Мощности гармонических колебаний в электрических цепях

Пусть в ЭЦ под воздействием гармонического напряжения:

,

возникает гармонический ток:

.

При согласном выборе направлений отсчета напряжения и тока мгновенная мощность в этой цепи определяется выражением:

.

Если в этом равенстве заменить произведение тригонометрических функций их суммой, то из выражения:

,

следует, что в режиме ГК мгновенная мощность потребляемая цепью, содержит постоянную составляющую, относительно которой она претерпевает периодические колебания с частотой 2.

Положительным значением мгновенной мощности соответствует потребление цепью электрической энергии. Отрицательные же ее значения свидетельствуют о том, что в данный момент цепь не потребляет, а отдает электрическую энергию. В ЭЦ содержащих реактивные (пассивные) элементы это возможно за счет энергии, запасенной в магнитном (L) и (или) электрических (С) полях данных элементов на протяжении предшествующей части периода колебаний, когда значения мгновенной мощности были положительны. В ТЭЦ широко используется понятия средней или активной мощности. Применительно к рассматриваемому режиму ГК это постоянная составляющая последнего выражения:

.

Здесь представляет собой разность фаз колебаний напряжения и тока. Таким образом, средняя мощность пропорциональна амплитуде напряжения и тока в ЭЦ и косинуса сдвига фазы между ними.

В пассивной ЭЦ средняя мощность не может принимать отрицательных значений, иначе нарушался бы принцип сохранения энергии . Разность фаз гармонического напряжения и тока в цепи не может выходить за пределы:

, т.к и положительны.

Для периодических, и в частности, ГК средняя мощность определяется как отношение энергии за период к величине этого периода:

.

Средняя мощность относится к числу усредненных, т.е. статистических характеристик колебательных процессов. В ЭЦ к ним же относятся и среднеквадратические значения напряжений и токов.

; .

Подставляя в эти выражения гармонические напряжения и ток, находим:

; .

U и I - называют действующими (эффективными) значениями напряжения и тока ГК.

Если перейти от амплитуд колебаний к их действующим значениям, то для средней мощности потребляемой пассивным двухполюсником находится типовое выражение:

.

Действующее значение напряжения и тока на входе двухполюсника связаны зависимостью:

поэтому,

Т. к. и где R и G активные составляющие соответственно сопротивления и проводимости двухполюсника, то

.

В этих выражениях квадрат действующего значения тока можно представить как произведение комплексного тока на сопряженную с ним комплексную величину .

Тогда , т.к по закону Ома , то .

Следовательно, средняя мощность, потребляемая двухполюсником, равна вещественной части произведения комплексного напряжения на входе двухполюсника и комплексной величины, сопряженной с комплексным током, проходящим через входные зажимы двухполюсника.

Пример: определить среднюю мощность ГК при

и .

Найдем комплексно сопряженный ток , тогда

если действующее значение напряжения выбрано в вольтах, а тока - в амперах.

Рассмотрим произведение вида:

Сумма получило название комплексной мощности, а произведение - мощность в ЭЦ гармонического тока в комплексной форме.

Действительная часть комплексной мощности - средняя (активная) мощность.

Мнимая часть комплексной мощности - реактивная мощность.

Произведение действующих значений напряжения и тока - называется полной или кажущейся мощностью :

.

Полная и реактивная мощности оцениваются в вольт - амперах.

Реактивная мощность может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Для элемента индуктивности реактивная мощность положительна. Она характеризует максимальное значение энергии, запасаемой в индуктивности при гармоническом токе с амплитудой :

.

Для элемента емкости, реактивная мощность отрицательна. Связь полной, средней и реактивной мощностей определяется соотношением

; .

Значения средней мощности и полной мощности равны, если т.е. когда сопротивление двухполюсника чисто активно (резистивно). В общем же случае т.к .

Проблема повышения значения “косинуса Фu” (коэффициент мощности) является одной из важнейших проблем энергетики. Это и понятно, т.к если , то необходимую полезную работу можно получить от приемника энергии при наименьшем токе в соединительных проводах, т.е. при данных значениях U и I от источника в нагрузку поступает необходимая средняя мощность.

Поскольку комплексные напряжения и токи всегда удовлетворяют законам Кирхгофа, то к ним применима теорема Теледжена, согласно которой:

*

, и как следствие

и .

Здесь можно ввести понятие условий баланса мощностей. Эти условия могут использоваться для проверки решений задач анализа режима ГК символическим методом.

Вывод: определение необходимых значений мощностей ГК в ЭЦ позволяет осуществить инженерный анализ результатов расчета на их правильность выполнения и оценить энергетическую эффективность всей ЭЦ или ее участка.

2. Условия передачи максимума средней мощности от генератора к нагрузке

Пусть дан источник ГК (генератор) с параметрами:

- комплексное задающее напряжение,

- внутреннее сопротивление источника.

Найдем такие значения активной R и реактивной Х составляющей составляющих комплексного сопротивления пассивной нагрузки генератора , при которой в ней выделяется максимальная средняя мощность (рисунок 1).

Рис. 1.

В соответствии с законом Ома ток IH в нагрузке с комплексным сопротивлением будет:

где

.

При этом в нагрузке цепи выделяется средняя мощность:

.

Значение средней мощности изменяется в широких пределах с изменением сопротивления нагрузки. Мощность максимальна, если , т.е. при .

Это условие выполнимо, поскольку реактивная составляющая сопротивления нагрузки, т.е. двухполюсника, может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Тогда

.

Дальнейшая задача сводится к исследованию этой зависимости как функции от переменного RH.

Очевидно, что значение функции обращается в нуль при RH = 0 и . Следовательно, при изменении RH от 0 до функция имеет по крайней мере один максимум. Используя правила исследования функции, получим условия максимума: RH = R0.

Примечание:

Следовательно, в режиме ГК генератор развивает максимальную мощность в нагрузке, комплексное сопротивление которой

.

Сопряжено с комплексным внутренним сопротивлением генератора

.

Нагрузку, удовлетворяющую условиям , называют сопряженной нагрузкой.

Значение максимально возможной средней мощности, которую может развить генератор на нагрузке можно показать на рисунке 2.

.

Рис.2.

На рисунке сплошной линией приведен график зависимости средней мощности от соотношения . При такая же по величине мощность, как и в нагрузке, выделяется на внутреннем сопротивлении генератора . Поэтому коэффициент полезного действия (КПД) генератора, т.е. отношение отдаваемой в нагрузку и развиваемой генератором мощности, равен = 0,5. С увеличением RH - средняя мощность уменьшается, но растет КПД. График зависимости КПД генератора показан на рисунке штриховой линией.

В энергетических системах где чрезвычайно важен высокий КПД, стремятся к тому, чтобы .

Однако, следует обратить внимание на то, что при таком режиме использование генератора значительное уменьшение RH приводит к опасному (аварийному повышению мощности, расходуемой в самом генераторе).

В целях связи часто ZH выбирают равных Z0, т.е. .

В этом случае говорят, что генератор нагружен согласованно, а сопротивление нагрузки называют согласованной.

Схема генератора, нагруженного согласованно, показана на рисунке 3. При согласованной нагрузке .

Рис. 3.

Это по сути условие обеспечения неискаженной передачи формы сигналов.

.

При согласованной нагрузке полная, а тем более средняя мощность будет меньше или равна максимально возможной средней мощности, т.к Pcp. max получается при X0 = 0. При чисто активном сопротивлении генератора, что типично для радиотехнических устройств, понятие согласованной и сопряженной нагрузки не различаются.

Вывод: Т.О., в случае генератора с активным внутренним сопротивлением согласованное включение и максимально возможная средняя мощность в нагрузке достигается при условии равенства сопротивления нагрузки внутреннему сопротивлению генератора гармонических колебаний.

3. Особенности расчета ЭЦ с индуктивными связями

Как отмечалось ранее, применение различных методов расчета резистивных ЭЦ (МУН, МКТ, МН, МЭГ) справедливо и для режима ГК с использованием метода комплексных амплитуд (МКА). Это находит свое применение при расчетах различных схем усилителей, генераторов и т.д. Остановимся на некоторых особенностях расчета ЭЦ с индуктивными связями.

Из курса физики известно, что если две катушки имеют индуктивную связь (рисунок 4, а),

,

а) б) в)

Рис. 4

то напряжение на зажимах одной из этих катушек представляет собой результат наложения двух составляющих: напряжения самоиндукции и напряжения взаимоиндукции, т.е.

где - взаимная индуктивность связанных катушек; а К - коэффициент связи, причем

Знаки в соотношениях ставятся при согласном и встречном выборе направлений отсчетов токов в катушках и соответственно. Выбор направления отсчетов токов будет согласным, если направления отсчета токов одинаковы по отношению к одноименным зажимам катушек. Нетрудно убедиться, что в этом случае (рисунок 4, б) при одинаковых знаках токов и магнитные потоки обеих катушек имеют одинаковые направления, т.е. магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции в каждой катушке складываются. На схемах одноименные зажимы индуктивно связанных катушек обозначаются специальным знаком - точкой (рисунок 4, в). Для случая соответствующего этому рисунку, в соотношениях ставится знак “плюс”, т.к напряжения отсчетов токов выбрано одинаково по отношению к одинаковым зажимам обмоток, т.е. согласно.

При ГК от мгновенных значений напряжений и токов можно перейти к комплексным амплитудам. Тогда получим:

.

Отсюда следует, что при наличии взаимной индуктивности, в уравнениях контурных токов необходимо учитывать слагаемые вида

В качестве примера составим систему контурных уравнений для цепи, схема которой изображена на рисунке 5 по МКТ.

2

Рис.5.

.

Слагаемые и входят в уравнения со знаками “минус”, потому что здесь имеет место встречный выбор направлений отсчетов контурных токов.

В частном случае индуктивно связанные катушки могут находиться в одном контуре. Например, пусть последовательно соединены две катушки с индуктивностями L1 и L2, выполненные на общем сердечнике. Эквивалентная индуктивность такого соединения определяется по схеме рисунок 6 а.

Рис. 6.

Уравнение контурного тока для этого случая составляется с учетом того, что по обеим катушкам протекает один и тот же ток:

.

При согласном включении катушек (рисунок 6, б) имеем:

где .

Если считать , и когда , то в четыре раза больше индуктивности одной катушки. Это закономерно, т.к получается одна катушка с вдвое большим числом витков, а индуктивность катушки пропорциональна квадрату числа витков. При встречном включении катушек (рисунок 6, в)

.

Для случая одинаковых катушек и жесткой связи эквивалентная индуктивность оказывается равной нулю.

Переход от согласованного к встречному включению может быть осуществлен в том случае, если изменяется положение одной катушки относительно другой. Этот принцип используется в вариометрах, которые устроены так, что подвижная катушка может поворачиваться относительно неподвижной и тогда изменяется не только значение М, но и характер включения. В результате индуктивность вариометра может плавно измениться от значения:

до .

Вывод: рассмотренные примеры показывают, что метод контурных токов позволяет произвести анализ ЭЦ при наличии индуктивных связей.

Заключение