Волновые свойства частиц

К началу XX века в оптике были известны как явления, подтверждающие наличие волновых свойств у света (интерференция, поляризация, дифракция и др.), так и явления, нашедшие объяснение с позиций корпускулярной теории (фотоэффект, эффект Комптона и др.). В начале XX века для частиц вещества был обнаружен ряд эффектов, внешне сходных с оптическими явлениями, характерными для волн. Так, в 1921 году Рамзауэр при исследовании рассеяния электронов на атомах аргона обнаружил, что при уменьшении энергии электрона от нескольких десятков электрон-вольт эффективное сечение упругого рассеяния электронов на аргоне растет (рисунок 4.1).

Но при энергии электрона ~16 эВ эффективное сечение достигает максимума и при дальнейшем уменьшении энергии электрона уменьшается. При энергии электрона ~ 1 эВ становится близким к нулю, а затем начинает снова увеличиваться.

Таким образом, вблизи ~ 1 эВ электроны как бы не испытывают с атомами аргона столкновений и пролетают через газ без рассеяния. Такое же поведение характерно и для сечения рассеяния электронов на других атомах инертных газов, а также на молекулах (последнее обнаружено Таунсендом). Этот эффект аналогичен образованию пятна Пуассона при дифракции света на малом экране.

Другой интересный эффект - селективное отражение электронов от поверхности металлов; оно изучалось в 1927 году американскими физиками Дэвиссоном и Джермером, а также независимо от них английским физиком Дж. П. Томсоном.

Параллельный пучок моноэнергетических электронов из электронно-лучевой трубки (рисунок 4.2) направляли на никелевую пластинку . Отраженные электроны улавливались коллектором , соединенным с гальванометром . Коллектор устанавливается под любым углом относительно падающего пучка (но в одной плоскости с ним).

В результате опытов Дэвиссона-Джермера показано, что угловое распределение рассеянных электронов имеет такой же характер, как и распределение рентгеновских лучей, рассеянных кристаллом (рисунок 4.3). При изучении дифракции рентгеновских лучей на кристаллах было установлено, что распределение дифракционных максимумов описывается формулой

, (4.1)

где - постоянная кристаллической решетки, - порядок дифракции, - длина волны рентгеновского излучения.

В случае рассеяния нейтронов на тяжелом ядре также возникало типично дифракционное распределение рассеянных нейтронов, аналогичное наблюдаемому в оптике при дифракции света на поглощающем диске или шарике.

Французский ученый Луи де Бройль в 1924 году высказал идею о том, что частицы вещества обладают и корпускулярными, и волновыми свойствами. При этом он предположил, что частице, свободно движущейся с постоянной скоростью , соответствует плоская монохроматическая волна

, (4.2)

где и - ее частота и волновой вектор.

Волна (4.2) распространяется в направлении движения частицы (). Такие волны получили название фазовых волн, волн вещества или волн де Бройля.

Идея де Бройля заключалась в том, чтобы расширить аналогию между оптикой и механикой, а волновую оптику сопоставить с волновой механикой, пытаясь применить последнюю к внутриатомным явлениям. Попытка приписать электрону, и вообще всем частицам, подобно фотонам, двойственную природу, наделить их волновыми и корпускулярными свойствами, связанными между собой квантом действия, - такая задача представлялась крайне необходимой и плодотворной. ”…Необходимо создать новую механику волнового характера, которая будет относиться к старой механике как волновая оптика к геометрической оптике”, - писал де Бройль в книге «Революция в физике».

Далее необходимо было вывести соотношения, связывающие корпускулярные и волновые свойства частиц. Эти соотношения должны быть релятивистски инвариантными.

Частица массы , движущаяся со скоростью , имеет энергию

(4.3)

и импульс

, (4.4)

а состояние движения частицы характеризуется четырехмерным вектором энергии-импульса ().

С другой стороны, в волновой картине мы используем понятие частоты и волнового числа (или длины волны ), а соответствующим плоской волне 4-вектором является ().

Так как оба приведенных описания являются различными аспектами одного и того же физического объекта, то между ними должна существовать однозначная связь; релятивистски инвариантным соотношением между 4-векторами является

 (4.5)

или

; . (4.6)

Выражения (4.6) называются формулами де Бройля. Длина волны де Бройля определяется, таким образом, формулой

(4.7)

(здесь). Именно эта длина волны должна фигурировать в формулах при волновом описании эффекта Рамзауэра - Таунсенда и опытов Дэвиссона - Джермера.

Для электронов, ускоренных электрическим полем с разностью потенциалов В, длина волны де Бройля нм; при кВ =0,0122 нм. Для молекулы водорода с энергией Дж (при = 300 К) =0,1 нм, что по порядку величины совпадает с длиной волны рентгеновского излучения.

С учетом (4.6) формулу (4.2) можно записать в виде плоской волны

, (4.8)

соответствующей частице, имеющей импульс и энергию .

Волны де Бройля характеризуются фазовой и групповой скоростями. Фазовая скорость определяется из условия постоянства фазы волны (4.8) и для релятивистской частицы равна

, (4.9)

то есть она всегда больше скорости света. Групповая скорость волн де Бройля равна скорости движения частицы:

. (4.10)

Из (4.9) и (4.10) следует связь между фазовой и групповой скоростями волн де Бройля:

. (4.11)

Каков же физический смысл волн де Бройля и какова их связь с частицами вещества?

В рамках волнового описания движения частицы значительную гносеологическую сложность представил вопрос о ее пространственной локализации. Волны де Бройля (4.2), (4.8) заполняют все пространство и существуют неограниченное время. Свойства этих волн всегда и везде одинаковы: постоянны их амплитуда и частота, неизменны расстояния между волновыми поверхностями и др. С другой стороны, микрочастицы сохраняют свои корпускулярные свойства, то есть обладают определенной массой, локализованной в определенной области пространства. Для того, чтобы выйти из создавшегося положения, частицы стали представлять не монохроматическими волнами де Бройля, а наборами волн с близкими частотами (волновыми числами) - волновыми пакетами:

; (4.12)

при этом амплитуды отличны от нуля лишь для волн с волновыми векторами , заключенными в интервале (). Поскольку групповая скорость волнового пакета равна скорости движения частицы, то было предложено представить частицу в виде волнового пакета. Но эта идея несостоятельна по следующим причинам. Частица является стабильным образованием и в процессе своего движения как таковая не изменяется. Такими же свойствами должен обладать и волновой пакет, претендующий представлять частицу. Поэтому нужно потребовать, чтобы с течением времени волновой пакет сохранял свою пространственную форму или - по меньшей мере - свою ширину. Однако так как фазовая скорость зависит от импульса частицы, то (даже в вакууме!) должна существовать дисперсия волн де Бройля. В результате фазовые соотношения между волнами пакета нарушаются, и пакет расплывается. Следовательно, частица, представляемая таким пакетом, должна быть нестабильной. Этот вывод противоречит опыту.

Далее было выдвинуто противоположное предположение: частицы первичны, а волны представляют их образования, то есть возникают, подобно звуку в среде, состоящей из частиц. Но такая среда должна быть достаточно плотной, ведь о волнах в среде частиц имеет смысл говорить лишь тогда, когда среднее расстояние между частицами очень мало по сравнению с длиной волны. А в экспериментах, в которых обнаруживаются волновые свойства микрочастиц, это не выполняется. Но даже если преодолеть это затруднение, то все равно указанная точка зрения должна быть отвергнута. В самом деле, она означает, что волновые свойства присущи системам многих частиц, а не отдельным частицам. Между тем волновые свойства частиц не исчезают и при малых интенсивностях падающих пучков. В опытах Бибермана, Сушкина и Фабриканта, проведенных в 1949 году, применялись столь слабые пучки электронов, что средний промежуток времени между двумя последовательными прохождениями электрона через дифракционную систему (кристалл) было в 30000 (!) раз больше времени, затрачиваемого одним электроном на прохождение всего прибора. При таких условиях взаимодействие между электронами, конечно, не играло никакой роли. Тем не менее при достаточно длительной экспозиции на фотопленке, помещенной за кристаллом, возникала дифракционная картина, ничем не отличающаяся от картины, получаемой при короткой экспозиции с пучками электронов, интенсивность которых была в 10⁷ раз больше. Важно только, чтобы в обоих случаях общее число электронов, попадающих на фотопластинку, было одинаковым. Это показывает, что и отдельные частицы обладают волновыми свойствами. Эксперимент показывает, что одна частица дифракционной картины не дает, каждый отдельный электрон вызывает почернение фотопластинки на небольшом участке. Всю дифракционную картину можно получить только благодаря попаданию на пластинку большого числа частиц.

Электрон в рассмотренном опыте полностью сохраняет свою целостность (заряд, массу и другие характеристики). В этом проявляются его корпускулярные свойства. В то же время налицо проявление и волновых свойств. Электрон никогда не попадает на тот участок фотопластинки, где должен быть минимум дифракционной картины. Он может оказаться только вблизи положения дифракционных максимумов. При этом нельзя заранее указать, в каком конкретном направлении полетит данная конкретная частица.

Представление о том, что в поведении микрообъектов проявляются как корпускулярные, так и волновые свойства, закреплено в термине «корпускулярно-волновой дуализм» и лежит в основе квантовой теории, где он и получил естественное истолкование.

Борн предложил следующую общепринятую теперь интерпретацию результатов описанных опытов: вероятность попадания электрона в некоторую точку на фотопластинке пропорциональна интенсивности соответствующей волны де Бройля, то есть квадрату амплитуды волнового поля в данном месте экрана. Таким образом, предложено вероятностно-статистическое толкование природы волн, связанных с микрочастицами: закономерность распределения микрочастиц в пространстве можно установить только для большого числа частиц; для одной частицы можно определить только вероятность попадания в определенную область.

После знакомства с корпускулярно-волновым дуализмом частиц ясно, что для описания механического состояния микрочастиц непригодны те методы, которые используются в классической физике. В квантовой механике для описания состояния нужно применять новые специфические средства. Важнейшим из них является понятие о волновой функции, или функции состояния (-функции).

Функция состояния есть математический образ того волнового поля, которое следует связывать с каждой частицей. Так, функцией состояния свободной частицы является плоская монохроматическая волна де Бройля (4.2) или (4.8). Для частицы, подверженной внешнему воздействию (например, для электрона в поле ядра), это волновое поле может иметь весьма сложный вид, и оно изменяется с течением времени. Волновая функция зависит от параметров микрочастицы и от тех физических условий, в которых частица находится.

Далее мы увидим, что через волновую функцию достигается наиболее полное описание механического состояния микрообъекта, какое только возможно в микромире. Зная волновую функцию, можно предсказать, какие значения всех измеряемых величин могут наблюдаться на опыте и с какой вероятностью. Функция состояния несет всю информацию о движении и квантовых свойствах частиц, поэтому говорят о задании с ее помощью квантового состояния.

Согласно статистической интерпретации волн де Бройля, вероятность локализации частицы определяется интенсивностью волны де Бройля, так что вероятность обнаружения частицы в малом объеме в окрестности точки в момент времени равна

. (4.13)

С учетом комплексности функции имеем:

. (4.14)

Для плоской волны де Бройля (4.2)

,

то есть равновероятно обнаружить свободную частицу в любом месте пространства.

Величину

(4.15)

называют плотностью вероятности. Вероятность найти частицу в момент времени в конечном объеме , согласно теореме сложения вероятностей, равна

. (4.16)

Если в (4.16) произвести интегрирование в бесконечных пределах, то будет получена полная вероятность обнаружения частицы в момент времени где-нибудь в пространстве. Это - вероятность достоверного события, поэтому

. (4.17)

Условие (4.17) называется условием нормировки, а -функцию, удовлетворяющую ему, - нормированной.

Подчеркнем еще раз, что для частицы, движущейся в силовом поле, в качестве выступает функция более сложного вида, чем плоская волна де Бройля (4.2).

Так как -функция комплексна, то ее можно представить в виде

,

где - модуль -функции, а - фазовый множитель, в котором - любое вещественное число. Из совместного рассмотрения этого выражения и (4.13) ясно, что нормированная волновая функция определена неоднозначно, а лишь с точностью до постоянного множителя . Отмеченная неоднозначность принципиальная и не может быть устранена; однако она несущественна, так как не отражается ни на каких физических результатах. Действительно, умножение функции на экспоненту изменяет фазу комплексной функции , но не ее модуль, определяющий вероятность получения в эксперименте того или иного значения физической величины.

Волновую функцию частицы, движущейся в потенциальном поле, можно представить волновым пакетом. Если при движении частицы вдоль оси длина волнового пакета равна , то волновые числа , необходимые для его образования, не могут занимать сколь угодно узкий интервал . Минимальная ширина интервала должна удовлетворять соотношению или, после умножения на ,

. (4.18)

Аналогичные соотношения выполняются и для волновых пакетов, распространяющихся вдоль осей и :

(4.19)

Соотношения (4.18), (4.19) называют соотношениями неопределенностей Гейзенберга (или принципом неопределенности). Согласно этому фундаментальному положению квантовой теории, любая физическая система не может находиться в состояниях, в которых координаты ее центра инерции и импульс одновременно принимают вполне определенные, точные значения.

Соотношения, аналогичные записанным, должны выполняться для любой пары так называемых канонически сопряженных величин. Содержащаяся в соотношениях неопределенностей постоянная Планка устанавливает предел в точности одновременного измерения таких величин. При этом неопределенность в измерениях связана не с несовершенством экспериментальной техники, а с объективными (волновыми) свойствами частиц материи.

Другим важным моментом в рассмотрении состояний микрочастиц является воздействие прибора на микрообъект. Любой процесс измерения приводит к изменению физических параметров состояния микросистемы; нижний предел этого изменения устанавливается также соотношением неопределенностей.

Ввиду малости по сравнению с макроскопическими величинами той же размерности действия соотношения неопределенностей существенны в основном для явлений атомных и меньших масштабов и не проявляются в опытах с макроскопическими телами.

Соотношения неопределенностей, впервые полученные в 1927 году немецким физиком В. Гейзенбергом, явились важным этапом в выяснении закономерностей внутриатомных явлений и построении квантовой механики.

Как следует из статистической интерпретации смысла волновой функции, частица может быть с некоторой вероятностью обнаружена в любой точке пространства, в которой волновая функция отлична от нуля. Поэтому результаты экспериментов по измерению, например, координаты носят вероятностный характер. Это означает, что при проведении серии одинаковых экспериментов над одинаковыми системами (то есть при воспроизведении одинаковых физических условий) получаются каждый раз разные результаты. Однако некоторые значения будут более вероятными, чем другие, и будут появляться чаще. Чаще всего будут получаться те значения координаты, которые близки к значению, определяющему положение максимума волновой функции. Если максимум выражен четко (волновая функция представляет собой узкий волновой пакет), то частица в основном находится вблизи этого максимума. Тем не менее некоторый разброс в значениях координаты (неопределенность порядка полуширины максимума) неизбежен. То же относится и к измерению импульса.

В атомных системах величина по порядку величины равна площади орбиты, по которой, в соответствии с теорией Бора-Зоммерфельда, движется частица в фазовой плоскости. В этом можно убедиться, выражая площадь орбиты через фазовый интеграл . При этом получится, что квантовое число (смотри лекцию 3) удовлетворяет условию

.

В отличие от теории Бора, где имеет место равенство (здесь - скорость электрона на первой боровской орбите в атоме водорода, - скорость света в вакууме, ), в рассматриваемом случае в стационарных состояниях средний импульс определяется размерами системы в координатном пространстве, а отношение составляет лишь по порядку величины. Таким образом, применяя координаты и импульс для описания микроскопических систем, необходимо в интерпретацию этих понятий ввести квантовые поправки. Такой поправкой и являются соотношения неопределенностей.

Несколько иной смысл имеет соотношение неопределенностей для энергии и времени :

. (4.20)

Если система находится в стационарном состоянии, то из соотношения неопределенностей следует, что энергию системы даже в этом состоянии можно измерить лишь с точностью, не превышающей , где - длительность процесса измерения. Соотношение (4.20) справедливо также, если под понимать неопределенность значения энергии нестационарного состояния замкнутой системы, а под - характерное время, в течение которого существенно меняются средние значения физических величин в этой системе.

Соотношение неопределенностей (4.20) приводит к важным выводам относительно возбужденных состояний атомов, молекул, ядер. Такие состояния нестабильны, и из соотношения неопределенностей вытекает, что энергии возбужденных уровней не могут быть строго определенными, то есть энергетические уровни обладают некоторой естественной шириной , где - время жизни возбужденного состояния. Другим примером служит альфа-распад радиоактивного ядра. Энергетический разброс испускаемых -частиц связан с временем жизни такого ядра соотношением .

Для нормального состояния атома , а энергия имеет вполне определенное значение, то есть . Для нестабильной частицы с, и об определенном значении ее энергии говорить не приходится. Если время жизни атома в возбужденном состоянии принять равным с, то ширина энергетического уровня ~10^-26 Дж и ширина спектральной линии, возникающей при переходе атома в нормальное состояние, ~10⁸ Гц.