Методы численного интегрирования: Симпсона, Гаусса-Кристоффеля

Численное интегрирование - раздел вычислительной математики, занимающийся разработкой и применением методов приближённого вычисления определённых интегралов.

При решении задач научного и инженерно-технического характера математическими методами часто возникает необходимость проинтегрировать какую-либо функцию. Есть функции, которые невозможно интегрировать аналитически, т.е. только в некоторых случаях по заданной функции можно найти первообразную. Численное интегрирование является общим способом интегрирования любых функций. Методы численного интегрирования в большинстве своем просты и легко переводятся на алгоритмические языки.

Цель данной работы - дать обзор методов численного интегрирования Симпсона и Гаусса-Кристоффеля, а также сравнение их достоинств и недостатков.

1. Постановка задачи численного интегрирования

Задача численного интегрирования состоит в замене исходной подынтегральной функции f(x) на некоторую аппроксимирующую функцию ц(x) в тех случаях, когда для исходной функции трудно или невозможно записать первообразную аналитически, или же функция f(x) задана таблично.

Рассмотрим интеграл. Проведем разбиение отрезка [a, b] на N частичных отрезков [xi-1, xi], i = 1, ..., N, внутри каждого из которых выбирается произвольная точка оi. Далее составляется интегральная сумма:

Тогда интеграл определяется как предел интегральных сумм:

Если зафиксировать число N и не переходить к пределу, то получим некоторое приближенное значение интеграла:

где - погрешность метода на интервале интегрирования, аr(x) -погрешность метода на отдельном шаге интегрирования.

Если имеет место оценка , где константа c > 0 не зависит от величины h = max(hi), то говорят, что погрешность метода имеет порядок p.

Обзор методов численного интегрирования

Методы вычисления однократных интегралов называются квадратурными (для кратных интегралов - кубатурными). Ниже представлена классификация методов интегрирования:

- Методы Ньютона-Котеса. В этих методах подынтегральная функция заменяется функцией ц(x) - полином различных степеней. К этим методам относятся метод прямоугольников, трапеций, Симпсона.

- Методы статистических испытаний (методы Монте-Карло). В этих методах узлы сетки для квадратурного или кубатурного интегрирования выбираются с помощью датчика случайных чисел, ответ носит вероятностный характер. В основном они применяются для вычисления кратных интегралов.

- Сплайновые методы. В этих методах подынтегральная функция заменяется функцией ц(x), которая представляет собой кусочный полином с условиями связи между отдельными полиномами посредством системы коэффициентов.

- Методы наивысшей алгебраической точности. Обеспечивают оптимальную расстановку узлов сетки интегрирования и выбор весовых коэффициентов с(x) в задаче . К этим методам относится метод Гаусса-Кристоффеля (вычисление несобственных интегралов) и метод Маркова.

2. Метод Симпсона

2.1 Суть метода Симпсона

Суть метода Симпсона заключается в приближении подынтегральной функции на отрезке [a,b]интерполяционным многочленом второй степени p2(x), т.е. приближение графика функции на отрезке параболой. Для интерполирования подынтегральной функции используются три точки.

Рассмотрим произвольный интеграл. Воспользуемся заменой переменной таким образом, чтобы границы отрезка интегрирования вместо [a,b] стали [-1,1]. Для этого введем переменную z:

,

Тогда:

,

Рассмотрим задачу интерполирования подынтегральной функции, используя в качестве узлов три равноудаленные узловые точки z = -1, z = 0, z = +1 (шаг равен 1, длина отрезка интегрирования равна 2). Обозначим соответствующие значения подынтегральной функции в узлах интерполяции:

Система уравнений для нахождения коэффициентов полинома, проходящего через три точки (-1, f-1), (0, f0) и(1, f-+1) примет вид:

или 

Коэффициенты легко могут быть получены:

Вычислим теперь значение интеграла от интерполяционного многочлена:

Путем обратной замены переменной вернемся к исходному интегралу. Учтем, что:

 соответствует

соответствует

соответствует

Получим формулу Симпсона для произвольного интервала интегрирования:

, и 

Полученное значение совпадает с площадью криволинейной трапеции, ограниченной осью x, прямыми x = x0, x = x2 и параболой, проходящей через точки

При необходимости, исходный отрезок интегрирования может быть разбит на N сдвоенных отрезков, к каждому из которых применяется формула Симпсона. Шаг интерполирования при этом составит:

Для первого отрезка интегрирования узлами интерполирования будут являться точки a, a+h, a+2h, для второго a+2h, a+3h, a+4h, третьего a+4h, a+5h, a+6h и т.д. Приближенное значение интеграла получается суммированием N площадей:

интегрирование численный метод симпсон

В данную сумму входят одинаковые слагаемые (для внутренних узлов с четным значением индекса - 2i). Поэтому можно перегруппировать слагаемые в этой сумме таким образом:

,

Приняв во внимание то, что получаем:

.

Оценим теперь погрешность интегрирования по формуле Симпсона. Будем считать, что у функции на отрезкесуществуют непрерывные производные . Составим разность:

Применяя к этой разнице последовательно теорему о среднем и дифференцируя R(h) получаем погрешность метода Симпсона:

,

Погрешность метода уменьшается пропорционально длине шага интегрирования в четвертой степени, т.е. при увеличении числа интервалов вдвое ошибка уменьшается в 16 раз.

2.2 Преимущества и недостатки

В известных формулах численного интегрирования, таких как формулы трапеций, Симпсона, принято фиксировать положение узлов и по ним находить веса. Таким образом, в них не полностью используются возможности общей формулы. Логично предположить, что выбор оптимального положения узлов в методе Гаусса-Кристоффеля приведёт к улучшению работы метода.

Методы типа Гаусса наиболее выгодны, когда подынтегральная функция известна. При этом самая ресурсоемкая операция с точки зрения вычислений - подсчет значения функции. Метод Гаусса, в свою очередь, позволяет получить высокую точность при наименьшем количестве вычислений за счет выбора узлов квадратурных формул.

Заключение

В данной работе были рассмотрены методы численного интегрирования. Была рассмотрена краткая классификация методов численного интегрирования и подробно описаны методы Симпсона и Гаусса-Кристоффеля. Также были рассмотрены преимущества и недостатки этих двух методов.

На основании вышеизложенного материала можно сделать вывод, что метод Симпсона наиболее эффективен в случаях, когда априорная информация о гладкости подынтегральной функции отсутствует, т.е. когда подынтегральная функция задана таблично. Метод Гаусса, в свою очередь, позволяет получить высокую точность при наименьшем количестве вычислений за счет выбора узлов квадратурных формул, когда подынтегральная функция известна.

Список использованных источников