Схема механической системы с одной степенью свободы
Исследование движения механической системы с одной степенью свободы, представляющей собой совокупность абсолютно твёрдых тел, связанных друг с другом посредством невесомых нерастяжимых нитей, параллельных соответствующим плоскостям общей схемы системы.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 01.10.2020 |
| Размер файла | 1,8 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
3
МИНОБРНАУКИ РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Тульский государственный университет»
Интернет-институт
Курсовая работа
по дисциплине:
«Механика»
Схема механической системы с одной степенью свободы
Тула 2020
ОГЛАВЛЕНИЕ
Аннотация
Схема механизма и данные для выполнения задания
Определение кинематических параметров движения механизма
1Вывод дифференциального уравнения движения с использованием теоремы об изменении кинетической энергии механической системы
2Определение закона движения системы и реакций внешних и внутренних связей
2.1Определение закона движения системы
2.2Определение реакций внешних и внутренних связей
3Применение принципа Даламбера-Лагранжа и уравнений Лагранжа 2 рода
3.1Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера-Лагранжа
3.2Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнений Лагранжа 2-го рода
6Построение алгоритма вычислений
Результаты вычислений
Результаты оптимизации
Анализ результатов оптимизации
Литература
АННОТАЦИЯ
Исследуется движение механической системы с одной степенью свободы, представляющей собой совокупность абсолютно твердых тел, связанных друг с другом посредством невесомых нерастяжимых нитей, параллельных соответствующим плоскостям. Система снабжена внешней упругой связью с коэффициентом жесткости с. На первое тело системы действует сила сопротивления (- скорость центра масс тела 1) и возмущающая гармоническая сила . Трением качения и скольжения пренебречь. Качение катков происходит без скольжения, проскальзывание нитей на блоках отсутствует. Требуется, используя основные теоремы динамики системы и аналитические методы теоретической механики, определить закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей.
движение тело нить механическая система
Схема механизма и данные для выполнения задания
Рис 1. Схема механизма.
Дано:
|
m1 = 2 кг |
r2 = 0,1 м |
c = 4000 Н/м |
s0 = 0,06 м |
|
|
m2 = 2 кг |
r3 = 0,1 м |
м = 100 H?c/м |
v0 = 0,08 м/с |
|
|
m3 = 3 кг |
R3 = 0,2 м |
F0 = 50 Н |
||
|
m4 = 2 кг |
i3 = 0,15 м |
p = р = 3,14 с-1 |
||
|
R4 = 0,3 м |
1. ВЫВОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
На рис. обозначено:
- силы тяжести,
-нормальная реакция опорной плоскости,
- упругая реакция пружины,
- реакции подшипника блока 2,
- сила вязкого сопротивления,
- возмущающая сила.
Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы. Будем определять положение системы с помощью координаты . Начало отсчета координат совместим с положением статического равновесия груза 1.
Для построения дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в форме:
|
(1.1) |
где обозначено:
Т - кинетическая энергия системы,
- сумма мощностей внешних сил,
- сумма мощностей внутренних сил.
Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел, образующих механическую систему.
Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел, образующих механическую систему.
Груз 1 совершает поступательное движение. Его кинетическая энергия равна:
|
. |
(1.2) |
Блок 2 и каток 4 совершают плоскопараллельное движение, поэтому
|
, |
(1.3) |
где , - моменты инерции блока 2 и катка 4.
Блок 3 совершает вращательное движение около неподвижной оси. Его кинетическая энергия определяется по формуле:
|
(1.4) |
где - момент инерции блока 3.
Кинетическая энергия всего механизма будет равна:
|
(1.5) |
Так как система имеет одну степень свободы и в качестве координаты, определяющей ее положение, ранее принято перемещение груза 1, то кинематические характеристики всех тел механизма легко выражаются через кинематические параметры груза 1 соотношениями:
|
(1.6) |
Подставляя (1.2), (1.3), (1.4) в (1.5) с учетом (1.6), окончательно получаем:
|
(1.7) |
|||
|
где |
. |
(1.8) |
называется приведенной массой.
Теперь вычислим правую часть уравнения (1.1) - сумму мощностей внешних и внутренних сил.
Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость точки приложения силы, а мощность момента силы - алгебраическому произведению момента силы на угловую скорость вращения тела, к которому приложен момент:
Знак "+" берется в том случае, если направления момента и угловой скорости одинаковы, а знак "-" если их направления противоположны.
Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, т.е. тела, входящие в систему, не деформируемы и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому мощности внутренних сил будут равняться нулю .
Будут равняться нулю и мощности некоторых внешних сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из расчетной схемы, таковыми являются силы . Сумма мощностей остальных сил равна:
или
С учетом кинематических соотношений (1.6) сумму мощностей внешних сил преобразуем к виду:
|
(1.9) |
|||
|
(1.10) |
называется приведенной силой.
Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины. Полное удлинение пружины равно сумме статического и динамического удлинений
.
Тогда упругая сила будет равна:
.
Сила вязкого сопротивления . Тогда приведенная сила (1.10) в развернутой форме будет определяться выражением:
|
(1.11) |
В состоянии покоя и условиемравновесия системы будет служить уравнение
|
(1.12) |
Из уравнения (1.12) определяется статическое удлинение пружины
|
. |
(1.13) |
Таким образом, окончательное выражение для приведенной силы (1.11) будет иметь вид:
|
. |
(1.14) |
Подставим выражения для кинетической энергии (1.7) и сумму мощностей всех сил (1.9) с учетом (1.14) в уравнение (1.1). Тогда, после дифференцирования, получаем дифференциальное уравнение движения системы:
|
. |
Общепринято такие уравнения представлять в виде:
|
(1.15) |
где введены коэффициенты, имеющие определенный физический смысл:
- частота собственных колебаний,
- показатель степени затухания колебаний.
Начальные условия:
|
при ?. |
(1.16) |
Уравнения (1.15), (1.16) представляют математическую модель для решения второй задачи динамики.
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ И РЕАКЦИЙ ВНЕШНИХ И ВНУТРЕННИХ СВЯЗЕЙ.
2.1 Определение закона движения системы
Возмущающая сила изменяется по гармоническому закону:
где - амплитуда возмущающей силы, - циклическая частота возмущения.
Дифференциальное уравнение движения механической системы (1.15) с учетом выражения для возмущающей силы примет вид:
|
(2.1) |
где .
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (2.1) складывается из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее неоднородному уравнению (2.1), имеет вид:
|
(2.2) |
Решение этого уравнения ищем в виде функции
|
(2.3) |
где и - неопределенные постоянные величины.
Подставляя (2.3) в (2.2), получим:
Так как мы ищем нетривиальное решение, то . Следовательно, должно выполняться условие
|
(2.4) |
Уравнение (2.4) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (2.2). Это уравнение имеет два корня:
|
. |
(2.5) |
где .
В данном случае () общее решение уравнения (2.2) имеет вид:
,
где - постоянные интегрирования,
.
Данное выражение нетрудно представить в виде
|
(2.6) |
где , - постоянные интегрирования.
Определим частное решение неоднородного дифференциального уравнения (2.1). Частное решение ищем в виде правой части
|
(2.7) |
Подставляя (2.7) в (2.1), после несложных преобразований получим
Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях справа и слева, получаем систему алгебраических уравнений для определения постоянных и :
,
Решая эту систему алгебраических уравнений, получаем выражения для коэффициентов и :
Таким образом, решение (2.7) найдено. Складывая (2.7) и (2.6), получаем общее решение неоднородного уравнения (2.1)
|
(2.8) |
|||
|
Константы а и в определяются из начальных условий (1.16). Для этого найдем производную по времени от (2.8): |
||
|
(2.9) |
Подчинив (2.8) и (2.9) начальным условиям, получим систему уравнений относительно искомых констант
Решая эту систему, получаем:
|
(2.10) |
И, подставляя (2.10) в (2.8), получаем закон движения механизма, выраженный через перемещение груза.
.
2.2 Определение реакций внешних и внутренних связей
Для решения этой задачи расчленяем механизм на отдельные части и рисуем расчетные схемы отдельно для каждого тела (рис.3).
К каждому телу, изображенному на расчетной схеме (рис. 3), применяем две из основных теорем механики материальной системы: теорему об изменении количества движения и теорему об изменении кинетического момента
|
(2.11) |
|||
|
(2.12) |
Для каждого тела уравнения (2.11) и (2.12) записываем в проекциях на оси координат соответственно схемам рис. 3:
|
тело 1: |
(2.13) |
||
|
тело 2: |
(2.14) |
||
|
тело 3: |
(2.15) |
||
|
тело 4: |
(2.16) |
рис. 1. Расчетные схемы для каждого тела механизма.
С учетом кинематических соотношений систему уравнений (2.13) - (2.16) преобразуем к виду:
|
, , , , , , , . |
(2.17) |
Уравнения (2.17) составляют систему алгебраических уравнений относительно функций , , , , , , , .
3. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА И УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА 2 РОДА
3.1 Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера - Лагранжа
Общее уравнение динамики системы есть математическое выражение принципа Даламбера-Лагранжа
|
. |
(3.1) |
Здесь - сумма элементарных работ всех активных сил на возможном перемещении системы; - сумма элементарных работ всех сил инерции на возможном перемещении системы.
Изобразим на рисунке активные силы и силы инерции (рис. 4). Пружина является неидеальной связью. Введем реакцию этой связи в число активных сил.
Сообщим системе возможное перемещение. Составим кинематическое соотношение для системы:
Откуда
,
,
рис. 2. Расчетная схема.
Работа активной силы определяется
, .
Работы некоторых внешних сил будут равняться нулю, т.к. они приложены в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из расчетной схемы, таковыми являются силы . Возможная работа остальных активных сил определяется как сумма следующих элементарных работ:
|
, |
(3.2) |
где . (3.3)
В состоянии покоя системы приведенная сила равна нулю. Полагая в (3.3) получаем условие равновесия системы
откуда определяется статическое удлинение пружины
. (3.4)
Учитывая (3.2) и (3.4), получаем окончательное выражение для приведенной силы
.
Аналогичное выражение для приведенной силы было получено ранее (1.14).
Найдем возможную работу сил инерции:
|
(3.5) |
Используя кинематические соотношения, можно записать
,
,
Тогда для величин главных векторов и главных моментов сил инерции имеем следующие выражения
|
, , , , , . |
(3.6) |
||
|
или, |
; , , , , . |
(3.7) |
Тогда возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду
|
(3.8) |
или
|
, |
(3.9) |
где .
Аналогичное выражение для приведенной массы системы было получено ранее (1.8). Подставляя выражения (3.3) и (3.9) в общее уравнение динамики (3.1) получим
|
(3.10) |
Разделив (3.10) на , получаем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы:
|
, |
(3.11) |
где , , .
Дифференциальное уравнение (3.11) полностью совпадает с уравнением (1.15) полученным ранее.
3.2 Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнения Лагранжа 2 рода
Составим теперь уравнение Лагранжа 2-го рода. В качестве обобщенной координаты примем перемещение груза 1 - . Для механической системы с одной степенью свободы дифференциальное уравнение движения в обобщенных координатах имеет вид:
|
(3.12) |
где - кинетическая энергия системы; - обобщенная сила; - обобщенная координата.
Составим кинематические соотношения системы:
,
, , .
Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел, образующих механическую систему.
Груз 1 совершает поступательное движение. Его кинетическая энергия равна:
|
. |
(3.13) |
Блок 2 и каток 4 совершают плоскопараллельное движение, поэтому
|
, |
(3.14) |
где , - моменты инерции блока 2 и катка 4.
Блок 3 совершает вращательное движение около неподвижной оси. Его кинетическая энергия определяется по формуле:
|
(3.15) |
где - момент инерции блока 3.
Кинетическая энергия всего механизма будет равна:
|
(3.16) |
Так как система имеет одну степень свободы и в качестве координаты, определяющей ее положение, ранее принято перемещение груза 1, то кинематические характеристики всех тел механизма легко выражаются через кинематические параметры груза 1 соотношениями:
|
(3.17) |
Подставляя (1.2), (1.3), (1.4) в (1.5) с учетом (1.6), окончательно получаем:
|
где |
. |
(3.18) |
Учитывая, что , получаем
. (3.19)
Производные от кинетической энергии
.
Для определения обобщенной силы сообщим системе возможное перемещение, при котором координата получит приращение , и вычислим сумму элементарных работ всех активных сил на возможном перемещении точек их приложения.
Работы некоторых внешних сил будут равняться нулю, т.к. они приложены в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из расчетной схемы, таковыми являются силы . Возможная работа остальных активных сил определяется как сумма следующих элементарных работ:
|
, |
(3.20) |
где . (3.21)
В состоянии покоя системы приведенная сила равна нулю. Полагая в (3.21) получаем условие равновесия системы
,
откуда определяется статическое удлинение пружины
. (3.22)
Учитывая (3.20) и (3.22), получаем окончательное выражение для приведенной силы
,
.
В тоже время известно, что
|
(3.23) |
Из (3.23) получаем выражение для обобщенной силы:
|
(3.24) |
Подставляя кинетическую энергию (3.19) и обобщенную силу (3.24) в уравнениеЛагранжа получаем
или , (3.25)
где , , .
Полученное уравнение (3.25) совпадает с уравнениями (1.15) и (3.11).
ПОСТРОЕНИЕ АЛГОРИТМА ВЫЧИСЛЕНИЙ
1. Исходные данные:
, , , , , , , , , , , , , , , .
2. Вычисление констант
, , ,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
3. Задаем начальное время .
4. Вычисление искомых функций
5. Вычисление реакций связей
,
,
,
, ,
,
,
.
6. Определение значения времени на следующем шаге .
7. Возврат к пункту 4. пока
8. Отображение результатов вычисления на графиках.
Результаты вычислений
Результаты оптимизации
Анализ результатов оптимизации
Используя основные теоремы динамики системы и аналитические методы теоретической механики, мы определили закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей. То, что при использовании различных теорем мы получили одинаковые законы движения, свидетельствует о правильности полученных результатов. Однако, из-за того, что исходные данные для расчета были выбраны произвольно, в некоторый момент наблюдалось провисание нитей, что привело бы к неверному описанию реального движения механизма полученным законом движения. Для приведения в соответствие реального закона движения с полученным на основе теорем, мы провели оптимизацию данных, в результате чего изменили массу первого тела с 2 до 8 кг.
Литература
Методические указания для выполнения курсовой работы по разделу «Динамика» «Исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы».
Конспекты лекций по разделу «Динамика».
Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. - М.: Высшая школа, 1990. - 607 с.
Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Т.2. - М.: Высшая школа, 1984. - 424 с.
Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. - М.: Наука, 1988. - 482 с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Изучение траектории колебания механической системы с одной степенью свободы, на которую действуют момент сопротивления и возмущающая гармоническая сила. Определение закона движения первого тела и расчет реакции внешних и внутренних связей системы.
курсовая работа [374,7 K], добавлен 03.09.2011Составление дифференциального уравнения колебаний механической системы с одной степенью свободы около положения устойчивого равновесия. Определение периода установившихся вынужденных колебаний, амплитудно-частотной и фазочастотной характеристики системы.
курсовая работа [687,7 K], добавлен 22.02.2012Вывод дифференциального уравнения движения с использованием теоремы об изменении кинетической энергии механической системы. Определение реакций внутренних связей. Уравнение динамики системы как математическое выражение принципа Даламбера-Лагранжа.
курсовая работа [477,8 K], добавлен 05.11.2011Свободные колебания осциллятора в отсутствие сопротивлений. Режим вынужденных колебаний, их возникновение. Схема для исследования свободных колебаний в линейной системе. Фазовая диаграмма колебательной системы при коэффициенте усиления источника.
лабораторная работа [440,9 K], добавлен 26.06.2015Исследование относительного движения материальной точки в подвижной системе отсчета с помощью дифференциального уравнения. Изучение движения механической системы с применением общих теорем динамики и уравнений Лагранжа. Реакция в опоре вращающегося тела.
курсовая работа [212,5 K], добавлен 08.06.2009Понятие об устойчивости равновесия, критерий равновесия консервативной системы. Свойства малых колебаний точек системы. Вынужденные, малые свободные и малые затухающие колебания системы с одной степенью свободы. Линеаризированное уравнение Лагранжа.
презентация [1,4 M], добавлен 26.09.2013Исследование динамического поведения механической системы с использованием теорем и уравнений теоретической механики. Дифференциальное уравнение движения механической системы. Законы движения первого груза, скорость и ускорение в зависимости от времени.
реферат [107,8 K], добавлен 27.07.2010Определение частоты колебаний системы с одной степенью свободы. Расчет нормальных мод и собственных колебаний тел в двухмодовой системе. Распределение полярных молекул по угловой координате во внешнем поле. Техника реализации условия фазового синхронизма.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 01.02.2013Внешние и внутренние силы механической системы. Дифференциальные уравнения движения системы материальных точек: теорема об изменении количества движения системы; теорема о движении центра масс. Момент инерции, его зависимость от положения оси вращения.
презентация [1,7 M], добавлен 26.09.2013Движение центра масс механической системы. Количество движения точки и импульс силы. Теорема об изменении количества движения механической системы. Движение точки под действием центральной силы. Закон сохранения кинетического момента механической системы.
презентация [533,7 K], добавлен 09.11.2013
