Теория электрических и магнитных цепей
Основные элементы электрической цепи, источник ЭДС и источник тока. Линейные цепи постоянного тока, применение законов Кирхгофа. Основные соотношения в синусоидальных цепях: сопротивление, емкость, индуктивность. Понятие о многофазных электрических цепях.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | курс лекций |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 24.10.2012 |
| Размер файла | 1,2 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
КРИВОРІЗЬКИЙ ІНСТИТУТ
ПВНЗ «Кременчуцький університет економіки, інформаційних технологій та управління»
КУРС ЛЕКЦІЙ
з дисципліни
«Теорія електричних та магнітних кіл»
для студентів денної та заочної форм навчання
спеціальності 7.0901402
“Гнучкі комп'ютеризовані системи та робототехніка”
Факультет - інженерний
Кафедра - технічної кібернетики
Кривий Ріг 2007
Розповсюдження і тиражування без офіційного дозволу офіційного дозволу КІ ПВНЗ “КУЕІТУ” та укладача заборонено.
Курс лекцій з дисципліни «Теорія електричних та магнітних кіл» складено згідно навчальної робочої програми цієї дисципліни і містить основний теоретичний матеріал, знання якого обумовлено планом навчання.
Призначений для студентів денної та заочної форм навчання інженерного факультету спеціальності 7.0901402 «Гнучкі комп'ютеризовані системи та робототехніка».
Укладач: ст. викл. Супрунова Ю.А.
Методичні вказівки розглянуті та рекомендовані до видання на засіданні кафедри технічної кібернетики
“30” серпня 2007 р., протокол № 1
Затверджено методичною радою
Криворізького інституту ПВНЗ КУЕІТУ
“13” вересня 2007 р., протокол № 1
Наклад згідно замовленню
Комп'ютерний набір: Супрунова Ю.А.
СОДЕРЖАНИЕ
- ВВЕДЕНИЕ 8
- РАЗДЕЛ 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ 10
- 1.1 Элементы электрической цепи 10
- 1.2 Источник ЭДС и источник тока 18
- 1.3 Схемы электрических цепей 21
- 1.4 Линейные электрические цепи 23
- 1.5 Основные законы электрических цепей 24
- 1.5.1 Закон Ома 25
- 1.5.2 Законы Кирхгофа 26
- 1.6 Энергия и мощность 28
- 1.7 Периодический и непериодический процессы в линейных электрических цепях 31
- 1.8 Действующее и среднее значения периодической электрической величины 33
- РАЗДЕЛ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА 35
- 2.1 Определение цепи постоянного тока 35
- 2.2 Напряжение на участке цепи 35
- 2.3 Закон Ома для участка цепи 36
- 2.3.1 Для участка, не содержащего э.д.с. 36
- 2.3.2 Для участка цепи, содержащего э.д.с. 37
- 2.4 Методы расчета цепей постоянного тока 37
- 2.4.1 Применение законов Кирхгофа к расчету цепей 37
- 2.4.2 Метод контурных токов 39
- 2.4.3 Метод наложения 43
- 2.4.4 Теорема взаимности 44
- 2.4.5 Теорема компенсации 45
- 2.4.6 Теорема об эквивалентном источнике 46
- 2.4.7 Теорема об эквивалентном источнике напряжения 46
- 2.4.8 Теорема об эквивалентном источнике тока 47
- 2.4.9 Замена параллельных ветвей, содержащих различные элементы, одной 47
- 2.5 Преобразование электрических схем постоянного тока 52
- 2.5.1 Преобразование реального источника э.д.с. в реальный источник тока 52
- 2.5.2. Преобразование звезды в треугольник и обратно 53
- 2.6. Активный и пассивный двухполюсник 56
- 2.6.1 Метод эквивалентного генератора 56
- 2.6.2 Передача энергии от активного двухполюсника нагрузке 58
- РАЗДЕЛ 3. ТЕОРИЯ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА 61
- 3.1 Основные соотношения в цепях синусоидального тока 61
- 3.1.1 Представление синусоидальных функции в виде проекций вращающихся векторов 61
- 3.1.2 Действующее значение периодических токов, напряжений и э.д.с. 68
- 3.2 Элементы электрической цепи переменного синусоидального тока 70
- 3.2.1 Сопротивление 70
- 3.2.2 Емкость 70
- 3.2.3 Индуктивность 72
- 3.2.4 Последовательное соединение r, L, C 73
- 3.2.5 Параллельное соединение r, L, C 75
- 3.2.6 Мощность в цепи синусоидального тока 77
- 3.2.7 Цепь с активным сопротивлением (ц=0) 79
- 3.2.8 Реактивная цепь (=0,5) 80
- 3.2.9 Смешанная цепь 81
- 3.2.10 Баланс мощностей 84
- 3.2.11 Треугольник мощностей 84
- 3.2.12 Эквивалентные параметры и их экспериментальное определение 86
- 3.2.14 Применение комплексных чисел 89
- 3.2.15 Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме 99
- 3.2.16 Последовательное соединение r, L, С 99
- 3.2.17 Условие передачи источником максимума мощности приемнику 103
- 3.3 Резонанс в электрических цепях синусоидального переменного тока 105
РАЗДЕЛ 4. МНОГОФАЗНЫЕ ЦЕПИ 125
- 4.1 Понятие о многофазных электрических системах и цепях. 125
- 4.2 Симметричные многофазные системы с э.д.с 125
- 4.4 Связывание многофазных систем 128
- 4.5 Соединение звездой и треугольником в трехфазной системе 131
- 4.6 Расчет несимметричных трехфазных цепей при отсутствии взаимоиндуктивности 132
ВВЕДЕНИЕ
электрическая магнитная цепь ток
Электротехника - наука об использовании электрических и магнитных явлений в практической деятельности человека.
Начало развития электротехники приходится на вторую половину XVII и первую половину XIX века, когда были открыты основные закономерности в области электромагнитных и электрических явлений.
Только 165 лет назад начались первые попытки практического применение электричества, а уже в наше время тяжело назвать какую-нибудь отрасль техники, где бы не использовалась электрическая энергия. Современный технический прогресс зависит преимущественно от развития электротехники. Невозможно даже представить себе жизнь современного общества без широкого применения электричества.
Главное преимущество электрической энергии перед другими видами энергии заключается в том, что, она универсальна и имеет следующие ценные свойства: ее легко превратить в механическую, тепловую, световую, химическую, звуковую и прочие виды энергий; ее удобно в больших количествах при малых потерях передавать на большие расстояния; она дает возможность осуществить механизацию и автоматизацию производства.
Только с применением электрической энергии получены выдающиеся результаты в технике, связи, автоматике, кибернетике, космонавтике, управлении производственными процессами и тому подобное.
С применением электрической аппаратуры и электронных приборов приобрели последующее развитие такие отрасли науки, как медицина, биология, астрономия, геология, математика и др. Особенно нужно отметить значение электронно-вычислительных машин для развития науки и техники.
При изучении основ теоретической электротехники перед студентами стоят две главные задачи.
Первая задача - всесторонне ознакомиться и усвоить суть, электрических и магнитных явлений. Глубокое понимание физической сути электрических и магнитных явлений дает возможность целеустремленно использовать их при создании электротехнических устройств и правильно эксплуатировать, избегая нежелательных и тем более вредных режимов.
Однако инженеру-системотехнику недостаточно знаний одних физических явлений. Поэтому одновременно с изучением физических явлений студенты должны приобретать навыки методов расчетов и решении решения задач, которые будут возникать в практической деятельности инженера-системотехника. Это вторая из упомянутых задач.
Понимание теории электрических явлений и процессов базируется на знании студентов многих разделов математики и физики. Из курса математики студенты должны знать алгебру комплексных чисел, пользоваться соответствующим математическим аппаратом. Из курса физики студенты должны знать основные электрические и магнитные величины (ток, напряжение, потенциал, магнитная индукция, напряженность магнитного поля и законы, по которыми их находят).
РАЗДЕЛ 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ
1.1 Элементы электрической цепи
Исследования и расчеты электрических цепей основываются на различных допущениях и некоторой идеализации элементов цепи.
Под элементами в теории электрических цепей подразумеваются обычно не физически существующие составные части какого-либо электрического устройства, а идеализированные элементы цепи, теоретически обладающие особыми электрическими или магнитными свойствами и в совокупности, приближенно отображающие явления, происходящие в реальных устройствах.
Различают активные и пассивные элементы.
Активными элементами являются источники электрической энергии. В них происходит процесс преобразования химической, механической или другого вида энергии в электрическую энергию. Пассивными элементами электрических цепей являются сопротивления, индуктивности, емкости.
Сопротивление R представляет элемент цепи, в котором при прохождении тока происходит необратимый процесс преобразования электрической энергии в тепловую.
Индуктивность L означает элемент цепи, способный накапливать энергию магнитного поля,
Наконец, емкость C представляет собой элемент цепи, способный накапливать энергию электрического поля.
Таким образом, каждому из этих элементов присущи свои особые свойства.
Следует заметить, что каждый из этих терминов - сопротивление, индуктивность, емкость и соответствующие им условные обозначения R, L, C применяются в теории электрических цепей,
во-первых, для обозначения самого элемента,
во-вторых,--для обозначения его параметра, т. е. электрической или магнитной величины, количественно характеризующей данный элемент.
В дальнейшем предполагается, что эти параметры не зависят от напряжения или тока.
Так, термин сопротивление и соответствующее ему буквенное обозначение R означают элемент цепи, в котором электрическая энергия переходит в тепло и, вместе с тем, они выражают электрический параметр данного элемента, равный отношению напряжения UR
на его зажимах к току i проходящему через него, т.е.
(1.1)
В системе СИ UR измеряется в вольтах (В), i- в амперах (А), а R в омах (ом).
В свою очередь, термин индуктивность и соответствующее ему буквенное обозначение L означают элемент цепи, в котором происходит, накопление энергии магнитного поля и, вместе с тем, они выражают магнитную величину, равную отношению потокосцепления самоиндукции к току.
(1.2)
В системе СИ измеряется в веберах (Вб), -- в генри (Гн).
Электродвижущая сила (ЭДС) самоиндукции равна скорости изменения потокосцепления (потокосцепление равно произведению магнитного потока на число витков, пронизываемых этим потоком), т.е.
(1.3)
или с учетом (1.2),
. (1.4)
Знак “минус” в (1.4) обусловлен тем, что положительные направления ЭДС самоиндукции и тока выбраны совпадающими.
(1.5)
называется падением напряжения на индуктивности или, что то же самое, напряжением на индуктивности.
Если часть магнитного потока, связанного с индуктивным элементом, связана одновременно и с другим индуктивным элементом, то эти два индуктивных элемента, кроме параметров L1 и L2, обладают параметром M, именуемым взаимной индуктивностью.
Когда магнитные потоки и, соответственно, потокосцепления являются линейными функциями тока, этот параметр определяется отношением потокосцепления взаимной индукции к току
(1.6);
(1.7)
Здесь 12 -- потокосцепление первого элемента, обусловленное током второго элемента; а 12 --потокосцепление второго элемента, обусловленное током первого элемента
В этом случае в первом и во втором элементах наводятся ЭДС взаимной индукции, равные соответственно -
(1.8) . (1.9).
Из выражения (1.9) следует, что при скорости изменения тока первого элемента, равной единице, во втором элементе наводится ЭДС, равная M.
Если ЭДС, ток и время измеряются, соответственно, в вольтах (В), амперах (А) и секундах (сек), то M измеряется в генри (Гн).
В отличие от других параметров взаимная индуктивность характеризует собой не самостоятельный элемент электрической цепи, а лишь магнитную связь между индуктивными элементами.
Наконец, термин емкость и соответствующее ему буквенное обозначение C означают элемент цепи, в котором происходит накопление электрической энергии и, вместе с тем, они выражают электрическую величину, равную отношению заряда к напряжению на этом элементе
(1.10)
Если q и UC измеряются в кулонах (к) и вольтах (В), то C измеряется в фарадах (ф).
Допустим, что емкость C образована двумя пластинами, разделенными диэлектриком. Под влиянием приложенного напряжения на пластинах сосредоточены равные количества электричества противоположного знака: пластина с более высоким потенциалом имеет положительный заряд (q>0), а пластина с более низким потенциалом--отрицательный заряд (q< 0).
При изменении напряжения, приложенного к пластинам, изменяется в соответствии с формулой (1.8) заряд q. На пластину, потенциал которой возрастает, поступает положительный дополнительный заряд, а на пластину, потенциал которой уменьшается, поступает такой же отрицательный заряд.
Приток отрицательного заряда ко второй пластине равносилен перемещению положительного заряда в обратную сторону -- от второй пластины во внешнюю цепь. Таким образом, с изменением напряжения на емкости в цепи создается ток, величина которого определяется скоростью изменения электрического заряда:
(1.11)
. (1.12)
Этот ток рассматривается как ток проводимости в проводниках, присоединенных к емкостному элементу (ток, обусловленный движением электрических зарядов), и как ток смещения в диэлектрике емкостного элемента. Последнее понятие, применяемое в теории поля, означает величину, прямо пропорциональную скорости изменения напряженности электрического поля и имеющую размерность тока. Благодаря введению этого понятия ток в цепи с емкостью представляется замкнутым через диэлектрик.
Для сопротивления, индуктивности и емкости применяются условные графические изображения, показанные на рис. 1.1.
R L C
Рис. 1.1 Условные изображения элементов электрических схем
С помощью этих идеализированных элементов цепи изображаются электрические схемы замещения различных физических устройств.
Следует заметить, что такие понятия, как индуктивная катушка, конденсатор и реостат, означающие реальные электрические устройства, в общем случае не совпадают с теоретическими понятиями индуктивность, емкость и сопротивление, мыслящимися как раздельные, независимо друг от друга существующие элементы цепи.
Представим себе простейшую индуктивную катушку в виде кругового витка проводника, по которому проходит .
При постоянном токе напряжение на концах кругового витка определится величиной падения напряжения на его сопротивлении в соответствии с (1.1) и ток во всех точках витка будет одинаковым.
При переменном же токе изменяющееся магнитное поле наведет в витке ЭДС самоиндукции; между концами, так же как и между другими точками витка, электрическое поле станет переменным и в диэлектрике вокруг витка возникнет ток смещения; в связи с этим в различных точках витка ток будет неодинаковым.
Чем выше частота переменного тока, тем больше будут ЭДС самоиндукции и ток смещения.
При низких частотах током смещения можно пренебречь. При высоких же частотах ток смещения, обусловленный изменением напряженности электрического поля, может быть соизмеримым с током в витке и даже превышать его.
Таким образом, в зависимости от рабочего диапазона частоты, электрическая схема замещения реального витка или катушки из витков может состоять из различных теоретических элементов.
R
а) при постоянном токе;
R L
б) при низкой частоте;
R L
C в) при высокой частоте.
Рис. 1.2 Электрические схемы замещения витка или катушки
Представим себе теперь плоский конденсатор, состоящий из двух параллельных пластин. При постоянном напряжении и идеальном диэлектрике тока в цепи не будет. Если напряжение переменно, то в процессе изменения электрического заряда возникнет переменный ток, создающий переменное магнитное поле. Эффект, вызываемый магнитным полем, может быть учтен в электрической схеме замещения с помощью некоторой индуктивности, включенной последовательно с емкостью конденсатора. Обычно этой индуктивностью пренебрегают из-за её малости.
Наконец, во всяком диэлектрике вследствие наличия некоторой проводимости возникают тепловые токи, которые возрастают с ростом частоты. Кроме того, происходит выделение тепла в пластинах конденсатора. Потери на нагрев учитываются в схеме замещения конденсатора посредством сопротивления , включенного параллельно емкости (рис. 1.3). R
C
Рис 1.3 Электрическая схема замещения конденсатора.
Что касается реостатов и других устройств, именуемых обычно сопротивлениями, то в них, наряду с зависимостью от температуры и частоты, в той или иной степени проявляются и индуктивный и емкостный эффекты.
При низких частотах сопротивление мало отличается от сопротивления при постоянном токе. С повышением же частот ток распределяется по сечению проводника неравномерно, по мере приближения к центру проводника плотность тока уменьшается, ток вытесняется к поверхности проводника, что вызывает увеличение сопротивления.
Это явление, носящее название поверхностного эффекта, учитывается обычно при высоких частотах и изучается в теории электромагнитного поля.
Таким образом, в физических системах магнитные поля, электрические поля и тепловые потери сопутствуют друг другу. Раздельное рассмотрение индуктивностей, емкостей и сопротивлений используются лишь как метод приближенного исследования явлений. Чем выше частота и чем больше линейные размеры самих устройств, тем в большей мере проявляется взаимосвязь электрических и магнитных параметров и неотделимость друг от друга электрического и магнитного полей.
Такое положение, в частности, имеет место в линиях или антеннах, протяженность которых соизмерима с длиной электромагнитной волны, и больше нее.
Строго разграничить области частот, при которых справедлива та или иная схема замещения, не представляется возможным, так как это зависит от ряда факторов. Ориентировочно можно считать, что рассмотрение устройств в виде отдельных элементов с сосредоточенными параметрами допустимо при частотах, при которых длина электромагнитной волны не менее чем в 100 раз превышает наибольший линейный размер устройств.
(1.13)
Длина электромагнитной волны равна отношению фазовой скорости к частоте
(1.14)
Если и l измеряются в метрах, то, приравняв скорости света (3108 м/сек), получим на основании (1.13) и (1.14)
. (1.15)
Такое приближенное соотношение весьма условно, так как диапазон частот, в котором процесс в цепи описывается простейшим уравнением (1.5) или (1.12) зависит от конструкции.
1.2 Источник ЭДС и источник тока
В качестве источников электрической энергии в теории цепей используются условные устройства: источники ЭДС и источники тока.
Источник ЭДС представляет активный элемент с двумя зажимами, напряжение u(t) на к`оторых не зависит от тока, проходящего через источник. Предполагается, что внутри такого гипотетического источника пассивные элементы отсутствуют, и поэтому прохождение через него тока не вызывает в нем падения напряжения. Иначе говоря, напряжение на зажимах такого источника равно его внутренней ЭДС. Условные обозначения источника ЭДС и источника тока приведены на рис. 1.4, 1.5.
Рис 1.4 Источник ЭДС Рис 1.5 Источник тока.
Стрелкой указано положительное направление ЭДС, т.е. направление возрастания потенциала в источнике для тех моментов времени, в течение которых функция u(t) положительна.
Величина тока в электрической цепи, приключенной к источнику ЭДС, зависит от параметров этой цепи и от u(t).
Если зажимы источника ЭДС замкнуть накоротко, то ток теоретически должен быть бесконечно велик. Потому источник ЭДС является источником бесконечной мощности (теоретическое понятие).
В действительности при замыкании зажимов физически существующего источника электрической энергии (гальванического элемента, аккумулятора или генератора), ток может иметь только конечное значение, так как ЭДС источника компенсируется падением напряжения во внутреннем сопротивлении или, соответственно, во внутренней индуктивности источника.
Схема замещения физического источника электрической энергии представляется в виде источника ЭДС с последовательно включенным пассивным элементом, характеризующим его внутреннее сопротивление и индуктивность.
В дальнейшем такой источник, в отличие от источника ЭДС, именуется источником напряжения. Обычно его внутренние параметры малы по сравнению с параметрами внешней электрической цепи, они могут быть отнесены к последней или в некоторых случаях могут вовсе не учитываться (в зависимости от соотношения величин и требуемой точности расчета).
Источник тока представляет активный элемент, ток i(t) которого не зависит от напряжения на зажимах.
Условное обозначение источника тока приведено на рис 1.6. Стрелки указывают положительное направление тока i(t), т. е. направление движения положительных зарядов для тех моментов времени, в течение которых функция i(t) положительна.
В случае источника постоянного тока направление движения положительных зарядов совпадает с заданным положительным направлением (ток положителен). В случае же синусоидальною тока i(t) в одном из полу периодов положительные заряды перемещаются в направлении, противоположном тому, которое принято за положительное. В этом полупериоде ток i(t) отрицателен.
По мере неограниченного увеличения сопротивления внешней цепи, присоединенной к источнику тока напряжение на его зажимах и, соответственно, мощность, развиваемая им, неограниченно возрастают.
Поэтому источник тока, так же как и источник, ЭДС является источником бесконечной мощности.
Пассивный элемент, характеризующий внутренние параметры источника тока и присоединенный к его зажимам, ограничивает мощность последнего.
Представляя собой теоретическое понятие, источник тока, как будет показано ниже, применяется в ряде случаев для упрощения расчета электрических цепей.
Некоторым подобием источника тока может служить устройство, состоящее из аккумулятора, соединенного последовательно с большим дополнительным сопротивлением. Другим примером источника тока является полупроводниковый триод.
Эти устройства, имея сопротивления, несоизмеримо большие, чем сопротивления внешней цепи, отдают ток, почти не зависящий от изменения внешней нагрузки в широких пределах и именно в этом отношении они и аналогичны источнику тока.
Зависимость напряжения на зажимах какого-либо устройства от тока, проходящею через него, или зависимость тока от напряжения называется вольтамперной характеристикой данного устройства.
Вольтамперные характеристики идеальных источников ЭДС и тока представляют собой прямые, параллельные осям (рис. 1.6).
Вольтамперные характеристики реальных источников электрической энергии могут приближаться к характеристикам источников ЭДС или тока.
U Источник ЭДС U Источник тока
I I
Рис 1.6 Вольтамперные характеристики источника ЭДС и источника тока
1.3 Схемы электрических цепей
Схема представляет графическое изображение электрической цепи. Она показывает последовательность соединения элементов электрической цепи.
“Электрическими” элементами схемы являются активные и пассивные элементы, содержащиеся в данной цепи. Их условные обозначения были приведены ранее.
“Геометрическими” элементами схемы являются узлы и ветви.
Ветвь образуется одним или несколькими последовательно включенными элементами, (рис. 1.7).
Узел -- место соединения трех или большего числа ветвей
Линии, связывающие ветви в схеме, представляют соединения без сопротивлений.
Узел Один узел
а) б)
Рис. 1.7 Узел электрической схемы.
Поэтому, например, схемы "а" и "б" (рис. 1.7) в электрическом смысле одинаковы: они содержат один узел.
Ветви, присоединенные к одной паре узлов, называются параллельными.
Узел Ветвь Узел Рис 1.8 в виде примера
иллюстрирует схему
электрической цепи
содержащую 5 ветвей
и 3 узла
Узел Ветвь
Любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, называется контуром. На рис 1.8 указан стрелкой один из контуров, образованных в данной электрической схеме.
В зависимости от числа контуров, имеющихся в схеме, различают одноконтурные и многоконтурные схемы.
Одноконтурная схема является простейшей. Пользуясь правилами преобразования схем, в ряде случаев представляется возможным заменить многоконтурную схему одноконтурной, что упрощает расчеты.
1.4 Линейные электрические цепи
Пассивные элементы электрической цепи называются линейными, если напряжение и ток в элементе связаны между собой линейным уравнением первого порядка -- алгебраическим или дифференциальным.
Линейное сопротивление подчиняется закону Ома, выражающему прямую пропорциональность между напряжением на зажимах сопротивления и током, идущим через сопротивление.
Как видно из выражения (1.1), напряжение и ток в сопротивлении прямо пропорциональны друг другу при условии, что величина r не зависит от напряжения или тока,
В случае индуктивного или емкостного элементов напряжение и ток связаны линейными дифференциальными уравнениями (1.5) или, соответственно, (1.12) При этом предполагается, что величины L и C не зависят от напряжения или тока.
Таким образом, сопротивление, а также индуктивный и емкостный элементы линейны при условии, что значения R, Lи C не зависят от электрических величин.
Что касается активных элементов электрической цепи, то условием линейности источника ЭДС является независимость величины ЭДС от тока, проходящего через источник. В свою очередь условием линейности источника тока является независимость тока от напряжения на зажимах источника.
Электрическая цепь, состоящая из активных линейных и пассивных элементов, называется линейной цепью.
Реальные электрические устройства, строго говоря, не подчиняются линейному закону.
Так, например, при изменении тока в индуктивной катушке с ферромагнитным сердечником соотношение между магнитным потоком (и, соответственно, потокосцеплением) и током не сохраняется постоянным, т.е. величина , входящая в (1.2), в общем случае зависит от тока.
Кроме того, при прохождении тока через проводник выделяется тепло, проводник нагревается и его сопротивление r изменяется.
В зависимости от типа диэлектрика в большей или меньшей степени может также изменяться и емкость конденсатора в функции от заряда (или от приложенного напряжения).
К нелинейным устройствам относятся, кроме того, электронные, ионные и полупроводниковые приборы, параметры которых зависят от электрических величин
Если в рабочем диапазоне, на который рассчитывается то или иное устройство, т.е. при заданных ограниченных пределах изменения электрических величин, закон линейности с достаточной для практики степенью точности сохраняется, то такое устройство рассматривается как линейное.
Исследование и расчет линейных цепей сопряжены, как правило, с меньшими трудностями, чем исследование и расчет нелинейных цепей. Поэтому в тех случаях, когда линейный закон достаточно близко отражает физическую действительность, цепь рассматривается как линейная.
Для облегчения решения задач часто пренебрегают условиями, при которых реальные устройства теряют свойства линейности (например, вследствие значительного перегрева), и электрическая цепь мыслится линейной независимо от режима ее работы в неограниченном диапазоне.
1.5 Основные законы электрических цепей
Расчеты электрических цепей базируются на физических законах, выражающих свойства электрических цепей. К числу основных законов электрических цепей относятся законы Ома, Кирхгофа и Джоуля-Ленца.
1.5.1 Закон Ома
Закон Ома для линейных цепей выражает прямую пропорциональность между напряжением на зажимах сопротивления и током, идущим через данное сопротивление.
Если через линейное сопротивление R проходит ток i, то потенциал зажима "1", в который ток входит, выше потенциала зажима "2", из которого ток выходит.
Разность потенциалов между зажимами "1" и "2", т.е. напряжение на сопротивлении r, взятое по направлению тока, выражается формулой закона Ома
(1.16)
Напряжение, отсчитываемое в обратном направлении, имеет противоположный знак
. (1.17)
Порядок расположения индексов 1 и 2, обозначающих зажимы, отвечает положительному направлению, выбранному для напряжения. Поэтому для уяснения направления отсчета напряжения достаточно руководствоваться индексами. При отсутствии индексов направление отсчета указывается стрелкой.
Пользуясь величиной проводимости , можно, преобразовать формулу (1.16) в
(1.18)
В соответствии с (I 16) или (1.18) сопротивление имеет линейные вольтамперные характеристики, причем тангенс угла наклона характеристики к оси абсцисс пропорционален r:
, (1.19)
где mu и mi --- масштабы, в которых отложены напряжения и токи.
В свою очередь, тангенс угла наклона характеристики к оси абсцисс пропорционален
. (1.20)
1.5.2 Законы Кирхгофа
Первый закон Кирхгофа выражает тот факт, что в узле электрический заряд не накапливается и не расходуется: сумма электрических зарядов, приходящих к узлу, равна сумме зарядов, уходящих от узла, т.е. алгебраическая сумма токов в узле равна нулю
(1.21)
Суммирование распространяется на токи i в ветвях, сходящихся в рассматриваемом узле. При этом знаки токов берутся с учетом выбранных положительных направлений токов, указываемых обычно на схеме стрелками; всем тикам, направленным к узлу, в уравнении (1.21) приписывается одинаковый знак, например положительный, и, соответственно, все токи, направленные от узла, входят в уравнение (1.21) с обратным знаком. Иначе говоря, всякий ток, направленный от узла, может рассматриваться как ток, направленный к узлу, но имеющий противоположный знак.
Первый закон Кирхгофа применим не только к узлу, но и к любому замкнутому контуру.
Записав для всех узлов контура уравнения по первому закону Кирхгофа и просуммировав их, получим, что сумма токов, подходящих к данному контуру и отходящих от него, равна нулю.
При этом правило знаков, указанное выше, сохраняется.
Второй закон Кирхгофа формулируется следующим образом: алгебраическая сумма напряжений на всех ветвях замкнутого контура равна нулю:
(1.22)
Обход контура совершается в произвольно выбираемом направлении, например, по ходу часовой стрелки. При этом соблюдается следующее правило знаков для ЭДС и падений напряжения, входящих в уравнение (1.22): ЭДС и падения напряжения, совпадающие по направлению с направлением обхода контура, берутся с разными знаками.
Таким образом, второй закон Кирхгофа устанавливает, что алгебраическая сумма ЭДС в замкнутом контуре равна алгебраической сумме падений напряжения в элементах этого контура.
E1 U2
Рис. 1.9
Направление
U1 обхода U3
E2 U4
Например, для схемы рис. 1.9 имеем:
E1 - U2 +U3 +U4 - E2 +U1= 0 или E1 - E2=U2 - U3 - U4.
Разность потенциалов или напряжение между двумя точками электрической цепи равна работе, совершаемой при перемещении единичного электрического заряда из одной точки в другую.
Следовательно, второй закон Кирхгофа устанавливает, что работа, совершаемая при мысленном перемещении пробного заряда вдоль замкнутого пути, равна нулю, поскольку заряд возвращается в исходное положение (здесь учитывается различие знаков работы, совершаемой при перемещении электрического заряда в сторону возрастания и убывания потенциала). Таким образом, второй закон Кирхгофа соответствует закону сохранения энергии.
1.6 Энергия и мощность
Положим, что за элементарный промежуток времени dt через электрическую цепь (приемник энергии) под воздействием приложенного напряжения и. проходит электрический заряд dq.
Элементарная работа, совершаемая за этот промежуток времени или, что то же, элементарная энергия, поступающая в приемник, равна
dW= udq = uidt. (1.23)
В системе МКСА энергия измеряется в джоулях (дж).
Мгновенная мощность определяется как производная энергии по времени
(1.24)
т.е. равна произведению мгновенных значений напряжения и тока.
Рассмотрим в отдельности выражения мгновенных значений энергии и мощности для разных элементов цепи.
Мощность р - величина алгебраическая; она положительна при одинаковых знаках и и i.
Если положительные направления для напряжения и тока приняты совпадающими, то при p>0 энергия поступает от источника к приемнику, а при р<0 энергия возвращается из рассматриваемой цепи к источнику.
В соответствии с (1.24) мощность, расходуемая в сопротивлении r,
(1.25)
Мощность на зажимах индуктивности
(1.26)
Мощность на зажимах емкости:
(1-27)
По закону Джоуля--Ленца энергия, необходимая для поддержания тока i в сопротивлении r, равна
(1-28)
Пределы интеграла определяются рассматриваемым промежутком времени, в течение которого электрическая энергия расходуется в данном сопротивлении.
Энергия магнитного поля индуктивности L, через которую проходит ток i, равна
(1-29)
В свою очередь, энергия электрического поля емкости C, напряжение на которой равно и, определяется по формуле:
(1-30)
Из приведенных выше выражений видно, что энергия представляет положительную величину.
1.7 Периодический и непериодический процессы в линейных электрических цепях
Процессы в электрических цепях делятся на установившиеся и переходные или, соответственно, на периодические и непериодические.
Установившийся процесс в электрический цепи характеризуется тем, что электрические величины (напряжение, ток, заряд) остаются в течение всего времени постоянными или изменяются периодически.
Функция f(t), аргумент которой физически означает время, является периодической функцией, если для любого положительного или отрицательного значения t соблюдается равенство
f(t+T) =f(t). (1.27)
Здесь T - период, т. е. наименьший промежуток времени, через который функция повторяется.
Геометрически это означает, что ординаты двух произвольных точек графика f(t) с абсциссами, отличающимися на Т, одинаковы
Величина, обратная периоду, т. е. число периодов в единицу времени, называется частотой.
В системе СИ частота имеет размерность (сек)-1, а единицей измерения частоты служит герц (частота равна 1 Гц, если период равен 1 сек).
Если постоянную величину условиться рассматривать как предел периодической функции с бесконечным периодом или, что то же, с частотой, равной нулю, то установившийся режим в общем случае можно определить как периодический.
Условие (1.31) выражает бесконечную периодическую повторяемость явления; периодичность функции означает ее существование в любой момент времени, предшествовавший рассматриваемому моменту.
Бесконечной периодической повторяемости явлений в действительности нет. Поэтому периодическую функцию в строгом смысле следует рассматривать как некоторую математическую абстракцию, применяемую при практических расчетах.
С приближением, вполне достаточным для инженерной практики, многие процессы в электрических цепях считаются периодическими и, соответственно, режим работы цепи - установившимся.
Токи установившегося режима рассматриваются как вынужденные колебания, обусловленные источниками электрической энергии, например источниками ЭДС, действующими в цепи.
Частота этих колебаний совпадает с частотой воздействующих ЭДС.
При рассмотрении остановившегося процесса в какой-либо электрической цепи, содержащей элементы r, L и C, предполагается, что с момента присоединения цепи к источнику электрической энергии до момента наблюдения прошло столь большое (теоретически бесконечное) время, что собственные колебания системы исчезли и в ней установился режим, задаваемый источником.
Поэтому при исследовании установившегося процесса в электрической цепи начало отсчета времени выбирается произвольно, в любой конечный момент времени.
Выбор начала отсчета времени влияет только на величину начальной фазы напряжения и тока при установившемся режиме.
Если условия, характеризующие заданный установившийся режим работы цепи, в известный момент времени меняются, например, вследствие изменения ЭДС или параметров самой цепи, то возникает переходный процесс, при котором наряду с вынужденными колебаниями имеют место и собственные колебания системы.
Переход к новому установившемуся режиму связан с нарастанием или убыванием энергии электрического и магнитною полей и требует времени, так как энергия этих полей не может изменяться скачкообразно.
В переходном режиме электрические величины, обусловливаемые электрическими источниками, носят непериодический характер, не подчиняясь формуле (1.31).
Переход от первоначального установившегося режима к новому установившемуся режиму теоретически длится бесконечно долго, так как собственные колебания исчезают только спустя бесконечно долгое время. Однако уже через весьма малый промежуток времени собственные колебания достигают столь ничтожно малых значений, что ими практически можно пренебречь, и процесс может считаться установившимся.
1.8 Действующее и среднее значения периодической электрической величины
О величине напряжения или тока обычно судят по действующему (среднеквадратичному, эффективному)
или (1.28)
Эти равенства показывают, что
действующее значение периодического тока равно по величине такому постоянному току, который, проходя через неизменное сопротивление r, за период времени Т выделил бы то же количество тепла, что и данный ток i.
Аналогично действующее значение периодического напряжения
или (1.29)
Эти равенства показывают, что
действующее значение периодического напряжения u равно по величине постоянному напряжению, при подведении которого к сопротивлению r за период времени Т выделяется то же количество тепла, что и под воз действием данного напряжения и.
РАЗДЕЛ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
2.1 Определение цепи постоянного тока
Если величина тока и напряжения на участках цепи не зависит от времени, то такую цепь будем называть цепью постоянного тока. Величины токов, ЭДС и напряжений в этом случае будем обозначать заглавными латинскими буквами I,E,U.
2.2 Напряжение на участке цепи
Как уже отмечалось выше, под напряжением на участке цепи мы понимаем разность потенциалов между крайними точками цепи. Ток течет от точки с более высоким потенциалом к точке с меньшим потенциалом. Если a,b - потенциалы точек a,b , то согласно определению сопротивления для рисунка 2.1
a b
R
Ток течет от точки a к точке b, и a>b на величину . a=b+IR, или Uab=a-b=IR. Величину Uab в электротехнике называют падением напряжения на сопротивлении.
Положительное направление Uab совпадает с направлением тока через сопротивление. Рассмотрим цепь, показанную на рисунках 2.2а и 2.2б
По определению Uac=a-c. Так как ток течет от более высокого потенциала к более низкому,
a-b=IR. (2.1.)
а) б)
Рисунок 2.2
При перемещении от точки b к точке с на рисунке 2.2а потенциал b<c, так как направление э.д.с. совпадает с направлением обхода, на величину Е. Следовательно, b=c-E. Подставив значение b в уравнение (2.1.), получаем a-c+E=IR, или
Uac=a-c=IR-E (2.2a.).
Для рисунка 2.2б: b>c, так как э.д.с. направлена навстречу обхода: b=c+E. Подставив b в уравнение (2-1), получим: a-c-E=IR, или:
Uac=a-c=E+IR (2.2б.).
Положительное направление Uac указывают стрелкой, очевидно, оно совпадает с направлением тока.
Согласно определению напряжения Ucа=c-a=-Uac.
2.3 Закон Ома для участка цепи
2.3.1 Для участка, не содержащего э.д.с.
Закон Ома формулируется следующим образом
Uab=I*R, или
(2.3.)
2.3.2 Для участка цепи, содержащего э.д.с.
из уравнений (2-2а) и (2-2б) получаем:
(2.4.)
где знак плюс соответствует случаю, когда направление э.д.с. совпадает с направлением тока, а знак минус, если э.д.с. направлено навстречу направлению тока.
2.4 Методы расчета цепей постоянного тока
2.4.1 Применение законов Кирхгофа к расчету цепей
В теории электрических цепей различают задачи двух родов: задачи анализа и синтеза цепей. Под анализом цепи подразумевается определение электрических величин или их отношений при заданных схеме и параметрах цепи. Под синтезом цепи понимается обратная задача, а именно подбор схемы и параметров цепи по заданным соотношениям электрических величин, которые обычно задаются в функции от частоты или времени. В отличие от задач анализа цепей, имеющих, как правило, однозначные решения, задачи синтеза цепей могут иметь несколько или множество решений. Настоящая глава посвящена методам анализа цепей. Нахождение электрических величин при заданных схеме и параметрах цепи возможно непосредственным решением уравнений, выражающих первый и второй законы Кирхгофа для данной цепи. Положим, что в схеме, содержащей р ветвей и q узлов, заданными являются источники напряжения, а искомыми - токи в ветвях. Cледовательно, число неизвестных равно числу ветвей. По первому закону Кирхгофа может быть записано q-1 независимых уравнений; уравнение для последнего q-го узла является следствием предыдущих q-1 уравнений. Действительно, ввиду того, что каждая ветвь связывает между собой два узла, ток каждой ветви входит в уравнения, записанные для q узлов, дважды. Поэтому если просуммировать q уравнений, то получится тождество вида 0=0. Следовательно, одно из этих уравнений является зависимым. Узлы, для которых записываются независимые уравнения по первому закону Кирхгофа, называются независимыми узлами.
Из сказанного следует, что из общего числа q узлов любые q-1 узлов являются независимыми, а оставшийся последний узел является зависимым. По второму закону Кирхгофа может быть записано р-q+1 независимых уравнений. Объясняется это тем, что если ко всем ветвям применить закон Ома, то получится р уравнений вида (2.5) Здесь - напряжение между узлами i и k;
- ЭДС источника и ток в n-й ветви между узлами i и k;
- сопротивление той же ветви.
В системы уравнений вида (2.5) входят p неизвестных токов и q-1 неизвестных напряжении , если из этой системы исключить q-1 напряжений, то останутся р-q+1 уравнений, связывающих ЭДС источников с падениями напряжений на сопротивлениях и выражающих второй закон Кирхгофа.
Таким образом, расчет электрической цепи с помощью первого и второго законов Кирхгофа сводится к решению (q-1)+(р-q+1)=p уравнений - по числу ветвей.
Контуры, для которых уравнения, записываемые по второму закону Кирхгофа, являются независимыми, называются независимыми контурами.
Для того чтобы уравнения по второму закону Кирхгофа, а следовательно, и сами контуры, были независимыми, достаточно, чтобы каждый последующий контур отличался от предыдущего хотя бы одной новой ветвью.
На рис. 2.3 в виде примера показана электрическая схема с числом ветвей =6 и числом узлов = 4. Соответственно, число уравнений по первому закону Кирхгофа равно 4-1=3 и по второму закону Кирхгофа 6-4+1=3. В этой схеме независимыми являются любых три контура.
Рис. 2.3
2.4.2 Метод контурных токов
Метод контурных токов заключается в том, что вместо токов в ветвях на основании второго закона Кирхгофа определяются так называемые контурные токи, замыкающиеся в контурах.
На рис. 2.4. в виде примера показана двухконтурная электрическая цепь, в которой искомыми являются контурные токи и , замыкающиеся в контурах. Токи в сопротивлениях и равны соответствующим контурным токам.
Рис. 2.4. Иллюстрация метода контурных токов
Ток в сопротивлении , являющемся общим для двух контуров, равен разности контурных.
Число уравнений, записываемых для контурных токов по второму закону Кирхгофа, равно числу независимых контуров, т.е. для электрической схемы с числом узлов q и числом ветвей p задача нахождения контурных токов сведется к решению системы р-q+1 уравнений.
Так как в схеме рис. 4.2 q=3, p=2, то число уравнений равно 2 (по числу независимых контуров).
Условимся сумму комплексных сопротивлений, входящих в контур, называть собственным сопротивлением контура, а комплексное сопротивление, принадлежащее одновременно двум контурам, - общим сопротивлением этих контуров.
Положительные направления контурных токов задаются произвольно.
Если направление обхода каждого контура принять совпадающим с выбранным положительным направлением контурного тока, то при составлении уравнений по второму закону Кирхгофа падение напряжения от данного контурного тока в собственном сопротивлении контура следует брать со знаком плюс.
Падение напряжения от тока смежного контура в сопротивлении, являющемся общим для двух смежных контуров, следует брать со знаком минус, если контурные токи в этом сопротивлении направлены встречно, как это, например, имеет место в схеме рис 2.4, где направление обоих контурных токов выбрано по ходу часовой стрелки.
Применительно к схеме рис.4.2 собственное сопротивление контура 1 равно ; сопротивление R3, принадлежащее одновременно двум контурам, является общим сопротивлением контуров 1 и 2 и ему при принятом в схеме рис. 4.2 положительном направлении контурных токов приписывается знак минус.
Если заданная электрическая схема содержит n независимых контуров, то на основании второго закона Кирхгофа получается система из n уравнений.
(2.6)
Здесь
- контурная ЭДС в контуре i, т.е. алгебраическая сумма ЭДС, действующих в данном контуре; ЭДС, совпадающие по направлению с направлением обхода, берутся со знаком плюс, а направленные встречно -- со знаком минус:
- собственное сопротивление контура i;
- общее сопротивление контуров i и k.
В соответствии со сказанным ранее собственное сопротивление контура берется со знаком плюс, когда направление обхода контура совпадает с выбранным положительным направлением тока.
Общее сопротивление берется со знаком минус, когда направление обхода одного контура не совпадает с выбранным положительным направлением второго.
Подобные документы
Основные элементы и характеристики электрических цепей постоянного тока. Методы расчета электрических цепей. Схемы замещения источников энергии. Расчет сложных электрических цепей на основании законов Кирхгофа. Определение мощности источника тока.
презентация [485,2 K], добавлен 17.04.2019Анализ электрического состояния линейных и нелинейных электрических цепей постоянного тока. Расчет однофазных и трехфазных линейных электрических цепей переменного тока. Переходные процессы в электрических цепях, содержащих конденсатор и сопротивление.
курсовая работа [4,4 M], добавлен 14.05.2010Исследование основных особенностей электромагнитных процессов в цепях переменного тока. Характеристика электрических однофазных цепей синусоидального тока. Расчет сложной электрической цепи постоянного тока. Составление полной системы уравнений Кирхгофа.
реферат [122,8 K], добавлен 27.07.2013Основные законы электрических цепей. Освоение методов анализа электрических цепей постоянного тока. Исследование распределения токов и напряжений в разветвленных электрических цепях постоянного тока. Расчет цепи методом эквивалентных преобразований.
лабораторная работа [212,5 K], добавлен 05.12.2014Линейные цепи постоянного тока, вычисление в них тока и падения напряжения, сопротивления. Понятие и закономерности распространения тока в цепях переменного тока. Расчет цепей символическим методом, реактивные элементы электрической цепи и их анализ.
методичка [403,7 K], добавлен 24.10.2012Основные законы и методы анализа линейных цепей постоянного тока. Линейные электрические цепи синусоидального тока. Установившийся режим линейной электрической цепи, питаемой от источников синусоидальных ЭДС и токов. Трехфазная система с нагрузкой.
курсовая работа [777,7 K], добавлен 15.04.2010Элементы R, L, C в цепи синусоидального тока и фазовые соотношения между их напряжением и током. Методы расчета электрических цепей. Составление уравнений по законам Кирхгофа. Метод расчёта электрических цепей с использованием принципа суперпозиции.
курсовая работа [604,3 K], добавлен 11.10.2013Понятие о многофазных источниках питания и о многофазных цепях. Соединения звездой и многоугольником. Расчет симметричных и несимметричных режимов трехфазных цепей. Линейные цепи периодического несинусоидального тока: описание, расчет режима, мощности.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 28.11.2010Экспериментальное исследование электрических цепей постоянного тока методом компьютерного моделирования. Проверка опытным путем метода расчета сложных цепей постоянного тока с помощью первого и второго законов Кирхгофа. Составление баланса мощностей.
лабораторная работа [44,5 K], добавлен 23.11.2014Основные элементы трехфазных электрических цепей. Трехфазный источник электрической энергии. Анализ электрических цепей при соединении трехфазного источника и приемника по схемам "звезда" с нулевым проводом и "треугольник". Расчет и измерение мощности.
презентация [742,4 K], добавлен 25.07.2013
