Теория электрических и магнитных цепей

Если нейтральный провод отсутствует, то Y_O=0, а:

4.7. Симметричные составляющие трехфазной системы

Выше было показано, что под симметричной системой э.д.с. и токов понимают такую систему из неравных по модулю величин, у которых все последующие величины отстают от предыдущих на угол 2/m.

Введем множитель q, то есть угол между соседними величинами 2q/m, и если q - целое число, то, давая q значения от 0 до m-1, мы получим все возможные типы многофазных систем. Больше всего нас интересуют значения q: 0, 1, -1.

При q=1 - это известная нам симметричная система, когда каждый последующий в принятой нумерации вектор за предыдущим. Если q=-1, то векторы следуют друг за другом в порядке, обратном принятой нумерации. Системы при q=1 называют прямыми системами или системами с прямым порядком следования фаз, а при q=-1 называют обратными системами или системами с обратным порядком следования фаз.

При q=0 векторы совпадают друг с другом, такие системы называют системами нулевой последовательности или нулевыми системами.

Рассмотрим эти системы для трехфазного источника. При q=1 между фазами A, B, C угол 2/3, между фазами B и C - 2/3 (рис.3.8а) и между фазами и А - -2/3. При q=-1 (рис.3.8б) между фазами А и В угол -2/3, между В и С - -2/3, между С и А угол 2/3. При q=0 (рис.4.9в) фазный сдвиг равен нулю, поэтому векторы совпадают по направлению.

а) б) в)

Рисунок 4.9

Рассмотрим случай, когда в цепи нет вращающихся машин, и покажем, что любую несимметричную трехфазную систему можно разложить на три указанные составляющие, то есть :

А=А₀+А₁+А₂,

В=В₀+В₁+В₂,

С=С₀+С₁+С₂,

где А₀, В₀, С₀ - составляющие нулевой последовательности;

А₁, В₁, С₁ - составляющие прямой последовательности;

А₂, В₂, С₂ - составляющие обратной последовательности.

Для определения этих составляющих необходимы еще шесть уравнений. Напомним, что буквой а обозначен вектор, равный e^j2/3. Присоединим к трем уравнениям еще шесть:

В₀=А₀, В₁=а²А₁, В₂=аА₁,

С₀=А₀, С₁=аА₁, С₂=а²А₁,

а²=e^j4/3, a³=e^j2=1, a⁴=a, 1+a+a²=0.

В=В₀+В₁+В₂,

С=С₀+С₁+С₂.

Вычислим сумму и учтем, что А₀=В₀=С₀: 3А₀=А+В+С.

Умножим второе уравнение на а, третье - на а² и , суммируя последние уравнения, найдем:

А+аВ+а²С=А₀+а²А₀+аА₀+А₁+а³А₁+а³А₁+А₂+А₂а²+А₂а=

=А₀(1+а+а²)+3А₁+А₂(1+а+а²), или: 3А₁=А+аВ+а²С.

Умножим второе уравнение на а², а третье - на а и, просуммировав систему, получим:

А+а²В+аС=А₀+а²А₀+аА₀+а⁴А₁+а²А₁+А₁+А₂+а³А₂+а³А₂=

=А₀(1+а+а²)+А₁(1+а+а²)+3А₂, или: 3А₂=А+а²В+аС.

Таким образом получим:

А₀=1/3(А+В+С),

А₁=1/3(А+аВ+а²С),

А₂=1/3(А+а²В+аС).

Если система не имеет нулевого провода, то сумма линейных напряжений равна нулю, откуда А₀=0, то есть при соединении источников в треугольник получаем, что внутри треугольника нет напряжения нулевой последовательности.

При соединении звездой сумма токов всегда равна нулю. Следовательно, в этом случае нет токов нулевой последовательности.

Рассмотрим участок трехфазной четырехпроводной цепи, где полные сопротивления всех фаз одинаковы и взаимные индуктивности любой из двух фаз между собой одинаковы, равны между собой и взаимные индуктивности между любой из фаз и нейтральным проводом и включенными в него элементами цепи, то есть участок трехфазной цепи полностью симметричен.

Однако токи, протекающие по этой цепи, образуют несимметричную систему, которую можно разложить на симметричные составляющие I₀, I₁, I₂. Пусть в цепи существуют только I₁ и I₂. Как для прямой, так и для обратной последовательности цепь симметрична и ток в нейтральном проводе равен нулю. При это комплексы эквивалентного сопротивления цепи будут одинаковы, то есть Z₁=Z₂. Токи нулевой последовательности замыкаются через нулевой провод, поэтому Z₀=Z₁=Z₂. Но все составляющие Z₀ образуют симметричную систему, поэтому падение напряжения на участке цепи также образует систему, которую можно разложить на симметричные составляющие U₀=I₀Z₀, U₁=I₁Z₁, U₂=I₂Z₂. Указанные равенства выражают независимость составляющих в симметричной трехфазной системе. Следует отметить, что если нагрузкой служит электрическая машина, то в связи с наличием вращающейся магнитной системы Z₁Z₂ даже при симметрии электрической и магнитной систем электрической машины.

В качестве примера рассмотрим применение метода симметричных составляющих для расчета однофазного к.з. в симметричной трехфазной системе.

Пусть нагрузка питается от трехфазного генератора через линию с сопротивлением в каждой фазе (рис.3.9). Генератор несимметричный, поэтому Е₀=0, Е₁=Е₁, Е₂=0. Цепь до места короткого замыкания симметрична, а U_a, U_b, U_c, I_a, I_b, I_c несимметричны и, разлагая их на симметричные составляющие I₀, I₁, I₂ , независимо от вида короткого замыкания получим:

0=I₀Z₀+U₀,

E₁=I₁Z₁+U₁,

0=I₂Z₂+U₂.

Рисунок 4.10.

При составлении этих уравнений использован принцип независимости симметричных составляющих, однако, например, короткое замыкание одной из фаз нарушает симметрию цепи. Предположив, что линия замкнута на еще один генератор, у которого E_a=-U_a, E_b=-U_b, E_c=-U_c. При таком анализе цепь остается симметричной и принцип независимости симметричных составляющих можно применять.

Мы имеем три уравнения, в которых 6 неизвестных. Остальные уравнения для определения неизвестных могут быть получены при следующих рассуждениях: при однофазном к.з. U_a=0, I_b=0 и I_c=0 по сравнению с током к.з. на фазе а. Поэтому U_a=0=U₀+U₁+U₂. Суммируя три первых уравнения, получим:

E₁=I₀Z₀+I₁Z₁+I₂Z₂.

Откуда, так как I_b=0, I_c=0, то из формул для разложения I_a,b,c на симметричные составляющие, получим: I₀=I₁=I₂=1/3I_a. Следовательно:

E=1/3I_a(Z₀+Z₁+Z₂), или:

Cимметричные составляющие напряжений U_a, U_b, U_c:

После чего по формулам перехода от симметричных составляющих к системе U_a, U_b, U_c определяются последние величины.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Л.Р. Нейман, К.С. Демирчан. «Энергия», Ленинградское отделение, 1967г.

Теоретические основы электротехники. А.А.Бессонов. Издательство «Высшая школа», Москва, 1967 г.

К.М. Поливанов. Теоретические основы электротехники. Издательство «Энергия», Москва-Ленинград, 1965 г.

Г.И. Атабеков. Теоретические основы электротехники. Издательство «Энергия», Москва, 1970 г.

Сборник задач по теоретическим основам электротехники. Под редакцией А.А. Бессонова. Москва, «Высшая школа», 1988 г.

Размещено на Allbest.ru