Невозможно представить себе современную науку без широкого применения математического моделирования. Сущность этого метода состоит в замене реального объекта его «образом» - математической моделью. Этот метод позволяет быстро и «безболезненно» изменить объект, изучить его свойства и поведение в различных средах и т.д. Неудивительно, что математическое моделирование бурно развивается и проникает во все сферы знаний.

Создание модели проходит в 3 этапа: модель - алгоритм - программа.

На первом этапе строится модель, наиболее полно отображающая свойства объекта. Модель исследуется теоретическими методами, что позволяет получить важные предварительные знания об объекте. Второй этап включает в себя разработку алгоритма, для реализации модели на компьютере. Модель представляется в форме, удобной для применения численных методов, определяется последовательность вычислительных и логических операций, которые необходимо провести для нахождения искомых величин с заданной точностью. На третьем этапе создаются программы, переводящие модель и алгоритм на доступный компьютеру язык. К ним предъявляются требования экономичности и адаптивности к особенностям решаемых задач и используемых компьютеров. Их можно назвать электронным эквивалентом изучаемого объекта, уже пригодным для непосредственного испытания на компьютере.

Целью данной курсовой работы является изучение приёмов численного и символьного интегрирования на базе математического пакета прикладных программ, а также реализация математической модели, основанной на методе интегрирования.

1. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ В MATLAB

Возможны два различных подхода к определению определённого интеграла.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1: приращение F(b)-F(a) любой из преобразованных функций F(x)+c при изменении аргумента от x=a до x=b называют определённым интегралом от a до b функции F и обозначается .

Причём функция F является первообразной для функции f на некотором промежутке D, а числа а и b принадлежат этому промежутку. Это можно записать следующим образом: , это формула Ньютона-Лейбница.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2: Если при любой последовательности разбиений отрезка [a;b] таких, что д=maxДxi>0 (n>?) и при любом выборе точек интегральная сумма уk=f(еi) Дxi стремится к одному и тому же конечному пределу А, то это число А и есть определённый интеграл, т.е Дxi=A(2). Где Дхi=xi-xi-1 (i=1,2,…,n) е=maxДxi - начало разбиения произвольная точка из отрезка [xi-1;xi]
сумма всех произведений f(еi)Дxi, (i=1,…,n). Простыми словами, определенный интеграл есть предел интегральной суммы, число членов которой неограниченно возрастает, а каждое слагаемое стремится к нулю.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ:

Всякая непрерывная на отрезке [a,b] функция f интегрируема на отрезке [a,b], функция f неотрицательна, но определённый интеграл численно равен S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f, осью абсцисс и прямыми x=a и x=b, .

Рассмотрим основные методы интегрирования: метод трапеций, метод прямоугольников и метод Симпсона.

Формула прямоугольников

Теперь рассмотрим первый вид приближённого вычисления:
требуется вычислить определённый интеграл: .

Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция y=f(x). Разделим отрезок [a,b], аналогично как в формуле трапеций: точками a=x0, x1, x2,…, xn=b на n равных частей длины Дх, где Дх=(b-a)/n.

Обозначим через y0, y1 ,y2,…, yn-1, yn значение функции f(x) в точках x0, x1, x2…, xn, то есть, если записать в наглядной формуле:

Y0=f(x0), y1=f(x1), y2=f(x2)…yn,=f(xn).

В данном способе подынтегральную функцию заменяем функцией, которая имеет ступенчатый вид.

Составим суммы: y0Дx+ y1Дx1+ y2Дx2…+yn-1Дx; Y1Дx+ y2Дx+…+ynДx.

В результате вычислений получаем конечную формулу прямоугольников:

Формула трапеций

Возьмём определённый интеграл , где -- непрерывная подынтегральная функция, которую мы для наглядности будем предполагать положительной. При вычислении интеграла с помощью формулы трапеций подынтегральная функция f заменяется функцией, график которой представляет собой ломанную линию звенья которой соединяют концы ординат yi-1 и yi (i=1,2,…,n).

Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями x=a, x=b, y=0, y=f(x), а значит (следуя из геометрического смысла), и значение нужного нам интеграла, приблизительно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями yi-1 и yi и высотой h=(b-a)/n, так как (если более привычно выражать для нас) h это Дx,a Дx=(b-a)/n при делении отрезка на n равных отрезков при помощи точек x0=a<x1<…<xn=b. Прямые x=xk разбивают криволинейную трапецию на n полосок. Принимая каждую из этих полосок за обыкновенную трапецию, получаем, что площадь криволинейной трапеции приблизительно равна сумме обыкновенных трапеций.

2

Площадь крайней полоски слева равна произведению полусуммы основания на высоту

Итак, запишем сказанное выше в математическом виде:

- это и есть формула трапеций.

Формула Симпсона (формула парабол).

Разделим отрезок [a;b] на чётное число равных частей n=2m. Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x0,x1], [x1,x2] и ограниченной заданной кривой y=f(x), заменим площадью криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени, проходящей через три точки M0[x0,y0], M1[x1,y1], M2[x2,y2] и имеющей ось, параллельную оси Oy (рис). Такую криволинейную трапецию будем называть параболической трапецией.

Уравнение параболы с осью, параллельной оси Oy, имеет вид: . Коэффициенты A, B и C однозначно определяются из условия, что парабола проходит через три заданные точки. Аналогичные параболы строятся и для других пар отрезков. Сумма параболических трапеций и даст приближённое значение интеграла. Сначала вычислим площадь одной параболической трапеции. И продолжая вычисления, получаем формулу Симпсона:

Теперь рассмотрим методы решения интегралов с помощью программы Matlab.

1.1 Численный метод

Вычисление определенных интегралов.

Рассмотрим пример: .

В первую очередь необходимо создать функцию, вычисляющую подынтегральное выражение.

Для вычисления интеграла вызовем функцию quad, задав первым аргументом ссылку на функцию fint, а вторым и третьим -- нижний и верхний пределы интегрирования.

По умолчанию функция quad вычисляет приближенное значение интеграла с точностью 10-6. [1, C.266] Для изменения точности вычислений следует задать дополнительный четвертый аргумент:

Вычисление двойных интегралов.

В MATLAB определена функция dblquad для приближенного вычисления двойных интегралов. Как и в случае вычисления определенных интегралов, следует написать файл-функцию для вычисления подынтегрального выражения. Вычислим интеграл:

Следовательно, функция должна содержать два аргумента x и y:

Функция dblquad имеет пять входных аргументов. При ее вызове необходимо учесть, что первыми задаются пределы внутреннего интеграла по х, а вторыми -- внешнего по у:

Интегралы, зависящие от параметра.

Функции quad и quadl позволяют находить значения интегралов, зависящих от параметров. Аргументами функции, вычисляющей подынтегральное выражение, должна быть не только переменная интегрирования, но и все параметры. Значения параметров указываются через запятую, начиная с шестого аргумента quad или quadl. [1, C.270]

Решим интеграл:

Зададим функцию

Используя quad, вычислим интеграл:

1.2 Символьный метод

Рассмотрим модель математической оценки с использованием рублей и долларового эквивалента, с помощью двух определенных интегралов, для вычисления которых используется формула трапеций.

В данном случае объектом исследования являются взаиморасчеты, в которых используются доллары и рубли. Договор заключен между тремя сторонами: заказчиком, генеральным подрядчиком и субподрядчиком.

Для анализа доходности сделок генерального подрядчика нас будут интересовать следующие характеристики экономической ситуации:

1) курс доллара в момент времени t;

2) уровень инфляции, характеризующийся коэффициентом инфляции dK;

3) уровень цен, характеризующийся индексом цен I(t);

4) коэффициент индекса цен dI, характеризующий рост цен в период действия договора;

5) непрерывная ставка дисконтирования непрерывных денежных потоков д;

6) срок действия договоров T;

7) курс доллара и уровень цен в момент вступления договора в силу K(0), I(0).

Используя данные характеристики, зададим уровень инфляции в момент времени t:

.

Если принять за базу уровень цен в момент вступления договора в силу, т.е. I(0)=1, то уровень цен в момент времени t можно выразить так:

Запишем формулу современной стоимости непрерывного потока выплат подрядчику в рублях по текущему курсу доллара K(t) с учетом индекса I(t).

Запишем теперь формулу современной стоимости непрерывного потока платежей субподрядчикам в рублях с учетом инфляции и индекса цен на момент времени t.

Разность между Y1 и Y2 даст современную стоимость потока наличности подрядчика в момент времени t.

Если величина АР>0, значит, можно говорить и доходности сделок между заказчиком, генеральным подрядчиком и субподрядчиком.

Определим все параметры модели.

>>N=10000;

>>M=50000;

>>T=1;

>>д=0.1;

>>dI=0.1763;

>>dK=0.85;

>>Io=1;

>>Ko=27.8;

Вычислим K(t) и I(t):

>> K(t) = 57.3

>> I(t) = 2.3526

Для удобства вычисления введём следующие обозначения:

Перепишем интегралы Y1 и Y2:

А их подынтегральные функции обозначим через S1(t) и S1(t) соответственно:

Вычислим S1(t) и S1(t):

>>S1= 2.2038

>>S2= 1.1019

Определим подынтегральную функцию интегрального сальдо наличности генерального подрядчика как функцию S(t).

>>S(t)=1.1019

Последним шагом вычислим интеграл по формуле трапеций:

, где - шаг интегрирования

>>А=1.65285

Так как интеграл А больше 0, то можно сделать вывод о том, что договор между заказчиком, генеральным подрядчиком и субподрядчиком, является экономически выгодным.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Из данной работы видно, насколько проста и удобна в использовании система Matlab. Для работы с ней необходимо иметь самые элементарные навыки работы на ПК.

Говоря о математических аспектах MATLAB, нужно отметить, что его обозначения очень близки к тем, которые давно используются в математике, и это заметно упрощает освоение многочисленных математических команд.

Этот пакет может использоваться во всех сферах вычислений начиная с самых простых, заканчивая самыми сложными.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ануфриев, И. Е. MATLAB 7: Самоучитель / Ануфриев, И. Е. Смирнов, А.Б. Смирнова, Е. Н. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 1104 с.

2. Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике / Выгодский, М. Я. - М.: АСТ: Астрель, 2005. - 991с.

3. Демидович, Б. П.Основы вычислительной математики / Демидович, Б. П. Марон, И. А. - М.: Наука, 1970. - 402с.

4. Масловская, А.Г. Основные принципы работы и конструирование интерфейса в Matlab : Практикум / Масловская, А. Г. - Благовещенск.: Амурский гос. ун-т, 2008. - 55с.

5. Масловская, А. Г. Численные методы. Моделирование на базе Matlab : Практикум / Масловская, А. Г. Черпак, Л. В. - Благовещенск.: Амурский гос. ун-т, 2006. - 120с.

6. Самарский, А. А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры / Самарский, А. А. Михайлов, А.П. - М.: Наука. Физматлит. 1997 - 320с.

7. Тарасевич, Ю.Ю. Математическое и компьютерное моделирование / Тарасевич, Ю.Ю. - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 152с.

Приложение 1