Теория электрических и магнитных цепей
Основные элементы электрической цепи, источник ЭДС и источник тока. Линейные цепи постоянного тока, применение законов Кирхгофа. Основные соотношения в синусоидальных цепях: сопротивление, емкость, индуктивность. Понятие о многофазных электрических цепях.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | курс лекций |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 24.10.2012 |
| Размер файла | 1,2 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
U U
U I Ia Ia
I' I I
1 `
а) б)
Рисунок 3.15.
Две цепи эквивалентны друг другу, если они имеют одинаковые z, x, r и y, b, g. По величинам x и b, если x>0 и b>0, можно определить эквивалентную индуктивность, или, если x<0 и b>0 - эквивалентную емкость. При этом следует иметь в виду, что эквивалентные параметры зависят от параметров всех элементов цепи, поэтому эквивалентная индуктивность, вычисленная по x и r, не равна эквивалентной индуктивности, вычисленной по b и g. Доказательство этого положения в следующем параграфе.
3.2.13 Зависимости, связывающие эквивалентные сопротивления и проводимости
Используя выражения для cos() и sin(), найдем:
(3.43)
Так как Z=U/I , а Y=I/U, то z=1/y. Следовательно, можно выразить проводимость цепи через сопротивления:
(3.44)
Аналогично выразим сопротивления через проводимости:
(3.45)
Таким образом, только Z и Y являются параметрами, обратными друг другу; r и x зависят от всех проводимостей цепи, а b и g - от всех сопротивлений цепи.
Рассмотрим две эквивалентные цепи (рис. 3.16):
а) б)
Рисунок 3.16.
x1=1/(L1), b2=1/(L2). (3.46)
В соответствии с правилами вычисления r и x по g и b имеем:
(3.47)
т.е. уже на этом простом примере видно, что эквивалентные параметры первой цепи зависят от двух эквивалентных параметров второй цепи.
3.2.14 Применение комплексных чисел
Расчеты электрических цепей переменного тока в тригонометрической форме или с помощью векторных диаграмм применяются на практике только в случае относительно простых схем, не содержащих большого числа контуров и источников, индуктивных связей и т.п.
По мере усложнения электрических схем возникают значительные трудности производства расчетов в тригонометрической форме или с помощью векторных диаграмм, и возникает острая потребность в расчетном методе, позволяющем алгебраическим путем рассчитывать электрические цепи переменного тока.
Таким удобным расчетным методом является метод комплексных амплитуд (комплексный или символический метод), основанный на применении комплексных чисел. Этот метод является по существу “алгеброй” современной электротехники и радиотехники, в то время как метод векторных диаграмм является их “геометрией”,
Известно, что комплексное число изображается на комплексной плоскости точкой, причем в прямоугольной системе координат осью абсцисс служит действительная, а осью ординат--мнимая ось.
a) б)
Рис. 3.17 Геометрическое изображение комплексного числа
Так, на рис. 3.17а точка с координатами и изображает комплексное число
, где .
Комплексное число можно условно обозначать через
(3.48)
Выражение (2.6) представляет собой алгебраическую форму записи комплексного числа.
Как известно, каждая точка на комплексной плоскости определяется радиус-вектором этой точки, т.е. вектором, начало которого совпадает с началом координат, а конец находится в точке, соответствующей заданному комплексному числу (рис. 2.4,б).
Пользуясь полярной системой координат, записываем комплексное число
в так называемой показательной форме:
(3.49)
Здесь - модуль, - аргумент или фаза.
С учетом того, что
;, получаем
; (3.50)
Соответственно, тригонометрическая форма записи комплексного числа имеет вид:
(3.51)
Два комплексных числа считаются равными, если равны отдельно их действительные и мнимые части. Геометрически это означает равенство векторов, изображающих комплексные числа.
Понятия “большее и “меньше” применимы только к координатам комплексных чисел, модулям, фазам, тогда как для самих комплексных чисел эти понятия не существуют.
Удобство применения той или иной формы записи комплексных чисел зависит в каждом отдельном случае от тех математических операций, которые надлежит произвести над комплексными числами.
Так, при сложении или вычитании комплексных величин пользуются алгебраической (или тригонометрической) формой записи комплексного числа:
(3.52)
В геометрической интерпретации для получения вектора, изображающего сумму или разность комплексных чисел, следует сложить или вычесть векторы, изображающие эти числа, по правилу действий над векторами.
При умножении или делении комплексных величин наиболее удобно пользоваться показательной формой записи комплексного числа.
(3.53)
(3.54)
Как видно из (2.10) и (2.11), модуль произведения равен произведению модулей сомножителей, аргумент произведения равен сумме их аргументов; модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, аргумент частного равен разности их аргументов.
В геометрической интерпретации вектор, изображающий произведение на В, получается поворотом вектора А против часовой стрелки на угол в (аргумент вектора В) и умножением его на В.
Соответственно, вектор, изображающий частное от деления А на В, получается поворотом A по часовой стрелке на угол в и делением его на В.
Два комплексных числа (или вектора) называются взаимно сопряженными, если их модули равны, а аргументы равны по величине и обратные по знаку; иначе говоря, сопряженные комплексные числа отличаются друг от друга только знаком мнимой части:
(3.55)
В геометрической интерпретации точки, изображающие сопряженные числа, расположены симметрично относительно действительной оси.
Сопряженные комплексные числа обладают тем важным свойством, что про изведение их дает действительное число, равное квадрату модулей сомножителей:
(3.56)
Иначе говоря, точки, изображающие произведение сопряженных комплексных чисел, располагаются по действительной оси.
При пользовании алгебраической формой записи комплексных чисел произведение двух комплексных чисел имеет вид
(3.57)
Соответственно, деление двух комплексных чисел, произведенное с помощью умножения и деления числителя и знаменателя на сопряженный знаменатель, дает
(3.58)
Выражение (2.14), равное выражению (2.10), отличается от него большим числом операций. То же следует сказать и в отношении выражений (2.15) и (2.11).
Возведение комплексного числа в степень --1 (обращение комплексного числа) представляет частный случай деления:
(3.59)
При возведении комплексного числа в степень или извлечении корня удобна показательная форма записи:
(3.60)
Ранее была показана возможность представления синусоидальных функций с помощью вращающихся векторов. Вектор, конец которого вращается в положительную сторону (против часовой стрелки) с угловой скоростью щ, аналитически может быть выражен следующим образом:
(3.61)
где - комплексная амплитуда представляющая данный вектор в момент t=0.
Множитель является оператором вращения: умножение комплексной амплитуды на означает поворот вектора А на угол щt в положительную сторону.
Комплексная функция может быть выражена в тригонометрической форме
(3.62)
т.е. всякая синусоидальная функция A sin (щt + б) может рассматриваться как мнимая часть комплексной функции, взятая без множителя j, что условно математически записывается так:
(3.63)
Символ Im (imaginary) означает, что берется мнимая часть комплексной функции, без множителя j.
Аналогично косинусоидальная функция может быть в случае необходимости представлена как действительная часть комплексной функции
(3.64)
где символ Re (real) означает, что берется действительная часть комплексной функции.
Между различными формами записи комплексных чисел или изображающих векторов существуют очевидные соотношения, которые для наглядности сведены в таблицу 3.1.
Замена синусоидальных функций a(t) комплексными числами и изображающими их векторами A позволяет перейти от тригонометрических функций времени к алгебраическим. При этом исходные синусоидальные функции времени можно считать оригиналами, а комплексные числа и векторы их изображениями или символами. Поэтому метод расчета электрических цепей, использующий такое представление функций называется символическим.
Любой математической операции в области оригиналов будет соответствовать некоторая операция в области изображений. Без доказательства сведем в таблицу основные математические операции над оригиналами и изображениями, представляя последние в двух формах: аналитической и графической, т.е. в виде аналитических выражений и соответствующих операций с векторами.
При операциях с комплексными числами и изображающими их векторами большую роль играют числа, модуль которых равен единице. Они называются операторами поворота. Наиболее распространенными операторами поворота являются числа 1, j , -1 и -j . Результаты умножения произвольного комплексного числа A на эти числа показаны в таблице 3.
Для исследования взаимных отношений различных величин, векторы токов, напряжений и ЭДС строятся совместно на одной комплексной плоскости и такая совокупность векторов называется векторной диаграммой.
Таблица 3.1.
|
Формы записи |
Am = p + jq |
Am=Am(cosya+jsinya) |
Am = Am e jy--a |
|
|
Am = p + jq |
- |
p= Amcosy a q= Amsiny a |
p= Amcosy a q= Amsiny a |
|
|
Am =Am(cosya+jsinya) |
- |
Am = Am y--a = y a |
||
|
Am = Am e jy--a |
Am = Am y a = y--a |
- |
Любой математической операции в области оригиналов будет соответствовать некоторая операция в области изображений. Без доказательства сведем в таблицу основные математические операции над оригиналами и изображениями, представляя последние в двух формах: аналитической и графической, т.е. в виде аналитических выражений и соответствующих операций с векторами.
Таблица 3.2.
|
Оригинал |
Изображение |
||
|
a(t)=Amsin(w t+y a) |
A=p+jq=Ae jya |
||
|
CЧ a(t)=СЧ Amsin(w t+y a) |
CЧ A=C(p+jq)=CЧ Ae jya |
||
|
b(t)=a1(t)+a2(t) |
B=A1+A2= =(p1+p2)+j(q1+q2) |
||
|
b(t)=a1(t)?a2(t) |
B=A1? A2= =(p1? p2)+j(q1? q2) |
||
|
b(t)=a1(t)Ч a2(t) |
|||
|
b(t)=[a(t)]n |
B=An= Ane jn?a |
||
|
B=jw A= w--Ч Ae j(y a+p /2) |
|||
При операциях с комплексными числами и изображающими их векторами большую роль играют числа, модуль которых равен единице. Они называются операторами поворота. Наиболее распространенными операторами поворота являются числа 1, j , -1 и -j . Результаты умножения произвольного комплексного числа A на эти числа показаны в таблице 3.3.
Таблица 3.3.
|
E |
EЧ A |
|||
|
1 |
ej0 |
Ae jy |
||
|
j |
ejp--/2 |
Ae j(y +p /2) |
||
|
-1 |
ejp |
Ae j(y--±--p ) |
||
|
-j |
e? jp /2 |
Ae j(y-----p /2) |
3.2.15 Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме
Рассмотрим применение комплексного метода к случаю последовательного и параллельного соединения элементов r, L, С.
3.2.16 Последовательное соединение r, L, С
Положим, что в уравнении напряжений
(3.65)
заданными являются параметры r, L, С и синусоидальное напряжение на зажимах цепи, а искомой величиной является ток i.
Ввиду того, что здесь рассматривается установившийся режим в цепи с синусоидальным однофазным током, решение данного дифференциального уравнения будем искать в форме синусоидальной функции
(3.66)
Пусть в соответствии с предыдущим параграфом заданное синусоидальное напряжение символизируется комплексной функцией
а искомый синусоидальный ток i - комплексной функцией .
Комплексные амплитуды напряжения и тока равны, соответственно,
и
Переписав дифференциальное уравнение (3.65) и пользуясь правилами коммутативности операций сложения, дифференцирования и интегрирования относительно символической операции Im, преобразуем полученное уравнение с учетом того обстоятельства, что при интегрировании функции постоянная интегрирования должна быть опущена, так как в рассматриваемом здесь установившемся режиме электрические заряды или напряжения на емкостях представляют синусоидальные функции, не содержащие постоянных слагаемых. В результате преобразований можно получить следующее алгебраическое комплексное уравнение, выражающее второй закон Кирхгофа для комплексных амплитуд
(3.67)
Выражение
(3.68)
представляет собой комплексное сопротивление рассматриваемой электрической цепи.
Следовательно, равенства
и (3.69)
выражают закон Ома для комплексных амплитуд и для комплексных действующих значений.
Комплексное сопротивление Z представлено в выражении (3.68) в алгебраической форме.
Та же величина, записанная в тригонометрической и показательной формах, имеет вид:
(3.69)
Рис. 3.18
Векторная диаграмма для случая
последовательного соединения
элементов r, L, С.
Следует заметить, что уравнение (3.67) можно рассматривать как алгебраическую интерпретацию векторной диаграммы рис. 3.18, вычерченной на комплексной плоскости, где:
- падение напряжения в активном сопротивлении r (совпадает по фазе с током );
- падение напряжения в индуктивном сопротивлении, опережающее ток на угол 90o;
- падение напряжения в емкостном сопротивлении, отстающее от тока на угол 90o.
Аналогичные выводы и построения векторной диаграммы могут быть произведены для случая параллельного соединения элементов r, L, С.
Мощность в комплексной форме.
Полная мощность может быть записана в комплексной форме.
(3.71)
Отсюда следует, что
(3.72)
или, что то же,
(3.73)
Таким образом, комплексная величина имеет действительную часть, равную активной мощности, и мнимую часть, равную реактивной мощности; она носит название мощности в комплексной форме или комплексной мощности и может быть представлена графически на комплексной плоскости. Модуль равен полной мощности.
3.2.17 Условие передачи источником максимума мощности приемнику
На практике часто возникает необходимость подбора сопротивления нагрузки таким образом, чтобы при заданном сопротивлении источника обеспечивалась передача приемнику максимума активной мощности.
Обозначим сопротивление источника напряжения через , а сопротивление нагрузки - через .
Активная мощность, потребляемая нагрузкой, равна
(3.74)
Если изменять реактивное сопротивление x, то очевидно, при любом значении r ток и, соответственно, активная мощность достигают наибольшей величины при .
При этом
(3.75)
Найдем теперь условие максимума функции (2.44) в предположении, что r - переменная величина, т.е. из условия .
Следовательно, получается дополнительное условие - .
На основании найденных равенств заключаем, что условием передачи источником максимума активной мощности приемнику является равенство
(3.76)
где - комплексное сопротивление, сопряженное с
Подстановка дает максимальное значение полной мощности
(3.77)
Таким образом, передача максимума полной мощности в нагрузку достигается при равенстве полных сопротивлений нагрузки и источника. При этом передаваемая мощность тем больше, чем больше разнятся углы сопротивлений Z и Zо.
Условия передачи максимума активной или полной мощности широко используются в радиотехнике, проводной связи, электроавтоматике и приборостроении.
В энергетических же системах, генерирующих и потребляющих большие мощности, стремятся к получению высоких КПД генераторов, что имеет место при сопротивлениях нагрузок, значительно превышающих сопротивления генераторов.
3.3 Резонанс в электрических цепях синусоидального переменного тока
Явление резонанса относится к наиболее важным с практической точки зрения свойствам электрических цепей. Оно заключается в том, что электрическая цепь, имеющая реактивные элементы обладает чисто резистивным сопротивлением.
Общее условие резонанса для любого двухполюсника можно сформулировать в виде Im[Z]=0 или Im[Y]=0, где Z и Y комплексное сопротивление и проводимость двухполюсника. Следовательно, режим резонанса полностью определяется параметрами электрической цепи и не зависит от внешнего воздействия на нее со стороны источников электрической энергии.
Для определения условий возникновения режима резонанса в электрической цепи нужно:
· найти ее комплексное сопротивление или проводимость;
· выделить мнимую часть и приравнять нулю.
Все параметры электрической цепи, входящие в полученное уравнение, будут в той или иной степени влиять на характеристики явления резонанса.
Уравнение Im[Z]=0 может иметь несколько корней решения относительно какого-либо параметра. Это означает возможность возникновения резонанса при всех значениях этого параметра, соответствующих корням решения и имеющих физический смысл.
В электрических цепях резонанс может рассматриваться в задачах:
· анализа этого явления при вариации параметров цепи;
· синтеза цепи с заданными резонансными параметрами.
Электрические цепи с большим количеством реактивных элементов и связей могут представлять значительную сложность при анализе и почти никогда не используются для синтеза цепей с заданными свойствами, т.к. для них не всегда возможно получить однозначное решение. Поэтому на практике исследуются простейшие двухполюсники и с их помощью создаются сложные цепи с требуемыми параметрами.
Простейшими электрическими цепями, в которых может возникать резонанс, являются последовательное и параллельное соединения резистора, индуктивности и емкости. Соответственно схеме соединения, эти цепи называются последовательным и параллельным резонансным контуром. Наличие резистивного сопротивления в резонансном контуре по определению не является обязательным и оно может отсутствовать как отдельный элемент (резистор). Однако при анализе резистивным сопротивлением следует учитывать по крайней мере сопротивления проводников.
Последовательный резонансный контур представлен на рис. 3.19 а). Комплексное сопротивление цепи равно
. (3.78)
Условием резонанса из выражения (3.78) будет
. (3.79)
Таким образом, резонанс в цепи наступает независимо от значения резистивного сопротивления R когда индуктивное сопротивление xL = w L равно емкостному xC = 1/(w C) . Как следует из выражения (3.79), это состояние может быть получено вариацией любого их трех параметров - L, C и w , а также любой их комбинацией.
При вариации одного из параметров условие резонанса можно представить в виде
. (3.80)
Все величины, входящие в выражение (3.80) положительны, поэтому эти условия выполнимы всегда, т.е. резонанс в последовательном контуре можно создать
· изменением индуктивности L при постоянных значениях C и w ;
· изменением емкости C при постоянных значениях L и w ;
· изменением частоты ? при постоянных значениях L и C.
Наибольший интерес для практики представляет вариация частоты. Поэтому рассмотрим процессы в контуре при этом условии.
При изменении частоты резистивная составляющая комплексного сопротивления цепи Z остается постоянной, а реактивная изменяется. Поэтому конец вектора Z на комплексной плоскости перемещается по прямой параллельной мнимой оси и проходящей через точку R вещественной оси (рис. 3.19 б)). В режиме резонанса мнимая составляющая Z равна нулю и Z = Z = Zmin = R , j = 0 , т.е. полное сопротивление при резонансе соответствует минимальному значению.
Индуктивное и емкостное сопротивления изменяются в зависимости от частоты так, как показано на рис. 2. При частоте стремящейся к нулю xC ®--µ , xL ®?0 , и j--®?? 90° (рис. 3.19б)). При бесконечном увеличении частоты - xL ® µ , xC ®?0 , а j--® 90° . Равенство сопротивлений xL и xC наступает в режиме резонанса при частоте w0 .
Рассмотрим теперь падения напряжения на элементах контура. Пусть резонансный контур питается от источника, обладающего свойствами источника ЭДС, т.е. напряжение на входе контура u = const, и пусть ток в контуре равен i=Imsinw t. Падение напряжения на входе уравновешивается суммой напряжений на элементах
.(3.81)
Переходя от амплитудных значений к действующим, из выражения (3.81) получим напряжения на отдельных элементах контура
, (3.82)
а при резонансной частоте
,(3.83)
где - величина, имеющая размерность сопротивления и называемая волновым или характеристическим сопротивлением контура.
Следовательно, при резонансе
· напряжение на резисторе равно напряжению на входе контура;
· напряжения на реактивных элементах одинаковы и пропорциональны волновому сопротивлению контура;
· соотношение напряжения на входе контура (на резисторе) и напряжений на реактивных элементах определяется соотношением резистивного и волнового сопротивлений.
Отношение волнового сопротивления к резистивному r /R = Q, называется добротностью контура, а величина обратная D=1/Q - затуханием. Таким образом, добротность числено равна отношению напряжения на реактивном элементе контура к напряжению на резисторе или на входе в режиме резонанса. Добротность может составлять несколько десятков единиц и во столько же раз напряжение на реактивных элементах контура будет превышать входное. Поэтому резонанс в последовательном контуре называется резонансом напряжений.
Рассмотрим зависимости напряжений и тока в контуре от частоты. Для возможности обобщенного анализа перейдем в выражениях (3.82) к относительным единицам, разделив их на входное напряжение при резонансе U=RI0
, (3.84)
где i =I/I0, u k=Uk/U, v = w--/w 0 - соответственно ток, напряжение и частота в относительных единицах, в которых в качестве базовых величин приняты ток I0, напряжение на входе U и частота w 0 в режиме резонанса.
Абсолютный и относительный ток в контуре равен:
. (3.85)
Из выражений (3.84) и (3.85) следует, что характер изменения всех величин при изменении частоты зависит только от добротности контура. Графическое представление их при Q=2 приведено на рис. 3.21 в логарифмическом (а) и линейном (б) масштабах оси абсцисс.
На рис. 3.21 кривые A(v), B(v) и C(v) соответствуют напряжению на индуктивности, емкости и резисторе или току в контуре. Кривые A(v)=uL(v) и B(v)=uC(v) имеют максимумы, напряжения в которых определяются выражением
, (3.86)
а относительные частоты максимумов равны
(3.87)
При увеличении добротности Q ®--µ Amax = Bmax ® Q, а v 1 ® 1.0 и v 2 ®--1.0.
С уменьшением добротности максимумы кривых u L(v ) и u С(v ) смещаются от резонансной частоты, а при Q2 < 1/2 исчезают, и кривые относительных напряжений становятся монотонными.
Напряжение на резисторе и ток в контуре имеют при резонансной частоте максимум равный 1,0. Если на оси ординат отложить абсолютные значения тока или напряжения на резисторе, то для различных значений добротности они будут иметь вид, показанный на рис. 3.22. В целом они дают представление о характере изменения величин, но удобнее делать сопоставление в относительных единицах.
На рис. 3.23 представлены кривые рис. 3.22 в относительных единицах. Здесь видно, что увеличение добротности влияет на скорость изменения тока при изменении частоты.
Можно показать, что разность относительных частот, соответствующих значениям относительного тока , равна затуханию контура D=1/Q =v 2? v 1.
Перейдем теперь к анализу зависимости фазового сдвига между током и напряжением на входе контура от частоты. Из выражения (3.78) угол ? равен
. (3.89)
Как и следовало ожидать, значение j определяется добротностью контура. Графически эта зависимость для двух значений добротности показана на рис. 3.24 .
При уменьшении частоты значение фазового сдвига стремится к значению ?--90° , а при увеличении к +90° , проходя через нулевое значение при частоте резонанса. Скорость изменения функции j (v ) определяется добротностью контура.
Последовательный резонансный контур может питаться также от источника электрической энергии, обладающего свойствами источника тока, т.е. обеспечивающего постоянный ток в нагрузке. Выражения (3.82) остаются справедливыми и в этом случае, но ток в них будет константой. Поэтому постоянным будет падение напряжения на резисторе UR = RI = const. Разделив все напряжения на это базовое значение, получим представление их в относительных единицах в виде
. (3.90)
В выражении (3.90) добротность также есть отношение волнового сопротивления к резистивному Q=r /R .
Общее относительное падение напряжения на входе контура является гипотенузой прямоугольного треугольника напряжений, поэтому
. (3.91)
Функции uL(v ) и uС(v ) монотонны, а u(v ) имеет минимум u =1.0 при резонансной частоте, когда uL(v ) ? uС(v ) = 0. В случае стремления относительной частоты к бесконечности и к нулю, напряжения на одном из реактивных элементов стремится к бесконечности. При резонансной частоте они одинаковы и их отношение ко входному напряжению равно добротности..
Графическое представление функций u--L(v )=A(v ), u С(v )=B(v ) и u(v)=С(v ) при добротности Q=2 дано на рис. 3.25 в логарифмическом (а) и линейном (б) масштабах оси частот.
Для функции u--(v)=С(v) можно показать, что разность относительных частот v 1 и v--2 , соответствующих значениям , равна затуханию контура D=1/Q=v 2? v 1.
Фазовые характеристики контура при питании от источника тока ничем не отличаются от характеристик режима питания от источника ЭДС (Рис.3.24).
Сопоставляя частотные характеристики при питании последовательного резонансного контура от источника тока с характеристиками при питании его от источника ЭДС, можно сделать следующие выводы:
· частотные характеристики напряжений и тока контура принципиально отличаются друг от друга, т.к. при питании от источника ЭДС сумма напряжений остается постоянной и происходит только их перераспределение между элементами, а при питании от источника тока падения напряжения на каждом элементе формируются независимо;
· режимы резонанса для обоих случаев полностью идентичны;
· фазовые частотные характеристики для обоих случаев также идентичны.
Режим резонанса можно создать также при параллельном соединении R, L и C (рис. 3.26а)). Такая цепь называется параллельным резонансным контуром. В этом случае условие резонанса удобнее сформулировать для мнимой части комплексной проводимости в виде
(3.92)
Следовательно, для параллельного контура возможны те же вариации параметров, что и для последовательного и выражения для них будут идентичными
. (3.93)
При изменении частоты питания изменяется только мнимая составляющая вектора комплексной проводимости Y , поэтому его конец перемещается на комплексной плоскости по прямой параллельной мнимой оси и проходящей через точку G=1/R , соответствующую вещественной составляющей проводимости (рис. 3.26 б)). При частоте резонанса модуль вектора минимален, а при стремлении частоты к нулю и бесконечности, его значение стремится к бесконечности. При этом угол сдвига фаз между током и напряжением j на входе контура стремится к 90° при w--® 0 и к ?--90° при w ®--µ .
Для параллельного соединения токи в отдельных элементах можно представить через проводимости и общее падение напряжения U в виде
. (3.94)
Пусть в режиме резонанса падение напряжения на входе контура равно U0, тогда токи в отдельных элементах будут
,(3.95)
где - волновая или характеристическая проводимость контура. Как следует из выражений (3.95), при резонансе токи в реактивных элементах одинаковы, а входной ток равен току в резисторе R. Отношение Q=g /G называется добротностью, а величина обратная D=1/Q - затуханием параллельного резонансного контура. Таким образом, добротность равна отношению токов в реактивных элементах контура к току на входе или в резисторе. В электрических цепях добротность может достигать значений в несколько десятков единиц и во столько же раз токи в индуктивности и емкости будут превышать входной ток. Поэтому резонанс в параллельном контуре называется резонансом токов.
Падение напряжения на входе контура U при питании его от источника, обладающего свойствами источника тока и формирующего ток с действующим значением I, будет равно
. (3.96)
Отсюда, напряжение на входе в режиме резонанса U0 = I/G . Тогда ток в контуре - I=U0G. Перейдем к относительным единицам в выражениях (3.95) и (3.97), приняв в качестве базовых значений напряжение на входе при резонансе и ток контура, выраженный через это напряжение. Тогда получим
.(3.97)
Выражения (3.97) полностью совпадают с выражениями (3.84) и (3.85) для частотных характеристик последовательного контура, если в них относительные токи и напряжения поменять местами. Следовательно, характеристики рис. 3.21 будут связаны с выражениями (3.97) следующим образом: A(v)=iС(v); B(v)=iL(v) и C(v)=i R(v)=u (v ). Для относительных токов iС , iL и iR справедливыми будут также все закономерности отмеченные для относительных напряжений последовательного контура.
Из выражения (3.92) рассмотренную выше качественно фазовую частотную характеристику можно представить аналитически в виде
т.е. она совпадает с характеристикой последовательного контура, но имеет противоположный знак.
Допустим теперь, что параллельный контур питается от источника со свойствами источника ЭДС. В режиме резонанса входной ток также будет равен току через резистор - I0=U/R=UG. Соотнесем все выражения (3.94) с этим током, приняв его за базовую величину. Тогда
. (3.98)
Относительный входной ток ? можно определить, пользуясь тем, что в треугольнике токов он является гипотенузой
. (3.99)
Выражения (19) и (20) для относительных токов совпадают с выражениями (3.90) и (3.91) для относительных напряжений последовательного контура. Следовательно, на рис.3.25 -
i C(v )=A(v ), i L(v )=B(v ) и i R(v )= i (v )=C(v ).
Сравнивая частотные характеристики при питании параллельного резонансного контура от источника тока с характеристиками при питании его от источника ЭДС, можно сделать выводы аналогичные тем, которые были сделаны для последовательного контура:
частотные характеристики токов и напряжения контура принципиально отличаются друг от друга, т.к. при питании от источника тока сумма токов остается постоянной и происходит только их перераспределение между элементами, а при питании от источника ЭДС токи в каждом элементе формируются независимо;
· режимы резонанса для обоих случаев полностью идентичны;
· фазовые частотные характеристики для обоих случаев также идентичны.
Параллельный резонансный контур может содержать резистивные сопротивления (рис. 3.27). В этом случае комплексные проводимости ветвей будут равны
Y1=G1+jB1; Y2=G2+jB1 ,
а общая проводимость
Y = Y1 + Y2= G1+G2+j(B1+B2) .
Условием резонанса будет:
Раскрывая выражение через параметры цепи, получим
,
откуда резонансная частота w р -
, (3.100)
где - резонансная частота в простейшем параллельном контуре (рис. 3.26 а)), а - волновое сопротивление простейшего параллельного контура.
Анализ выражения (3.100) показывает, что при разных резистивных сопротивлениях R1 № R2 резонанс возможен только, если оба сопротивления одновременно больше или меньше r . В противном случае выражение под корнем отрицательно, резонансная частота мнимая и не имеет физического смысла.
Если R1 = R2, то w р = w 0, т.е. резонанс наступает при той же частоте, что и в простейшем контуре без потерь (рис. 3.26 а)).
Однако при этом условии возможен вариант, когда R1 = R2 = r . В этом случае подкоренное выражение в (3.100) становится неопределенным (0/0) и требуется его дополнительный анализ.
Ветви контура соединены параллельно и общее падение напряжения на них одинаково и равно сумме падений напряжения на элементах ветви. При любых изменениях частоты угол между напряжением на резисторе и реактивном элементе составляет 90? и т.к. сумма их постоянна и равна входному напряжению, то геометрическим местом точек конца вектора падения напряжения на резисторе будет полуокружность (рис. 3.28 а)). Причем, векторы ветви с индуктивностью будут вписываться в нижнюю полуокружность, а ветви с емкостью - в верхнюю. Входной ток I равен сумме токов ветвей I1 и I2 и резонанс наступает, если его направление совпадает с вектором входного напряжения U.
Разделим комплексные числа, соответствующие векторам напряжений рис. 3.28 а), на R = R1 = R2 = r и построим векторную диаграмму токов для режима резонанса (рис. 3.28 б)), т.е. так, чтобы сумма векторов I1 и I2 была равна U/R. Параллелограмм abcd имеет два противоположных прямых угла, поэтому два других угла j 1 + j 2 = p /2 . То, что сумма углов j 1 и j 2 равна 90° доказывается также и тем, что
.
Таким образом, при любой частоте векторы токов I1 и I2 образуют прямоугольник, вершины которого расположены на окружности, а диагональю является вектор U/R. Отсюда следует, что при всех частотах входной ток одинаков, совпадает по направлению с напряжением и полное сопротивление цепи чисто резистивное и равно r
. РАЗДЕЛ 4. МНОГОФАЗНЫЕ ЦЕПИ
4.1 Понятие о многофазных электрических системах и цепях.
Совокупность электрических цепей, в которых действуют электродвижущие силы одной и той же частоты, но отличающиеся друг от друга по фазе, называют многофазной системой электрических цепей, а число цепей, входящих в систему, называют числом фаз многофазной системы.
Совокупность э.д.с., действующих в многофазной системе, называют многофазной системой электродвижущих сил, а совокупность токов, протекающих в этих ветвях - многофазной системой токов.
Примером многофазной системы электрических цепей могут быть цепи промышленных предприятий, где используются трехфазные системы э.д.с. и токов. Если цепи, образующие систему, электрически не связаны между собой, то система несвязанная, в противном случае - связанная. В дальнейшем для упрощения записи многофазные системы электрических цепей мы будем называть многофазными цепями. Если комплексы полных сопротивлений всех фаз одинаковы, то многофазная цепь - симметричная, если комплекс Z хотя бы одной фазы отличается от остальных значений Z, то многофазная цепь - несимметричная.
4.2 Симметричные многофазные системы с э.д.с
Многофазную систему э.д.с., напряжений или токов называют симметричной, если модули всех э.д.с., напряжений или токов равны между собой, а каждая э.д.с. (напряжение или ток) отстает по фазе от предыдущей на один и тот же угол, равный 2/m, где m - число фаз системы. Пусть, например, э.д.с. E1, E2,..., Em образуют симметричную систему. Тогда:
|E1|=|E2|=...=|Em|, и 1-2=3-2=...=m-1-m=m-1=2/m.
То есть э.д.с. образуют симметричную звезду. Отсюда следует, что
E1+E2+E3+...+Em=0.
Для трехфазной системы, которая является основной схемой электроснабжения промпредприятий, имеем:
e1=Emsin(t+), E1=E=Eej,
e2=Emsin(t+-2/3), E2=Eme-j2/3=Eej(-2/3),
e3=Emsin(t+-4/3), E3=Eme-j4/3=Eej(-4/3).
Обозначим ej2/3=a=-1/2+j3, тогда a2=ej4/3=-1/2-j3/2 и 1+a+a2=0 и a4=a.
Тогда для симметричной трехфазной системы:
E1=E, E2=Ea2, E3=aE,
так как e-j2/3=ej4/3=a2, ej2/3=e-j4/3=a.
Для симметричной трехфазной системы векторная диаграмма э.д.с. и Е1+Е2+Е3 показаны на рисунке 4.1.
Рисунок 4.1.
4.3. Уравновешенные и неуравновешенные многофазные системы.
Рассмотрим симметричную m-фазную многофазную систему. Э.д.с. k-той фазы:
ток k-той фазы:
,
мгновенная мощность k-той фазы:
Pk=ikek=2IEsin(t-(k-1)/m)sin(t--(k-1)2/m)=
=EIcos-EIcos(2t--2(k-1)2/m),
суммарная мощность многофазной системы:
Изображая слагаемые последней суммы векторами при m>2, мы получим симметричную звезду, а сумма векторов симметричной звезды равна 0.
Таким образом, мгновенное значение мощности симметричной многофазной системы при m>2 равно нулю. Такие системы называются уравновешенными.
4.4 Связывание многофазных систем
Существует два основных способа связывания многофазных систем: звездой и многоугольником. Такое соединение выполняется как для э.д.с., так и для нагрузок. Соединение звездой показано на рисунке 4.2. При соединении звездой однополярные клеммы источников э.д.с. соединяются вместе. Общая точка э.д.с. называется нейтральной точкой.
Провода, идущие от других клемм источников э.д.с., называются линейными. Провод, идущий от нейтральной точки, называется нейтральным (или нулевым).
Аналогично звездой соединяются нагрузочные сопротивления.
Рисунок 4.2
Рисунок 4.3.
При соединении многоугольником провод от источника э.д.с. соединяется с клеммой следующего источника э.д.с. другой полярности, таким образом, получается замкнутый многоугольник. Провода, идущие от точек соединения э.д.с. - линейные.
Разность потенциалов между линейным проводом и нейтральной точкой называется фазным напряжением, а разность потенциалов между линейными проводами называют линейным напряжением.
Токи, текущие по линейным проводам - линейные токи. Токи, текущие по сторонам многоугольника, называются фазными токами. Для звезды линейный ток равен фазному.
На рисунке 4.4. показан один из вариантов соединения источников э.д.с. и нагрузки в трехфазной системе.
Рисунок 4.4.
Для единообразия далее направление линейных токов будем выбирать направление от источников э.д.с. к нагрузке. А в нейтральном проводе направление ток можно выбирать произвольно.
При соединении звездой для линейных напряжений (см. рис.4.2) имеем:
U12=U1-U2, U23=U2-U3, ..., Um1=Um-U1.
При соединении многоугольником для линейных токов имеем:
i1=im1-i1, i2=i12-i23, ..., im=im1-im-1,m.
В симметричной системе для синусоидальных токов и напряжений эти же равенства в комплексной форме:
U12=U1-U2, U23=U2-U3, ..., Um1=Um-U1;
I1=Im-I1, I2=I12-I23, ..., Im=Im1-Im-1,m.
При соединении звездой Iл=Iср. Из рис.4.5 следует, что:
Uл=2Uсрsin/m.
Рисунок 4.5. Рисунок 4.6.
Для трехфазной системы:
При соединении многоугольником Uл=Uср. Из рис.4.6.:
Пользуясь полученными соотношениями, определим при соединении звездой или многоугольником суммарную мощность системы:
В частности, для трехфазной системы:
Аналогично, реактивная мощность:
для трехфазной системы:
Следовательно, расчет симметричной многофазной системы сводится к расчету однофазной системы.
4.5 Соединение звездой и треугольником в трехфазной системе
В трехфазной симметричной системе (рис.4.4) по нейтральному проводу течет ток, равный сумме линейных токов: i0=i1+i2+i3=0,
поэтому нейтральный провод можно не прокладывать.
Расчет цепи при отсутствии взаимоиндуктивности сводится к расчету токов и напряжений одной фазы. Для определения токов и напряжений в остальных фазах их сдвигают по отношению к расчетной фазе на 2k/m градусов, где k - очередность k-той фазы по отношению к расчетной.
Предварительно, если имеется соединение нагрузки разными способами, то производят замену соединений к одному виду. При замене звезды сопротивлений на эквивалентный треугольник (см. рис.3.7.а, б проводимости треугольника:
, ,
а) б)
Рисунок 4.7.
При замене треугольника эквивалентной звездой:
4.6 Расчет несимметричных трехфазных цепей при отсутствии взаимоиндуктивности
Пусть источники э.д.с. и нагрузка соединены звездой (рис.3.8). Если нагрузка несимметрична, то между точками ОО' будет существовать разность потенциалов и по нейтральному проводу будет течь ток:
IО=IA+IB+IC.
Рисунок 4.8.
Падение напряжения на нулевом проводе: UOO'=IOYO. Откуда из уравнений по второму закону Кирхгофа для трех контуров получаем:
IA=(UA-UOO')YA,
IB=(UB-UOO')YB,
IC=(UC-UOO')YC,
откуда:
IO=UAYO+UBYB+UCYC-UOO'(YA+YB+YC).
Подобные документы
Основные элементы и характеристики электрических цепей постоянного тока. Методы расчета электрических цепей. Схемы замещения источников энергии. Расчет сложных электрических цепей на основании законов Кирхгофа. Определение мощности источника тока.
презентация [485,2 K], добавлен 17.04.2019Анализ электрического состояния линейных и нелинейных электрических цепей постоянного тока. Расчет однофазных и трехфазных линейных электрических цепей переменного тока. Переходные процессы в электрических цепях, содержащих конденсатор и сопротивление.
курсовая работа [4,4 M], добавлен 14.05.2010Исследование основных особенностей электромагнитных процессов в цепях переменного тока. Характеристика электрических однофазных цепей синусоидального тока. Расчет сложной электрической цепи постоянного тока. Составление полной системы уравнений Кирхгофа.
реферат [122,8 K], добавлен 27.07.2013Основные законы электрических цепей. Освоение методов анализа электрических цепей постоянного тока. Исследование распределения токов и напряжений в разветвленных электрических цепях постоянного тока. Расчет цепи методом эквивалентных преобразований.
лабораторная работа [212,5 K], добавлен 05.12.2014Линейные цепи постоянного тока, вычисление в них тока и падения напряжения, сопротивления. Понятие и закономерности распространения тока в цепях переменного тока. Расчет цепей символическим методом, реактивные элементы электрической цепи и их анализ.
методичка [403,7 K], добавлен 24.10.2012Основные законы и методы анализа линейных цепей постоянного тока. Линейные электрические цепи синусоидального тока. Установившийся режим линейной электрической цепи, питаемой от источников синусоидальных ЭДС и токов. Трехфазная система с нагрузкой.
курсовая работа [777,7 K], добавлен 15.04.2010Элементы R, L, C в цепи синусоидального тока и фазовые соотношения между их напряжением и током. Методы расчета электрических цепей. Составление уравнений по законам Кирхгофа. Метод расчёта электрических цепей с использованием принципа суперпозиции.
курсовая работа [604,3 K], добавлен 11.10.2013Понятие о многофазных источниках питания и о многофазных цепях. Соединения звездой и многоугольником. Расчет симметричных и несимметричных режимов трехфазных цепей. Линейные цепи периодического несинусоидального тока: описание, расчет режима, мощности.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 28.11.2010Экспериментальное исследование электрических цепей постоянного тока методом компьютерного моделирования. Проверка опытным путем метода расчета сложных цепей постоянного тока с помощью первого и второго законов Кирхгофа. Составление баланса мощностей.
лабораторная работа [44,5 K], добавлен 23.11.2014Основные элементы трехфазных электрических цепей. Трехфазный источник электрической энергии. Анализ электрических цепей при соединении трехфазного источника и приемника по схемам "звезда" с нулевым проводом и "треугольник". Расчет и измерение мощности.
презентация [742,4 K], добавлен 25.07.2013
