Лазерное разрушение поглощающих материалов

7. Cтационарное движение границы фаз и "оптимальный" режим испарения

Стационарному движению границы между твердой и газообразной фазами предшествует переходный режим, соответствующий нагреванию поверхности металла от комнатной температуры до Т₀ и ускорению границы до скорости . Переходный процесс сопровождается перераспределением поглощенной лучистой энергии: если при неподвижной границе вся энергия отводится внутрь металла теплопроводностью, то при стационарном движении роль теплопроводности оказывается второстепенной, и основная часть поглощенной энергии расходуется на испарение металла. Время установления стационарного теплового процесса зависит, разумеется, от плотности поглощенного лучистого потока. Грубую оценку этого времени можно получить из следующего рассуждения. В стационарном режиме перед фронтом испарения образуется прогретый слой металла толщиной ~ k*/. Поскольку в начальный момент прогретый слой отсутствует, то время установления стационарного режима t должно по порядку величины совпадать со временем образования такого прогретого слоя на фазовой границе, т.е. [16]

t ~ (1/k*)(k*/)² = k*/². (49)

Это время связано с кинетикой испарения через скорость . Если принять за характерное время изменения величины Q(t), скажем, продолжительность одного пичка излучения t, то отсюда можно получить грубую оценку плотности потока Q*₂ в виде

(50)

или, если обозначить через Q плотность энергии в одном пичке, то получим Q*₂ ~ k*(L₀)²/Q.

Написанные соотношения для Q*₂ напоминают формулу для Q*₁ в том отношении, что в обоих случаях критическая плотность потока равна некоторой (зависящей от свойств металла) постоянной, деленной на квадратный корень из некоторого характерного времени.

Разумеется, приведенные оценки весьма грубы, поэтому представляет интерес получить решение нестационарной задачи (38), которое позволило бы вычислить ряд величин для сравнения с экспериментом. Основная экспериментально измеряемая характеристика процесса разрушения есть эффективная удельная энергия, зависимость которой от плотности потока излучения подробно изучена. Эта величина по ряду причин является неудобной для теоретического расчета. Во-первых, достаточно сложным является вопрос о доле жидкой фазы в продуктах разрушения. В то же время любое изменение этой доли, практически не влияя на баланс энергии, заметно влияет на вынос массы и поэтому существенно изменяет эффективную удельную энергию разрушения. Другое обстоятельство состоит в трудности учета отражения от поверхности металла и рассеяния в плазме, от которых зависит поток энергии на стенки лунки и скорость плавления стенок.

Ввиду этого представляется гораздо более удобным выбрать для сравнения скорость движения дна лунки и полную глубину лунки. Эти величины могут быть вычислены из решения простой одномерной задачи, причем отражение и рассеяние можно учесть введением некоторого среднего коэффициента , равного отношению поглощенной металлом энергии к энергии, полученной от лазера. Остается еще вопрос о возможности существования слоя жидкой фазы на дне лунки. Учет жидкой фазы потребовал бы решения уравнения теплопроводности в области с двумя подвижными границами, что представляется при имеющейся ограниченной информации о скорости испарения и сделанных выше допущениях о постоянстве теплофизических характеристик металла совершенно неоправданным усложнением задачи. Вместо этого мы будем судить о толщине жидкой прослойки по движению изотермы с температурой, равной температуре плавления; скорость же испарения в формулах (48) и (43) надо брать, конечно, для реально существующей границы фаз. Заметим, что уже из стационарного решения следует, что толщина жидкой прослойки будет уменьшаться с увеличением плотности потока ЛИ, так что при достаточно высоких Q можно было бы вообще не учитывать возможного наличия жидкой фазы.

Переходя к количественному рассмотрению нестационарной задачи, будем снова считать плотность поглощенного потока ЛИ постоянной во времени. Это в некоторой степени оправдано тем, что в эксперименте чаще всего измеряют среднюю плотность потока или пропорциональную ей величину

Конечно, рассмотрение останется справедливым, если Q(t) будет медленно изменяться.

Уравнение задачи и краевые условия запишем в виде

(51)

Краевая задача (51) записана в системе координат, движущейся со скоростью (t); неподвижная и движущаяся координаты связаны соотношением

(штрих у переменной х в (51) опущен). Предполагается, что связь между скоростью фронта испарения и температурой на поверхности металла (которые теперь являются функциями времени) задается выражением (43). Из-за сложности этого соотношения решение задачи (51) оказывается достаточно трудным, хотя качественная картина переходного процесса представляется вполне ясной [109]. В начальный момент времени фазовая граница неподвижна, и весь тепловой поток отводится в глубь металла теплопроводностью. Вблизи поверхности возникает вследствие этого градиент температуры порядка Q/ж, который остается неизменным до тех пор, пока скорость границы мала; при этом температура поверхности и толщина нагретого слоя вблизи нее растут пропорционально t^0,5. Вследствие очень сильной зависимости от температуры скорость фронта испарения остается малой в сравнении со скоростью в стационарном режиме вплоть до достижения температурой поверхности значений, весьма близких к стационарному. Вблизи же стационарной температуры скорость фронта резко возрастает, а градиент температуры падает до величины порядка

Таким образом, в течение времени порядка k*/² фазовая граница практически остается неподвижной, тогда как в оставшуюся часть времени импульса движение фазовой границы близко к стационарному. Сказанное оправдывает оценку, сделанную в начале раздела, и показывает, как ее можно улучшить. Изменение скорости фазовой границы в процессе установления стационарного движения носит ступенчатый характер; после некоторого запаздывания граница скачком ускоряется до стационарной скорости движения. В течение времени запаздывания граница практически не перемещается, так как для испарения это время является потерянным. Чтобы определить "потерянное время", будем считать границу фаз неподвижной, тогда известное решение задачи теплопроводности дает

(52)



(здесь считается что удельная теплоемкость металла c = 3R/A). Приравнивая Т(0, t) к стационарной температуре T₀, определим время запаздывания, по истечении которого начинается интенсивное испарение:

где

Вычислим теперь перемещение фронта испарения за время импульса. При наших предположениях

(53)

где и ₀ - входящая в формулу (43) величина порядка скорости звука в металле; при преобразовании выражения для x к виду (53) полная плотность излучения Q_ср предполагалась заданной. Интересно отметить, что выражение (53) имеет максимум при некотором значении у. Дифференцируя (53), находим уравнение, определяющее значение у, при котором x максимально:

(54)

Решая это уравнение и используя соотношения (48) и (43) (справедливые для стационарной части процесса), можно определить плотность потока излучения, для которой (при заданном Q_ср) перемещение фронта испарения достигает максимума:



(55)

Существование найденного "оптимального" режима испарения металла физически понятно. Поскольку Q = Q_ср/t₀, то при фиксированном Q_ср можно вместо плотности лучистого потока выбрать в качестве варьируемой величины продолжительность светового импульса. Если импульс слишком длинный, полученная от излучения энергия успевает распространиться по большому объему вследствие теплопроводности, и заметного испарения не происходит. Наоборот, при коротком импульсе (и фиксированной поглощенной энергии) должна быть высокой скорость испарения и, следовательно, температура поверхности. Это означает, что часть энергии, сообщенной металлу, будет расходоваться не на отрыв атомов, а на увеличение их кинетической энергии, вследствие чего испаренная масса уменьшается. Определенный выше оптимальный режим соответствует некоторому равновесию между двумя видами потерь энергии.

Подставляя решение уравнения (54) в (53), можно вычислить перемещение фронта в оптимальном режиме. Оно оказывается равным (k*t₀)^0,5, где числовой коэффициент порядка единицы. Таким образом, в оптимальном режиме перемещение фронта испарения равно перемещению за время импульса температурного фронта в металле при неподвижной границе.

Рассмотренное решение задачи (51), разумеется, неудовлетворительно в математическом отношении, хотя совершенно прозрачно физически. Чтобы судить о точности такого решения, проще всего, по-видимому, численно проинтегрировать уравнение теплопроводности (51) для нескольких металлов и значений плотности потока. Ниже приводятся некоторые результаты численного интегрирования.

На рис. 5 показано, как перемещается фронт испарения в меди при различных плотностях поглощенного ЛИ (Значения плотности поглощенного потока указаны над каждой кривой в Вт/см²; время измерялось в секундах). Из таких графиков нетрудно определить время установления стационарного режима. Оно находится в хорошем согласии с оценками, выполненными в настоящем разделе.

Рис. 5. Движение фронта испарения при различных плотностях потока излучения

На рис. 6 приведена зависимость глубины продвижения фронта испарения от длительности импульса при заданной полной плотности энергии Q_cp (значения W_g ~ Q_cp указаны под каждой кривой).

Рис. 6. Полное перемещение фронта испарения для Cu как функция длительности импульса для разных значений поглощенной энергии W_g в Дж/см²; время t - в секундах

Видно, что кривые имеют максимум, который смещается с ростом Q_ср в сторону больших t₀ примерно пропорционально Q_ср². Этот же результат следует из (55), если учесть, что t₀ = Q_ср/Q :



(56)

В табл. 3 приведены значения t₀*, вычисленные по формуле (56) и определенные из численного решения задачи (52). Результаты относятся к плотности энергии W_g = 100 Дж/см², аналогичное соотношение имеет место и при других значениях Q_ср.

Из сравнения значений t₀* можно заключить, что формула (56) вполне удовлетворительно согласуется с результатами численного решения. Если учесть, что максимум x(t₀) не очень резко выражен, то точность, обеспечиваемую формулой (56), можно считать вполне достаточной для практических целей.

Таблица 3

Металл	Си	Pb	Sn	Cd
t*0, с	по формуле (56)	7107	6105	105	6105
	Численное решение	106	5105	105	5105

На рис. 7 показано положение изотермы, соответствующей температуре плавления, в зависимости от продолжительности импульса излучения лазера для различных значений плотности поглощенной энергии.

Рис. 7. Полное перемещение изотермы с Т = Т_П для Cu как функция длительности импульса для разных значений поглощенной энергии W_g в Дж/см², время t - в секундах



Как уже объяснялось, по положению этой изотермы нельзя судить о доле жидкой фазы в продуктах разрушения, потому что основной выброс жидкости связан как с неодномерностью процесса разрушения, так и с "размыванием" стенок лунки потоком пара. Однако по положению изотермы плавления можно судить о максимально возможной в данных условиях глубине лунки. Эта глубина как функция t₀ при заданном W_g, естественно, так же обнаруживает максимум, который может быть объяснен с помощью той же модели, что и максимум перемещения фронта испарения

Сравнение вычисленной и измеренной глубины лунки позволяет, в принципе, получить некоторую информацию о среднем за импульс коэффициенте отражения. Ценность таких измерений, однако, сравнительно невелика, потому что за время действия лазерного импульса коэффициент отражения изменяется в значительных пределах.

8. Гидродинамика разлета пара

Решение задачи о разрушении твердого тела требует проведения анализа движения продуктов разрушения. Рассмотрим гидродинамические граничные условия на испаряющейся поверхности, которая является поверхностью разрыва фаз. В действительности вблизи геометрической границы существует тонкий слой, размером в 2 - 3 длины свободного пробега атомов, в котором устанавливается равновесное распределение атомов по скоростям и структура которого определяет значение температуры и плотности на краю "гидродинамической" области. Такое рассмотрение можно признать корректным в случае достаточно широкой переходной области и малых скачков гидродинамических переменных. При расширении в вакуум скачки гидродинамических переменных оказываются значительными и следует вводить дополнительные условия.

Следует отметить, что при решении одномерной задачи об адиабатическом движении пара (в пренебрежении поглощением света) в области реальных плотностей светового потока (соответствующей справедливости теплового механизма разрушения Q 10⁸ - 10⁹ Вт/см², время от начала испарения t 10⁹ - 10¹⁰ с) расширяющийся пар будет конденсироваться при движении, причем на значительном участке течения степень конденсации остается близкой к равновесной, а примыкающий к поверхности металла газокинетический слой оказывается отделенным от гидродинамической области течения переходной областью конденсационным скачком.

Последнее, в частности приводит к тому, что конечная скорость разлета продуктов расширения определяется их полной начальной энергией с учетом потенциальной энергии испарения, которая в процессе конденсации переходит в кинетическую энергию потока. Для частиц размером порядка 10⁵ см температура и скорость движения при этом мало отличается от соответствующих местных значений для газа.

Таким образом, проведенный ниже анализ действия на металлы потоков ЛИ не слишком высокой плотности в одномерном приближении требует осторожного использования их при сравнении с экспериментальными результатами.

Газодинамические граничные условия при испарении в вакуум учитывают, что образующийся у поверхности газ в процессе испарения свободно расширяется в окружающее пространство. Частицы, испускаемые нагретой поверхностью, имеют максвелловское распределение по скоростям в телесном угле 2 с температурой Т₀, равной температуре поверхности, и плотностью n₀, равной плотности насыщенного пара при этой температуре. В прямоугольной системе координат, связанной с поверхностью металла, с осью х, направленной нормально к поверхности по течению газа, можно для плотности испускаемых частиц со скоростями от до , записать при х = 0 выражение



(57)

где m - масса атома газа. Распределению (57) соответствует массовая скорость пара u, нормальная к поверхности u =/4, где = (8kT₀/m)^0,5 - средняя квадратичная скорость частиц газа, имеющего изотропное максвелловское распределение по скоростям. В случае разряженного газа, когда можно пренебречь столкновениями атомов газа в потоке в интересуемой нас области (т.е. когда длина свободного пробега частиц l= =(n)¹, где газокинетическое сечение, n - плотность числа частиц, много больше характерной длины в рассматриваемой задаче), скорость u и определяет скорость оттока газа от поверхности. В реальности имеет место обратный случай, когда длина свободного пробега гораздо меньше всех характерных геометрических размеров задачи, т.е. случай, соответствующий режиму течения газа как целого - режиму сплошной среды. Все течение при этом распадается на две характерные области. В первой, прилегающей к поверхности и имеющей характерную ширину _k, равную по порядку величины нескольким длинам свободного пробега ("кнудсеновский" или пристеночный слой) [110], в результате соударений частиц устанавливается такое состояние газа, которое характеризуется новой, теперь уже изотропной, функцией распределения частиц по скоростям (с отличными температурой и плотностью ). Перераспределение энергии у частиц должно привести также и к новой, отличной от /4, массовой скорости потока (определяемой газодинамическими условиями задачи и в ряде случаев равной местной скорости звука в газе s). Это относительное изменение параметров газа при прохождении им слоя _k может быть значительным, особенно в случае , поэтому для описания процессов установления новых значений этих параметров необходимо привлечь кинетическое уравнение Больцмана.

Следует иметь в виду, что появление в результате столкновений внутри слоя _k частиц со скоростями, направленными к поверхности, приводит к конденсации некоторой доли ₀ от полного числа частиц, достигающих поверхности (для металлов коэффициент прилипания ₀ имеет порядок 0,8 - 0,9 [111, 112]). Основной целью решения кинетического уравнения как раз и является нахождение той части функции распределения молекул по скоростям у поверхности, для которой 0, т.е. части, которая определяет поток частиц, возвращающихся на стенку.

Асимптотическое (при х ) значение плотности, температуры и скорости газа, полученные в результате решения кинетического уравнения, следует взять в качестве граничных условий для решения задачи о течении газа во второй, гидродинамической области, где процессы описываются обычными уравнениями механики сплошных сред. Следует отметить, что, как правило, размер зоны _k в макроскопическом смысле пренебрежимо мал (так, при n ~ 10¹⁹ см^-3, ~ 10⁶ см³, l ~ 10³см), и вопрос о положении границы раздела двух зон обычно несуществен; достаточно хорошим приближением для газодинамики является совмещение этой границы с поверхностью тела.

Рассмотрим явления в пристеночном слое. Корректное решение задачи здесь можно получить с помощью уравнения Больцмана, которое при отсутствии массовых сил имеет вид

, (58)

где (f/t)_ст интеграл столкновений, описывающий изменение функции распределения за счет соударений частиц, вид которого зависит от закона взаимодействия частиц газа. Корректные результаты при решении уравнения Больцмана (с точным выражением столкновительного интеграла) могут быть получены для ограниченного круга задач. Обычно они носят приближенный характер и описывают малые отклонения от равновесия. Другим приемом при рассмотрении задач кинетической теории газов является использование упрощенного выражения для столкновительного интеграла в релаксационной форме

(f/t)_ст = (f₀ f)/,(59)

где f₀ - равновесная функция распределения частиц, являющаяся максвелловской в системе координат, движущейся с газом, время релаксации, предполагаемое постоянным. Функция f₀ выбирается таким образом, чтобы выполнялись законы сохранения потока числа частиц, импульса и энергии [113, 114].

Задача может быть еще упрощена, если учесть, что рассмотрение может быть ограничено стационарным одномерным приближением. Действительно, для стационарности требуется, чтобы время установления () профиля плотности в области _k, соответствующего данным условиям на поверхности, было гораздо меньше характерного времени изменения плотности потока излучения t, т.е. ~ l/ << t, что обычно выполняется в широком интервале условий. Одномерное приближение применимо при условии _k ~ l << r₀, где r₀ размер облучаемой площадки, т.е. также практически всегда. Таким образом, следует рассмотреть кинетическое уравнение вида

(60)

Граничные условия для (60) таковы:

(61)

(62)



Условие (61) отражает экспериментальный факт, а условие (62) требует установления равновесия в газовом потоке, скорость которого при . Уравнение (60) содержит в себе, по существу, два уравнения

для f ⁺ части функции распределения с _х 0 и для f части ее с _х 0, что следует учесть при его решении. Полагая время релаксации постоянным и выписывая формальное решение (60) с условиями (61) и (62), получаем

(63)

где обозначено

(64)

В (64) параметры n, u, T представляют собой локальные плотность, скорость, температуру газа соответственно. Они выражаются через функцию распределения с помощью дополнительных соотношений, которые следует рассматривать как определение этих параметров:



(65)

(66)

(67)

Для нахождения явной зависимости функции распределения или величин n, u, T от координаты х необходимо решить систему нелинейных интегральных уравнений (63), (65) - (67), что является сложной задачей. Поскольку нас интересуют не профили величин n, u, T, а лишь их значения при х , воспользуемся интегральной записью законов сохранения числа частиц, импульса и энергии, которые имеют место для уравнения (60).

Запишем их для контрольных поверхностей х = 0, х = , причем для функции распределения f при х = 0 представим ее максимальное значение по (63):

(68)

Такое приближение (68) дает в конечном итоге обратный поток частиц, конденсирующихся на стенке, завышенный по сравнению с реально существующим. Принимая для коэффициента прилипания ₀ значение ₀=1, получим следующее уравнение, выражающее законы сохранения:

уравнение непрерывности

(69)

уравнение сохранения потока импульса

(70)



уравнение сохранения потока энергии

(71)

Сюда же следует присоединить и соотношение, определяющее плотность газа при х = 0:

(72)

В (69) (72) обозначено:

Система уравнений (69) - (72) совместно с (63) дает возможность определить искомые величины n, u, T, , через n₀, T₀, . Вычисляя в (69) - (72) моменты функции распределения с учетом (68) и (63), получим:

n = 0,5n₀ + 0,5n(1 Ф),

Выше упоминалось, что в ряде случаев значение скорости при х не задано заранее, а определяется условиями расширения в самом потоке и оказывается равным местной скорости звука в газе:



(73)

Для одноатомного идеального газа . Численное решение системы (69) - (72) в этом случае дает:

(74)

В используемом подходе величина Т не является температурой газа, а является параметром, эквивалентным ей, но только для той части частиц, которые движутся к стенке. Оценка эффективной температуры газа Т_эфф у стенки по формуле (67) с учетом обеих частей функции распределения дает Т_эфф = =0,76^.Т₀.

Решение (74) позволяет оценить долю частиц, возвращающихся на стенку. Для потока испаряющихся частиц j_{m, max} находим с помощью (63):

(75)

Из (75) для отношения полного потока j_m (равного j_m,макс за вычетом обратного потока) к максимальному получаем

(76)

Таким образом, на стенку возвращается около 18 % испаряющихся атомов.

Сравним полученные результаты (табл. 4) различных приближений (1 разлет в вакуум - нет обратного потока частиц к поверхности; 2 - обратный поток частиц к поверхности (при х = 0 создается максвелловскими частицами, летящими к поверхности из сечения х = ); 3 - последняя модель с завышенным потоком) для отношений j_m/j_m,макс, при условии, что скорость частиц на бесконечности равна местной скорости газа.

Таблица 4

Приближения			jm/jm,макс
1	0,400	0,600	1,00
2	0,381	0,610	0,960
3	0,312	0,650	0,820

Из табл. 4 следует, что плотность газа при х принимает тем меньшее значение, чем больше обратный поток частиц, возвращающихся к поверхности, а температура при этом, наоборот, возрастает. Приближения 1 и 3 являются крайними случаями и реальные значения для n и T должны лежать внутри интервала, даваемого этими крайними случаями.

В приближении 2 пренебрегается структурой пристеночного слоя _k, т.е. предполагается, что величины n, u, T во всей рассматриваемой области постоянны и равны своим значениям при х . В пределе u 0 это является хорошим приближением, однако в случае градиентами указанных величин в области _k пренебрегать уже недопустимо. В рассмотренной выше модели 3 этот факт учитывается и ее можно использовать как уточнение приближения 2.

Полученные выше решения связывают газодинамические параметры задачи , , с температурой поверхности Т₀. Для определения их через плотность потока излучения Q, поглощаемого телом, следует привлечь дополнительное соотношение, выражающее собой закон сохранения энергии:

Q = j + _свj_m. (77)



Последнее равенство учитывает, что частицы пара помимо тепловой энергии имеют внутреннюю энергию, равную энергии связи кристаллической решетки _св , т.е. (77) можно переписать в виде

(78)

или, для одноатомного газа с отношением теплоемкостей = 5/3 и скоростью

(79)

Запишем еще выражение для плотности числа частиц насыщенного пара n₀ как функции температуры поверхности Т₀. Для эйнштейновской модели твердого тела

(80)

Где ₀ - дебаевская температура, ₀ = h₀/k.

Система соотношений (74), (79), (80) полностью определяет газодинамические параметры пара у разрушаемой поверхности и температуру поверхности через плотность потока излучения Q. Скорость волны испарения _и, движущейся в глубь металла, определяется с помощью уравнения непрерывности для конденсированной и газообразной фазы:

(81)



где число частиц в единице объема конденсированной фазы.

Для конкретных расчетов приведем сводку формул для определения T₀, _и, и давления как функции плотности потока ЛИ Q, поглощенного телом:

(82)

(83)

(84)

(85)

(86)

(87)

(88)

Здесь при вычислении плотности числа частиц насыщенного пара использовано выражение (80), которое дает правильную зависимость от температуры, но зачастую отличающиеся от экспериментальных абсолютные значения n₀. Устранить последнее можно с помощью экспериментального переопределения по зависимости n₀(T₀) величины в (80) и соответственно ₀ в (82). В табл. 5 приведены необходимые для расчета по формулам (82) - (88) характеристики для ряда металлов.

Таблица 5

№ п/п	Металлы	А	, г/см3	1022n0, 1/cм3	10-12 0, 1/с	10-12 0, 1/с*	с, ккал/град	10-19 , Дж
1	Al	27	2,7	6,0	8,11	8,24	74,4	5,16
2	Bi	209	9,8	2,8	1,66	2,62	47,5	3,29
3	W	184	19,4	6,3	6,24	6,94	200	13,9
4	Fe	56	7,9	8,5	8,32	11,9	99,3	6,88
5	Cu	64	8,9	8,3	6,55	5,39	80,8	5,60
6	Mo	96	10,2	6,4	7,90	7,74	157,1	10,9
7	Ni	59	6,6	6,7	7,49	13,7	101	7,0
8	Sn	119	7,3	3,7	2,29	2,04	72	4,99
9	Pb	207	11,3	3,3	1,83	1,18	47	3,26
10	Ag	108	10,5	5,8	4,47	3,99	68,3	4,74
11	Cr	52	7,2	8,3	8,63	13,4	94,5	6,55
12	Zn	65	7,1	6,5	4,37	3,3	31	2,15
13	Mg	24,3	1,74	2,5		4,58	34,9	2,42
0* вычислена из условия равенства плотности числа частиц насыщенного пара (80) экспериментальному значению ее при давлении насыщенного пара 1 атм.

Из (82) - (84) следует, что учет явлений пристеночного слоя практически не изменяет значений скорости фронта, а для температуры Т₀ появление обратного потока частиц, конденсирующихся на поверхности, приводит к уменьшению численного множителя в правой части (82) примерно на 20 %. Вследствие логарифмической зависимости Т₀ от Q в интервале значений Q, в котором справедлив тепловой механизм разрушения, учет обратного потока практически не меняет величины Т₀. Таким образом, в рассматриваемом интервале плотностей потока излучения величины _и и Т₀ с удовлетворительной точностью определяются из решения тепловой задачи для конденсированной фазы. Совместное рассмотрение задачи для конденсированной фазы и пара необходимо только для определения газодинамических параметров.

Определенный интерес представляет экспериментально измеряемая величина импульса отдачи Р₀, действующего на тело. Последний определяется

P₀ = p₀St₀,(89)

где S площадь облучаемой поверхности, t₀ длительность импульса, р₀ давление на поверхность тела, которое согласно закону сохранения импульса, равно



Поскольку в широком интервале значений плотности потока излучения , имеем

(90)

Необходимо отметить, что параметры пара полученные выше, в большинстве случаев отвечают резко перенасыщенному состоянию. Действительно, для того чтобы пар на внешней границе переходного слоя не пересыщался при плотности его = 0,31n₀, охлаждение должно быть незначительным. Согласно уравнению адиабаты насыщенного пара (80), температура насыщения = , отвечающая плотности , определяется равенством

(91)

откуда, используя адиабату n₀ = n₀(T₀), получаем

Таким образом, температура , при которой пар с плотностью становится насыщенным, удовлетворяет следующему условию:

(92)

Для того чтобы полученное значение температуры пара при х, = 0,65Т₀ отвечало неперенасыщенному состоянию его, должно быть /Т₀ 1 - 1/y₀ /T₀ = 0,65. Из последнего равенства следует, что при расширении в переходном слое пар не пересыщается только начиная с y₀ 3, т.е. при переходе к границе применимости рассматриваемой теории. В большей же части рассматриваемого интервала условий пересыщение может быть очень значительным. Пересыщение должно повлечь за собой конденсацию пара при его расширении почти сразу у поверхности. Рассмотрение газодинамической задачи о разлете пара от поверхности должно, поэтому вестись с учетом указанного кинетического процесса. Понятно, что наличие пересыщения не может изменить существенно подход к расчету гидродинамических граничных условий, основанный на пренебрежении процессом конденсации у поверхности в слое толщиной . Это связано с различными масштабами времени процесса конденсации и процесса установления равновесного распределения атомов по скорости. Действительно, толщина слоя _k, как это следует, например, из (60) - (62) составляет не более 2 - 3 длин свободного пробега, т.е. каждая частица успевает испытать только 2 - 3 соударения до выхода на предельный (в кинетическом смысле) режим течения. Что касается конденсации, то уже из элементарных соображений, без детального рассмотрения кинетики образования и роста устойчивых зародышей конденсированной фазы ясно, что даже для образования комплекса хотя бы из двух частиц требуется время, не менее времени ₃ между тройными соударениями, что составляет , где V₀= =1/ объем, занимаемый отдельной частицей. Отношение времени пролета ₂ частицей пристеночного слоя, , ко времени ₃ есть . Иными словами, параллельное рассмотрение кинетики конденсации и процесса установления течения в слое _k становится необходимым лишь в приближении плотности пара у поверхности к плотности конденсированного вещества, поскольку характерный масштаб для конденсации есть .

На основании сказанного можно представить следующую картину течения в непосредственной близости от поверхности тела. Пар, движущийся от поверхности, приобретает (в соответствии с газодинамическими условиям равновесного расширения) значения параметров движения (массовую скорость, плотность и температуру) на расстоянии от поверхности, составляющем 2 - 3 длины свободного пробега частиц. При выходе из этого слоя пар оказывается резко перенасыщенным. Это неустойчивое в термодинамическом отношении состояние должно смениться устойчивым на расстоянии ; пройдя его, пар частично сконденсируется. В результате выделения при этом скрытой теплоты перехода температура его повысится и состояние его приблизится к состоянию насыщения, если это допускается условиями течения. Из этого следует, что переход газа из резко неустойчивого состояния, в котором он находится на внешней границе слоя _k, в устойчивое, близкое к насыщенному состоянию, должно совершаться скачком. Этот скачок отличается от обычно рассматриваемого конденсационного скачка тем, что состояние пара до скачка и двухфазной системы за скачком в нашем случае описываются разными адиабатами, а также условием, налагаемым на скорость за скачком режимом течения.

За скачком, т.е. на внешней границе слоя _k и далее, имеем течение пара, который в процессе расширения остается насыщенным; избыток его, образующийся в результате охлаждения при расширении, конденсируется в капли. При адиабатическом расширении такое течение является автомодельным с граничным условием u_x=0 = s (здесь равенство х = 0 следует, конечно, понимать в газодинамическом смысле). Таким образом, на внешней границе слоя _k мы имеем условие равенства скорости газа u_s местной скорости звука s_s, которая определяется адиабатой двухфазной системы, состоящей из насыщенного пара и капель конденсата. Простой подсчет на основании законов сохранения числа частиц, импульса и энергии показывает, что это условие несовместимо с условием (73), записанным для случая = 5/3, которое было взято (при условии, что пар на границе слоя не пересыщен) при получении решения (74). Для получения самосогласованного решения задачи необходимо, таким образом, к системе уравнений (69) - (72) с неизвестным пока значением скорости присоединить систему уравнений, связывающих параметры газа по обе стороны конденсированного скачка. Последнее суть:

(93)

(94)

(95)

где n_s, u_s, p_s, T_s, _s - плотность, скорость, давление, температура и степень конденсации в двухфазной системе непосредственно за скачком. Здесь степень конденсации определена по формуле

_s = n_ж/n, n = n_ж + n_п,(96)

где n_ж, n_п - числа атомов в объеме системы, относящихся к конденсированной и газообразной фазе соответственно. При записи уравнения (95) учтено, что внутренняя энергия единицы массы системы

(97)

где = 1,5k; = 3k - удельная теплоемкость в расчете на атом для пара и конденсированной фазы, V = 1/nm. Имеем, кроме того, уравнение для адиабаты насыщенного пара (80) и уравнение состояния пара:



(98)

(99)

Учитывая, что состояние системы за скачком равновесно, имеем здесь для скорости u_s (которая, как сказано выше, равна скорости звука s_s) соотношение:

(100)

при получении которого мы воспользовались выражениями (96) - (99), а также условием адиабатичности d + pdV = 0.

Система уравнений (70) - (72), (93) - (95), (98) - (100) полностью определяет соотношение пара перед скачком и состояние двухфазной системы за скачком через температуру поверхности Т₀. Как и ранее, присоединив сюда закон сохранения энергии в форме (79), получим связь параметров, характеризующих эти состояния и состояние поверхности, с плотностью потока излучения Q, поглощаемого металлом.

Решение полной системы уравнений представляет очевидные трудности; более детальный анализ показывает, что в большинстве случаев _s << 1, что позволяет в уравнениях (93), (94) пренебречь величиной _s, а уравнение (95) использовать для нахождения _s (требующегося в дальнейшем при решении газодинамической задачи). Полученное таким путем решение задачи приведено в табл. 6.

Таблица 6

y0	=	/n0	xs=ns/n0	/T0	s=Ts/T0	Z=jm/jm,макс
158	0,49	0,50	0,29	0,81	0,99	0,73
11	0,55	0,47	0,32	0,79	0,89	0,77
5,2	0,60	0,45	0,34	0,76	0,83	0,79



Здесь все величины являются функциями переменной у₀; видно, что при изменении у₀ в разумных пределах (у₀ ~15 - 5) их изменение сравнительно мало.

Остановимся, наконец, на различиях между результатами, получающимися на основании найденного здесь решения, и результатами, следующими из формул (82) - (88).

Непосредственный численный анализ показывает, что формулы (82) - (84) для температуры поверхности Т₀, плотности потока испаренных частиц j_m и скорости волны испарения ₀ остаются практически без изменения. Скорость пара у поверхности до скачка конденсации следует для получения правильной величины умножить на коэффициент, равный ()^0,5, плотность пара у поверхности - умножить на коэффициент ()^0,5, давление - умножить на коэффициент ~ ; таким образом, скорость надо уменьшить примерно в 0,6 раза, плотность и давление - увеличить в 1,6 раза и 1,8 раза соответственно.

Помимо этого следует, конечно, иметь в виду, что найденное решение дает принципиальную возможность вычислить необходимое для решения газодинамической задачи начальное значение степени конденсации _s.

9. Гидродинамика разлета поглощающей плазмы

Рассмотрим одно частное решение уравнений гидродинамики [115], позволяющее установить основные особенности разлета плазмы, поглощающей поток излучения. Будем изучать движение плазмы у поверхности твердого тела. Ограничимся случаем, когда движение зависит от одной пространственной координаты х и направим ось х перпендикулярно к поверхности твердого тела по течению газа (поток излучения Q будет в этом случае отрицательным). Уравнения движения имеют следующий вид:



(101)

где Q = Q(x, t) локальная плотность потока ЛИ, которую можно записать через монохроматический коэффициент поглощения (, T) в виде

.

Прежде чем приступать к анализу системы уравнений (101), отметим одну существенную особенность ее решений, имеющую место в том случае, когда коэффициент поглощения (, T) уменьшается с ростом температуры и возрастает с ростом плотности среды. Рассмотрим слой поглощающей плазмы у поверхности твердого тела. Пусть начальная оптическая толщина слоя невелика, и значительная часть ЛИ достигает поверхности. Тогда испарение должно приводить к росту плотности и оптической толщины слоя, а следовательно, к уменьшению части потока, приходящей на поверхность твердого тела. Наоборот, если начальная оптическая толщина плазмы велика, то скорость испарения будет малой, и основное изменение прозрачности плазмы будет связано с ростом температуры и гидродинамическим расширением. Эти процессы приведут, очевидно, к уменьшению оптической толщины и последующему росту _и. Следует ожидать, что асимптотически будет достигаться режим, при котором увеличение поглощения в плазме за счет испарения новых порций твердого вещества будет компенсироваться уменьшением его за счет роста температуры и гидродинамического расширения. Поэтому можно ожидать, что возникнет своеобразный "самосогласованный" процесс испарения, при котором оптическая толщина слоя плазмы над поверхностью твердого тела не будет зависеть от времени.

Покажем, что такой режим действительно возможен для модельной среды с коэффициентом поглощения вида (, р) = а^mрⁿ и внутренней энергией _св(р, ) = р/( 1). В этом случае, если плотность плазмы много меньше начальной плотности твердого тела, а ее внутренняя энергия много больше теплоты испарения, можно построить автомодельное решение системы уравнений (101) [115]. Действительно, параметры _св и ₁, по предположению, являются несущественными, и движение определяется лишь двумя параметрами, имеющими независимые размерности: плотностью потока излучения Q₀Q() и множителем а из формулы для коэффициента поглощения.

Из соображений размерности следует, что в этом случае имеется автомодельное решение системы (101), зависящее лишь от одной переменной = xt^s , где

Решение системы (101) можно записать в таком виде:

(102)

где безразмерные функции V(), R() и Р() удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений

(103)

где и ₀ значение независимой переменной на внешнем краю плазменного слоя.

Из определения автомодельной переменной следует, что движение точек = const происходит по закону x ~ t^s. Учитывая интервал изменения показателей m и n в интерполяционной формуле = a^mрⁿ [116, 117], легко убедиться, что значения "лежат обычно в интервале от 1,15 до 1,09, т.е. близки к 1. Последнее значение соответствует обычной волне разрежения в отсутствие поглощения света. Можно ожидать, что структура автомодельного решения (102) в общих чертах будет подобна волне разрежения. Поглощение света приведет лишь к дополнительному ускорению плазмы и уменьшению ее плотности и давления.

Скорость движения внешней границы плазмы = _о равна

(104)

т.е. ускорение границы за счет поглощенного света происходит по закону t с 0,1 … 0,15.

Используя (104) и учитывая, что давление и плотность на границе с вакуумом равны нулю, запишем граничные условия для системы (103) в виде

(105)

Точка = ₀ является особой для системы уравнений (103). Для численного решения уравнений (103) с граничными условиями (105) необходимо исследовать поведение решения вблизи особой точки.

Асимптотическое решение будем искать в виде

V = s₀ + Az, R = Bz^v, P = Cz^w,



где z = ₀ и А, , v, С, w постоянные. При этом будем считать, что правая и левая части третьего уравнения (103) стремятся к нулю при ₀ одинаково быстро. После простых вычислений получаем

(106)

В частном случае полностью ионизованного газа, принимая в качестве уравнения состояния р = RT, имеем m = 3,5, n = 1,5, s = 9/8, =5/ Для этого случая при z 0 получаем

Отметим, что при ₀ коэффициент поглощения стремится к нулю: ~ R^mPⁿ 0; температура также стремится к нулю: T ~ Р/R ~ z0. С помощью соотношений (106) можно выйти из особой точки = ₀ при численном интегрировании системы (103).

До сих пор в рассмотрение не была введена поверхность твердого тела, с которой происходит испарение. Это можно сделать следующим путем. Будем рассматривать узкую область у поверхности твердого тела, в которой происходит поглощение прошедшего сквозь слой плазмы светового потока, как газодинамическую поверхность разрыва. Пусть приходящий к этой поверхности световой поток равен Q(0). Закон сохранения энергии требует тогда, чтобы имелся такой же величины гидродинамический поток энергии в обратном направлении, т.е.

(107)



В написанном равенстве не учтена теплота испарения твердого тела. Поэтому такое рассмотрение правильно до тех пор, пока удельная энтальпия испаренного вещества много больше, чем теплота испарения.

Дополнительное граничное условие (107) позволяет определить неизвестный параметр ₀, который входит в решение через граничные условия (105) и (106).

В качестве очень грубого приближения вместо интегрирования системы уравнений (103) с краевыми условиями (106), (107) можно воспользоваться методом интегральных соотношений. Последние легко получить путем почленного интегрирования уравнений (101) от нуля до x₀ = ₀t^9/8. Приводя полученные соотношения к автомодельному виду с помощью (102), получим

(108)

Здесь обозначено = /_о. Преобразуя также (107) с помощью (102), получим соотношение

(109)

Учитывая асимптотическое поведение функций R, V и Р вблизи особой точки, положим в (108)



Выполняя интегрирования в (108), придем к системе алгебраических уравнений для величин V(0), R(0), Р(0), Q(0) и ₀. После решения этой системы и подстановки в соотношения (102), получим следующие значения размерных величин температуры и плотности на поверхности х = 0 (где а - множитель из формулы для коэффициента поглощения):

Доля от полного потока энергии, поглощенная разлетающейся плазмой, оказывается равной 0,24. Она не зависит от времени, что и соответствует качественно описанному ранее "самосогласованному" характеру расширения плазмы. Масса твердого материала, испаренного за время t, равна

а эффективная удельная теплота испарения пропорциональна величине .

Описанный автомодельный режим разлета вещества возможен в предельном случае _мет >> (0, t) и _св << kT(0, t)/m. Ясно, что эти условия не выполнены в начальный момент времени и автомодельный режим должен достигаться асимптотически после некоторого переходного процесса. Численное решение неавтомодельной задачи с теми же упрощающими предложениями, которые приняты при формулировке автомодельной задачи, описано в работе [118].

Рассмотрим другой важный случай, когда движение оказывается автомодельным случай коротких импульсов ЛИ (что важно в связи с достижениями в области генерации сверхкоротких световых импульсов).

Существенное упрощение здесь возможно по причине того, что допустимо пренебрежение движением среды во время действия ЛИ, в результате чего (как и при малых плотностях потока излучения) гидродинамическая и оптическая задачи разделяются. Общая картина разлета вещества выглядит так же, как при действии поверхностного взрыва. При этом теплотворная способность взрывчатого вещества должна быть равна W/M*, где М* масса вещества, которой сообщена энергия за время действия светового импульса. Заметим, что аналогичный характер имеет движение среды, вызванное ударом тела малой массы по поверхности другого тела, например падением метеорита на поверхность планеты [116].

Рассмотрим сначала плоский удар. Пусть в начальный момент поглощающее тело, которое мы будем считать идеальным газом с плотностью ₀ и равной нулю температурой, занимает полупространство х > 0, и поверхность х = 0 подвергается действию кратко-временного "удара" длительностью t₀. Масштабом времени, по отношению к которому t₀ должно быть малой величиной, служит в данном случае толщина слоя, которому сообщается энергия при ударе, деленная на скорость звука (толщина этого слоя может быть значительно больше, чем длина пробега ЛИ в холодном веществе). После удара поглотивший энергию слой разлетается с начальной скоростью ~ (W/M*)^0,5, a по покоящемуся газу распространяется ударная волна. Задача состоит в определении движения газа при t >> t₀.

Начнем с рассмотрения автомодельной стадии движения. При t>> t₀ единственным масштабом длины является координата фронта ударной волны X. Предположим, что движение ударной волны происходит по закону X = At^s и будем искать решение уравнений газодинамики в автомодельной форме:

(110)

Легко убедиться в том, что показатель автомодельности s нельзя определить из рассмотрения законов сохранения. Действительно, после окончания "удара" на движущийся газ не действуют внешние силы и должны сохраняться его энергия и количество движения. Энергия, как легко проверить, пропорциональна величине , поэтому из сохранения энергии следует значение показателя автомодельности s=2/3; с другой стороны, сохранение количества движения, = const, требует значения s=0,5. Возникающее противоречие разрешается следующим образом. Показатель автомодельности оказывается заключенным в интервале 0,5<s<2/ Законы же сохранения не могут быть использованы для определения s по той причине, что полный импульс в искомом автомодельном движении оказывается равным нулю (импульс вещества, увлекаемого ударной волной, в точности равен импульсу вещества, разлетающегося в пустоту), а полная энергия бесконечной (квадрат скорости при х растет быстрее, чем падает плотность вещества). В действительности полная энергия, сообщенная газу, разумеется, конечна; однако автомодельное решение неприменимо к малой массе у границы газа с вакуумом, которая и вносит расходимость в интеграл энергии.

Анализ показывает, что рассматриваемое автомодельное движение зависит не от значений полной энергии и импульса в отдельности, а от некоторой их комбинации, которая остается конечной и размерность которой связана со значением s. Условие для определения вида этой комбинации и значения s следует из того, что система уравнений для безразмерных функций P(), R() и V() имеет решения, обладающие нужными свойствами, не при любых s. Определенный таким образом показатель s зависит от показателя адиабаты (s = 0,612 для = 5/3 и s= 0,600 для = 7/5). Поскольку оказывается, что в случае = 7/5 удается найти точное решение уравнений движения, а показатель автомодельности и характер решения при переходе к значению =5/3 изменяются незначительно, мы ограничимся рассмотрением задачи при = 7/5.



Для введенных соотношениями (110) функций P(), R() и V() имеет место следующая система уравнений:

(111)

Граничные условия на фронте сильной ударной волны таковы:

на границе с вакуумом должны выполняться условия:

Можно проверить, что решение системы (106) при v = 7/5, s=3/5

(112)

Укажем некоторые свойства решения (112). Интегрируя выражение для плотности, легко убедиться, что между фронтом ударной волны и точкой х = 0, соответствующей начальному положению поверхности тела, заключена масса, равная 0,89₀X. Таким образом, 89 % всей массы, охваченной движением, остается в начальных границах тела и лишь 11 % выбрасывается наружу. Скорость газа в каждый момент времени линейно зависит от координаты х и обращается в нуль в точке х = 0,5X. В направлении движения ударной волны движется 78 % всей возмущенной массы газа. Как уже отмечалось выше, полная энергия движущегося вещества, определяемая выражением



оказывается бесконечной, поскольку при кинетическая энергия RV²/2 ~ || ^0,5 убывает недостаточно быстро.

В действительности энергия среды остается всегда конечной, а отмеченная особенность связана с тем, что движение малой (по сравнению с ₀Х) массы вещества М*, которой первоначально передается вся энергия "удара", не описывается автомодельным решением. Физически понятно, что эта масса летит в пустоту, обладая энергией порядка W. Принимая это во внимание при вычислении интеграла энергии, можно показать, что

Последнее соотношение можно использовать для грубого определения постоянной А, входящей в закон движения ударной волны. Величина этой постоянной может быть выражена как А = (W/₀)^0,3X*, где X*=М*/₀ координата границы области, которой сообщена энергия в результате действия импульса ЛИ. Для вычисления X* необходимо рассмотреть передачу энергии в среде до начала газодинамического движения. Падающий на поверхность твердого тела световой поток поглощается в слое, толщина которого примерно равна обратной величине коэффициента поглощения. Этот слой быстро нагревается до высокой температуры и передает энергию соседним слоям посредством лучистой k_L и электронной k_e теплопроводности. При температуре порядка сотни или нескольких сотен тысяч градусов электронный газ становится невырожденным. Коэффициенты электронной и лучистой теплопроводности можно оценить в этом случае, используя обычные выражения, полученные для плазмы: