Статистика, динамика и кинематика

Содержание

РАЗДЕЛ 1. СТАТИКА

Задача 101 а

Задача 102

Задача 111

Задача 112

Задача 113

Задача Ф-1

Задача Т-1

Задача 141

РАЗДЕЛ 2. КИНЕМАТИКА

Задача К-1

Задача К-2

Задача К-3

РАЗДЕЛ 3. ДИНАМИКА

Задача 301

Задача 321

Задача 322

Задача Д-1

Задача Д-2

Задача Д-3

Список литературы

РАЗДЕЛ 1. СТАТИКА.

Задача 101 а

Система сходящихся сил (рис.1.) находится в равновесии. Требуется графическим способом определить реакцию в стержне «ВС» и проверить результат аналитически.

Дано: Схема №2 G=600Н
RBC - ?

Решение

1. Заменяем реальную схему действия сил (рис.1) расчетной схемой (рис.2) а их действия заменяем связями.

2. Выбираем систему координат (оху). Решаем задачу графически

3. Выбираем масштаб силы (рис.3).

Отмечаем произвольную точку «О», проводим вертикальную линию и откладываем G в выбранном масштабе

Стоим многоугольник действующих сил. Через произвольную точку «О», линии, параллельные направлениям связей, а именно и (рис.3).

Вычисляем направление и величину реакции пo масштабу

4. Проверяем решение задачи аналитически. Составим условия равновесия по осям координат (рис.2)

и

а).

б).

5. Решаем систему уравнений.

Ответ:

6. Определить влияние угла на значения усилий в стержнях и (см. рис.4). результаты расчётов приведены в таблице:

, град.	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90
RBC, Н	600	586	563	519	459	386	300	205	104	------
RAC, Н	0	110	206	300	385	459	515	563	590	------

Задача 102

Шар весом G удерживается в равновесии системой стержней, как показано на рис.7. Требуется определить реакции в стержнях ОС и ВС. Весом стержней пренебречь и считать их абсолютно упругими.

Дано: Схема №2 G = 600Н = 700
RBC - ? RОC - ?

Решение:

1. Учитывая заданные углы, определяем другие углы, необходимые для дальнейшего расчета (рис. 5),

2. Расчленяем заданную систему на две ( рис. 6 и рис. 7) с показом внешних сил (реакция N перпендикулярна наклонной плоскости)

3. Система сил рис.6 сходящаяся в одной точке О, поэтому составляем два уравнения равновесия:

Система сил рис. 7 также сходящаяся в одной точке, поэтому составляем два уравнения, при этом по 3-му закону Ньютона показываем действительное направление ОС



Ответ:

Задача 111

Дано: g=-20 Н/М F=80 H M=330 H*м
Rх - ? Ry - ? M0 - ?

Решение:

1. По полученным исходным данным строим консольную балку в выбранном масштабе =0,2м/мм и в заданных точках располагаем внешние усилия g, F и М в соответствии с их знаками. Знак "минус" перед внешними усилиями означает, что нагрузка g и сила F направлены против оси У, а момент «М» по часовой стрелке. Построим схему балки с обозначенными размерами и значениями внешних усилий (рис.8).

2. Составляем расчетную схему балки, заменяя жесткую заделку тремя действующими реакциями (R_x, R_y и М_о) и раскладывая наклонную силу F на горизонтальную F_x и вертикальную F_y составляющие (рис.9).

Записываем условия равновесия для рассматриваемой плоской системы сил. Используем основную форму условий равновесия.

Вычисляем проекции всех сил на координатные оси и моменты от этих сил относительно точки «О», т.к. в ней пересекаются две неизвестные силы. Результаты расчетов сводим в таблицу :

Уравнения	Усилия
	Rx ,Н	Ry, Н	Мо, Н*м	g, Н/м	F, Н	M, Н*м
Fkx	Rx	0	0	0	Fx	0
Fky	0	Ry	0		Fy	0
m0 (F)	0	0	Мо			M

Суммируем построчно данные таблицы

R_x + F_x =0,

R_y + F_y = 0,

М_о + = 0,

3. Решаем уравнения и получаем значения искомых неизвестных.

4. Исходя из полученных результатов, строим схему балки с нанесенными значениями расчётных величин (рис.10) (внешних усилий и реакций)

Задача 112

Дана рама, состоящая из двух горизонтальных участков (ригелей) и одного вертикального (стойки). Требуется построить в масштабе раму и определить реакции в заделке. На схеме показаны положительные направления внешних усилий. Если стойка разделяет распределенную нагрузку, то последняя может быть расположена только на горизонтальных участках.

Дано: g=-20 Н/М F=80 H M=330 H*м
Rх - ? Ry - ? MА - ?

Решение:

1. Изобразим схему рамы в масштабе М_е = 0,2 м/мм. Заменяем действие заделки А реакциями R_x, R_y и Mr

2. Для полученной плоской системы сил составляем три уравнения равновесия, (см. рис.11)

3.

4. Проверка правильности решения. Составим уравнение равновесия в виде суммы моментов всех сил относительно точки "С".

5. Это доказывает правильность определения всех реакций. Но, так как и имеют отрицательные значения, то на расчётной схеме необходимо поменять направления этих сил на противоположные {см. рис. 12}.

Задача 113

Дано: g= -30 Н/М F=130 H M=120 H*м
Rх - ? Ry - ? MА - ?

1. По исходным данным, в масштабе =0,2м/мм, строим схему балки {рис.13}.

2. Составляем расчетную схему балки, заменяя опоры А и В соответствующими реакциями и раскладывая наклонную силу F на F_x и F_y составляющие. Неподвижную опору заменяем R_ax и R_ay опорными реакциями, а подвижную опору В заменяем R_by реакцией {см. рис.14}.

= 0

= 0

= 0

1) R_AX + F_X = 0

2) R_BY(вґ - аґ) - q

3)

1.1) R_AX = -F_X = - 91,91 Н

1.2)

1.3)

=

Проверка.

= 0

R_AY + R_BY + F_X -q=0; 0 = 0.

3. Это доказывает правильность определения всех реакций. Но, так как и имеют отрицательные значения, то на расчётной схеме необходимо поменять направления этих сил на противоположные {см. рис. 15}.

Задача Ф-1

Дано:

Определить реакции опор фермы от заданной нагрузки, а также во всех её стержнях способом вырезания узлов .

Решение:

1. Определение реакции опор. Покажем внешние силы, приложенные к ферме: активные (задаваемые) силы и реакции опор А и В (рис.16). Так как линия действия реакции опор А неизвестна, определим ее составляющие по координатным осям и .

Опора В стержневая; линия действия её реакции известна - она направлена вдоль опорного стержня.

2. По исходным данным в масштабе =0,1 м/мм строим схему фермы.

3. Строим расчётную схему фермы (см. рис.17).

4. составим уравнение равновесия сил, приложенных к ферме:

; F₁·3h + F₂·2h + RB_y a= 0,

; X_A - F₁ - F₂ = 0 ;

; Y_A + R_BY - F₃ = 0 ;

-6,75 кН = -6750 Н

Х_А= F₁ + F₂ = 5,0 кН = 5 000 Н

У_А = F₃ - R_BY = 8,75 кН = 8 750 Н

Определим б из ? ЕНК: tgб = ; tgб = = 0,75 , т.е. б =

По полученным данным строим расчетную схему фермы, и проставляем все размеры и величины действующих сил (см. рис. 18).

Задача Т-1

На наклонной плоскости с углом наклона =30⁰, большим углом трения, лежит тело Р =10 Н, на него действует сила Q, направленная параллельно наклонной плоскости вверх (см. рис.17). Определить модуль этой силы, при условии, что тело остаётся в равновесии. Коэффициент трения f_тр =0,6.

Дано:
Q - ?

Решение:

1. Выбираем систему координат.

2. Обозначим нормальную реакцию (N) веса тела на плоскость.

3. Обозначаем силу трения тела на плоскости, она направлена в противоположную сторону от приложенной силы Q.

4. Запишем условие равновесия тела на плоскости.

Q = F_TP + P· sin б

F_TP = N · f_TP , где N = P · cos б , значит

F_TP = P · cos б · f_TP ; отсюда

Q = P · cos б · f_{TP +} P sin б

Q = P(cos б f_{TP +} sin б)

Q = 10(0,866 · 0,6 + 0,500) = 10,196 Н

Задача 141

Дано:

Груз весом G (рис.20) подвешен через блок на трос, конец которого намотан на барабан радиусом г и удерживается в состоянии покоя силой трения между рычагом и барабаном по радиусу R. Коэффициент трения рычага о барабан - f.

Требуется, пренебрегая весом барабана, троса и рычага, определить минимальное значение силы Р, приложенной к рычагу, и реакцию в опоре А.

Решение:

1. Составляем расчетную схему установки

2. Прикладываем силу трения в месте соприкосновения рычага с поверхностью шкива (точка В).

3. Рассматриваем равновесие шкива (рис. 22).

F_TP - сила трения (тормоза барабана)

N - нормальная реакция барабана

М_G - вращательный момент от груза G

М_ТР - тормозной момент от рычага

Для равновесия установки необходимо

М_ТР = М_G , т.е. F_TP R = G · r. отсюда F_TP = G · r/R

F_TP = 500 = 250 H

Нормальная реакция барабана на действие силы Р

F_TP = f₁ - N,

отсюда

N = F_TP / f , N = 250 : 0,45 = 555,(5)

4. Определяем силу Р приложенную к рычагу из условия равновесия рычага относительно опоры А. (рис.21).

, P cos 60⁰

P 0.5(1.6) -555,6 · 2/3 · 1,6 = 0

P 0,8 - 1,1 · 555,6; Р = = 763,95 Н

5. Определяем реакцию в опоре А (2-ое условие равновесия)

а)

б) - F_TP - R_X + P · sin 40⁰ = 0

R_X = P · sin 40⁰ - F_TP

R_X = 763,95 · 0,643 - 250 = 241,2 Н

в)

R_y = - = - 244,074863

(Значит направление реакции будет противоположным)

R_A = 343,1 Н

РАЗДЕЛ 2. КИНЕМАТИКА

Задача К-1

Заданы уравнения движения точки в двух плоскостях, требуется:

1. Найти уравнение траектории движения точки.

2. Определить начальное положение точки на траектории при t₁ = 0

3. Построить траекторию движения точки в соответствующих координатах и показать участок ее в интервале времени от t₁ до t₂.

4. Определить путь, пройденный точкой за время от t₁ до t₂.

5. Вычислить полную скорость точки, ее проекции на оси координат для времени t₁ и показать их на траектории.

6. Вычислить полное ускорение точки, ее проекции на оси координат для времени t₂ и показать их на траектории.

7. Определить нормальное и касательное ускорения точки для времени t₂, а так же радиус кривизны.

Дано: OXY

Решение:

1. Находим уравнение траектории движения точки, исключая параметр t из уравнений X и Y.

В настоящем задании используется координатный способ задания движения точки в двух плоскостях X и Y.

Система уравнений имеет вид:

где y и x - соответственно абсцисса и ордината, см;

t - время, с.

Из первого уравнения системы (1)имеем:

подставив его во второе уравнение системы, получаем исходное уравнение траектории:

(2)

2. Определяем начальное положение точки на траектории пои t=0, подставляя нулевое значение времени каждое из уравнений, получим:

полученная точка М₀ имеет координаты (4;-5).

3. Строим траекторию движения точки в координатах OХY.

Предварительно находим пределы изменения Х и Y при изменении времени от t = 0с, до максимального значения, т.е. t₂ = 3,6с.

при t =0с.,Х₀ =4cм, Y₀ =-5см;

при t₂ =3,6с.,Х₂ =42,98см, Y₂ =54,04см.

Подсчитываем также значения Х и Y при t₁= 1,2с.

Х₁ =8,32см, Y₁ =3,16см.

Задавая значения Х от 4 до 42,88см. получаем по формуле (2) соответствующие значения Y и сводим их в таблицу 1.

Значение координат траектории движения точки

Таблица 1

Z	4	5	6	7	8,32	10	20	30	40	42,88
Y	-5	-2,51	-0,7	1	3,16	5,82	20,95	35,55	49,92	54,04

4. Определяем путь, пройденный точкой за время от t₁ =l,2c. до t₂ =3,6с.
Для этого разбиваем траекторию движения точки от М₁ до М₂ на несколько
участков и определяем длину каждого из них по формуле:

где Z₁,Y₁ - соответственно абсцисса и ордината начальных точек участков, см;

Z_j+1, Y_j+1 - соответственно абсцисса и ордината конечных точек участков, см.

Тогда весь путь, пройденный точкой, может быть подсчитан по формуле:

(4)

Где n - количество участков.

В нашем случае:

L = 9,896 + 328,91 + 313,16 + 306,49 + 25,26 = 983,7317 см.

5. Вычисляем полную скорость точки при t₁=1,2с. Для этого,
предварительно, подсчитываем проекции скорости на оси координат как
производные по времени от проекции пути:

Для t₁ =l,2c численные значения проекций скорости будут:

Полную скорость точки подсчитываем по формуле:

В нашем случае;

Для определения направления полной скорости точки в рассматриваемой системе координат удобно пользоваться как графическим, так и аналитическим способами. Сущность графического способа заключается в проведении диагонали прямоугольника, построенного на проекциях скоростей по осям координат.

При аналогичном способе определения направления скорости точки необходимо определить значения направляющих косинусов по формулам:

При t₁ = 1,2c cosб₁ = 0,84; cosб₂ = 0,528

откуда следует, что б₁ = 32° и б₂ = 58°

В соответствии с полученными значениями проекций скоростей и углов, в выбранном масштабе , показываем направление полной скорости точки и ее проекций.

6. Определяем полное ускорение точки при t₂ =3,6с. Для этого подсчитываем проекции ускорение точки на оси координат как производные по времени от проекций скоростей:

Для t₂ =3,6с а_Y =8см/с²; а_Z = 6см/с²

Тогда полное ускорение точки определим по формуле:

Аналогично предыдущему пункту, значения направляющих косинусов для определения направления полного ускорения вычисляем по формулам:



При t2 =3,6с cosв₁= 0,8; cosв₂=0,6

откуда следует, что в₁ = 37° и в₂ = 53°

В соответствии с полученными значениями ускорений и углов, в выбранном масштабе ускорения, проводим линии, соответствующие направлению полного ускорения точки и ее проекциям.

7. Определяем нормальное и касательное ускорения точки. Для этого используем формулу полной скорости точки. Известно, что касательное ускорение точки можно вычислить, взяв первую производную по времени от полной скорости точки, поэтому:

При t₂ = 3,6c;

Нормальное ускорение точки подсчитываем по формуле:

8. Определяем радиус кривизны движения точки при t₂ =3,6с по формуле:



Задание К-2

Кривошип ОА вращается в указанном направлении с постоянной угловой скоростью щ₁. Для двух положений механизма при заданных углах ц₁ и ц₂ требуется:

1) Путем построения планов скоростей определить линейные скорости точек А, В, К, Д, Е и угловые скорости звеньев 2, 3, 4.

2) Путем построения планов ускорений определить ускорения вышеназванных точек и угловые ускорения тех же звеньев. Для построения схемы механизмов следует взять следующие размеры звеньев: ОА=0,3 м; АВ=1,4 м; ВС=1,0 м; ДЕ=1,2м; Н=1,5м.

Дано: ОА = 0,3м АВ = 1,4м ВС = 1,0м ДЕ = 1,2м Н = 1,5м

Решение:

1. Строим схему механизма для двух положений ведущего звена. Для этого определяем масштаб схемы по формуле: , где l_OA=20 мм - длина кривошипа ОА на чертеже.

В полученном масштабе и в соответствии с заданными соотношениями линейных размеров пересчитываем длины всех звеньев механизма:

2. Строим планы скоростей механизма. Для этого определяем линейную скорость точки А ведущего звена по формуле

(1)

где щ₁-угловая скорость ведущего звена, рад/с; ОА - длина звена, м. Выбираем за полюс плана скоростей произвольную точку и обозначаем ее буквой Р.

Подсчитаем масштаб плана скоростей по формуле:

(2)

Где = 39 мм - длина вектора на плане скоростей, мм.

Скорость точки В определяем графическим решением системы уравнений

(3)

Для положения 1: V_B = 8,9 · 0,1 = 0,89 м/с, а для положения 2: V_B = 38 • 0,1 = 3,8м/с.

Скорость точки Д определяем построением на плане скоростей треугольника, подобного треугольнику АВД на схеме механизма. Положение точки (к) на плане скоростей определяем из пропорции:

откуда . (4)

Для положения 1 - (ак) = 20,4 мм

Для положения 2 - (ак) = 21,6 мм

По пропорциям, аналогичным (4), определяем значения отрезка (кд) на плане скоростей

откуда . (5)

Для положения 1 - (кд) = 3,4 мм

Для положения 2 - (кд) = 3,6 мм

Скорость точки Е определяем графическим решением системы векторных уравнений:

Для определения скоростей интересующих нас точек измеряем векторы этих точек на планах скоростей, умножаем их на масштаб планов и сводим полученные результаты в таблицу 2. Кроме точек А,В,К,Д, и Е в таблицу сводим результаты вычисления относительных скоростей звеньев 2 и 4, значения которых будут необходимы в дальнейшем при определении угловых скоростей.

Значения скоростей точек механизма для положений 1 и 2.

Таблица 2.

№ положения	Скорости точек, м/с
	А	В	Д	К	Е	(ак)	(де)
1	3,6	0,89	1,9	1,7	0,69	2,04	1,98
2	3,6	3,8	3,6	3,3	0,1	2,2	3,6

3. Определяем угловые скорости звеньев. Для этого используем формулу

где V_ЗВ - относительная скорость точек соответствующих звеньев, м/с;

l - длина соответствующего звена, м;

S - расстояние на плане скоростей между соответствующими точками, мм;

- масштаб плана скоростей, м/с мм.

Определим угловую скорость звена АВ в первом положении механизма. Из плана скоростей (ав) = 4,4см, = 0,1 м/с мм , АВ=1,4м.

Следовательно,

рад/с

Результаты расчета угловых скоростей всех звеньев для двух положений сводим в таблицу 3.

Значения угловых скоростей звеньев механизма.

Таблица 3

№ положения	Скорости точек, м/с
	ОА	АВ	ВС	ДЕ
1	12	2,43	0,89	1,65
2	12	2,6	3,8	3

4. Стоим планы ускорений механизма. Определяем ускорение точки А. Поскольку кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью, то нормальное ускорение точки А (оно же и полное) подсчитываем по формуле:

(2.8)

где - угловая скорость звена, м/с²_.

Выбираем за полюс плана ускорений произвольную точку и обозначим ее буквой. Проводим через полюс параллельную звену ОА на схеме механизма в направлении от А к О вектор произвольной длинны и обозначаем конец этого вектора буквой (а). При этом длинна вектора выбирается аналогично вектору при построении плана скоростей. Исходя из этого, принимаем:

Для положения 1 - = 86,4 мм, а для положения 2 - = 86,4 мм

Подсчитываем масштаб плана ускорений по формуле:

(2.9)

гдеа_А - полное ускорение точки А, м/с²

Па- длина вектора на плане ускорений, изображающего ускорение точки А, мм.

Для положения 1 -

Для положения 2 -

Ускорение точки В определяем графическим решением системы векторных уравнений:

, (2.11)

где и - нормальные ускорения точки В относительно соответствующих точек А и С, м/с²;

и - касательные ускорения точки В относительно соответствующих точек А и С, м/с ;

Подсчитываем значения нормальных ускорений точки В относительно точки А и С по аналогичной (2.8) формуле.

Для 1 положения:

Для 2 положения:

Используя формулу (2.9), определим длины отрезков на планах ускорений, изображающих нормальные ускорения точки В.

Для 1 положения: .

Для 2 положения: .

То же самое для точки В относительно С.

Для 1 положения:

Для 2 положения:

Или в масштабе плана ускорений:

; .

Найдем точку (к) на плане ускорений по формуле:

Для 1 положения: ,

Для 2 положения: ,

Ускорение точки Е определяем графическим решением системы векторных уравнений:



Поскольку звено ДЕ совершает плоскопараллельное движение, то ускорение точки Е относительно Д раскладываем на нормальное и касательное составляющие. Так как относительная скорость , то и относительное ускорение .

После этих преобразований уравнения примут вид:

где - нормальное ускорение точки Е относительно Д, м/с²;

- касательное ускорение точки Е относительно Д. м/с².

Подсчитываем значение нормального ускорения точки Е по формуле.

Для 1 положения:

Или в масштабе плана ускорений:

Для 2 положения

Или в масштабе плана ускорений:

Значение ускорений точек и звеньев механизма.

Таблица 4

Наименование точек и звеньев механизма	Значение ускорений, м/с2
	1 положение	2 положение
Точки: А В Д К Е Звенья: АВ - полное ускорение - нормальное ускорение - касательное ускорение ВС - полное ускорение - нормальное ускорение - касательное ускорение ДЕ - полное ускорение - нормальное ускорение - касательное ускорение	43,2 33,52 39,5 37 17,6 15,8 8,3 13,5 33,52 0,8 33,6 28,3 3,3 29,1	43,2 45,8 46,4 44,5 56,5 10 9,5 3,2 45,8 28,9 43,4 68,3 21,6 67,4

5. Определяем угловые ускорения звеньев.

Для определения угловых ускорений звеньев используем формулу:

Где а_зв - касательное ускорение точек соответствующего звена, м/с²;

l_зв - длина звена, м;

f_зв - расстояние на плане ускорений между соответствующими точками звена, мм;

Результаты расчета угловых ускорений звеньев сводим в таблицу 5.

Значения угловых ускорений звеньев механизма.

Таблица 5

№ положения	Угловые ускорения звеньев, рад/с2
	АВ	ВС	ДЕ
1	11,3	33,52	23,6
2	7,1	45,8	56,9

Задание К-З

Цель задания: научиться определять линейные скорости звеньев и передаточные числа зубчатых зацеплений планетарных редукторов.

Для планетарного редуктора состоящего из четырех зубчатых колес с известными радиусами и заданными угловыми скоростями ведущего вала щ₁ и одного из элементов щ₂, требуется:

1. Путем нахождения положений мгновенных центров скоростей определить направление и величину линейных скоростей точек, входящих в зацепления;

2. Определить угловые скорости звеньев, входящих в состав редуктора;

3. Найти передаточные числа между ведущим валом и всеми, входящими в редуктор, зубчатыми колесами.

Дано: щI= -14рад/с щII= -21рад/с r1=74см r2=28см r3=23см r4=69см Схема №2

Решение

1. Строим схему планетарного редуктора. Для этого определяем масштаб схемы по формуле

= 2 см/мм,(3.1)

где r₁=74 см - значение наибольшего радиуса из зубчатых колес; =37 мм - размер наибольшего радиуса колеса на чертеже.

Пересчитываем в полученном масштабе значение всех радиусов =37 мм, =14 мм, =11,5 мм, =34,5 мм.

2. Определяем величины и направления линейных скоростей точек, входящих в зацепления. Для этого используем способ мгновенных центров скоростей.

Подсчитываем линейную скорость точки A по формуле:

(3.2)

где щ₂ - угловая скорость зубчатого колеса 2, рад/с; Lr₁ - радиус зубчатого колеса 1, м; аналогично подсчитываем и линейную скорость оси сателлитов, т. е. точки С

Проводим из точки A, в направлении её движения, вектор произвольной длинны. Обозначаем конец этого вектора буквой (a).

Подсчитываем масштаб плана скоростей по формуле

м/смм(3.3)

где - линейная скорость точки A, м/с;

- длина вектора скорости точки A на плане скоростей, мм.

Находим длину вектора скорости точки С по формуле:

(3.4)

Проводим из точки С в направлении вращения водила вектор длинной 32,2 мм и обозначаем конец этого вектора буквой (с). Соединяем пунктирной линией точки (a) и (с) и, продолжая её, находим точку пересечения этой линии с горизонталью, проходящей через точку B. Обозначаем соответствующую точку пересечения буквой (в).

Измеряем длину вектора Вв.

Определяем линейную скорость точки В по формуле

,

3. Определяем угловые скорости звеньев.

Угловая скорость зубчатого колеса 4 определяется по формуле

(3.5)

Угловая скорость сателлитов подсчитывается по формуле

(3.6)

4. Проверяем решение и подсчитываем передаточные числа с помощью
способа Виллиса.

Зубчатые колеса редуктора участвуют:

1) в относительном вращении (по отношению к водилу) вокруг собственных осей;

2) в переносном вращении вместе с водимом вокруг его оси.

Переносной угловой скоростью для каждого колеса является угловая скорость водила щ_вод.

Мысленно останавливаем водило, и тогда угловые скорости колес определятся как разности абсолютных и переносных угловых скоростей

(3.7)

Для относительных скоростей применяем формулу Виллиса

(3.8)

где к - число внешних зацеплений между колесами 4 и n;

щ₄, щ_n - соответственно угловые скорости начального 4 и конечного (n) зубчатых колес, рад/с;

i - передаточное число от колеса 4 к колесу n в относительном движении (при остановленном водиле).

(3.9)

Отсюда

Угловую скорость сателлитов щ_2-3 определяем из соотношения

(3.10)

Отсюда

рад/с

Считаем, что величины, полученные по формуле Виллиса, являются теоретическим и обозначаем их индексом (т).

Подсчитываем погрешность графического способа определения угловых скоростей.

Для звена 4

 (3.11)

Для блока сателлитов 2-3

(3.12)

Дано: VA=17 fTP=0,05 AB=6,5 BC=2,5 N=1м

РАЗДЕЛ 3. ДИНАМИКА

Задача №301

Клубень движется с начальной скоростью в желобе АС состоящем из двух участков: АВ - наклонной к вертикали под и горизонтальной ВС. Кроме силы тяжести, на клубень действует сила трения о стенки желоба на обоих участках. В точке С клубень отрывается от желоба и падает на дно траншеи в точку Д по траектории СД.

Требуется:

1) Найти закон движения клубня на АВ, ВС и СД.

2) Определить скорость движения клубня в т. В,С иД.

3) Определить время движения АВ, ВС и СД.

4) Определить вылет клубня в траншею «в».

Решение:

Участок АВ:

Составляем дифференциальное уравнение движения клубня на участке АВ.

Интегрируем уравнение дважды:

1)=

2)=

- закон движения на участке АВ.

Начальные условия:

При t = 0, C₁=м/с; С₂ = 0 = х.

Тогда уравнение движения на участке АВ будет иметь вид:

Подставляя численные значения в уравнение и определим время t

х =АВ= 6,5 м.

6,5= -0,059,8·0,4226 + 9,8 · 0,906 + 17t

8,67 + 17t - 6,5=0, 4,34 + 17t - 6,5=0

Д = b² - 4ас = 289+ 119,6 = 408,6

t₁= - посторонний

t₂=

Возьмём время прохождения клубня на участке АВ равным 0,17с.

Определяем скорость передвижения в точке В.

-0,05·9,8·0,4226·0,17+9,8·0,906·0,17+17=18,64м/с

=18,64м/с.

Участок ВС:

Составим дифференциальное уравнение на участке ВС.

Интегрируем уравнение дважды:

1)

2) d=-

- закон движения на участке ВС.

Начальные условия:

при t=0, ,

.

Находим время движения на участке ВС:

х₁=ВС=2,5м

2,5 = -0,05 ·9,8 ·

0,5 - 18,64t + 2,5=0

0,25 - 18,64t + 2,5=0

Д=345,0

t₃=

t₄=

Принимаем за время движения клубня на участке ВС t = 0,14с.

Определим скорость точки «С» по уравнению:

-0,05·9,8·0,14+18,64=18,57 м/с

Участок СД:

Интегрируем по «х»:

;

;

;

t+;

Начальные условия:

при t=0, ;

Интегрируем

 ;

; .

Начальные условия:

, ; .

Таким образом уравнения движения имеют вид:

Уравнения траектория движения тела найдем исключив например t из уравнений.

В момент падения тела

Поскольку траектория движения клубня является ветвь параболы, то b = 17,6 м.

.

Скорость тела при падении найдем через проекции скорости на оси координат.

Задача 321

Погрузчик ПБ - 35 состоит из трактора массой m₁ и лопаты с грузом общей массой m₂ (см. Рис. 24 ). Ось опрокидывания лопаты совмещена с центром масс трактора в точке А и отстоит от центра груза на расстоянии R = 2 м. В момент времени t₀, когда скорость трактора V₀ лопата начинает вращательное движение вокруг оси А по часовой стрелке. Закон вращательного движения считая лопату с грузом материальной точкой, и пренебрегая всеми сопротивлениями определить закон движения трактора и вычислить значение скорости трактора для времени Т₁.

Дано: V0=1,8 m1=3000 кг m2=1000 кг T1=0,4 c a=р/6 (1+T2/2) m=(m1+m2)=4600 кс

Решение:

1. выбираем начало отсчета совмещая его с началом m₂. Ось направляем вдоль траектории m₂. Изобразив произвольно положение с учетом, чтобы (см. Рис. 25 ).

2. составляем диф. Уравнение движения груза, рассматривая груз - погрузчик как единую систему.

Так как сумма проекций на ось Х = 0, то:

3. определяем координаты центра масс системы:

- Закон движения трактора.

Заменяем в интегральном уравнении х на х_с.

Подставим в формулу полученные зависимости при интегрировании и полученной зависимости центра масс, сравним их и получим общую зависимость.

4. для определения постоянных интегрирования учитываем начальные условия:

При из уравнения получим, что:

Подставив числовые значения постоянных интегрирования в уравнение , и выразим х₁, получим числовые значения;

5. определяем скорость лопаты и системы в целом.



Задача №322

По горизонтальному участку цепи движутся 3 вагона массы которых m_i к скорости V_i. Начальное расстояние между вагонами S₁ и S₂; через некоторое время от начального движения вагоны поочередно сцепляются и движутся все вместе. Пренебрегая силами сопротивления движения и размерами, вагонов, требуется определить полное время движения до сцепления всех вагонов, а также величины и скорости вагонов после сцепки. Сцепленные вместе 3 вагона далее сцепляются с тепловозом. Определить через какое время от начала движения все вагоны сцепятся с тепловозом, стоящим неподвижно на расстояние S₃ = 150 м от третьего вагона и какова будет скорость после их сцепки. Вес тепловоза G = 400 кН.

Решение

Дано: (m1= m3)103=25кг = 32 кг S1=40 м S2=30 м S3=150 м V1=26 м/с V2=V3=-5,5 м/с GT=400 kH.

1. согласно рисунку и условию задачи строим систему до сцепки, указав скорости.

2. для решения задачи применяем теорему об изменении количества движения, считая вагоны материальными точками.

- количество движения.

- количество движения системы - векторную сумму количеств движения отдельных точек системы.



Импульс силы за время t.

3. Находим сначала количество движения каждого вагона.

Определить количество движения, когда первый вагон столкнется со вторым.

При соединении трех вагонов, количество движения будет равным:

После соединения с тепловозом количество движения равно:

, так как тепловоз стоит, то . Значит:

Все вагоны после сцепления движутся в одну сторону. Находим время первого и второго вагона до встречи:

- путь пройденный первым вагоном.

- путь пройденный вторым вагоном.

Если и отрицательны, то

после подставки получаем:

Поскольку скорости и расстояние между вторым и третьим вагоном остается неизменным, т.е. , находим время встречи первого и второго вагона с третьим:

Определяем скорость трех вагонов после сцепления:

Определяем время пройденное тремя вагонами до полного сцепления:

За это время три вагона пройдут путь:

Определяем расстояние до тепловоза после сцепления трех вагонов.

Найдем время :

Найдем скорость движения при соединении вагонов с тепловозом:

Задача Д - 1

Дано: 2-1-5
M - ? Zc - ? -?

Три однородных тела, удельный вес которых , последовательно и жестко скреплены между собой так, что составляют сложную фигуру. При этом оси однородных тел Z, совпадают с общей осью фигуры. Фигура подвешена горизонтально на двух нитях длиной l .

Требуется:

1. вычислить массу каждого из тел и всей фигуры;

2. найти положение главных осей и вычислить главные моменты инерции фигуры;

3. определить момент инерции фигуры относительно оси АВ, проходящей через точки подвеса;

4. определить период колебаний фигуры для экспериментальной проверки правильности выполненных расчетов.

Решение:

1. Строим фигуру, состоящую из последовательно скрепленных однородных тел 2-1-5. Для этого проводим оси координат Оуz (Рис. 27). Определяем общую длину фигуры. Так как она состоит из последовательно соединенных шара, цилиндра и стержня, то общую длину фигуры определяем по формуле

В нашем случае

(см)

Определяем масштаб длины фигуры по формуле

(см/мм) ,

где - размер фигуры на чертеже в мм.

В принятом масштабе пересчитываем основные размеры однородных тел.

Тело 2 - шар.

мм.

Тело 1 - цилиндр.

мм.

мм.

Тело 5 - стержень.

мм.

мм.

В соответствии с полученными значениями строим фигуру так, чтобы ее левая граница совпадала с началом координат.

2. Вычисляем массу каждого из тел и всей фигуры. Для этого определяем объем каждого тела по формулам:

см³.

см³.

см³.

Подсчитываем вес каждого тела по формуле

, где - удельный вес тела.

Н = 3,7 Н,

Н,

Н.

Определяем массу каждого тела по формуле

где g - ускорение свободного падания, м/с².

кг,

кг,

кг.

Находим положение центров масс (центров тяжести) каждого тела и обозначаем их соответствующими буквами и . Указываем расстояния от начала координат до центров масс .

Общую массу фигуры подсчитываем по формуле

(кг).

3. Находим положение главных осей и вычисляем главные моменты инерции фигуры.

Предварительно определяем центр тяжести фигуры по формуле:

гда - масса соответствующего однородного тела, кг;

- абсцисса центра тяжести соответствующего однородного тела в принятой системе координат, см;

n - количество однородных тел.

В нашем случае

см.

Это же значение в масштабе чертежа будет

(мм/см).

Откладываем от начала координат полученное значение, обозначаем точку буквой С и через нее проводим оси СУс и СХc. Ось Z , так как она проходит через центр тяжести, дополнительно обозначаем Zc .

Оси СZс, СУс и СХс являются главными осями инерции тела, поскольку ось CZc является осью симметрии, а оси СУс и СХc перпендикулярны соответствующим плоскостям симметрии СУсZс и CXcZc.

Подсчитываем главные моменты инерции тела для всех главных осей фигуры.

Ось ОZc.

, ,

Ось 0Ус.

Подсчитываем моменты инерции каждого однородного тела относите только своей центральной оси У.

=901,5 кгм².

Поскольку плоскости симметрии УсСZc и XcCZc взаимно перпендикулярны, то момент инерции фигуры относительно оси СУс равен моменту инерции относительно оси СХс, т.е.



4. Определяем момент инерции фигуры относительно оси АВ, проходящей через точка подвеса.

5. Определяем период колебаний фигуры для экспериментальной проверки правильности проведенных расчетов. Для этого используем приближенную формулу

Задача Д-2

Система твердых тел, состоящая из вала I ("весом G₁ и радиусом r₁), двух дисков (вес каждого из которых G₂ и радиус r₂) и груза 3 (весом G₃), связанного с валом намотанным на него тросом, под действием вращающего момента от груза начинает движение по горизонтали. Через n оборотов вала груз соприкасается с поверхностью (см. Рис. 28) и система продолжает движение по инерции. На расстоянии l на ее пути встречается препятствие в виде подъема с углом .

Дано: Схема №2 G1 =170Н G2 =100H G3 =380H n=5,0 r1 =0,20 м r2 =1б00 м м

Требуется:

1)определить высоту, на которую поднимется система, полный путь перемещения центра вала, время от начала движения до полной остановки;

2)определить работу, энергию и мощность, развиваемые грузом.
Силой инерции груза в горизонтальной плоскости, силами трения и сопротивления качению пренебречь.

Решение:

1. Определяем характерные участки пути:

а)длина горизонтального участка пути, ;

б)длина пути, на котором действует вращающий момент от груза G₃,

(м).

в)длина горизонтального участка пути, которую движущаяся система преодолевает по инерции:

2. Подсчитываем работу, совершаемую грузом G₃ на участке , по формуле

где- вращающий момент, Нм;

- угол поворота вала, рад.

Поскольку

и , то

3. Подсчитываем кинетическую энергию, набранную системой на горизонтальном участке пути , по формуле

где - соответственно значение кинетической энергии системы в конце и начале горизонтального участка пути, Нм;

- сумма работ всех движущих сил, Нм.

В вашем случае, поскольку система начинает движение из состояния покоя, то =0, а так как движущей силой является только сила G₃, то

4. Определяем высоту подъема системы. Исходя из закона сохранения механической энергии, используем формулу

где П - количество потенциальной энергии» запасаемой системой при подъеме до полной остановки, Нм;

- соответственно массы вала и дисков, кг;

- ускорение свободного падения, м/с²;

h - высота подъема, м.

Откуда



5. Подсчитываем длину пути подъема по формуле

6. Подсчитываем общую длину пути, пройденного системой

7. Определяем время, затраченное системой на преодоление всего пути.

Момент инерции системы подсчитываем по формуле

где соответственно радиусы вала и дисков, м.

.

Для определения угловой скорости системы в конце участка используем формулу кинетической энергии для тела, совершающего одновременно поступательное и вращательное движения

Где - скорость поступательного движения, м/с;

- угловая скорость вращательного движения, рад/с

Учитывая, что и

получаем:

Подставляя численные значения, получаем

Определяем время движения системы, решая совместно уравнения для равноускоренного движения на участке

где - начальные значения угловой скорости и угла поворота системы.

Из уравнений получаем:

Определяем время, затраченное системой на преодоление пути с постоянной угловой скоростью , по формуле

Откуда

Определяем время, затраченное системой на преодоление пути подъема из условия равнозамедленного движения, решая совместно уравнения

Откуда

где - приращение угла поворота системы при движении ее на подъем, рад.

В нашем случае

Подставляя полученное значение в формулу , имеем:

Следовательно, время движения системы подсчитываем по формуле



8. Подсчитываем мощность, развиваемую грузом G₃ на участке по формуле

Задача Д-3

Грузы 1 (массой m₁), и 2 (массой m₂) связанны между собой гибкими нитями через блок шкивов 3 (момент инерции которого , радиусы r₁ = 0,2 м и r₂ = 0,4 м). При этом груз 2 скользит по поверхности (с углом наклона и коэффициентом трения f), а груз 1 отвесно падает с высоты h на наковальню 4 (массой m₄), закрепленную на пружине 5 ( жесткость которой - С) (см. Рис. 29 ).

Дано: Схема №2 m1 =12 кг m2 =8 кг m4 =84 кг h =1,1 м м С=100 Н/м

Считая удар груза 1 о наковальню 4 абсолютно неупругим, требуется:

1) определить ускорение и скорость груза 1 в момент соударения его с наковальней;

2) рассчитать импульс силы, полученный пружиной 5;

3) определить собственную частоту колебаний наковальни до и после удара;

4) определить значение кинетической энергии груза 1 в момент соударения с наковальней.

Трением качению шкивов и массой нитей пренебречь.

Решение:

1. Определяем ускорение и скорость груза 1 в момент соударения его с наковальней 4.

Вычерчиваем схему (Рис. 29 ).

Решение задачи начинаем с использования общего уравнения динамики, основанного на принципе Даламбера - Лагранжа.

Необходимо помнить принцип Даламбера - Лагранжа, который гласит: при движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю.

Записываем общее уравнение динамики

где - соответственно элементарные работы активных сил и сил инерции.

Выбираем направление движения системы так, что груз 1 опускается. Прикладываем к каждому элементу системы действующие активные силы и силы инерции. Этими силами будут:

а) сала тяжести груза 1 - . Вектор этой силы направлен вертикально вниз;

б) сила инерции груза1 - . Вектор этой силы направлен вертикально вверх, так как ускорение направлено вниз;

в) силы инерции блока 3, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловым ускорением приводятся к моменту , который направлен по часовой стрелке, поскольку угловое ускорение направлено против часовой стрелки;

г) сила тяжести груза 2 - . Вектор этой силы направлен вертикально вниз;

д) сила инерции груза 2 - . Вектор этой силы направлен вдоль поверхности вниз, поскольку ускорение направлено вверх;

е) сила трения груза 2 о поверхность - Вектор этой силы также направлен вдоль поверхности вниз, так как он всегда направлен против движения тела, а оно движется вверх.

Сообщаем системе возможное перемещение в направлении ее действительного движения.

Составляем общее уравнение динамики применительно к нашему случаю:

где и S₂- соответственно угол поворота блока шкивов 3 и перемещение груза 2.

Находим зависимости между возможными перемещениями так же, как и между соответствующими скоростями

,

Откуда

,

Подставляем (3.2) в (3.2) и получаем

Сократив осе части уравнения на имеем

Учитывая, что

и подставляя (3.4) в (3.3) , получаем

Зависимости между ускорениями определяем аналогично (3.2)

Подставляя (3.6) в (3.5) . получаем



Откуда

или численно:

Скорость груза 1 определяем, решая совместно систему уравнений для равноускоренного движения

где - начальные параметры. Так как движение системы

начинается из состояния покоя, то

Решая (3.7), имеем

2. Определяем импульс силы, полученный пружиной 5.

Для этого воспользуемся законом сохранения количества движения.

Необходимо помнить, что закон сохранения количества движения гласит: если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то вектор количества движения системы будет постоянен по модулю и направлению.

Количество движения груза 1 до удара определяется по формуле

Количество движения груза 1 и платформы ( наковальни ) 4 после удара определяется по формуле

где U - скорость движения масс 1 и 4 после удара.

На основании закона сохранения количества движения приравниваем правые части вышеприведенных формул и получаем

Необходимо помнить, что ударом называется такое явление, при котором скорости точек тела за очень малый промежуток времени X изменяются на конечную величину. При этом в качестве предельных случаев рассматривают абсолютно упругий удар (при К= 1) и абсолютно неупругий удар (при К=0), Особое внимание следует обратить на абсолютно неупругий удар, так как в этом случае потеря кинетической энергии соударяемых тел будет максимальной.

При абсолютно неупругом ударе (при К = 0) действующий на тело ударный импульс подсчитывается по формуле:

3. Определяем собственную частоту колебаний наковальни до и после удара по формуле

До удара

После удара

4. Определяю кинетическую энергию груза 1 во врет удара по формуле

Список литературы

1. В.Л. Цывильский. Теоретическая механика. Москва, «Высшая школа», 1998.

2. С.М. Тарг. Краткий курс теоретической механики. Москва, «Высшая школа», 1998.

3. А.А. Яблонский. Сборник задач для курсовых работ по теоретической механике. Москва, «Высшая школа», 2000.

4. Н.А. Бражниченко. Сборник задач по теоретической механике. Москва, «Высшая школа», 1998.

5. Н.С. Парфенов и др. Сборник задач по теоретической механике, решаемых с применением ЭВМ. «Политехника», 2003.

6. А.А. Мамедов. Методические указания для студентов по теоретической механике. Раздел: Статика. Белгород, 2004.

7. А.А. Мамедов. Методические указания для студентов по теоретической механике. Раздел: Кинематика. Белгород, 2004.

8. А.А. Мамедов. Методические указания для студентов по теоретической механике. Раздел: Динамика. Белгород, 2004.