Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Цель работы

- закрепить знания студентов, получаемые при изучении раздела "Теория колебаний" курса "Механика сплошной среды" и привить навыки самостоятельного исследования колебательных процессов в механических системах.

Содержание задания:

1. Составить дифференциальное уравнение малых колебаний системы.

2. Получить решение этого уравнения и, используя заданные начальные условия, определить постоянные интегрирования и .

3. Определить период установившихся вынужденных колебаний и добротность системы Д, а для вариантов с малым линейно-вязким сопротивлением (n<k) дополнительно: - условный период затухающих колебаний, - логарифмический декремент колебаний, - постоянную времени затухающих колебаний.

4. Исследовать амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики системы.

5. Оценить процесс перехода от начального возмущенного движения системы к установившимся вынужденным колебаниям, построив графики и .

В курсовой работе рассматриваются малые колебания механической системы с одной степенью свободы около положения устойчивого равновесия. Требуется составить дифференциальное уравнение движения и найти его решение при заданных начальных условиях. Для вынужденных колебаний провести исследование процесса перехода от начального возмущенного движения к установившимся вынужденным колебаниям и построить амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики системы.

Механические системы, рассматриваемые в курсовой работе - плоские механизмы, расположенные в вертикальной плоскости и состоящие из твердых тел, нитей, демпферов и упругих элементов.

Линейно-вязкое сопротивление при движении системы возникает в демпфере, сила сопротивления которого пропорциональна скорости движения поршня , - коэффициент сопротивления демпфера; массой демпфера можно пренебречь.

Силы и моменты сил воздействия упругих элементов на тела пропорциональны удлинению пружин или углу закручивания спиральных пружин.

Выполненная курсовая работа оформляется по ГОСТ 7.32-2001 и представляется на защиту комиссии в форме доклада с использованием средств мультимедийной аудитории.

колебание механический равновесие фазочастотный

1. Условие

Рис.1

Сила с моментом (М0=1 Н·м, p=15 рад/с) действует на однородный сплошной цилиндр 2 массой m2=4кг и радиусом r=0,1м, вращению которого препятствует спиральная пружина 3 со статической деформацией =0,25 рад.

Движению стержня 1 массой m1=2 кг вниз вдоль вертикальной оси препятствует демпфер 4 с коэффициентом сопротивления =67,2.

В момент времени t=0 цилиндру 2 в положении равновесия была сообщена начальная скорость = -0,5 рад/с.

2. Решение

2.1 Составление дифференциального уравнения движения

Составим дифференциальное уравнение движения системы, используя уравнения Лагранжа II рода, выбрав в качестве обобщенной координаты q(t) угол поворота стержня 3 вокруг оси B(z) (рис.2) с положительным направлением отсчета против хода часовой стрелки.

Кинетическая энергия системы:

Т = Т₁ + Т₂ , (1)

(2)

(3)

Тогда

(4)

, где (5)

Обобщенную силу Q представим в виде

Q = Q^П + Q^Ф + Q^В (t) . (6)

Из условия равновесия системы

(7)

Запишем выражение, определяющее изменение потенциальной энергии системы при повороте цилиндра на угол от положения статического равновесия

(8)

, , (9)

Диссипативная функция Рэлея

(10)

Откуда

, . (11)

И, наконец, определим

(12)

(13)

Дифференциальное уравнение движения системы с учетом (5), (9), (11) и (13) имеет вид

(14)

или в канонической форме

, (15)

2.2 Решение и исследование уравнения

,

где

(16)

(17)

(18)

Имеем случай большого линейно-вязкого сопротивления n > k, поэтому общее решение однородного уравнения q_о.о (t) запишем

(19)

(20)

Частное решение уравнения

, (21)

(22)

(23)

поскольку е меняется в пределах от 0 до x,

(24)

Общее решение уравнения (19) имеет вид

(25)

Найдем постоянные и :

(26)

(27)

Отсюда следует,

(28)

Окончательный вид решения:

Вычислим добротность системы Д и период вынужденных колебаний :

, (29)

Рис. 2

Для оценки перехода от движения системы, возникшего в начальный момент t=0 в результате начального возмущения (q₀= -0,02,рад/с), к установившимся вынужденным колебаниям построим графики и q(t) на интервале времени , достаточном для этого перехода:

(30)

На рис.2 представлены графики и q(t). Видно, что на выбранном интервале времени при , а q(t) переходит в установившиеся вынужденные колебания.

2.3 Характеристики системы

Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики системы, построенные по значениям, приведенным в табл.1, даны на рис.3 и рис.4.

Таблица 1

Рис. 3 Амплитудно-частотная характеристика

Рис. 4Фазочастотная характеристика

Поскольку, максимальное значение и соответствует z=0.

Заключение

1. При выполнении курсовой работы проанализирована колебательная система, составленная из однородного сплошного цилиндра, стержня, спиральной пружины и демпфера.

2. Составлено дифференциальное уравнение малых колебаний линейной системы с одной степенью свободы, получены его решения. В результате решений определено, что заданная система обладает большим линейно-вязким сопротивлением (). На выбранном интервале времени при , а переходит в установившиеся вынужденные колебания.

3. Для систем с большим линейно-вязким сопротивлением движение без вынужденной силы (общее однородное решение) имеет не колебательный, затухающий характер, что представлено на рис. 2, потому что коэффициент затухания n=8,4 рад/с больше круговой частоты собственных колебаний системы k=4,42945 рад/с. В момент начала движения (при с) величина=-0,02 рад/с.

4. График окончательного решения (величина) представлен также на рис. 2. По графику q(t) можно сказать, что возбужденные колебания системы не будут затухающими, т.е. амплитуда D=0,00769 рад. постоянна как при отсутствии резонанса, так и при резонансе. Линейное сопротивление не влияет на частоту вынужденных колебаний, которая совпадает с частотой возмущающей силы p=15 рад/с.

5. Определены период установившихся вынужденных колебаний и добротность системы Д= 0,26366.

6. На рис. 3 представлена амплитудно-частотная, а на рис. 4 - фазочастотная характеристики системы. Можно судить о том, что амплитуда вынужденных колебаний стремится к нулю, и не будет превышать величины статического смещения при увеличении частоты возмущающей силы.

7. Фазочастотная характеристика показывает нам то, как система, с начальным фазовым сдвигом =1,65393 рад. будет откликаться на изменение частоты возмущающей силы.

Список литературы

1. Добронравов В.В., Никитин Н.Н., Дворников А.Л. Курс теоретической механики. - М.: Высшая школа, 1974, 1983, 1989. -575 с.

2.Методические указания по выполнению курсовой работы по теме "Колебания линейной системы с одной степенью свободы" по курсу "Механика сплошной среды" Москва,2008.

Размещено на Allbest.ru