Целью изучения курса «Теория электрических и магнитных цепей» является всестороннее ознакомление студентов с электрическими и магнитными явлениями. Глубокое понимание электрических и магнитных явлений дает возможность целенаправленно использовать их при эксплуатации избегая при этом нежелательных режимов. Курс формирует у студентов практические навыки составления электрических схем и выбора необходимых электрических приборов, помогают понять процессы, которые происходят в электрических и магнитных полях, их физическое и математическое обоснование.

Данный сборник содержит условия и примеры решений типовых задач по разделам Линейные цепи постоянного тока и Цепи переменного синусоидального тока и может быть полезен студентам при решении контрольных заданий и подготовке к экзаменам.

1. Линейные цепи постоянного тока

Задача №1

Подставим данные:

Получим систему уравнений:

Задача №7

Исходные данные:

I11·R31+I22·R32+I33·R33=E33

2. Составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для расчета токов во всех ветвях схемы

3. Определить токи во всех ветвях схемы методом контурных токов

Упростим схему заменив источник тока J₂ дополнительной ЭДС.

Запишем формализованную систему уравнений для метода контурных токов.

Рассчитаем коэффициенты данной системы

Подставим полученные коэффициенты в исходную систему

Выразим искомые токи ветвей через контурные токи

4. Определить токи во всех ветвях схемы методом узловых потенциалов

Примем потенциал узла «с» равным нулю: _с=0.

Запишем формализованную систему уравнений для метода контурных токов.

Рассчитаем коэффициенты данной системы

Подставим полученные коэффициенты в исходную систему

5. Результаты расчёта токов, проведённого двумя методами, свести в таблицу и сравнить между собой

6. _____Составить баланс мощностей в исходной схеме (схеме с источником тока), вычислив суммарную мощность источников и суммарную мощность нагрузок (сопротивлений).

7. _____Определить ток I₁ в заданной по условию схеме с источником тока, используя метод эквивалентного генератора.

Определим напряжение холостого хода на зажимах разомкнутой ветви.

Определим входное сопротивление двухполюсника заменив исходную схему эквивалентной преобразовав схему соединения треугольником в схему соединения звездой.

Подсчитаем ток через сопротивление R1

Начертить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, включающего в себя обе ЭДС

Контур `cambkc'.

2. Основы символического метода

Электрические цепи, в которых действуют изменяющиеся во времени синусоидальные токи и напряжения называются цепями переменного тока.

Любая синусоидальная функция времени a(t) может быть однозначно задана тремя параметрами: амплитудой, частотой и начальной фазой. Ее значение в любой момент времени t определяется выражением вида

a(t) = a = A_msin (wt+y_a), где (1)

A_m - максимальное значение функции или ее амплитуда;

w - угловая частота или скорость изменения аргумента функции, выраженная в [радиан/с];

y_a - начальная фаза (аргумент функции в момент времени, принятый за начало отсчета, т.е. при t = 0) в [радиан].

Аргумент синусоидальной функции ?t+?_a, называется фазой или фазовым углом. Он определяет значение функции a(t) в любой момент времени.

Кроме угловых величин, аргумент синусоидальных функций можно представить также через временные величины, используя связь угловой частоты с частотой f [Гц=1/с] или с периодом T=1/f [с] в виде w--=2p--f--=2p /T. Тогда wt+y_a--=--2p(t+y_aT/2p)/T. Этому представлению соответствуют верхние обозначения оси абсцисс на рис. 1.

В электрических цепях переменного тока синусоидальными функциями времени являются ток, падение напряжения и ЭДС

i = I_msin (wt+y_i); u = U_msin (wt+y_u); e = E_msin (wt+y_e).

Для этих величин принят ряд соглашений по обозначениям, имеющим нормативную силу.

Мгновенные значения токов, напряжений и ЭДС следует обозначать строчными буквами в виде i, u и e.

Максимальное значение или амплитуда обозначается соответствующей прописной буквой с индексом m (I_m, U_m, E_m).

Помимо этих величин в цепях переменного тока широко используют т.н. действующие значения. Величина постоянного тока эквивалентного переменному току по количеству выделяемого тепла называется действующим или среднеквадратичным значением переменного тока. Действующие значения обозначаются прописными буквами без индекса.

Кроме действующих значений для синусоидальных величин иногда используются также средние значения.

Описание электромагнитных процессов в цепях переменного тока с помощью синусоидальных функций времени возможно только для простейших случаев. Уже при смешанном соединении элементов выражения получаются настолько сложными, что решение их крайне затруднительно.

Задача существенно упрощается, если синусоидальные функции времени представить в виде векторов. Из курса математики известно, что синусоидальная функция времени a(t) = A_msin (wt+y_a) является проекцией на ось ординат вектора длиной A_m, вращающегося с угловой частотой ?. Причем, положение этого вектора в начальный момент времени t = 0 должно составлять угол y_a с осью абсцисс (рис. 2 а) и б)).

Для построения изображающих векторов можно использовать любую координатную систему на плоскости, однако наиболее удобной для проведения расчетов является комплексная плоскость (рис. 2 в)). В этом случае изображающий вектор A_m сопоставляется с комплексным числом и его можно определить четырьмя различными способами или формами записи:

1. алгебраическая форма - A_m = p + jq соответствует записи комплексного числа в виде вещественной p = ReA и мнимой q = ImA составляющих (в отличие от математики, в электротехнике буквой i обозначают ток, поэтому мнимую единицу принято записывать символом j);

2. тригонометрическая форма - A_m = A_m(cosy _a+jsin y _a) является результатом записи вещественной и мнимой составляющих через модуль A_m и аргумент комплексного числа y _a в виде p= A_mcosy _a и q= A_msiny _a;

3. показательная форма - A_m = A_m e ^{j? a} получается применением к тригонометрической форме формулы Эйлера cosy _a+jsin y _a = e ^{j? a};

4. полярная форма - A_m = A_m Р--y _a является краткой записью модуля и аргумента комплексного числа и не может использоваться для математических операций с комплексными числами.

Между различными формами записи комплексных чисел или изображающих векторов существуют очевидные соотношения, которые для наглядности сведены в таблицу.

Таблица 1

Замена синусоидальных функций a(t) комплексными числами и изображающими их векторами A позволяет перейти от тригонометрических функций времени к алгебраическим. При этом исходные синусоидальные функции времени можно считать оригиналами, а комплексные числа и векторы их изображениями или символами. Поэтому метод расчета электрических цепей, использующий такое представление функций называется символическим.

Любой математической операции в области оригиналов будет соответствовать некоторая операция в области изображений. Без доказательства сведем в таблицу основные математические операции над оригиналами и изображениями, представляя последние в двух формах: аналитической и графической, т.е. в виде аналитических выражений и соответствующих операций с векторами.

Таблица 2.

При операциях с комплексными числами и изображающими их векторами большую роль играют числа, модуль которых равен единице. Они называются операторами поворота. Наиболее распространенными операторами поворота являются числа 1, j, -1 и - j. Результаты умножения произвольного комплексного числа A на эти числа показаны в таблице 3.

Таблица 3.

Для исследования взаимных отношений различных величин, векторы токов, напряжений и ЭДС строятся совместно на одной комплексной плоскости и такая совокупность векторов называется векторной диаграммой.

3. Расчет цепей символическим методом