Теория электрических и магнитных цепей
Основные элементы электрической цепи, источник ЭДС и источник тока. Линейные цепи постоянного тока, применение законов Кирхгофа. Основные соотношения в синусоидальных цепях: сопротивление, емкость, индуктивность. Понятие о многофазных электрических цепях.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | курс лекций |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 24.10.2012 |
| Размер файла | 1,2 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Решение уравнений (2.7.) относительно искомых контурных токов может быть найдено с помощью определителей или любым другим способом.
Так, например, если обозначить через главный определитель системы уравнений (2.6.) -
(2.8)
то любой контурный ток (например - второго независимого контура) может быть найден как
(2.9)
где
представляет собой тот же определитель системы, в котором столбец сопротивлений заменен столбцом соответствующих напряжений .
Использованные выше уравнения, выражающие второй закон Кирхгофа, записаны в предположении, что источниками электрической энергии служат источники напряжения.
При наличии в электрической схеме источников тока последние могут быть заменены эквивалентными источниками напряжения.
Однако если источники тока не имеют проводимостей, то более целесообразно в этом случае выбрать заданные токи в качестве контурных, тогда число неизвестных контурных токов и, соответственно, число уравнении сократится на число заданных токов.
Если ветвь с источником тока является общей ветвью двух смежных контуров, то в уравнении она учитывается в левой части соотвещего уравнения в виде неизвестного падения напряжения уравнения на данной ветви. Дополнительное уравнение к системе (2.6) учитывает зависимость тока источника в рассматриваемой ветви от контурных токов
смежных ветвей.
2.4.3 Метод наложения
Из общего подхода к расчету токов в разветвленной электрической цепи, основанного на составлении системы уравнений для отыскания токов или потенциалов узлов схемы, следует вывод о том, что ток в любом контуре линейной электрической цепи может быть получен как алгебраическая сумма токов, вызываемые в этом контуре каждой ЭДС в отдельности.
Метод расчета токов, основанный на определении токов в одном и том же контуре (или ветви) при поочередном воздействии ЭДС и последующем алгебраическом сложении этих токов, именуется методом наложения.
Ввиду того, что напряжения на участках цепи пропорциональны токам, метод наложения применим и к напряжениям.
При определении частичных слагающих токов по методу наложения необходимо считать включенными внутренние сопротивления тех источников напряжения, которые принимаются отсутствующими при вычислении слагающих токов.
Если в цепи заданы источники ЭДС, т. е. внутренние сопротивления источников равны нулю, то при определении токов, вызываемых какой-либо ЭДС, зажимы остальных источников ЭДС "закорачиваются" или, иначе говоря, источники ЭДС заменяются сопротивлениями, равными нулю.
В свою очередь, в линейной электрической цепи, содержащей источники тока, узловые напряжения (и, соответственно, напряжения на ветвях) представляют линейные функции от задающих токов источников.
При определении частичных слагающих узловых напряжений по методу наложения необходимо считать включенными внутренние проводимости тех источников тока, которые принимаются отсутствующими при вычислении слагающих напряжений.
Если источники тока заданы без внутренних проводимостей, т. е. проводимости их равны нулю, то при пользовании методом наложения ветви с соответствующим источников тока разрываются, иначе говоря, источники тока заменяются сопротивлениями, равными бесконечности.
Если в линейной электрической цепи заданными являются одновременно источники напряжения и источники токов, то метод наложения применим и в этом случае.
Например, ток в каком-либо контуре данной цепи может быть получен в результате алгебраического сложения токов, вызываемых в этом контуре поочередным действием источников напряжения и тока.
При этом отсутствующие источники напряжения заменяются внутренними сопротивлениями, а отсутствующие источники тока заменяются внутренними проводимостями источников.
2.4.4 Теорема взаимности
Упрощение расчета электрических цепей достигается в ряде случаев использованием свойства линейных электрических цепей, известного под названием принципа или теоремы взаимности (обратимости).
Теорема взаимности может быть сформулирована в двух вариантах - применительно к источникам ЭДС и источникам тока.
Не вдаваясь в детали математического вывода, изложим эту теорему применительно к источникам ЭДС - если некоторая ЭДС, находящаяся в каком-либо контуре электрической цепи, вызывает ток в другом контуре данной цепи, то та же ЭДС, будучи перенесенной во второй контур, вызовет в первом контурный ток той же величины.
При соответствующем выборе контурных токов ток в ветви равен контурному току. Поэтому данная теорема справедлива также для токов в ветвях:
если источник тока, заданный в каком-либо узле электрической цепи, обусловливает некоторое напряжение между какими-либо двумя узлами цепи, то тот же источник тока, будучи включенным между указанными двумя узлами, обусловит в первом узловое напряжение той же величины.
2.4.5 Теорема компенсации
Справедливость положения, именуемого теоремой компенсации, вытекает из того, что любая из составных частей падения напряжения, входящая в уравнение второго закона Кирхгофа, может быть перенесена в другую сторону уравнения с обратным знаком, т.е. может рассматриваться в качестве дополнительной ЭДС, направленной навстречу току.
Следовательно, токи в электрической цепи не изменятся, если сопротивление в любом контуре этой цепи заменить ЭДС, равной по величине падению напряжения в данном сопротивлении и имеющей направление, обратное току, протекающему через данное сопротивление.
а)
б)
Рис. 2.5 Иллюстрация теоремы компенсации
Иллюстрацией вышесказанного служит рис. 2.5: уравнение, записанное для схемы рис 2.5а) по второму закону Кирхгофа
;
может быть представлено в виде
. (2.10.)
Такой записи уравнения соответствует схема рис 2.5б), в которой вместо сопротивления Z2 включена ЭДС равная Z2I, направленная противоположно току I. Данная теорема справедлива и для разветвленных электрических цепей.
2.4.6 Теорема об эквивалентном источнике
С помощью теоремы об эквивалентном источнике сложная электрическая схема с произвольным числом источников электрической энергии приводится к схеме с одним источником, благодаря чему расчет электрической цепи упрощается.
Существует два варианта теоремы об эквивалентном источнике: вариант с источником напряжения и вариант с источником тока.
2.4.7 Теорема об эквивалентном источнике напряжения
ток в любой ветви m-n линейной электрической цепи не изменится, если электрическую цепь, к которой приключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником напряжения. ЭДС этого источника должна быть равна напряжению на зажимах разомкнутой ветви m-n, а внутреннее сопротивление источника должно равняться сопротивлению пассивной электрической цепи между зажимами m и n при разомкнутой ветви.
Данная теорема доказывается следующим образом: в ветвь m-n вводятся две равные по величине и противоположно направленные ЭДС Umn, при условии, что Umn равно напряжению между зажимами m-n при разомкнутой ветви.
2.4.8 Теорема об эквивалентном источнике тока
ток в любой ветви m-n линейной электрической цепи не изменится, если электрическую цепь, к которой приключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником тока. Ток этого источника должна быть равен току, протекающему между зажимами замкнутой ветви m-n, а внутренняя проводимость источника должна равняться проводимости пассивной электрической цепи между зажимами m и n при разомкнутой ветви.
2.4.9 Замена параллельных ветвей, содержащих различные элементы, одной
Рассмотрим участок сложной цепи, содержащий параллельно включенные ветви (см. рис.2.6a).
а) б)
Рисунок 2.6.
Необходимо заменить на ветвь, содержащую Rэ и Eэ, полностью эквивалентную схеме на рисунке 2.6а. В соответствии с первым законом Кирхгофа:
I=I1+I2+I3+I4+I5, а
I1=(E-Uab)/R1=(E1-Uab)g1,
I2=(E2-Uab)g2,
....
In=(En-Uab)gn.
Следовательно,
(2.11.)
Для рисунка 2.6-б:
(2.12)
Так как равенство токов, вычисленных по (2.11) и по (2.12), должно выполняться при любых значениях Uab, то :
, следовательно,
(2.13.)???????????????????
Если в ветви нет э.д.с., то Ek=0. Если э.д.с. имеет направление, обратное изображенному на рисунке, то Ek берется со знаком минус.
2.4.10 Метод узловых потенциалов
В соответствии с законом Ома, если известны потенциалы узлов, то можно вычислить ток, протекающий по ветвям, соединяющим эти узлы. Таким образом, неизвестными могут быть потенциалы узлов, метод расчета электрических цепей, где неизвестными являются узловые потенциалы, называется методом узловых потенциалов.
Число неизвестных потенциалов узлов равно числу узлов минус 1, так как потенциал любого узла можно принять равным нулю. Рассмотрим участок схемы.(рис.2.7.)
Рисунок 2.7
Исходя из изложенного в предыдущем разделе, сумма токов ветвей между узлами 1, 2 равна:
Сумма токов ветвей между узлами 3 и 1:
Сумма токов ветвей между узлами 4 и 1:
Т.к. U12=1-2, U13=1-3, U14=1-4, то, подставляя U12 в полученные выражения, имеем:
Просуммируем полученные уравнения, т.к. согласно первого закона Кирхгофа сумма токов в узле равна нулю, то:
Обозначим:
- собственная проводимость узла;
взаимная проводимость между узлами 1 и 2;
- взаимная проводимость между узлами 1 и 3;
- взаимная проводимость между узлами 1 и 4;
- узловой ток узла 1.
В выражении для узлового тока э.д.с. берется со знаком “+”, если она направлена к узлу, и со знаком “-”, если направлена от узла.
Таким образом, уравнение узловых потенциалов для узла 1 принимает вид:
?G11+2G12+3G13+4G14=I11.
Очевидно, если в схеме n узлов, то можно по указанному выше правилу составить n-1 уравнений:
?G11+2G12+3G13+...+n-1G1(n-1)=I11;
?G21+2G22+3G23+...+n-1G2(n-1)=I22;
?G31+2G32+3G33+...+n-1G3(n-1)=I33;
....
?G(n-1)1+2G(n-1)2+3G(n-1)3+...+n-1G(n-1)(n-1)=I(n-1)(n-1).
В этих уравнениях :
G12,G13... G1(n-1) - взаимная проводимость между 1 узлом и остальными (n-1) узлами;
G21 ,G23... G2(n-1) - взаимная проводимость между 2 узлом и остальными (n-1) узлами;
G31,G32... G3(n-1) - взаимная проводимость между 3 узлом и остальными (n-1) узлами;
G11,G22... G(n-1)(n-1) - собственная проводимость узлов 1, 2,..., (n-1) ;
I11, I22, I33,....,I(n-1)(n-1) - узловой ток, вычисленный по изложенному выше правилу.
Очевидно, если между узлами имеется источник тока, то его величина прибавляется к узловому току, если он направлен к узлу и вычитается, если он направлен от узла.
2.5 Преобразование электрических схем постоянного тока
2.5.1 Преобразование реального источника э.д.с. в реальный источник тока
Для схемы на рисунке 2.8. выполним преобразование схемы, содержащей источник э.д.с., в схему, содержащую источник тока.
Ток в нагрузке Ru :
а) б)
Рисунок 2.8.
Для схемы на рисунке 2.8. ток в нагрузке определим путем замены параллельно соединенного сопротивления эквивалентным. Тогда:
, а ток в нагрузке:
т.е. схемы на рисунке 2.8.а и 2.8.б эквивалентны. Следовательно, э.д.с. с последовательно соединенным сопротивлением можно заменить на источник тока, величина которого равна э.д.с., деленная на величину последовательно включенного сопротивления, и параллельно источнику необходимо включить это же сопротивление.
2.5.2. Преобразование звезды в треугольник и обратно
Соединение трех сопротивлений только одной клеммой между собой, как показано на рисунке 2.9-а, называется соединение звездой, а соединение в замкнутую схему, как показано на рисунке 2.9-б - соединением в треугольник.
Рисунок 2.9.
В точках 1,2,3 потенциалы 1, 2, 3 которые в обеих схемах соответственно равны, точками 1,2,3 звезда и треугольник соединяются с остальной частью схемы, не показанной на рисунке.
Очень часто на практике необходимо преобразовать показанную часть схемы из одного вида в другой. Рассмотрим, как это делается.
Для звезды для узла 0: I1+I2+I3=0, но
I1=(?-0?)g1; I2=(2-0?)g2; I3=(3-0?)g3.
Подставив в уравнение для токов узла 0, получим:
?g1+2g2+3g3=0?(g1+g2+g3), или:
Отсюда вычислим токи I1,I2,I3:
Для треугольника в соответствии с обозначением на рисунке 2.9-б:
I1= I12-I31=(?-2)g12-(3-?)g31=?(g12+g31)-2g12-3g31.
Чтобы ток I1 звезды равнялся току треугольника I1 при любых значениях?? 2 3 , необходимо и достаточно, чтобы в выражениях для токов коэффициенты при ? 2 3 были равны. Следовательно:
Вычислив токи I1 для треугольника и звезды и приравняв коэффициенты при ? 2 3, получим:
Для обратного преобразования
2.6. Активный и пассивный двухполюсник
В любой электрической схеме всегда можно выделить любую ветвь, тогда остальная часть схемы будет оканчиваться двумя клеммами. Ее будем изображать прямоугольником с двумя клеммами и называть двухполюсником. Если внутри прямоугольника содержаться источники э.д.с. или тока, то такой двухполюсник будем называть активным и обозначать буквой “A” внутри прямоугольника, в противном случае двухполюсник называется пассивным и отмечается буквой “П” внутри прямоугольника.
2.6.1 Метод эквивалентного генератора
Метод позволяет рассчитать ток любой ветви не рассчитывая всю цепь. Так как любая ветвь может быть выделена, то расчетная схема цепи принимает вид, показанный на рисунке 2.10-а.
Рисунок 2.10.
Т.е. остальная часть цепи изображена в виде активного двухполюсника и требуется найти ток в ветви 1-2.
Включим два источника E1 и E2 в ветвь 1-2 навстречу друг другу. E1 и E2 равные по величине (рисунок 2.10-б). Согласно принципа наложения можно вычислить ток IE=IE1+IE2, как ток, вызванный э.д.с. E1 и E2 приняв, что э.д.с. остальных источников равны нулю. IE1 - ток, вызванный э.д.с. E1, ток IE2 вызван э.д.с. E2. Э.д.с. E1 направлена встречно U12, следовательно, согласно закону Ома:
Выберем E1 так, чтобы ток IE1=0, тогда IE=ЕE2 и схема может быть представлена, как показано на рисунке 2.10-г, двухполюсник становится пассивным, так как компенсировано действие внутренних э.д.с. Относительно зажимов 1,2 этот двухполюсник имеет эквивалентное сопротивление Rэ=Rвн, тогда:
В формуле U12xx- это напряжение Е1, при котором ток IE1=0 (Е2=Е1), или иначе - это напряжение холостого хода ( нагрузочная ветвь отключена), таким образом, двухполюсник на рисунке 2.10-а можно заменить ветвью , содержащей э.д.с., равную U12xx , и сопротивлением Rвн, или эквивалентным генератором , э.д.с. которого U12xx , а внутренне сопротивление Rвн,(см. рис.2.11).
Если закоротить R, то :
Ik=U12xx/Rвн, или Rвн=U12xx/Ik.
Рисунок 2.11.
Таким образом, можно сформулировать порядок определения тока ветви методом эквивалентного генератора.
1. Разорвать выделенную ветвь и вычислить на ее зажимах напряжение холостого хода.
2. Закоротить выделенную ветвь и определить ток короткого замыкания Ik.
3. Вычислить Rвн=Uxx/Ik.
4. Вычислить I=Uxx/(R+Rвн).
2.6.2 Передача энергии от активного двухполюсника нагрузке
Рассмотри энергетические соотношения при передаче энергии т активного двухполюсника нагрузке. Очевидно, ток в нагрузке I=Uxx/(Rвн+R) , а мощность, выделяемая в нагрузке:
Определим условия, когда в нагрузке выделяется максимально возможная мощность, если R величина переменная. Максимум мощности соответствует значению k, при котором dP/dR=0, или:
Отсюда R=Rвн. Так как d2P/dR2<0 при R>Rвн и d2P/dR2>0 при R<Rвн, то в точке R=Rвн - максимум. Подставив значение R=Rвн в выражение для мощности, получим:
Мощность, выделяемая э.д.с. эквивалентного генератора:
а коэффициент полезного действия:
Очевидно, при R=Rвн =0,5. Величина =0,5 недопустимая при передаче энергии. Но при передаче сигналов с помощью электрического тока (датчики автоматических устройств, речевые сообщения и т.п.), где основная задача - получить максимальную мощность полезного сигнала - с таким к.п.д. можно мириться.
В технике управления, радиотехнике выбор оптимального соотношения R и Rвн называется согласованием нагрузки.
При передаче энергии от источника э.д.с. по двухпроводной линии мощность, выделяемую в нагрузке R, можно определить, воспользовавшись предыдущими доказательствами. Если сопротивление линии считать внутренним сопротивлением эквивалентного генератора, а э.д.с. источника энергии Uxx эквивалентного генератора, то:
Рисунок 2.12.
Максимальное значение мощности соответствует значению тока в нагрузке: I=Uxx/2Rвн, максимальное значение тока - току короткого замыкания эквивалентного генератора: Imax=Uxx/Rвн, P2=UxxI-I2R, P1=UxxI. Коэффициент полезного действия : =Р2/P1=1-RI/Uxx.
Зависимости P1,P2, от тока I показаны на рисунке 2.12.
РАЗДЕЛ 3. ТЕОРИЯ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
3.1 Основные соотношения в цепях синусоидального тока
3.1.1 Представление синусоидальных функции в виде проекций вращающихся векторов
Преобладающим видом периодического процесса в электрических цепях является синусоидальный, характеризующийся тем, что все напряжения и токи в цепи изменяются синусоидально.
Сложение, вычитание, дифференцирование и интегрирование синусоидальных функций не нарушают синусоидального закона изменений величин, что является важным преимуществом их по сравнению со всеми другими периодическими функциями.
Синусоидальная функция представляет простейший вид периодической функции. Всякая несинусоидальная периодическая функция может быть разложена на синусоидальные и постоянную слагающие.
Синусоидальная функция
(3.1)
характеризуется амплитудой, частотой и начальной фазой.
Аргументом функции (3.1) является угол (или, соответственно, время t).
Угловая частота, входящая в (3.1), связана с периодом и частотой соотношением или .
Величина имеет размерность (сек) -1 и вычисляется в радианах в секунду (рад/сек).
Начальная фаза зависит от выбора начала координат, который выполняется произвольно. Она вычисляется в тех же единицах, что и аргумент (в радианах), и определяется величиной смещения синусоиды относительно начала координат, т. е. измеряется абсциссой, соответствующей точке перехода отрицательной полуволны в положительную.
Косинусоида может рассматриваться как синусоида с начальной фазой .
Таким образом, к синусоидальным функциям в общем случае причисляются и косинусоидальные функции.
Начальная фаза представляет алгебраическую величину.
Угол положителен, когда синусоидальная функция смещена влево относительно начала координат; будучи, соответственно, отсчитанным влево, он имеет в этом случае положительный знак:
Um1
Рис. 3.1
Если синусоидальная функция смещена вправо относительно начала координат, то угол , отсчитываемый, соответственно, вправо, имеет отрицательный знак:
Рис. 3.2
Um2
Заданная функция обращается в нуль при значениях аргумента
, где k=0,1,2… .
В момент времени аргумент и значение функции составляет . Это значение функции равно проекции на вертикальную ось вектора, модуль которого равен амплитуде заданной синусоидальной функции.
В зависимости от знака начальной фазы этот вектор в момент времени повернут относительно горизонтальной оси на угол в положительном направлении - против хода часовой стрелки (рис 3.3,) или на угол в отрицательном направлении - по ходу часовой стрелки.
Рис. 3.3
Если вращать в положительном направлении вектор с угловой скоростью , то с момента времени до момента он совершит поворот на угол и в момент окажется повернутым относительно оси отсчета углов на угол . Здесь, так же как и выше, - величина алгебраическая.
Проекция указанного вектора на вертикальную ось при равна .
Сопоставляя рис. 3.1, 3.2 и 3.3, приходим к выводу, что
в каждый данный момент времени аргументу соответствует значение синусоидальной функции, равное проекции вращающегося вектора на вертикальную ось.
Поэтому рассмотрение синусоидальных функций может быть заменено рассмотрением вращающихся векторов.
Если синусоидальные функции имеют одну и ту же частоту, то векторы, соответствующие этим функциям, вращаются с одинаковой угловой частотой, и поэтому углы между ними сохраняются неизменными.
Если полагать, что на рис. 3.1, 3.2 показаны две синусоидальные функции: и , имеющие одинаковою угловую частоту , то рис.3.3 определяет положение двух векторов, соответствующим двум временным кривым. Кривая , смещенная влево относительно , возрастает от нуля до своего положительного максимума раньше, чем кривая .
Поэтому говорят, что опережает по фазе или, что то же отстает по фазе от .
Разность начальных фаз называется фазовым сдвигом или углом сдвига относительно . Этот угол и образуют между собой векторы на векторной диаграмме рис. 3.3.
При равенстве начальных фаз, т. е. при фазовом сдвиге, равном нулю, говорят, что кривые совпадают по фазе.
Векторы, соответствующие этим кривым, в данном случае направлены в одну и ту же сторону. При фазовом сдвиге в 180° говорят, что кривые противоположны по фазе или, что то же, находятся в противофазе. Соответствующие им векторы направлены в диаметрально противоположные стороны.
Векторное представление синусоидальных функций, частота которых одинакова, облегчает операции сложения и вычитания этих функций.
Пусть требуется сложить функции и , представленные векторами на рис.3.4. Суммарная кривая , ординаты которой в каждый данный момент времени определяются алгебраической суммой соответствующих ординат кривых и , представляет собой синусоидальную функцию, имеющую амплитуду и начальную фазу .
Рис. 3.4 Сложение векторов
Векторное представление синусоидальных функций, частота которых одинакова, облегчает операции сложения и вычитания этих функций.
Ввиду того что сумма проекций двух векторов равна проекции геометрической суммы этих векторов, амплитуда и начальная фаза результирующей кривой могут быть найдены из векторной диаграммы рис. 3.4; искомой кривой соответствует вектор, представленный диагональю параллелограмма, стороны которого равны и .
Согласно рис. 3.4
(3.2)
Формула (3.2) может быть получена аналитически, исходя из уравнения или из выражения
Отсюда следует, что
(3.3)
(3.4)
Уравнения (3.3) и (3.4) содержат две неизвестные величины (Um и Ш), которые могут быть найдены совместным решением этих уравнений, которое приводит к выражению (3.2) для амплитуды суммарного напряжения и к выражению для фазового угла
(3.5)
Угол Ш может быть также получен непосредственно из векторной диаграммы рис. 2.4.
Вычитание функций равносильно сложению , поэтому в случае вычитания следует заменить в формулах (3.2) и (3.5) начальную фазу на или, что равноценно, на .
Определение угла с помощью выражения (3.5) сводится к нахождению арктангенса, т. е. многозначной функции. При этом она зависит не только от величины всей дроби (3.5), но и от знаков числителя и знаменателя в отдельности.
Если числитель и знаменатель положительны, то угол располагается в первой четверти: .
Если числитель положителен, а знаменатель отрицателен, то угол заходит во вторую четверть: .
Если числитель и знаменатель отрицательны, то угол заходит в третью четверть:
Наконец, если числитель отрицателен, а знаменатель положителен, то угол заходит в четвертую четверть: .
Вместо положительного угла , превосходящего , может быть взят отрицательный угол .
При пользовании векторной диаграммой с целью установления фазовых сдвигов или амплитудных значений синусоидальных величин, имеющих одинаковую частоту, векторная диаграмма может считаться неподвижной (при равенстве частот углы между векторами не зависят от времени).
Построение векторных диаграмм обычно не связано с определением мгновенных значений синусоидальных функций; в таких случаях векторные диаграммы строятся не для амплитуд, а для действующих значений, т. е. модули векторов уменьшаются по сравнению с амплитудами в раз.
При этом векторная диаграмма мыслится неподвижной (не вращается).
3.1.2 Действующее значение периодических токов, напряжений и э.д.с.
Во многих случаях на практике необходимо оценить периодическую функцию тока (э.д.с., напряжения) одной величиной (числом), т.к. иметь дело с графиками функции неудобно.
Такими величинами можно принять:
- среднее значение функции i(t) за период T;
- средне-квадратичное значение функции i(t) за период T.
Средние значения за период будем обозначать Iср,Uср,Eср, согласно определению средней величины:
Для синусоидальной функции Iср=0, Uср=0, Eср=0.
Среднеквадратичные величины будем обозначать большими буквами без индекса:
Рисунок 3.5.
Действующие значения имеют определенный физический смысл. Для связи действующих значений с физическим процессом определим мощность в цепи переменного тока, содержащей сопротивление r (смотри рис. 3.5).
Зависимость мощности, выделяемой на сопротивлении:
P(t)=u(t)*i(t)=i2(t)r.
Найдем среднее значение мощности, выделяемой за период.
Таким образом, действующее значение тока является мерой для определения потребляемой мощности (энергии). Из выражения для Pср видно, что величина Pср не зависит от формы тока. Аналогичные выводы можно сделать и для U и E.
3.2 Элементы электрической цепи переменного синусоидального тока
3.2.1 Сопротивление
На схемах будем изображать так же, как и сопротивление в цепи постоянного тока, а обозначать буквой r. Очевидно, если i(t)=Imsint, то ur(t)=rImsint. Переходя к действующим значениям, получим:
Векторная диаграмма U,I для сопротивления:
Рисунок 3.6.
3.2.2 Емкость
Если к обкладкам конденсатора приложить переменное напряжение, то возникает ток смещения. Зная емкость конденсатора С, можно записать Uc(t)=q(t)/C, где q(t) - изменение величины заряда.
Согласно определению тока:
или
Следовательно,
Если i(t)=Imsint:
Действующее значение:
Величина xc=1/C называется емкостным реактивным сопротивлением.
Рисунок 3.7.
Следовательно, вектор напряжения на емкости отстает от вектора тока через емкость на угол /2.
3.2.3 Индуктивность
Под индуктивностью понимаем отношение потокосцепления самоиндукции L к току через индуктивность. Э.д.с. самоиндукции:
где L - индуктивность, в Гн.
Чтобы уравновесить э.д.с. самоиндукции к индуктивности необходимо приложить напряжение UL.
Рисунок 3.8.
Следовательно, для цепи на рисунке 3.8. имеем:
Рисунок 3.9.
Переходя к действующим значениям, полу чим:
UL=xL*I,
где xL=L-индуктивное реактивное сопротивление.
Векторная диаграмма напряжения UL и тока i показана на рисунке 3.9.
3.2.4 Последовательное соединение r, L, C
Рассмотрим цепь, состоящую из r, L, C (рис. 3.10.).
Рисунок 3.9.
Если известен ток i, то векторная диаграмма напряжений соответствует рис. 3.11.
(для определенности принято, что UL > UC) ,
U=UL+UC+Ur.
Рисунок 3.11.
Сложив геометрически вектора UL, UC, Ur, получаем U.
Величину х=xL-xC далее будем азывать реактивным сопротивлением, а треугольник Ur, ULC, U- треугольником напряжений.
Величина - модуль полного сопротивления цепи.
Так как
то:
Рисунок 3.12.
Очевидно, если изобразить сопротивления векторами, то векторная диаграмма примет вид рис. 3.12.
Треугольник, образованный векторами r, xL-xC, Z, называют треугольником сопротивлений. Как следует из построений, треугольник сопротивлений и треугольник напряжений подобны.
Подводя итоги, можно отметить, что в цепи, содержащей r, L, C, ток отстает от напряжения U на угол , если xL>xC , и опережает напряжение U на угол , если xL<xC.
3.2.5 Параллельное соединение r, L, C
Проводимость - величина, обратная сопротивлению. На участке цепи, изображенном на рисунке 2.10, показаны три параллельные ветви, первая ветвь содержит только проводимость g, вторая ветвь - емкость С, третья - индуктивность L.
Рисунок 3.13.
Сумма токов равна i. Известно, что:
Тогда:
К цепи приложено синусоидальное напряжение U=Umsint. Решение будем искать в виде: i(t)=Imsin( t-), тогда:
Это решение справедливо для любого значения t.
При t=0:
(1)
При t=/2:
gUm=Imcos (2)
Возведем обе части уравнений (1) и (2) в квадрат и просуммируем, получим:
или:
Разделив обе части уравнений (1) и (2) друг на друга, получаем:
Величину С далее будем называть реактивной емкостной проводимостью, а величину -1/L - реактивной индуктивной проводимостью. В расчетах реактивную индуктивную проводимость учитывают со знаком “-”.
3.2.6 Мощность в цепи синусоидального тока
Если напряжение и ток в цепи синусоидальны, а именно
и , то мгновенная мощность
(3.26)
Выражение (3.26) показывает, что мгновенная мощность состоит из двух частей: постоянной величины и синусоидальной--,, имеющей удвоенную частоту по сравнению с частотой напряжения и тока. Следовательно, скорость поступления энергии в цепь синусоидального тока не постоянна.
Средняя мощность за период, называемая активной мощностью, равна постоянной слагающей выражения (377.26), так как среднее значение синусоидальной слагающей, совершающей за период Т два цикла, равно нулю, т.е.
(3.27)
Активная мощность измеряется в ваттах (вт). Множитель cos(ц) носит название коэффициента мощности. Как видно из (3.27), активная мощность равна произведению действующих значений напряжения и тока на коэффициент мощности.
Коэффициент мощности cos(ц) приемника электрической энергии зависит от угла полного сопротивления данного приемника; чем ближе угол ц к нулю, тем ближе cos(ц) к единице и, следовательно, тем большая при заданных значениях U и I активная мощность пере дается источником приемнику.
Повышение коэффициента мощности промышленных электрических установок представляет важную технике экономическую задачу.
Преобразования (3.27) позволяют получить другие выражение активной мощности:
(3.28)
Активная мощность может быть также выражена через активную составляющую тока
() или напряжения ():
(3.29)
или
. (3.30)
Ниже рассматриваются три характерных случая: цепь с активным сопротивлением; реактивная цепь; смешанная цепь.
3.2.7 Цепь с активным сопротивлением (ц=0)
При cos(ц) = 1 имеем
(3.31)
т. е. мгновенная мощность колеблется с удвоенной угловой частотой (2щ) около среднего значения. Мгновенная мощность все время положительна: энергия поступает от источника к приемнику и возврата энергии в источник не происходит. Вся энергия, поступающая в приемник, преобразуется в тепло.
3.2.8 Реактивная цепь (=0,5)
При cosц=0
(3.32)
верхний знак относится к случаю индуктивной цепи () ,
а нижний -- к случаю емкостной цепи ().
Через каждую четверть периода знак мгновенной мощности изменяется: приемник то запасает энергию (р>0), то расходуетт ее, возвращая источнику (р < 0).
В случае индуктивной цепи энергия магнитного поля достигает максимума в момент перехода тока в индуктивности через амплитудное значение; затем она убывает и обращается в нуль при токе, равном нулю.
Соответственно, в случае емкостной цепи энергия электрического поля достигает максимума при амплитудном значении напряжения на емкости; затем она убывает и обращается в нуль при напряжении равном нулю.
Таким образом, происходят колебания энергии между источником и приемником, причем электромагнитная энергия не преобразуется в другие виды энергии, например в тепловую, и активная мощность равна нулю (Р = 0).
В индуктивной цепи мгновенная мощность равна скорости изменения энергии магнитного поля, а в емкостной цепи мгновенная мощность равна скорости изменения анергии электрического поля.
3.2.9 Смешанная цепь
В виде примера рассмотрим случай активно-индуктивной цепи.
Нa основании (2.26)
причем
Таким образом, мгновенная мощность колеблется с удвоенной угловой частотой (2щ) около оси, отстоящей от оси абсцисс на
Хотя мгновенная мощность принимает отрицательные значения, когда и и i имеют разные знаки, однако в течение большей части периода она положительна и, соответственно, положительные площади кривой p(t) преобладают над отрицательными.
В результате средняя мощность за период, т.е. активная мощность Р>0.
В электрических системах, в которых источниками электрической энергии являются генераторы переменного тока, энергия получается от первичных двигателей, приводящих генераторы во вращение.
В радиотехнике, где синусоидальные колебания создаются с помощью электронных устройств, энергия получается от источников постоянного тока, питающих ламповые генераторы и другие устройства.
Амплитуда синусоидальной составляющей мгновенной мощности равна произведению действующих значений напряжения и тока
(3.33)
Эта величина носит название полной (кажущейся) мощности и измеряется в вольт-амперах (ва). Таким образом, коэффициент мощности равен отношению активной мощности к полной.
(3.34)
При расчетах электрических цепей пользуются также понятием реактивной мощности:
(3.35)
измеряемой в вольт-амперах реактивных (вар).
Очевидно, что (3.36)
Простые преобразования дают выражения реактивной мощности в виде:
(3.37)
Реактивная мощность может быть также выражена через реактивную составляющую тока () или напряжения ():
; (3.38)
В соответствии с принятым ранее правилом знаков для угла ц величина реактивной мощности положительна при отстающем токе (индуктивная нагрузка) и отрицательна при опережающем токе (емкостная нагрузка).
Реактивная мощность пассивной цепи равна алгебраической сумме реактивных мощностей для индуктивностей и емкостей, входящих в состав данной цепи,
(3.39)
В общем случае и превышают вдвое средние значения, относительно которых с частотой 2щ совершают синусоидальные колебания суммарные мгновенные значения энергии магнитных и, соответственно, электрических полей [80].
В сложной электрической цепи, состоящей из сопротивлений, индуктивностей и емкостей, токи в индуктивностях, так же как и напряжения на емкостях, могут не совпадать по фазе. Поэтому в такой цепи и превышают максимумы энергии, периодически запасаемые в магнитных и электрических полях.
На основании вышеприведенных зависимостей можно реактивные сопротивление и проводимость цепи выразить как функции и :
(3.40)
В случае равенства = реактивные сопротивление и проводимость, так же как и реактивная мощность на зажимах цепи, равны нулю, т.е. в цепи имеет место резонансное явление: происходит непрерывное перераспределение энергии электрических и магнитных полей, и вся энергия, поступающая от источника, расходуется в активном сопротивлении цепи, т.е. преобразуется в тепловую энергию.
3.2.10 Баланс мощностей
Из закона сохранения энергии следует, что для любой электрической цепи соблюдается закон баланса активных мощностей:
активная мощность, генерируемая источниками, равна активной суммарной мощности, потребляемой нагрузкой.
В свою очередь, можно показать, что и сумма отдаваемых реактивных мощностей равна сумме потребляемых реактивных мощностей.
Если воспользоваться комплексной формой записи токов, напряжений и мощностей, то можно доказать, что
сумма комплексных мощностей, потребляемых во всех ветвях электрической цепи равна нулю; следовательно, также равны нулю в отдельности алгебраические суммы действительных и мнимых частей комплексных мощностей.
Иначе говоря, равна нулю как алгебраическая сумма потребляемых во всех ветвях цепи активных мощностей, так и алгебраическая сумма потребляемых реактивных мощностей.
3.2.11 Треугольник мощностей
После ввода понятий о активной, реактивной и полной мощности имеем:
P=UIcos=UIa=UaI=I2r=U2g,
Q=UIsin=UIp=UpI=I2x=U2b, (3.41)
S=UI=IU=I2z=U2y.
Т.е. P, Q, S пропориональны величинам r, x, z, причем коэффициент пропорциональности равен I2, а также пропорциональны g, b, y, коэффициент пропорциональности в последнем случае равен U2. Отсюда следует, что если умножить стороны треугольника сопротивлений на I2, то в соответствующем масштабе получим треугольник мощностей. Очевидно, что треугольник мощностей мы также получим, когда умножим каждую сторону треугольника проводимостей на U2.
x>0 b>0
>0 <0
a) б)
Рисунок 3.14.
На рисунке 3.14 показано построение треугольника мощностей на базе треугольников сопротивлений и проводимостей. Очевидно также, что для источника э.д.с. справедливо:
P=EIcos=EIa=EaI=I2r=E2g,
Q=EIsin=EIp=EpI=I2x=E2b, (3.42)
S=EI=IE=I2z=E2y.
3.2.12 Эквивалентные параметры и их экспериментальное определение
На практике приходится встречаться с электрическими цепями значительно более сложными, чем рассмотренные выше. Физические процессы, происходящие в цепях, рассмотренных выше, несколько идеализированны, например, не учтены такие явления, как поверхностный эффект, вихревые токи.
Сами элементы цепи тоже являются не чистыми сопротивлениями, индуктивностями, емкостями. Например, реальная катушка индуктивности имеет и активное сопротивление - сопротивление провода, которым она намотана, между витками имеется некоторая емкость.
Конденсатор также содержит сопротивление, соединенные провода между обкладками и выводами.
Поэтому реальную цепь мы заменяем часто эквивалентными параметрами - полным, активным и реактивным сопротивлением или полной, активной и реактивной проводимостью.
Если известно, что напряжение и ток в цепи имеют синусоидальный характер, то под эквивалентным полным сопротивлением цепи мы будем понимать отношение U/I, под эквивалентным активным сопротивлением цепи - отношение средней потребляемой мощности к I2, под эквивалентным реактивным сопротивлением будем понимать величину, вычисленную по формуле:
x=z2-r2 .
Аналогично, полная эквивалентная проводимость - это отношение I/U, эквивалентная активная проводимость - y=P2/U2 и эквивалентная реактивная проводимость:
b=y2-g2 .
Вопрос определения знака x и b, если не известен характер цепи, рассмотрим ниже.
Для экспериментального определения z, r, x и y, g, b необходимо включить последовательно с цепью амперметр, параллельно цепи подключить вольтметр и измерить ваттметром мощность, потребляемую цепью. Вычислить z и r, x. Для определения знака х можно, например, включить последовательно с исследуемой цепью конденсатор, реактивное сопротивление которого 2х. Тогда, если цепь имела индуктивный характер, то ток станет равным I', в соответствии с круговой диаграммой на рис. 3.15а, т.е. по величине не изменится. Если цепь имела емкостной характер, то в соотвествии с круговой диаграммой ток значительно уменьшится. В первом случае необходимо принять х с плюсом, во втором - с минусом.
Подобные документы
Основные элементы и характеристики электрических цепей постоянного тока. Методы расчета электрических цепей. Схемы замещения источников энергии. Расчет сложных электрических цепей на основании законов Кирхгофа. Определение мощности источника тока.
презентация [485,2 K], добавлен 17.04.2019Анализ электрического состояния линейных и нелинейных электрических цепей постоянного тока. Расчет однофазных и трехфазных линейных электрических цепей переменного тока. Переходные процессы в электрических цепях, содержащих конденсатор и сопротивление.
курсовая работа [4,4 M], добавлен 14.05.2010Исследование основных особенностей электромагнитных процессов в цепях переменного тока. Характеристика электрических однофазных цепей синусоидального тока. Расчет сложной электрической цепи постоянного тока. Составление полной системы уравнений Кирхгофа.
реферат [122,8 K], добавлен 27.07.2013Основные законы электрических цепей. Освоение методов анализа электрических цепей постоянного тока. Исследование распределения токов и напряжений в разветвленных электрических цепях постоянного тока. Расчет цепи методом эквивалентных преобразований.
лабораторная работа [212,5 K], добавлен 05.12.2014Линейные цепи постоянного тока, вычисление в них тока и падения напряжения, сопротивления. Понятие и закономерности распространения тока в цепях переменного тока. Расчет цепей символическим методом, реактивные элементы электрической цепи и их анализ.
методичка [403,7 K], добавлен 24.10.2012Основные законы и методы анализа линейных цепей постоянного тока. Линейные электрические цепи синусоидального тока. Установившийся режим линейной электрической цепи, питаемой от источников синусоидальных ЭДС и токов. Трехфазная система с нагрузкой.
курсовая работа [777,7 K], добавлен 15.04.2010Элементы R, L, C в цепи синусоидального тока и фазовые соотношения между их напряжением и током. Методы расчета электрических цепей. Составление уравнений по законам Кирхгофа. Метод расчёта электрических цепей с использованием принципа суперпозиции.
курсовая работа [604,3 K], добавлен 11.10.2013Понятие о многофазных источниках питания и о многофазных цепях. Соединения звездой и многоугольником. Расчет симметричных и несимметричных режимов трехфазных цепей. Линейные цепи периодического несинусоидального тока: описание, расчет режима, мощности.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 28.11.2010Экспериментальное исследование электрических цепей постоянного тока методом компьютерного моделирования. Проверка опытным путем метода расчета сложных цепей постоянного тока с помощью первого и второго законов Кирхгофа. Составление баланса мощностей.
лабораторная работа [44,5 K], добавлен 23.11.2014Основные элементы трехфазных электрических цепей. Трехфазный источник электрической энергии. Анализ электрических цепей при соединении трехфазного источника и приемника по схемам "звезда" с нулевым проводом и "треугольник". Расчет и измерение мощности.
презентация [742,4 K], добавлен 25.07.2013
