузія” [10, 11, 12]. А саме, для криволінійної чотирикутної області , обмеженої чотирма гладкими кривими , , , , які в точках перетинаються під прямими кутами, розглядатимемо таку модельну задачу процесу конвективної дифузії при фільтрації у відповідному однорідному пористому середовищі:

, (1.2.1)

, , ,

, , (1.2.2)

, , ,

,, (1.2.3)

де - концентрація розчинної речовини у фільтраційній течії у точці в момент часу , - біжуча точка відповідної кривої, - зовнішня нормаль до відповідної кривої, () - малий параметр (він характеризує переваги одних складових процесу над іншими), - відповідно потенціал та компоненти його швидкості (швидкості фільтрації в пористому середовищі ), , , , , , - достатньо гладкі функції, узгоджені між собою на ребрах області ().

Шляхом введення гармонічної функції (функції течії), комплексно спряженої до , i заміною останніх двох граничних умов (1.2.3) на умови: , ( - невідомий параметр, повна витрата), дану задачу замінимо більш загальною задачею на конформне відображення фізичної області на прямокутник (область комплексного потенціалу) , (коефіцієнт фільтрації) при відповідності чотирьох кутових точок (див. рис. 1). Поставлена задача розв'язана у роботі [13]. Аналогічні задачі для багатозв'язних областей розв'язані, зокрема, у роботі [14].

Припустивши, що задача (1.2.3) шляхом конформного відображення (або ) є розв'язаною, здійснюємо заміну змінних , у рівнянні (1.2.1) та умовах (1.2.2) і приходимо до відповідної “дифузійної задачі” для області :



а) б)

Рис. 1 Фізична область (а) та відповідна їй область комплексного потенціалу (б)

, (1.2.4)

, , ,

, ,

де (потік через довільний поперечний переріз ) знаходиться в процесі розв'язку задачі фільтрації.

Розв'язок даної задачі з точністю знайдено у вигляді такого асимптотичного ряду [10, 15 - 18]:

, (1.2.5)

де - залишковий член, , () - члени регулярної частини асимптотики, , () - функції типу пограншару в околі (поправки на виході фільтраційної течії із даного пласта ), , , () - функції типу пограншару відповідно в околах , (відповідно поправки на лініях течії та ), , , - відповідні регулятивні перетворення (змінні розтягів).

В результаті підстановки (1.2.5) у (1.2.4) і виконання стандартної процедури “прирівнювання” коефіцієнтів при однакових степенях одержано такі задачі для знаходження головної частини розв'язку і поправки :

(1.2.6)

(1.2.7)

Характеристичне рівняння, рівняння характеристик і загальний розв'язок задачі (1.2.6) записується у вигляді:

де - довільна диференційована функція, довільна стала. Врахувавши початкову та крайову умови, її розв'язок запишеться у вигляді:



де функція обернена до по змінній . Використовуючи метод характеристик та врахувавши, що змінна у задачі (1.2.7) фігурує лише як параметр, знаходимо розв'язок :

Якщо в якості умов узгодженості функцій та виконується лише умова неперервності =, то функція (не кажучи вже про ) не буде достатньо гладкою вздовж характеристик . А тому функція (1.2.5) не задовольнить рівняння (1.2.6) в цій області .

З метою згладження цієї негладкості вздовж характеристики поступають таким чином. Спочатку замість цієї негладкої функції розглядають її згладження:

,

де .

Як неважко переконатись, функція задовольняє рівняння (1.2.4) з вказаною точністю , але порушує виконання початкової та граничних умов, які задовольнялись функцією . З метою усунення нев'язки у початкових та граничних умовах будують функцію: таким чином, щоб функція з точністю до задовольняла рівняння (1.2.16) та початковій і граничній умовам:

Перейшовши в даних співвідношеннях від змінних до змінних за формулами , та розклавши функцію в ряд Тейлора в околі , отримано для знаходження функцій такі задачі:

(1.2.8)

де

асимптоматичний диверенціальний рівняння дифузія

Очевидно, що =0. А замінивши в другій із задач (1.2.8) крайову умову на промені на крайову умову на промені матимемо з точністю , що .

З метою задовольнити другу із крайових умов будується зовнішня примежова функція в околі таким чином, щоб функція з точністю до задовольняла як дане рівняння, так і всі крайові умови. Для цього вводиться заміна (розтяг) .

Врахувавши співвідношення: , , перепишемо оператор у вигляді (у змінних ()): .

Розкладемо в ряд Тейлора в околі :

Прирівняємо в рівності ()=0 коефіцієнти при однакових степенях е:

,

де . Тоді для визначення , і одержимо такі рівняння із відповідними умовами:

Тоді ,

,

де ,

.

З метою задовольнити умову будується зовнішня примежова функція таким чином, щоб функція з точністю до О(е2) задовольняла як дане рівняння, так і всі крайові умови. Для цього вводять заміну (розтяг) , . Врахувавши ці співвідношення, а також співвідношення: , , перепишемо оператор у вигляді змінних (): .

Розклавши в ряд Тейлора в околі (за степенями ) і прирівнявши в рівності коефіцієнти при однакових степенях е, матимемо такі рівняння для визначення , , .

де , , .

З метою задовольнити крайову умову побудуємо зовнішню примежову функцію аналогічно до того, як це було зроблено для примежової функції (для цього вводимо заміну ).

У випадку недостатньої узгодженості граничних умов вздовж ребер та кутових точок паралелепіпеда , , А.П. Власюком побудовані відповідні реброві та кутові функції. Звичайна погранфункція задачі (1.2.4) , яка забезпечує виконання граничної умови на , сама вносить нев'язки на границі , , . Погранфункції та , які слугують для виконання граничних умов на , , вносять неузгодженість в граничну умову на . Для ліквідації неузгодженостей, внесених погранфункцією на границю слугує кутова погранфункція , яка діє в околі ребра . Для ліквідації неузгодженостей внесених погранфункціями , та , в околі ребер та , слугують кутові погранфункції , , які діють відповідно в околах цих ребер. Неузгодженості, внесені кутовими погранфункціями та , в околах кутових точок і , ліквідують кутові погранфункції і , які, відповідно, діють в околах цих точок. Звідси асимптотичний розклад задачі (1.2.4) в цьому випадку шукаємо у вигляді:

,

де , , , - пограншарові змінні.

Як приклад, наведемо алгоритм знаходження кутової погранфункції .

1) Робимо наступну заміну змінних: , .

2) Розкладемо функцію в ряд по степенях :

Підставимо в рівняння (1.2.4) функцію та розклад в ряд за степенями . Прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях , отримаємо такі задачі для знаходження функції :

де , , .

Для знаходження маємо задачу:

,

де - функція, що виражається через відомі члени ряду (1.2.5).

На підставі принципу максимуму для параболічних рівнянь переконуємось у тому, що .

РОЗДІЛ 2. СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНІ МОДЕЛІ ТИПУ “КОНВЕКЦІЯ-ДИФУЗІЯ-МАСООБМІН”

2.1 Асимптотичне наближення розв'язків сингулярно збурених крайових задач процесів міграції речовини двома шляхами

Розглянемо процес конвективної гетеродифузії для області , де () - двозв'язна криволінійна область (пористий пласт), обмежена двома замкненими гладкими контурами - внутрішній та - зовнішній (рис. 2, а), який описується такою модельною задачею [10]:

, (2.1.1)

, (2.1.2)

, , , ,

, , (2.1.3)

, , , , (2.1.4)

де - концентрація розчинної речовини фільтраційної течії в точці в момент часу , - концентрація розчинної речовини на поверхні скелету (у зв'язаних зі скелетом поляризованих шарах води), - біжуча точка відповідної кривої, , , , , , де , , , , - задані додатні дійсні числа, ()- малий параметр (що характеризує переваги одних складових процесу над іншими), - відповідно потенціал та компоненти його швидкості (швидкості фільтрації в пористому середовищі ), , , -

а) б)

Рис. 2. Фізична область (а) та відповідна їй область комплексного потенціалу (б)

концентраційні коефіцієнти інтенсивності процесів переходу з одного шляху міграції на інший [19], (), , , , , , - достатньо гладкі функції, узгоджені між собою на ребрах області .

Дана модель враховує той факт, що частинки розчинної речовини одного сорту у межах виділеного фізично малого елемента ґрунту можуть знаходитись на поверхні скелету чи бути в розчині фільтраційної течії (рис.3) (за умови локальної рівноваги стосовно переходів домішкових частинок між адсорбованими на скелеті ґрунту долями води та в об'ємі скелету причому явища конвекції та сорбції переважають над іншими складовими процесу.

Рис. 3. Структура фізично малого елемента ґрунту:

1 - водний поровий розчин фільтраційного потоку;

2 - адсорбовані на скелеті ґрунту шари води;

3 - скелет ґрунту.

Припустивши, що шляхом конформного відображення (або ), задача (2.1.4) є розв'язаною, вважаємо відомим поле швидкості . Здійснивши заміну змінних , у рівняннях (2.1.1), (2.1.2) та умовах (2.1.3), приходимо до відповідної “гетеродифузійної задачі” для області (рис. 2 б):

, (2.1.5)

, (2.1.6)

, , ,

, , . (2.1.7)

Розв'язок (c, u) даної періодичної щодо змінної задачі з точністю (для спрощення викладок покладемо ) шукаємо у вигляді таких асимптотичних рядів:

, (2.1.8)

(2.1.9)

де - залишкові члени, , () - члени регулярної частини асимптотики. , - функції типу пограншару в околі (поправки на виході фільтраційної течії із даного пласта ), - функції типу пограншару в околі (поправки на вході в ). , , - відповідні регуляризуючі перетворення.

В результаті підстановки (2.1.8) та (2.1.9) у (2.1.5), (2.1.6) і виконання стандартної процедури “прирівнювання” коефіцієнтів при однакових степенях , одержимо такі задачі для знаходження та , та оцінки залишкових членів:



де ,

,

.

В результаті їх послідовного розв'язання матимемо:

,

,



де - час проходження виділеної частинки вздовж лінії течії , від точки до точки , - функція обернена до функції стосовно змінної .

Функції , , призначені для усунення неузгодженостей, внесених побудованими регулярними частинами , в околах ділянок , (виходу та входу фільтраційної течії). Тобто, повинні виконуватись умови: , , . Для знаходження цих функцій маємо задачі:

;

;

де , , , , , , , , , , , , , ,

,

,

,

,

,

,

.

.

Розв'язки останніх задач, як задач для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку та параболічних рівнянь із сталими коефіцієнтами (із параметром ), отримуємо в явному вигляді.

Для знаходження залишкових членів маємо задачу:

,

,

,

де

,

.

Вимагаючи достатню гладкість початкової та граничних умов і коефіцієнтів системи рівнянь (2.1.1), (2.1.2) (існування неперервних частинних похідних до четвертого порядку включно) та їх узгодженість вздовж ребер , паралелепіпеда ( - фіксований проміжок часу), на основі принципу максимуму приходимо до справедливості такого твердження:

(, ).

2.2 Нелінійні моделі процесів типу “конвекція-дифузія-масообмін” (залежність масообміну від сполуки забруднюючих речовин)

Розглянемо модельну задачу конвективної дифузії [15] для області (див. п. 2.1), де () - двозв'язна криволінійна область (рис. 2, а):

, (2.2.1)

, (2.2.2)

, , ,

, , , (2.2.3)

, , , . (2.2.4)

Тут та - відповідно концентрації двох сортів розчинних речовин фільтраційної течії в точці в момент часу , - біжуча точка відповідної кривої, , , , , де , , , - задані додатні дійсні числа, ()- малий параметр (характеризує переваги одних складових процесу над іншими), - відповідно потенціал та компоненти його швидкості (швидкості фільтрації в пористому середовищі ), , , , , , , - достатньо гладкі функції, узгоджені між собою на ребрах області .

Дана модель описує процес руху частинок двох сортів забруднюючої речовини у фільтраційному середовищі. Причому кожна з речовин одного сорту втрачає (наприклад, під дією певної хімічної реакції) свої частинки при взаємодії з речовиною іншого сорту. Відмітимо, що - концентраційний коефіцієнт інтенсивності зменшення кількості речовини із-за взаємодії з речовиною , - концентраційний коефіцієнт інтенсивності зменшення кількості речовини через взаємодію з речовиною , (). Тут явища конвекції переважають над іншими складовими процесу.

Аналогічно до п. 2.1 вважаємо, що задача фільтрації (2.2.4) є розв'язаною. Зокрема відомим є поле швидкості. Здійснивши заміну змінних , у рівняннях (2.2.1), (2.2.2) та умовах (2.2.3), приходимо до відповідної задачі для області (рис. 2, б):

, (2.2.5)

, (2.2.6)

, , ,

, , . (2.2.7)

Розв'язок задачі (2.2.5)-(2.2.7) з точністю шукаємо у вигляді таких асимптотичних рядів:

, (2.2.8)

, (2.2.9)

де , - залишкові члени, , () - члени відповідних регулярних частин асимптотики, зокрема: , - розв'язок відповідної виродженої задачі (конвективного переносу); , - відповідні поправки, що враховують “вклад” дифузії всюди в даній області (за виключенням деякої її приграничної зони), , () - функції типу пограншару в околі (відповідні поправки на виході фільтраційного потоку із області ), - відповідне регуляризуюче перетворення (змінна розтягу).

Після підстановки (2.2.8) та (2.2.9) в (2.2.5) - (2.2.6) та застосування процедури прирівнювання коефіцієнтів при однакових степенях , для знаходження функцій та () приходимо до таких задач:

(2.2.10)

, , , , , , , , , , , .

У результаті їх розв'язання маємо:

де - час проходження виділеної частинки вздовж лінії течії від еквіпотенціальної лінії до еквіпотенціальної лінії , - функція обернена до функції стосовно змінної .

Функції , , призначені для усунення неузгодженостей, внесених побудованими регулярними частинами , в околі ділянки (виходу фільтраційної течії). Тобто, повинні виконуватись умови: , . Ці функції знаходимо в результаті розв'язку наступних задач:

,

,

,

, ,

де , , , , , , , , , ,

.

Розв'язавши їх, отримаємо:

,

,

,

,

,

,

де , ,

,

, ,

.

Для оцінки залишкових членів маємо задачу:

,



,

.

Тут

,

.

Вимагаючи достатньої гладкості коефіцієнтів системи рівнянь (2.2.1), (2.2.3) та початкової і граничних умов (існування неперервних частинних похідних до четвертого порядку включно), а також узгодженості останніх вздовж ребер , області , де - фіксований проміжок часу, на основі принципу максимуму для параболічних рівнянь приходимо до справедливості такого твердження: (, ).

2.3 Дослідження одного типу нелінійного сингулярно збуреного процесу трикомпонентної конвективної дифузії з урахуванням малого масообміну та утворення речовини, що випадає в осад

Розглянемо модельну задачу типу „конвекція-дифузія-масообмін” для області , де () - двозв'язна криволінійна область (пористий пласт), обмежена двома замкненими гладкими контурами - внутрішній та - зовнішній (рис. 4, а):

, (2.3.1)

, (2.3.2)

, , , , (2.3.3)

, , , . (2.3.4)

Тут - відповідно концентрації трьох сортів розчинних речовин фільтраційної течії в точці в момент часу , - концентрація речовини і-того сорту в точці у момент часу , яка випадає в осад в наслідок хімічної взаємодії речовин , та , , , , - біжуча точка відповідної кривої, , , де , - задані додатні дійсні числа, ()- малий параметр (характеризує переваги одних складових процесу над іншими), - відповідно потенціал та компоненти його швидкості (швидкості фільтрації в пористому середовищі ), , , , ()- достатньо гладкі функції, узгоджені між собою на ребрах області , - концентрація осаду в точці у момент часу .

а) б)

Рис. 4. Фізична двозв'язна область (а) та відповідна їй область комплексного потенціалу (б).

Дана модель описує процес поширення частинок трьох сортів забруднюючої речовини у фільтраційному середовищі. Причому кожна з речовин втрачає (наприклад, під дією певної хімічної реакції) свої частинки при взаємодії з речовинами іншого сорту, внаслідок чого утворюється речовина , яка випадає в осад.

Вважаємо, що задача фільтрації (2.3.4) є розв'язаною. Зокрема, відомим є поле швидкості. Здійснивши заміну змінних , у рівняннях (2.3.1), (2.3.2) та умовах (2.3.3), приходимо до відповідної задачі для області (рис. 4, б):



, (2.3.5)

(2.3.6)

, , , , (2.3.7)

Розв'язок задачі (2.3.5) - (2.3.7) знаходимо з точністю у вигляді асимптотичних рядів:

, (2.3.8)

де - залишкові члени, , () - члени відповідних регулярних частин асимптотики, зокрема: - розв'язок відповідної виродженої задачі (конвективного переносу); - відповідні поправки, що враховують “вклад” дифузії всюди в даній області (за виключенням деякої її приграничної зони), , () - функції типу пограншару в околі (відповідні поправки на виході фільтраційного потоку із області ), - відповідне регуляризуюче перетворення (змінна розтягу), .

Після підстановки (2.3.8) в (2.3.5) та застосування процедури прирівнювання коефіцієнтів при однакових степенях , для знаходження функцій (, ) приходимо до таких задач:

 (2.3.9)

, ,

, , , .

У результаті їх розв'язання маємо:

де - час проходження виділеної частинки вздовж лінії течії від еквіпотенціальної лінії до еквіпотенціальної лінії , - функція обернена до функції стосовно змінної .

Функції , призначені для усунення неузгодженостей, внесених побудованими регулярними частинами в околі ділянки (виходу фільтраційної течії). Ці функції знаходимо в результаті розв'язку наступних задач:

,

, , ,

де , , , , , .

Розв'язки записаних вище звичайних диференціальних рівнянь отримуємо у явному вигляді. Так зокрема, матимемо:

,

,

Для оцінки залишкових членів маємо задачу:

,

.

Тут - відома функція, що є сумою добутків членів ряду (2.3.8), їх частинних похідних, а також коефіцієнти при розкладу функції в ряд Тейлора в околі .

Вимагаючи достатньої гладкості коефіцієнтів системи рівнянь (2.3.1), та початкової і граничних умов (існування неперервних частинних похідних до четвертого порядку включно), а також узгодженості останніх вздовж ребер , області , де - фіксований проміжок часу, на основі принципу максимуму для параболічних рівнянь приходимо до справедливості такого твердження: (, ).

Знайшовши розв'язок , легко знаходимо концентрацію осаду в точці у момент часу за формулою:

.

Наведемо результати розрахунку розглянутого вище процесу типу “конвекція-дифузія-масообмін” на ідеальному плоско паралельному фільтраційному фоні, породженому двома особливими точками та (відповідно витік та втік однакових інтенсивностей ), комплексний потенціал якого - , при , , , . На рис.5 а), б) зображено рівномірну сітку області комплексного потенціалу та відповідну динамічну сітку в : , , , , величину швидкості фільтрації у вузлах , та лінії фронту конвективного переносу , при , , , , (криві 1-4 відповідно).



а) б)

Рис.5. Фізична область (а) та поле швидкостей над відповідною їй областю комплексного потенціалу (б)

Розподіли концентрацій () розчинних речовин при , , , , , , , , ,

зображено на рис. 6.



а)

б)



в)

Рис.6. Вплив дифузійних поправок на розподіл концентрації забруднюючих речовин

Так на рис. 6 а) зображено регулярні частини , , на рис. 6 б) та на рис. 6 в) - відповідно регулярні частини , та , (криві та відповідно в моменти часу , , вздовж лінії течії ) розв'язку поставленої задачі при .

ВИСНОВКИ

У роботі розглянуто питання побудови та розв'язку математичних моделей процесів конвективної дифузії за умов малого масообміну, зокрема, з урахуванням утворення речовин що випадають в осад.

ѕ Розглянуто методику побудови асимптотичного наближення розв'язку сингулярно збуреної задачі конвективної дифузії за умов малого масообміну для двозв'язної області, а також розв'язку сингулярно збуреної задачі конвективної гетеродифузії.

ѕ Знайдено розв'язок нелінійної сингулярно збуреної крайової задачі для системи нелінійних рівнянь трикомпонентної конвективної дифузії. Проведено дослідження нелінійного сингулярно збуреного процесу трикомпонентної конвективної дифузії з урахуванням малого масообміну та утворення речовини, що випадає в осад. Побудовано асимптотичне наближення розв'язку відповідної задачі з точністю . Розроблено відповідний алгоритм, який реалізовано в програмі. З допомогою програми проведено числові обрахунки. На основі проведених числових досліджень зроблено висновок про відносно значний вплив дифузії та масообміну на розподіл концентрації забруднюючої речовини (з часом цей вплив зростає).

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- Харьков: Гос. научно-тех. изд-во Украины, 1939.

2. Боголюбов Н.Н. Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.- М.: Физматгиз, 1958.- 408 с.

3. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малый параметр при производных // УМН.- 1952.- Т.7, вып. 1(47).- С. 140-142.

4. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. - М.: Высшая школа, 1990.- 208с.

5. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.: Мир, 1968.- 464 с.51

6. Каменомостская С.Л. Об уравнениях эллиптического и параболического типа с малым параметром при старших производных // Матем. сб.- 1952.- Т.31(73).- С. 703-708.

7. Бахвалов Н.С. Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.- М.: Наука, 1987.-451с.

8. Исакова Е.К. Асимптотика решения диференциального уравнения в частных производных второго порядка параболического вида с малым параметром при производной// ДАН СССР.- Т.117, №6.- 1957.- С. 935-938.

9. Вишик М.И., Люстерник Л.Я. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи математических наук.- 1957.- 12, Вып. 5. - С. 3-122.

10. Бомба А.Я., Барановський С.В., Присяжнюк І.М. Нелінійні сингулярно збурені задачі типу «конвекція-дифузія». - Рівне: НУВГП, 2008. - 252 с.

11. Бомба А. Я. Об асимптотическом методе приближенного решения одной задачи массопереноса при фильтрации в пористой среде // Укр. матем. журн. - 1982. - Т.4, №4. - С. 493-496.

12. Бомба А. Я., Скопецький В. В., Присяжнюк И. М. Решение задач типа “конвекция-фильтрация” в многосвязных областях // Компьютерная математика. - 2004. - №2. - С. 99-104.

13. Бомба А.Я., Каштан С.С. Нелінійні обернення крайових задач на квазіконформні відображення в анізотропних середовищах // Вісник Київського університету. Серія: Фізико-математичні науки.- 2001.- Вип. 4.- С.182-195.

14. Бомба А.Я., Пригорницький Д.О. Крайові задачі на конформні відображення для тризв'язних областей з потенціалом керування // Доповіді НАН України.- 2004. - №4. - С. 57-63.

15. Бомба А. Я., Присяжнюк І. М. Асимптотичне розвинення розв'язків нелінійних сингулярно збурених крайових задач типу “конвекція-дифузія” із запізненням // Доповіді НАН України.-2005.-№3-С.60-66.

16. Присяжнюк І.М., Присяжнюк. О.М. Асимптотичний метод розв'язування одного класу сингулярно збурених крайових задач типу “конвекція-дифузія-масообмін” у двозв'язних областях// Вісник ТДТУ.-Т.10, №4.-2005.-С. 198-205.

17. Присяжнюк І.М. Асимптотичний метод розв'язування сингулярно збурених крайових задач типу “конвекція-дифузія” у многозвязних областях// Волинський математичний вісник. Серія прикладна математика. - 2003. - Вип. 1. - С. 118-128.

18. Присяжнюк І.М. Чисельно-асимптотичне наближення розв'язків нелінійних сингулярно збурених крайових задач конвективної дифузії із запізнюючим аргументом // Волинський математичний вісник. - 2004. - Вип. 11. - С. 150-160.

19. Чапля Є.Я., Чернуха О.Ю. Про врахування нелінійного звязку між хімічними потенціалами і концентраціями в задачах гетеродифузії // Волинський математичий вісник.- Рівне.- 2001.- Випуск 8.- С. 98- 104.

Размещено на Allbest.ru