Анализ переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами

1

Размещено на http://www.allbest.ru/

7

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВВЕДЕНИЕ

В данной курсовой работе используются классический и операторный методы анализа переходных процессов и расчёт линий с распределёнными параметрами. Соответственно каждый из них имеет свои преимущества и недостатки; выбор того или иного метода расчета зависит от целого ряда факторов. Рассмотрим вкратце их основные особенности.

Основным достоинством классического метода является его предельная простота и легкость в использовании, ведь фактически отпадает необходимость в использовании каких - либо таблиц или специальных преобразований. Достаточным является умение решать линейно - дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, на которых и основывается данный метод. К недостатку классического метода можно отнести его громоздкость, в особенности при расчете сложных цепей, когда порядок и степень сложности дифференциального уравнения определяется порядком и степенью сложности цепи.

Операторный метод анализа по-своему удобен. Уравнения, описывающие переходные процессы для оригиналов, являются алгебраическими, и находить решения для таких уравнений намного легче, а также можно воспользоваться таблицей оригиналов и их изображений, что намного упрощает процесс решения. Подобно ранее рассмотренному методу комплексных амплитуд, операторный метод относится к символическим методам, в которых операции над функциями времени заменяются операциями над их изображениями.[1]

Задача анализа цепей с распределенными параметрами обычно сводится к определению законов изменения токов и напряжений вдоль цепи и к исследованию частотных или временных характеристик цепи относительно внешних зажимов.[2]

1. Расчёт переходных процессов классическим методом

Электрическая цепь, показанная на рисунке 1.1, включается на постоянное напряжение.

Рис. 1.1. Схема рассчитываемой цепи

Для переходного процесса, возникающего в заданной электрической цепи при замыкании рубильника S, определить ток в неразветвлённой части цепи и переходное напряжение uC (t) на зажимах конденсатора при нулевых начальных условиях. Параметры цепи: U0=150 В, R=100 Ом, L=20 мГн, С=1.5 мкФ.

Расчёт

На основании первого и второго законов Кирхгофа запишем систему уравнений для режима цепи при подключении источника постоянного напряжения величиной U0.

Дифференцируя уравнение (1.2), находим:

(1.4)

Учитывая уравнение (1.3), получим:

(1.5)

Подставляя найденное значение i2 в уравнение (1.4), получим следующее уравнение для определения тока i1(t):

(1.6)

Для рассматриваемого переходного процесса дифференциальное уравнение свободного режима имеет вид:

(1.7)

Характеристическое уравнение свободного режима электрической цепи запишется в виде:

(1.8)

Найдём корни уравнения (1.8) по формуле:

 (1.9)

Подставив численные значения R, C, L в выражение (1.9), получим:

Корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными числами, следовательно, свободная составляющая тока i1св определяется выражением:

(1.10)

Принуждённую составляющую i1пр(t) определяем с помощью выражения:

(1.11)

Откуда:

1.5 (A).

Выражение для тока i1 запишется в виде:

(1.12)

Начальные условия будут равны:

;

A•c-1.

Для определения постоянных интегрирования A и ? найдем i1(0) и , воспользовавшись выражением (1.12):

Подставляя численные значения i1(0) и в полученные выражения, получим систему линейных уравнений:

Решая её, находим

(1.13)

Окончательно выражение для тока i1 запишется в виде:

A. (1.19)

Графики изменения токов i1(t), i1пр(t), i1св(t) представлены на рисунке 1.2, числовые данные для построения графиков - в таблицах 1.1-1.3.

Таблица.1.1 Численные значения функции i1(t)

Таблица 1.2 Численные значения функции i1cв(t)

Таблица 1.3 Численные значения функции Uc(t)

Рисунок 1.2 Графики изменения i1(t), iпр(t), i1св(t) в цепи

Для определения зависимости uC (t) воспользуемся выражением (1.2):

(1.20)

График изменения напряжения на ёмкости представлен на рисунке 1.3.

Рис. 1.3. График зависимости uC(t)

2. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ

На вход цепи изображенной на рисунке 2.1, в момент времени t = 0 подается скачок напряжения величиной U0 = 1 B.

Рисунок 2.1- Схема рассчитываемой цепи

Найти зависимость входного тока i(t) от времени при нулевых начальных условиях.

Численные значения элементов схемы: С = 4 мкФ, L = 600 мГн, R = 500 Ом.

Операторная схема замещения электрической цепи изображена на рисунке 2.2.

Рис. 2.2. Операторная схема замещения цепи рисунка 2.1.

Операторное сопротивление цепи равно

Изображение входного тока по закону Ома равно:

Подставляя вместо и их значения, получим:

Переходим от изображения тока к его оригиналу :

Таким образом,

График зависимости представлен на рисунке 2.3.

Рисунок 2.3 зависимости i(t)

3. Расчет однородной двухпроводной линии без потерь

3.1 Расчёт резонансных частот

Определить частоты, на которых выполняются условия резонанса токов и напряжений для короткозамкнутого отрезка кабеля без потерь длиной с первичными параметрами , Найти входное сопротивление отрезка кабеля на частоте 100 МГц.

Расчёт

Входное сопротивление короткозамкнутого отрезка кабеля длиной определяется выражением:

где - волновое сопротивление кабеля; коэффициент фазы.

Модуль будет равен:

Резонанс напряжений для отрезка кабеля наступает на тех частотах, при которых =0.

Поэтому условие резонанса напряжений запишется в виде:

.

Величина , поэтому

.

Данное равенство выполняется в тех случаях, когда

где k = 0, 1, 2, 3,… .

Учитывая, что для кабеля без потерь величина определяется выражением

получим:

Откуда найдем частоты резонанса напряжений :

Из полученного выражения видно, что таких частот существует бесчисленное множество, что физически объясняется представлением отрезка кабеля совокупностью бесконечного числа каскадно-соединенных ячеек, состоящих из индуктивностей и емкостей. [3]

Произведем вычисления. Поскольку приведены для отрезка кабеля километровой длины, необходимо выразить в километрах. Получим:

Найдем частоты резонанса токов. При резонансе токов , поэтому

Это условие выполняется в тех случаях, когда

,

где k = 0, 1, 2, 3,… .

Подставляя в данное равенство выражение для , получим:

.

Откуда найдем частоты резонанса токов:

.

Как и частот резонанса напряжений, частот резонанса токов существует бесчисленное множество. Произведем вычисления:

Найдем входное сопротивление кабеля на частоте

Таким образом:

3.2 Расчёт наименьшей длины разомкнутого отрезка кабеля без потерь

Определить наименьшую длину разомкнутого отрезка кабеля без потерь с первичными параметрами , входное сопротивление которого на частоте эквивалентно ёмкости С=500 пФ, если

Расчёт

Входное сопротивление разомкнутого отрезка кабеля длиной равно:

Учитывая, что:

,

и приравнивая к сопротивлению ёмкости С, получим:

.

Откуда:

Окончательно получим:

.

Произведем вычисления:

Таким образом,

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ток напряжение резонансный частота

Применив два метода расчёта переходных процессов в цепях различной сложности, получили следующие результаты: Воспользовавшись классическим методом расчета переходного процесса цепи представленной на рисунке 1.1, получил ток :

A.

Он формируется принужденной и свободной составляющими:

1.5 (A).

При расчете переходного процесса цепи операторным методом изображенной на рисунке 2.1 получено следующее изменение тока i(t) в момент коммутации:

, A

3. При расчете линий с распределёнными параметрами для короткозамкнутого отрезка кабеля длиной 3 м были получены: частота резонанса токов, частота резонанса напряжений, входное сопротивление на частоте 100 МГц. Они равны:

Для разомкнутого отрезка кабеля без потерь, имеющего входное сопротивление эквивалентное емкости на частоте 100 МГц и равное 430 пФ, была найдена его наименьшая длина :

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Попов, В.П. Основы теории цепей : Учебник для вузов спец. «Радиотехника»/ М.: Высш. шк., 1985. - 496с.

2. Основы теории цепей: учебно-методическое пособие / составитель И.Н. Елисеев. - Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2005. - 41с.

3. Атабеков, Г.И. Основы теории цепей / М.: Энергия, 1969, - 424 с.

Размещено на Allbest.ru